ХIII научно-практическая конференция школьников
РЕФЕРАТ
«Магические квадраты»
Ученицы 8 «А» класса
ПТП лицея
Шолоховой Анны
Руководитель Анохина М.Н.
Псков
2008 год
СОДЕРЖАНИЕ.
История создания моей работы………………………………………………2
Магический квадрат.......................................................................3
Исторически значимые магические квадраты...................4-5
КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).........6
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).........................................7
Квадрат Альбрехта Дюрера ...........................................................8
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.....9
Дьявольский магический квадрат .........................................10-11
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ .....12
СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ......................13-15
Создание магического квадрата Альбрехта Дюрера. .....17-18
Судоку............................................................................................19-21 Какуро............................................................................................22-23
БАНК ЗАДАЧ..................................................................24-25
Выводы................................................................................26 Литература...........................................................................27
История создания моей работы
.
Раньше я даже не задумывалась, что такое можно придумать. Первый раз магические квадраты встретились мне в первом классе в учебнике, они были самые простые.
| 7 |
||
| 8 |
0 |
|
| 5 |
Через несколько лет с родителями я поехала на море познакомилась с девочкой, которая увлекалась судоку. Мне тоже захотелось научиться, и она объяснила, как это делать. Это занятие мне очень понравилось, и оно стало моим так называемым хобби.
После того как мне предложили участвовать в научно-практической конференции, я сразу выбрала тему «Магические квадраты». В этой работу я включила исторический материал, разновидности, правила создания игру-загадку. Магический квадрат.
Магический, или волшебный квадрат-это квадратная таблица, заполненная n числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми
числами от 1 до n .
Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален - квадрат состоит из одного числа.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях. Называется магической константой
, М. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой.
| Порядок n |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
| М(n) |
15 |
34 |
65 |
111 |
175 |
260 |
369 |
505 |
671 |
870 |
1105 |
Первые значения магических констант приведены в следующих таблице.
Исторически значимые магические квадраты.
В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На её панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков(рис.1). Если заменить каждую фигуру числом, показывающим сколько в ней кружков, получится таблица.
| 4 |
9 |
2 |
| 3 |
5 |
7 |
| 8 |
1 |
6 |
У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4+3+8=15.тот же результат получится при сложении чисел второго, а так же третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.
Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.
Рис.1
КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).
Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи ХI века в индийском городе Кхаджурахо.
| 7 |
12 |
1 |
14 |
| 2 |
13 |
8 |
11 |
| 16 |
3 |
10 |
5 |
| 9 |
6 |
15 |
4 |
Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)
В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков.
Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка.
| 27 |
29 |
2 |
4 |
13 |
36 |
| 9 |
11 |
20 |
22 |
31 |
18 |
| 32 |
25 |
7 |
3 |
21 |
23 |
| 14 |
16 |
34 |
30 |
12 |
5 |
| 28 |
6 |
15 |
17 |
26 |
19 |
| 1 |
24 |
33 |
35 |
8 |
10 |
Квадрат Альбрехта Дюрера
Магический квадрат 4х4, изображенный на гравюре А. Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины(1514)
| 16 |
3 |
2 |
13 |
| 5 |
10 |
11 |
8 |
| 9 |
6 |
7 |
12 |
| 4 |
15 |
14 |
1 |
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34 . Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17. Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.
Если в квадратную матрицу n х n заносится нестрого натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый (рис.3) имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (рис.4) (размером 4х4)- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.
| 67
|
1
|
43
|
| 13
|
37
|
61
|
| 31
|
73
|
7
|
Рис.3 рис.4
| 3
|
61
|
19
|
37
|
| 43
|
31
|
5
|
41
|
| 7
|
11
|
73
|
29
|
| 67
|
17
|
23
|
13
|
Дьявольский магический квадрат
Дьявольский магический квадрат
- магический квадрат, в которой также с магической константой совпадает сумма чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор)
в обоих направлениях.
Такие квадраты называют ещё пандиагональными
.
Существует 48 дьявольских магических квадратов 4х4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и их дополнительную симметрию – торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:
Рис. 5 рис. 6
| 1 |
8 |
13 |
12 |
| 14 |
11 |
2 |
7 |
| 4 |
5 |
16 |
9 |
| 15 |
10 |
3 |
6 |
| 1 |
12 |
7 |
14 |
| 8 |
13 |
2 |
11 |
| 10 |
3 |
16 |
5 |
| 15 |
6 |
9 |
4 |
Рис.7
| 1 |
8 |
11 |
14 |
| 12 |
13 |
2 |
7 |
| 6 |
3 |
16 |
9 |
| 15 |
10 |
5 |
4 |
Однако было доказано, что (рис.7) простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата (рис.5;6). То есть третий вариант- это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными.
Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов чётности выше 4 имеются совершенные.
