1.Мн-во операций над мн-вами
Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом.
Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, AΩB={2}) Объединением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих хотя бы одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5} AuB={1,2,3,5}Разностью С двух мн-в А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов мн-ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва целых чисел и мн-ва четных чисел явл. Мн-во нечетных чисел) Если А подмн-во В, то разность ВА н-ся дополнением А до В. Дополнением мн-ва А н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов универсального мн-ва не принадлежащих мн-ву А.
2.Мн-во вещ.чисел, основные св-ва точных граней
Наиболее употребительные числовые мн-ва: N-мн-во натуральных чисел Q-мн-во рациональных чисел R-мн-во вещественных чисел C-мн-во комплексных чисел (Cегмент: [a,b]={x|a<x≤b} Полунтервал: (a,b]={x|a<x≤b} [a,b)={x|a≤x<b} [a,+∞)={x|a≤x<∞} (-∞,a]={x|-∞<x≤a}Интервал: (a,b)={x|a<x<b} (a,+∞)={x|a<x<+∞} (-∞,a)={x|-∞<x<a} R={x|-∞<x<∞}=(-∞,+∞) ). Все эти мн-ва н-ся промежутками a,b –концами промежутков. [a,b],(a,b),[a,b),(a,b] – конечные промежутки, остальные-бесконечные!
+можно взять из 3 вопроса
3.Грани числовых мн-в, св-во граней
Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.
Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с³х(х³с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым
Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.
Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.
Точные грани числовых мн-в
Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х*
, то оно min мн-ва Х
Пример Х=[0,1) то max[0,1) не $. min [0,1)=0
Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.
Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.
Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. Чисел.
4.
Th
о сущ. т.в.г. и т.н.г.
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.
Док-во: Пусть Х непустное мн-во, ограниченное сверху. Тогда Y- мн-во чисел, ограничивающих мн-во Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого х€Х и y€Y любого выполняется нер-во х≤у. В силу св-ва непрерывности вещ.чисел существует такое с, что для любых х и у выполняется нер-во х≤с≤у. Из первого нер-ва следует, что число с ограничивает мн-во Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго нер-ва следует, что число ч явл.наименьшим из таких чисел,т.е. явл точной верхн.гранью. Теорема док-на. Аналогична теорема о т.н.г
5.Числовые последовательности, действия над ними
Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, …(1,2,3,n –внизу) наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти . Над числовыми последовательностями можно выполнять след. Арифметические операции: произведение, сумма, разность, произведением на число, частное.
6.Огранич и неогранич пос-ти
Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn£M "n (xn³m "n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.
Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А.
7. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними
Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е. ("A>0)($N=N(A))("n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б.
Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε (сколь бы малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n>N выполняется нер-во |An|< ε, т.е. ("ε>0)($N=N(ε))( "n>N):|An|< ε
Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть {1Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть. (следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.
8.Понятие сходящихся постей,
lim
пости.
Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N:½xn-a½< e
Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.
Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ. N=N(e), такой, что все Эл-ты Xn с номерами n>N находятся в этой e-окрестности.
9.Основные св-ва сход. Постей
Теорема «Об единственности пределов»
Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного)
{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.
Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»
Пусть посл-ть {xn}®а e >о N:"n>N½xn-a½<e эквивалентна а-e<xn<a+e "n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству½xn½£ c = max {½a-e½,½a+e½,½xn½,…,½xn-1½}
Теорема «Об арифметических дейсьвиях»
Пусть посл-ть {xn}®a,{yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:
а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b
б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b
в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0
Док-во: а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва.
б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn
an*b – это произведение const на б/м
а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м.
=> поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b
10. Предельный переход в нер-вах.
11. Монотонные пос-ти
Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…;
неубывающей, если x1£x2£…£xn£xn+1£…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1³x2³…³xn³xn+1³…
Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными
Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.
