Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра
Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция будет определена на некотором множестве, где и , то есть в результате получится множество . Если функция непрерывна в D
, то тогда имеет смысл интеграл , где x
принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку , значит, интеграл может быть несобственным.
На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.
Определение.
Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, если интегрируема на промежутке при любом фиксированным , где .
Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном , тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так , так что .
Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.
Пример.
Найти интеграл от функции ,
Функция непрерывна на отрезке при любом фиксированном , а значит, она интегрируема. Тогда
.
Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра
Определение.
Пусть - это предельная точка множества .Функция называется равномерно сходящейся к функции при по переменной , если выполняются следующие условия:
1. для при существует конечная предельная функция ;
2. . (1)
Замечание 1.
В цепочки (1) зависит только от и не зависит от , а неравенство выполняется при любых одновременно.
Замечание 2.
Если , то в цепочке (1) неравенство следует заменить на ().
Теорема 1 (признак сходимости).
Если функция определена на множестве , то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка
Докажем теорема так.
Необходимость
. Пусть функция равномерно сходится. Если заменим в определении на и выберем соответственно , а затем возьмем два значения и из так, чтобы выполнялись условия и . В результате получим и откуда следует последнее неравенство в цепочке .
Достаточность
. Теперь пусть существует предельная функция . Нужно доказать равномерную сходимость функции к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве при , получается . Что и подтверждает равномерную сходимость к функции .
Теорема 2 (о непрерывности предельной функции).
Если функция при любом фиксированном непрерывна на и равномерно сходится к предельной функции по переменной при , то функция также непрерывна на .
Легко обобщается теорема Дини: если функция непрерывна для любого фиксированного на и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то сходится к равномерно.
Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла).
Если функция непрерывна при постоянном значении на и сходится равномерно по переменной к предельной функции при , то тогда имеет место равенство
(2)
Доказательство.
Непрерывность следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке . В силу равномерной сходимости к выполняется . Тогда при тех же и имеем:
откуда следует , что доказываетформулу (2).
Замечание 3.
Равенство (2) можно записать и в другом виде
. (2`)
Следствие 1.
Если функция при постоянном непрерывна по и при возрастании стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).
В предположении, что область представляет собой конечный промежуток , рассмотрим вопрос о непрерывности функции .
Пример
(№3713 (в)). Найти .
1. функция непрерывная функция на . Функции и также непрерывны на .
2. непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит
3. .
Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра).
Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике , тогда интеграл будет непрерывной функцией от параметра в промежутке .
Доказательство.
Так как непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике . Возьмем любое и зафиксируем . Тогда нашему значению будет соответствовать , такое, что для любых двух точек , принадлежащих , из неравенств и , будет следовать . Положим , , где , - любые из , и , где . Тогда получим
. Это означает, что функция равномерно стремится к . В таком случае по теореме 3 , а уже отсюда следует равенство , то есть наша функция непрерывна на .
Замечание 4.
Совершенно аналогично доказывается теорема для , где .
Следствие 2.
Если непрерывна на прямоугольнике , то .
Пример
. Найти .
1. непрерывна на
2. тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем
Пункт 3. Дифференцирование под знаком интеграла
При изучении свойств функции важное значение имеет вопрос о ее производной по параметру. Вычислить производную можно по формуле , которую вывел Лейбниц 1697. Рассмотрим теорему, устанавливающую простые достаточные условия для применимости этой формулы.
Теорема (о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра).
Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике и имеет там непрерывную частную производную . Пусть , . Тогда:
1. функция имеет в промежутке производную ;
2. , то есть , .
Доказательство.
Возьмем любую точку и зафиксируем ее. Придадим приращение и точка . Тогда , ,
(1)
По теореме Лагранжа . Следовательно,
. (2)
Переходя в (2) к пределу при , приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:
.
Из этого следует, что существует, причем . Так как - любое , то существует для любого , причем .
Пример.
Найти производную функции .
1. непрерывна на
2. . Эта функция также непрерывна на .
3.
4.
Пункт 4. Интегрирование по параметру под знаком интеграла
Рассмотрим вопрос об интегрировании по параметру функции . Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид . Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.
Теорема.
