Методические указания к лабораторным работам по курсу «метод конечных элементов»

Методические указания к лабораторным работам по курсу «метод конечных элементов»

1. Ознакомление с дву­мерным конечноэлементным пакетом (подситемой MASTAC2D комплекса TELMA)

Цели работы:

изучение поведения решения эллиптической задачи с разрывным коэффициентом диффузии на различных сетках, изучение возможности уточнения решения локальными сгущениями узлов

Порядок выполнения работы

· В препроцессоре MASTAC2D комплекса TELMA задать параметры краевой задачи, описывающей поведение стационарного магнитного поля в конструкции, предложенной преподавателем.

· Построить сетку, выполнить расчёт вектор-потенциала пакетом MASTAC2D.

· Изучить поведение конечноэлементного решения, используя постпроцессор.

· Используя локальные сгущения узлов в местах наибольшего изменения градиента решения, получить решение, погрешность которого не превышает 0.1% в указанных преподавателем точках. Точность оценивать путём решения задачи на вложенной сетке.

· Подготовить отчёт, содержащий: решение задачи на грубой сетке, решение задачи на подобранной сетке с заданной погрешностью, решение задачи на вложенной сетке. Решение представить как в виде силовых линий магнитного поля, так и в виде таблиц значений потенциала и индукции в контрольных точках.

Вопросы к защите

1. Вычисление значения решения в заданной точке.
2. Представление решения двумерной эллиптической задачи в виде линий равного уровня и цветовых градаций.
3. Представление решения двумерной задачи магнитостатики в виде силовых линий. Совпадение силовых линий с линиями равного уровня векторного потенциала
4. Поведение решения эллиптической задачи с разрывным коэффициентом диффузии. Излом линий равного уровня на границах разрыва коэффициента диффузии.
5. Реакция решения эллиптической краевой задачи на изменение коэффициентов уравнения.

2. Реализация МКЭ с линейной аппроксимацией на треугольниках

Цели работы:

изучение структур данных и алгоритмов, используемых в МКЭ, изучение приёмов вычисления локальных матриц с использованием барицентрических координат

Порядок выполнения работы

· Вычислить локальные матрицы и правую часть, используя барицентрические координаты. При этом считать, что коэффициент диффузии и источник являются на конечном элементе постоянными.

· Разработать программы генерации портрета и сборки СЛАУ для треугольной сетки, заданной в формате препроцессора комплекса TELMA. Учесть возможность задания неоднородных краевых условий первого рода. Для решения СЛАУ использовать предоставленную преподавателем программу.

· Протестировать построенный МКЭ-комплекс на тесте с линейным решением.

Вопросы к защите

1. Структуры данных МКЭ.
2. Алгоритм построения портрета по конечноэлементной сетке.
3. Нумерация базисных функций. Алгоритм сборки матрицы.

3. Реализация МКЭ-аппроксимаций высоких порядков

Цели работы:

изучение возможностей МКЭ по повышению порядка аппроксимации, изучение структур данных и алгор

итмов, используемых в МКЭ

Порядок выполнения работы

· Для указанного преподавателем типа конечных элементов и базисных функций вычислить локальные матрицы и локальные векторы правой части.

· Написать программу генерации портрета разреженного строчного формата по заданной сетке и программу сборки глобальной СЛАУ. Для решения СЛАУ использовать предоставленную преподавателем программу.

· Протестировать построенный МКЭ-комплекс на тестах с полиномиальным решением.

· Разработать программу выдачи решения в заданной точке.

· Разработать программу выдачи решения на треугольной сетке в формате постпроцессора комплекса TELMA.

Вопросы к защите

1. Повышение порядка аппроксимации МКЭ. Базисные функции. Эрмитовы и лагранжевы элементы.
2. Нумерация базисных функций. Алгоритм построения портрета по конечноэлементной сетке.
3. Структуры данных МКЭ высоких порядков.
4. Тестирование программ МКЭ на тестах с полиномиальным решением. Погрешность аппроксимации правой части кусочно-постоянной функцией.

4. Тестирование построенного МКЭ-пакета

Цели работы:

изучение принципов тестирования МКЭ-программ, отладка комплекса.

Порядок выполнения работы

· Провести тесты с полиномиальным решением, степень которого равна степени базисных функций метода. Исправить обнаруженные ошибки.

· Провести тесты с полиномиальным решением, степень которого на 1 больше степени базисных функций метода на сетках с постоянным и непостоянным шагом. Оценить правильность результатов.

· Решить с помощью разработанных программ на грубой сетке задачу, которая была решена в первой лабораторной работе с помощью комплекса MASTAC2D. Сравнить результаты, объяснить различия.

Вопросы к защите

1. Порядок аппроксимации МКЭ. Оценка порядка аппроксимации.
2. Порядок точности. Связь порядка точности и порядка аппроксимации.

5. Сравнение схем различных порядков аппроксимации при решении практических задач

Цели работы:

изучение проблем оценки точности решения и порядка аппроксимации метода.

Порядок выполнения работы

· Сравнить погрешность решения задачи МКЭ с повышенным порядком аппроксимации и с линейными базисными функциями на одинаковых грубых сетках.

· Изучить поведение методов при дроблении сеток.

· Оценить для обоих методов порядок аппроксимации производной решения (компонент магнитной индукции). В качестве точного решения принять решение, полученное комплексом MASTAC2D на очень подробной сетке.

· Написать итоговый отчёт по лабораторным работам 2-5.

Вопросы к защите

1. Число ненулевых элементов в строке СЛАУ для элементов высоких порядков. Корректное сравнение временных затрат на решение СЛАУ для разнотипных элементов
2. Оценка эффективности решения задачи с применением элементов высоких порядков при решении задачи с заданной точностью.
3. Дифференцирование решения. Порядок аппроксимации производной. Сглаживание.