1.
2.
Предел функции:
Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.
Limf(x) =A
x
->
x
0
2
. Теоремы о пределах:
· Limc=c,где с-это число
· Lim(f(x)+-g(x))=lim f(x)+-lim g(x)
· Lim(f(x)*g(x))=lim f(x)*lim g(x)
· Lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x),где g(x)<>0
· Lim(c*f(x))=c*limf(x)
·
Lim(f(x)g(x)
)=(lim f(x))lim g(x)
·
Lim(f(g(x)))=f(lim g(x))
3
.Методы нахождения пределов:
· непосредственное вычисление пределов (вместо ч подставляем ч0 и считаем что получится)
· раскрытие неопределенностей вида 0/0 (числитель и знаменатель раскладывается на множители а затем сокращают дробь)
· раскрытие неопределенностей вида ∞/∞ (числитель и знаменатель делим на x в старшей степени)
· применение замечательных пределов. Limsinx/x=1- первый зам. Предел
lim(1+x)1/
x
=e; lim(1+1/x)x
=e – 2-ой зам.предел
· применение эквивалентных бесконечно малых ф-ий
sinx ~x
tgx~x
arcsinx~x
arctgx~x X - > 0
ln(1+x) ~x
ex
-1~x
ax
-1~x*lna
4.
Замечательный пределы:
Limsinx/x=1 -первый зам. Предел
lim(1+x)1/
x
=e; lim(1+1/x)x
=e - 2 зам. Предел
5. эквивалентные бесконечно малые ф-ии
sinx ~x
tgx~x
arcsinx~x
arctgx~x X - > 0
ln(1+x) ~x
ex
-1~x
ax
-1~x*lna
6.Ф-ия
f
(
x
) называется непрерывной в точке
x
0
если
1)ф-ия определена в точке x0
2) существует предел ф-ии f(x) в точке x0
3)этот предел равен значению ф-ии в точке x0
Ф-ия f(x) называется непрерывной на промежутке
если она непрерывна в каждой точке этого прмежутка.
7. Условия непрерывности ф-ии в точке
1)ф-ия определена в точке x0
2) существует предел ф-ии f(x) в точке x0
3)этот предел равен значению ф-ии в точке x0
9. Точки разрыва:
Если хотябы одно из 3 условий непрерывности ф-ии в точке не выполняются, то ф-ия называется разрывной в точке x0, а сама точка x0 называется точкой разрыва
Типы точек разрыва:
1)если ф-ия f(x) имеет предел в точке ч0 неравный значению ф-ии в точке, то x0-называется точкой устранимого разрыва. Limf(x) <>f(x0)
x
- >
x
0
2) если сущ-ют односторонние пределы ф-ии f(x) в точке x0, но они различные, то точка x0 называется точкой разрыва первого рода limf(x)<>limf(x)
x
→
x
0-0
x
→
x
0+0
3)если хотябы один из односторонних пределов ф-ий f(x) в точке x0 равен бесконечности то точку x0 называют точкой разрыва 2 рода.
Limf(x)= ∞ или limf(x)= ∞
x
→
x
0-0
x
→
x
0+0
11.
Производная
– предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к 0.
Правила дифференцирования:
(cf(x))’=c*f’(x);
(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)
(f(x)-g(x))’=f’(x)-g’(x)
(f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+g’(x)+f(x)
(F(x)/g(x))’= f’(x)*g(x)-g’(x)+f(x)/g2(x)
(F(g(x)))’=f’(g)*g(x)
12. Таблица производных:
(с)’=0
(xα
)’ = α×xα-1
(√x)’=1/2√x
(x)’=1
(1/x)’=-1/x2
(ax
)’ = ax
× ln a
(ex
)’= ex
(lnx)’=1/x
(loga
x )’= 1/(x×ln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cos² x
(ctg x)’ = - 1/sin²x
(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²)
(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²)
(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)
(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²)
13.
Вторая производная
– производная от первой производной.
14.Дифференциал
dy ф-ии y=f(x) называется произведения производной этой ф-ии на приращение независимого аргумента x. Dy=f’(x)*∆x
Дифференциалом аргумента
называется приращение этого аргумента.
15.для приближенных вычислений дифференциалом используется формула:
f(x0+∆x)≈f(x0)+f’(x0) *∆x
16 Нахождение монотонности:
1) найти 1 производ.
2)найти критическую точку 1 рода-это внутрен точки d(y) d кот. Первая произ равна 0 или не сущ
3) разбиваем D(y) критич точками 1 пода на промежутке моннотоности.Находим знак первой производ на каждом промежутке, если y’>0,то ф-ия возрастает,если y’<0 , то ф-ия убывает
4)если при переходе через точку ч0 – производ сменила знак с+ на- то x0 точка максимума,если с- на + то x0 точка мин.
17.экстемумы
- это значения в точках мин и макс.
18.Выпуклось:
Кривая наз. выпуклой вверх в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже касательной, проведённой в этой точке.
Вогнутость:
Кривая наз. вогнутой вниз в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена выше касательной, проведённой в этой точке.
Алгоритм нахождения промежутков выпуклости:
· найти вторую производную
· найти критические точки 2-го рода(внутренние точки области определения, в которых 2-ая производная равна 0 или не сущ.)
