Параметры цепи, определение напряжения

Задача 1.
Ток в цепи равен i. Параметры цепи r1
, r2
, L, и 1/С заданы в таблице вариантов. Определить показания приборов. Написать мгновенное значение напряжения u1
(t).

Дано

i, А	R1, Ом	L, Ом	R2, Ом	1/С, Ом
3*2 (1/2) *sin (wt - 45)	4	3	6	8

Решение.

Определим действующую силу тока, зная ее амплитудное значение

I=Imax
/2^0.5=3 (A);

Найдем общее сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активных и реактивных составляющих (что следует из треугольника сопротивлений):

Z= ( (R1
+ R2
) ^2+ (XL
- XC
) ^2) ^0.5=8.60 (Ом);

Найдем общее действующее напряжение цепи (показания 1-го вольтметра), как произведение действующей силы тока на общее сопротивление цепи:

U=I*Z=25,81 (В);

Найдем амплитудное значение общего напряжения цепи:

Umax
=U*2^0,5=36,50 (В);

Найдем угол сдвига фаз напряжения относительно тока

=arcsin ( (XL
- RC
) /Z) = - 410
;

Запишем мгновенное значение напряжения u1
(t):

u1
(t) = Umax
*sin (t+ +) = 36.50*sin (t - 45 - 41) = 36.50*sin (t - 86);

Поскольку активная мощность участка цепи (мощность, показываемая ваттметром) определяется как произведение квадрата действующей силы тока на активное сопротивление этого участка, то:

P=I^2*R1
=36 (Вт);

Определим показания 2-го вольтметра. Для этого найдем значение полного сопротивления, создаваемого активным сопротивлением R2
и емкостным ХС
:

Z2
= (R2
^2+ ХL
^2) ^0.5=30 (B);

U=I* Z2
=3*30=90 (B);

Задача
2.
В сеть переменного тока с напряжением uвключены параллельно три приемника энергии, активные мощности и коэффициенты мощности, которых известны (смотреть таблицу вариантов). Определить токи приемников и ток в неразветвленной части цепи, а также коэффициент мощности всей установки.

Дано

U, В	Р1, кВт	cos1	Р2, кВт	cos2	Р3, кВт	cos3
380	8	1	18	0,7	9	0,7

Решение.

Поскольку активная мощность равна произведению активной силы тока на напряжение то, учитывая коэффициенты мощности, которые равны отношению активного тока к полному, найдем полные, активные и реактивные токи каждой ветви (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока).

Для первой ветви:

Ia
1
= P1/
U =21.05 (A);

I1
= Ia1
/cos1
=21.05 (A);

Iр
1
= (I1
^2 + Ia1
^2) ^0.5 =0 (A);

т.е. характер нагрузки первой ветви активный.

Для второй ветви:

Ia
2
= P2/
U =47.37 (A);

I2
= Ia2
/cos2
=67.67 (A);

Iр
2
= (I2
^2 + Ia2
^2) ^0.5 = - 48.32 (A);

т.е. характер нагрузки второй ветви активно-емкостный.

Для третьей ветви:

Ia
3
= P3/
U =23.68 (A);

I3
= Ia3
/cos3
=33.83 (A);

Iр
3
= (I3
^2 + Ia3
^2) ^0.5 = 72.48 (A);

т.е. характер нагрузки третей ветви активно-индуктивный.

Найдем активный ток неразветвленной ветви, как сумму активных токов параллельных участков:

Ia
= Ia
1
+ Ia
2
+ Ia
3
= 92.11 (A);

Найдем реактивный ток неразветвленной ветви, как сумму реактивных токов параллельных участков (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока):

Iр
= Iр1
+ Iр2
+ Iр3
= - 24.16 (A);

Найдем общий ток неразветвленной части цепи, как корень из суммы квадратов его составляющих:

I = (Iр
^2 + Iр
^2) ^0.5 =95.22 (A);

Найдем коэффициент мощности цепи, как отношение активной составляющей тока к полному току цепи:

 = Ia
/ I = 0.967;

Задача 3.
В схеме заданы напряжение u23
и все параметры цепи. Необходимо: Определить действующие значения токов во всех ветвях и входного напряжения u;

Определить активную, реактивную и полную мощность цепи и проверить баланс мощностей;

Определить коэффициент мощности цепи;

Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Дано

U23, В	R1, Ом	ХL1 , Ом	ХC1 , Ом	R2, Ом	ХL2 , Ом	ХC2 , Ом	R3, Ом	ХL3 , Ом	ХC3 , Ом
200	6	2	10	6	8	0	0	2	10

Решение.

