1. Движение материальной точки в поле тяжести земли описывается уравнениями . Нарисовать траекторию движения тела .
РЕШЕНИЕ:
Выразим время через х
T(x)=x/10
Подставим во второе уравнение:
Y(x)=20-4.9*(x/10)2
X 10 20 30 40 0
Y 1.51 0.4 20
2. Диск радиуса вращается относительнооси, проходящей через центр масс, с угловой скоростью . К ободу диска прикладывают касательную тормозящую силу . Масса диска . Через какой промежуток времени диск остановится?
РЕШЕНИЕ:
Вычислим угловое ускорение В, создаваемое касательной тормозящей силой Fk. Для чего нам необходимо вычислить момент силы Fk:
М=Fk*R
И момент инерции диска:
I=0.5*m*R2
Тогда выведем ускорение (угловое) b:
M=I*b
Выразим время до остановки t2:
W2=b*t2+W0
3. Определить ускорение тел, связанных нерастяжимой, невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок, , , , внешняя сила . (см.рисунок).
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим силы, действующие на каждое тело, беря за положительное направление – направление движения.
Натело 3:
Т2-Ft3
=m3
a
T2= m3
a+ m3
g= m3
(a+g)
На тело 2:
Ft
2
+T1-T2= m2
a
m2
g+T1-T2= m2
a
T1= m2
(a-g)+ m3
(a+g)
На тело 1:
Ft
1
+F-T1= m1
a
m3
a+F-T1= m1
a
m1
a+F- m2
a+ m2
g- m3
a-
m3
g
= m1
a
m1
a+ m2
a+ m3
a= m1
a+F+ m2
g+ m3
g
4.
Тело массой соскальзывает без трения с наклонной плоскости, имеющей высоту . Какую скорость будет иметь тело у подножия наклонной плоскости?
РЕШЕНИЕ:
Так как м0
=0, то на оси ОХ на тело действует лишь проекция силы FТ
на ось ОХ.
ma
=FT
*sina
a=
Путь S пройденный телом до конца наклонной плоскости:
S=h/sina
Зная выражение пути равноускоренного движения:
Выразим V:
так как V0
=0
5. Полная энергия тела возросла на . На сколько при этом изменилась его масса?
РЕШЕНИЕ:
Согласно теории относительности полная энергия тела определяется выражением:
E=m*c2
(1)
Где m – релятивистская масса тела, с – скорость света в вакууме (с=3*108
м/c)
Из выражения (1) получаем:
(2)
При увеличении полной энергии тела на DЕ масса тела, согласно (2), возрастает на величину:
Проверим размерность:
Подставим численные значения и произведем вычисления:
6.
Одинаковые по величине заряды q1
, q2
и q3
находятся в трех вершинах квадрата. Как направлена сила, действующая на заряд q2
со стороны двух других зарядов? Ответ обосновать.
РЕШЕНИЕ:
Из закона Кулона следует, что разноименные заряды притягиваются. Следовательно FR
1,2
, действующая со стороны первого заряда на второй заряд, направлена по линии, соединяющей эти два заряда от второго к первому. Аналогично и сила FR
2,3
направлена от второго к третьему. Так как заряды q1=q3 и расстояния Sq1q2=Sq2q3,
то по закону Кулона следует, что FR
1,2
по модулю равна FR
2,3
Используя принцип суперпозиции сил проведем векторное сложение FR
1,2
и FR
2,3
F= FR
1,2
+ FR
2,3
Таким образом, сила F будет направлена по диагонали квадрата, как показано на рисунке.
7. Незаряженное металлическое тело М, смотри рисунок, внесли в электрическое поле положительного заряда , а затем разделили на две части и . Каким зарядом обладают части тела и после их разделения?
РЕШЕНИЕ:
После внесения незаряженного металлического тела М в электрическое поле положительного заряда q, в зону I согласно закону Кулона начнут притягиваться свободные отрицательно заряженные частицы тела М (электроны), а в зону II – положительно заряженные частицы (условно «дырки»). Таким образом после разделения тела М в его I части скопится отрицательный заряд, равный по модулю положительному заряду, скопившемуся в части II.
8. Электростатическое поле создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Покажите, что это поле является однородным.
РЕШЕНИЕ:
Пусть поверхностная плотность заряда равна s. Очевидно что вектор Е может быть только перпендикулярным заряженной плоскости. Кроме того очевидно, что в симметричных относительно этой плоскости точках вектор Е одинаков по модулю и противоположен по направлению. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать прямой цилиндр, где предполагается что s больше нуля. Поток сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, и поэтому полный поток через всю поверхность цилиндра будет равным 2*Е*DS, где DS – площадь каждого торца. Согласно теореме Гаусса
2*Е*DS=s*DS,
где s*DS – заряд заключенный внутри цилиндра.
Откуда
Е=s/2*Ео.
Точнее это выражение следует записать так:
Еn=s/2*Eo,
где Еn – проекция вектора Е на нормаль n к заряженной плоскости, причем вектор n направлен от этой плоскости.
Тот факт, что Е не зависит от расстояния до плоскости, означает, что соответствующее электрическое поле является однородным.
