Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Вятский государственный гуманитарный университет»
Физико-математический факультет
Кафедра дидактики физики и математики
Выпускная квалификационная работа
Методика использования визуальных моделей в обучении школьников решению математических задач
Выполнил
студент V курса физико-математического факультета
(специальность 050201.65 Математика)
Слончук Артём Геннадьевич
Научный руководитель:
канд. пед. наук, ст. преп. кафедры
дидактики физики и математики
Горев Павел Михайлович
Рецензент:
канд. пед. наук, доцент кафедры
дидактики физики и математики
Крутихина Марина Викторовна
Работа допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___»__________2008 г. Зам. зав. Кафедрой М.В. Крутихина
«___»__________2008 г. Декан факультета Е.В. Кантор
Киров, 2008
Содержание
Введение
§ 1. Наглядность как средство развития школьников в процессе обучения математике
1.1. Понятие наглядности и ее роль в процессе обучения математике
1.2. Функции наглядности в обучении математике
1.3. Виды наглядности в обучении математике
1.4. Роль наглядности в математике
1.5. Использование наглядности в процессе обучения математике
§ 2. Методика обучения решению математических задач с использованием визуальных моделей
2.1. Методика построения визуальных моделей при обучении решению текстовых задач
2.2. Методика использования визуальных моделей при обучении решению задач на движение
2.3. Методика применения визуальных моделей при обучении решению задач с параметрами
§ 3. Описание и анализ результатов опытно-экспериментальной работы
Заключение
Библиографический список
Введение
В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики.
Как показывает школьная практика, результаты ЕГЭ, учащиеся не достаточно хорошо решают задачи, иногда даже не берутся за их решение. Это связанно с тем, что учащиеся плохо владеют методами решения задач.
Эффективным средством обучения решению задач является метод визуализации. Он помогает найти путь решения, способствует более глубокому усвоению алгоритмов решения, осознанию всех связей присутствующих в задаче, помогает увидеть взаимосвязь понятий, что позволяет на более высоком уровне оценить их роль и значение для задачи в частности и соответствующей теории вообще.
Но, как показывает анализ учебной литературы, данная тема не достаточно глубоко освещена, что не позволяет использовать учащимся визуальные модели как средство решения задач. Кроме того, методическая литература тоже не содержит основательных сведений в этой области. Как следствие этого учителя практически не используют данные методы в процессе обучения.
Таим образом, актуальность работы
обусловлена:
· необходимостью повышения уровня знаний школьников в области использования визуальных моделей для решения математических задач;
· недостаточной разработанностью методических пособий по данной теме;
· недооценкой учителями роли визуализации в процессе обучения решению математических задач.
Гипотеза исследования
заключается в том, что систематическое и целенаправленное использование методов визуализации в процессе обучения школьников математике способствует осознанному умению решать математические задачи, повышает уровень эффективности обучения, способствует развитию и поддержанию интереса к математике, а так же развитию различных форм мыслительной деятельности.
Объект исследования
– процесс обучения математике в средней школе.
Предмет исследования
– использование методов визуализации при обучении школьников решению математических задач.
Целью
работы является выявление возможностей применения визуальных моделей при решении математических задач и составление методических рекомендаций по их использованию.
Достижение цели работы реализуется через систему задач:
· изучить учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;
· перечислить требования и сформулировать правила применения наглядных пособий при обучении математике;
· рассмотреть методику работы с визуальными моделями при обучении решению математических задач;
· проверить эффективность данной методики с помощью опытного преподавания.
Работа состоит из введения, трех параграфов, заключения и библиографического списка (24 источника). В первом параграфе рассмотрены основные положения использования наглядности в обучении математике. Во втором параграфе изложена методика использования визуальных моделей при решении отдельных классов задач. Третий параграф содержит описание и анализ опытного преподавания, осуществленного на базе школы № 21 г. Кирова.
§ 1. Наглядность как средство развития школьников в процессе обучения математике
1.1. Понятие наглядности и ее роль в процессе
обучения математике
Формирование общего, абстрактного понятия является сложным многоступенчатым процессом. Прежде чем понятие будет осознано в полной мере своего абстрактного содержания, оно должно пройти стадию восприятия (информация на уровне ощущений), представления (ту стадию, на которой осознаются лишь некоторые стороны изучаемого объекта). Вот что говорит о связи понятия и представления известный советский психолог С. Л. Рубинштейн: «Понятие и представление неразрывно связанны друг с другом. Они не тождественны, но между ними существует единство; они исключают друг друга как противоположности, поскольку представление образно-наглядно, а понятие не наглядно, представление – даже общее – связано более или менее непосредственно с наглядной единичностью, отражает явление в более или менее непосредственной данности, а в понятии преодолевается ограниченность явления и раскрываются его существенные стороны в их взаимосвязи» [19].
Таким образом, чтобы сформировать понятие нужно иметь представление, которое в свою очередь имеет наглядно-образную природу, и опирается на восприятие.
Формирование понятий приоритетная задача обучения, т. к. знания, без владения понятиями, утрачивают свою содержательность, а умения и навыки становятся формальными. Психологические механизмы этого процесса таковы, что обучение должно опираться на чувственный опыт или, говоря педагогическими терминами, на наглядность.
Исторически сложилось так, что необходимость обращения к визуальным образам была постулирована, как педагогический принцип еще в XVII веке. Впервые наглядность как принцип обучения ввел в теорию и практику обучения Я. А. Коменский. Сформулированное им «золотое правило» гласит, что все подлежащее усвоению надо предоставить ученикам для предварительного восприятия, которому подлежит все то, что воспринимается органами чувств. Коменский считал наглядность источником накопления знаний. Его последователь, Песталоцци, считал наглядность еще и средством развития способностей и духовных сил ребенка. Он осознавал, что не всякая наглядность служит источником знаний и не всякая наглядность способствует развитию. Русский педагог К. Д. Ушинский указывал, что наглядность отвечает психологическим особенностям детей, мыслящих «формами, звуками, красками, ощущениями». Наглядное обучение Ушинский определял как «такое учение, которое строится не на отвлеченных представлениях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринятых ребенком».
К изучению наглядности и ее роли в процессе обучения и познания обращались известные дидакты, психологи, специалисты в области теории и методики обучения математике, ученые-математики.
Так, например, о роли наглядности в математике говорил крупнейший математик Д. Гильберт: «В математике встречаются две тенденции: тенденция к абстракции – она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести этот материал в систематическую связь, другая тенденция – тенденция к наглядности, которая в противоположность этому стремиться к живому пониманию объектов и их внутренних отношений».
Выдающийся философ и математик Г. В. Лейбниц говорил, что «наглядность хорошее средство против неопределенности слов».
Педагогика заимствовала идеи известных педагогов, мыслителей и их последователей, поэтому объяснения учителя связывались с необходимостью демонстрировать предмет усвоения, представленный в чувственной форме, в виде вещи, картины и т.п., с помощью наглядных пособий.
Понятие наглядности с течением времени менялось, развивалось и совершенствовалось.
Попытку математически точно определить наглядность сделал В. Г. Болтянский [1]. Он утверждал, что наглядность складывается из двух основных свойств: изоморфизма и простоты, т.е. может быть выражена следующей формулой: наглядность = изоморфизм + простота (изоморфизм – соответствие между объектами, выражающее тождество их структур). То есть это правильное изоморфное отражение существенных черт явления и простота восприятия.
А. Н. Леонтьев одним из первых в мировой педагогике и психологии поставил вопрос о том, что совершенно недостаточно действовать с помощью наглядных пособий на органы чувств. Необходимы встречные, активные действия учеников. Только в этом случае, воздействующие на органы чувств наглядные пособия трансформируются в психические образы. То есть воспринимают не органы чувств человека, а человек с помощью своих органов чувств. В современном педагогическом словаре наглядность определяется так: свойство, выражающее степень доступности и понятности психических образов объектов познания для познающего субъекта; один из принципов обучения.[19]
Применение наглядности при обучении математике имеет корни в теории познания и согласуется с методикой математики. Условно можно выделить три этапа познания: восприятие, представление и абстрактное мышление. Процесс познания также условно можно разбить на две ступени: чувственную (восприятие и представление) и логическую (переход от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования). Чувственная ступень соответствует первому этапу пути познания, и роль наглядности на этом этапе достаточно важна. Наглядность используется для получения знаний о внешних свойствах математических объектов, о взаимосвязи объектов, об их сходстве и различии. Роль наглядности на третьем этапе познания заключается в том, что она дает возможность показать учащимся глубинные связи между свойствами математических объектов, создать правильный образ.
Роль и место применения наглядных пособий в процессе обучения математике, а также цель их использования на уроке зависит в первую очередь от содержания предмета и имеющихся у учащихся знаний. Школа должна развивать у учащихся определенный круг представлений, сообщить им необходимый запас знаний и навыков, а также научить применять полученные знания на практике. Необходимо создавать на уроках обстановку, в которой ученики заинтересовались бы математикой, вызывать у учащихся стремление к изучению математики. Использование наглядности на уроках облегчает восприятие и осознание учащимися учебного материала, помогает развить интерес к математике, а также теснее связать теоретические сведения с практикой. Метод наглядного обучения математике играет значительную роль в трудной борьбе с формализмом школьных знаний и их оторванностью от жизненной практики.
Психологи считают, что для того чтобы правильно подобрать и использовать наглядность на уроке необходимо определить действия учащихся по отношению к средствам наглядности, а также действия, которые должны будут выполнить учащиеся, чтобы овладеть материалом сознательно.
Таким образом, использование наглядности позволяет с разных сторон подходить к изучению какого-либо вопроса, задерживает, сосредоточивает внимание учеников (произвольное и непроизвольное), повышает интерес к изучаемому предмету, облегчает усвоение существа вопроса и приучает к обобщению и приложению знаний.
Поэтому при подготовке к уроку учитель должен тщательно продумать, какие средства наглядности будут использоваться на уроке, а также методику их использования. Также необходимо выяснить, на каком этапе урока следует показать модель, таблицу, как учащимся оформить ее в тетради, не рекомендовать ли сделать самодельную модель на ту же тему.
Первоначально понятие наглядности относилось лишь к зрительным восприятиям предмета или явления. Затем оно выросло в понятие чувственного восприятия вообще (слух, зрение, осязание). Позднее к наглядному методу обучения были отнесены наблюдение, опыт и практические приложения математики, а учебные модели, таблицы, картины, схемы и т.п. стали считать наглядными пособиями.
Итак, наглядность – свойство, выражающее степень доступности и понятности психических образов объектов познания для познающего субъекта; один из принципов обучения. В процессе создания образа восприятия объекта наряду с ощущением участвуют память и мышление.
Образ воспринимаемого объекта является наглядным только тогда, когда человек анализирует и осмысливает объект, соотносит его с уже имеющимися у него знаниями.
Наглядный образ возникает не сам по себе, а в результате активной познавательной деятельности человека. Образы представления существенно отличаются от образов восприятия. По содержанию они богаче образов восприятия, но у разных людей они различны по отчётливости, яркости, устойчивости, полноте.
Степень наглядных образов представления может быть различной в зависимости от индивидуальных особенностей человека, от уровня развития его познавательных способностей, от его знаний, а также от степени наглядных исходных образов восприятия.
Существуют также образы воображения – образы таких объектов, которые человек никогда непосредственно не воспринимал. Однако они составлены, сконструированы из знакомых и понятных ему элементов образов восприятия и представления.
Благодаря образам воображения человек способен вначале представить себе продукт своего труда, и лишь затем приступить к его созданию, представить различные варианты своих действий.
Чувственное познание даёт человеку первичную информацию об объектах в виде их наглядных представлений.
Мышление перерабатывает эти представления, выделяет существенные свойства и отношения между разными объектами и тем самым помогает создавать более обобщённые, более глубокие по содержанию психические образы познаваемых объектов.
1.2. Функции наглядности в обучении математике
Психологами установлено, что наглядность необходима для обеспечения целого ряда дидактических функций: принятия учащимися учебной задачи, мотивирования ее, «настройки» учащегося на процесс обучения, обеспечения школьнику общей ориентировки для его будущей деятельности.
В методике преподавания математики выделяют следующие функции наглядности.
1.
Познавательная функция
.
Методической целью реализации этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постепенно от простого к сложному, при этом мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Ценность этой функции состоит в предоставлении учащимся кратчайшего и доступного пути осмысления изучаемого материала.
2. Функция управления деятельностью учащегося.
