Классический метод. Постоянное напряжение источника

Дано: E
= 150В; Em
= 150В; w = 7000 рад/с; ye
= 120°; L
= 4 мГн; C
= 5 мкФ; R
1
= 6 Ом; R
2
= 10 Ом; R
3
= 5 Ом; R
4
= 4 Ом.

Найти: uC
(t
).

Классический метод. Постоянное напряжение источника.

Сопротивление последовательного соединения R
1
, R
4

R
14
= R
1
+ R
4
= 6 + 4 = 10 Ом.

Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника

Z
(p
) = + + R
14
= .

Характеристическое уравнение Z
(p
) = 0,

R
3
(R
2
+ R
14
)LC
p
2
+ ((R
2
+ R
3
+ R
14
)L
+ R
2
R
3
R
14
C
)p
+ R
2
(R
3
+ R
14
) = 0;

5∙(10 + 10)∙4∙10-3
∙5∙10-6
p
2
+ ((10 + 5 + 10)∙4∙10-3
+ 10∙5∙10∙5∙10-6
)p
+ 10∙(5 + 10) = 0:

Корни характеристического уравнения p
1
= – 1510 с; p
2
= – 49700 с.

Свободная составляющая тока в индуктивности iL
св
= A
1
e
p
1
t
+ A
2
e
p
2
t
= A
1
e
–1510
t
+ A
2
e
–49700
t
.

Схема до коммутации.

Начальное значение тока в ветви c индуктивностью iL
(0) = E
/(R
14
+ R
3
) = 150/(10 + 5) = 10 А.

Начальное значение напряжения на емкости uC
(0) = iL
(0)R
3
= 10∙5 = 50 В.

Схема после коммутации.

Принужденная составляющая напряжения на емкостиuC
пр
= E
= 150 В.

Переходное напряжение на емкости и его производная по времени

uC
(t
) = uC
пр
+ uC
св
(t
) = 150 + A
1
e
–1510t
+ A
2
e
–49700t
;

= – 1510A
1
e
–1510t
– 49700A
2
e
–49700t
.

Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов

uC
(0) = uC
пр
(0) + uC
св
(0) = 150 + A
1
+ A
2
;

= – 1510A
1
– 49700A
2
.

Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t
= 0

для правого узла – iC
(0) + iL
(0) + i
2
(0) = 0;

для левого контура R
14
iE
(0) + L
– uC
(0) = E
;

для верхнего контура R
2
i
2
(0) – L
= 0.

Исключение величин i
2
(0), : (R
14
+ R
2
)iC
(0) – R
2
iL
(0) – uC
(0) = E
;

(10 + 10)∙iC
(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;

Зависимые начальные условия iC
(0) = 7,5 А; = = 7,5/(5∙10-6
) = 1,5∙106
В/с.

50 = 180 + A
1
+ A
2
;

1,5∙106
= – 1510A
1
– 49700A
2
.

Постоянные интегрирования A
1
= – 3,6 А; A
2
= 1,1 А.

Искомый переходный ток в индуктивности iL
(t
) = 10 – 3,6e
–1510
t
+ 1,1e
–49700
t
.

Классический метод. Переменное напряжение источника.

Корни характеристического уравнения аналогично p
1
= – 1510 с; p
2
= – 49700 с.

Свободная составляющая напряжения на емкости uC
св
= A
1
e
p
1
t
+ A
2
e
p
2
t
= A
1
e
–1510
t
+ A
2
e
–49700
t
.

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости

XL
= wL
= 7000∙4∙10-3
= 28 Ом; XC
= 1/(wC
) = 1/(7000∙5∙10-6
) = 28,6 Ом.

Комплексные величины:

амплитуда напряжения источника m
= Em
e
y
e
= 150e
120
°
В;

сопротивления параллельных соединений ветвей R
2
, L
и R
3
, C

Z
R
2
L
= = 1/(1/10 + 1/j
28) = 8,87 + j
3,17 Ом;

Z
R
3C
= = 1/(1/5 + 1/(– j
28,6)) = 4,85 – j
0,85 Ом = 4,93e – j
9,93
°
Ом.

Схема до коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z
= Z
R
2
L
+ Z
R
3
C
+ R
14
= (8,87 + j
3,17) + (4,85 – j
0,85) + 10 = 23,8e
j
5,58
°
Ом;

амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью

em
= m
/Z
= 150e
120
°
/23,8e j
5,58
°
= 6,29e j
114,45
°
А;

Lm
= em
/(jXL
/R
2
+ 1) = 6,29e j
114,45
°
/(j
28/10 + 1) = 2,12e j
44,11
°
А;

амплитуда напряжения на емкости Cm
= em
Z
R
3
C
= 6,29e
j
114,45
°
∙4,93e –
j
9,93
°
= 31,0e
j
104,52
°
В;

ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t
= 0

e
(0) = Em
sin ye
= 150∙sin 120° = 129,9 В;

iL
(0) = 2,12 sin 44,11° = 1,47 А;

uC
(0) = 31,0 sin 104,52° = 30,0 В.

Cхема после коммутации.

Комплексные значения:

сопротивление цепи относительно источника Z
= Z