Найдем общее сопротивление ветвей 2 и 3, как корень квадратный из суммы квадратов активных и реактивных сопротивлений (причем знак “-” соответствует емкостному характеру нагрузки):

Z2
= (R2
^2 + XL
2
^2) ^0.5=10 (Ом); Z3
= (XL
3
- XC
3
) = - 8 (Ом);

Найдем полные токи ветвей 1 и 2, как отношение напряжения участка 2-3 к общему сопротивлению каждой ветви:

I2
= U23/
Z2
=20 (A); I3
= U23/
Z3
=25 (A);

Найдем коэффициент полезной мощности ветвей 1 и 2, как отношение активного сопротивления ветви к полному сопротивлению ветви:

cos (2
) = R2/
Z2
= 0.6;

cos (3
) = R3/
Z3
= 0;

Найдем активные составляющие токов ветвей 1 и 2, как произведение полного тока ветви на коэффициент полезной мощности ветви:

Ia2
= I2
* cos (2
) =12 (A);

Ia3
= I3
* cos (3
) =0 (A);

Найдем реактивные составляющие токов ветвей 1 и 2, как корень квадратный из разности квадратов полного и активного токов (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока, т.е. XC
> XL
):

Iр2
= (I2
^2 - Ia2
^2) ^0.5=16 (A);

Iр3
= (I3
^2 - Ia3
^2) ^0.5= - 25 (A);

Найдем активную и реактивную составляющую тока участка 2-3 как сумму активных составляющих ветвей 2, 3 и реактивных составляющих ветвей 2, 3 соответственно (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру тока):

Ia23
= Ia2
+ Ia3
=12 (A);

Iр
23
= Iр
2
+ Iр
3
= - 9 (A);

Найдем полный ток цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного токов участка 2-3:

I= (Iа23
^2 + Iр23
^2) ^0.5=15 (A);

Найдем напряжение участка 1-4 (активное), как произведение полного тока цепи на активное сопротивление R1
:

U14
=I * R1
=90 (B);

Найдем напряжение участка 4-5 (индуктивное), как произведение полного тока цепи на индуктивное сопротивление XL
1
:

U45
=I * XL
1
=30 (B);

Найдем напряжение участка 5-2 (емкостное), как произведение полного тока цепи на емкостное сопротивление XС1
:

U52
=I * XС1
= - 150 (B);

Найдем активное напряжение участка 2-3, как произведение напряжение участка 2-3 на коэффициент полезной мощности участка 2-3 (с учетом того, что коэффициент полезной мощности участка 2-3 равен отношению активного тока к полному):

Ua
23
= U23
* (Ia
23/
I) =160 (B)

Найдем реактивное напряжение участка 2-3, как корень квадратный из разности квадратов полного и активного напряжений (причем знак “ - ” соответствует емкостному характеру напряжения, т.е. Iр23
< 0):

Uр23
= (U23
^2 - Ua
23
^2) ^0.5 =-120 (B);

Найдем активное напряжение цепи, как сумму напряжения участка 1-4 и активной составляющей участка 2-3

Uа
= U14
+ Uа23
=150 (B);

Найдем реактивное напряжение цепи, как сумму напряжения участка 4-5, 5-2 и реактивной составляющей участка 2-3

Uр
= Uр45
+ Uр52
+ Uр23
= - 240 (B);

Найдем полное напряжение цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного напряжений:

U = (Uа
^2+ Uр
^2) ^0.5=346.6 (B);

Найдем коэффициент полезной мощности цепи, как отношение активного напряжения цепи к полному напряжению цепи:

cos () =Uа
/ U =0.721;