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.
| 1
|
15
|
24
|
8
|
17
|
| 9
|
18
|
2
|
11
|
25
|
| 12
|
21
|
10
|
19
|
3
|
| 20
|
4
|
13
|
22
|
6
|
| 23
|
7
|
16
|
5
|
14
|
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.
Найти все магические квадраты порядка n удается только для, n=3,4 поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n>4.Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (х,y) поставить число.
Ещё проще построение выполнить следующим образом, берется матрица n x n.Внутри её строится ступенчатый ромб. В нем ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом чисел. Определяется значение центральной ячейки С.
Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка С-1; нижняя левая ячейка С+1; нижняя правая ячейка С-n; верхняя левая ячейка С+n.
СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.
Каким же образом составляют магические квадраты?
Создание магического квадрата «Ло-Шу».
Задача
: Квадрат 3х3, составить из цифр от 1 до 9, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны.
Решение:
Решим задачу, не прибегая к перебору одной за другой всех перестановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во-вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центрального, которое войдёт четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4*15=3х+3*15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5.
Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем углу. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1, а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация - числа 4 и 2. Значит, 9 стоит в середине каких-то крайних строк или столбцов (у нас в середине первой строки). Двумя другими числами этой строки являются 4и2, а третьим числом среднего столбца должно быть 15-9-5=1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. Тем самым, магический квадрат почти заполнен и легко найти место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат «Ло-Шу».
Конечно, для 9 можно выбрать другие три места, а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. Всего получается 4*2=8 различных магических квадратов из трёх строк и трёх столбцов (или, как говорят математики, квадратов третьего порядка). Все эти квадраты можно получить на «Ло-Шу» либо поворачивая квадрат на 180,90 или 270. Еще возможен вариант зеркального отображения.
Квадрат
«Ло-Шу»
| 4
|
9
|
2
|
| 3
|
5
|
7
|
| 8
|
1
|
6
|
Создание магического квадрата
Альбрехта Дюрера.
Задача
:
Создать магический квадрат 4х4, из цифр от 1 до 16, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны.
Решение
: Сумма всех чисел от 1 до16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться:136:4=34. Но если просуммировать все числа, во-вторых, в столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центральных, которые войдут дважды. Этими числами будут 10,11,6,7. После чего доставим остальные числа 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 в остальные ячейки
Квадрат Альбрехта Дюрера Судоку.
В переводе с Японского «су» означает «цифра», а «доку» - «стоящая отдельно».
Не надо гадать или капаться в книгах – только логика и внимательность!
Задача:
заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в любой строке, любом столбце и в каждом из 9 блоков 3х3 цифра не повторялась.
Решение:
шаг 1
Посмотрим на выделенный ряд. В нем не хватает только двух цифр: 1 и 2.Взглянем на первую пустую клетку справа. Можем мы вписать туда 1? Нет. Потому что в этой колонке 1 уже есть, а повторяться эти цифры в колонке не могут. Значит, в эту клетку мы можем вписать лишь 2. Так и сделаем. Теперь нам осталось только вписать цифру 1 в пустую, последнюю клетку в этом ряду, и ряд заполнен.
|
|
9
|
2
|
3
|
|
7
|
|
4
|
5
|
| 8
|
3
|
|
1
|
|
4
|
6
|
|
7
|
| 6
|
|
|
8
|
|
5
|
|
3
|
|
| 7
|
8
|
3
|
6
|
5
|
1
|
4
|
2
|
enter;">9
|
|
|
|
|
4
|
7
|
3
|
1
|
5
|
8
|
| 5
|
1
|
4
|
|
8
|
|
7
|
|
|
|
|
6
|
|
5
|
1
|
8
|
|
|
4
|
| 4
|
|
8
|
|
3
|
|
|
1
|
|
| 3
|
7
|
|
|
4
|
|
5
|
|
2
|
Шаг 2
Давайте посмотрим на выделенную колонку: в ней также не хватает всего двух цифр- 2 и 7. Цифру 7 мы не можем вписать в первую сверху пустую клетку этой колонки, потому что в пересекающем колонку ряду уже есть цифра 7. Зато мы можем вписать в неё цифру 2, что и делаем! А для цифры 7 остается только одна пустая
клетка в этой колонке - вторая клетка снизу. Смело в ней пишем цифру 7- колонка заполнена!
|
|
9
|
2
|
3
|
|
7
|
|
4
|
5
|
| 8
|
3
|
|
1
|
|
4
|
6
|
|
7
|
| 6
|
|
|
8
|
|
5
|
|
3
|
|
| 7
|
8
|
3
|
6
|
5
|
1
|
4
|
2
|
9
|
|
|
|
|
4
|
7
|
3
|
1
|
5
|
8
|
| 5
|
1
|
4
|
2
|
8
|
|
7
|
|
|
|
|
6
|
|
5
|
1
|
8
|
|
|
4
|
| 4
|
|
8
|
7
|
3
|
|
|
1
|
|
| 3
|
7
|
|
9
|
4
|
|
5
|
|
2
|
Шаг 3
Ну а теперь давайте взглянем на центральный блок клеток: в нем осталась только одна пустая клетка, то есть недостает всего лишь одной цифры. Посмотрим внимательно- это цифра 9, так как все остальные цифры уже стоят на своих местах. Пишем снова в клетку цифру 9... и снова «осматриваемся» - и у нас снова есть один ряд и одна колонка. В которых не хватает по две цифры. Что дальше? Ответ мы найдем сами- шаг 1, шаг 2...
