Задача №1 (рис. 2)
Балка закреплена шарнирно в точка А и удерживается в горизонтальном положении стержнем ВС, нагружена силами F1 ,
F2
и парой сил с моментом М
Определить реакции шарнира А и стержня ВС
Решение:
Зададимся системой координат с центром в точке А.
Обозначим реакцию стержня ВС в точке В вектором RB
, направление же реакции шарнира А не известно.
Составим уравнение моментов в точке А:
ΣМА
= 0
ΣМА
=МА
(F1
)+ МА
(F2
) - МА
(RB
)+ МА
(RA
) + M=0
Заметим, что момент реакции шарнира в точке А будет равен нулю, так как плечо l=0
МА
(F1
)= F1
∙ l1
=24 ∙ 0,6 = 14,4 кН∙м
МА
(F2
)= F2
∙ (l1
+ l2
+l3
)= 40 ∙ 2,5 = 100 кН∙м
МА
(RA
)= 0 кН∙м
М = - 3 кН∙м
получаем уравнение:
14,4 + 100 - 3 - МА
(RB
) = 0
- МА
(RB
) = - 14,4 - 100 + 3
- МА
(RB
) = - 111,4 кН∙м
МА
(RB
) = 111,4 кН∙м
Найдем реакцию RB
:
МА
(RB
) = RB
∙ cos 45º · (l1
+ l2
)
RB
=
RB
= = 78,8 кН
Определим проекцию реакции RA
на ось x из уравнения суммы проекций:
ΣРх
= 0
ΣРх
= F1x
+RBx
+F2x
+RAx
=0
F1x
= F1
∙ cos 90° = 0
F2x
= F2
∙ cos 90° = 0
RBx
= RB
∙ cos 45°= 79,6 · 0,7 = 55,72
ΣРх
= 55,72 + RAx
=0
RAx
= - 55,72
Определим проекцию реакции RA
на ось yиз уравнения суммы проекций:
ΣРy
= 0
ΣРy
= F1
y
+RBy
+F2
y
+RAy
=0
F1y
= - F1
∙ cos 0° = - 24
RBy
= RB
∙ cos 45° = 78,8 · cos45° = 55,72
F2y
= - F2
∙ cos 0° = - 40 ∙ 1 = - 40
ΣРy
= -24 + 55,72 – 40 + RAy
= 0
RAy
= 24 - 55,72 + 40 = 8,28
Реакцию RA
найдем из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора :
RA
= кН
Найдем угол между вектором реакции RA
и осью xпо косинусу угла α
cosα ==
α ≈ 8,5°
Для проверки определим сумму моментов сил и реакций в точке В, которая для тел находящихся в равновесии должна равняться нулю.
ΣМВ
= МB
(F1
)+ МВ
(F2
)+M+ МВ
(RA
)
МВ
(F1
) = - F1
∙l2
= - 24 ∙ 1,4 = - 33,6 кН∙м
МВ
(F2
) = F2
∙ l3
= F2
∙ l3
= 40 ∙ 0,5 = 20 кН∙м
МВ
(RA
) = RA
∙ sin 8,44º · (l1
+ l2
) = 56,332 · sin 8,5° · 2 = 16,65 кН∙м
M = - 3 кН∙м
ΣМВ
= - 33,6 + 20 + 16,6 - 3 ≈ 0
Задача № 2 (рис. 19)
Определить место положения центра тяжести сечения составленного из прокатных профилей
Решение:
|
А1
= 34,8 см2
= 3480 мм2
А2
= 115 ∙ 10 = 1150 мм2
y1
= 130
x1
= 0
y2
= 10 : 2 = 5
x2
= 0
Так как сечение симметрично относительно оси yдостаточно определить только координату yс
yс
= = 98,95 мм
xc
= 0
Задача №3 (№23)
Груз массой 100 кг опускается равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок и в первые 4 секунды проходит 8 м. Определить силу натяжения троса.
Решение:
На груз действует сила натяжения троса F
и сила тяжести mg
, под действием которых он движется с ускорением а
. Следовательно по второму закону Ньютона
mg + F = ma
Так как все силы направлены по вертикали, выберем вертикальную ось у
с положительным направлением по ускорению (вниз)
Проектируем
mg + F = ma
mg – F = ma
илиF = m(g – a)
Из кинематики :
h = at2
/2
Следовательно :
F = m(g – 2h/t2
) = 100 · (9,8 – ) = 880 H
Задача № 4 (рис. 37)
Для ступенчатого стального бруса требуется:
а) определить значение продольной силы и нормального напряжения по длине бруса.
б) построить эпюру.
в) определить удлинение (укорочение) бруса.
Модуль продольной упругости: E = 2 ∙105
мПа
Решение:
Разобьем брус на участки начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения сил и местами изменения размеров поперечного сечения.
