РефератыМатематикаРеРешение математических уравнений и функций

Решение математических уравнений и функций

Вариант 1


Задание 1


Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:


1) длину стороны АВ;


2) внутренний угол А с точностью до градуса;


3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;


4) точку пересечения высот;


5) уравнение медианы, проведенной из вершины С;


6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.


Сделать чертеж.



Решение:


1) Найдем координаты вектора :


.


Длина стороны АВ равна


.


2) Внутренний угол А будем искать как угол между векторами и :


.


Тогда угол .


3) Прямая проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор .


По формуле получим уравнение высоты:


, ,


- уравнение СК.


Длину высоты будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле получим


, ,


- уравнение прямой АВ.


Воспользуемся формулой .


.


4) Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .


, .


Координаты точки Р найдем как решение системы:


, , .


Р(4;6).


5) Координаты основания медианы будут:


6)


, ,


М(3.5;2).


Уравнение медианы найдем, используя формулу , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.


, , ,


- уравнение медианы СМ.


7) Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.


Найдем уравнения ВС и АС по формуле .


, , ,


- уравнение ВС.


, , ,


- уравнение АС.


- уравнение АВ.


Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:


4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.


Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством: .


Аналогично для прямых ВС и АС.


; .


; .


Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:


.


Ответ003A


1) ;


2) ;


3) ; ;


4) Р(4;6);


5) ;


6) .


Задание 2


Даны векторы . Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.


Решение:


- система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства , достаточно доказать ее линейную независимость.


Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы :


.


Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:


.


Определитель Δ≠0, следовательно - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .


Для нахождения координат вектора в этом базисе, разложим вектор по базису :


.3


Найдем - координаты вектора в этом базисе.


.


Решим эту систему методом Гаусса.


Поменяем местами первое и третье уравнение:



Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:



Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:



Прибавим к третьему уравнению второе:



Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:



Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:



Вектор в базисе имеет координаты .


Задание 3


Найти производные функций:


а)



и




.


б)



и


.


в)



.


г)






,


.


За

дание 4



1. Область определения .


2. На концах области определения: .


- значит - вертикальная асимптота.


Найдем наклонные асимптоты, если они есть:




У функции есть горизонтальная асимптота .


3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.


4. Функция периодичностью не обладает.


5. Найдем первую производную функции:


.


Решая уравнение , получим две критические точки , еще одна критическая точка .


Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:





























x (-∞;-2) -2 (-2;0) 0 (0;1) 1 (1;+∞)
y’ - 0 + 0 - Не существует -
y Убывает

-80/27


min


Возрастает

0


max


Убывает Не существует Убывает

6. Находим вторую производную функции:



Решая уравнение , получим ,


- это критические точки. Еще одна критическая точка .


Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:





























x


1 (1;+∞)
y” - 0 + 0 - Не существует +
y Выпукла

-2.63


перегиб


Вогнута -0.71 перегиб Выпукла Не существует Вогнута

7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при , значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).


8. Пересечение с осью Ох: , , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.


9. Необходимости в дополнительных точках нет.



Задание 5


Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.



Произведем замену переменной: , тогда




Проверка:




Произведем замену переменной: , тогда



Проверка:



Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.



Возьмем


Применяя формулу интегрирования по частям: , получим:



Проверка:



Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.



Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.



Следовательно:


Разложим многочлен .


, тогда



.


Умножим обе части этого тождества на , получим



, тогда


. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.


Таким образом:



Проверка:



Ответ: ; ; ;


.


Задание 6


Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций


Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:


. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:


. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(0;-1), В(1;-1).


, поэтому


кв. ед.


Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций


Находим координаты точек пересечения прямой и параболы, решая систему уравнений:


. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:


. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(-1;1), В(0;-1).


, поэтому


кв. ед.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Решение математических уравнений и функций

Слов:985
Символов:9468
Размер:18.49 Кб.