Элементы теории представлений
1. Основы теории представлений.Различные представления волновой функции (различные представления состояний)
2. Обозначения Дирака
3. Преобразование операторов от одного представления к другому
Введение
Для создания новой физической теории необходимо cформулировать систему постулатов, найти математический аппарат, соответствующий физическому смыслу рассматриваемых проблем и установить связь физических фактов с математическим формализмом.
Для формулировки ньютоновской механики потребовалось развитие дифференциального и интегрального исчисления. В 20-м столетии произошли серьезные изменения в представлениях физиков о математических основах их науки. Закономерности микромира коренным образом отличаются от законов макроскопического мира, объектами которого мы являемся.
Одно из основных понятий квантовой механики – понятие состояния квантово-механической системы. Смысл этого понятия в квантовой и классической физике различен. Содержание понятия состояния квантово-механической системы будет выясняться постепенно в процессе изучения.
Информацию о состоянии системы получают в процессе измерения, т.е. при взаимодействии квантовой системы с макроскопическим прибором. Поэтому результаты измерения характеризуются теми же физическими величинами, которые используются в классической макроскопической физике. Физические величины в квантовой механике часто называют динамическими переменными или наблюдаемыми. В квантовой механике физические величины имеют иную математическую природу, чем в классической, потому что состояния квантово-механической системы и динамические переменные "взаимосвязаны весьма странным образом, который непостижим с классической точки зрения". [1, c31].
В квантовой механике изучаются такие явления, которые не могут быть объяснены с помощью известных ранее понятий. Ведь наш язык – это "слепок с обыденного опыта человека, он никогда не сможет выйти за пределы этого опыта. Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, которые имеют в языке адекватный словесный эквивалент".[1]
При изучении явлений, происходящих на ином структурном уровне организации материи, на помощь приходит другой язык – математика. "Математика есть орудие, специально приспособленное для овладения всякого рода абстрактными понятиями и в этом отношении ее могущество беспредельно". [1, c13]. "Тем не менее, – считает П. Дирак, – математика есть лишь орудие, и нужно уметь владеть физическими идеями безотносительно к их математической форме". (Там же). Выбор математических методов, адекватных физической сущности задачи, возможно более полное прослеживание аналогий между понятиями и методами математики и физики способствует формированию современного физического мышления. В то же время освоение абстрактных математических объектов возможно только при их реализации физическими объектами.
Для описания квантовых свойств материи может быть использован различный математический аппарат. В 1925г. Вернером Гейзенбергом была создана матричная механика. В этом же году, но немного позже, Э. Шрёдингер создал волновую механику. Он доказал также, что обе формулировки эквивалентны. Наиболее изящная формулировка квантовой механики создана в 1930г английскими физиком П. Дираком. Именно эта формулировка сейчас чаще всего используется. Все формулировки квантовой механики эквивалентны, могут быть преобразованы друг в друга и приводят к одинаковым физическим результатам.
1. Основы теории представлений. Различные представления волновой функции (различные представления состояния)
Состояния квантово-механической системы характеризуется волновой функцией или амплитудой вероятности. Независимые переменные, функцией которой она является, могут быть различными. Например, декартовы координаты системы
,
значения ее импульса
и т. п. Буквы, обозначающие независимые переменные, называют индексом представления. Индекс волновой функции (в данном случае ) обозначает набор значений физических величин или соответствующих квантовых чисел, которые характеризуют данное состояние. Поэтому этот индекс обычно называют индексом состояния.
Если волновая функция зависит от координат, то описание состояния с помощью такой функции называют координатным представлением. Например, для свободной частицы, движущейся вдоль оси , в координатном представлении.
Волновую функцию , характеризующую состояние системы, можно разложить в ряд по собственным функциям оператора динамической переменной . Если этот оператор имеет дискретный спектр собственных значений, т. е.
, то
Коэффициенты разложения определяются из выражения
(Здесь, как и раньше, – произведение дифференциалов независимых переменных). В § 2.4.2 был выяснен физический смысл этих коэффициентов: есть вероятность того, что в состоянии, описываемым -функцией, физическая величина, представляемая оператором , имеет значение . Таким образом имеет смысл амплитуды вероятности, если независимой переменной является величина . Совокупность амплитуд является волновой функцией в - представлении. Эту совокупность можно представить в виде матрицы с одним столбцом
Если спектр собственных значений оператора непрерывный, то аналогично имеем
Пример 1. Записать скалярное произведение двух функций и в - представлении.
Компоненты и в - представлении находим, раскладывая эти функции в ряд по собственным функциям оператора :
, (Ι)
(ΙΙ)
(ΙΙΙ) (ΙV).