При реализации этой функции средства и приемы наглядности участвуют в следующих действиях:
а) ориентировочных. Например
, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, или внесение в данный чертеж дополнительных элементов;
б) контролирующих, которые направлены на обнаружение ошибок при сравнении чертежа (схемы, графика), выполненного учащимся, с помещенными в учебнике, или в выяснении свойств, которые должен сохранить объект при тех или иных преобразованиях;
в) коммуникационных, которые отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащегося, которая соответствует исследованию полученных им результатов. Выполняя эти действия, учащийся по собственному опыту объясняет другим или самому себе суть изучаемого явления или факта по построенной модели.
3. Интерпретационная функция
.
Суть этой функции заключается в том, что один и тот же объект можно выразить с помощью разных знаков и моделей. Например
, окружность можно задать с помощью пары (центр и радиус), уравнением относительно осей координат, с помощью рисунка или чертежа.
Однако в одних случаях удобно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других – геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей, которая в определенных условиях может служить средством наглядности, является ее интерпретацией. Чем значимей объект, тем желательней дать большее количество интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.
4. Эстетическая функция.
Эстетика – красота. Она может быть постигаемая органами чувств, то есть формальная красота, и интеллектуальная, доступная только разуму. В математическом доказательстве должны быть соразмерны логическая и наглядная части. Так, благодаря простой наглядной модели, становится ясной суть доказательства, а логика уточняет лишь некоторые детали доказательства.
Для любого математического объекта существует возможность его «визуализации», то есть создания его наглядного образа. Красивые формулы, задачи, графики функций, многоугольники и т. п. являются объектами с эстетическими свойствами во внешнем облике.
Различные рисунки, чертежи, схемы, таблицы являются эстетическими объектами. Они отображают логику процессов, поэтому углубляют познание, способствуют раскрытию внутренней красоты математики.
К методическим функциям наглядности
можно отнести также функцию обеспечения целенаправленного внимания учащегося, функцию запоминания при повторении учащимися учебного материала, функцию использования прикладной направленности и др.
А. Н. Леонтьев выделяет также психологическую функцию
, включенную в процесс обучения с использованием наглядности. Она состоит в том, что наглядный материал (пособия) служит как бы внешней опорой внутренних действий, которые совершает ребенок под руководством учителя в процессе овладения знаниями.
Реализуя различные функции наглядности, можно способствовать развитию наиболее плодотворного мышления учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается со средств наглядности на полученную с их помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности.
1.3. Виды наглядности в обучении математике
Понимание роли и значения каждого вида наглядности на каждом этапе обучения необходимо для разработки оптимальной методики. Существует несколько принципов, по которым классифицируются виды наглядности. В данном случае виды наглядности классифицируются по градации приемов деятельности, отражающих способы моделирования отдельного математического знания или организованного набора знаний [8].
Операционная наглядность
– процесс формирования модели в учебной деятельности, базирующийся на опорных внешних действиях. К операционной наглядности относят демонстрационную наглядность (использование чертежей, схем, таблиц, плакатов, графиков, моделей), применение оперативной наглядности расширяет число каналов передачи и получения информации, ускоряя и углубляя восприятие изучаемого материала. Применение оперативной наглядности может служить мотивацией творческой деятельности ученика, позволяет увидеть процессы в динамике, способствует установлению межпредметных связей, расширяет область практического применения изучаемых вопросов.
Формализованная наглядность
– процесс формирования модели в учебной деятельности, базирующийся на структурных внешних действиях, процесс формирования «внешней» структуры, структуры обозначения, выделения или размещения текста на доске или в учебном пособии. К этому виду наглядности относится: использовании при записи курсива, рамок, абзацев, выделение отдельных формул в строчку, подчеркивание важных слов и предложений, обозначение значимости текста на полях различными знаками, обозначение начала и конца доказательства, использование цвета для выделения важных формул, элементов. Этот вид наглядности способствует лучшему восприятию, осмыслению и запоминанию материала.
Структурная наглядность
– процесс формирования модели учебной деятельности, базирующийся на структурных внешних действиях, процесс формирования «внутренней структуры». К этому виду наглядности относится выделение основного материала, построение модели с опорой на устойчивые ассоциации, характеризующиеся полнотой изложения основных понятий, методов теорем, доведение изучаемого материала до узнаваемости объекта восприятия. Примером использования структурной наглядности служит выделение в процессе восприятия учебного материала опорных качеств предмета, составление опорной таблицы, использование блок-схем, логический анализ теорем. Структурная наглядность активизирует мыслительную деятельность в процессе восприятия, учит логически мыслить, выделяет существенное в плане перцепции. Расположение изучаемых объектов в определенной системе улучшает восприятие, вызывая минимальные усилия со стороны органов чувств.
Фоновая наглядность
– процесс моделирования специфических особенностей данного организованного набора знаний, носящий мотивационный сквозной характер, обеспечивающий лучшее восприятие и усвоение. Фоновая наглядность характеризуется длительностью, неодномерностью, опорностью ассоциативно-рефлекторных функций восприятия, «ненавязчивостью» побочно применяемых действий. Примером применения этого вида наглядности могут служить приемы создания фона настроения, создание пониженного фона интенсивности вокруг опорной информации, привлечение исторического материала, применение различных мнемонических эффектов. Целевая установка, мотивация, внешнее ненавязчивое побуждение учителя к внутренним действия ученика, адекватным поставленной цели – составляющие компоненты фоновой наглядности. Фоновая наглядность имеет большое значение в процессе обучения и воспитания. От умелого использования ее зависит возникновение у учащихся потребности учиться, самостоятельно добывать знания, эмоциональное удовлетворение от учебы, воспитание воли культуры поведения [10].
Дистрибутивная наглядность
характеризуется структурными внешними действиями при изучении сформированной модели в процессе учебной деятельности. К этому виду относится структура размещения материала, выделение базовых определений, порций материала, классификацию методов доказательства. Использование этого вида наглядности позволяет расставлять акценты на изучаемом материале, делает его доступным для восприятия и усвоения, учит логически мыслить, анализировать, выделять главное и устанавливать связи между изучаемыми понятиями, уметь ориентироваться в большом объеме информации, воспитывает критическое отношение, учит быть собранным.
Наглядность преемственности
характеризуется опорностью ассоциативных связей внутри раздела, предмета и межпредметных. Сюда относится структура взаимосвязей, методы изложения, пропедевтика, опорные мотивационные исторические задачи, циклы задач исследовательского характера.
1.4. Роль наглядности в математике
Применение различных средств наглядности активизирует учащихся, возбуждает их внимание и тем самым помогает их развитию, способствует более прочному усвоению материала, дает возможность экономить время. Тот факт, что математике присуща большая абстрактность, определяет и характер средств наглядности, и особенности применения их. В таких учебных предметах, как естествознание, история, география, наглядные пособия чаще всего используются для показа изучаемых объектов. Чтобы учащиеся могли составить наиболее правильное, наиболее полное представление о животном или растении, о том или ином событии, о природном явлении и т.п., все это необходимо показать в возможно более естественном виде и так, чтобы хорошо были различимы все нужные детали. Что касается математики, то здесь предметы, во-первых, выступают только как элементы множеств, над которыми могут производиться некоторые операции и относительно которых может быть поставлен вопрос об их численности [4, 10, 22]. Поэтому, когда учитель говорит о яблоках на ветке, или о птичках на дереве, то он не останавливается на том, какие это яблоки или птички. Он обращает внимание детей лишь на количества их и на количественные отношения. Во-вторых, когда идет речь о том или ином предмете, то может быть поставлен вопрос об исследовании его формы или некоторых числовых характеристик, носящих названия величин. Но чтобы исследовать количественные отношения и формы в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от содержания. В этом и оказывают помощь учителю различные средства наглядности и в первую очередь модели, чертежи, схемы, которые более всего отвечают указанному требованию [5].
1.5. Использование наглядности в процессе обучения математике
Помогая детям в поисках решения задачи, нужно сделать схематический рисунок или чертеж к задаче; объясняя прием вычисления, сопровождая пояснение действиями с предметами и соответствующими записями и т. д. При этом важно использовать наглядное пособие своевременно, иллюстрируя самую суть объяснения, привлекая к работе с пособием и пояснению самих учащихся. При раскрытии приема вычисления, измерения, решении задачи и т. д. надо особенно четко показывать движение (прибавить-придвинуть, вычесть-убрать, отодвинуть) [4, 10]. Сопровождение объяснения рисунком (чертежом) и математическими записями на доске не только облегчает детям восприятие материала, но и одновременно показывает образец выполнения работы в тетрадях [4]. Например: как расположить чертеж и запись решения в тетради, как обозначить периметр с помощью букв и т. п. При ознакомлении с новым материалом и, особенно, при закреплении знаний и умений надо так организовать работу с наглядными пособиями, чтобы учащиеся сами оперировали ими и сопровождали действия соответствующими пояснениями.Качество усвоения материала в большинстве случаев значительно повышается, так как в работу включаются различные анализаторы (зрительные, двигательные, речевые, слуховые). При этом дети овладевают не только математическими знаниями, но и приобретают умения самостоятельно использовать наглядные пособия. Учитель должен всячески поощрять детей к использованию наглядных средств, к самостоятельной работе. Важным условием эффективности использования наглядных пособий является применение на уроке достаточного и необходимого количества наглядного материала. Если наглядные средства применять там, где этого совсем не требуется, то они играют отрицательную роль, уводя детей в сторону от поставленной задачи. Наглядность, использованная в этом случае, не только не помогает, но наоборот, задерживает формирование умения решать задачи, т. е. выбирать действие над числами, данными в условии.
Центральным в методике обучения решению задач является вопрос о том, как обучать детей решению текстовой задачи. Наблюдения за школьниками нередко показывают, что многие из них не только не хотят решать текстовые задачи, но и не умеют. Достичь такого умения можно, в частности, с помощью визуализации задачи.
В современной школе, несомненно, присутствуют разнообразные приемы, способствующие развитию навыков решения текстовых задач, но заданий на построение вспомогательных моделей мало. Во многих учебниках преобладают модели в виде краткой записи и рисунка задачи, меньше моделей в виде чертежа и соответственно мало заданий на их сравнение.
Для раскрытия сущности визуализации рассмотрим сначала понятие «модель».Слово «модель» в переводе с французского означает «образец». По видам средств, используемых для построения, все модели можно разделить на схематизированные и знаковые.
Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные (предметные) и графические, в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. К знаковыммоделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись текстовой задачи, таблицы. Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: формула, выражение, уравнение, система уравнений, запись решения задачи по действиям.
Визуализация текстовой задачи – это использование моделей (средств наглядности) для нахождения значений величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для установления связей между ними.
Методика обучения моделированию текстовых задач включает следующие этапы:
1) подготовительная работа к моделированию текстовых задач;
2) обучение моделированию текстовых задач;
3) закрепление умения решать задачи с помощью моделирования.
Подготовительная работа должна быть направлена на выполнение предметных действий. Отображая эти действия графически, сначала в виде рисунка, затем в виде модели, учащиеся в дальнейшем подходят к знаково-символической форме: равенству, формуле, уравнению и т. д. Прежде чем представить задачу в виде модели, необходимо ознакомиться с ее содержанием. При решении текстовой задачи учитель часто сталкивается с проблемой текста в математике. Проблема в том, что его нужно «перевести» с русского на математический язык и наоборот [11, 20]. В этом случае необходимо выявление «математического ядра» задачи. Для этого нужно выделить величины и отношения между ними, которые заключены, как говорят дети, в «главных» словах и числах (буквах)». Можно с учащимися договориться подчеркивать слова карандашом в книге и цветным мелом на доске. Вопрос задачи всегда выделяем особо – это цель наших действий. Приведем пример.
У Маши было 9 конфет
. Она отдала 3 конфеты
Толику и 2 конфеты
Максиму, а 2 конфеты съела
сама. Сколько конфет осталось
у Маши.
Таким образом, исключение части слов не повлияло на математическую модель задачи, то есть учащиеся совершенно безболезненно смогут понять, а, следовательно, решить данную задачу.
После ознакомления с содержанием задачи нужно приступить к ее моделированию [12]. Особенностью предметного моделирования простых текстовых задач является использование предметов, замещающих образец. Это могут быть полоски бумаги, геометрические фигуры и так далее. Особенности графического моделирования простых текстовых задач в том, что они строятся как частные случаи отношения величин: величины в задаче находятся в отношении целого (С) и частей (А и В), что наглядно показывается в схеме:
С
А B
Моделирование в виде схемы целесообразно использовать при решении задач, в которых даны отношения значений величин («больше», «меньше», «столько же»). Задачи, связанные с движением, целесообразнее моделировать с помощью чертежа, диаграммы или графика [2].
