Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «аналитическая геометрия»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

и задания к расчетно-графической работе

по разделу курса высшей математики

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
»

(для студентов специальностей 7.080403

«Программное обеспечение автоматизированных систем»

и 7.050102 «Экономическая кибернетика»)

Утверждено
На заседании каф.ПМ и И

22 марта 2000 г.

-ДонГТУ-

Донецк - 2000

УДК 517

Методические указания и задания к расчетно-графической работе по разделу курса высшей математики «Аналитическая геометрия» (для студентов специальностей 7.080403 “Программное обеспечение автоматизированных систем” и 7.050102 “Экономическая кибернетика” ) / Составители: Скворцов А.Е., Губарев А.А

– Донецк : ДГТУ , 2000.- с.30

Приведены решения типовых задач по всем темам раздела «Аналитическая геометрия».Даны рекомендации общего и конкретного характера . Приведены расчетные задания : 12 задач по 25 вариантов .

Составители А.Е. Скворцов , доц .

А.А. Губарев , асс.

Отв.за выпуск Е.А. Башков , проф.

Рецензент

Часть1.РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Задача 1.

Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имело место соотношение ?

Решение.
Возведем обе части данного равенства в квадрат и воспользуемся известным фактом : скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины . Будем иметь:

.

Но для скалярного произведения справедливы формулы сокращенного умножения , поэтому после упрощения получим

.

По определению φ , где φ- угол между векторами . Сравнивая это определение с последней формулой , делаем вывод : cos φ = -1 т.е. φ = π , значит векторы противоположно направлены . Кроме того , , значит не короче .

Ответ
: ↑↓ и ≥ .

Задача 2.

Найти вектор , направленный по биссектрисе угла , образованного векторами и .

Решение.
Сумма векторов – это одна из диагоналей параллелограмма , построенного на векторах . Но в общем случае диагональ параллелограмма не является биссектрисой его углов . Чтобы это было так , параллелограмм должен быть ромбом , т.е. векторы-слагаемые должны иметь равные длины . Перейдем к ортам векторов и , для чего разделим эти векторы на их длины :

, .

Направления ортов совпадают с направлениями самих векторов (т.к. векторы делятся на положительные числа ) , а длины одинаковы . Значит сумма ортов , как диагональ ромба , направлена по биссектрисе угла , образованного ими , т.е. по биссектрисе угла , образованного векторами и .

Ответ
: искомый вектор имеет вид + .

Задача 3.

Векторы и - взаимно перпендикулярные орты . Выяснить при каких значениях параметра t
векторы и : 1)перпендикулярны; 2) коллинеарны .

Решение.
Будем использовать известные условия , .

Напомним , что при скалярном и векторном умножении векторных “многочленов” скобки раскрываем обычным образом , учитывая следующее : скалярный квадрат вектора – это квадрат его длины , “векторный” квадрат – это всегда нуль-вектор, скалярное умножение коммутативно , а векторное антикоммутативно .

Итак , имеем :

, , ибо ;

.

Из полученных соотношений делаем выводы :

1) векторы и перпендикулярны , если t


–2=0 , т.е.
t

=2 ;

2) векторы коллинеарны , если 2
t

+1=0 ,т.е. t

=-1/2

, ибо и неколлинеарны .

Замечание.
На второй вопрос задачи можно ответить и другим образом . Коллинеарность векторов и означает = λ , где λ - некоторое число , т.е. или . Но векторы и - неколлинеарны, значит образуют базис , поэтому разложение любого вектора ( в частности ,вектора ) по и единственно , другими словами , коэффициенты двух равных линейных комбинаций и равны : 1= λ
t


и 2=- λ . Отсюда t

=-1/2.

Ответ :
при t

=2 ; при t

=-0,5 .

Задача 4.

Найти вектор , удовлетворяющий условиям : 1) и ; 2) ; 3) образует с осью Оу тупой угол .

Решение .
Из первого условия следует , что искомый вектор коллинеарен векторному произведению , ибо по определению - это вектор , перпендикулярный каждому из векторов-сомножителей . Вычисляем по известной формуле

,

где , :

.

Итак , , т.е. , где .

Далее , используя второе условие , находим

, , т.е. .