Подставляем разложение (Ι) и (ΙΙ) в скалярное произведение функций:
.
Меняя местами знаки суммирования и интегрирования и учитывая ортонормированность собственных функций оператора получаем:
.
Чтобы получить такое выражение по правилу умножения матриц, следует перемножить матрицу-строку
(V)
на матрицу-столбец (ΙΙΙ):
Матрица (V) транспонирована по отношению к матрице (ΙV) и ее элементы комплексно сопряжены с элементами последней. Такая матрица называется сопряженной с и обозначается . Таким образом, комплексно сопряженной функции под знаком интеграла соответствует сопряженная матрица.
2. Обозначения Дирака
Проведена аналогия между собственными функциями эрмитовых операторов и ортами прямоугольных координатных осей. Продолжим ее обсуждение.
Вектор в - мерном пространстве задается совокупностью , вообще говоря, комплексных величин, называемых компонентами этого вектора
Аналогия между соотношениями и очевидна. Выражение определяет вектор через его проекции на оси координат в многомерном пространстве. Выражение является разложением -функции по собственным функциям некоторого оператора. Систему ортонормированных собственных функций , следовательно, можно рассматривать как базис в бесконечномерном пространстве, а величины – как компоненты -функции по осям этого базиса. В зависимости от выбора базиса (т. е. от выбора системы собственных функций, следовательно, от выбора представления) получается та или иная совокупность компонент .
Переход от одного представления к другому геометрически означает переход от системы координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) одного оператора к системе координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) другого оператора. Таким образом, квантовое состояние микрообъекта не обязательно должно характеризоваться волновой функцией в реальном пространстве. Квантовое состояние не сводится к одной какой-то совокупности амплитуд вероятности
и т. п. Каждая из этих совокупностей отражает одну из сторон понятия квантового состояния и является одной из возможных его реализаций. Аналогично, вектор в - мерном евклидовом пространстве может быть представлен совокупностью его проекций в различных системах координат:
,
и т. п. Здесь – базисные векторы (орты), например, в сферической системе координат, – в декартовой.
Данная аналогия привела П. Дирака к мысли характеризовать состояние системы вектором состояния в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Вектор состояния он предложил обозначать символом . В середине скобки, по Дираку, должен помещаться индекс состояния, т. е. величина или набор величин, которые определяют состояние системы. Например, если система находится в состоянии с энергией , то записывают или . Этот вектор состояния называют кэт-вектором. Он характеризует состояние системы независимо от выбора представления. Кэт-вектору сопоставляется бра-вектор, обозначаемый зеркально отраженной скобкой . Бра-вектор связан с кэт-вектором соотношением =+
. Например, если совокупность компонент кэт-вектора представлена в виде матрицы
=, то =+
=.
Внутри скобки помещается индекс представления. Например, | означает, что используется координатное представление. Скалярное произведение кэт и бра-векторов обозначается полным скобочным выражением и представляет собой число. Например, волновая функция в - представлении с помощью скобок записывается так: . Волновая функция свободной частицы, находящейся в состоянии определенным значением импульса в координатном представлении (время фиксировано):
,
Название «бра» и «кэт» соответствуют двум частям английского слова «bracket» (скобка).
Волновая функция (амплитуда вероятности), как известно, характеризует вероятность результатов измерений, проводимых над системой. Скобочное выражение составлено так, что справа указывается начальное состояние, а слева – то, в которое переходит система при измерении, т. е. конечное. Таким образом, скобочная запись читается справа налево. Например, есть амплитуда вероятности того, что система будет иметь координату , если она находится в состоянии характеризуемом импульсом .
Уравнение собственных значений в обозначениях П. Дирака можно записать в виде:
Здесь собственный вектор состояний обозначается той же буквой, что и соответствующее собственное значение. Запишем, пользуясь этими обозначениями, выражение. Пусть вектор состояния системы, а – базисная система векторов. Тогда
>=, где
Вектор состояния системы – понятие более абстрактное, чем волновая функция. В зависимости от выбора независимых переменных (представления) вектору состояния могут соответствовать различные волновые функции: в координатном представлении – , в импульсном – , в энергетическом – и т.д. Т.е. волновая функция есть проекция вектора состояния на соответствующий базисный вектор.
Получим в обозначениях Дирака условие полноты ортонормированного базиса. Оно часто бывает полезным при использовании этого формализма.
Пусть - единичный оператор, который любому вектору состояния ставит в соответствие тот же вектор:
Представим в виде разложения по ортонормированному базису (т.е. по системе собственных векторов оператора ):
Подставляем это разложение в:
В силу произвольности вектора получаем
Это соотношение и является условием полноты в обозначениях Дирака.
Пример. Записать в обозначениях Дирака среднее значение физической величины представленной оператором , если состояние системы характеризуется вектором состояния . (Спектр собственных значений оператора считать дискретным).
Среднее значение дискретной случайной величины равно сумме произведений ее возможных значений на их вероятности:
Здесь - собственные значения оператора , - его собственные векторы и - волнов
В последнем преобразовании использовано условие полноты
Таким образом, в обозначениях Дирака
квантовый представление волновой состояние
3. Преобразование операторов от одного представления к другому
Пусть оператор задан в координатном представлении и переводит функцию в функцию :
Разложим функции и в ряд по собственным функциям оператора . Спектр собственных значений этого оператора для определенности будем считать дискретным
:
Совокупность амплитуд есть волновая функция в -представлении, совокупность амплитуд - волновая функция в -представлении. Подставим разложение (3.3.2) и (3.3.3) в (3.3.1):
Умножим левую и правую части этого равенства на и проинтегрируем по всей области изменения независимых переменных. Знаки суммирования и интегрирования меняем местами. Поскольку собственные функции ортогональны и нормированы, т.е.
, имеем
Вводя обозначение
получаем
Если спектр оператора непрерывен, имеем аналогично
Таким образом, с помощью набора величин можно волновую функцию в - представлении, являющуюся совокупностью амплитуд, превратить в волновую функцию в том же представлении. Поэтому совокупность величин является оператором в - представлении. Его можно представить в виде матрицы:
Величины называют матричными элементами. В обозначениях Дирака
Итак, операторы квантовой механики могут быть представлены в матричной форме. Поскольку в квантовой механике применяются только эрмитовы операторы, удовлетворяющие условию, т о.
Такие матрицы называют самосопряженными или эрмитовыми.
Таким образом, каждой физической величине соответствует не один, а множество операторов. Вид оператора данной физической величины зависит от выбора независимых переменных. Зная оператор физической величины в одном представлении, можно найти его в других представлениях. Например, если известен вид оператора в -представлении, то для получения его в матричной форме в -представлении надо воспользоваться собственными функциями оператора в -представлении в соответствии с формулой (3.3.4). Свойства физической величины (эрмитовость ее оператора, спектр собственных значений, среднее значение и т.д.) не зависят от выбора представления. (Аналогия с принципом относительности Эйнштейна: законы природы инвариантны (неизменны) при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой).
Пример. Найти матричные элементы оператора в его собственном представлении.
В этом случае в (3.3.4) – собственная функция оператора :
С помощью этого уравнения преобразуем выражение для матричного элемента (3.3.4):
Поскольку собственные функции ортогональны и нормированы, получаем: . Таким образом, в своем собственном представлении любой оператор в матричной форме является диагональной матрицей, диагональные элементы которой равны собственным значениям этого оператора:
Итак, чтобы найти собственные значения оператора, заданного в форме матрицы, нужно привести эту матрицу к диагональному виду.
Пример. Записать среднее значение физической величины, представляемой оператором , в матричной форме.
Пусть в выражении
волновая функция и оператор заданы в координатном представлении. Перейдем к - представлению. Воспользуемся разложением (3.3.2) функции в ряд по собственным функциям оператора . Подставляя в выражение для среднего значения и меняя местами знаки суммирования и интегрирования, получаем
Совокупность есть матрица с одним столбцом. Совокупность - сопряженная матрица с одной строкой. Поэтому (3.3.8) можно записать как произведение соответствующих матриц:
где - оператор в - представлении.
Вопросы для самопроверки
1. Что называют индексом состояния? индексом представления?
2. Как, зная волновую функцию системы в одном представлении, найти ее в другом представлении?
3. Как, зная вид оператора в одном представлении, найти его в другом представлении?
4. Определите понятие матричного элемента оператора.
5. Что представляет собой матричные элементы оператора в его собственном представлении?
6. Что такое вектор состояния, кэт-вектор, бра-вектор? Какая связь между и ?
7. Какая связь между вектором состояния системы и ее волновой функцией?
8. Записать в обозначениях Дирака волновую функцию системы в - представлении и в - представлении, если ее вектор состояния .
9. Изменяется ли среднее значение физической величины при переходе к другому представлению?
10. Записать в матричной форме (в - представлении) выражение для среднего значения величины, соответствующей оператору .
Упражнения
3.1 Найти операторы координаты и импульса в импульсном представлении.