Наряду со схематическим моделированием, начиная с 1 класса, используется и знаковое моделирование – это краткая запись задачи [18]. В краткой записи фиксируются величины, числа – данные и искомые, а также некоторые слова, показывающие, о чем говорится в задаче: «было», «положили», «стало» и т. п. Краткую запись задачи можно выполнять в таблице и без нее.
При табличной форме требуется выделение и название величины. Расположение числовых данных помогает установлению связей между величинами: на одной строке, одно под другим. Искомое число обозначается вопросительным знаком [2].
Закреплению навыков моделирования текстовых задач помогают упражнения творческого характера. К ним относятся моделирование задач повышенной трудности, задач с недостающими и лишними данными, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач по данным моделям [15].
1. Работа с незаконченными моделями:
а) дополнение числовых данных и вопроса предложенной модели;
б) дополнение какой-либо части модели.
2.Исправление специально допущенных ошибок в модели.
3.Составление условия задачи по данной модели.
4.Составление задач по аналогии.
Итак, в данной работе, для использования визуальных моделей при решении задач, применяется методика, содержащая три вышеуказанных этапа. Первый этап данной методики предполагает выделение понятий, использующихся для составления модели, и отношений между ними. Его цель состоит в раскрытии смысла этих понятий и формирования навыков работы с этими понятиями. Второй этап предполагает применение выделенных понятий для построения визуальных моделей, обучения правилам этого построения. Результатом данного этапа является умения составлять модель по задаче и интерпретировать эту модель, т. е. опираясь на визуальную модель переходить к математической модели и формулировать из условий эквивалентные утверждения, удобные для дальнейшей работы. Третий этап предполагает закрепление полученных навыков. Роль и значение указанных этапов может варьироваться в зависимости от конкретного метода визуализации. Например, первый этап может отсутствовать в случае владения учащимися средствами моделирования. Важно только, чтобы всякий раз были в наличии результаты каждого этапа в указанной последовательности.
§ 2. Методика обучения решению математических задач с использованием визуальных моделей
2.1. Методика построения визуальных моделей при обучении решению текстовых задач
В этом параграфе рассмотрим методы визуализации тестовых задач. В качестве методов визуализации рассмотрим использование линейных и двумерных диаграмм, а так же применение графиков линейной функции. Данные методы визуализации основаны на геометрических свойствах фигур (прямоугольников, треугольников, отрезков) и свойствах операций над ними. При решении задач с использованием данного вида визуализации выделяют следующие три этапа: построение визуальной модели, то есть перевод задачи на геометрический язык, решение получившейся геометрической задачи, перевод задачи с геометрического языка на естественный. Для обучения построению и работы с визуальными моделями используется указанная выше трехэтапная методика, роль и значение этапов которой варьируется в зависимости от сложности конкретного способа визуализации. Задачи в этом параграфе выделяются не по содержанию сюжета, а по соответствию тому методу визуализации, который к ним применим.
Линейные диаграммы
используются преимущественно в тех задачах, в которых искомое находится в зависимости от данных, выразимой с помощью арифметических операций сложения (вычитания) и умножения (деления). В курсе алгебры представлены два основных вида задач (текстовых), решаемых с помощью линейных диаграмм: 1) задачи, в которых даны отношения значений величин и отражена одна ситуация в данный момент времени; 2) задачи, в которых даны отношения значений величин и отражены две ситуации – первоначальная и конечная. При решении задач первого вида линейная диаграмма выступает в качестве статической геометрической модели, то есть в процессе решения задачи она не изменяется и выполняет только иллюстративную функцию. Наибольший интерес с точки зрения использования линейных диаграмм в курсе алгебры представляют задачи второго вида. Построение линейной диаграммы при решении этих задач проходит в два приема: в начале строится диаграмма, отражающая первоначальное (конечное) состояние объектов, а затем согласно условию она изменяется таким образом, чтобы вновь полученное изображение (диаграмма) отражала конечное (первоначальное) состояние объектов. Изменение построенной диаграммы осуществляется путем действий над отрезками (сложения и умножения на число) [9].
Так как роль первого этапа методики обучения работе с визуальными моделями состоит в том, чтобы выделить основные понятия и объекты, участвующие в построении модели, то, в данном случае необходимость в нем отпадает. Связанно это с тем, что для построения и работы с линейными диаграммами используются отрезки и операции с ними, что изучается на протяжении всего школьного курса математики.
Второй и третий этапы не нужно явно отделять друг от друга: обучение моделированию происходит непосредственно в процессе решения задач, но в начале нужно провести методическую работу для формирования умений построения визуальной модели. Эта работа заключается в акцентировании внимания на существенных сторонах в построении визуальной модели, которые отражают суть задачи. А именно, рассмотреть случаи, в которых длина отрезка может выбираться произвольно, и случаи когда длина отрезка зависит от каких-то условий. Необходимо также провести различие между задачами первого и второго вида. Для задач второго вида показать, что мы идем от одного состояния к другому, при этом посредством арифметических операций над отрезками, соответствующих условию, получаем из первоначальной диаграммы другую, иллюстрирующую данное состояние. Приведем пример.
Задача 1.
На одном овощехранилище было втрое больше картофеля, чем на другом. С первого вывезли 450 кг картофеля, а на второе привезли 120 кг картофеля, после чего на обоих овощехранилищах картофеля стало поровну. Сколько килограмм картофеля было на каждом овощехранилище первоначально?
Как было отмечено выше решение задачи при использовании диаграмм, осуществляется в три этапа.
Первый этап. После прочтения задачи учащиеся отвечают на вопросы:
1. Сколько ситуаций рассматривается в задаче? (Две: первоначальная и конечная).
2. С какой ситуации следует начать построение линейной диаграммы? (Можно начать с первой ситуации и перейти от нее ко второй, а можно сначала построить диаграмму конечной ситуации и перейти от нее к первоначальной. Рассмотрим первый вариант).
3. Что будет представлять собой первоначальная диаграмма? (Два отрезка, один из которых втрое больше другого). После этого ученики строят первоначальную диаграмму, далее рассуждения продолжаются.
4. Как перейти на диаграмме от первой ситуации ко второй? (Надо из первого отрезка вычесть второй условно изображающий 450 кг, а ко второму прибавить отрезок изображающий 120 кг).
5.
|
Произвольно ли берутся отрезки изображающие 120 и 450 килограмм? (Нет, следует учитывать, что вновь полученные отрезки должны быть равны, так как на обоих хранилищах картофеля стало поровну).
Выполнив действия с отрезками, учащиеся получают диаграмму конечной ситуации. Первый этап работы над задачей заканчивается обозначением отрезков и оформлением записей на чертеже (рис.1).
Второй этап. Построенная линейная диаграмма превращает алгебраическую задачу в геометрическую, решение которой основано на использовании свойств длины отрезка. Ответ можно получить арифметически, не составляя уравнение, иногда его можно «усмотреть» на чертеже. С помощью диаграммы можно составлять различные уравнения к задаче, то есть решать её разными способами.
Третий этап. Перевод с геометрического языка на естественный осуществляется автоматически, в результате переноса терминологии. В начале следует сделать подробную запись с указанием того, что обозначает каждый отрезок. Постепенно можно переходить к краткой записи, так как некоторые факты видны на чертеже.
На мотивационном этапе формирования геометрического метода основанного на использовании линейных диаграмм целесообразно предлагать решить задачу двумя методами: алгебраическим и геометрическим. При этом следует подбирать задачу таким образом, чтобы её решение с помощью линейной диаграммы было более рациональным по сравнению с решением без чертежа.
Далее следует рассмотреть класс задач, для которых применим данный метод визуализации. При этом сюжеты задач должны быть разными, для того чтобы данный метод не ассоциировался с каким-то определенным видом сюжетных задач. При этом сложность задач, сложность построения модели должна повышаться. Нужно также указывать на модели различных сюжетных задач, в случае если они сходны, так как это формирует представление об универсальности данного метода, и вообще о моделировании как общего математического метода [12, 21].
Данный метод визуализации применим для относительно простых задач, тем не менее, его значимость достаточно высока. Он обогащает арсенал средств, которыми может пользоваться ученик при решении задач, а задачи, в которых данный метод применим, довольно часто возникают в качестве подзадачи на этапе анализа при решении более сложных задач. Часто такие задачи бывают на всевозможных математических турнирах, где требуется их решить за минимальное время. Например: «Кирпич весит 2 кг и еще пол кирпича. Сколько весит кирпич?» или «"То" да "это", да половина "того" да "этого"– сколько это будет процентов от трех четвертей "того" да "этого"?». Данный метод может оказать в подобном случае существенную помощь. Кроме того, данный метод является эффективным средством как при обучении решению задач на проценты, так и при обучении понятию процента как части от целого.
Линейные диаграммы могут использоваться на разных этапах решения задачи. При анализе текста она помогает учащимся лучше понять смысл задачи, рассматриваемые в ней отношения, при поиске способа решения – составить уравнение или арифметическое выражение. На этапе анализа решения задачи можно найти другое (иногда более рациональное) решение. Оно может использоваться для проверки ответа, полученного алгебраическим способом.
В задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, можно для наглядности представить такое произведение в виде площади прямоугольника, то есть в виде двумерной диаграммы
. Двумерная диаграмма может состоять из одного или нескольких прямоугольников.
Подготовительная работа к моделированию текстовых задач в данном случае, как и при использовании линейных диаграмм не требуется, так как используемые объекты и методы работы с ними ученикам достаточно хорошо известны и не представляют особой сложности.
Второй этап в методике обучения использованию двумерных диаграмм можно реализовать, опираясь на линейные диаграммы. Лучше всего перейти к моделированию тех задач, которые предварительно решены алгебраическим методом. Это связанно с тем, что ученики знают структуру задачи, установлены связи между данными и искомым, что делает построение модели более естественным. Кроме того, такой подход позволяет сравнить два способа решения задачи.
Перед построением геометрической модели, нужно установить связь геометрических преставлений в виде двумерных диаграмм с геометрическими представлениями в виде линейных диаграмм. Для этого, необходимо заметить учащимся, что в случае использования линейных диаграмм отрезками изображались значения одной и той же величины. Эти отрезки располагались на параллельных прямых. В задачах, где рассматривается произведение двух величин, отрезками будем изображать значения двух разных величин и отрезки будем располагать на двух перпендикулярных прямых так, чтобы они были смежными сторонами прямоугольника. Тогда площадь прямоугольника будет соответствовать произведению этих величин, а полученное изображение будем называть двумерной диаграммой. Приведем пример.
Задача 2.
Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км и против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки.
Алгебраический метод приводит к уравнению:
,
где – скорость реки. Решив уравнение, находим .
Рассмотрим геометрический метод. Так как в данной задаче рассматривается равномерное движение, то пройденный лодкой путь можно представить в виде произведения скорости и времени движения.
Пусть сторона АВ
прямоугольника АВС
D
изображает скорость лодки по течению реки (рис. 2). Тогда AD
будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через скорость течения реки, а через – время движения лодки по течению реки, то и .
Площадь прямоугольника АВС
D
(S
1
)будет соответствовать пути пройденному лодкой по течению реки: .
Далее следует предоставить учащимся самим построить двумерную диаграмму движения лодки против течения реки. Необходимо акцентировать их внимание на следующих моментах: прямоугольники нужно изображать вместе, чтобы они составляли одну фигуру, причем высоты этих прямоугольников должны быть равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки, целесообразнее высоту прямоугольников, изображающую время, сделать общей, тогда получаем фигуру в виде прямоугольника, площадь которого легко найти.
Далее продолжаем решение. Пусть отрезок BE
изображает скорость лодки против течения реки (BE
берем меньше АВ
), тогда отрезок EF
изображает время движения лодки против течения реки: .
Площадь прямоугольника BEFC
соответствует пути пройденному протии течения реки: . Площадь прямоугольника ABFC
определяет весь путь пройденный лодкой: .
В то же время, , , , тогда имеем: 60=30, , 35:2 = 17,5 – скорость движения лодки по течению, 17,5 – 15 = 2,5 – скорость течения реки.
Использование двумерных диаграмм в курсе алгебры опирается на следующую теорему: если через произвольную точку E
диагонали AC
прямоугольника ABCD
проведены прямые FM
и HK
параллельные соответственноAB
иAD
, образовавшиеся при этом прямоугольники HBME
и FEKD
будут равновелики, прямоугольники ABMF
и AHKD
тоже равновелики, кроме того отрезки FH
, DB
и KM
параллельны.
Приведем пример решения задачи с использованием данной теоремы.
Задача 3.
