Лекция 10
Комплексные числа и действия над ними
Рассмотрим уравнение
.
Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число (мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению . Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида
, , .
Совокупность всех чисел называется множеством комплексных чисел. При этом число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается как
,
а число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается как
.
Удобно изображать комплексные числа
в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами . В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.
Операции умножения и деления комплексных чисел.
При умножении комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):
Пример.
.
При делении следует использовать операцию умножения на сопряженное выражение.
Пример.
Комплексному числу можно приписать понятие модуля
и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.
Модуль числа равен .
Аргументом числа называется полярный угол , (аргумент является многозначной функцией).
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
, где .
Теперь умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, выполняется по формуле
(то есть при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).
Следствием формулы умножения является следующая формула.
Формула возведения в степень (формула Муавра)
.
Пример.
, , ,
Формула извлечения корня -й степени
, .
Пример. Вычислить .
Запишем в тригонометрической форме:
.
Тогда получаем
при
при
при
Таким образом, всего имеется три комплексных кубических корня из числа :, , .
Формула Эйлера
.
Пример использования.
Вычислить .
Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции через показательную функцию. Имеем:
откуда
Û.
Следовательно,
,
откуда
.
Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.
,
Отсюда следует
Ответ: .
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Рассмотрим уравнение
где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов
, , ,
- произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение
назовем хар
для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения
имеет вид
,
если , - два различных вещественных числа; имеет вид
,
если и, наконец, решение имеет вид
,
если , - комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.
Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть
если , и в виде
если или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.
Пример.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение
Û
Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
.
Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Получаем:
,
Подставляя , , в исходное уравнение, получаем:
Сокращая на и приводя подобные, получим
,
,
откуда
Û
Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид
.
Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:
,
Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :
Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:
Û.
Далее,
.
Ответ:
.
Пример
.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
,
откуда
,
где - мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть
.
Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
.
Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что
,
получим:
откуда
и, следовательно,
, .
Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция
.
Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде
.
Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия
, .
Так как
,
получаем систему линейных уравнений на и :
откуда .