УНИВЕРСИТЕТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ
Факультет: Бизнес, Маркетинг, Коммерция
Дисциплина: Финансовая математика
Ф.И.О. студента: Спрыжков Игорь Максимович
Курс: 3
. Семестр: 5.
Дата сдачи: _____________________
Ученая степень преподавателя: _______________________________________
Ф.И.О.: Осташкин С.В.
Оценка: _________________________ Подпись: _________________________
Дата проверки: __________________
Задача 1. Капитал величиной 4000 денежных единиц (д.е.) вложен в банк на 80 дней под 5% годовых. Какова будет его конечная величина.
Решение.
Способ 1.
,
K’ = K + I = 4000+44=4044,
где K – капитал или заем, за использование которого заемщик выплачивает определенный процент;
I – процентный платеж или доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;
p – процентная ставка, показывающая сколько д.е. должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за год);
d – время, выраженное в днях.
360 – число дней в году.
Способ 2.
Время t = 80/360 = 2/9.
K’ = K + K×i×t = 4000(1 + 0.05×2/9) = 4044,
где i – процентная ставка, выраженная в долях единицы,
t – время, выраженное в годах.
Задача 2. На сколько лет нужно вложить капитал под 9% годовых, чтобы процентный платеж был равен его двойной сумме.
Решение
2×K = I.
2×K = K×9×g/100,
g = 2×100/9 = 22.22
Задача 3. Величина предоставленного потребительского кредита – 6000 д.е., процентная ставка – 10% годовых, срок погашения – 6 месяцев. Найти величину ежемесячной выплаты (кредит выплачивается равными долями).
Решение
Таблица 1
План погашения кредита (амортизационный план)
| Месяц |
Долг |
Процентный платеж |
Выплата долга |
Месячный взнос |
| 6000 |
10% |
|||
| 1 |
5000 |
50 |
1000 |
1050 |
| 2 |
4000 |
42 |
1042 |
|
| 3 |
3000 |
33 |
1033 |
|
| 4 |
2000 |
25 |
1025 |
|
| 5 |
1000 |
17 |
1017 |
|
| 6 |
¾ |
8 |
1008 |
|
| 175 |
6000 |
6175 |
Объяснение к таблице
Месячная выплата основного долга составит:
K / m = 6000/6 = 1000.
Месячный взнос представляет собой сумму выплаты основного долга и процентного платежа для данного месяца.
Процентные платежи вычисляются по формуле:
,
где I1
– величина процентного платежа в первом месяце;
p – годовая процентная ставка, %.
Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом:
=175.
Общая величина ежемесячных взносов:
=1029.
Задача 4. Вексель номинальной стоимостью 20000 д.е. со сроком погашения 03.11.95. учтен 03.08.95 при 8% годовых. Найти дисконт и дисконтировать величину векселя.
Решение
Так как нам известна номинальная величина векселя, дисконт, находим по формуле:
=409,
где Kn
– номинальная величина векселя;
d – число дней от момента дисконтирования до даты погашения векселя;
D – процентный ключ или дивизор (D = 3600/p = 36000/8 = 4500).
Дисконтированная величина векселя равна разности номинальной стоимости векселя и дисконта (процентного платежа):
20000 – 409 = 19591.
Задача 5. Пусть в банк вложено 20000 д.е. под 10% (d) годовых. Найти конечную сумму капитала, если расчетный период составляет: а) 3 месяца; б) 1 месяц.
Решение
При декурсивном (d)расчете сложных процентов:
Kmn
= K×Ip/m
mn
, Ip/m
= 1 + p/(100×m),
где Kmn
– конечная стоимость капитала через n
лет при p% годовых и капитализации, пров
раз в год.
а) K = 20000×I2.5
4
= 20000×(1 + 10/(100×4))4
= 20000×1.104 = 22076 д.е.
б) K = 20000×I10/12
12
= 20000×(1 + 10/(100×12))12
= 20000×1.105 = 22094 д.е.
При антисипативном (a) способе расчета сложных процентов:
Kmn
= K×Iq/m
mn
, Iq/m
= 100m/(100m - q),
где q – годовой прцент.
а) K = 20000×(100×4/(100×4 – 10))4
= 20000×1.107 = 22132 д.е.
б) K = 20000×(100×12/(100×12 – 10))12
= 20000×1.106 = 22132 д.е.