Один наборщик работал над выполнением заказа 9 часов. После чего закончить работу было поручено второму наборщику, который закончил работу за 4 часа 48 минут. Если бы оба наборщика работали вместе, то они выполнили бы работу за 6 часов 40 минут. За сколько времени каждый выполнил бы работу, работая отдельно?
Работа, выполненная наборщиком, равна произведению его часовой выработки на число выработанных им часов и, следовательно, может быть представлена площадью прямоугольника.
Проведем горизонтальный отрезок (рис. 3) AB
произвольной длины (почему мы можем длину выбирать произвольно?), пусть он изображает часовую выработку обоих наборщиков вместе. Перпендикулярно ему проведем два луча AA
1
и BB
1
. Единичный отрезок будет обозначать один час работы. Отметим время на каждом из этих лучей, начиная от нуля. На луче АА
1
отметим точку М,
указывающую 6 часов 40 минут и проведем отрезок МР.
Площадь прямоугольника АМРВ
обозначает количество всей работы. Но эта работа выполнялась наборщиками поочередно, поэтому теперь следует построить два прямоугольника изображающих соответственно работу каждого наборщика отдельно. Оба прямоугольника вместе должны быть равновелики прямоугольнику АМРВ.
Известны высоты этих прямоугольников (чему они равны?). Сумма оснований искомых прямоугольников должна составлять отрезок AB
(почему?),так как часовая выработка при совместной работе двух наборщиков равна сумме часовых выработок каждого из них.
Задача сводится к разбиению отрезка AB
на два таких отрезка АС
и СВ,
чтобы сумма площадей двух прямоугольников ACLK
и CBRQ
была равна площади прямоугольника АМРВ
.
На луче BB
1
отметим точку Т
(ВТ=АК
) изображающую 9 часов, на луче АА
1
отметим точку S
(AS
=
BR
) изображающую 4 часа 48 минут. Проведем отрезок ST
. Точка N
пересечения отрезков ST
и МР
определяет размеры MN
и NP
оснований искомых прямоугольников. Найденные прямоугольники ACLK
и CBRQ
равновелики прямоугольнику АМРВ.
Для того чтобы получить ответ задачи достаточно провести прямую AN
до пересечения в точке D
с лучом BB
1
, и прямую BN
до пересечения в точке Е
с лучом АА
1
. Длины отрезков будут искомыми величинами. Ответ 12 и 15.
Если построения выполнить на миллиметровой бумаге, взяв 1 мм за час, то данный ответ можно считать обоснованным. Если чертеж выполняется от руки не на миллиметровой бумаге и без масштаба, то для получения ответа требовались бы вычисления использующие подобие трех пар треугольников: SMN
и TPN
, ADB
и ANC
, BEA
и BNC
.
Откуда MN
:
MP
=
MS
:
PT
.
Но
MS
=
AM
–
AS
=6 ч 40 мин – 4ч 48 мин = 112 мин,
PT
=
BT
–
PB
= 9ч – 6ч 40 мин =140 мин.
Следовательно, MN
:
MP
=
4:5. Далее BD
:
CN
=
AB
:
AC
= MN
:
MP
=
9:4. Отсюда BD
= = 6 ч 40 мин =15 ч.
Аналогично, АЕ = 12 часов.
Во всяком случае, решение мы получаем благодаря решению геометрической задачи.
Решение задач с помощью изложенного метода опирается на достаточно сложный геометрический материал. Но методика обучения данному виду геометрического моделирования задач не включает его в себя. Сама методика предполагает формирование у учащихся представлений о связи двумерных диаграмм с величинами, которые можно представить в виде произведения двух других (например, путь, скорость и время), и умений работать с диаграммой. Все это формируется в процессе моделирования уже разобранных (решенных алгебраическим методом) задач с опорой на соответствующий материал о линейных диаграммах. Весь геометрический материал необходимый для работы с диаграммами представляет собой приведенную выше теорему, и три построения, которые обосновываются с помощью данной теоремы. Например, в задаче 3 при нахождении двух прямоугольников равновеликих данному используется такое построение. Весь геометрический материал можно изучить в курсе геометрии в теме «Площади». Задачи для обучения моделированию с помощью двумерных диаграмм нужно подобрать так, чтобы среди них были модели, использующие все построения. В начале задачи должны быть простыми, не использующими построения, например, задача 1 и усложнятся в последствии.
С помощью двумерных диаграмм можно составить разные уравнения одной и той же задачи, это помогает найти более рациональный путь решения. Кроме того, она позволяет наглядным образом обосновывать полученные уравнения, позволяет наглядно представить процесс, описанный в задаче.
Как мы видели на примере задачи 3, её, при выполнении соответствующих требований, можно решить благодаря только геометрическим построениям. Существует класс задач на совместную работу, которые можно решить благодаря только построениям в системе координат
. Приведем пример одной из таких задач.
Задача 4.
Бассейн заполняется водой через одну трубу за 4 часа, а через другую вода может вытечь за 6 часов. За сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обоих труб?
Рассмотрим прямоугольную систему координат (рис. 4). Пусть отрезок OD
изображает объем бассейна, тогда отрезок ОА
является графиком наполнения бассейна через первую трубу, отрезок ОВ
графиком вытекания воды из бассейна через вторую трубу. Графиками являются отрезки, так как объем воды, протекающий через трубу, прямо пропорционален времени. За 4 часа первая труба одна наполнит весь бассейн. Через вторую трубу за это время вытечет воды объемом, изображением которого служит отрезок МК
. Объем воды, оставшейся в бассейне изображается отрезком АК=АМ – МК
. Отложим отрезок МР = АК
, проведем через точки О
и Р
прямую до пересечения С
с прямой, изображающей объем. Тогда ОС
является графиком наполнения бассейна при одновременном действии двух труб. Из рисунка видно, что через 12 часов бассейн наполнится. Условия, при которых мы можем принимать результат решения задачи без дополнительной проверки, описаны ниже и требуют отдельного рассмотрения с учениками в процессе обучения решению задач подобными методами.
То, что графиками указанных зависимостей будут отрезки обоснованно в ходе решения задачи. Принцип построения данных графиков также прост, для этого нужно соединить начало координат и точку, которая соответствует времени выполнения работы. Основной вопрос как построить результирующий график и почему он соответствует верному результату. Ответ на этот вопрос раскрывает смысл метода решения задач данным способом. Для приведенной выше задачи нужно построить отрезок МР
, который равен объему совместной работы труб, в то время как первая труба заполнит объем соответствующий отрезку АК,
через вторую трубу вытечет объем соответствующий МК.
По построению МР=АМ – МК
. Значит график совместной работы будет проходить через точку Р
так как графиком является отрезок проходящий через начало координат, то теперь мы можем однозначно его построить.
Для того, чтобы решать задачи с помощью данного метода, нужно уметь еще строить результирующий график совместной работы. Работа может выполняться ее участниками в различном направлении (как «трубы» в предыдущей задачи) или в одном направлении.
Приведем пример задачи, где работа выполняется в одном направлении.
Задача 5.
Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей – за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?
Пусть отрезок OD
(рис. 5) изображает весь объем, тогда отрезок OC
график работы крана с холодной водой, отрезок DB
– с горячей. Пусть M
точка пересечения этих графиков, из рисунка видно, что к моменту времени соответствующему точке M
, оба крана, работая совместно, выполнят весь объем работы. Тогда проведем отрезок BK
через точку M перпендикулярно оси абсцисс, так как к моменту времени B
(или К
) весь объем работы будет выполнен, то отрезок OB
(или DK
) будет графиком совместной работы. OP
график, соответствующий работе по вытеканию воды. Из графиков OB
и OP
, с помощью метода описанного в предыдущей задаче получаем результирующий график. Из рисунка видно, что ванна заполнится через 5 минут.
|
Данный метод дает точный ответ, не требующий вычислений только в том случае, если выбран масштаб и все данные и ответ к задаче являются числами, находящимися в точках которые соответствуют целому числу единичных отрезков.
Данный метод используется для решения достаточно узкого класса задач, в которых дано время, затрачиваемое на работу каждым субъектом в отдельности, и требуется найти их общую производительность. Алгоритм арифметического решения этих задач прост: выражается количество работы, выполняемой за час одним субъектом, затем результаты всех складываются – это будет общая производительность. Графическая модель помогает представить наглядно решение задачи, кроме того, она подводит к графическому методу решения более сложных задач, который будет рассмотрен в следующем параграфе.
2.2. Методика использования визуальных моделей при обучении решению задач на движение
Рассматриваемый способ визуализации представляет собой построение графической модели в координатной плоскости. В координатной плоскости по оси абсцисс откладывается время, по оси ординат соответствующий путь, так как рассматриваются задачи на равномерное прямолинейное движение, то графиками движения объектов, указанных в задачах, будут прямые.
Задачи на равномерное прямолинейное движение можно разделить в зависимости от их графической модели на два типа: те, графические модели которых, непосредственно выражают
зависимость между данными и искомыми, и те, чьи модели указывают
на упомянутую зависимость, помогают проследить логику построения математической модели.
Задачи первого типа
в своей графической модели содержат зависимости между данными и искомым в виде геометрических связей (подобия и равенства треугольников), которые выражают данную зависимость, благодаря чему (из одних лишь геометрических соображений) можно перейти к математической модели задачи.
Из любой графической модели, благодаря только геометрическим соображениям, можно перейти к математической модели, но это не всегда целесообразно. Осуществить указанный переход можно потому, что условия задач и их графические модели изоморфны, но иногда рассуждения с помощью геометрических образов – это не более чем переход от одной терминологии к другой. Такой переход не всегда целесообразен, так как не всегда приводит к элементарной геометрической задаче, поэтому данные задачи выделяются в отдельный тип.
Первый тип задач является эстетически более привлекательным, так как в способе решения есть элемент неожиданности: из геометрических соображений мы получаем решение задачи на движение. Причем такой способ никак не просматривается из условия самой задачи, что и является фактором неожиданности [21]. Такие рассуждения повышают интерес учеников к математике, так как раскрывают связи между различными ее областями. Кроме того, решение, полученное данным способом, будет более лаконичным, простым и наглядным. То есть для решения мы используем более короткий путь, сохраняя при этом строгость рассуждений; все это и делает решения задач данного типа эстетически более привлекательными.
Выше было сказано, что условия задач и их графические модели изоморфны. Поясним, в чем состоит данный изоморфизм. Во-первых, всякое равномерное прямолинейное движение можно описать с помощью линейной функции, и всякая линейная функция может трактоваться как график равномерного прямолинейного движения. Во-вторых, любой объект, указанный в задаче, имеет свой геометрический образ в графической модели: время – отрезок на оси абсцисс, расстояние – отрезок на оси ординат, моменты встречи – точки пересечения графиков, скорость – угол наклона графика. Таким образом, всякое изменение условий влечет за собой изменение графической модели и наоборот.
Для того, что бы данный способ визуализации соответствовал формуле наглядности, данной Болтянским (наглядность = изоморфизм + простота), недостает только простоты графической модели. Простота в данном случае понимается как оперирование понятными образами, как осознание указанного изоморфизма. Все это достигается с помощью решения поставленных задач с использованием определенной методики.
Подготовительная работа при обучении моделированию текстовых задач на движение заключается в формировании умений переводить условие задачи на язык графиков и умений «читать» графики.
Мы работаем в системе координат «время-путь». Первой структурной единицей в системе умений и понятий, необходимой для овладения этим методом, является понятие линейной функции и умение интерпретировать ее как зависимость пути от времени равномерно и прямолинейно движущегося объекта. То есть ученик должен уметь выбрать точку отсчета и положительное направление осей координат, понимать, как отражается скорость на поведении графика.
Таким образом, пропевтическая работа, целью которой является диагностирование и устранение (если имеются) пробелов, а так же актуализация знаний с акцентом на данную интерпретацию, м
Приведем пример такой работы.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Изобразите в координатной системе «время-путь» график движения велосипедиста.
В задаче с данным условием целесообразно выбрать пункт А
так, чтобы он совпадал с началом координат. Далее нужно варьировать условия, изменяя скорость, время движения, направление движения, точку отсчета пути, точку отсчета времени.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В. Изобразите в координатной системе «время-путь» график движения велосипедиста, если известно, что он двигался со скоростью 10 км в час.
При таких условиях график останется тот же самый, здесь нужно акцентировать внимание учеников на то, что график всегда выражает три параметра: расстояние, время, скорость.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал на час позже, и двигался с той же скоростью. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.