Чтобы определить знак множителя λ , обратимся к третьему условию , которое означает , что проекция искомого вектора на ось Оу отрицательна . А так как проекция вектора на ось Оу положительна , то λ<0 .Окончательно , λ =-2 и искомый вектор имеет вид .

Замечание.
Условия задачи можно использовать и другим способом . Например : так как , то , т.е. 3x+2y+2z=0 ; а равенство означает (здесь x,y,z- проекции искомого вектора). При этом пришлось бы решать нелинейную систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Ответ:
.

Задача 5.

Даны вершины треугольника : А(-1;-2) , В(4;7) , С(-4;2) . Требуется: 1) составить уравнение и найти длину биссектрисы AD угла треугольника при вершине А ; 2) составить уравнение и найти длину высоты AH , опущенной из вершины А на противоположную сторону ; 3) найти площадь треугольника S .

Решение .
Уравнение биссектрисы будем искать в канонической форме , а именно :

, где - точка , принадлежащая прямой р
, - направляющий вектор прямой р
. В качестве точки возьмем вершину А , а в качестве направляющего вектора – вектор , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами и ( смотри задачу 2) . Найдем сначала эти векторы и их длины , используя известные формулы : если , то ; если , то . Для нашей задачи имеем :

Вектор направлен по биссектрисе угла , образованного векторами и . Находим его :

.

Но векторы вида и - коллинеарны , т.е. являются направляющими векторами одной и той же прямой . Поэтому в качестве направляющего вектора биссектрисы AD можно взять вектор . Итак , уравнение биссектрисы имеет вид :

, или после упрощения

AD : 7x
– y
+ 5 =0 .

Длину биссектрисы найдем как расстояние от вершины А до точки пересечения D биссектрисы с противоположной стороной . Составим сначала уравнение стороны ВС, как уравнение прямой , проходящей через две точки:

.

Берем и . Получаем :

или после упрощения

ВС : 2x
–
11y
+ 30 = 0 .

Координаты точки D - это решение системы линейных уравнений

или

Решив ее , например , методом Крамера ,

, ,

получим D (-1/3 ; 8/3 ) . Тогда искомая длина биссектрисы равна

AD = d(A,D) = .

Замечание.
Эту часть задачи можно решать в ином порядке . Сначала можно найти координаты точки D , используя известный из элементарной геометрии факт : точка D делит сторону ВС в отношении λ = BD/DC = AB/AC . В нашей задаче λ=10/5 = 2 . Теперь координаты точки , делящей отрезок в заданном отношении , находим по формулам

,

.

Теперь уравнение биссектрисы находим как уравнение прямой , проходящей через две точки .

2)Длину высоты АН , опущенной из вершины А , находим как расстояние от точки А до прямой ВС . Общая формула :

, где .

Имеем в нашей задаче :

АН=.

Уравнение высоты ищем в общем виде :

, где - нормальный вектор прямой р . В нашем случае , а :

АН : -11 (x + 1)-2 (y + 2) = 0 или после упрощения

AH : 11 x + 2 y + 15 = 0 .

Замечание.
Из уравнения прямой ВС (полученного ранее) легко найти нормальный вектор этой прямой : . Для высоты АН этот вектор является направляющим и уравнение АН можно находить в канонической форме :

.

3)Для вычисления площади треугольника используем геометрический смысл : длина векторного произведения двух векторов есть площадь параллелограмма , построенного на этих векторах . А площадь треугольника – это половина площади параллелограмма . Векторы и мы уже знаем . Находим их векторное произведение :

.

Итак ,

(ед.кв.) .

Замечание.
Этот способ вычисления площади треугольника является наиболее рациональным в случае , когда известны координаты его вершин .

Задача 6.

Определить параметры , входящие в уравнения прямых и плоскостей, используя данные об их взаимном расположении : 1) прямые

и

пересекаются под прямым углом ; 2) для точки , плоскости и прямой известно , что и .

