РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ.
НА ТЕМУ:
«ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ».
АВТОР РАБОТЫ:
УЧЕНИК 9 КЛАССА «Б»
ГОУ ГИМНАЗИИ № 1505
СТАРИЧЕНКОВ АЛЕКСАНДР.
НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:
БАТАЛОВА ВЕРА ИВАНОВНА.
ГОД РЕАЛИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ:
2010-2011 ГОД
ГОРОД МОСКВА.
СОДЕРЖАНИЕ:
1) ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………стр. 2
2) ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ РЕФЕРАТА………………………….стр. 3-9
ГЛАВА I: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ…………….................................................стр.3-7
а) ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ………………………………стр.3
б) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр.3-4
в) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр.4-6
г) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ…стр.6
д) СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ……………………………………стр.6-7
ГЛАВА II: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………………………………………стр.7-8
а) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ………………..стр.7-8
б) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ……………стр.8
3) ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………стр.9
4) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………..стр.10
5) ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………стр.11-17
I. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА………………………………...стр.11-12
II. РЕШЕБНИК……………………………………...……………..стр.12-16
а) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр. 12-14
б) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ..стр. 14
в) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр. 14-16
г) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ …………..стр. 16
д) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ….……………стр. 16
ВВЕДЕНИЕ.
Тема моего реферата «Основные методы решения систем уравнений с двумя переменными». Эта темя изучается в школьном курсе алгебры: в 7 классе изучаются системы линейных уравнений, а в 9 классе – системы нелинейных уравнений. Решение многих задач по алгебре, физике, геометрии приводит к составлению системы уравнений. Умение решать эти системы означает успешное изучение курсов алгебры, физики, геометрии. Решение систем уравнений включено в государственный экзамен 9 и 11 класса.
Цель моего реферата: разобрать основные методы решения систем уравнений. Для реализации моей цели я ставлю перед собой следующие задачи:
1)
Ознакомление с литературой по теме реферата;
2)
Обобщить основные методы решения систем линейных уравнений;
3)
Познакомиться с некоторыми методами решения систем нелинейных уравнений;
4)
Рассмотреть вопросы равносильности систем уравнений.
В результате изучения этой темы я составлю решебник систем уравнений. Я надеюсь что, мой решебник сможет помочь учащимся 8-9 классов лучше подготовиться к выпускным экзаменам. А основные методы решения систем с параметром я буду изучать в 10-м классе.
ГЛАВА
I
: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Для начала выясню, что такое линейные и нелинейные уравнения с двумя переменной:
1)
Линейные уравнения с двумя переменной
– уравнение первой степени.
2)
Нелинейные уравнения с двумя переменной
– уравнение второй степени.
Теперь выясним, что такое решение системы уравнения с двумя переменными:
Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство, называют решением системы
[1]
.
Осталось только два вопроса: во-первых, что является графиком уравнения и, во-вторых, вопрос о равносильности систем уравнений:
1)
Графиком уравнения
с двумя переменными является изображение точек её решений на плоскости[2]
.
2)
Две системы называются равносильными
, если множества их решений совпадают. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными[3]
.
Теперь, когда все основные понятия и определения разобраны, можно приступать к решению систем разных видов основными методами, которые мне известны на данный момент.
Основная цель при решении систем уравнений - решить эту систему, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются:
1) графический способ;
2) способ замены переменной и алгебраического сложения и вычитания;
3) способ почленного умножения и деления;
4) способ подстановки.
Все эти способы используются во всех предметах, где необходимы знания математики: алгебра, физика, химия, геометрия.
Рассмотрим способ № 1
: Известно, что графиком линейного уравнения является прямая. Вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы. Рассмотрим три случая расположения прямой.
Случай 1
: Прямые, которые являются графиком функции, входящих в данную систему, пересекаются.
Решим эту систему:
Уравнениями у=-1,1х+12 и у=-6х+18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых этих функций различны. Следовательно, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения. Данная система имеет единственное решение: пара чисел равная (1,2; 10,7).
Случай 2
: Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны.
Решим систему уравнений:
Прямые, являющиеся графиками линейных функций у=-0,4х+0,15 и у=-0,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений.
Случай 3
: Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают.
Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х - произвольное число, а у = - 2,5х - 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений.
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин:
1) не умение, выражать одну переменную через другую;
2) не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс).
Рассмотрим способ № 2(замена переменной):
Легче всего это сделать, решив задачу, что мы сейчас и сделаем:
Условие задачи
: Ученик задумал два числа. Первое число на 5 больше второго. Если от удвоенного первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 25. Какие числа задумал ученик?
Решение
: Пусть х - первое число, у - второе число. По условию задачи составим систему уравнений.
В первом уравнении выразим х через у: х=у+5
.
Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему
Очевидно, что получившееся второе уравнение является уравнением с одной переменной.
Решим его:
2y + 14 – 3y = 25
-1y = -11
y = 11
Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим:
x = -11 + 5
x = -6
Ответ
: ученик задумал числа равные -6 и -11, т. е. пара чисел (-6; -11) является решением данной системы.
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин:
1) не умение, выражать одну переменную через другую;
2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).
Рассмотрим способ № 2(алгебраическое сложение):
Как и в методе подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Решим систему уравнений:
В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами (+3y и -3y). Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:
2x = 18
x = 9
Заменим одно из данных нам уравнений системы, например первое, уравнением 2x = 18. Получим систему:
Полученная система равносильна данной системе. Решим полученную систему:
Из уравнения 2х=18 находим, что х=9. Подставив это значение х в уравнение 4х-3у=12
, получим уравнение с переменной у.
Решим это уравнение:
4 × 9 + 3y = 12
3y = -24
y = -8
Пара чисел (11; - 9) - решение полученной системы, а значит, и данной нам системы.
Воспользовавшись тем, что в уравнениях данной нам системы коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Геометрически равносильность систем означает, что графики уравнений 4
x
+ 3
y
= 12
и -2
x
- - 3у=38
пересекаются.
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по одной причине:
1) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).
Рассмотрим способ № 3
: Если при решении систем уравнений учащийся не может ни заменить переменную, ни алгебраически сложить, то можно прибегнуть к этому способу. Разберём на примере.
Решим систему уравнений:
Домножим верхнее уравнение на 3. Получим:
Очевидно, что и в первом и во втором уравнениях есть 3y, только с разными знаками. Дальше решаем так же, как и прошлой системе (см. 3 разбор).
В конце получаем, что пара чисел (4,2; -4,8) является решением данной нам системы.
Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по ряду причине:
1) не видят, что и насколько надо домножить;
2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят).
Рассмотрим способ подстановки
: Этот метод или способ решения систем уравнений используется чаще всех. Грубо говоря, этот способ мы разобрали во всех остальных, т.к. заменяя одну систему на равносильную ей, мы находим одну переменную, а затем подставляем её значение в одно из уравнений данной нам системы. А, следовательно, возникающие проблемы при решении систем уравнений этим способом такие же, как и у всех остальных методов:
1) не умения, выражать одну переменную через другую;
2) не умение, подставить уже полу
Итак, из всего выше сказанного можно сделать вывод:
во время решения систем нелинейных уравнений у учащихся возникают проблемы по ряду двум причинам:
1) не умения, выражать одну переменную через другую;
2) не умение, подставить уже полученную переменную;
3) не видят, что и насколько надо домножить.
ГЛАВА
II
: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ[4]
.
В этой части реферата я рассмотрю два основных метода решения систем нелинейных уравнений:
1) Однородные системы уравнений;
2) Симметричные системы уравнений.
1) Однородные системы уравнений:
Уравнения называются однородными, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемых складываются).
Почему же мы выделяем такие системы? Оказывается, существует стандартная подстановка x = t×y (y ≠ 0), которая позволяет решить систему.
Пример:
Пусть x = t×y (y ≠ 0), тогда
Зная t, легко сразу найти , учитывая, что . Используя это, найдём y, а затем и x.
a) t =3
b) t =
При y = 0 решения нет.
Ответ
: {(3√3; √3); (-3√3; √3); (4; 5); (-4; -5)}.
2) Системы симметричных уравнений:
Выражение с двумя неизвестными называется симметричным, если при замене одного неизвестного на другое и наоборот выражение не изменяется.
Любое симметричное выражение с двумя неизвестными может быть представлено, как алгебраическая комбинация, через два простейших симметричных выражения: a + b = t и a×b = z.
Пример:
Пусть , тогда система имеет вид: .
Вычтем из первого уравнения второе уравнение:
a)
По теореме, обратной теореме Виета, данная система порождает квадратное уравнение + 4m + 3 = 0, корнями которого являются x и y. В силу симметричности имеем: (1; 3); (3; 1).
b)
Из порождённого квадратного уравнения - 4n + 3 = 0 следует решения (-3; -1); (-1; -3).
Ответ
: {(1; 3); (3; 1); (-3; -1); (-1; -3)}.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Итак, в своём реферате я, во-первых, обобщил основные методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, во-вторых, рассмотрел некоторые методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными, в-третьих, составил решебник, который, я надеюсь, поможет читающим мой реферат лучше понять тему, которую я выбрал, и сформирует навык решения систем уравнений. Другими словами я решил все задачи, которые стояли передо мной, и справился с моей целью. Надеюсь, мой реферат был интересен для чтения, повторения прошлого и знакомства с частью нового материала. Я постараюсь продолжить работу над этой темой в 10 классе в качестве дипломной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
1. А.Х.Шахмейстер: «Системы уравнений математика»
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков "АЛГЕБРА. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики" Москва 2006 год, 5-е издание - М.:Мнемозина, 439 страниц, иллюстрации.
3. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич "Сборник задач по алгебре 8-9 классы" Москва "Просвещение" 1994 год, 271 страница.
4. Системы уравнений. Поиск имён для исторической справки. http://ru.wikipedia.org
I
.
ИСОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА[5]
:
В XVII - XVIII в.в. приемы исключения разрабатывали:
Пьер де Ферма(17 августа 1601 - 12 января 1665, прожил 63 года) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе;
Исаак Ньютон(25 декабря 1642 (4 января 1643) - 20 марта 1727 (31 марта 1727), прожил 84 года) - английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики;
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц(1 июля 1646 - 14 ноября 1716, прожил 70 лет) - немецкий философ, математик, юрист, дипломат;
Леонард Эйлер(4 (15) апреля 1707 - 7 (18) сентября 1783, прожил 76 лет) - швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук;
Этьенн Безу(31 марта 1730 - 27 сентября 1783, прожил 53 года) - французский математик, член Парижской академии наук (1758);
Жозеф Луи Лагранж(25 января 1736 - 10 апреля 1813, прожил 77 лет) - французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века.
II
. РЕШЕБНИК.
В этой части приложения написан решебник на мою тему с целью помочь читающим попрактиковаться в решении систем уравнений с двумя переменными. Для каждого метода будет представлено по примеру и решение одного из них, в качестве примера как их решать тем или иным методом.
1) Метод замены переменной и алгебраического сложения и вычитания
:
Для начала метод алгебраического сложения.
Пример №1
:
Решение
:
Можно заметить, что в двух уравнениях присутствует одна и та же переменная: 3y, только с разными знаками. Следовательно, их можно алгебраически сложить и мы получим равносильную систему:
1) 6x = 6
x = 1
Итак, мы нашли значение первой переменной: x = 1. теперь подставляем это значение в любую из уравнений, чтобы найти значение второй переменной:
2)
2 1 – 3y = 2
-3y = 0
y = 0
Получили: y = 0.
Ответ
: (1; 0).
Метод алгебраического вычитания почти такой же, как и метод алгебраического сложения, только вместо того, чтоб складывать уравнения, мы вычитаем одно из другого.
Теперь разберём последовательность решения методом замены переменной:
Пример №2
:
Решение
:
2) 1 + y + y = 1
2y = 0
y = 0
3)
x + 0 = 1
x = 1
Объяснение
:
Вначале я перенёс одну переменную из уравнения 1 вправо и получил: x = 1 –y. Затем, я подставил полученное значение во второе уравнение и нашёл значение переменной y: y = 0. после этого. Я подставил это значение во второе уравнение и получил значение переменной x: x = 1.
Ответ
: (1, 0).
Теперь потренируйтесь самостоятельно.
Пример №3 (метод алгебраического сложения)
:
У вас должен получиться ответ
: (2; -0,(3)).
Пример №4 (метод замены переменной):
Правильный ответ
: (7; 1).
2) Метод почленного умножения и деления
:
Пример№1:
Решение
:
Домножим первое уравнение на два и получим:
1)
Теперь вычтем из первого уравнения второе (включаем в решение метод алгебраического вычитания). Затем решаем все, как и в прошлых примерах: находим значение одной переменной, затем второй и пишем ответ.
Ответ
: (1; 1).
Метод почленного деления очень похож, но вместо умножения каждого члена уравнения на какое-либо число мы на него их делим.
Теперь потренируйтесь.
Пример №2 (метод почленного деления)
:
Правильный ответ
: (1; 1).
Пример №3 (метод почленного умножения):
У вас должен получиться ответ
: (3 -4) и (-3; 4).
3) Метод графического решения
.
Пример №1
:
Решение
:
Для начала перенесём переменную x в правую сторону, чтобы получить уравнение функции:
Теперь начертим графики полученных функций:
Функция №1
:
Функция №2:
Теперь найдём их пересечение:
Ответ
: (0; 0).
Теперь потренируйтесь сами.
Пример№2
:
Правильный ответ
: (3; 1).
Пример №3
:
У вас должен получиться ответ
: (-2; -1) и (-1; 0).
4) Симметричные системы уравнений:
Начнём сразу с самостоятельного решения.
Ответ
: {(1; 2); (2; 1)}.
5) Однородные системы уравнений:
Начнём сразу с самостоятельного решения.
Ответ
: (4; 9).
[1]
Ю.Н.Макарычев: «Алгебра для 9 класса с углубленным изучением математики» стр. 128.
[2]
Ю.Н.Макарычев: «Алгебра для 9 класса с углубленным изучением математики» стр. 123.
[3]
М.Л.Галицкий: «Сборник задач по алгебре 8-9» стр.107.
[4]
А.Х.Шахмейстер: «Системы уравнений математика» стр.39-45
[5]
http://ru.wikipedia.org