В этой задаче график движения второго велосипедиста сдвигается параллельным переносом на единицу вниз. Аналогично нужно варьировать начало отсчета пути, пути и времени одновременно. Такое изменение формирует представления о местоположении точки отсчета, которое необходимо для умения моделировать данным способом задачи более сложного содержания.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал на час позже, и прибыл в пункт В одновременно с первым. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.
В данной задаче варьируется скорость второго велосипедиста. При изменениях такого рода формируется понимание зависимости угла наклона графика от скорости.
Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. Второй велосипедист выехал из пункта В одновременно с первым, и прибыл в А когда первый прибыл в В. Изобразите в координатной системе «время-путь» графики движения велосипедистов.
При данных условиях формируется умение выбирать положительное направление движения. Здесь же можно поставить вопрос о времени или месте встречи велосипедистов, что даст первоначальные представления о сути метода. В данной задаче возможны еще случаи варьирования условий, но вышеуказанные составляют основу, так как остальные из них являются комбинацией первоначальных.
Итак, основополагающими являются умения выбирать точку отсчета по пути и по времени, положительное направление движения, понятие о зависимости угла наклона графика от скорости движения объекта. Достижение всего вышеуказанного происходит в процессе решения задач, подобных приведенным.
Этап обучения графическому моделированию задач на движение во многом опирается на умения, сформированные на предыдущем этапе. Но в данной части есть свои, специфические для данного этапа, особенности. Они заключаются в том, что условия, формулируемые в задаче, не позволяют однозначно построить график отдельного движущегося объекта, так как в них не задаются все те параметры, которые позволяли бы это сделать. Тем не менее, модель должна отображать существенные стороны задачи. Например, условия задачи не позволяют однозначно построить графики двух движущихся объектов, но из них ясно, что если один движется быстрее другого, то и угол наклона у него должен быть больше. Кроме того, на данном этапе нужно сформировать умение рационально строить модели. Этого можно добиться, давая при удобном случае рекомендации по построению модели. К таким рекомендациям можно отнести следующие [3]:
· если в задаче несколько объектов движутся на встречу одному, то удобнее в начало координат поместить эти несколько объектов;
· если в задаче движение начинается в какое-то определенное время суток, которое не влияет существенно на саму задачу, то при построении модели лучше полагать, что движение началось в момент времени;
· если в задаче есть динамика движения (то есть движение объектов относительно друг друга меняется), то удобнее те изменения, которые затрагивают меньшее количество графиков (например, если человека обгоняет рейсовый автобус через временной интервал, то для изображения момента встречи с идущим в другую сторону автобусом рациональнее развернуть график пешехода, чем совокупность прямых, изображающих движение рейсового автобуса).
Аккуратность чертежа хотя сама собой разумеется, но следует сделать акцент на то, что модель которая наиболее точно воспроизводит пропорции, указанные в задаче, может оказать существенную помощь в поиске решения задачи, тем более если эта задача первого типа.
Таким образом, модель становится схематичной, но, несмотря на это должна отражать существенные стороны задачи, так как это необходимое (а во многом и достаточное) условие успешности решения задачи [23].
В связи с этим необходимо обучать моделированию в данных условиях, что подразумевает под собой поэтапное движение от схематичного моделирования условий с двумя движущимися объектами к моделированию сложных условий с тремя и более движущимися объектами (например, периодическое движение рейсового автобуса). Необходимо также умение «читать» модели, то есть понимать, какой объект движется быстрее, какой раньше прибыл, где или когда они встретились. Значит, ученики должны выполнить работу по составлению моделей, по интерпретации моделей, по исправлению сознательно допущенных в ней ошибок, по составлению задач по данной модели.
Приведем примеры заданий, которые можно использовать на данном этапе.
Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. После встречи первый находился в пути 16 минут, а второй 25 минут. Составьте модель данной задачи.
Данная задача не позволяет однозначно строить графики движения пешеходов, но подразумевает, что первый двигался быстрее, это должно быть отражено в модели. Для более хорошего освоения и закрепления можно дать еще 1-2 такие задачи.
Далее моделируемые ситуации должны усложняться, в условие должны входить 3 или более объектов, вместе с этим, как следствие возрастает количество числовых данных о вообще объем задачи, следовательно, усиливается роль анализа, умения выделить главные существенные стороны задачи.
Пешеход и велосипедист одновременно из одной точки направились навстречу всаднику. В момент, когда велосипедист встретил всадника, пешеход отставал от них на 3 км. В момент, когда пешеход встретил всадника, велосипедист обогнал пешехода на 6 км. Составьте модель данной задачи.
В этой задаче нужно выбрать положительное направление. Конечно, рациональнее выбор, при котором в положительном направлении движутся пешеход и велосипедист, но нужно показать оба случая для формирования умения рационально строить модель и понимания разновариантности. Кроме того, здесь уже три движущихся объекта, и подразумевается, но явно не сказано, что велосипедист движется быстрее пешехода.
Наращивая уровень сложности нужно дать задание подобного рода.
Идущего по дороге с постоянной скоростью человека рейсовый автобус обгоняет через каждые 7 минут, а через каждые 5 минут проходит встречный автобус. Составьте модель данной задачи.
Далее идут задачи, в которых по данной модели требуется определить числовые, или сравнительные характеристики движущегося объекта. Например, по данному рисунку определить какой объект двигался быстрее, где место встречи по отношению к началу и концу пути?
И, наконец, задания на составление задачи по модели.
Следующий этап предполагает непосредственное применение графических моделей для решения данного класса задач. В начале естественнее будет рассмотреть задачи первого типа, совместно провести анализ задачи, опираясь на графическую модель, перейти к математической модели.
Если мы рассматриваем задачи первого типа, то существенной чертой данного этапа является абстрагирование от функциональной части модели, и рассмотрение ее с позиций геометрии. То есть ученик должен уметь видеть геометрические отношения в данной модели, а так же уметь интерпретировать эти отношения в терминах данной задачи. Провести анализ задачи в данном случае означает выделить геометрический образ неизвестного, и идти от него к данным, устанавливая геометрические связи. Как правило, неизвестным бывает длина отрезка, в результате анализа задачи она выражается через данные, тем самым мы переходим к математической модели данной задачи. Строить графические модели, выделять геометрические образы неизвестных ученики умеют с предыдущих двух этапов, на этом этапе им нужно научиться проводить анализ задачи, используя графическую модель, что достигается путем выполнения упражнений. Приведем пример анализа подобной задачи и методической работы с ней.
Задача 6.
Из пунктов А
и В
одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. После встречи первый находился в пути 16 минут, а второй 25 минут. Сколько времени каждый из них находился в пути?
Ученики владеют методами построения модели. Пусть модель построена (рис. 6), перейдем к ее анализу. Введем предварительно обозначения всех точек пересечения прямых, а через точку С
проведем перпендикуляр МК
к оси абсцисс. В задаче требуется найти время нахождения в пути обоих пешеходов, время движения каждого после встречи известно, следовательно, неизвестным является время движения до момента встречи. Геометрическим образом неизвестного будет отрезок ВК
. Заметим, что величину x
мы можем выразить через подобие треугольников ВСЕ
и АСР.
Так как треугольники ВСЕ
и АСР
подобны, то (в подобных треугольниках все сходственные элементы находятся в одном отношении, ВК
и КЕ
– проекции сторон ВС
и СЕ
на сторону ВЕ
в треугольнике ВСЕ
, MP
, AM
– аналогичные проекции в треугольнике АСР
). Т. е. . Далее, решая полученное уравнение, мы устанавливаем числовые данные.
В данной задаче мы установили геометрический образ неизвестного благодаря геометрическому образу точки встречи. Интерпретировать эти геометрические образы ученики умеют с предыдущего этапа. Тем не менее, работа по их выделению его неотъемлемая часть, существенно новым для данного этапа является геометрическое получение равенства . Важно, чтобы ученики поняли, что данный результат является обоснованным, что данное отношение следует из условия задачи, а использование графической модели лишь промежуточный шаг, который дает верные результаты вследствие изоморфности условию. Для этого их можно попросить ответить, опираясь на графическую модель, на следующие вопросы:
что можно сказать о скоростях пешеходов, какие параметры в данной графической модели можно менять, какие остаются неизменными и сохраняется ли при этом полученное отношение? Для того, чтобы обосновать, что полученное в ходе решения уравнение является следствием условия задачи, а не данной графической модели можно привести решение, не опирающиеся на данную модель. Пусть скорость первого пешехода будет , а скорость второго пешехода будет , и пусть время, затраченное обоими до момента встречи, будет равно t
.
Тогда путь, пройденный первым до момента встречи, будет , а вторым . Заметим, что второму осталось пройти до конца пути столько же, сколько прошел первый до момента встречи, а первому – сколько прошел второй. Значит 1) , а 2) , поделим первое равенство на второе, получим искомое отношение.
При таком подходе каждый раз, в отличие от способа, где используется графическая модель, нужно проводить различные рассуждения: в данном случае нужно догадаться и обосновать равенства 1) и 2) и уже потом перейти к отношению, в то время как из графической модели данное отношение непосредственно следует. Стоит показать ученикам данные подходы для обоснования независимости полученного решения и преимуществ первого подхода.
Далее следует перейти к задачам второго типа
, давая их как задачи, в которых геометрия их графических моделей играет вспомогательную, а не основную роль. Четкого критерия для того, чтобы отличить данные задачи от задач первого типа дать нельзя, тем не менее, ученики должны понимать разницу между ними. Основной довод в пользу того, что задача второго типа состоит в том, что геометрический образ искомой величины не выражается явно (из подобия или равенства фигур) при помощи геометрии. Но, во всяком случае, геометрия графической модели такова, что величина геометрического образа искомого однозначно из нее определяется, в случае если условия задачи являются полными. И хотя мы ее не ищем при помощи геометрии, но имеющаяся в графической модели информационная картина такова, что содержит все сведения для перехода к математической модели. Все навыки для получения этих сведений ученики имеют, тем более они отработаны в процессе решения задач первого типа. Нужно переходить непосредственно к анализу данных задач. Приведем пример анализа подобной задачи.
Задача 7.
Из пунктов А
и В
одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист в пункте В
повернул назад и через час после начала движения встретил пешехода. Доехав до А
, снова повернул назад и встретил пешехода через 40 минут после первой встречи. Определить время, затраченное пешеходом на весь путь.
Так как в условиях не дана ни одна величина размерности длины, то весь путь можно принять за единицу. Обозначим через скорость пешехода, через – скорость велосипедиста. Приведем для наглядности иллюстрацию (рис. 7), но в этой задаче она будет играть вспомогательную роль. Составим уравнения, используя при этом графическую модель. За час, прошедший до первой встречи, пешеход и велосипедист вместе прошли удвоенный путь от А
до В,
что непосредственно видно из иллюстрации, поэтому . За часа до второй встречи велосипедист прошел на удвоенный путь больше, чем пешеход, поэтому
.
Решая систему
,
получаем . Это означает, что за час пешеход проходит 0,4 всего пути, а на весь путь он затратит 2,5 часа.
В данной задаче нам требуется найти длину отрезка AD
.
Она не выражается из подобия или равенства треугольников, но, как видно, имеет определенное значение. Все уравнения, полученные в ходе решения задачи, не являются следствиями каких-либо геометрических соображений, но имеющаяся в графической модели информация наглядно иллюстрирует логику построения математической модели данной задачи. Таким образом, графическая модель отвечает на вопросы: что дано и что требуется найти? Она помогает переформулировать вопросы так, что от них непосредственно можно перейти к уравнению, например, из того факта, что велосипедист и пешеход первый раз встретились через час после начала движения, с помощью иллюстрации достаточно просто получить, что к моменту первой встречи они вместе прошли удвоенный путь, что непосредственно приводит к уравнению.
В задачах второго типа ориентировочная основа действий менее содержательна по сравнению с ней для задач первого типа. Тем не менее, умения строить графическую модель, интерпретировать ее, формулировать факты, заложенные в ней в виде, удобном для составления уравнений, являются основополагающими для успешного решения и достигаются в процессе решения системы задач [12, 15].
Как показывает опытное преподавание, использование данного способа визуализации для обучения решению задач на прямолинейное равномерное движение, является эффективным средством. Его эффективность обуславливается следующими причинами: данный способ естественно приводит к математической модели, данный способ отражает структуру задачи, соответствует формуле наглядности, данной Болтянским. Поясним приведенные аргументы. Естественность получения математической модели заключается в том, что мы получаем её непосредственно из графической модели. Например, во втором способе решения задачи 6 непонятно, почему мы вводим в качестве переменных скорости движения пешеходов, почему рассматриваем именно равенства 1) и 2), и, наконец, деление одного равенства на другое является также достаточно искусственным шагом, в то время как из графической модели уравнение следует естественным образом. Данный способ визуализации отражает структуру задачи, т.е. взаимосвязи между данными задачи, это помогает увидеть общее в разных, на первый взгляд, задачах, что, в свою очередь, формирует представление о математическом моделировании в целом.