Решение .
1)Общий вид канонических и параметрических уравнений прямой : и

В этих уравнениях : - точка , принадлежащая прямой , - направляющий вектор прямой (т.е. вектор , лежащий на прямой , или параллельный ей ) . Из условий задачи сразу получаем :

Условие означает , что , т.е. . Отсюда : , значит l
= 1 .Тот факт , что p и q пересекаются означает , что эти прямые определяют некоторую плоскость и в этой плоскости лежат или параллельны ей векторы и . Другими словами , эти векторы компланарны , а значит их смешанное произведение равно 0 :

.

Отсюда . Параметры найдены .

2)Известно , что в общем уравнении плоскости коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора плоскости (т.е. вектора перпендикулярного ей ) . В нашем случае нормальный вектор плоскости α
имеет вид . Из уравнений прямой р
получаем : - направляющий вектор прямой , - точка , принадлежащая прямой .

Отличное от нуля расстояние означает , что , т.е. . Отсюда получим : , значит А=2 .

Теперь воспользуемся известными формулами для расстояния от точки до прямой и плоскости ( очевидно , что = ):

, .

Вычислим эти расстояния :

;

;

;

= .

Приравняв полученные выражения к числам , данным в условии задачи , получим систему двух уравнений с одним неизвестным :

Решениями первого уравнения являются числа . Но второму уравнению удовлетворяет только значение . Итак , параметры , входящие в уравнения , найдены А
= 2 , t
= -1 .

Задача 7.

Составить уравнение плоскости α
, если известно , что 1) : и , где ; 2) α
проходит через точку пересечения прямой и плоскость , причем .

Решение .
Наиболее общий прием составления уравнения плоскости состоит в следующем . Берем произвольную (текущую) точку искомой плоскости , т.е. точку с переменными координатами M
(
x
,
y
,
z
)
. Далее находим три вектора ,лежащие в искомой плоскости или параллельны ей , причем конец одного из них – это текущая точка М , и векторы попарно неколлинеарны . Записываем условие компланарности этих векторов , т.е. . Это и будет уравнение искомой плоскости .

Если же известны некоторый вектор , перпендикулярный искомой плоскости , и точка , принадлежащая ей , то уравнение такой плоскости имеет вид .

1)Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы и точки , принадлежащие соответствующим прямым . Берем текущую точку . Так как , то вектор лежит в плоскости α
. Далее ,так как по условию и , то и . Итак , у нас есть требуемая тройка компланарных векторов . Находим их смешанное произведение

.

Приравняем это выражение к нулю и после упрощения получим уравнение искомой плоскости α
: 23x – 16y + 10z – 153 = 0 .

2)Так как , то направляющий вектор прямой р является одним из нормальных векторов плоскости α
: . Теперь найдем точку пересечения плоскости и прямой . Для этого запишем уравнения прямой в параметрическом виде, обозначив каждое из трех отношений , составляющих канонические уравнения , через t
:

или

Подставив эти уравнения в уравнение плоскости β
, получим , откуда t
= -3 . Это значение параметра соответствует точке пересечения . Её координаты , и .

Составляем общее уравнение плоскости проходящей через точку с нормальным вектором : .

После упрощения получим

.

Задача 8.

Даны вершины треугольника А(1;2;-1) , В(7;9;-3) и С(4;8;8) . Составить каноническое уравнение его высоты , опущенной из вершины В на противоположную сторону .

Решение .
Спроектируем вершину В на сторону АС (или ее продолжение) , для чего через точку В проведем плоскость α
, перпендикулярную стороне АС .Для этой плоскости вектор является нормальным . Поэтому уравнение плоскости α
имеет вид

,

или после упрощения

α :
.

Проекцией точки В на сторону АС является точка пересечения плоскости α
и прямой р , на которой лежит сторона АС . Для этой прямой р вектор является направляющим вектором . Зная , что р проходит через точку А(1;2;-1) , можно составить параметрические уравнения р :

Найдем точку пересечения р и α
:

,

откуда t
=1/3 , x=1+1 = 2 , y = 2+2 = 4 , z = -1+3 = 2 .

Итак , проекция точки В на АС , т.е. основание высоты имеет координаты D(2;4;2) . Составим уравнения высоты AD как уравнения прямой , проходящей через две точки. Общий вид таких уравнений

.

В нашей задач имеем

.

После упрощения получим требуемые уравнения высоты треугольника

.