Найдем полную мощность цепи Q, как произведение полного тока цепи на напряжение:

Q = U * I =146088 (Bт);

Найдем активную мощность цепи P, как произведение полной мощности цепи на коэффициент полезной мощности:

P = Q * cos () = 105386 (Bт);

Найдем реактивную мощность цепи S, как корень квадратный из разности квадратов полной и активной мощностей:

S= (Q^2 -P^2) ^0.5=101170 (Bт);

Задача 4.
В схеме заданы параметры цепи и ЭДС источников. Известно также, что ЭДС Е1
опережает Е2
на угол . Необходимо:

На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах: а) дифференциальной и б) символической.

Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных цепей

По результатам, полученным в пункте 2, определить показания ваттметра двумя способами:

а) с помощью выражений для комплексов тока и напряжения;

б) по формуле UIcos (UI)

Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Построить круговую диаграмму для тока в одном из сопротивлений при изменении модуля этого сопротивления от 0 до .

Пользуясь круговой диаграммой построить график изменения этого тока в зависимости от модуля сопротивления.

Используя данные расчета, полученные в пункте 2, записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения. Построить график зависимости одной из этих величин.

Полагая, что между двумя индуктивностями, расположенными в разных ветвях заданной системы, имеется магнитная связь при коэффициенте магнитной индукции М составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной;

б) символической

Примечание 1.
При отсутствии в данной схеме второй индуктивности, вторую нагрузку ввести дополнительно в одну из ветвей.

Примечание 2.
Ориентируясь на ранее принятые направления токов в ветвях одноименные зажимы индуктивных катушек выбрать произвольно так, чтобы их встречное включение и обозначить эти зажимы звездочками.

Дано

E1, B	E2, B		R1, Ом	L1, мГ	C1, мкФ	R2, Ом	L2, мГ	C2, мкФ	R3, Ом	L3, мГ	C3, мкФ	f, Гц
240	240	п/4	12	2	20	14	8	100	4	5	50	500

Решение.

1) На основании законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной

Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:

i1
+ i2
+ i3
= 0;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:

e1
= i1
*R1
+ 1/C3
*i3
dt+i3
*R3
;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:

e2
= 1/C2
*i2
dt + L2
*di2
/dt + 1/C3
* i3
dt +i3
*R3
;

Получили систему из 3 уравнений:

i1
+ i2
+ i3
= 0;

e1
= i1
*R1
+ 1/C3
* i3
dt +i3
*R3
;

e2
= 1/C2
* i2
dt + L2
*di2
/dt + 1/C3
* i3
dt +i3
*R3
;

б) символической.

Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:

I1
+ I2
+ I3
= 0;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:

20.5
* E1
+ 20.5
*j* E1
= I1
*R1
- I3
*j*1/wC3
+ I3
*R3
;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:

E2
= - I2
*j*1/wC2
+ I2
*j*wL2
- I3
*j*1/wC3
+ I3
*R3
;

Получили систему из 3 уравнений:

I1
+ I2
+ I3
= 0;

20.5
* E1
+ 20.5
*j* E1
= I1
*R1
- I3
*j*1/wC3
+ I3
*R3
;

E2
= - I2
*j*1/wC2
+ I2
*j*wL2
- I3
*j*1/wC3
+ I3
*R3
;

Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись методом двух узлов.

E1
=240*ej45
= 170+170j (B);

E2
=240*ej0
=240 (B);

R1
=12*ej0
=12 (Ом);

R3
=4*ej0
= 4 (Ом);

XL
2
=wL2
*ej90
= 3.14*2*500*8=25.12*ej90
(Ом);

Xc2
= - 1/w C2
*e j90
= - 1/ (3.14*2*500*100) = - 3.18*e j90
(Ом);

Xc3
= - 1/w C2
*e j90
= - 1/ (3.14*2*500*50) = - 6.37*e j90
(Ом);

Запишем сопротивления ветвей в комплексной форме:

Z1
= R1
=12*e j0
;

Z2
= XL2
+XC2
=21.94*e j90
;

Z3
= XL
3
+R3
=5.92*e-
j47.53
;

