ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, ПРАВА И ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
МАТЕМАТИКА
на тему
Понятие функции. Область определения функции.
Способы задания функции
Выполнил: Мальский Эдуард Александрович,
студент 2 курса
юридического факультета
заочного отделения
группа 25-ЮЗП
Преподаватель:
Оценка:_______________
Подпись преподавателя:_______________
2004 г.
Оглавление
контрольной работы по дисциплине «Математика»
на тему «Понятие функции. Область определения функции.
Способы задания функции»
Введение……………………………………………………...……………………3
1. Функция и её свойства……………………………………………………..4
2. Способы задания функции…………………………………………...........5
3. Виды функций и их свойства……………………………………………...6
Заключение……………………………………………………………………….11
Список использованной литературы…………………………………………...12
Введение.
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2
. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Раздел 1. Функция и её свойства.
Функция-
зависимость переменной у
от переменной x
,
если каждому значению х
соответствует единственное значение у
.
Переменная х-
независимая переменная или аргумент.
Переменная у-
зависимая переменная
Значение функции-
значение у
, соответствующее заданному значению х
.
Область определения функции-
все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)-
все значения, которые принимает функция.
Функция является четной-
если для любого х
из области определения функции выполняется равенство f
(
x
)=
f
(-
x
)
Функция является нечетной-
если для любого х
из области определения функции выполняется равенство f
(-
x
)=-
f
(
x
)
Возрастающая функция-
если для любых х1
и х2
,
таких, что х1
< х2
, выполняется неравенство f
(х1
)<
f
(х2
)
Убывающая функция-
если для любых х1
и х2
,
таких, что х1
< х2
, выполняется неравенство f
(х1
)>
f
(х2
)
Раздел 2. Способы задания функции.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=
f
(
x
)
, где f
(
x
)-
с переменной х
. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный
способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Раздел 2. Виды функций и их свойства.
1) Постоянная функция-
функция, заданная формулой у=
b
,
где b
-
некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность-
функция, заданная формулой у=
kx
,
где к¹0. Число k
называется коэффициентом пропорциональности
.
Cвойства функции y=kx
:
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx
- нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция-
функция, которая задана формулой y
=
kx
+
b
, где k
иb
-
действительные числа. Если в частности, k
=0
, то получаем постоянную функцию y
=
b
; если b
=0
, то получаем прямую пропорциональность y
=
kx
.
Свойства функции y
=
kx
+
b
:
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y
=
kx
+
b
общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая
.
4)Обратная пропорциональность-
функция, заданная формулой y
=
k
/х,
где k¹0 Число k
называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y
=
k
/
x
:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k
/
x
-
нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола
.
5)Функция
y
=
x
2
Свойства функции y=x2
:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2
-
четная функция
3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает
4. На промежутке (-¥;0] функция уб
Графиком функции является парабола
.
6)Функция
y=x3
Свойства функции y=x3
:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3
-
нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем-
функция, заданная формулой y
=
xn
, где n
- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2
; y=x3
. Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y
=
xn
обладает теми же свойствами, что и функция y=x2
. График функции напоминает параболу y=x2
, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y
=
xn
обладает теми же свойствами, что и функция y=x3
. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем-
функция, заданная формулой y
=
x
-
n
,
где n
- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y
=
x
-
n
обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2
:
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x-2
-
четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция
y
=
Ö
х
Свойства функции y
=
Ö
х:
1. Область определения - луч [0;+¥).
2. Функция y=
Ö
х
- общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
10)Функция
y
=3
Ö
х
Свойства функции y
=3
Ö
х:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=
3
Ö
х
нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
11)Функция
y=n
Ö
х
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y
=
Ö
х
. При нечетном n функция y
=
n
Ö
х
обладает теми же свойствами, что и функция y
=3
Ö
х.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем-
функция, заданная формулой y
=
xr
, где r
- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr
:
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x5/2
. Он заключен между графиками функций y=x2
и y=x3
, заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y
=
xr
, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3
. Подобный вид имеет график любой степенной функции y
=
xr
, где 0<r<1
13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-
функция, заданная формулой y
=
x
-
r
, где r
- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y
=
x
-
r
:
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥)
14)Обратная функция
Если функция y
=
f
(
x
)
такова, что для любого ее значения yo
уравнениеf
(
x
)=
yo
имеет относительно х
единственный корень, то говорят, что функция f
обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
15)Сложная функция-
функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.
Заключение.
Понятие фу
нкции
является одним из
ос
новных понят
ии
ма
тематики вообще
. Оно не воз
никло сразу
в таком виде, как мы им пользуемс
я сейчас,
а как и другие фундаментальные
понятия прошло длинный пут
ь диалектического и и
сторического развития. Идея функциональной зависимости
восходит к древнегре
чес
кой математике.
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет".
Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".
03.02.2004 года
Список использованной литературы
в контрольной работе по дисциплине «Математика»
на тему «Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции»
1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: "Дрофа", 2000 года.
2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: "Проспект", 2003 года.
3.Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: "Просвещение", 1990 года.
4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: "НГТУ", 2002 года.
5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва: "Физматлит", 2002 года.