Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы

1 ˝ ºŁ Ø ß Ł

— ææ	Ł	æ	ı	Ł	ŁØ	Ø x = x ∗ ,	º
Œ	ßı æ	ºŁ	æ
				f (x ) = 0.			(1)

´ ŁŁŁ f
(x
) - Œ ºŁ Ø Œ Ł x
.

¯æºŁ ŒŁ Ł æ ø æ , Ł ß æ Œ Ł -

Ł (1). ˚ ß æ æ ß , æºŁ f
0
(x
∗
) 6= 0 Ł Œ ß , æºŁ f
(k
)
(x
∗
) = 0 º k
= 1,...,n
− 1, f
(n
)
(x
∗
) 6= 0. º n
ß æ Œ æ Œ .

1.1 ˛ º Ł Œ Ø

ˇ º Ł Œ Ø Ł (1) Ł º Ł æ -

Œ ª Ł º (a,b
), Œ º Ł Œ Ł . ˛æ Ø º Ł Œ Ø æº Ł

[1]
. ˇ æ Œ Ł º Ł ß Œ -

Π[a,b
], Œ ı Œ ª Ł Ł Ł ßı Œ .

ª a
Ł b
Ø æ ı Æß Œ c
, Œ Ø Œ Ł Æ ø æ º :

f
(c
) = 0, a < c < b.

¯æºŁ Œ Ł f
(x
) Ł º , Ł ª º Ł

º Œ Ł Œ Ł f
(x
) = 0 .

ºª Ł º Ł ºŁ æº øŁ Æ

YesDo:=True; While YesDo do

Input a,b, M
; h
= (b
− a
)/M
; fmin
:= 1.
0e
20; xi
:= a
; fi
:= f
(a
); for i:=1 to M do begin {i
}

x
i
−1 := x
i
; f
i
−1 := f
i
; xi
:= a
+ h
∗ i
; fi
:= f
(xi
); If fi
< fmin
Then begin {min
}

f
min
:= f
i
; x
min
:= x
i
; end; {min
} If fi
−1
∗ fi
≤ 0 Then

Output x
i
−1,f
i
−1, x
i
,f
i
; end; {i
}

Output f
min
,x
min
; Input YesDo; end; {While
}

1.2 ÆŁæ Œ ŁØ ÆŁæ Œ ŁØ( º Ł º ) æ æº ø Ł -

Ł ææ : Ł º a,b
, Π(fa
= f
(a
)) · (fb
= f
(b
)) <
0,

ºŁ æ º - xs
= (a
+b
)/
2 Ł ß Łæº æ fs
= f
(xs
). ¯æºŁ fs
·f
(a
) ≥ 0, a
:= xs
, fa
:= fs
, Ł b
:= xs
, fb
:= fs
; ˜ º ß º æ æº øŁØ ł ª, Ł . .

˝ i- ł ª ŁÆºŁ ß Ł Œ æº Ł º æ (a
+b
)/
2,

Œ Ø ª ł æ Ł - º æ (b
− a
)/
2.

ÆŁæ Œ ŁØ Łæ æº øŁ ºª Ł [2]

1: Input a,b, δ,N
;

2: i
:= 0;

3: fa
:= f
(a
); fb
:= f
(b
);

4: Repeat

5: xs
:= (a
+ b
)/
2; fs
:= f
(xs
);;

6: If fs
∗ fa
≥ 0

7: Then begin fa
:= fs
; a
:= xs
end;

8: Else begin fb
:= fs
; b
:= xs
end;

9: i
:= i
+ 1;

10: xi
:= (a
+ b
)/
2;

11: dx
:= (b
− a
)/
2;

12: Until ((|dx
| ≤ δ
|xi
|) OR (i
≥ N
));

13: Output i,xi
,dx
;

1.3 ı

´ ı æ º Ł Œ (a,b
) º Łæ º æ ºŁØ Ł º Ł ª Ł ßı ŁØ Œ ŁŁ f
(x
)

f
ˆ(t
) = f
(a
)(1 − t
) + f
(b
)t,
0 ≤ t
= (x
− a
)/
(b
− a
) ≤ 1.

