Вариант 37
Задача 1
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10-4
м2
. Модуль упругости материала стержней Е = 2×105
МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10–6
1/град.Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.
Требуется:
1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа.
2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]пр
.
3. Сравнить полученные результаты.
4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d2
= 2∙10-3
м
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt1
= -40°С.
6. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.
1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].
Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N1
и N2
. Составим уравнение моментов относительно точки О:
При неизвестных реактивных усилиях N1
, N2
, Rox
, Roy
и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:
ССН = m – n,
где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1
О и СС1
О имеем:
.
Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.
АА1
=Dl2
, , KА1
=Dl1
. То есть:
По закону Гука имеем:
; .
Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:
м
Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:
.
Тогда, . Окончательно имеем: N2
= 1,3×N2
Из этого выражения видно, что N1
<N2
. Соответственно, напряжения в первом стержне sI
меньше, чем напряжения во втором sII
. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: sII
= [s] и кН. Значение N1
= 24,62 кН.
Оба стержня сжаты.
Найдем напряжения в обоих стержнях: sII
= [s] = -160 МПа; sI
= -123,1 МПа. растянуты.
Подставим значения сил N1
и N2
в первое уравнение и определим значение [Q]:
кН.
2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]пр
.
Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести sт
: sI
= sII
= sт
Составляем уравнение предельного равновесия:
;.
Предельные усилия в каждом из стержней:
.
Решаем относительно предельной нагрузки для системы:
.
Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]пр
определяется как:
,
где n – коэффициент запаса прочности.
С учетом, что получим [Q]пр
= 23,51 кН.
3. Сравнить полученные результаты.
Определяем погрешность между расчетами:
%.
По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность d < 5%).
4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d2
=1,5 мм.
Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А1
. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N1
и N2
. Составим уравнение статики:
;
Из этого уравнения следует, что:
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1
О и ВВ1
О имеем:
;
; ;
KВ1
=Dl1
.
По закону Гука:
; .
Решая совместно уравнения получим:
N1
= 29,76 кН; N2
= 41,34 кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.
Определим напряжения:
sI
=148,8 МПа; sII
= -206,7 МПа.
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину Dt1
=40°.
Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В1
. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N1
и N2
. Составим уравнение статики:
;
Из этого уравнения следует, что:
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1
О и ВВ1
О имеем:
; ; ; ; ; АА1
=Dl2
.
По закону Гука:
; .
Решая совместно получим:
N1
=5,15 кН; N2
=7,15 кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.
Определим напряжения:
sI
=25,75 МПа; sII
= -35,76 МПа.
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.
Сведем данные расчетов в Таблицу
Таблица 1.
| Фактор, вызывающий напряжения | Напряжения, МПа | |
| 1 стержень | 2 стержень | |
| Нагрузка [Q] = 20,96 МПа | -160 | -123,1 |
| Неточность изготовления 2-го стержня | 148,8 | -206,7 |
| Изменение температуры 1-го стержня | 25,75 | -35,76 |
| ИТОГО | 14,55 | -365,56 |
Из таблицы видно, что для заданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов является благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится.
Задача 2
Дана двух опорная балка с приложенными к ней нагрузками М= -15кНм; F=-20 кН; q = 12 кН/м. Допускаемое напряжение [s] = 160 МПа. размеры балки a = 0,8 м; b = 0,7 м; c = 0,5 м.
Требуется:
1. Подобрать для схем (а) балку круглого, прямоугольного (отношение сторон h/b=2), кольцевого (отношение диаметров с=0,5), двутаврового сечений при заданном [s];
2. Сравнить площади поперечных сечений и сделать вывод о том, какая форма наиболее рациональна.
Решение
1. Определяем опорные реакции балки.
Проверяем правильность определения опорных реакций:
Реакции определены верно.
2. Запишем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.
Участок
I
. О ≤
Z
1
≤0,8
; кН;
; ; кНм.
Строим эпюры по вычисленным значениям.
Участок
П. 0 <
Z
2
< 0,7
; кН;
; кН×м; кН×м.
Строим эпюры по вычисленным значениям.
Участок
I
П.
0 <
Z
3
< 0,5
Q(z3
) = -RВ
+ q×z3
; Q(0) = 87 кH; Q(0.5) = 93 кН
M(z3
)= RВ
z3
– q×z3
×z3
×0.5; M(0) = 0; M(0.5)= -45 кH×м
3. Опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает максимального значения по абсолютной величине.
В данной задаче Mmax
= 45 кН×м.
Вычисляем необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки
см3
.
3.1. Двутавровое поперечное сечение.
Этому моменту сопротивления соответствует двутавр №24, момент сопротивления и площадь поперечного сечения которого соответственно равны Wx
=289 cм3
; А= 34,8 см2
.
3.2. Прямоугольное сечение (h/b = 2).
см
h=15 см; b=7,5 см; А=112,5 см2
.
3.3. Круглое поперечное сечение:
,
см
см2
.
3.4. Кольцевое сечение (с = 0,7).
см
см2
3. Сравниваем площади поперечных сечений А, подобранных профилей, сведя данные в Таблицу 2:
Таблица 2.
| Тип сечения | Площадь сечения, см2
|
| Двутавровое | 38,4 |
| Прямоугольное | 112,5 |
| Круглое | 156,4 |
| Кольцевое | 95,7 |
Таким образом, при изгибе оптимальным является сечение двутавра.
Задача 3
Дан стержень с опорами, закрепленными по указанной схеме, сжат силой F = 90 кН. Поперечное сечение – равносторонний треугольник. Длина стержня 1
= 0,85 м. Материал стержня - чугун. Модуль упругости Е = 1,3×105
МПа, допускаемое напряжение [σ] = 130 МПа. Коэффициент закрепления опор m = 0,7
Требуется определить:
- размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие [σ];
- величину критической силы Fk
;
- коэффициент запаса устойчивости nу
.
Решение.
Задача решается методом приближения. В первом приближении задаемся коэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения j1
= 0,5. Из условия устойчивости определяем площадь сечения:
Из площади сечения находим сторону сечения b:
Þ= 4,3 см.
Определяем минимальный радиус инерции по формуле:
, где .
=0,88 см
Определяем гибкость стержня:
По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,36. Производим проверку на устойчивость:
МПа > [s]
Так как σ > [σ], то задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.
=6,1 см. = 1,24 см.
По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,6. Производим проверку на устойчивость:
МПа
Допускаемая погрешность не более 5%. Определяем погрешность
Погрешность больше допустимой, поэтому задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.
=5,54 см. = 1,13 см.
По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим проверку на устойчивость:
МПа
Определяем погрешность
Погрешность не находится в допускаемых пределах.
Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.
=5,71 см. = 1,16 см.
По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,56. Производим проверку на устойчивость:
МПа
Определяем погрешность
Погрешность не находится в допускаемых пределах.
Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.
=5,5 см. = 1,12 см.
По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим проверку на устойчивость:
МПа
Значения повторяются. Поэтому принимаем b = 5,71 см, А = 14,1 см2
.
Определяем критическую силу:
кН.
Определяем коэффициент запаса устойчивости:
Ответ: FK
=695 кН; nу
= 7,7.