Реферат на тему:
Математичне моделювання
та диференціальні рівняння.
1.1. Поняття математичного моделювання.
Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом пибудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба пам’ятати, що в останньому випадку,як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних комплексів.
Схема таких досліджень починається з постановки задачі і щакінчується проведенням ефективного обчислювального експеременту. Її умови можна записати в такй формі:
а) постановка задачі;
б) побудова математичної моделі;
в) перевірка її адекватності;
г) узагальення та теоретичне дослідження данного класу задач;
д) створення програмного забезпечення;
е) проведення обчислювального експеременту;
ж) впровадження цих результатів в виробнитство.
Розглянемо питання використання диіеренціальних рівнянь в деяких предметних областях.
1.2. Диференціальні рівняння в екології.
Екологія вивчаеє взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним об’єктом дослідження в екології являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).
Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.
Нехай – кількісний стан популяції в момент
, – число, яке відповідає кількості народжених, – умираючих в одиницю часу. Тоді запис зміни координати задається формулою:
(1.1)
В (1.1) і можуть залежити від . Наприклад:
(1.2)
Де – коефіцієнт народжуваності, – смертності. Маємо з (1.2)
(1.3)
Розв’язок диференціального рівняння запишемо в вигляді
З розв’язку (1.4) видно, що при популяція вижчваюча, а при
– вмираюча.
(1.4)
Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне
(1.5)
Це рівняння Беруллі при і його розв’язок запишеться в такому вигляді
(1.6)
З формули (1.6) видно, що при .
При цьому можливі випадки
, та
Рівняння (1.5) описує.
Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.
Розглянемо більш детально двух видову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.
Нехай –число великих риб-хижаків, – число малих риб-жертв в момент часу , тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменьшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель має вигляд
(1.7)
де – додатні константи.
В (1.7) доданок виражає залежність прирісту великих риб від числа малих, – зменьшення числа малих риб від великих.
1.3. Закони Кеплера руху планет.
Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходятся на віддалі друг від друга і які мають маси
і притягаються з силою
(1.8)
де - константа тяжіння.
Опишемо рух планети з масою навколо Сонця маси . Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1).
Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення в момент часу . Використавши другий закон Ньютона маємо:
(1.9)
Враховуючи, що
Позначимо , прийдемо до системи
(1.10)
Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:
при (1.11)
Перейдемо до полярних координат:
Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати
Помножимо перше рівняння на ,друге на
і складемо:
(1.12)
Домножимо перше рівняння на ,друге на
і складемо:
(1.13)
Перепишемо в нових змінних умови (1.11):
Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді
(1.14)
(1.15)
Звідки маємо
(1.6)
Константа має цікаву гнометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора обчислюється за формулою
Звідки
(1.17)
,або
Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі.
1-ій закон Кеплера
: кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.
Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’зок має еліпсоідальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:
2-ій закон Кеплера
: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.
З аналізу траєкторій випливає таке твердження:
3-ій закон Кеплера
: квадрати пе
1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях.
Пропит і пропозиція – економічній категорії товарного виробництва. Пропит
– представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція
– продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього.
Нехай – ціна, наприклад, на фрукти, – тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними. Часто попит і пропозиція задаються лінійними
(1.17)
залежностями. Наприклад:
Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:
Звідки
(1.8)
Припустимо, що в момент 1кг фруктів коштував 1крб. Тоді ,
, отже
(1.19)
Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.
1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнитних поясах.
Швидкість зміни імпульсу частинки
дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї
(1.20)
де – зарядове число, – заряд частинки, – вектор напруженності прискорюючого поля, – вектор магнітної індукції,
– вектор швидкості частинки.
де – маса спокою, -приведена енергія частинки.
- векторний добуток двох змінних.
З (1.20) маємо:
(1.21)
Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил).
Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:
(1.22)
Визначимо
тобто
так як , то визначимо:
Тому
(1.23)
Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.
Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела:
(1.24)
Тут – електрична і магнітна сталі, – об’ємна густина заряду, – вектор густини струму, -
знак транспонування.
А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем.
1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях.
Біологія
.Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу . Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцієн площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і верікаллю листка. Маємо модель:
де (1.25)
– const,
,
– коефіцієнт пропорційності; розв’язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:
(1.26)
Математика
. Обчислити невласний інтеграл
(1.27)
залежний від параметра .
Знайдемо похідну:
Отримали диференціальне рівняння
(1.28)
При цьому відомо:
(1.29)
Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:
(1.30)
1.7. Побудова диференціальнихрівнянь з заданими параметричними сімействами кривих.
Припустимо, шо задано однопараметричне сімейство кривих:
(1.31)
Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x
запишемо:
(1.32)
Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.
Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих:
(1.33)
то до (1.33) додаються дані співвідношення:
(1.34)
з(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких , вилучаються сталі і отримане таким чином співвідношення між
(1.35)
і буде шуканим диференціальним рівняння -го порядку.
В (1.32) та (1.34) означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.
Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.
Приклад 1.1.
Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками якого буде однопараметричне сімейство
(1.36)
Розв
’
язання
.
Продиференйіюємо за праву частину нашого співвідношення в припущенні, що .
(1.37)
Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:
(1.38)
З (1.38) знаходимо
і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння
(1.39)
Приклад 1.2.
Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками якого буде двопараметричне сімейство
(1.40)
Розв
’
язання
. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:
(1.41)
З якої вилучивши і знаходимо шукане диференціальне рівняння:
(1.42).