2.3. Методика применения визуальных моделей при обучении решению задач с параметрами
Для решения некоторых аналитических задач можно использовать систему координат. Целесообразность ее использования можно аргументировать, ссылаясь на следующую цитату из статьи В. А. Далингера [2]: «Созданный Рене Декартом метод имеет огромное значение не только в научных открытиях. Он привнес значительный эффект и в процесс обучения математике. Эффект этот в первую очередь состоит в том, что координатный метод дает возможность многим абстрактным алгебраическим объектам, изучение которых строится на словесно-логической основе, дать геометрическую интерпретацию, позволяющую опираться на наглядно-образное, визуальное мышление».
Среди множества всех задач с параметрами можно выделить целый класс задач, которые можно решить с использованием графических методов визуализации. Как и в случае с текстовыми задачами этот метод не является непосредственно наглядным, а, следовательно, для его усвоения требуется предварительная работа по формированию навыков работы с графическими моделями. Формирование самих по себе графических представлений и умений учащихся является задачей школьного курса математики, но данная тема (использование графических свойств для решения задач с параметрами) имеет свои специфические аспекты, которые заключаются в обобщении свойств графиков. Так, например, у учеников сформированы представления о зависимости угла наклона линейной функции и коэффициента при неизвестном в ее аналитическом выражении, но если данный коэффициент задан параметром, то мы получаем множество прямых с углами наклона от 0 до , которое условно называют «вращающаяся прямая».
Среди методов визуализации, применяемых при решении задач с параметрами, можно выделить следующие: 1) движущаяся прямая; 2) вращающаяся прямая; 3) координатные плоскости «неизвестное-параметр» и «параметр-неизвестное»; 4) применение свойств графиков функций.
Обучать применению данных методов целесообразнее в указанном порядке, так как каждый последующий метод является более сложным, и в некоторых случаях содержит идеи предыдущих.
Метод «Движущаяся прямая».
Данный метод позволяет решать всевозможные задачи с параметрами, которые заданы в виде (или преобразованы к нему) f
(
x
) =
a
.
Метод основывается на том, что простейшее параметрическое уравнение y
=
a
задает множество всех прямых параллельных оси абсцисс.
Построение данной графической модели предполагает умение строить графики функций. На подготовительном этапе обучения моделированию нужно актуализировать знания связанные с построением графиков функций и подвести к графической модели параметрического уравнения y
=
a
. Реализовать данные задачи можно через систему упражнений, которая предполагает построение графиков функций и работу с ними. Работа с графиками подразумевает ответ на следующие вопросы: назовите множество значений функции; сколько раз и почему функция принимала значение В
(под В
подразумевается конкретное числовое значение причем его нужно варьировать, в том числе брать его не из множества значений функции); каким должно быть значение а
, чтобы уравнение y
=
a
задавало касательную к функции.
Этап обучения моделированию является обобщением первого этапа. Здесь нужно сформировать представление о зависимость между значением параметра и положением прямой y
=
a
. На предыдущем этапе ученики отвечали на вопрос о том, сколько раз функция принимает конкретное значение, опираясь на это, нужно сформулировать общее правило ответа на этот вопрос, сопровождая его соответствующими иллюстрациями. Таким образом, возникает прямая, положение которой зависит от величины, не являющейся заранее определенной и, следовательно, уравнение y
=
a
задает множество прямых.
Иногда учащиеся не понимают смысла параметров. Это связанно с его двойственностью: с одной стороны параметр обозначает конкретное число, с другой – параметр изменяет свои значения. Указанный выше подход опирается в начале на конкретные значения, затем изменению значений соответствует движение прямой, это помогает наглядно раскрыть смысл параметра.
При работе с моделями нужно подобрать задания, двигаясь при этом от простого к сложному. С предыдущих этапов ученики знают, как зависит положение движущейся прямой от значений параметра, умеют интерпретировать информацию, содержащуюся в модели. Им можно показать решение задачи с параметром и общий метод рассуждения для подобных заданий.
Найти число корней уравнения
в зависимости от параметра а.
Построим график функции (предполагается, что ученики владеют приемами построения графиков подобных функций), и построим условно график уравнения y
=
a
, причем дляa
< 0. Мы видим (рис. 8), что при этих значениях параметра а
два графика не пересекаются. Двигая прямую вдоль оси ординат вверх параллельно самой себе, получим, что при a
= 0 уравнение имеет два корня, при уравнение имеет четыре корня, при a
= 4 – три корня и при a
> 4 – два корня.
Далее нужно рассказать об общем виде заданий с параметрами, для которых применим данный метод. Если уравнение имеет другой вид, то его нужно преобразовать (если это возможно). Далее следует привести систему заданий, в которой будет усложняться условия: требуется преобразовать выражение к нужному виду; усложняется функция, которую надо строить; выбираются из различных промежутков значения для х
и т.д.
Метод «Вращающаяся прямая».
Данный метод позволяет решать всевозможные задачи с параметрами, которые заданы в виде (или преобразованы к нему) f
(
x
) =
a
х.
Метод основывается на том, что параметрическое уравнение y
=
ax
задает множество всех прямых, проходящих через начало координат.
Так как данный метод предполагает использование свойств линейной функции, то на подготовительном этапе нужно актуализировать знания об этих свойствах, подвести к графической модели параметрического уравнения y
=
ax
. Для этого нужно проделать работу по построению графиков линейных уравнений, по нахождению коэффициентов из графика, по составлению уравнений из графиков [6]. Кроме того, нужно актуализировать знания о касательной, ответить на вопрос: при каком k
график функции y
=
kx
+
b
будет касательной для данной функции f
(
x
),
здесь k
и b
имеют конкретные числовые значения, найти геометрические образы решений уравненияf
(
x
) =
kx
+
b
. Всё это реализуется через систему задач.
Этап обучения моделированию нужно начать с обобщения свойств линейной функции на случай произвольных коэффициентов. Опираясь на результаты предыдущего этапа можно сделать естественный переход от конкретного задания функции к параметрическому. Например, поставив вопрос: можем ли мы для данной линейной функции y
=
kx
+
b
,
где b
фиксирован, так подобрать значения для k
,
чтобы график имел любой наперед заданный угол наклона (проходил через любую точку окружности с центром (0; b
))? После этого нужно остановиться на геометрической модели параметрически заданной линейной функции y
=а
x
.
Далее этап обучения моделированию переходит в этап обучения работы с моделями.
Этот этап нужно начать с разбора простых задач, указав признаки, по которым мы применяем именно данный метод.
В зависимости от значений параметра
a
найти количество корней уравнения .
Данное выражение можно преобразовать к виду, для которого применим метод «движущаяся прямая». Так как не является решением данного уравнения, то его можно преобразовать к виду , но для ответа на вопрос нам потребуется построить график функции , что является достаточно трудной задачей, по сравнению с построением графика функции . Изученные свойства линейной функции позволяют нам пользоваться только последним построением. Построим в системе координат график функции . При каких значениях параметра мы получим прямые параллельные ветвям графика функции ? Построим графики линейной функции для значений параметра 1 и –1 (рис. 9). Из рисунка видно, что если график функции y
=а
x
находится между лучами, лежащими выше оси абсцисс, то уравнение имеет одно решение, если между осью абсцисс и графиком функции y
= –
x
– два решения, и если лежит вне указанных областей, то решений не имеет. Укажите значения параметра для названных областей.
Если выражение имеет вид, который позволяет решить задачу с параметром методом «вращающаяся прямая», то его достаточно просто преобразовать к виду, который позволяет нам решить данную задачу метолом «движущаяся прямая». Для этого достаточно поделить левую и правую часть выражения на х
, следя при этом за равносильностью преобразований. Этот момент должен быть рассмотрен при решении задач для формирования умений находить более рациональный путь в том или ином задании. Относительная простота построения графика функции в случае решения методом «вращающаяся прямая» компенсируется более трудным получением ответа из графической модели, так как иногда для его получения требуется переходить к уравнению, используя производную, рассматривать характер монотонности функции, производить относительно трудные сопутствующие вычисления. Проще и нагляднее в этом отношении пользоваться методом «движущаяся прямая» и, если построение функции – не слишком трудная задача, то, скорее всего, этот метод является более рациональным. Для формирования умения выбирать более рациональный путь нужно дать задание решить обоими способами задачу с параметром. Для формирования и закрепления умений и навыков работы с графическими моделями при решении задач с параметрами нужно постепенно переходить к более сложным заданиям, в которых варьируются значения независимой переменной, условия заданий и увеличивается арсенал требующихся аналитических методов.
Метод «неизвестное-параметр».
При решении задач данным методом параметр объявляется переменной. В системе координат строится множество точек, которое задает уравнение или система уравнений, при помощи этого построения находятся требуемые значения параметра. В основе данного метода лежит так называемый метод областей – построение множества точек плоскости, которое задает данное уравнение с двумя переменными или система уравнений. Метод областей можно в некотором смысле назвать обобщением метода интервалов на случай уравнений с двумя переменными. Овладеть методом областей – значит уметь строить множества точек, задаваемые уравнениями в системе координат, а это умение предполагает в свою очередь умения построения графиков функций и решения простейших неравенств с двумя переменными.
Подготовительная работа в данном случае представляет собой обучение методу областей. Обучение нужно начать с построения множеств точек, которые являются решениями простейших неравенств. Это связанно с тем, что решение более сложных неравенств сводится к решению простейших. Кроме того, на их примере можно наглядно продемонстрировать алгоритм построения множеств и обосновать его, проведя аналогию с методом интервалов.
Построить в координатной плоскости множество точек удовлетворяющих неравенству .
Преобразуем данное неравенство к виду . Построим в системе координат прямую . Данная прямая разбивает плоскость на две области. Какая-то из этих областей будет искомым множеством точек. Для того, чтобы её определить, нужно, как и в методе интервалов, подставить точку с области и посмотреть удовлетворяет ли она неравенству. Отличие от метода интервалов состоит в том, что точка имеет две координаты: их и нужно подставлять вместо переменных. Та область, точка которой удовлетворяет неравенству и будет искомым множеством точек. В данном случае это будет полуплоскость лежащая выше прямой. Так как неравенство нестрогое, то прямая сама принадлежит искомому множеству.
Далее нужно построить множество для системы неравенств. Лучше сделать это, дополнив уже рассмотренное неравенство до системы, добавив линейное неравенство.
В последствии нужно решить систему заданий, которая предполагает переход от линейных неравенств к линейным неравенствам с модулями, к произвольным выражениям, к выражениям которые требуют преобразований.
Указать множество точек плоскости, удовлетворяющих условиям:
; ; ; ; .
Каждое из этих заданий преобразуется к равносильной системе, где используются построения для элементарных функций.
На этапе обучения моделированию нужно перейти к задачам с параметрами. На этом этапе нужно объяснить, что параметр рассматривается как переменная, и показать, что существуют два случая: параметр объявляется независимой переменной и параметр зависит от значений другой переменной. По сути, мы получаем тот же метод областей, но задача усложняется в связи с тем, что кроме построения мы должны, опираясь на иллюстрацию, произвести отбор значений параметра которые требуются в задании. Разбор задач нужно начать с относительно простых заданий, для того чтобы показать действие данного метода.
При каких значениях параметра
a
имеет единственное решение система неравенств
Пусть a
будет переменной. Для построения графической модели системы содержащей неравенство нам потребуется метод областей. Зависимая переменная a
. Это связанно с тем, что a
проще выразить через x
. В качестве независимой переменной всегда выбирают ту, которую проще выразить через другую. Постройте в системе координат xOa
множество точек, задаваемое системой. Мы получили фигуру (рис. 10) ограниченную параболами и . Сейчас мы воспользуемся методом «движущаяся прямая», для каждого положения прямой мы получаем в пересечении с множеством отрезок, точку или пустое множество. Если прямая a
=
a
0
пересекает множество по отрезку АВ,
то это означает, что при a
=
a
0
, система неравенств имеет решения равные абсциссам всех точек отрезка АВ
. В задаче же нужно найти такие значения параметра, при которых система имела бы одно решение. Из рисунка видно, что такими значениями параметра являются и .