Всего будет 4-ре участка. Проведя сечение и отбрасывая левые части бруса можно определить про
Участок I – не деформируется и продольные силы в нем будут равны нулю.
N1
= 0
N2
= N3
= 100 кН
N4
= F1
– F2
= 100 – 50 = 50 кН
т.е. на всех участках брус растянут, а продольные силы будут равны:
на участках II и III – 100 кН
на участке IV – 50 кН
Чтобы определить нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса нужно разделить значения продольных сил на площади сечений.
для участка II : σII
=
для участка III : σIII
=
для участка IV : σIV
=
Определим относительное удлинение на разных участках бруса. По закону Гука, относительное удлинение:
εII
=
εIII
=
εII
=
Абсолютное удлинение на участках:
II = 0,00025 ∙ 500 = 0,125 мм
III = 0,0002 ∙ 200 = 0,04 мм
IV = 0,0001 ∙ 400 = 0,04 мм
Общее удлинение бруса будет равно:
0,125 + 0,04 + 0,04 = 0,205 мм
Задача №5 (рис.43)
Для заданной консольной балки построить эпюру изгибающих моментом и подобрать из условий прочности размеры поперечного сечения в двух вариантах:
- сдвоенный швеллер
- прямоугольник с отношением
Сравнить массы балок по обоим расчетным вариантам.
Материал балки – сталь Ст.3 [σ] = 160 мПа
Решение:
Разобьем балку на участки, границы которых определим точками приложения внешних сил.
На первом участке балки момент будет равен:
- в точке D
М1
= - М = - 10 кН· м
- в точке С
М1
= - М = - 10 кН· м
На втором участке:
- в точке С
М2
= - М = - 10 кН· м
- в точке В
М2
= - М – F2
· z2
= - 10 – 8 · 0,8 = - 16,4 кН · м
На третьем участке:
- в точке В
М3
= - М – F2
· z2
= - 10 – 8 · 0,8 = - 16,4 кН · м
- в точке А
М3
= - М – F2
· (z2
+ z3
) – F1
· z3
= - 10 – 8 · (0,4 + 0,8) – 24 · 0,4 = - 29,2
Наибольший по величине изгибающий момент наблюдается в месте жесткой заделки балки в точке Aи равен он:
Найдем требуемый момент сопротивления
Wx
≥
Подбираем сечение балки в двух вариантах:
1. Сечение – сдвоенный швеллер
Wx
≥ 182,5 см3
см3
Подходит швеллер № Wx
= см3
2. Сечение - прямоугольник с отношением сторон
для прямоугольника
Wx
=;
подставив сюда и приняв Wx
равным требуемому значению, получим:
Wx
== = 182,5 см3
отсюда
h = 11,8 см
b = 11,8 : 3 = 3,9 см
Задача № 6 (рис.55)
Для заданного привода машины необходимо
а) дать характеристику привода и его отдельных передач
б)определить общие КПД и передаточные отношения.
в)определить мощность, вращающие моменты и угловые скорости для всех валов.
При расчетах принять следующие средние значения КПД (с учетом потерь на трение в опорах валов) передач:
зубчатая цилиндрическая - 0,97 (закрытая)
- 0,96 (открытая)
зубчатая коническая - 0,96 (закрытая)
- 0,95 (открытая)
червячная - 0,8 (закрытая)
цепная - 0,92 (открытая)
клиноременная - 0,95 (открытая)
Решение:
I ступень – закрытая зубчатая цилиндрическая передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=21, на ведомом – Z = 42;
II ступень – открытая зубчатая цилиндрическая передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=15, на ведомом – Z=54;
II ступень – цепная передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=20, на ведомом – Z=60;
Определим передаточные отношения на отдельных передачах и на всем приводе:
i1-6
= i1-2
∙ i2-4
∙i5-6
= 2 ∙3 ∙3 = 18
Для определения КПД, нам требуется значение угловой скорости каждой передачи и всего привода.
ω1
= ωдв
= 74,8 с-1
из определения передаточного числа знаем:
i1-2
=
отсюда:
ω3
= ω2
= 37,4 с-1
ω5
= ω4
= 12,47 с-1
Определим мощности для каждой передачи и всего привода:
Р1
=Рдв
=5,5 кВт ; ηI
= 0,97 (по условию)
Р2
=ηI
∙ Р1
= 0,97 ∙ 5,5 = 5,335 кВт
аналогично для остальных передач:
Р3
=Р2
= 5,335 кВт ; ηII
= 0,96 (по условию)
Р4
=ηII
∙ Р3
= 0,96 ∙ 5,335 = 5,122 кВт
Р5
= Р4
= 5,122 кВт ; ηIII
= 0,92 (по условию)
Р6
=ηIII
∙ Р5
= 0,92 ∙ 5,122 = 4,71 кВт
ηприв.
= ηI
∙ ηII
∙ ηIII
= 0,97 ∙0,96 ∙0,92 = 0,857
Определим вращающие моменты для каждого вала