Найдем проводимости ветвей:

y1
=1/Z1
=1/12*ej0
=1/12;

y2
=1/Z2
=1/21.94*e - j90
=-j*1/21.94;

y3
=1/Z3
=1/5.92*ej47.53
=0.11405+0.12460j;

Найдем напряжение между узлами а и b:

Uab
= (240*ej45
*1/12*ej0
- 240*ej0
*1/21.94*ej90
) / (1/12-j*1/21.94 + +0.11405+0.12460*j) = (20*ej45
-10.97*ej90
) / (0.19738+0.07902*j) = (14.14213-3.17213*j) / (0.21261 *ej21.8
) =68.17*e-
j9
;

Uab
=67.33+ j* 0.93;

Найдем токи цепи:

I1
= (E1 -
Uab
) *y1
= (170+j*170 - (67.33+j*0.93)) /12=16.48*e j59
;

I2
= (E2 -
Uab
) *y2
= (240- (67.33+j*0.93)) /21.94*e j90
=7.87*e - j91
;

I3
= Uab
*y1
=68.17*e -j9
/ (5.92*e -j47.53
) =11.51*e j36.53

По результатам, полученным в пункте 2, определим показания ваттметра двумя способами:

а) с помощью выражений для комплексов тока и напряжения;

б) по формуле UIcos (UI):

P= UIcos (UI) =197.76*16.48cos (59 - 45) = 3162.3 (Вт);

Построим топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Построим круговую диаграмму для тока во второй ветви при изменении модуля сопротивления этой ветви от 0 до . Для этого найдем максимальный ток Ik
при сопротивлении третей ветви, равном 0:

Ik
= E1
*y1
+ E2
*y2
= (170+170j) /12 - 240*j*1/21.94 = 14.17+ 3.22j = =14.53*e12.8
;<

/p>

Найдем сопротивление цепи относительно зажимов aи b:

Zab
=1/ (y1
+y2
) +Z3
=-1/ (j*1/21.94+1/12) + 0.11405+0.12460j = 0.05+0.08j+ +0.11405+0.12460j=0.164+0.205j=0.26*e51
;

В окружности

хорда равна Ik
= 14.53*e12.8
;

коэффициент равен k=0.36;

вписанный угол = - 7

Пользуясь круговой диаграммой построим график изменения этого тока в зависимости от модуля сопротивления.

Используя данные расчета, полученные в пункте 2, запишем выражения для мгновенных значений тока и напряжения. Построим график зависимости одной из этих величин.

Uab
=68.17* sin (wt-9);

I2
=11.51* sin (wt + 36.53)

График - синусоиды, смещенные относительно оу на 90
и - 36,530
соответственно.

Полагая, что между двумя индуктивностями, расположенными в разных ветвях заданной системы, имеется магнитная связь при коэффициенте магнитной индукции М (добавим вторую индуктивность в 3 ветвь) составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной;

б) символической

1) На основании законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной. Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:

i1
+ i2
+ i3
= 0;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:

e1
= i1
*R1
+ 1/C3
* i3
dt + L3
*di3
/dt - M23
*di2
/dt + i3
*R3
;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:

e2
= 1/C2
*i2
dt + L2
*di2
/dt - M23
*di3
/dt+ 1/C3
* i3
dt+ L3
*di3
/dt - M32
*di3
/dt+i3
*R3
;

Получили систему из 3 уравнений:

i1
+ i2
+ i3
= 0;

 e1
= i1
*R1
+ 1/C3
* i3
dt + L3
*di3
/dt - M23
*di2
/dt + i3
*R3
;

 e2
= 1/C2
*i2
dt + L2
*di2
/dt - M23
*di3
/dt+ 1/C3
* i3
dt+ L3
*di3
/dt - M32
*di3
/dt+i3
*R3
;

б) символической.