Замечание.
Эту задачу можно решить и другим способом , заметив , что высота BD является линией пересечения двух плоскостей , а именно : плоскости α
, проходящей через точку В перпендикулярно АС и плоскости β
, проходящей через вершины треугольника . Уравнение плоскости β
можно легко найти , используя общий прием. Если M(x,y,z)– текущая точка β
, то векторы и лежат в β
.

Записав условие компланарности этих векторов , получим уравнение β
. Объединив уравнения плоскостей α
и β
в систему , получим общие уравнения высоты BD (переход от общих уравнений к каноническим разобран в следующей задаче ) .

Задача 9.

Найти канонические уравнения проекции q прямой на плоскость α
: .

Решение .
Найдем уравнение проектирующей плоскости β
, т.е. плоскости , содержащей в себе прямую р
, и перпендикулярной плоскости α
.Направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости α
параллельны плоскости β
. Точка и , если - текущая точка β
, то вектор лежит в плоскости β
. Векторы и - компланарны . Запишем условие этого

.

После упрощения получаем β
: . Объединив это уравнение проектирующей плоскости с уравнением плоскости проекции α
, получим общие уравнения искомой проекции q прямой р :

(1)

Последний шаг в решении задачи – переход от общих уравнений (1) к каноническим, для чего надо найти направляющий вектор прямой q и точку , ей принадлежащую (или две точки) . Нормальные векторы плоскостей α
и β
, будучи перпендикулярными своим плоскостям , перпендикулярны и линии их пересечения q . А значит их векторное произведение параллельно q ,(по определению и т.е. может служить направляющим вектором этой прямой:

.

Чтобы найти точку , принадлежащую q , найдем какое-нибудь решение системы (1). Так как неизвестных больше уравнений , то одно из неизвестных , например z, можно выбрать произвольно . Пусть z = 0 . Тогда система (1) имеет вид

.

Решив ее , находим : x = 1 , y = 2 . Итак , теперь можно составить канонические уравнения проекции q прямой р на плоскость α
как прямой , проходящей через в направлении

.

Задача 10.

Поворотом системы координат исключить из уравнения член , содержащий произведение переменных .

Решение .
Решим задачу в общем виде . Уравнение линии второго порядка имеет вид

(2)

При повороте системы координат на угол α
старые координаты точки (x
,
y
) связаны с новыми известными формулами

После подстановки этих формул в уравнение (2) и элементарных преобразований получим уравнение линии в новой системе координат :

.

Здесь :

Если мы хотим , чтобы пропал член , содержащий произведение переменных , то угол α
необходимо выбрать таким , чтобы , т.е.

.

Итак, ответ в общем виде такой : угол поворота α
должен удовлетворять уравнению

.

В нашей задаче имеем : А=5 , В=8, С=5 . Значит ,т.е. . Одно из решений этого уравнения . Вычисляем новые коэффициенты по приведенным выше формулам :

Итак , повернув систему координат на , мы получим уравнение

.

Замечание.
Старшие коэффициенты полученного уравнения (не содержащего произведения переменных ! ) позволяют частично определить вид линии : т.к. эти коэффициенты имеют одинаковый знак , то данное уравнение определяет эллипс , или одну точку , или , вообще , ничего не определяют ( в последних двух случаях говорят, что уравнение определяет вырожденный или мнимый эллипс ) .

Ответ:
в новой системе координат линия имеет уравнение .

Задача 11.

Уравнение линии привести к нормальному виду .

Решение .
Группируем одноименные переменные и выделяем в каждой группе полный квадрат :

Разделив обе части последнего уравнения на правую часть , мы и получим нормальное уравнение линии :

(3) .

Это уравнение определяет гиперболу , оси которой параллельны осям координат (это вытекает и из общего уравнения – в нем отсутствует член , содержащий ) . Центр гиперболы расположен в точке , действительная полуось а
=2 , мнимая b
=3, половина расстояния между фокусами .Вершины : .Фокусы :

Гипербола (3) получается из канонической гиперболы путем параллельного переноса центра в точку . Асимптоты канонической гиперболы имеют уравнения

, т.е. .

Для нашей гиперболы уравнения асимптот таковы

Ответ:
нормальное уравнение

Задача 12.