Міністерство освіти і науки України
Національний авіаційний університет
Інститут аеропортів
Кафедра комп’ютерних технологій будівництва
Розрахунково-графічна робота №1
Виконав: ст. групи ІАП 308
Шепа В. В.
Перевірив: Яковенко І. А.
Київ 2010р.
Задача №1
Визначення об’ємного напруженого стану в точці тіла
Для напруженого стану в точці тіла задано 6 компонентів:
=65 кН; кН;
кН; кН;
; кН;
Необхідно знайти зн-ня головних напружень та положення головних площадок.
Рішення:
(1.1)
1.З р-ня (1.1) коефіцієнти є інваріантами перетвор. Координат
Р-ня (1.1) підстановкою зводимо до наступного вигляду:
; (1.3)
У р-ні (1.3) нові коефіцієнти відповідно дорівнюють:
P= (1.4)
q= -
Корені кубічного рівняння (1.3) виражаємо через допоміжний кут , який визначаємо з р-нь:
= r==78,12;
(1.4)
Перевірка:
=0;
++
2. Визначимо головні напруження за формулою:
(1.7)
Цим трьом головним напруженням в подальшому робимо наступне позначення : .
кН,
кН,
кН,
Контроль якості вирішення кубічного рівняння (1.1) проводимо, використовуючи інваріантність коефіцієнтів так щоб:
3.З системи 1.9 з трьох рівнянь тільки 2 невідомих і із рішення двох рівнянь третє використовується для перевірки знайдених відношень. Запишемо рішення системи 1.9 в загальному вигляді:
Значення співвідношення
;
і з цього рівняння знаходимо 2 корені
Перевірка:
-65(-1,42608)+65(-0,751526)+(65-144,83)=0.
З р-ня 1.1 маємо:
.
Тоді:
м.
;
Тоді:
Тоді:
Перевірка напрямних косинусів:
;
-0,75183+(-0,3962)
Рис.1.3
На рисунку 1.3 зображено нормалі до головних площадок , головні площадки та головні напруження .
Задача №2
Плоска задача теорії пружності
Нехай задано прямокутну балку довжиною l, висотою h та товщиною, що дорівнює 1.
Необхідно:
· Перевірити можливість використовувати ф-ї f=(x, y) для рішення плоскої задачі теорії пружності.
· Знайти вирази для напружень
· Побудувати епюри напружень для перерізів x=
· Визначити внутрішні сили (нормальні та дотичні, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, дати їх зображення на рисунку.
· Виконати статичну перевірку для знайдених сил (зовнішні).
Теоретичні відомості:
Ф-я f=(x, y) повинна задовольняти наступне дегармонічне рівняння.
(2.1)
З цього рівняння вирази для напружень знаходимо за формулою:
(2.2)
Для визначення зовнішніх сил нормальних та дотичних, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, використовуєм умови на поверхні тіла (умови на контурі тіла або статичні і граничні умови).
(2.2)
У рівнянні (2.3 ) - проекції на вісі Ox і Oy внутрішніх сил, що діють на грані балки.
- нормаль до грані, - напрямні косинуси нормалі
Для перевірки знайдених зовнішніх сил можна використовувати умови рівноваги балки під їх дією:
Рішення:
1.Нехай задана балка з ф-ю напруження:
a=2, b=1, l=5,
2
0;
;
;
2.;
2ay;
3. Побудуємо епюри напружень в перерізах.
При x==2,5 м.
2ay=4y;
4. Визначимо зовнішні сили (нормальні та дотичні).
Верхня грань:
y=
;
;
;
2. Нижня грань:
y=
;
;
;
l=0; l=5.
Ліва грань: x=0;
;
;
;
l=-; l=.
Права грань:x=l=5 м
;
;
;
l= -; l=
5. Перевіримо умови рівноваги балки:
++=0.
Отже, умови рівноваги балки зберігаються, а значить зовнішні сили та напруження в перерізах знайдені правильно.
Для визначення зовнішніх сил нормальних та дотичних, які прикладені до всіх чотирьох граней балки, я використала умови на поверхні тіла (умови на контурі тіла або статичні і граничні умови).
Побудувала епюри напружень в перерізах, визначила зовнішні сили (нормальні та дотичні). Перевірила умови рівноваги балки.
Міністерство освіти і науки України
Національний авіаційний університет
Інститут аеропортів
Кафедра комп’ютерних технологій будівництва
Розрахунково-графічна робота №2
Виконав: ст. групи ІАП 308
Шепа В. В.
Перевірив: Яковенко І. А
Київ 2010р.
Задача №1
Изгиб прямоугольной пластинки
Прямоугольная пластинка изгибается под действием поперечной нагрузки интенсивности q (x, y):
;
Задано уравнение упругой поверхности пластинки
;
C=const; a=4 м, b=2 м, =0,21.
Жесткость пластинки D=const. Требуется: установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенное уравнение упругой поверхности w(x,y); определить постоянный коэффициент C; составить выражения моментов и поперечных сил, построить эпюры моментов и поперечных сил в сечении
Решение:
1. Определяем условия на контуре пластинки (граничные условия):
При x=a w=0;
y= w=0;
Следовательно, пластинка оперта по всем четырем краям. Выясним, как она оперта: шарнирно или жостко. Уравнение углов поворота в направлении, паралельном Ox,
=C
При x=
Это значит, что левый и правый края защемлены.
Уравнение углов поворота в направлении, параллельном ,
=-C;
При y=
Получаем, что верхний и нижний края тоже защемлены. Итак, пластинка жестко защемлена по всем четырем краям.
2. Определяем постоянную С. Для этого воспользуемся уравнением и составим соответствующие производные:
;
;
=C;
;
;
;
;
;
Левая часть уравнения принимает следующий вид
D+2;
DC; (4.2)
Подставив в уравнение левую и правую части, после сокращений получаем
3. Составляем выражение для внутренних усилий по формулам:
Изгибающие моменты:
Крутящий момент:
Поперечные силы:
;
(
Выражения для внутренних усилий с учетом найденного значения С имеют вид
Отже, я побудував епюри моментів і поперечних сил, знайшов граничне значення напруги, що задовольняє рівнянням пружної поверхні , визначив постійний коефіцієнт C; склав вираз моментів і поперечних сил , побудував епюри моментів і поперечних сил в розрізі Склав вираз для внутрішніх зусиль.