º ø Œ º Œ ı Ł æ Ł Ł f
ˆ
(t
) = 0:

t
∗
= f
(a
)/
(f
(a
) − f
(b
)), xs
= a
+ t
∗
(b
− a
);

˜ º Łæı Ł æ Łª ª Ł Ł º Œ , Œ Œ ÆŁæ Œ ŁØ. ı Łæ æº øŁ ºª Ł

1: Input a,b, δ,N
;

2: fa
:= f
(a
); fb
:= f
(b
);

3: i
:= 0;

4: fa
:= f
(a
); fb
:= f
(b
);

5: Repeat

6: y
:= x
2 − x
1;

7: t
:= fa/
(fa
− fb
); xs
:= a
+ y
∗ t

8: fs
:= f
(xs
);;

9: If fs
∗ fa
≥ 0

10: Then begin fa
:= fs
; a
:= xs
end;

11: Else begin fb
:= fs
; b
:= xs
end;

12: i
:= i
+ 1;

13: xi
:= (a
+ b
)/
2;

14: dx
:= (b
− a
)/
2;

15: Until ((|dx
| ≤ δ
|xi
|) OR (i
≥ N
));

16: Output i,xi
,dx
;

ÆŁæ Œ ŁØ Ł

ı

º

Łæ

º

ª

æº

!

1.4 æ º Ł

¨ ª æ æ Ł ı ºŁ Ø ª Ł (1) Œ

Æߌ Ł Ł º Ł

dx/dt
= f
(x
), x
(0) = x
0
.
(2)

Ł º ƺ æ Ø Ł ß º ß æ Ł ß æ æ Ł , Æß Ł t
→ ∞ x
(t
) → x
∗
. ª ŁÆºŁ ł Ł

ŁŁ (2) æ ø æ Ø Ł ª Łæº ª ( º -

æ	Æ º łŁı t ) ı ł ŁÆºŁ Ł Œ ł Ł		(1).
ˇ	æ ØłŁ ºª Ł Æ Øº , º		øŁØæ	Ł
	æ	Ø Ł ŁŁ
		xi +1 = xi + τf (xi ).		(3)
	æ	º Ł Łæ æº øŁ ºª	Ł
1:	Input	x 0 , τ , δ, N ;
2:		i := 0;
3:		Repeat
4:		dx = τ ∗ f (xi );
5:		i := i + 1;
6:		xi := xi + dx ;
7:		Until ((|dx | ≤ δ |xi |) OR (i ≥ N ));
8:	Output	i,xi ,dx ;
˜º	ª ł	æ Ł ²k = xk − x ∗ Ł (3) º æ æº ²k +1 = ²k + τ (f (xk ) − f (x ∗ )).	ø	Ł
ˇ	æ Ł	f (xk ) − f (x ∗ ) = f 0 (x ˜)²k , º Ł æ ł ²k +1 = (1 + τf 0 (x ˜))²k ,	Ł
Ł Œ ª æº , º æı Ł æ Ł æ			º Ł º ß

ß º æ æº øŁ æº Ł : æº º æ {xk
,k
= 0,
1,...
}º ı Ł æ ƺ æ Ł |xk
−x
∗
| < R
, Œ Ø Ł ª Ł-

Ł æ ı æ Ø Œ. ª ßÆ τ
, º ø ª

æº Ł ,

sign
(τ
) = −sign
(f
0
),
|τ
| <
2/
max|f
0
|,

Æ æ Ł æı Ł æ æ º Ł .

1.5 ˝

˝ º Ł (1) Łæß æ Ł

xi
+1
= xi
− [df/dx
]−1
f
(xi
).
(4)

˛ º Ł :

ª , Œ Ł g
(x
) ∈ Lipc
(X
) , æºŁ |g
(x
) − g
(y
)| ≤ c
|x
− y
| º æ ı (x,y
) ∈ X
.

( æı Ł æ Ł ˝ ). ˇ æ f
: D
→ R
ª D
- Œ ß ßØ Ł º , R
- ø æ æ ,

Ł æ f
0
∈ Lipc
(D
). ˇ º Ł , º Œ ª ρ >
0 |f
0
| ≥ ρ
Ł æ ı x
∈ D
. ¯æºŁ Ł f
(x
) = 0 Ł ł Ł , æ ø æ

Œ η >
0, Œ , æºŁ |x
0
− x
∗
| < η
, æº º æ , º Ø

xk
+1
= xk
− f
(xk
)/f
0
(xk
), k
= 0,
1,
2,...,

æ ø æ Ł æı Ł æ Œ x
∗
. ` º ª , º k
= 0,
1,
2,...

.

˙ Ł 1. ˚ Œ æº Ł ß, Ł f
0
(x
∗
) = 06 æı Ł æ Œ Ł . ¯æºŁ f
0
(x
∗
) = 0 , º Œ ºŁ Ø .