Исходя из первого закона Кирхгофа для узла а:

I1
+ I2
+ I3
= 0;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bdab:

20.5
* E1
+ 20.5
*j* E1
= I1
*R1
- I3
*j*1/wC3
+ I3
*R3
+I3
*j*wL3
- I2
*j*wM32
;

Исходя из второго закона Кирхгофа для контура bcab:

E2
= - I2
*j*1/wC2
+I2
*j*wL2
-I2
*j*wM32
- I3
*j*1/wC3
+ I3
*R3
- I3
*j*wM23
;

Получили систему из 3 уравнений:

I1
+ I2
+ I3
= 0;

20.5
* E1
+ 20.5
*j* E1
= I1
*R1
- I3
*j*1/wC3
+ I3
*R3
+I3
*j*wL3
-I2
*j*wM32
;

E2
= - I2
*j*1/wC2
+I2
*j*wL2
-I2
*j*wM32
- I3
*j*1/wC3
+ I3
*R3
- I3
*j*wM23
;

Задача 5.
Два электродвигателя переменного тока подключены параллельно к цепи с напряжением u2
и работают с низким коэффициентом мощности cos1
. Измерительные приборы в цепи каждого электродвигателя показывают токи I1
и I1
и мощности Р1
и Р2
. Провода линии электропередачи имеют активное сопротивление r0
и индуктивное x0
. Численные значения всех величин, необходимых для расчета, приведены в таблице вариантов. Необходимо:

А.
Рассчитать заданную электрическую цепь и определить (до подключения конденсаторов):

Ток в линии

Напряжение в начале линии

Потерю и падение напряжения в линии

Активную, реактивную и полную мощности в конце линии и мощность потерь в проводах

Коэффициент мощности установки

КПД линии

Б.
Рассчитать компенсационную установку для получения cos2
=0,95 и определить для указанного значения коэффициента мощности емкость и мощность батареи конденсаторов.

В.
Выполнить расчет цепи при условии работы компенсационной установки и найти величины, указанные в пункте А.
Полученные результаты свести в таблицу и сравнить для различных режимов работы электродвигателя (до компенсации и при cos2
=0,95). Отметить, какие выводы дает улучшение коэффициента мощности установки.

Дано.

R0, Ом	Х0, Ом	I1, А	I2, А	Р1, кВт	Р2, кВт	U2, В
0,06	0,05	90	70	15	12	220

Решение.

А.
Найдем активное сопротивление каждого электродвигателя, исходя из того, что активная мощность равна произведению активного сопротивления на квадрат тока ветви. Значит:

R1
=P1/
I1
2
=1.852 (Ом);

R2
=P2/
I2
2
=2.449 (Ом);

Найдем реактивную мощность каждого электродвигателя, как произведение тока на напряжение:

Q1
=U1
* I1
=19800 (Bт);

Q2
=U2
* I2
=15400 (Bт);

Найдем полную мощность каждого электродвигателя, как корень квадратный из разности полной и активной мощностей:

S1
= (Q1
2
+! P1
2
) 0.5
=12924 (Bт);

S2
= (Q2
2
+! P2
2
) 0.5
=9651 (Bт);

Найдем реактивное сопротивление каждого электродвигателя, исходя из того, что реактивная мощность равна произведению реактивного сопротивления на квадрат тока ветви (реактивное сопротивление является индуктивным):

XL1
=S1/
I1
2
=1.596 (Ом);

XL2
=S2/
I2
2
=1,970 (Ом);

Найдем полное сопротивление каждого электродвигателя, исходя из того, что полное сопротивление равно корню квадратному из суммы квадратов его активной и реактивной составляющих:

Z1
= (XL
1
2
+ R1
2
) 0.5
=2,444

Z2
= (XL
2
2
+ R2
2
) 0.5
=3,143

Найдем активную проводимость параллельного участка:

g = g1
+ g2
; где

g1
=R1
/ Z1
2
;

g2
=R2
/ Z2
2
;

Значит

g = g1
+ g2
= R1
/ Z1
2
+ R2
/ Z2
2
= 0.558

Найдем реактивную проводимость параллельного участка:

b=b1
+ b1
; где

b1
= XL
1
/ Z1
2
;

b2
= XL
2
/ Z2
2
;

Значит

b=b1
+ b1
= XL
1
/ Z1
2
+ XL
2
/ Z2
2
=0.467;