· разбиваем область определения критическими точками 2-го рода на промежутки выпуклости
· находим знак 2-ой производной на каждом промежутке, если y’’>0, то график ф-ии вверх, если y’’<0, то график ф-ии вниз.
· Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба
· Найти значение ф-ии в точке прегиба
19.Точки прегиба
Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба
2021. асимптоты:
Если точка (y;x) непрерывно перемещается по кривой так, что хотя бы одна координата точки стремится к бесконечности и при этом расстояние от точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая наз.асимптотой.
Виды асимптот:
· Вертикальная асим., находят лишь тогда, когда есть точки разрыва области определения.
Limf(x)= ∞, где a-точка разрыва D(y)
x
- >
a
· Горизонтальная асим.
Limf(x)= b, где b-число,b<>∞
x
- > ∞
· Наклонная асим
y=kx+b
k=lim f(x)/x, где k-число,k<>∞, k<>0,
x - > ∞
b=lim(P(x)-kx, где b-число,b<>∞
x
- > ∞
22.
Схема исследования ф-ии:
1)D(y),ф-ия дробная, то знаменатель <>0
2) четность
· D(y) симметрично относительно 0
Y(-x)=y(x) => ф-ия четная
Y(-x)=-y(x) => ф-ия нечетная или ф-ия общего вида
3)пресечение с осями координат
· С осью ОХ:y=0
· С осью OY:х=0
4)асимптоты
5)монотонность
6)выпуклость точки перегиба
7)график(пробный точки)
8)E(x)
23. первообразная
– на промежутке, если для всех x этого промежутка выполняется равенство f’(x)=f(x).
Основное св-во: ф-ия имеет бесконечно много первообразной, которые отличаются друг от друга на постоянную c.
24.Интеграл
– множество всех первообразных на промежутке.
Св-ва:
1)(∫f(x)*d(x))’=f(x)
2)∫c*f(x)*dx=c∫f(x)dx
3)∫(f(x)+-g(x)dx=∫f(x)dx-+∫g(x)dx
25. Таблица интегрлов:
ò xn dx = xn+1/(n+1) + c
ò ax dx = ax/ln a + c
ò ex dx = ex + c
ò cos x dx = sin x + cos
ò sin x dx = - cos x + c
ò 1/x dx = ln|x| + c
ò 1/cos² x = tg x + c
ò 1/sin² x = - ctg x + c
ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c
ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c
ò 1/1+ x² dx = arctg x + c
ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c
26
.Методы нахождения неопределенных интегралов:
1)непосред. Интегрирования – при котором интегралы сводятся к табличным путем первообразной, применения к ним основных св-в интеграла.
2)подстановки – некоторое выражение заменяется новой переменной для того чтобы интеграл относительно новой переменной стал табличным. В результате необходимо вернуться к первоначальным переменным.
3)интегрирование по частям:
Формула: òu*dυ=uυ-òυ*du
· В интегралах вида:
òP(x)*eax
*dx
òP(x)*cosax*dx
òP(x)*sinaxdx, где P(x)-многочлен от x,a-любое число
Полагают:
u=P(x)
dυ=всё остальное
· В интегралах вида:
òP(x)* ln(ax)dx
òP(x)*arcsin(ax)dx
òP(x)*arcos(ax)dx
òP(x)*arctg(ax)dx
òP(x)*arcctg(ax)dx
Полагают:
dυ= P(x) dx
u- всё остальное
· В интегралах вида:
ò eax
*cosbx dx
ò eax
*sinbx dx
Полагают:
u- eax
dυ=всё остальное
27.формула Ньютона-Лейбница
- эта формула применяется для точного вычесления опред. интеграла: òf(x)dx=F(x)│=F(b)-F(a)
28.
Методы вычисления определённого интеграла:
· Табличное интегрирование
· Метод подстановки: в результате возвращаться к первоначальной переменной не нужно потому что перечисляются новые пределы интегрирования
· По частям
29. метод прямоугольников для приближённого вычисления интегралов
:
· òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*(y0
+y1
…yn-1
)
· |δn
|=< M1
*(b-a)2
/2n.,где M1
-макс|f’(x)|
30.Метод трапеций:
· òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*( y0
+2y1
+2y2
…2yn-1
+ yn)
· |δn
|=<M2
*(b-a)3
/12n2
. где M1
-макс|f’(x)|
31.Применение опред. Интегралов в физике:
· Нахождение пути при прямолинейном движении:
S=òV(t)*dt, где V(t) – закон изменения скорости, t ε[a;b]
· Вычисление работы, силы, произведённой при прямолинейном движении тела
A=òF(x)dx, где F(x) – закон изменения силы, a и b – крайние положения тела.
32.Применение определенных интегралов в геометрии:
· Площадь криволинейной трапеции:
S=òF(x)*dx
· S фигуры ограниченной двумя непрерывными кривыми y=f(x) y=g(x) и прямыми x=ax=b:
S=ò(f(x)-g(x))dx
· Длина дуги плоской кривой:
L= òÖ1+(f’(x)2
dx, где y=f(x) – уравнение кривой x ε[a;b]