Этап обучения работе с моделями начинается после того, как разобрали приведенное выше задание. Он предполагает решение простых заданий, но здесь, после того как задание решено, можно изменить его условие, а рисунок оставить тем же и, продолжая так, получить всю возможную информацию, которую может дать иллюстрация. Здесь делается основной упор не на решение трудных заданий, а на работу с графическими моделями. Здесь же нужно отработать умение выбирать независимую переменную. При построении моделей можно предложить использование разных цветов, например, разными цветами можно изображать включаемые и не включаемые линии, а так же оси координат, и конечное искомое множество. Это усилит наглядность рисунка и может избавить от случайной ошибки. После того как отработаны все приемы по построению и интерпретации графических моделей, можно переходить к более сложным заданиям, где в качестве подзадачи возникает задача приведения выражения к виду, удобному для графического моделирования.
В двух предыдущих методах решения заданий с параметрами был указан вид выражения, по которому мы можем сказать, что применим именно этот метод. В этом случае нужно отметить, что данный метод применяется, в случае, если задание содержит неравенство или неравенство возникает в результате преобразований, и можно выразить значение параметра через переменную или наоборот. Умение выбирать в случае необходимости подходящий метод делает решение сложных заданий более рациональным, рассуждения более ясными, последовательными и лаконичными.
Использование свойств функции.
Данный метод заключается в обобщении свойств графиков функций на случай параметра. Ученики владеют методами построения функций методом сдвига вверх и вниз, влево и вправо, сжатия и растяжения. Рассмотрение этих методов в случае параметрического задания функции дает эффективный способ решения задач с параметрами. Если выражение в задании с параметром не удается привести к виду, в котором его можно решить методами, изложенными выше, то можно прибегнуть к данному методу, еще его можно применить, в случае если полученное с его помощью решение будет более рациональным, чем решение, полученное иными методами.
Подготовительный этап в обучении данному методу предполагает актуализацию знаний по построению графиков функций указанными выше способами и подведению к использованию данных способов на случай параметра. Ученики должны выполнить задания с построением функций с помощью указанных преобразований, а так же задания преобразовать графически заданную функцию f
(
x
)
на случай f
(
ax
),
f
(
xa
),
f
(
ax
),
где a
и b
конкретные числа. Полезно рассмотреть одну и ту же функцию для разных числовых значений, так как получившийся результат можно будет обобщить.
Этап обучения моделированию можно реализовать, опираясь на разобранный метод «вращающаяся прямая», ссылаясь на то, что метод построения графической модели параметрического уравнения y
=а
x
лишь частный случай, опирающийся на рассмотренные ранее приёмы построения графиков, для линейной функции. Если мы имеем функции вида f
(
ax
),
f
(
xa
),
f
(
ax
),
где a
и b
параметры, то графической моделью будет множество графиков, получающихся их графика функции y=f
(
x
)
при помощи соответствующих преобразований. На данном этапе нужно привести серию заданий, обыгрывающих разные ситуации по построению указанных выше графических моделей функций с параметром.
Постройте в системе координат графические модели, задаваемые следующими условиями:
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
После выполнения данной системы заданий, нужно перейти непосредственно к применению графических моделей для решения заданий с параметрами. Так же как и в предыдущих методах, начав с простых задач.
Найдите значение параметра, при каждом из которых имеет хотя бы одно отрицательное решение неравенство
.
Данное неравенство можно решить, применив метод «неизвестное-параметр», но для того, чтобы выразить через , потребуется раскрыть модуль и рассмотреть два случая. Воспользуемся другим способом. Перепишем исходное неравенство в виде . Графиком левой части является парабола с вершиной в точке (0; 3), ветви которой направлены вниз. Графиком правой части является «прямой угол», вершина которого имеет координаты (0; а
). В зависимости от значений параметра а
этот «угол» перемещается вдоль оси абсцисс (рис. 11). Исходное неравенство имеет отрицательное решение, если найдется такое отрицательное значение переменной x
,
для которой соответствующая точка параболы расположена выше точки на «угле». Таких точек нет если вершина «угла» оказалась правее точки с абсциссой 3 или левее точки с абсциссой (точки вычисляются аналитически).
После разбора серии относительно простых заданий нужно перейти к более сложным, при этом нужно подобрать некоторые задания таким образом, чтобы их можно было решить другим методом, причём использование этого метода должно в некоторых случаях давать более рациональное решение. Это будет способствовать осознанному выбору методов решения, заставит ученика рассуждать на всех этапах решения задачи, поспособствует более глубокому осознанию методов.
Данный метод позволяет решить более широкий класс задач с параметрами, чем приведенные выше методы. Поэтому и работа по закреплению умений строить и работать с графическими моделями здесь будет более обширной.
Все изложенные выше методы предполагают у учеников наличие умений исследовать функции: определять монотонность, четность, ограниченность, промежутки знакопостоянства, находить экстремумы. Решение задач с параметрами графическими методами сводится в основном к применению одного из вышеприведенных или к применению комбинации из данных методов, где отдельный метод применяется для решения возникающей подзадачи. Владение данными методами и умение их рационально применять во многом определяют успешность решения задачи. Даже если указанные методы не дают ожидаемого результата, визуальная модель поможет глубже осознать и понять задачу и может подсказать путь решения.
§ 3. Описание и анализ результатов опытно-экспериментальной работы
Опытное преподавание проводилось в в 8-б классе школы № 21 г. Кирова. Было проведено 5 уроков по теме «Решение задач на равномерное прямолинейное движение с использованием графических моделей».
На первом уроке
были рассмотрены следующие вопросы: значения коэффициентов для графиков линейной функции, связь между линейной функцией и равномерным движением, методы задания с помощью линейной функции равномерного движения, методы построения графических моделей задач на движение.
Главной задачей в изучении первого вопроса была актуализация знаний о линейной функции для последующей интерпретации их в терминах равномерного прямолинейного движения. Коэффициент при свободной переменной линейной функции является тангенсом угла наклона графика функции к положительному направлению оси абсцисс, но ученики 8-го класса не владеют функциональным определением тангенса. Тем не менее, был рассмотрен геометрический смысл данного коэффициента для того определения, которым владеют ученики, с учетом возможной отрицательности коэффициента. Так же был рассмотрен геометрический смысл свободного члена и установлено, что его изменению соответствует параллельный перенос графика на вектор равный разности первоначального и конечного значения свободного члена. Можно было сразу раскрыть связь линейной функции и равномерного движения, но так как весь метод в целом предполагает переход к геометрической модели при решении задач, то такой подход обуславливается необходимостью установления связи между геометрической и физической трактовкой задачи.
При изучении второго вопроса учащимся была поставлена задача выяснить, какое движение называется равномерным и прямолинейным? Ответ отражал суть рассматриваемого понятия, но формулировка была нечеткой. Поэтому было дано определение: «Тело движется равномерно, если за любые
одинаковые промежутки времени оно проходит одинаковые промежутки пути, прямолинейно – если траектория движения тела прямая».
Опираясь на это определение, в результате совместной работы со школьниками было выяснено, что путь, пройденный телом, пропорционально зависит от времени. Значит, если в качестве независимой переменной взять время, то путь будет линейной функцией от времени.
Далее был раскрыт физический смысл коэффициентов линейной функции. Физический смысл коэффициента при переменной был рассмотрен на том же изображении, что и геометрический. Так как рассмотрение геометрического смысла этого коэффициента опиралось на прямоугольный треугольник, то на этом этапе перед учащимися встала задача дать геометрическую трактовку катетов этого треугольника (для того чтобы выяснить, что означает их отношение), если график изображен в координатной плоскости «время-путь». Ученики достаточно успешно справились с этой задачей, но была необходимость в некоторых уточнениях. Таким образом, мы выяснили, что с одной стороны коэффициент при неизвестном в линейной функции – это скорость, с другой – тангенс соответствующего угла.
Так как выяснение этого вопроса осуществлялось на графике проходящим через начало координат, то учащимся было рассказано, что данный рисунок подразумевает, что путь начал отсчитываться одновременно с началом отсчета времени и задан вопрос: «Что означает параллельный перенос данного графика?». Был дан достаточно полный ответ, но он копировал структуру построения предложения для рассмотренного случая. Пришлось перефразировать данное предложение, и учащимся был дан следующий ответ с опорой на соответствующее изображение: «Данный график предполагает, что на момент отсчета времени движущийся объект уже прошел какой-то путь». Далее с опорой на геометрическую трактовку было установлено, что этот пройденный путь соответствует свободному коэффициенту аналитического задания линейной функции.
Таким образом была установлена связь между равномерным движением и линейной функцией и раскрыта связь между геометрической и физической трактовкой линейной функции.
В итоге учащиеся знали, что всякому равномерному прямолинейному движению соответствует линейная функция. Кроме того, было установлено обратное, что всякая линейная функция может быть интерпретирована как равномерное движение, причем скорость этого движения равна тангенсу угла наклона графика к положительному направлению оси абсцисс или коэффициенту в аналитическом задании функции, а свободный член равен пройденному на момент начала отсчета пути.
Из всего сказанного выше непосредственно следовали методы задания линейной функции по словесному описанию движения. Было рассказано, что если нет дополнительных условий, то мы предполагаем, что путь отсчитывается одновременно с отсчетом времени, т. е. график движения проходит через начало координат. Значит, если нам дана точка координатной плоскости, где одно значение – время, а другое – путь, то для того, чтобы построить график достаточно через эти точки провести прямую, аналитическое задание которой опирается на геометрические соображения, изложенные выше. Если мы имеем скорость движения, то график – прямая с соответствующим тангенсом угла наклона, проходящая через начало координат. Если в условии оговорено дополнительно, что на момент отсчета времени тело прошло какой-то путь, то в предыдущих методах изменяется только то, что график проходит через начало координат. При рассмотрении этого вопроса закладывается умение выбирать точку отсчета. Кроме того, было сформулировано правило выбора положительного направления пути: «если в условии есть два объекта движущихся навстречу друг другу, и мы выбрали движение одного в положительном направлении, т. е. функция его пути является возрастающей, то другой движется в отрицательном направлении, значит, и скорость его имеет отрицательное значение, откуда следует, что угол наклона графика будет больше прямого (установлено при рассмотрении тангенса).
Далее все эти правила рассмотрены на конкретных примерах и учениками самостоятельно решены задачи по построению графиков.
Задачи содержали конкретные числовые значения, задающие линейные функции. Варьировались только условия, которым соответствовали изменения графиков, отрабатывалось умение выбирать положительное и отрицательное направление движения.
Ученики справились со всеми заданиями, они показались им легкими. Но основной целью урока было показать, что всякое равномерное прямолинейное движение имеет свою графическую модель, геометрия которой описывает все величины, и научить строить эту модель для конкретных данных. Цель была достигнута.
Второй урок
предполагал выполнение работы по построению схематизированных моделей, т.е. таких моделей, построение которых не опирается на конкретные числовые данные, но отображает условия задачи. Так же на этом уроке были разобраны решения задач первого типа, причем графические модели этих задач были построены на первом этапе урока.
Перейти к схематизированным моделям после построения моделей для конкретных случаев оказалось достаточно просто, так как на них ученики научились отображать основные моменты, а именно встречное движение двух объектов, поняли, как отражается на графике условие того, что один объект двигался быстрее другого. Только у некоторых учеников вызвало затруднение построить график одного объекта, движущегося на встречу другому. Это затруднение связанно с тем, что для конкретных числовых данных, точка на координатной плоскости, из которой начинал движение этот объект, была определена, а в данном случае ее нужно было изображать условно. Но эти трудности были преодолены и все ученики владели методами построения графических моделей задач. Далее была проведена работа по интерпретации моделей, ученики находили геометрические образы данных задачи, неизвестных, отвечали на разные вопросы об условиях задачи, ответы на которые можно получить, опираясь на графические модели.
Данная работа так же не вызвала у учащихся существенных затруднений, и поэтому мы перешли к решению задач.
Первой разобранной задачей была задача 6, приведенная во втором параграфе главы 2. Ученики предварительно на предыдущем этапе урока, строили ее модель, но модель они строили по условию, вопрос задачи, к тому моменту, не был сформулирован. После того как был поставлен вопрос, некоторые ученики высказали предположение, что данных задачи недостаточно. Но геометрическая модель указывала на обратное, так как величины данных однозначно определяли размеры отрезка, длину которого требовалось найти. На это было указано и поставлен вопрос, как найти длину этого отрезка. Вопрос вызвал затруднение, но после того как было предложено рассмотреть подобие треугольников, метод решения был найден за достаточно короткий период. Данное затруднение связанно с тем, что обращение к геометрии в подобных случаях является новым, даже неожиданным шагом. У учеников данный метод вызвал интерес, так как решение получено достаточно просто, хотя в начале высказывались предположения о том, что задача неразрешима. С другой стороны у них оставались сомнения в правильности результата в связи с тем, что если не обращаться к графической модели, то условия задачи кажутся недостаточными. Поэтому было рассмотрено решение, не опирающееся на графическую модель, для того, чтобы подтвердить результат и оценить преимущества данного способа.
