вправа 14. 1)Тіло масою 2 кг тягнуть гладенькою горизонтальною поверхнею за допомогою пружини, яка лежить горизонтально і під час руху видовжилась на 1 см. Жорсткість пружини 100 Н/м. З яким прискоренням рухається тіло ? Дано:
m
=2 кг
k
=100 Н/м
∆l
= 1см=0,01 м
Знайти
: a
Рішення
: На тіло діють наступні сили
- сила натяжіння пружини F1
- сила тяжіння F2
- сила тертя (=0, тому що поверхня гладенька за умови задачі, тобто коефіцієнт тертя дорівнює 0)
За законом Гука сила натяжіння пружини F1
= ∆l ∙ k
.
За другим законом Ньютона в проекції на горизонтальну вісь F1
= m ∙
а
m ∙
а
= ∆l ∙ k
→
а
= ∆l ∙ k/m =
0,01∙м∙100∙Н∙м-1
/2∙кг = 0,5∙Н/кг=0,5м/с2
Відповідь
: тіло рухається з прискоренням 0,5м/с2
.
2)Автомобіль масою 1000кг підчас гальмування зупиняється за 5 с під дією постійної сили, проходячи при цьому відстань 25 м. З яким прискоренням рухається автомобіль ? Яка початкова швидкість автомобіля ? Чому дорівнює сила тертя ? Дано
m=1000∙кг
t=5∙с
s=25∙м
v1
=0∙
м/с
a=?
v0
=?
F=?
Рішення
При рівноприскореному русі маємо систему рівнянь:
v1
= v0
+a∙t
s=v0
∙t+a∙t2
/2
0= v0
+a∙5 ↔ v0
=-a∙5 v0
=-(-2)∙5 = 10∙м/с
25= v0
∙5+a∙52
/2 ↔ 25= -a∙5∙5+a∙52
/2 ↔ 1=-a+а/2 ↔ а=-2∙м/с2
За другим законом Ньютона сила F = m ∙
а
= 1000∙кг∙-2∙м/с2
=-2000∙Н
Відповідь
:
автомобіль рухається з прискоренням -2∙м/с2
, початкова швидкість автомобіля 10∙м/с, сила тертя дорівнює -2000∙Н.
5)Під дією сталої сили 40 Н тіло рухається прямолінійно так, що залежність координати від часу описується рівнянням x= 5 + 2t - t*t( t в квадраті)(м). З яким прискоренням рухається тіло ? Яка маса рухомого тіла ? Яку швидкість має тіло через 3 с після початку руху ?
Дано
F=-40 Н
x=5+2t-t2
t1
=3c
a=?
m=?
v1
=?
Рішення
За другим законом Ньютона прискорення а
= F / m,
а сила тіла стала за умови задачі (маса також) тому ріло рухається рівноприскорено. Рівняння рівноприскореного руху мають наступний загальний вигляд:
v1
= v0
+a∙t
s1
= s0
+ v0
∙t+a∙t2
/2
Тому s1
= x тотожно для всіх t:
s0
+ v0
∙t+a∙t2
/2 ≡ 5+2t-t2
→ s0
=5м, v0
=2м/с, a/2=-1 → a=-2 м/с2
За другим законом Ньютона m
= F / а
= -40/(-2)=20кг
v1
= v0
+a∙t1
= 2-2∙3 = 2-6 = -4 м/с.
Відповідь
:
тіло рухається з прискоренням -2 м/с2
, маса рухомого тіла 20кг, через 3с після початку руху тіло має швидкість -4 м/с.
6)Яку швидкість повинен мати автомобіль, щоб проїхати по опуклому мосту за радіусом кривини 40 м, спричинивши мінімальнудію на нього ?
Дано
R=40 м
Прискорення тіла, яке рівномірно рухається по колу дорівнює:
а=v2
/R
У верхній частині моста сила тяжіння повинна дорівнювати центробіжній силі:
mg=ma=m∙v2
/R ↔ gR=v2
↔
Відповідь
: автомобіль повинен мати швидкість приблизно рівну 20м/с = 72км/ч.
7)Тіло починає зісковзувати з вершини сферичної поверхні, радіус якої становить 5 м, зі швидкістю 5 м/с. З яким кутом відхилення від вершини воно відірвться від поверхні ? Рішення
: Умова відриву: центробіжна сила F2
= F1
проекції сили тяжіння F на радіус-вектор (див. малюнок):
F2
= ma = m∙(v1
2
/R)
F1
= mg cos α
F2
= F1
mg cos α
= m∙(v1
2
/R) ↔ v1
2
=Rg cos α
Додаткова умова: збереження повної енергії системою: зростання кінетичної енергії тіла дорівнює зменшенню його потенційної енергії:
Е1
-Е0
=∆H∙m∙g ↔ mv1
2
/2-mv0
2
/2 = (R-R cos α
)mg ↔ v1
2
-v0
2
=2g(R-R cos α
)
Підставляємо в останнє рівняння вираз для v1
2
отриманий вище і знаходимо cos α
:
Rg(cos α
)
-v0
2
= 2g(R-R cos α
) ↔ cos α
=
(v0
2
+ 2gR)/(3gR) = 2/3 + v0
2
/(3gR) ≈ 2/3 + 52
/(3∙10∙5) = 2/3+1/6= =5/6
Отже cos α
≈
5/6.
За таблицею значень косинусів знаходимо кут, який відповідає цьому значення косинуса α ≈ acos(5/6)=34°
Відповідь
:
тіло відірветься від поверхні з кутом відхилення від вершини приблизно 34°.
вправа 15. 1)До кінців стержня завдовжки 80 см і масою 10 кг підвісили тягарі, маси яких дорівнюють 1кг і 10 кг. У якій точці потрібно підвісити стержень, щоб вінперебував у рівновазі в горизонтальному положенні ?
Нехай точка підвісу знаходиться на відстані х від ваги у 1кг. Тоді довжина плеча ваги у 10кг дорівнюватиме (0,8-х). А плече сили тяжіння на центр мас стержня дорівнюватиме (0,4-х).
Сума моментів повинна дорівнювати нулю:
х∙1= (0,4-х)∙10+(0,8-х)∙10
х= 4-10х+8-10х=12-20х
21х=12
х=12/21=4/7≈0,57м=57см
Відповідь
:
стержень потрібно підвісити на відстані 57см від кінця з тягарем масою 1кг.
2) Балка вагою 1400 Н підвішена на двох канатах. Яка сила натягу цих канатів, якщо відстань від центра мас балки до точок підвісу 3м і 1м відповідно ?
Вот эта же задача, но в нормальной формулировке:
Однородная балка массой m = 140 кг и длиной l подвешена на двух вертикальных канатах. Первый канат прикреплен на расстоянии l1
= 1,0 м от центра балки, а второй – на расстоянии l2
= 3,0 м. Модуль силы F натяжения первого каната равен:
Перша умова рівноваги: сума всих сил дорівнює нулю: Т1
+Т2
+(-1400)=0
Друга умова рівноваги: сума моментів дорівнює нулю: Т1
l1
+(- Т2
l2
)=0 ↔ Т1
1=3 Т2
Підставляємо вираз для Т1
у перше рівняння:
3 Т2
+Т2
=1400
4 Т2
=1400
Т2
=350 Н
Т1
=3 Т2
=3 350=1050 Н
Відповідь
:
сила натягу канату на відстані 3м від центра балки (Т2) дорівнює 350Н, сила натягу другого канату дорівнює 1050Н.