9. Из медной проволоки изготовлена четверть окружности радиусом 56 см. По проволоке равномерно распределен заряд с линейной плотностью 0,36 нКл/м. Найдите потенциал в
РЕШЕНИЕ:
Так как заряд линейно распределен по проволоке для нахождения потенциала в центре воспользуемся формулой:
Где s - линейная плотность заряда, dL – элемент проволоки.
10. В электрическом поле, созданном точечным зарядом Q, по силовой линии из точки расположенной на расстоянии r1
от заряда Q в точку, расположенную на расстоянии r2
, перемещается отрицательный заряд -q. Найдите приращение потенциальной энергии заряда -q на этом перемещении.
РЕШЕНИЕ:
По определению потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Следовательно потенциальная энергия заряда q2
:
Отсюда
11. Два одинаковых элемента с э.д.с. 1,2 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом соединены параллельно. Полученная батарея замкнута на внешнее сопротивление 3,5 Ом. Найдите силу тока во внешней цепи.
РЕШЕНИЕ:
Согласно закону Ома для всей цепи сила тока во внешней цепи:
Где E` - ЭДС батареи элементов,
r` - внутреннее сопротивление батареи, которое равно:
ЭДС батареи равна сумме ЭДС трех последовательно соединенных элементов:
E`=E+E+E=3E
Следовательно:
12 В электрическую цепь включены последовательно медная и стальная проволоки равной длины и диаметра. Найдите отношение количеств тепла выделяющегося в этих проволоках.
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим проволоку длиной L и диаметром d, изготовленную из материала с удельным сопротивление p. Сопротивление проволоки R можно найти по формуле
Где s= – площадь поперечного сечения проволоки. При силе тока I за время t в проводнике выделяется количество теплоты Q:
При этом, падение напряжения на проволоке равно:
Удельное сопротивление меди:
p1=0.017 мкОм*м=1.7*10-8
Ом*м
удельное сопротивление стали:
p2=10-7
Ом*м
так как проволоки включены последовательно, то силы тока в них одинаковы и за время t в них выделяются количества теплоты Q1 и Q2:
Отсюда:
12. В однородном магнитном поле находится круговой виток с током. Плоскость витка перпендикулярна силовым линиям поля. Докажите, что результирующая сил, действующих со стороны магнитного поля на контур, равна нулю.
РЕШЕНИЕ:
Так как круговой виток с током находится в однородном магнитном поле, на него действует сила Ампера. В соответствии с формулой dF=I[dL,B] результирующая амперова сила, действующая на виток с током определяется:
Где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Так как магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести из-под интеграла и задача сволится к вычислению векторного интеграла . Этот интеграл представляет замкнутую цепочку элементарных векторов dL, поэтому он равен нулю. Значит и F=0, то есть результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
13. По короткой катушке, содержащей 90 витков диаметром 3 см, идет ток. Напряженность магнитного поля, созданного током на оси катушки на расстоянии 3 см от нее равна 40 А/м. Определите силу тока в катушке.
РЕШЕНИЕ:
Считая, что магнитная индукция в точке А есть суперпозиция магнитных индукций, создаваемых каждым витком катушки в отдельности:
Для нахождения Ввитка
воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа.
Где, dBвитка – магнитная индукция поля, создаваемая элементом тока IDL в точке, определяемой радиус-вектором r Выделим на конце элемент dL и от него в точку А проведем радиус-вектор r. Вектор dBвитка направим в соответствие с правилом буравчика.
Согласно принципу суперпозиции:
Где интегрирование ведется по всем элементам dLвитка. Разложим dBвитка на две составляющие dBвитка(II) – параллельную плоскости кольца и dBвитка(I) – перпендикулярную плоскости кольца. Тогда
Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dBвитка(I) сонаправленные, заменим векторное интегрирование скалярным:
Где dBвитка(I) =dBвитка*cosb и
Поскольку dl перпендикулярен r
Сократим на 2p и заменим cosb на R/r1
Выразим отсюда I зная что R=D/2
согласно формуле связывающей магнитную индукцию и напряженность магнитного поля:
В=Мо*Н,
тогда по теореме Пифагора из чертежа:
14. В однородное магнитное поле в направлении перпендикулярном силовым линиям влетает электрон со скоростью 10۰106
м/с и движется по дуге окружности радиусом 2,1 см. Найдите индукцию магнитного поля.
РЕШЕНИЕ:
На электрон, движущийся в однородном магнитном поле будет действовать сила Лоренца, перпендикулярная скорости электрона и следовательно направленная к центру окружности:
Так как угол между v и И равен 900
:
Так как сила Fл направлена к центру окружности, и электрон двигается по окружности под действием этой силы, то
Выразим магнитную индукцию:
15. Квадратная рамка со стороной 12 см, изготовленная из медной проволоки, помещена в магнитное поле, магнитная индукция которого меняется по закону В=В0
·Sin(ωt), где В0
=0,01 Тл, ω=2·π/Т и Т=0,02 с. Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найдите наибольшее значение э.д.с. индукции, возникающей в рамке.
РЕШЕНИЕ:
Площадь квадратной рамки S=a2
. Изменение магнитного потока dj, при перпендикулярности плоскости рамки dj=SdB
ЭДС индукции определяется
Е будет максимальна при cos(wt)=1
=0.46 мк В