Исследование сложной электрической цепи постоянного тока методом узловых потенциалов.
R1=130 Ом
R2=150 Ом
R3=180 Oм
R4=110 Oм
R5=220 Oм
R6=75 Oм
R7=150 Oм
R8=75 Oм
R9=180 Oм
R10=220 Oм
E1=20 В
E4=5.6 В
E6=12 В
1. Расчет узловых
потенциалов.
Заземляем 0й
узел, и относительно него рассчитываем потенциалы остальных узлов.
Запишем матрицу проводимостей для этой цепи:
Y=
После подстановки значений:
Y=
Составляем матрицу узловых токов:
I=
По методу узловых потенциалов мы имеем уравнение в матричном виде:
Y – матрица проводимостей;
U – матрица узловых потенциалов;
I – матрица узловых токов.
Из этого уравнения выражаем U:
Y-1
– обратная матрица;
Решаем это уравнение, используя математическую среду Matlab: U=inv(Y)*I
inv(Y) – функция ищущая обратную матрицу.
U=
Зная узловые потенциалы, найдем токи в ветвях:
i1
== -0.0768; i2
== -0.0150; i3
== -0.0430;
i4
== -0.0167; i5
== -0.0454; i6
== 0.0569;
i7
== 4.2281´10-
5
; i8
== 0.0340; i9
== -0.0288;
i10
== 0.0116
2. Проверка законов Кирхгофа.
Первый закон
для 0го
узла : i4
+i2
-i5
-i1
=0
для 1го
узла : i2
+i6
-i3
-i9
=0
для 2го
узла : i3
+i7
-i8
-i1
=0
для 3го
узла : i10
-i7
-i6
-i5
=0
для 4го
узла : i8
+i4
+i9
-i10
=0
Второй закон
1й
контур : i1
R1+i2
R2+i3
R3=E1
Þ 20=20
2й
контур : i2
R2-i6
R6+i5
R5=-E6
Þ -12=-12
3й
контур : i4
R4-i8
R8-i3
R3-i2
R2=E4
Þ 5.6=5.6
4й
контур : i3
R3+i8
R8+i10
R10+i6
R6=-E6
Þ -12=-12
5й
контур : i3
R3-i7
R7+i6
R6=E6
Þ 12=12
6й
контур : i9
R9-i8
R8-i3
R3=0 Þ 0=0
3. Проверка баланса мощностей в схеме
Подсчитаем мощность потребителей:
P1
=i1
2
´R1+i2
2
´R2+i3
2
R3+i4
2
´R4+i5
2
´R5+i6
2
´R6+i7
2
´R7+i8
2
´R8+i9
2
´R9+i10
2
´R10+E4´i4
= 2.2188
Сюда включёна мощность Е4 так как он тоже потребляет энергию.
Подсчитаем мощность источников:
P2
=E1´i1
+E6´i6
=2,2188
P1
-P2
=0
4. Метод эквивалентного генератора.
Рассчитаем ток в ветви с максимальной мощностью, методом эквивалентного генератора.
Сравнивая мощности ветвей видим, что максимальная мощность выделяется в первой ветви, поэтому уберём эту ветвь и для получившейся схемы рассчитаем Uxx
и Rэк
.
Расчёт Uxx
методом узловых потенциалов:
Матрица проводимостей:
Y=
Матрица узловых токов:
I=
По методу узловых потенциалов находим:
=
Но нас интересует только разность потенциалов между 0ым
и 3им
узлами: U30
=Uxx
=-6.1597.
Þ I1
===-0.0686
Где эквивалентное сопротивление находится следующим образом:
∆123 Þ :123
:054 Þ ∆054 :054 Þ ∆054
:024 Þ ∆024
При переходе от : Þ ∆ используется формулы преобразования: , а при переходе ∆ Þ :: , две остальные формулы и в том, и в другом случаях получаются путем круговой замены индексов.
Определим значение сопротивления, при котором будет выделяться максимальная мощность. Для этого запишем выражение мощности на
, т.е. максимальная мощность выделяется при сопротивлении нагрузки равном внутреннему сопротивлению активного двухполюсника.
5.
Построение потенциальной диаграммы по контуру.
По оси X откладывается сопротивление участка, по оси Y потенциал соответствующей точки.
Исследование сложной электрической цепи переменного тока методом контурных токов.
Þ
Переобозначим в соответствии с графом:
R1=110 Ом L5=50 млГ С4=0.5 мкФ
R2=200 Ом L6=30 млГ С3=0.25 мкФ
R3=150 Ом
R4=220 Ом E=15 В
R5=110 Ом w=2pf
R6=130 Ом f=900 Гц
1. Расчет токов и напряжений в схеме, методом контурных токов.
Матрица сопротивлений:
Z==
=102
´
Матрица сумм ЭДС, действующих в ком
контуре: Eк
=
По методу контурных токов: Ix
=Z-1
´Eк
=
Действующие значения: Ix
=
Выражаем токи в ветвях дерева: I4
=I1
+I2
= 0.0161+0.0025i I4
=0.0163
I5
=I1
+I2
+I3
=0.0208-0.0073i Þ I5
=0.0220
I6
=I2
+I3
=0.0043-0.0079i I6
=0.0090
Напряжения на элементах:
UR1
=I1
´R1=1.8162 UL5
=I5
´w´L5=6.2327 UC3
=I3
´=7.6881
UR2
=I2
´R2=0.3883 UL6
=I6
´w´L6=1.5259 UC4
=I4
´=5.7624
UR3
=I3
´R3=1.6303
UR4
=I4
´R4=3.5844
UR5
=I5
´R5=2.4248
UR6
=I6
´R6=1.1693
2. Проверка баланса мощностей.
Активная мощность:
P=I1
2
´R1+I2
2
´R2+I3
2
´R3+I4
2
´R4+I5
2
´R5+I6
2
´R6=0.1708
Реактивная мощность:
Q=I5
2
´w´L5+I6
2
´w´L6-I32´=-0.0263
Полная мощность:
S==0.1728
С другой стороны:
Активная мощность источника:
P=E´I4
´cos(arctg)=0.1708
Реактивная мощность источника:
Q=E´I4
´sin(arctg)=-0.0265
Полная мощность источника:
S=E´I4
=0.1728
3. Построение векторной диаграммы и проверка 2го
закона
Кирхгофа.
Для 1го
контура:
I1
´R1+I4
´R4+I4
´ +I5´R5+I5´282.7433i-E=0.0088-0.0559i
Для 2го
контура:
I2
´R2+I4
´R4+I4
´+I5
´282.7433i+I5
´R5+I6
´169.6460i+I6
´R6=0.0088- 0.0559i
Для 3го контура:
I5
´R5+I6
´169.6460i+I6
´R6+I3
´+I3
´R3+I5
´282.7433i=-0.0680-0.0323i
Векторная диаграмма:
Топографическая диаграмма для 1го
контура:
Топографическая диаграмма для 2го
контура:
Топографическая диаграмма для 3го
контура:
Исследование сложной электрической цепи постоянного тока методом узловых потенциалов. 1
1. Расчет узловых потенциалов. 1
2. Проверка законов Кирхгофа. 2
3. Проверка баланса мощностей в схеме_ 3
4. Метод эквивалентного генератора. 3
5. Построение потенциальной диаграммы по контуру. 4
Исследование сложной электрической цепи переменного тока методом контурных токов. 5
1. Расчет токов и напряжений в схеме, методом контурных токов. 6
2. Проверка баланса мощностей. 6
3. Построение векторной диаграммы и проверка 2го
закона Кирхгофа. 7