После того как был рассмотрен второй метод решения, были сформулированы основные этапы решения задачи с применением графических моделей. К ним относятся: 1) построить графическую модель по условию задачи, 2) найти геометрический образ данных величин и записать их на рисунке, 3) найти геометрический образ неизвестного и перейти к соответствующей геометрической задаче 4) от геометрической задачи перейти к математической модели, 5) решить полученное уравнение получить ответ, 6) проверить результат, записать ответ.
После этого на данном уроке было решено еще две задачи. Ученики быстро справились с решением этих задач.
Как показали ответы у доски, решение было полным, описан каждый этап решения, осознано использовались результаты каждого этапа решения, все выводы по ходу решения были обоснованными. На этом уроке ученики успешно овладели методами решения задач первого типа. Это можно объяснить следующими причинами: так как класс математический, то он является достаточно сильным, и с геометрическими задачами, которые они получали на третьем этапе решения, они успешно справлялись; сам метод вызвал у них интерес, это было видно по динамике их работы; этапы решения применялись осознано, так как каждый этап естественно следует за предыдущим, все данные представлены в наглядном виде, что упрощает анализ задачи.
Целью третьего урока
было закрепление умений и навыков в решении задач первого типа и обучение решению задач второго типа.
Первой части этой цели соответствовало решение системы задач первого типа. Как и на предыдущем уроке решение задач не вызвало существенных затруднений, только у некоторых учеников возникали трудности в решений соответствующих геометрических задач, но они были преодолены.
Далее было рассказано, что существуют задачи, решение которых нецелесообразно искать, применяя геометрические рассуждения, так как получающуюся при этом геометрическую задачу решить не легче, чем решить всю задачу при помощи рассуждений, оперирующих терминами движения. Тем не менее, графическая модель является существенным подспорьем в деле решения такой задачи. Все это было представлено при решении конкретной задачи второго типа.
Первой из таких задач была задача 7 второго параграфа главы второй. Было рассказано, что длину искомого отрезка хотя и можно найти, применяя геометрические рассуждения, но сама по себе геометрическая задача будет сложной, придется применить метод координат. Тем не менее, опираясь на графическую модель, мы можем получить некоторые факты, при помощи которых перейти к математической модели.
Решение задачи проводилось на доске совместно с классом. Было предложено весь путь обозначить за единицу. Далее были поставлены наводящие вопросы, например: «Что можно сказать о совместном пути, пройденном велосипедистом и пешеходом, к моменту первой встречи?». Ответы на эти вопросы позволили сформулировать утверждения, следующие из условия, в виде, удобном для составления системы уравнений. Получение утверждений опиралось на графическую модель, в которой их справедливость была представлена наглядно. Было рассказано, что этапы решения задачи этого типа те же, но в отличие от задач первого типа мы не решаем геометрическую задачу, а приходим к математической модели, опираясь на графическую модель.
Далее следовало самостоятельное решение задач. Нужно отметить, что, в отличие от задач первого типа, данные задачи вызвали затруднения в решении. Это связанно с тем, что графическая модель здесь играет вспомогательную роль, она не приводит непосредственно к математической модели, а только помогает найти путь к ее построению, каждый раз рассуждения содержат новые отличительные особенности. Но данный подход упрощает поиск решения задачи, так как вся информация представлена наглядно и помогает проводить анализ задачи, переходить к математической модели. Кроме того, использование графической модели помогает осознанно искать путь решения, так как наглядно раскрывает связи между данными и неизвестными задачи, что непосредственно приводит к математической модели.
Несмотря на возникшие затруднения, благодаря некоторой помощи учащимся, задачи, которые были запланированы на этот урок, были решены. Были заданы домой достаточно сложные задачи данного типа для того, чтобы приобретенные умения были закреплены и отработанны. К следующему уроку не все ученики решили весь набор задач, данных домой, все решения были рассмотрены на доске, причем их рассказывали ученики их решившие, решения были полными, ход рассуждений ясный и основательный.
Четвертый урок
предполагал решение задач, причем заранее не оговаривалось, какой тип имеет конкретная задача. Ученикам нужно было самим понять, какой метод применим к данной задаче. Это было сделано для того, чтобы ученики сами научились различать задачи по типам.
Как и на предыдущих занятиях, ученики успешнее справлялись с задачами первого типа. Но у некоторых возникали трудности и при решении этих задач, связанные с тем, что они не могли понять какого типа задачи, и, следовательно, не знали каким образом действовать. После совета рассмотреть некоторые фигуры или отношения ученики находили метод решения задачи. Многие ученики сами определяли, какой тип имеет задача, а некоторым достаточно было наводящих вопросов. В основной своей массе все ученики справились с задачами, каждое решение было рассмотрено на доске, причем решения были рассказаны учениками. Каждый шаг решения был аргументирован, аргументация была достаточно грамотной обоснованной и во всех случаях ссылалась на графическую модель.
Домой были заданы задачи обоих типов.
Целью пятого урока
было проведение самостоятельной работы, для оценки умения решать задачи на равномерное прямолинейное движение. Прежде чем перейти к самостоятельной работе, были разобраны решения задач, заданных домой. Были рассмотрены основные моменты, оговорены этапы решения задач с использованием графических моделей, требования к обоснованиям получаемых фактов. После чего все ученики получили самостоятельную работу. Она состояла из двух вариантов и содержала три задачи, две из которых были первого типа.
Как показали результаты самостоятельной работы, все ученики справились с задачами первого типа, с задачами второго типа не справились пять учеников, причем трое в результате ошибки получили неверный ответ. Это достаточно высокий результат, если учесть, что задачи подобного рода являются сложными и плохо решаются школьниками выпускных классов. Этот результат говорит о том, что данный метод визуализации способствует формированию умений решать задачи. Кроме того, эти умения являются осознанными. Под осознанностью решения задачи понимается систематичность и последовательность в поиске пути решения задачи, логичность и обоснованность рассуждений, понимание роли и значения каждого этапа решения. Как показывает анализ самостоятельных работ, выполненных учащимися, все получаемые в процессе решения уравнения обоснованны, причем в основном благодаря графической модели. Обоснования достаточно грамотно изложены, присутствует последовательность в рассуждениях, этапы решения следуют друг за другом в соответствии с принципом решения задач данным методом.
Применение данного метода решения задач увеличивает разнообразие форм мыслительной деятельности. В начале имеем текстовую задачу на движение, затем в результате построения графической модели получаем геометрическую интерпретацию задачи, причем нужно определить возможность решения задачи только с помощью геометрии, в зависимости от этого перейти к математической модели, проверить результат. Таким образом, увеличивается количество операций направленных на решение задачи, что и влечет за собой увеличение разнообразия форм мыслительной деятельности.
Как показывает учебная работа школьников, их реакция на способы решения задач, данный метод является хорошим средством развития и повышения интереса к математике. Формулировки задач не подводит к методу решения задачи, многим ученикам кажется очень сложным переход к математической модели. Но графическая модель упрощает данный переход. Если при этом удается перейти к математической модели только с помощью геометрии, то умение решать геометрические задачи переходит в умение решать текстовые, а это существенно упрощает задачу. Несоответствие между предполагаемой сложностью и сложностью решения, неожиданность подхода при решении вызывает интерес учащихся, желание действовать самостоятельно. Если задача не предполагает геометрического решения, то интерес в данном случае может быть вызван самим ходом рассуждений, так как он становится наглядным и понятным. Причем понятными становятся не только сами по себе этапы рассуждения, а общий способ действия в таких ситуациях.
Заключение
Применение методов визуализации в процессе обучения школьников математике способствует развитию умения решать математические задачи. В результате чего повышается эффективность обучения математике. Способствует также более качественному и полному усвоению знаний на основании осознанности применяемых методов, способствует развитию и поддержанию интереса к предмету.
Использование методов визуализации развивает образное мышление учеников, способствует развитию абстрактного мышления, способствует также развитию различных форм мыслительной деятельности.
В данной работе рассмотрена общая методика обучения решению математических задач с использованием методов визуализации. Сформулированы правила применения визуальных моделей и требования к ним. Рассмотрены методы визуализации некоторых математических задач и методика работы с ними.
Результаты опытного преподавания проведенного с использованием методов описанных во второй главе данной работы с опорой на теоретические основы, описанные в первой главе, подтверждают положения гипотезы, показывают, что данная тема актуальна применение методов целесообразно и способствует повышению эффективности обучения.
Результаты данной работы могут быть применены учителями в процессе обучения математике, а также изучены студентами в рамках курса методики математики.
Библиографический список
1. Болтянский, В. Г. Формула наглядности – изоморфизм плюс простота [Текст] / В. Г. Болтянский // Советская педагогика. – 1970. – № 5. – С. 46-60.
2. Далингер, В. А. Геометрия помогает алгебре [Текст] / В. А. Далингер // Математика в школе. – 1996. – № 4. – С. 29-34.
3. Демидова, А. Н. Теория и практика решения текстовых задач [Текст] / А. Н. Демидова, И. К. Тонких/ Просвешение 2003 с 214
4. Епишева, О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе. Курс лекций [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / О. Б. Епишева. – Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 1997. – 191 с.
5. Имранов, Б. Никогда не забывайте о наглядности [Текст] / Б. Имранов // Математика в школе. – 2001. – № 2. – С. 49-51.
6. Канин, Е. С. Изучение начал математического анализа в средней школе [Текст] / Е. С. Канин. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. – 170 с.
7. Канин, Е. С. Учебные математические задачи [Текст] / Е. С. Канин. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2003. – 154 с.
8. Карпова, Т. Н. Наглядное обучение математике – сочетание научности и доступности: психология, интуиция, опыт [Текст] / Т. Н. Карпова, Е. И. Смирнов // Непрерывное педагогическое образование. Вып. VIII. РГПУ; УМО ОППО; ЯГПУ. – Ярославль: ЯГПУ, 1995. – С. 48-54.
9. Лунина, Л. С. Обучение решению геометрических задач алгебраическим методом [Текст] / Л. С. Лунина // Математика в школе. – 1996. – № 4. – С. 34-39.
10. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Cост. Ю. М. Колягин, В. А. Оганесян, В. Я. Саннинский, Г. Л. Луканкин. – М.: Просвещение, 1975. – 462 с.
11. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А. Я. Блох, Е. С. Канин. [и др.]; сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.
12. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев [и др.]; сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1995 с 248
13. Островский, А. И. Геометрия помогает арифметике [Текст] / А. И. Островский, Б. А. Кордемский. – М.: Столетие, 1994. – 176 с.
14. Педагогика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. вузов и пед. колледжей / Под ред. П. И. Пидкасистого. – М.: Пед. общ-во России, 2003. – 608 с.
15. Петрова, Е. С. Теория и методика обучения математике [Текст]: учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец. В 3 ч. Ч. 1. Общая методика / Е. С. Петрова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с.
16. Подгорная И.И. Уроки математики для поступающих/изд-во московский лицей – Москва 2006 – 692 с.
17. Подготовка учителя математики: инновационные подходы [Текст]: учеб. пособие / Под ред. В. Д. Шадрикова. – М.: Гардарики, 2002. – 383 с.
18. Резник, Н. А. Развитие визуального мышления на уроках математики [Текст] / Н. А. Резник, М. И. Башмаков // Математика в школе. – 1991. – № 1 – С. 4-9.
19. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии [Текст] / С. Л. Рубинштейн. СПб.: Питер, 2002. – 720 с.
20. Рудник, А. В. Переформулирование текста задачи как путь отыскания ее решения. Из опыта преподавания математики в школе [Текст]: пособие для учителей / А. В. Рудник. – М.: Просвещение, 1978. – с.123
21. Саранцев, Г. И. Эстетическая мотивация в обучении математике [Текст] / Г. И. Саранцев. – Саранск: ПО РАО, Мордов. пед. ин-т, 2003. – 136 с.
22. Столяр, А. А. Педагогика математики [Текст]: курс лекций / А. А. Столяр. – Мн.: Вышэйшая школа, 1969. – 368 с.
23. Трефилов, И. П. Как заинтересовать математикой учащихся средней школы [Текст] / И. П. Трефилов. – М.: Учпедгиз, 1957. – с.45
24. Фридман, Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. Учителю математики о пед. психологии [Текст] / Л. М. Фридман. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с.