ЗАВДАННЯ № 1
Розрахувати розгалужене електричне коло методом рівнянь Кіргофа та методом контурних струмів
При виконанні необхідно:
1) визначити струми на всіх ділянках кола;
2) визначити напруги на ЕРС;
3) перевірити вірність розрахунку заданого електричного кола за допомогою балансу потужностей;
4) побудувати потенційну діаграму для будь-якого контура електричного кола (до контура входять 2 ЕРС, при чому один із зажимів береться як заземлений, тобто його потенціал рівний 0 ).
Розрахунок
В схемі 6 віток зі струмами І1
, І2, …,
І6
, довільний напрямок яких вказано стрілками.
Підставляємо ці вирази в п’яте та шосте рівняння та спрощуємо їх:
I3
(r3
+r1в
) + (-І2
+ І3
)r5
+ (І1
+ І3
)r6
= E1
I2
r2
+(І1
+ І2
)∙(r4
+r2в
)+ (І2
- І3
)r5
= E2
Звідси:
I1
r6
-І2
r5
+ І3
(r3
+r1в
+r5
+r6
) = E1
І1
(r4
+r2в
) +І2
(r2
+r2в
+r4
+r5
) = E2
Підставляємов четверте рівняння системи та в два останні рівняння числові значення опорів та спростивши їх отримуємо систему трьох рівнянь:
I1
∙(-5)+ I2
∙8 + I3
∙4 = 100
I1
∙6 - I2
∙8 + I3
∙(3+1+8+6) = 100
I1
∙(2+1) + I2
∙(8+1+2+8) - I3
∙8 = 60
або
I1
∙(-5)+ I2
∙8 + I3
∙4 = 100
I1
∙6 + I2
∙(-2) + I3
∙18 = 100
I1
∙3 + I2
∙19 + I3
∙(-8) = 60
Записуємо цю систему в матричній формі:
∆1
= -3240
∆2
= 19840
∆3
= 25220
Визначаємо струми:
I1
= ∆1
/ ∆ = - 1,1747 А;
I2
= ∆2
/ ∆ = 7,2145 А;
I3
= ∆3
/ ∆ = 9,1443 А;
З виразів (1), (2), (3) знаходимо решту струмів:
І4
= 6,0398 А
І5
= 1,9298 А
І6
= 7,9696 А
б) Методом контурних струмів:
В незалежних контурах направляємо в одному напрямку ( за годинниковою стрілкою) фіктивні контурні струми I11,
I22 ,
I33
і складаємо для їх знаходження систему рівнянь, записавши їх в загальному вигляді:
r11
I11
+ r12
I22
+ r13
I33
= E11
r21
I11
+ r22
I22
+ r23
I33
= E22
(4)
r31
I11
+ r32
I22
+ r33
I33
= E33
Визначаю власні опори контурів:
r11
= r1
+ r2
+ r3
+ r1в
= 17 Ом;
r22
= r3
+ r1в
+ r5
+ r6
= 18 Ом;
r33
= r2
+ r4
+ r2в
+ r5
= 19 Ом.
Опори взаємні для двох контурів , при однакових напрямках контурних струмів , беруться зі знаком "-":
r12
=r21
= -(r3
+r1в
) = -4 Ом;
r13
=r31
= -r2
= -8 Ом;
r23
=r32
= -r5
= -8 Ом.
Контурні ЕРС:
Е11
= Е1
= 100 В;
Е22
= - Е1
= - 100 В;
Е33
= - Е2
= - 60 В.
Записуємо систему рівнянь (4) в матричній формі з числовими коефіцієнтами:
∆11
= 3240
∆22
= -21980
∆33
= -16600
Визначаємо контурні струми:
I11
= ∆11
/ ∆ = 1,1747 А;
I22
= ∆22
/ ∆ = - 7,9695 А;
I33
= ∆33
/ ∆ = - 6,0398 А;
Знаходимо силу струмів кожної з віток кола через контурні струми:
I1
= -І11
= - 1,1747 А;
I2
= І11
–І33
= 7,2145 А;
I3
= І11
–І22
= 9,1443 А;
I4
= –І33
= 6,0398 А;
I5
= І33
–І22
= 1,9298 А;
I6
= –І22
= 7,9695 А;
2. Визначити напруги на ЕРС.
U1
= E1
– I3
∙r1в
= 100 – 9,1443∙1 ≈ 90,8587 В;
U2
= E2
– I4
∙r2в
= 60 – 6,0398∙1 ≈ 53,9602 В.
3. Перевірити вірність розрахунку заданого електричного кола за допомогою баланса потужностей.
Баланс потужностей грунтується на законі збереження енергії:
Потужність яку генерують джерела ЕРС дорівнюють сумі потужностей ,споживаних колом та потужностей втрат.
Знаходимо потужність яку генерують джерела:
PE
= І3
E1
+ І4
E2
= 9,1443 ∙ 100 + (- 6,0398 ∙ 60) = 1277 Вт.
Знаходимо потужність , яку споживає коло:
PR
= І1
2
r1
+ І2
2
r2
+ І3
2
r3
+ І4
2
r4
+ І5
2
r5
+ І6
2
r6
= (-1,1747)²∙ 5 +7,2145²∙ 8 + + 9,1443²∙ 3 + (-6,0398)²∙2 + 1,9298²∙ 8 + 7,9695²∙6 = 1157 Вт.
Потужність втрат на внутрішніх опорах джерел ЕРС:
P∆R
= І3
2
r1в
+ І4
2
r2в
= 9,1443²∙1 + (-6,0398)²∙1 = 120 Вт.
Умова балансу потужностей виконується:
PR
+Р∆R
=1157 + 120 = 1277 = PE
Отже, можна зробити висновок, що розрахунок кола виконаний правильно.
4. Побудувати потенційну діаграму для контура a-e-d-b-f-c-a, який включає в себе обидва джерела ЕРС.
Приймаємо потенціал вузла а , як нульовий: φа
=0.
Тоді потенціали решти точок контура:
φе
= φа
– I3
r3
= 0- 9,1443∙3 = - 27,4329 B;
φd
= φe
+ U1
= - 27,4329 + 90,8587 = 63,4258 B;
φb
= φd
– I5
r5
= 63,4258 - 1,9298∙8 = 47,9874 B;
φf
= φb
- U2
= 47,9874 – 53,9602 = - 5,9728 B;
φс
= φf
+ I4
r4
= - 5,9728 - 6,0398∙2 = 6,0168 B;
Перевірка:
φа
= φс
+ I1
r1
= 6,0168 + (-1,1747)∙5= 0
Повний опір контуру:
rпов
= r3
+r5
+ r4
+ r1в
+ r2в
= 15 Ом.
Вибираємо масштаби mφ
= 10 В/см, mR
= 2 Ом/см та будуємо потенційну діаграму