з дисципліни
“Електротехніка в будівництві”
Задача 1
Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока с последовательным соединением приемников.
Для схемы, изображенной на рис.1, известно, что U = 110B, R1
= 10Oм, R2
= 10Oм, L2
= 80мГн, С2
= 200 мкФ, R3
= 10Oм.
Определить ток цепи, падение напряжений на элементах цепи, активную, реактивную и полную мощность цепи, коэффициент мощности / cos
j
/ цепи. Построить топографическую векторную диаграму.
Рис. 1
Решение. Определяем реактивные сопротивления участков цепи:
Ом
Ом
Общее сопротивление цепи:
Ом
Комплексное значение тока в цепи в показательной форме:
А
Если начальная фаза напряжения не задана, удобнее принять ее равной нулю и расположить вектор напряжения совпадающим с вещественной осью комплексной плоскости. В этом случае мнимая составляющая комплекса напряжения также равна нулю: 110 В.
Рассчитываем комплексные значения напряжений на элементах цепи в показательной и алгебраической формах:
В
В
В
В
В
Активную, реактивную и полную мощности цепи определяем из соотношения:
,
где - сопряженный комплекс тока,
Знак “ + “ перед реактивной мощностью говорит о том, что она имеет индуктивный характер.
Правильность решения проверяем, составив баланс мощностей:
Вт;
113.23 вар.
Активную и реактивную мощности можно найти следующим образом:
110·3.5·cos(-170
)=368.54Вт;
110·3.5·sin(-170
)=113.23вар,
где j — угол между векторами тока и напряжения.
Проверка баланса напряжений показывает, что задача решена правильно:
В
Угол между током и напряжением определяем, сравнивая комплексы напряжений и тока :
В, А, -170
, 0.956.
При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости считаем, что потенциал точки е
равен 0. Тогда из точки е
, помещенной в начало координат, под углом -170
относительно вещественной оси в выбранном масштабе строим вектор UR
3
. Конец этого вектора будет определять потенциал точки д.
Под углом -1070
к вещественной оси строим вектор UC
2
определяя потенциал точки г
. Из точки г
под углом 730
строим вектор UL
2
, определяя потенциал точки в
. Из точки в
строим вектор напряжения UR
2
, определяя потенциал точки б
. Из точки б
строим вектор напряжения UR
1
, определяя потенциал точки а
. Конец вектора UR
1
должен определять потенциал точки а
, которая должна лежать на вещественной оси, а длина отрезка еа
в соответствии с выбранным масштабом должна быть равной U=110 В.
Задача 2
Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока со смешанным соединением приемников, схема которой изображена на рис. 2. Дано: U = 380B, L0
= 19мГн, R0
= 8Oм, L1
= 25,5мГн, R1
= 6Oм, R2
= 10Oм, С2
= 396 мкФ.
Определить общий ток цепи и токи в ветвях и , напряжения на участках цепи, активную, реактивную и полную мощности, построить потенциальную диаграмму на комплексной плоскости.
Рис. 2
Решение. Определяем реактивные сопротивления цепи:
Ом
Ом
Ом
Выражаем сопротивление ветвей цепи в комплексном виде:
Ом
Ом
Ом
Перевод комплексных чисел в показательную форму не обязателен, но при умножении и делении комплексных чисел показательная форма записи удобнее.
Находим эквивалентное сопротивление параллельных ветвей:
Ом
Схема рассчитываемой цепи теперь имеет вид цепи с последовательным соединением приемников.
Комплексное сопротивление всей цепи:
Ом
Определим ток в неразветвленной цепи. Для этого выразим приложенное к цепи напряжение в комплексной форме. Так как в условии задачи начальная фаза напряжения не задана, принимаем ее равной нулю, располагая тем самым вектор напряжения с вещественной осью комплексной плоскости:
Определяем комплексное действующее значение на разветвленном участке цепи:
В
Комплексное действующее значение на неразветвленной части цепи
В
Определяем токи в ветвях цепи:
А
А
Вычисляем полную, активную и реактивную мощности цепи:
=
Отсюда 8170.73 В·А; 7291.56 Вт; 3687.01 вар.