˙ Ł 2. ˜º æı Ł æ Ł ˝ º ŁÆºŁ Ł x
0
º Æß æ ƺŁ Œ Œ Œ . ¯æºŁ ææ Ł |x
0
−x
∗
|

ºŁŒ , ˝ Æø æı Ł æ . ˝ ºŁ æº øŁ ºª Ł

1: Input x
0
, δ, N
;

2: i
:= 0; 3: Repeat

4: df
:= [df/dx
](xi
);

5: dx
= f
(xi
)/df
;

6: i
:= i
+ 1;

7: xi
:= xi
− dx
;

8: Until ((|dx
| ≤ δ
|xi
|) OR (i
≥ N
)); 9: Output

—Łæ. 1: — ÆŁ	Ł º æŒ æ Ł Ł	ex − a − bx 3 = 0
1.6 æ	Ł
1. ´ Œ æ 1-ª	æ ª Łæ º æ Ł
	f (x ) = exp(x ) − a − bx 3 = 0.	(5)
´ ŁæŁ æ Ł	ŁØ a,b	Ł Ł
m = 0, 1, 2, 4 Œ	. ˜º Łææº Ł Œ 1-Ø	Ł Ø Œ ŁŁ
f (x ) º ı	Ł Œ Ł Ł

g
(x
) = f
0
(x
) = exp(x
) − 3bx
2
= 0.
(6)

˝ Łæ Œ 1 Œ ÆŁ Ł º æŒ æ Ł a,b
ƺ æ Ł æ ºŁ ß Łæº Œ Ø Ł (5).

2. ´ Œ æ 2-ª æ ª Łæ º æ Ł

f
(x
) = exp(−1/
(x
− 1)2
) = 0.
(7)

Ł Ł Ł æ ßØ Œ x
∗
= 1 Æ æŒ Ø Œ æ Ł( f
(k
)
(1) = 0, k
= 0,
1,...
). ˇ Ł f
0
(x
) <
0 º x <
1 Ł f
0
(x
) >
0 º x >
1 .

1.7 ˚ ß Œæ Ł ß

1. ˜º Œ ŁŁ Ł (5) æ Ł a
= 1.
15,b
= 1.
25 Ø Ł

ª Ł ß Œ Ø. ˜º Œ ŁŁ Ł (6) æ b
= 1.
25 ØŁ ª Ł ß Œ Ø Ł ŒŁ æ Ø ø æ Ø æŁ.

˚ º Ł Ł :

Œ Ł f
(x
): Œ Ł( ŁÆºŁ )

x
1
= −0.
83, x
2
= 0.
14, x
3
= 1.
20, x
4
= 5.
14

Œ Ł g
(x
) = f
0
(x
): ŒŁ Ł Œ Ł

(−...
−) − 0.
41 (+...
+) 0.
75 (−...
−) 4.
18 (+...
+)

2. ˛ Łæ ß Ł ßł Ł(ÆŁæ Œ ŁØ, ı , æ º Ł , ˝ -

) º ŁØ δ
= 1.
0e
− 2,
1.
0e
− 3,
1.
0e
− 4,
1.
0e
− 5 Ø Ł Œ Ł Œ ŁŁ (5)æ Ł Ł a
= 1.
15,b
= 1.
25. ˜º Łı Œ Ø æ æ Ł ƺŁ ß ŁæŁ æ Ł Łæº Ł ŁØ δ
.

3. æ º Ł ß æ Ø Ł Œ Œ ŁŁ (5), Æ Ł τ
, º Œ ßı æı Ł æ Ł. ˚ ŒŁ Æ º æ æı Ł æ Ł Ł ª ææ ?

4. ˝ :

æº Œ Œ æ Ł 2 ˝ æı Ł æ ºŁ Ø , . .æ ø æ

º , æº æ ª Œ . ˇ Ł , Æ ºŁ Ł ŁŁ ßØ ˝

xi
+1
= xi
− 2[df/dx
]−1
f
(xi
)

Ł º Œ Œ æ Ł 2 æŒ æ æı Ł æ Ł, Ł æ ßØ º æ ª Œ . ˜º ŒŁ Łæ º Ł

h
(x
) = sin((x
− 1)2
) = 0.

˜º Ł δ
= 1.
0e
− 7 Ø Ł Œ ª Ł æ ß Ł Ł Ł Ł ß ˝ . Ł Łæº Ł ŁØ.

[1]
1ˇ ` º -˚ łŁ

[2]
2´ Ł Ł ßı Ł ºª Ł ı Łæ º æ º Œ æ Ł Ł ŁØ. ˝ -

Łı Ł Ł Ł , Łæ º æ Œ ß Ł غ it_gen.pdf