8. РУХ В НЕ
ІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ
1. СИЛА ІНЕРЦІЇ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ, ЩО РУХАЮТЬСЯ ПРЯМОЛІНІЙНО.
Неінерціальною системою відліку (НІСВ) називають систему відліку (СВ), що рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку (ІСВ).
Одержимо рівняння руху матеріальної точки відносно НІСВ. Рівняння руху – це співвідношення, якими визначаються прискорення матеріальних точок механічної системи в тій СВ, відносно якої розглядається рух.
ІСВ будемо називати нерухомою СВ, а рух відносно неї – абсолютним. Рух відносно НІСВ будемо називати відносним. НІСВ рухається відносно ІСВ з прискоренням; разом з системою рухаються і всі тіла, що в ній знаходяться; цей рух називають переносним.
Положення м.т. М в нерухомій СВ визначається радіусом-вектором (початок координат СВ – т. О); в рухомій СВ положення т. М визначається радіусом-вектором (початок координат СВ – т.). - це радіус-вектор рухомого початку відносно нерухомого О.
Як і раніше, час і простір вважаємо абсолютними, оскільки мова іде про повільні рухи (v<<c), тобто відстані і проміжки часу інваріантні по відношенню до переходу від однієї СВ до іншої.
Вектори в будь-який момент часу пов’язані співвідношенням:
(8.1)
Диференціюємо (8.1) двічі по t:
(8.2)
(8.3)
Обмежимося спочатку розглядом лише поступального руху системи . В цьому випадку і характеризують швидкість і прискорення не лише початку , а й будь-якої точки системи відносно О, тобто - це переносні швидкість і прискорення. при поступальному русі дають відносну швидкість і відносне прискорення. завжди дають абсолютну швидкість і абсолютне прискорення т. М:
, (8.4)
, (8.5)
причому .
В ІСВ S рівнянням руху м. т. М є рівняння 2-го закону Ньютона:
(8.6)
Підставимо (8.5) в (8.6): ; перенесемо член, що містить переносне прискорення, в праву частину:
(8.7)
Ми одержали рівняння відносного руху м.т. М. Праву частину (8.7) можна формально вважати якоюсь „силою”, що діє на м.т. Мв рухомій СВ. В цьому випадку рівняння руху м.т. в НІСВ за формою співпадає з ІІ законом Ньютона. Права частина (8.7) складається з двох складових. є рівнодійна звичайних сил (в ньютонівському розумінні сила – це результат взаємодії тіл). Друга складова – () виникає тому, що рухається з прискоренням . Її називають поступальною силою інерції:
(8.8)
Якщо не змінюється при переході від однієї СВ до іншої, то не інваріантна відносно такого переходу. Крім того, сила інерції не підлягає дії закону рівності дії і протидії. Якщо на яке-небудь тіло діє сила інерції, то не існує протидіючої сили, що прикладена до другого тіла.
Сили інерції, подібно силам тяжіння, пропорційні масі тіла. Тому в однорідному полі сил інерції, як і в полі сил тяжіння, всі тіла рухаються з одним і тим же прискоренням, незалежно від їх маси. Знаходячись в кабіні космічного корабля, який рухається поступально з прискоренням , модуль якого дорівнює g, ми виявимо, що всі тіла ведуть себе так, ніби на них діє сила . Ті ж явища ми спостерігали б, якби корабель нерухомо стояв на Землі. Н
Ейнштейн висловив припущення, яке дістало назву принципу еквівалентності сил тяжіння і сил інерції:
Всі фізичні явища в однорідному полі тяжіння відбуваються так само, як і у відповідному однорідному полі сил інерції.
Принцип еквівалентності лежить в основі загальної теорії відносності Ейнштейна.
Отже, в СВ, що рухається поступально з прискоренням , на всі тіла діє сила інерції , що дорівнює добутку маси тіла на прискорення СВ, взяте з протилежним знаком.
Рівняння руху м.т. в такій НІСВ має вид:
(8.9)
2. НІСВ, ЩО РІВНОМІРНО ОБЕРТАЄТЬСЯ.
Розглянемо тепер НІСВ , яка рівномірно обертається навколо вісі, що проходить через т.О′ з кутовою швидкістю . Для спрощення вважатимемо , звідки .
Рівняння (8.2) і (8.3) матимуть вид: , .
Обчислимо похідні .
Якщо x′, y′, z′ координати т. М в , то:
(8.10)
.
Перший доданок- цевідносна швидкість м. т. М:
(8.11)
Другий доданок перетворимо, використавши відоме співвідношення, або :
, ,
Таким чином:
(8.12)
Отже:
, (8.13)
де .
Диференціюємо (8.13) по t:
; оскільки , то .
При знаходженні скористаємося тими ж міркуваннями, що і при знаходженні :
(використано вираз (8.12)).
Нарешті:
(8.14)
В (14) останній доданок
(8.15)
є переносним прискоренням; таке прискорення зазнає нерухома точка в CВ, що обертається.
Доданок (8.16)
залежить як від відносного так і від переносного руху точки.
Це прискорення дістало назву коріолісового прискорення.
Отже:
(8.17)
Абсолютне прискорення є векторною сумою відносного, коріолісового та переносного прискорень.
Це твердження називають теоремою Коріоліса.
Обчислимо переносне прискорення. Розкладемо вектор на дві складові: і - перпендикулярну і паралельну вісі обертання.
тому
За властивістю подвійного векторного добутку:
, (8.18)
оскільки
Очевидно в даному випадку (і ) є доцентровим прискоренням.
Підставимо тепер в (8.6) (8.17) і врахуємо (8.16) і (8.18):
;
;
(8.19)
До „справжніх” сил додалися дві сили інерції:
коріолісова сила : (8.20)
і відцентрова сила : (8.21)
Коріолісова сила інерції виникає тільки тоді, коли CВ обертається, а м.т. М рухається відносно цієї системи. При і .
,тому під час відносного руху вона роботи не виконує; змінює тільки за напрямком .
Якщо система відліку , крім обертового руху, здійснює ще й поступальний, тоі В цьому випадку переносна швидкість і переносне прискорення визначаться співвідношеннями :
,
а рівняння відносного руху м.т. в НІСВ має вид:
(8.22)