Изображения токов и напряжений комплексными числами
Рассмотрим мгновенное значение тока .
Покажем, что вращающийся вектор на комплексной плоскости соответствует этому току.
Вектор, изображённый на комплексной плоскости, записывается аналитически –
- формула Эйлера,
где
- оператор поворота на угол a
- оператор вращения со скоростью ω.
Следовательно
Произведение обозначается и называется комплексной амплитудой тока. Аналогично мгновенные значения напряжения и ЭДС будут –
Здесь и комплексные амплитуды напряжения и ЭДС.
В расчёте можно оперировать и действующими значениями величин –
; ; .
Символический метод, основанный на изображении векторов комплексными числами введён Штейнмецом, у нас развит ?????????.
Связь комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи
Законы Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами
Тепе
Это соотношение представляет собой второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжения и тока.
Соединяя те же элементы в параллельную цепь с известной ЭДС, определяем ток источника –
Полученное равенство представляет собой первый закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжения и тока.
Законы Кирхгофа в комплексной форме записи представлены алгебраическими уравнениями, поэтому для расчёта цепей переменного тока методом комплексных амплитуд можно применять все методы обоснованные ранее – метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения и эквивалентного генератора.
Расчёт цепи переменного тока так же, как и расчёт цепи постоянного тока, иногда удаётся значительно упростить, применив преобразование соединения трёхлучевой звезды в соединение треугольник и наоборот.
Ввиду особой важности этого преобразования, весьма часто применяемого при расчёте трёхфазных цепей, приведём формулы для перехода от одного вида преобразования к другому и наоборот.