Параметры матрицы рассеяния могут быть рассчитаны по известной матрице проводимости четырехполюсника по формуле:
,
где – единичная матрица.
Необходимо отметить важную особенность параметров матрицы рассеяния, связанную с направлением прохождения сигнала. При изменении направления передачи изменятся лишь индексы в параметрах рассеяния ( на , на ), знаки же величин, входящих в уравнения (3.1) останутся прежними.
Установим связь между параметрами волновой теории (S
-матрицей) и параметрами классической теории (Y
-матрицей). Для этого рассмотрим четырехполюсники с направлениями падающих и отраженных волн, а также токов и напряжений, как показано на рисунках, и, соответствующие данным системам параметров, уравнения:
Рис. 3.2 Четырехполюсники в системе волновой и классической теорий
Учитывая введенные ранее обозначения для падающих и отраженных волн
,
а также выразив из этих уравнений токи и напряжения, подставим их в уравнения для S
-параметров:
.
(минус, так как ток направлен из четырехполюсника).
Рис. 3.3 К расчету S-матрицы по матрице Y
Подставляя в уравнения для параметров, получим:
.
Приведем к общему знаменателю:
.
Перегруппируем слагаемые
.
и выразим из полученных уравнений падающие и отраженные волны:
.
Далее учтем нормировку матрицы проводимости: .
.
Первое уравнение получим в виде:
.
Преобразуем второе уравнение:
.
Получим:
Матрица коэффициентов полученной системы запишется:
.
Волновая матрица передачи
. Если в качестве зависимых переменных выбрать волны на входе четырехполюсника – волну падающую на вход и волну отраженную от входа, а в качестве независимых переменных – волны на выходе - распространяющуюся к нагрузке и отраженную от нагрузки, то система уравнений, коэффициентами в которой будут параметры волновой матрицы передачи, запишется:
. (3.2)
Описание четырехполюсников в виде волновой матрицы передачи удобно при их каскадном соединении. Результирующая матрица передачи в этом случае определится по соотношению:
;"> .
Где k
-количество каскадно соединенных четырехполюсников.
Можно показать, что для взаимных четырехполюсников справедливо соотношение , а для симметричных: .
Связь между волновой матрицей и матрицей классической теории Y устанавливают соотношения:
.
3.3. Расчет схемных функций по матрице передачи
Рассчитаем входной и выходной импедансы четырехполюсника, а также коэффициент передачи напряжения при произвольных нагрузках на входе и на выходе по А-матрице (или ABCD-матрице, как принято обозначать в зарубежных источниках) в соответствии с принятыми на рисунке обозначениями.
. (3.3)
Определим сопротивления нагрузки и генератора:
; .
(3.4)
Входное сопротивление определится в результате деления первого уравнения исходной системы на второе:
.
Физический смысл параметров А
-матрицы передачи:
- обратный коэффициент передачи напряжения;
- сопротивление передачи;
- проводимость передачи;
- обратный коэффициент передачи тока.
Коэффициент передачи по напряжению от источника к нагрузке найдем, подставляя входное напряжение из (3.4), а затем входной ток из второго уравнения - в первое уравнение системы (3.3):
.
Для вывода выражения для схемной функции рассмотрим четырехполюсник с независимым источником напряжения на выходе:
Поставив в систему уравнений (3.3) входной и выходной токи с учетом знаков, получим:
, выражая
из первого уравнения и подставляя во второе – получим:
.
Коэффициент отражения от входа:
.
Коэффициент отражения от выхода:
.
3.4. Связь между системами волновых параметров
1. Связь между волновыми матрицами устанавливается соотношениями:
,
где .
Матрицы существуют, если .
2. Связь между матрицами волновой и классической теорий:
;
;
.