|
|
9
|
2
|
3
|
|
7
|
|
4
|
5
|
| 8
|
3
|
|
1
|
|
4
|
6
|
|
7
|
| 6
|
|
|
8
|
|
5
|
|
3
|
|
| 7
|
8
|
3
|
6
|
5
|
1
|
4
|
2
|
9
|
|
|
|
|
4
|
7
|
3
|
1
|
5
|
8
|
| 5
|
1
|
4
|
2
|
8
|
|
7
|
|
|
|
|
6
|
|
5
|
1
|
8
|
|
|
4
|
| 4
|
|
8
|
7
|
3
|
|
|
1
|
|
| 3
|
7
|
|
9
|
4
|
|
5
|
|
2
|
-данные числа.
| 1
|
9
|
2
|
3
|
6
|
7
|
8
|
4
|
5
|
| 8
|
3
|
5
|
1
|
2
|
4
|
6
|
9
|
7
|
| 6
|
4
|
7
|
8
|
9
|
5
|
2
|
3
|
1
|
| 7
|
8
|
3
|
6
|
5
|
1
|
4
|
2
|
9
|
| 9
|
2
|
6
|
4
|
7
|
3
|
1
|
5
|
8
|
| 5
|
1
|
4
|
2
|
8
|
9
|
7
|
6
|
3
|
| 2
|
6
|
9
|
5
|
1
|
8
|
3
|
7
|
4
|
| 4
|
5
|
8
|
7
|
3
|
2
|
9
|
1
|
6
|
| 3
|
7
|
1
|
9
|
4
|
6
|
5
|
8
|
2
|
Чтобы было еще интереснее, можно создать судоку разных уровней сложности:
*-легкий, **- средний, ***- сложный, ****- очень сложный, ****- суперсложный.
Отличие уровней состоит в том, что количество цифр в блоке увеличивается.
Первый - не хватает 2,3 числа.
Второй – 4, третий – 5,4, четвертый – 6,пятый – 6,7.
Какуро
Черные клетки в какуро называются легендой.
Они разделены наклонной чертой и содержит одно или два числа. Число в правом верхнем углу относится к прилегающему горизонтальному блоку клеток (А),
а в левом нижнем - к вертикальному (Б).
Задача: вписать в пустые клетки цифры от 1 до 9так, чтобы их сумма в блоке соответствовала сумме в легенде. В блоке не могут стоять две одинаковые цифры! Так, число 4 в легенде может стоять только 3 1, а не из цифр 2 и 2.
Шаг 1
Сначала проверьте маленькие суммы – легко разложить на цифры. Начнем с 3.В этом случае комбинации могут быть либо «1+2», либо «2+1». Третьего естественно не дано.
Шаг 2
Числу 4 могут соответствовать комбинации «1+3» или «3+1» (но не 2+2). Значит, в первом поле может стоять только число 1.Теперь мы можем верно заполнить оба блока:»1+2» и «1+3».
Шаг 3
Посмотрим на 4 в последней легенде. Варианты здесь те же: «3+1» и «1+3». Цифра 3 в горизонтальном блоке уже есть, и единственный возможный вариант решения – цифра 1.
Шаг 4
А теперь мы можем заполнить все остальные клетки. Совет:
вписывайте в углы клеток возможные комбинации цифр, а по мере заполнения вычеркивайте цифры, которые не входят.
БАНК ЗАДАЧ
№1
(ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА.
Очный тур конкурса « Юный знаток математики»
8 класс, 2007-2008 учебный год.)
В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставить числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны.
| 4
|
9
|
2
|
| 3
|
5
|
7
|
| 8
|
1
|
6
|
№2
число 30
Расставить в клетках четные числа 2,4,6,8,10,1214,16,18так, чтобы в любом направлении получилось в сумме число 30
| 12 |
2 |
16 |
| 14 |
10
|
6 |
| 4 |
18 |
8 |
Выводы
Создавая свою работу, я расширила свои знания о понятии магических квадратов, о правилах их создания, узнала историю, как они создаются, узнала много новых слов, научилась работать с литературой, разгадывать и создавать магические квадраты.
Литература
И.Я. Депман; Н.Я.Виленкин «За страницами учебника математики»
Москва «Просвещение» 1989г.
В.П Трутнев «Считай, решай, отгадывай!» Москва «Просвещение» 1970г.
«Лиза» (кроссворды, судоку, какуро)
№17/2006г.