Если непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике , то интегрируемая на промежутке функция и справедливо равенство , то есть .
Также можно расписать с помощью повторных интегралов следующим образом .
Докажем более общее равенство.
для любого . (1)
В левой и правой частях равенства (1) мы имеем две функции от параметра t
. Вычислим их производные по t
. Так как , то (т.4 п.2), а следовательно есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу:
, . (2)
В правой части стоит интеграл , где . Действительно функция удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную , которая будет непрерывна как функция двух переменных.
Тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла
, . (3)
Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е. .
. (4)
Положив в (4) t
=
c
, получим . Значит, будем иметь вместо (4) для любого
. (5)
Пусть в (5) t
=
d
, получим
.
Что и требовалось получить.
Глава 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра
При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).
Пусть функция определена и непрерывна на некотором прямоугольнике и при любом фиксированном существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке . Тогда интеграл сходится и равен
.
В этом случае называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1).
Утверждение о том, что сходится при каждом
.
Следовательно,
или .
Это значит, что для каждого по любому можно указать число такое, что если , то . Важно заметить, что зависит и от ,и от :. Если же для любого можно указать число , зависящее только от , такое, что при выполняется для, то в этом случае называется равномерно сходящимся относительно параметра .
Теперь сформулируем критерий Коши для равномерной сходимости для нашего случая следующим образом:
Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости для НИЗП-1).
Для того чтобы интеграл сходился равномерно по переменной на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка
, .
Рассмотрим достаточные признаки равномерной сходимости.
Теорема 2. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП-1).
Пусть функция определена и непрерывна на прямоугольнике и удовлетворяет условиям:
1. непрерывна по переменной ,
2. существует функция , что ,
3. - сходится.
Из этого следует, что сходится равномерно по .
Доказательство.
В соответствии с условием 3) критерия Коши о сходимости несобственных интегралов 1-го рода от функции одной переменной имеем:
(1)
Тогда при тех же , что и в цепочке, получаем
.
А отсюда по теореме 1 следует равномерная сходимость интеграла .
Ч. т. д.
Замечание.
При выполнении условий теоремы 2 говорят, что функция имеет интегрируемую мажоранту или что интеграл мажорируется сходящимся интегралом .
Следствие.
Пусть выполняются следующие условия:
1. функция определена и непрерывна по ;
2. функция ограничена на прямоугольнике ;
3. интеграл сходится, тогда следует, что
сходится равномерно по .
Обозначим через и возьмем в качестве , а в качестве функции . Тогда, исходя из теоремы 2, получим цепочку (1).
Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода (НИЗП-2).
Пусть функция определена в области (a,b,c – конечные числа). Пусть при несобственный интеграл сходится. В этом случае будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Утверждение, что несобственный интеграл сходится при , означает следующее. При каждом фиксированном интеграл
(здесь ). Это значит, что для каждого из по любому можно указать такое, что при условии выполняется . Важно отметить, что число выбирается по , и для каждого оно будет своим, другими словами, зависит и от , и от : . Если же можно указать такое , зависящее только от , такое, что при выполнении условия будет верно сразу для всех , несобственный интеграл называется равномерно сходящимся относительно параметра.
Короче говорят, интеграл называется равномерно сходящимся по переменной на , если он сходится при и выполняется цепочка .
Для НИЗП-2 справедливы теоремы аналогичные т.1 и т. 2.
Теорема 3. (критерий Коши равномерной сходимости НИЗП-2).
Для того чтобы НИЗП-2 равномерно сходился по необходимо и достаточно, чтобы:
, .
Теорема 4.
Пусть функция определена в области и удовлетворяет следующим условиям:
1. функция непрерывна по , при ;
2. существует такая функция , что , и .
3. - сходится
НИЗП-2 сходится равномерно по на .
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.
Пример.
Исследовать на равномерную сходимость интеграл .
Для определения равномерной сходимости необходимо проверить выполнение всех условий теоремы 2.
1. определена и непрерывна в области ;
2. существует функция , , для любого ;
3. , то есть сходится.
Так как все условия выполнены, то интеграл сходится равномерно относительно на любом промежутке .
