Основная задача механики

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3
, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1
в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным
s

.

В задании приняты следующие обозначения: m1
, m2
, m3,
m4
– массы тел 1, 2, 3, 4; R3
– радиус большой окружности; δ
– коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 1.

m 1 , кг	m 2 , кг	m 3 , кг	m4 , кг	R 3	δ , см	s , м
m	1/2m	5m	4m	25	0,20	2

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T0
и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0
=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1
, 2
, 3
и 4
:

Т = Т1
+ Т2
+ 4Т3
+ Т4
. (3)

Кинетическая энергия груза 1
, движущегося поступательно,

(4)

Кинетическая энергия барабана 2
, совершающего вращательное движение,

, (5)

где J2
x
– момент инерции барабана 2
относительно центральной продольной оси:

, (6)

w2
– угловая скорость барабана 2
:

.(7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2
принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия колеса 3
, совершающего плоскопараллельное движение:

, (9)

где VC
3
– скорость центра тяжести С3
барабана 3
, J3
x
– момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

, (10)

w3
– угловая скорость барабана 3
.

Мгновенный центр скоростей находится в точке СV
. Поэтому

, (11)

. (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13)

Кинетическая энергия груза 4
, движущегося поступательно

. (14)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или

. (15)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести :

(16)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа пары сил сопротивления качению :

(18)

где

(19)

(20)

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

(22)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа силы тяжести :

(23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

Или

. (24)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):

,

откуда выводим

м/с.

Дано:

R2
=30; r2
=20; R3
=40; r3
=40

X=C2
t2
+C1
t+C0

При t=0 x0
=7 =0

t2
=2 x2
=557 см

X0
=2C2
t+C1

C0
=7

C1
=0

557=C2
*52
+0*5+7

25C2
=557-7=550

C2
=22

X=22t2
+0t+7

=V=22t

a==22

V=r2
2

R2
2
=R3
3

3
=V*R2
/(r2
*R3)
=(22t)*30/20*40=0,825t

3
=3
=0,825

Vm
=r3
*3
=40*(0,825t)=33t

at
m
=r3

=0,825t

at
m
=R3
=40*0,825t=33t

an
m
=R3
2
3
=40*(0,825t)2
=40*(0,825(t)2

a=

***********************************

Дано :R2
=15; r2
=10; R3
=15; r3
=15

X=C2
t2
+C1
t+C0

При t=0 x0
=6 =3

t2
=2 x2
=80 см

X0
=2C2
t+C1

C0
=10

C1
=7

80=C2
*22
+3*2+6

4C2
=80-6-6=68

C2
=17

X=17t2
+3t+6

=V=34t+3

a==34

V=r2
2

R2
2
=R3
3

3
=V*R2
/(r2
*R3)
=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

3
=3
=3,4

Vm
=r3
*3
=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

at
m
=r3

=3,4t

at
m
=R3
=15*3,4t=51t

an
m
=R3
2
3
=15*(3,4t+0,3)2
=15*(3,4(t+0,08)2

a=

Решение второй задачи механики

Дано:

m=4.5 кг; V0
=24 м/с;

R=0.5V H;

t1
=3 c;

f=0.2;

Q=9 H; Fx
=3sin(2t) H.

Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС

Решение:

1) Рассмотрим движение на промежутке АВ

учитывая, что R=0.5VH;

Разделяем переменные и интегрируем

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V0
=VB
)

Дано:

m
=36 кг

R
=6 см=0,06 м

H
=42 см=0,42 м

yC
=1 см=0,01 м

z
С
=25 см=0,25 м

АВ=52 см=0,52

М=0,8 Н·м

t
1
=5 с

Найти реакции в опорах А
и В
.

Решение

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:

(1)

Для определения углового ускорения ε
из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z
по формуле

, (2)

где Jz
1
− момент инерции тела относительно центральной оси С
z
1
, параллельной оси z
; d
– расстояние между осями z
и z
1
.

Воспользуемся формулой

, (3)

где α
, b
, g
- углы, составленные осью z
1
с осями x
, h
, z
соответственно.

Так как α=90º
, то

. (4)

Определим моменты инерции тела , как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h
, z

;

.

Вычисляем

;

.

Определяем угол g
из соотношения

;

;

.

Угол b
равен

;

.

По формуле (4), вычисляем

.

Момент инерции тела относительно оси вращения z
вычисляем по формуле (2):

,

где d
=
yC
;

.

Из последнего уравнения системы (1)

;

.

Угловая скорость при равноускоренном вращении тела

,

поэтому при ω0
=0
и t
=
t
1
=5
c

.

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции и тела. , так как ось х
, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А
.

Центробежный момент инерции тела определим по формуле

,

где , т.е.

.

Тогда

.

Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства

Отсюда

Ответ: , , , .

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения