МОУ СОШ «УК №20»
Иррациональные
уравнения и неравенства
реферат по алгебре
ученика 11 «В» класса
Торосяна Левона
Руководитель:
Олейникова Р. М.
Сочи 2002г.
Содержание.
I. Введение
II. Основные правила
III. Иррациональные уравнения:
· Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
· Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
· Решение сложных иррациональных уравнений.
IV. Иррациональные неравенства:
· Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
· Решение нестандартных иррациональных неравенств.
· Решение иррациональных неравенств смешанного вида.
V. Вывод
VI. Список литературы
I
.
Введение
Я, Торосян Левон, ученик 11 «В» класса, выполнил реферат по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».
Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.
Я самостоятельно изучил правила решения иррациональных уравнений и неравенств.
В реферате показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.
II
. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:
Решение иррациональных уравнений стандартного вида:
а) Решить уравнение = x – 2,
Решение.
= x – 2,
2x – 1 = x2
– 4x + 4, Проверка:
x2
– 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,
x1
= 5, 3 = 3
x2
= 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,
Ответ: 5 пост. к. 1 -1.
б) Решить уравнение = х + 4,
Решение.
= х + 4,
Ответ: -1
в) Решить уравнение х – 1 =
Решение.
х – 1 =
х3
– 3х2
+ 3х – 1 = х2
– х – 1,
х3
– 4х2
+ 4х = 0,
х(х2
– 4х + 4) = 0,
х = 0 или х2
– 4х + 4 = 0,
(х – 2)2
= 0,
х = 2
Ответ: 0; 2.
г) Решить уравнение х – + 4 = 0,
Решение.
х – + 4 = 0,
х + 4 = , Проверка:
х2
+ 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 – + 4 = 0,
х2
– 17х + 66 = 0, 0 = 0
х1
= 11, х = 6, 6 – + 4 = 0,
х2
= 6. 0 = 0.
Ответ: 6; 11.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
· Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение =
Решение.
= , – +
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
или
Ответ:
б) Решить уравнение
Решение.
,– +
x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
или
Ответ: .
· Иррациональные показательные уравнения:
а) Решить уравнение
Решение.
ОДЗ:
Пусть = t, t > 0
Сделаем обратную замену:
= 1/49, или = 7,
= ,
– (ур-ние не имеет решений) x = 3.
Ответ: 3
б) Решить уравнение
Решение.
Приведем все степени к одному основанию 2:
данное уравнение равносильно уравнению:
Ответ: 0,7
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить уравнение
Решение.
возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2
2x – 2 = 2
x –1 =
x Проверка:
xx = 3,
4x 1 = 1.
x = 1,75Ответ: 3.
· Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:
Решить уравнение
Решение.
возведем обе части уравнения в куб
но , значит:
возведем обе части уравнения в куб
(25 + x)(3 – x) = 27,
Ответ: –24; 2.
· Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:
а) Решить уравнение
Решение.
Пусть = t, тогда = , где t > 0
t –
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части в квадрат
Проверка:x = 2,5
Ответ: 2,5.
б) Решить уравнение
Решение.
Пусть = t, значит = , где t > 0
t+ t – 6 = 0,
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x + 8 = 16, Проверка:
x = 8, x = 2,
x = 2. 6 = 6
Ответ: 2.
в) Решить уравнение
Решение.
Пусть = t, где t > 0
Сделаем обратную замену:
= 2, возведем обе части уравнения в квадрат
Проверка:
,
Ответ: –5; 2.
Решение сложных
иррациональных уравнений:
· Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:
Решить уравнение
Решение.
возведем обе части уравнения в куб
возведем обе части уравнения в квадрат
Пусть = t
t 2
–
11t
+
10 = 0,
Сделаем обратную замену: Проверка:
= 10,или = 1, x = ,
x = -пост. корень 0
Ответ: 1. x = 1,
1 = 1
· Иррациональные логарифмические уравнения:
а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg
Решение.
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,
lg(3 = lg,
Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:
Ответ: 32,75
б) Решить уравнение
Решение.
Ответ: ; – 2; 3.
IV
. Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).
Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств:
Иррациональное неравенство вида равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:
и
Решение иррациональных неравенств стандартного вида:
а) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
+ – +
Ответ: [1; 2).1 3 x
б) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:
Ответ:
в) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: нет решений
Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:
а) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
б) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
· Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:
а) Решить неравенство
Решение.
Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
б) Решить неравенство (2x – 5)
Решение.
(2x – 5)
Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
·Решение иррациональных неравенств способом группировки:
Решить неравенство
Решение.
,
сгруппируем по два слагаемых
вынесем общий множитель за скобку
учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ: ( 0; 1 )
· Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:
Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
·Решение иррациональных неравенств заменой:
Решить неравенство
Решение.
Пусть = t, тогда = , t
> 0
Сделаем обратную замену:
возведем в квадрат обе части неравенства
Ответ:
Решение иррациональных неравенств смешанного вида:
· Иррациональные показательные неравенства:
а) Решить неравенство
Решение.
,
т.к. y = 0,8t
, то
0,5x(x – 3) < 2,
0,5x2
– 1,5x – 2 < 0,
x2
– 3x – 4 < 0,
f(x) = x2
– 3x – 4,
ОДЗ
,+ – +
Нули функции: x1
= 4; x2
= – 1. –1 4
x
Ответ: х
б) Решить неравенство 4– 2 < 2– 32
Решение.
4– 2 < 2– 32, ОДЗ:
x
> 0
2– 2 2 < 2 24
– 25
, выполним группировку слагаемых
2(2– 2) – 24
(2–2) < 0,
(2– 2) (2– 24
) < 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:
или
т.к. y = 2t
, то т.к. y = 2t
, то
Ответ: х
·Решение иррациональных логарифмических неравенств:
Решить неравенство
Решение.
уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств
Ответ:
V
.
Вывод
Реферат помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.
Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам технических вузов.
VI.
Список литературы
1) Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова
2) 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
3) Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
4) Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави
5) Справочный материал