Задача 6. Номинальная годовая ставка – 30%. Найти уравнивающую процентную ставку при начислении сложных процентов каждые 3 месяца.
Решение
= 6.779%.
Задача 7. По одному из вкладов в банке в течение 20 лет накоплено 200 000 д.е. Найти сумму, положенную на счет первоначально, если годовая процентная ставка (d) составляет 8%.
Решение
K0
= Kn
×r-n
= Kn
×II8%
20
= Kn
×(1 + p/100)-n
= 200000×(1 + 8/100)-20
= = 200000×0.21454 = 42909 д.е.,
где r = (1 + p/100) – сложный декурсивный коэффициент.
Задача 8. Каждые три месяца в банк вкладывается по 500 д.е. Какова будет совокупная сумма этих вкладов в конце 10-го года при процентной ставке 8% и годовой капитализации.
Решение
Сначала для годовой процентной ставки 8% определим процентную уравнивающую ставку:
=1.9427%
Затем полученную уравнивающую ставку поместим в следующую формулу:
Svmn
= u×, где rk
= 1 + pk
/100,
где v – число вкладов в расчетном периоде,
n - число лет,
m – число капитализаций в год.
тогда
rk
= 1 + 1.9427/100 = 1.0194
S4
×
10
= 500× = 500×60.8157 = 30407.84 д.е.
Задача 9. Насколько увеличатся годовые вклады по 2 000 д.е. в течение 4 лет при 8% годовых, если капитализация производится раз в три месяца и первый вклад вносится в конце первого года.
Решение
,
u1
= u×I2%
4
/ III2%
= 2000×1.0824 / 4.204 = 514.93 д.е.
Snm
= 514.93×III2%
3
×
4
+ 2000 = 514.93×13.6803 + 2000 = = 9044.41 д.е.
Задача 10. Пусть первый вклад в банк составляет 2000 д.е., а каждый последующий уменьшается на 100 д.е. по отношению к предыдущему. Найти величину вкладов в конце 10-го года, если они производятся ежегодно, постнумерандо, процентная ставка – 4% годовых, капитализация ежегодная.
Решение
Задача 11. Найти текущую стоимость суммы 10 вкладов постнумерандо по 5000 д.е. при 8% годовых, если капитализация осуществляется каждые полгода.
Решение
При ежегодной капитализации:
C0
= a×IVp
n
= 5000×IV8%
10
= 5000×6.71=33550
Задача 12. Пусть величина займа равна 20000 д.е. Амортизация осуществляется одинаковыми аннуитетами в течение 10 лет при 2% годовых. Найти величину выплаты задолженности за второй и третий годы, если капитализация процентов производится ежегодно.
Решение
Таблица 2
План погашения займа (амортизационный план)
| Год |
Долг |
Процентный платеж |
Выплата долга |
Аннуитет |
| 1 |
20000 |
400 |
1826.53 |
2226.53 |
| 2 |
18173.47 |
363.47 |
1863.06 |
|
| 3 |
16310.41 |
326.21 |
1900.32 |
Пояснения к таблице
Аннуитет вычисляем по формуле:
a = K×Vp
n
= 20000×V2%
10
= 20000×0.1113 = 2226.53 д.е.
Чтобы определить выплату задолженности b1
, вычисляем величину процентного платежа I:
I1
= K1
×p/100 = 20000×2/100 = 400 д.е.
Выплата задолженности представляет собой разницу между аннуитетом и процентным платежом:
b1
= a – I1
= 2226.53 – 400 = 1826.53 д.е.
Таким образом, после первого года долг сократится на 1826.53 д.е. Остаток долга равен:
K2
= 20000 - 1826.53 = 18173.47 д.е.
Вычислим процентный платеж на остаток долга:
I2
= 18173.47×2/100 = 363.47 д.е.
Вторая выплата составит:
b2
= a – I2
= 2226.53 – 363.47 = 1863.06 д.е.
Долг уменьшится на величину 1863.06, остаток долга составит:
K3
= 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д.е.
Далее
I3
= 16310.41×2/100 = 326.21 д.е.
Третья выплата задолженности составит:
b3
= a – I3
= 2226.53 – 326.21 = 1900.32 д.е.
Список использованной литературы
1. Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово-банковских расчетов. – М.: Финансы и статистика, 1994.