Найдем проводимость параллельного участка, исходя из того, что полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов ее активной и реактивной составляющих:

y= (g1
2
+ b2
2
) 0.5
=0.727;

Найдем полный ток цепи, как произведение напряжения параллельного участка на проводимость параллельного участка:

I=U2
* y=160 (A);

Составим эквивалентную схему, заменив параллельный участок на эквивалентные активные и реактивные сопротивления:

Найдем эквивалентные активные и реактивные сопротивления параллельного участка:

R12
=g12
/y12
2
=1.055 (Ом);

XL12
=b12
/y12
2
=0.882 (Ом);

Найдем полное сопротивление параллельного участка:

Z12
= (R12
2
+ XL
12
2
) 0.5
=1.375 (Ом);

Найдем полное активное сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):

R= 2*R0
+ R12
=1,175 (Ом);

Найдем полное реактивное сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):

XL
= 2*XL
0
+ XL
12
= 0,982 (Ом);

Найдем полное сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений:

Z = (XL
2
+ R2
) 0.5
= 1.531 (Ом);

Найдем полное напряжение цепи, как произведение полного тока цепи на полное сопротивление цепи:

U=I * Z = 245 (B);

Зная полный ток цепи, найдем падение напряжения в проводах линии на активном сопротивлении:

Uа0
= I * 2*R0
= 19,20 (B);

Зная полный ток цепи, найдем падение напряжения в проводах линии на реактивном сопротивлении:

Uр0
= I * 2*XL
0
= 15,00 (B);

Найдем полное падение напряжения цепи в проводах линии, как корень квадратный из суммы квадратов падения напряжения в проводах линии на активном и реактивном сопротивлениях:

U0
= (Uа0
2
+ Uр0
2
) 0,5
=25 (В);

Найдем активную, реактивную и полную мощности в конце линии и мощность потерь в проводах, исходя из того, что полная мощность в конце линии равна произведению полного тока линии на напряжение в конце линии:

P= I2
*R12
=27008 (Вт);Q= I2
*XL12
=22579 (Вт);

S= (P2
+ Q2
) 0.5
=35202 (Вт);

Найдем коэффициент мощности установки:

cos= R12
/Z12
= R12
/ (R12
2
+ XL
12
2
) 0.5
=0.558;

Найдем коэффициент полезной мощности ЛЭП:

 = (U - Ua
0)
/ U=0.90;

Б.
Рассчитаем компенсационную установку для получения cos2
=0,95 и определим для указанного значения коэффициента мощности емкость и мощность батареи конденсаторов.

Заменим данную схему на эквивалентную с учетом результатов, полученных в п.А.



Пусть емкостное сопротивление батареи конденсаторов составляет XС
Ом. Найдем проводимость параллельного участка.

g = g1
+ g2
; где

g1
=Rэкв
/ Z1
2
;

g2
=0;

Значит

g = g1
+ g2
= Rэкв
/ Z1
2
+ 0= 0,558;

Найдем реактивную проводимость параллельного участка:

b=b1
- b1
; где

b1
= XL
экв
/ Z1
2
;

b2
= XС
/ Z2
2
;

Значит

b=b1
+ b1
= XL
1
/ Z1
2
- 1/ XC
2
=0.467 - 1/ XC
2;

Найдем проводимость параллельного участка, исходя из того, что полная проводимость равна корню квадратному из суммы квадратов ее активной и реактивной составляющих:

y= (g1
2
+ b2
2
) 0.5
= (0,311364+ (0.467 - 1/ XC
2)
2
) 0.5
;

Заменим данную схему на эквивалентную, заменив участок с параллельным соединением на сопротивление Zпар
активно-индуктивного характера:

где

Rпар
= g/y2
=0.558/ (0,311364+ (0.467 - 1/ XC
2)
2
);

XL
пар
= b/y2
= (0.467 - 1/ XC
2)
/ (0,311364+ (0.467 - 1/ XC
2)
2
);

Найдем полное активное сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):

R= 2*R0
+ Rпар
=0,1 + 0.558/ (0,311364+ (0.467 - 1/ XC
2)
2
) (Ом);

Найдем полное реактивное сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):