Пункт 2. Непрерывность НИЗП, предельный переход под знаком интеграла.
В этом пункте мы рассмотрим предельный переход под знаком интеграла, имеющего бесконечный предел, и непрерывность интеграла как функции параметра. Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой:
Теорема 1.
Пусть функция , определенная на прямоугольнике , удовлетворяет условиям:
1. функция по на промежутке ;
2. равномерно стремится к при по , где ;
3. интеграл сходится равномерно по на .
В результате справедливо равенство
(1)
Доказательство.
Функция будет непрерывной. По условию равномерной сходимости для любого найдется такое , что , для , но только . Переходя к пределу при под знаком интеграла, получим . Значит интегрируемая на бесконечном промежутке функция. Тогда при , имеем
.
Если взять произвольное число , зафиксировать число так, чтобы второе и третье слагаемые справа стали меньше , а затем приблизить к , чтобы первое слагаемое стало меньше . Тогда получим , что приводит к равенству (1).
Ч.т.д.
Следствие.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна по , при , и монотонно возрастая, стремится к с возрастанием . Если функция непрерывна и интегрируема на промежутке , то справедлива формула (1).
Простым следствием из теоремы 1 является теорема о непрерывности интеграла по параметру.
Теорема 2.
Пусть функция определена и непрерывна для значений и значений . Если сходится равномерно относительно на , тогда - непрерывная функция от параметра в этом промежутке.
Доказательство (аналогично теореме для собственных интегралов).
По теореме Кантора при и функция равномерно непрерывна, а значит если - это любое фиксированное из значение, то наша функция равномерно, относительно , стремится к при . Так как сходится равномерно, то по т.1 следует
,
значит интеграл - непрерывная функция.
Пункт 3. Интегрирование по параметру НИЗП
Чтобы выяснить интегрируема ли функция по параметру, необходимо рассмотреть следующую теорему.
Теорема 1.
Пусть функция определена и непрерывна, как функция от двух переменных, в множестве Если интеграл сходится равномерно по на , то справедлива формула
. (1)
Доказательство.
При любом выполняется равенство
. (2)
Так как функция непрерывна при и , по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра следует, что
(3)
Тогда из (2).
Так как сходится равномерно, то при произвольном будет . В результате этого оценим левую часть (3) по модулю:
в силу (3) . Последнее означает, что
.
Так как левая часть существует в этом равенстве, то по определению несобственных интегралов правая часть также существует, причем равная . То есть справедлива формула (1).
Ч.т.д.
Следствие.
Если непрерывная функция неотрицательная при и интеграл непрерывен по на , то имеет смысл формула (1).
Таким образом, мы установили право переставлять два интеграла, из которых один распространен на бесконечный промежуток, а другой – на конечный. Очень часто приходится переставлять интегралы, взятые в бесконечных промежутках по формуле .
Чаще всего такую перестановку сложно проделать.
Теоремы 2.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна при , , интегралы и (*) существуют и являются непрерывными функциями по переменным соответственно. Тогда, если существует один из интегралов, то существует и второй, причем они равны между собой.
Замечание.
Интегралы (*) будут заведомо интегрированы, если они равномерно сходятся по и соответственно.
Пример.
Проинтегрируем функцию .
Имеем . Все условия т. 2 п. 2 выполняются. Положим , где - любое конечное число. По теореме т. 1 п. 3
.
Следовательно, интегрируя обе части равенства по от 0 до , будем иметь
.
Но (это равенство установлено для ; оно верно и при , если в этой точке понимать его в предельной). В том случае для любого конечного примет вид:
.
Пункт 4. Дифференцирование НИЗП по параметру
Теорема 1.
Пусть функция определена и непрерывна по на промежутке , . Она имеет там непрерывную частную производную , интеграл сходится при каждом на , а сходится равномерно. Тогда справедлива формула
. (*)
Доказательство.
Так как непрерывна и сходится равномерно относительно на , то для нее, в силу т. 3 п. 3, выполняется формула (1) пункта 3. Заменим в формуле (1) и получим:
Откуда . Производная правой части последнего равенства существует и равна , значит существует производная и у левой части, причем . Это равенство установлено для , что выполняется формула (*).
Ч.т.д.