Реактивная мощность имеет индуктивный характер, так как положительна. Правильность решения можно проверить, составив баланс мощностей, баланс токов / первый закон Кирхгофа / , баланс напряжений / второй закон Кирхгофа / :
7291.56 Вт;
3687.01 вар.
4.87+j3.9 А.
380 В.
Потенциальную векторную диаграмму построим, начиная с вектора 380 В, совместив его с вещественной осью. Далее построение аналогично построению из предыдущей задачи.
Задача 3
В трехфазную четырехпроводную сеть с линейным напряжением 220 В включен звездой несимметричный приемник, сопротивления которого равны: Xca
=6 Ом;
20 Ом; 20 Ом; 10 Ом /рис.3/.
Определить токи в линейных и нейтральных проводах, полную, активную и реактивную мощность каждой фазы и всей цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Рис. 3
Решение. Принимаем начальную фазу напряжений равной нулю. Тогда, учитывая, что = В,
В;
В;
В;
Комплексные сопротивления фаз:
Ом; Ом; Ом
Линейные комплексные токи:
А
А
А
Комплексный ток нейтрального провода
А.
Действующее значение токов:
= 21.17 А; = 4.49А; = 12.7 А; = 26.18 А.
Определяем полную, активную и реактивную мощности каждой фазы:
ВА
ВА
ВА
Отсюда
Sa
=2688.89 ВА; Sb
=570.4 ВА; Sс
=1613.33 ВА; Рa
=0 Вт; Рb
=403.33.41 Вт; Рс
=0 Вт;
Qa
= -2688.89 вар; Qb
= -403.33 вар; Qс
=1613.33 вар
Полная активная и реактивная мощности всей цепи:
403.33-j1478.89 В·А
Порядок построения векторной диаграмы /рис./следующий.
В выбранном масштабе строим фазные и линейные напряжения, совмещая вектор напряжения с вещественной осью комплексной плоскости.
В масштабе, выбранном для тока, строим векторы токов, используя фазовые сдвиги (показательная форма записи) или координаты активной и реактивной составляющей (алгебраическая форма записи).
Геометрическая сумма векторов линейных токов представляет собой вектор тока нейтрального провода.
Задача 4
В трехфазную сеть с напряжением 220 В включен треугольником несимметричный приемник, сопротивления которого равны: 3 Ом; 4 Ом; 15 Ом; 15 Ом; 19 Ом; /рис.4/. Определить токи в линейных проводах, активную и реактивную мощности цепи. Построить векторную диаграмму.
Рис. 4
Решение. Принимаем начальную фазу напряжения равной нулю, т.е. совмещаем вектор его напряжения с вещественной осью комплексной плоскости.
Тогда комплексные линейные напряжения:
В; В; В
Комплексные сопротивления фаз приемника:
Ом; Ом;
Ом
Комплексные фазные токи:
А;
А;
А
Линейные токи находим по первому закону Кирхгофа:
А;
А;
А
Активную и реактивную мощности всей цепи определяем как сумму мощностей отдельных фаз приемника:
ВА
Отсюда Вт; вар.
Векторную диаграмму /рис./ строим в такой последовательности. На комплексной плоскости в выбранном масштабе наносим векторы линейных напряжений причем вектор совмещается с вещественно осью. Выбираем масштаб изображения векторов тока и наносим их на векторную диаграмму напряжений, совмещая начала одноименных векторов напряжения и токов. Углы наклона относительно вещественной оси токов берем из результатов расчета. Чтобы найти линейные токи , необходимо к концам векторов прибавить соответственно векторы с обратным знаком. Геометрическая сумма каждой пары векторов будет представлять собой векторы линейных токов.
Литература
1. Волынский В.А. и др. Электротехника /Б.А. Волынский, Е.Н. Зейн, В.Е. Шатерников: Учеб. пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, 2007. – 528 с., ил.
2. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 2009. – 440 с., ил.