Криволинейный интеграл первого рода
Криволинейный интеграл второго рода
1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.
Определение криволинейного интеграла по координатам.
2. Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).
3. Вычисления
а)
б)
Рис. 1
Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай когда путь интегрирования – кривая -кривая , , . Т/н. А-работу силы при перемещении точки от к
1. Разобьем на n частей :
Обозначим вектор- хорда дуге.
Пусть предположим, что на тогда
Работа вдоль дуги вычисляется как скалярное произведение векторов и
Пусть
Тогда:
Работа
Если , то этот предел примем за работу А силы при движении точки по кривой от точки до точки
,-не числа, а точки концы линии .
1.
Свойства:
10
определяется
а) подынтегральным выражением
б) формой кривой интегрирования.
в) указанием направления интегрирования (рис. 2).
Рис. 2
-можно рассматривать как интеграл от векторной функции
Тогда - если -замкнутая то -называют циркуляцией вектора по контуру .
30
40
не зависит от того какую точку взять за начало
Вычисление криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).
Рис. 3
-гладкая кривая.
1. Если -непрерывны, -непрерывные.
-непрерывны по , то
Пределы А и В не зависят ни от способа деления на , ни от вектора
Следовательно: .
2. В случае:
1.
Формула Грина.
2.
Условие независимости кри
3.
Полный дифференциал.
Связь между определенным и криволинейным интегралами.
Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией (рис. 4).
интеграл криволинейный грин формула
Рис. 4
непрерывны на
- определена и непрерывна в замкнутой области D.
- определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда
Аналогично
-Формула Грина.
В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.
Пример.
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Рис. 5
- непрерывные частные производные в (рис. 5).
Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?
Теорема:
-непрерывны в области , тогда для того, чтобы
в (рис. 6)
Рис. 6
Пусть
Обратно
Т.д.
Пусть из непрерывности и
-окрестность точки такая что в
предположение неверно. ч.т.д.
Замечание.
Определение.
Функция -градиент которой есть вектор силы называется потенциалом вектора .
Тогда
Вывод:
Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.
Литература
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г.
2. Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.
4. Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.