Министерство образования Российской Федерации
Башкирский государственный педагогический университет
Кафедра математического анализа
Дипломная квалификационная работа
Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.
К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г. Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.
Уфа 2001
Содержание
Стр.
Введение 3
§
1
Свойства функции . 4
§ 2
Свойства функции и ее производных. 5
2.1
5
2.2
6
2.3
где a>0 7
2.4
9
§ 3 Поведение
11
3.1
11
3.2
11
3.3
12
3.4
13
§ 4 Поведение
14
4.1
14
4.2
15
4.3
15
4.4
16
Заключение 17
Литература 18
Введение
Пусть произвольная функция, определенная на , и при
Введем в рассмотрение функцию с помощью следующего равенства:
(1)
Назовем эту функцию усреднением функции
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить
§
2
Свойства функции
.
1. Если , при , то при Доказательство: , , " N >0, :
2. (2)
3. (3)
Дифференцируя формулу (1) по dx
получаем
(4)
(5)
§ 2 Свойства функции и ее производных.
I) Рассмотрим вид функции для случаев когда :
2.1
2.
2
2
.3
где a>0;
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при функция стремится к 0.
Доказательство:
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
Рассматривая первый интеграл, получаем:
Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x
эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при
Следовательно:
2.4.
Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведение функции.
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как только . Ограничение №1
В тоже время
Становится бесконечно малым как только . Ограничение №2
Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
должен быть очень малым при то есть
так как ограниченная функция, к 0 должен стремится .
Ограничение №3
Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:
Следовательно, ограничение на удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции .
§ 3 Рассмотрим поведение функции
для случаев:
3.1)
3.
2)
3.3)
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
=
=
рассматривая пределы при видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член
Поведение данной функции при эквивалентно поведению функции
(*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
=
(**)
Учитывая (*)и (**) получаем
Следовательно, по формуле (2) получаем
3.4
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:
Вычислим знаменатель:
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при
Следовательно, знаменатель:
§4. Рассмотрим поведение второй производной
Для облегчения вычислений введем обозначения:
При этом формула для примет вид (6)
4.1
Виду того, что d(
x)
очень мал то будет несравним с d(
x)
т.е.
4.2
используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует что
4.3
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
Вычисляя по формуле 6, получаем:
и
4.4
и
Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Название реферата: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
| Слов: | 1025 |
| Символов: | 10998 |
| Размер: | 21.48 Кб. |