Решение.
Для простоты рассматриваем одномерное движение вдоль оси . В координатном представлении
, (см §2.7).
В импульсном (т.е. в своем собственном) представлении . Найдем оператор координаты.
Способ 1. Воспользуемся тем, что среднее значение физической величины не зависит от используемого представления:
(I)
В левой части равенства все величины даны в координатном представлении, в правой – в импульсном. Связь между волновыми функциями в координатном и импульсном представлениях определяется соотношением
,
Где
- собственная функция оператора в координатном представлении. Поэтому
(II)
Подставляем это выражение в левую часть равенства (I):
(III)
Множитель в подынтегральном выражении правой части равенства найдем из соотношения:
.
Получаем:
.
Пользуясь этим соотношением, преобразуем правую часть равенства (III):
(IV)
При интегрировании по получаем
,
так как и . (Состояние с бесконечно большим импульсом невозможно.) Учитывая этот результат, перепишем равенство (IV):
(V)
Так как
=
правую часть соотношения (V) можно переписать в виде
Используя свойство -функции (2.6.3) находим интеграл по :
Учитывая сделанные преобразования, переписываем равенство (V):
Сравнивая это выражении с соотношением (I) получаем
Способ 2. В матричной форме оператор координаты в импульсном представлении является бесконечной непрерывной матрицей с матричными элементами:
Здесь - собственная функция оператора импульса в координатном представлении
Подставляя значение функции в формулу для матричного элемента, получаем
Соотношение
показывает как оператор в матричной форме переводит одну функцию в импульсном представлении в другую также в импульсном представлении (См(3.3.6)). Подставляем в правую часть этого соотношения значение матричного элемента и интегрируем по частям:
Первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку импульс не может быть бесконечно большим. Второе слагаемое преобразовываем, используя свойство -функции (2.6.3):
Поэтому
Следовательно, координате в импульсном представлении соответствует дифференциальный оператор
4. Задания, для контрольной проверки знаний
I.
Проверить, коммутируют ли приведенные ниже операторы?
1. и
2. и
3. и , где
4. и
5. и
II
.
Найти операторы, сопряженные с приведенными ниже. Определить какие операторы являются эрмитовыми.
1.
2.
3.
4.
5.
III
. Доказать:
1. если операторы и эрмитовы и коммутируют, то оператор также эрмитов;
2. если операторы и эрмитовы и некоммутирующие, то оператор эрмитов;
3. если операторы и эрмитовы и некоммутирующие, то оператор эрмитов;
4. если операторы и эрмитовы и некоммутирующие, то оператор не эрмитов;
5. если оператор линейный, то оператор эрмитов;
IV
. 1. Найти собственные функции и собственные значения оператора
,
если
,
где – постоянная величина
2. Найтисобственные функции и собственные значения оператора
(Оператор задан в сферических координатах).
3. Найтисобственные функции и собственные значения оператора
(Оператор задан в сферических координатах).
4. Найти собственные функции и собственные значения оператора
,
если .
5. Найти собственные функции и собственные значения оператора
V
. 1. Вычислить среднее значение для одномерного гармонического осциллятора, состояние которого описывается функцией
, где
2. Вычислить среднее значение кинетической энергии
линейного гармонического осциллятора, если состояние его описывается функцией
, где
3. Волновая функция состояния частицы имеет вид
,
где - вещественная функция. Найти средний импульс частицы в этом состоянии.
4. В некоторый момент времени частица находится в состоянии
,
где и - постоянные. Найти среднее значение ее координаты .
5. Найти среднее значение физической величины, представляемой оператором
,
если состояние частицы описывается функцией .
VI
. Определить возможные значения физической величины, представляемой оператором
и их вероятности для системы, находящейся в состоянии:
1.
2.
3.
4.
5.
(Оператор задан в сферических координатах)
Литература
1. Дирак П. Принципы квантовой механики.– М: Наука, 1979.
2. Вакарчук І.О. Квантова механіка: Підручник.– Львів: ЛДУ ім.. І. Франка, 1998.
3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1983.
4. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989.
6. Юхновський І.К. Квантова механіка. Київ: Либідь, 1995.
7. Федорченко А.М. Теоретична фізика. Київ: Вища школа, 1993, т. 2.
8. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.
9. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Из-во иностр. лит., 1959.
10. Мессиа А. Квантовая механика: в 2-х томах, М.: Наука, 1978, т. 1.
11. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: «Высшая школа», 1991.
12. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.
13. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970.
14. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, М.:1982.
[1]
Бор.М. Атомная физика. – М.: Мир, 1965, с 119