12. Число е
Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2,7128…
Док-ем формулу lim(n->∞)(1+1/n)^n(в степени n)=е
yN
=; zN
=yN
+
1) yN
монотонно растет
2) yN
<zN
3) zN
-yN
®0
4) zN
монотонно убывает
Доказателство:
zN
-zN+1
= yN
+ - yN+1
-= +-=
2=y1
<yN
<zN
<z1
=3
e
= Lim yN
= Lim zN
- по лемме о вложенных промежутках имеем: yN
<e
<zN
= yN
+ 1/(n*n!)
Если через qN
обозначить отношение разности e
- yN
к числу 1/(n*n!), то можно записать e
- yN
= qN
/(n*n!), заменяя yN
его развернутым выражением получаем e
= yN
+ qN
/(n*n!), qÎ(0,1)
Число e
иррационально:
Доказательство(от противного): Пусть e
=m/n, mÎZ, nÎN
m/n = e
= yN
+ qN
/(n*n!)
m*(n-1)!= yN
*n! + qN
/n, где (m*(n-1)! & yN
*n!)ÎZ, (qN
/n)ÏZ => противоречие
13.
Th
о вложенных промежутках
Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…
Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:
1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]Ì[an,bn], "n=1,2,…;
2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.
Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.
14.Понятие ф-ии, способы задания, классификация
15.Предел ф-ии в точке(Гейне,Коши,правый,левый) Предел ф-ии на бесконечности
16.
Th
о пределе ф-ии
17. Первый замечательный предел
Доказательство: докажем для справедливость неравенства
В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке
Из рисунка видно, что площадь кругового сектора
, так как х
>0, то ,
2. следовательно, что
1. Покажем, что
2. Докажем, что
3. Последнее утверждение:
18. Второй замечательный предел
lim(n®¥)(1+1/n)^n=e Док-во:
x®+¥ n x:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n
Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4)
Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥)
lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e
lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n* lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e
19.Б-м ф-ии, действия над ними
Опр
. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:
1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b.
2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.
3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0.
4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).
Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.
20. Б-б ф-ии, связь с б-м
Опр. Ф-ия y=f(x) называется бесконечно большой в точке а,
если ее предел в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim(x->a)(f(x))=∞
Свойства :Пусть y=f(x) и y=g(x) - бесконечно большие ф-ии в точке а
.
Ф-ия j
(х)
имеет предел в точке а
, отличный от 0
Ф-ия a
(х)
и b
(ч)
– бесконечно малые
Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия.
2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел - бесконечно большая.
3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот.
21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии
22.Определение непрерывности в точке, на отрезке.
Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f(x))=f(x0)
Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений аргумента Х: х1,х2,х3….,хn,…. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть значений ф-ии: f(x1), f(x2),f(x3),....,f(xn),... сходится к числу f(x0), т.е. ("{xn}->x0, xn€X):{f(xn)}->f(x0)
Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ε>0 найдется отвечающее ему положительное число δ такое что для всех х, удовлетворяющих условию |x-x0|< δ выполняется нер-во |f(x)-f(x0)|< ε
Опр4. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ▲x->0, т.е. lim(▲x->0)( ▲y)=0
23.
Th
о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии
Th Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x), f(x)g(x),f(x)g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)≠0)
Докво.Т.к. ф-ия f(x) непрерывна в точке х0, то lim(x->x0)(g(x))=g(x0). Тогда по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f(x)+g(x),f(x)g(x) b f(x)g(x) существуют и соответственно равны f(x0)±g(x0),f(x0)g(x0),f(x0)g(x0)(g(x0)≠0).Но эти величины равны соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно определению ф-ии f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)g(x) непрерывны в точке х0
24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода
Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-ии.
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.
Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.
25.
Th
об устойчивости знака непрерывной ф-ии
26.1
Th
Больцано-Коши (
th
о прохождении ф-ии через нулевое значение при смене знаков)
Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то $ т-ка сÎ(a,b),в которой ф-ия обращается в0.
Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.
Пусть f(d)¹0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)¹0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой d окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков.
27.2
Th
Больцано-Коши(
Th
о прохождении непрерывной ф-ии через любое промежуточное значение)
28.1
Th
Вейерштрасса(
Th
об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии)
Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е. $ с>0:½f(x)½£c "xÎ(a,b).
Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр.
Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0.
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки
29. 2
Th
Вейерштрасса(
Th
о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих точных граней)
Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. $ т-ка max X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x) "xÎ[a,b].
Док-во.Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=su
!0<g(x)£c g³0, на [a,b] – 1/(M-f(x))£c => 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c "xÎ[a,b]
Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C”
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки
30.
Th
о непрерывности сложной ф-ии
31.
Th
о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры)
Пусть ф-ия y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У обратная ф-ии x=φ(y) одназначна, строго монотонна и непрерывна.
32.Понятие производной
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть ▲x – приращение
аргумента в точке x0, а ▲y=f(x0+▲x)-f(x0)– соответствующее приращение функции. Составим
отношение ▲y/(поделить)▲x этих приращений и рассмотрим его предел при▲x->0. Если указанный
предел существует, то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается ,
или , то есть
.
Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая
производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в
каждой точке интервала (a,b), то она называется дифференцируемой на этом интервале.
33.Геометрический смысл производной
а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x), дифференцируемой в
точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и M(x0+▲x, y0+▲y) графика прямую l, и пусть
B(угол Бэтта) - угол ее наклона к оси х. Тогда (1)▲y/(деленный)▲x=tg B(бэтта)
Рис. 13.
Если ▲x стремится к нулю, то ▲y также стремится к нулю, и точка M приближается к точке M0, а
прямая l - к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью x угол α(альфа). При этом
равенство (1) принимает вид: (2) f ’(x0)=tgα’ откуда следует, что производная функции в точке
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
34.Понятие дифференцируемости ф-ии
Df
: Ф-ия дифференцируема в точке х0
, если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде:
, А
– const.
Dh
: Для дифференцирования ф-ии в т. х0
, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.
Доказательство: (необходимость)
(достаточность):
35.Непрерывность и диф.
36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью
dy
Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но ▲х, часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала ф-ии используют символ dy.
Из Df
дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии можно представить в виде
Из равенства нулю предела следует, что - б.м. более высшего порядка малости, чем , и
Поскольку - б.м. одного порядка малости.
- б.м. одного порядка малости - б.м. эквивылентные, т.е.
Пусть
**************
Zm
1:
и х
– независимые переменные, т.е.
Zm1:
для независимых переменных.
37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн
1) ;
2) , где - постоянная;
3) ;
4) ;
5) если , а , то производная сложной функции находится по формуле
,
где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.
38.Вычислен производных элемент.ф-ий:
x
^
n
,
n
Є
N
,
cos
,
sin
,
tg
,
ctg
,
loga
(основание)Х(а>0,
a
≠1,
x
>0)
39.
Th
о произв сложной ф-ии
Пусть:
1. - дифф. в точке y0
.
2. - дифф. в точке х0
.
3.
тогда сложная ф-ия - дифф. в точке х0
и справедлива формула:
Доказательство:
1. - дифф. в точке y0
2. - дифф. в точке х0
3. - дифф. в точке х0
а значит непрерывна в этой точке.
40.Производная ф-ий
x
^
α
,
α
Є
R
(прием логарифм. Диф)
41.
Th
о производной обратной ф-ии
Предложение:
Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0
, то g’(y0
)=1/f’(x0
), где y0
=f(x0
)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0
))=g’(f(x0
))*f’(x0
)=1, g’(f(x0
))=g(y0
)=1/f’(x0
)
Теорема:
Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0
Î(a,b) и f’(x0
)¹0, то g диф-ма в точке y0
=f(x0
) и g’(y0
)=1/f’(x0
)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0
: yN
®y0
, yN
¹y0
=> $ посл-ть xN
: xN
=g(yN
), f(xN
)=yN
g(yN
)-g(y0
)/yN
-yO
= xN
-xO
/f(yN
)-f(yO
) = 1/f(yN
)-f(yO
)/xN
-xO
® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN
®xO
g(yN
)-g(yO
)/yN
-yO
®1/f’(xO
) => g’(уO
)=1/f’(xO
)
42.
