Рассмотрим задачу линейного программирования
(1)
Теорема
. Если множество планов задачи (1) не пусто и целевая функция сверху ограничена на этом множестве, то задача (1) имеет решение.
Теорема
. Если множество допустимых планов имеет крайние точки и задача (1) имеет решение, то среди крайних точек найдется оптимальная.
Метод исключения Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений.
Большинство из существующих численных методов решения задач линейного программирования использует идею приведения системы линейных уравнений
которая в матричной форме записывается в виде , к более удобному виду с помощью так называемого метода Жордада-Гаусса.
В первом уравнении системы отыскивается коэффициент , отличный от нуля. С помощью этого коэффициента обращаются в нуль коэффициенты при переменной в остальных уравнениях системы. Для этого первое уравнение умножается на число и прибавляется к уравнению с номером , . Затем первое уравнение делится на число . Это преобразование называется элементарным преобразованием. Полученная эквивалентная система обладает тем свойством, что переменная присутствует только в первом уравнении, и притом с коэффициентом 1. Переменная называется базисной переменной.
Аналогичная операция совершается поочередно с каждым уравнением системы; при этом всякий раз преобразуются все уравнения и выполняется список базисных переменных.
Результатом применения метода Жордада-Гаусса является следующее: либо устанавливается, что система несовместна, либо выявляются и отбрасываются все «лишние» уравнения; при этом итоговая система уравнений имеет вид
, ,
где — список номеров базисных переменных, — множество номеров небазисных переменных. Здесь — ранг матрицы коэффициентов исходной сист
Полученную системы уравнений называют приведенной системой, соответствующей множеству номеров базисных переменных.
Симплекс-метод.
Симплекс –метод, метод последовательного улучшения плана, является в настоящее время основным методом решения задач ЛП.
Рассмотрим каноническую задачу ЛП
(2)
где векторы , матрица и . Множество планов в задаче (2) будем обозначать через и будем предполагать, что все угловые точки являются невырожденными.
, где вектор определяется формулой .
Теорема
. Если в угловой точке выполняется условие , то — решение задачи (2).
Теорема
. Для того, чтобы угловая точка являлась решением задачи (2), необходимо и достаточно, чтобы в ней выполнялось условие .
Алгоритм симплекс-метода.
Переход из старой угловой точки в новую угловую точку состоит, в сущности, лишь в изменении базисной матрицы , в которую вместо вектора вводится вектор . Новая базисная матрица может быть теперь использована для вычисления базисных компонентов вектора . Таким образом, алгоритм симплекс-метода может быть представлен в следующей форме.
Шаг 0.
Задать целевой вектор , матрицу условий , вектор ограничений и множество базисных индексов . Сформировать базисную матрицу и вектор .
Шаг 1. Вычислить матрицу и вектор .
Шаг 2. Вычислить вектор потенциалов и оценки .
Шаг 3. Если для всех , то остановиться: вектор — базисный вектор оптимального плана; иначе перейти на шаг 4.
Шаг 4. Выбрать произвольный индекс и вычислить вектор .
Шаг 5. Если , то остановиться: ; иначе перейти на шаг 6.
Шаг 6. Сформировать множество индексов и вычислить .
Шаг 7. В множестве индекс заменить на индекс , в матрице — вектор — на вектор , в векторе — компоненту на . Перейти на шаг 1.