1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера S в пространстве l2
дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1
=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2
=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn
=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn
и ем
(n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {еi
} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.
Рассмотрим в l2
множество П точек
x=(x1
, x2
, ¼, xn
, ...),
удовлетворяющих условиям:
| x1
|£1, | x2
|£1/2, ¼,| xn
|£1/2n
-1
, ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2
. Оно п
Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n
-1
<e/2. Каждой точке x=(x1
, x2
, ¼, xn
, ...)
из П сопоставим точку x*=(x1
, x2
, ¼, xn
, 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
r(x,x*)=£<1/2n
-1
<e/2.
Множество П* точек вида x*=(x1
, x2
, ¼, xn
, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.
Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n
-1
<e/2.
"xÎП: x=(x1
, x2
, ¼, xn
, ...) сопоставим
x*=(x1
, x2
, ¼, xn
, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.
Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.
Множество П* содержит точки вида x*=(x1
, x2
, ¼, xn
, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.