XL
=2*XL
0
+XL
12
= 0,12+ (0.467-1/ XC
2)
/ (0,311364+ (0.467 - 1/ XC
2)
2
) (Ом); Поскольку cos2
=0,95 то tg2
=0.33, значит

XL
/R=0.33,0,1 + 0.558/ (0,311364+ (0.467 - 1/XC
2)
2
) = 3* (0,12+ (0.467-1/ XC
2)
/ / (0,311364+ (0.467-1/ XC
2)
2
));

Решим уравнение относительно XC
2

1/ (0,311364+ (0.467 - 1/XC
2)
2
) =0.654+1.8* (0.467-1/ XC
2)
/ (0,311364+ (0.467-1/ XC
2)
2
));

1 = 0,654* (0,311364+ (0.467-1/ XC
2)
2
) + 1.8* (0.467-1/ XC
2)

(0.467-1/ XC
2)
2
+2.752* (0.467-1/ XC
2)
- 1.529=0

(0.467-1/ XC
2)
=1.376+1.850=3.226

(0.467-1/ XC
2)
=1.376 - 1.850= - 0.474, 1/ XC
2
=-2.859, 1/ XC
2
=0.941

Значит

XC
=1.031 (Ом);

Значит, емкость батареи конденсаторов составляет:

C= 1/wXC
=308 (мкФ)

В.
Найдем полное активное сопротивление цепи (сумма всех активных сопротивлений):

R= 2*R0
+ Rпар
=0,1 + 0.558/ (0,314 + (0.467 - 1/ XC
2)
2
) = 1,03 (Ом);

Найдем полное реактивное сопротивление цепи (сумма всех реактивных сопротивлений):

XL
=2*XL
0
+XL
12
= 0,12+ (0.467-1/ XC
2)
/ (0,311364+ (0.467 - 1/ XC
2)
2
) =

= 0,34 (Ом);

Найдем полное сопротивление цепи, как корень квадратный из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений:

Z = (XL
2
+ R2
) 0.5
= 1,09 (Ом);

Найдем ток цепи, как отношение полного напряжения цепи к полное сопротивление цепи:

I=U / Z = 225.7 (A);

Зная полный ток цепи, найдем падение напряжения в проводах линии на активном сопротивлении:

Uа0
= I * 2*R0
= 22.58 (B);

Зная полный ток цепи, найдем падение напряжения в проводах линии на реактивном сопротивлении:

Uр
0
= I * 2*XL0
= 27.09 (B);

Найдем полное падение напряжения цепи в проводах линии, как корень квадратный из суммы квадратов падения напряжения в проводах линии на активном и реактивном сопротивлениях:

Uа0
= (Uа0
2
+ Uр0
2
) 0,5
= 38.31 (В);

Найдем активную, реактивную и полную мощности в конце линии и мощность потерь в проводах, исходя из того, что полная мощность в конце линии равна произведению полного тока линии на напряжение в конце линии:

P= I2
*R12
=50459 (Вт);

Q= I2
*XL12
=11213 (Вт);

S= (P2
+ Q2
) 0.5
=51690 (Вт);

Найдем коэффициент мощности установки:

cos= R12
/Z12
= R12
/ (R12
2
+ XL
12
2
) 0.5
=0.95;

Найдем коэффициент полезной мощности ЛЭП:

 = (U - Ua
0)
/ U=0.85;

Составим сводную таблицу:

Характеристика	Без конденсаторов	С батареей конденсат.
I, A	160	225.7
Напряжение в начале линии, U, В	245	245
Падение напряжения цепи в проводах линии, U0 , В	25	38,31
Потеря напряжения цепи в проводах линии, Uа0 , В	19, 20	22,58
Активная мощность Р, Вт	27008	50459
Реактивная мощность Q, Вт	22579	11213
Полная мощность S, Вт	35202	51690
Коэффициент мощности установки	0,56	0,95

Выводы:

При повышении коэффициента мощности установки ток линии повышается;

Повышается активная мощность установки, и понижается реактивная мощность;

Повышаются токи электродвигателей, что приводит к необходимости увеличивать сечение обмоток.