Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.
1. Линейная функция.
Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом, а число -- свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси .
Рис.1.8.График линейной функции -- прямая
2. Квадратичная функция.
Это функция вида ().
Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .
Рис.1.9.Парабола ()
В общем случае вершина лежит в точке . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз.
Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке ()
3. Степенная функция.
Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:
а). Если , то . Тогда , ; если число -- чётное, то и функция -- чётная (то есть при всех ); если число -- нечётное, то и функция -- нечётная (то есть при всех ).
Рис.1.11.График степенной функции при
б). Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если -- чётное число, то и -- чётная функция; если -- нечётное число, то и -- нечётная функция.
Рис.1.12.График степенной функции при
Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).
в). Если -- не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .
Рис.1.13.График степенной функции при
При , по определению, ; тогда .
Рис.1.14.График степенной функции при
4. Многочлен.
Это функция вида , где , . Число называется степенью многочлена. При и многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При и ( ) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае ; при чётном значении степени характерный вид графика таков:
Рис.1.15.График многочлена чётной степени при
или таков:
Рис.1.16.График многочлена чётной степени при
а при нечётном значении степени -- таков:
Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при
или таков:
Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при
5. Показательная функция (экспонента).
Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:
Рис.1.19.График показательной функции при
При вид графика такой:
Рис.1.20.График показательной функции при
Число называется основанием показательной функции.
6. Логарифмическая функция.
Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:
Рис.1.21.График логарифмической функции при
При график получается такой:
Рис.1.22.График логарифмической функции при
Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.
7. Фу
. Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:
Рис.1.23.График функции
8. Функция косинус:
. Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график таков:
Рис.1.24.График функции
9. Функция тангенс:
(в англоязычной литературе обозначается также ). По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
Рис.1.25.График функции
10. Функция котангенс:
(в англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.
Рис.1.26.График функции
11. Абсолютная величина (модуль):
, . Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки до точки 0:
Функция чётная, её график такой:
Рис.1.27.График функции
12. Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям
синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.
13. Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве.
На координатной плоскости расстояние от точки до точки определяется по формуле (по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию
Эта функция имеет область значений
График её ограничения на круг построен в примере 1.8.
Аналогично, расстояние в пространстве от точки до точки определяется по формуле и задаёт функцию
Эта функция имеет ту же область значений
что и в двумерном случае.
14. Арифметическая прогрессия.
Функция , задаваемая формулой
где , -- фиксированные числа, а , называется арифметической прогрессией. Число называется при этом первым членом прогрессии, а число -- разностью прогрессии. Функцию можно представить как ограничение на множество натуральных чисел линейной функции с угловым коэффициентом и свободным членом . Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным
способом:
при
Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием .
Рис.1.28.График арифметической прогрессии
15. Геометрическая прогрессия.
Функция , задаваемая формулой
где , -- фиксированные числа, а , называется геометрической прогрессией. Число называется при этом первым членом прогрессии, а число -- знаменателем прогрессии. Функцию (при , ) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел показательной функции с основанием , умноженной на постоянный коэффициент , то есть функции
Рис.1.29.График геометрической прогрессии
Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом
:
при