Произв
ф
-
ии
: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a≠1)
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2
y)1/2
= 1/(1-x2
)1/2
2) x®Arccos’x = -1/(1-x2
)1/2
3) x®Arctg’x = 1/1+x2
4) x®Arcctg’x= -1/1+x2
5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x является обратной для ф-ии x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения loga(a-OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в степени х)lna
43.Производная высших порядков
Определение:
Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO
, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO
или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO
и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN
(xO
) - производную порядка n функции f в точке xO
и при n=0 считаем f0
(xO
)=f(xO
).
Замечание:
Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO
(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®fN-1
(x) непрерывна в точке xO
, а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO
.
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t).
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t)
+нужно док-во
44.Диференциалы высших порядков
dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.
Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=
f
(х)
называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dn
y
)По определению dn
y
=
d
(
dn
-1
y
).
Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dn
y
=
f
(
n
)
(х)
dxn
,
в предположении, что n-ая производная f
(
n
)
(х)
сущ-ет.
+нужно док-во
45.Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и убыван ф-ии в точке
46.Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума
Опр-ие: Функция у=
f
(х)
имеет в точке x
0
локальный максимум
, если сущ-ет окрестность (х0
-
d
, х0
+
d
),
для всех точек х которой выполняется неравенство f
(х)
£
f
(х0
).
Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f
(х)
³
f
(х0
).
Теорема Ферма
: Если функция у=f(х) имеет в точке х0
локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f
'(х0
)
равна нулю.
Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0
.
Пусть (х0
-
d
, х0
+
d
)
- та окрестность, для точек которой выполняется неравенство
Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ
При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому
При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому
По условию теоремы, существует производная f
'(х0
)
А это означает, что правая производная f
пр
'(х0
)
и левая производная f
л
'(х0
)
равны между собой: f
пр
'(х0
)=
f
л
'(х0
)=
f
'(х0
).
Таким образом, с одной стороны, f
'(х0
)≤0,
с другой стороны, f
'(х0
)≥0,
что возможно лишь, когда f
'(х0
)=0.
47.
Th
Роля
Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) $ т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.
Док-во
. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x Î (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f¹ const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.
48.
Th
Логранжа (формула конечн.приращен)
Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда " т. х и x+Dx Î [a,b] $ т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены.
Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.
(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)
Док-во
сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) g(a)=g(b)=0
Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.
49.
Th
Коши(обобщенная формула конечн.приращен)
Теорема Коши:
Пусть функции у=
f
(х) и у=
g
(х)
неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g'(х)
не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î (a,b), что выполняется равенство (1)
Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g
(
b
)-
g
(
a
) ≠ 0
,т.к. из равенства g
(
b
)=
g
(
a
)
следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х)
обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g'(х)≠0
. Образуем вспомогательную функцию:
К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c Î (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:
Подставляем x=c:
После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы приходим к формуле (1)
50.Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии)
51.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры)
Раскрытие 0/0
. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный.
Раскрытие
¥
/
¥
.
Второе правило.
Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.
Неопред-ти вида 0
¥
,
¥
-
¥
, 0
^0, 1^
¥
,
¥
^0
.
Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0
52.Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума)
53.Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке.
Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной окрестности f’(x)>0 слева от точки с и f’(x)<0 справа от точки с,то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум.Если f’(x)<0 слева от точки с и f’(x)>0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный минимум.
Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.
(док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное условие локального экстремума)
54.Два достаточных условия экстремума.
55.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки)
Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.
y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)³f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) " x,x0Î(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой.
56.Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки)
Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум.
Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны.
57.Достаточное усл. Точек перегиба
58.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты.
В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами.
.Вертикальные асимптоты – прямая называется вертикальной асимптотой графика ф-ии в точке b
, если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности.
Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю.
********************
Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде
Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:
Для существования наклонной асимптоты к графику ф-ии необходимо и достаточно существование конечных пределов:
Доказательство: Пусть:
Пусть:
Следовательно существует асимптота.