Курс физики

Т.И. ТрофимоваКУРСФИЗИКИИздание седьмое, стереотипноеР ЕКОМЕНДОВАНО М ИНИСТЕРСТВОМ ОБРАЗОВАНИЯР ОССИЙСКОЙ Ф ЕДЕРАЦИИ В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯДЛЯ ИНЖЕНЕРНО - ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙМоскваВЫСШАЯ ШКОЛА20032УДК 53 ББК 22.3 Т70Рецензент: профессор кафедры физики имени A.M. Фабриканта Московского энерге-тического института (технического университета) В. А. Касьянов ISBN5-06-003634-0 ФГУП «Издательство «Высшая школа», 2003Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшаяшкола», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издатель- ства запрещается.3 ПРЕДИСЛОВИЕУчебное пособие написано в соответствии с действующей программойкурса физики для инженерно-технических специальностей высших учебных за- ведений и предназначено для студентов высших технических учебных заведе- ний дневной формы обучения с ограниченным числом часов по физике, с воз- можностью его использования на вечерней и заочной формах обучения.Небольшой объем учебного пособия достигнут с помощью тщательногоотбора и лаконичного изложения материала.Книга состоит из семи частей. В первой части дано систематическое из-ложение физических основ классической механики, а также рассмотрены эле- менты специальной (частной) теории относительности. Вторая часть посвящена основам молекулярной физики и термодинамики. В третьей части изучаются электростатика, постоянный электрический ток и электромагнетизм. В четвер- той части, посвященной изложению теории колебаний и волн, механические и электромагнитные колебания рассматриваются параллельно, указываются их сходства и различия и сравниваются физические процессы, происходящие при соответствующих колебаниях. В пятой части рассмотрены элементы геометри- ческой и электронной оптики, волновая оптика и квантовая природа излучения. Шестая часть посвящена элементам квантовой физики атомов, молекул и твер- дых тел. В седьмой части излагаются элементы физики атомного ядра и эле- ментарных частиц.Изложение материала ведется без громоздких математических выкладок,должное внимание обращается на физическую суть явлений и описывающих их понятий и законов, а также на преемственность современной и классической физики. Все биографические данные приведены по книге Ю. А. Храмова «Фи- зики» (М.: Наука, 1983).Для обозначения векторных величин на всех рисунках и в тексте исполь-зован полужирный шрифт, за исключением величин, обозначенных греческими буквами, которые по техническим причинам набраны в тексте светлым шриф- том со стрелкой.Автор выражает глубокую признательность коллегам и читателям, чьидоброжелательные замечания и пожелания способствовали улучшению книги. Я особенно признательна профессору Касьянову В. А. за рецензирование посо- бия и сделанные им замечания.Автор будет благодарен за замечания и советы по улучшению пособия.Просьба направлять их в издательство «Высшая школа» по адресу: 127994, Мо- сква, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.Автор4 ВВЕДЕНИЕП РЕДМЕТ ФИЗИКИ И ЕЕ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИОкружающей вас мир, все существующее вокруг нас и обнаруживаемоенами посредством ощущений представляет собой материю.Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования являетсядвижение. Движение в широком смысле слова — это всевозможные изменения материи — от простого перемещения до сложнейших процессов мышления.Разнообразные формы движения материи изучаются различными наука-ми, в том числе и физикой. Предмет физики, как, впрочем, и любой науки, мо- жет быть раскрыт только по мере его детального изложения. Дать строгое оп- ределение предмета физики довольно сложно, потому что границы между фи- зикой и рядом смежных дисциплин условны. На данной стадии развития нельзя сохранить определение физики только как науки о природе.Академик А. Ф. Иоффе (1880—1960; российский физик) * определил фи-зику как науку, изучающую общие свойства и законы движения вещества и по- ля. В настоящее время общепризнано, что все взаимодействия осуществляются посредством полей, например гравитационных, электромагнитных, полей ядер- ных сил. Поле наряду с веществом является одной из форм существования ма- терин. Неразрывная связь поля и вещества, а также различие в их свойствах бу- дут рассмотрены по мере изучения курса.Физика — наука о наиболее простых и вместе с тем наиболее общихформах движения материи и их взаимных превращениях. Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, тепловая и др.) присутствуют во всех высших и более сложных формах движения материи (химических, биологиче- ских и др.). Поэтому они, будучи наиболее простыми, являются в то же время наиболее общими формами движения материи. Высшие и более сложные фор- мы движения материи — предмет изучения других наук (химии, биологии и др.).Физика тесно связана с естественными науками. Эта теснейшая связь фи-зики с другими отраслями естествознания, как отмечал академик С. И. Вавилов (1891—1955; российский физик и общественный деятель), привела к тому, что физика глубочайшими корнями вросла в астрономию, геологию, химию, биоло- гию и другие естественные науки. В результате образовался ряд новых смеж- ных дисциплин, таких, как астрофизика, биофизика и др.Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь имеет двустороннийхарактер. Физика выросла из потребностей техники (развитие механики у древ- них греков, например, было вызвано запросами строительной и военной техни- ки того времени), и техника, в свою очередь, определяет направление физиче- ских исследований (например, в свое время задача создания наиболее эконо- мичных тепловых двигателей вызвала бурное развитие термодинамики). С дру-* Все данные приведены по биографическому справочнику Ю. А. Храмова «Физики» (М • Наука, 1983).5гой стороны, от развития физики зависит технический уровень производства. Физика — база для создания новых отраслей техники (электронная техника, ядерная техника и др.).Бурный темп развития физики, растущие связи ее с техникой указываютна значительную роль курса физики во втузе: это фундаментальная база для теоретической подготовки инженера, без которой его успешная деятельность невозможна.Е ДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНОсновным методом исследования в физике является опыт— основанноена практике чувственно-эмпирическое познание объективной действительно- сти, т. е. наблюдение исследуемых явлений в точно учитываемых условиях, по- зволяющих следить за ходом явлений и многократно воспроизводить его при повторении этих условий.Для объяснения экспериментальных фактов выдвигаются гипотезы. Гипотеза - это научное предположение, выдвигаемое для объяснения ка-кого-либо явления и требующее проверки на опыте и теоретического обоснова- ния для того, чтобы стать достоверной научной теорией.В результате обобщения экспериментальных фактов, а также результатовдеятельности людей устанавливаются физические законы— устойчивые по- вторяющиеся объективные закономерности, существующие в природе. Наибо- лее важные законы устанавливают связь между физическими величинами, для чего необходимо эти вели чины измерять. Измерение физической величины есть действие, выполняемое с помощью средств измерений для нахождения значения физической величины в принятых единицах. Единицы физических ве- личин можно выбрать произвольно, но тогда возник нут трудности при их сравнении. Поэтому целесообразно ввести систему единиц, охватывающую единицы всех физических величин.Для построения системы единиц произвольно выбирают единицы длянескольких не зависящих друг от друга физических величин. Эти единицы на- зываются основными.Остальные же величины и их единицы выводятся из за- конов, связывающих эти величины и их единицыс основными. Они называютсяпроизводными.В настоящее время обязательна к применению в научной, а также в учеб-ной литературе Система Интернациональная (СИ), которая строится на семи основных единицах — метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела — и двух дополнительных — радиан и стерадиан.Метр(м) — длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 с.Килограмм(кг) — масса, равная массе международного прототипа килограм- ма (платиноиридиевого цилиндра, хранящегося в Международном бюро мер и весовв Севре, близ Парижа).Секунда(с) — время, равное 9 192631770 периодам излучения, соответ-ствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состоя-6ния атома цезия-133.Ампер(А) — сила неизменяющегося тока, который при прохождении подвук параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ни- чтожно малоп поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого создает между этими проводниками силу, равную 2⋅ 10 -7 Н накаждый метр длины.Кельвин(К) — 1/273,16 часть термодинамической температуры тройнойточи воды.Моль(моль) — количество вещества системы, содержащей столько жеструктурных элементов, сколько атомов содержится в нуклиде 12 С массой 0,012кг.Кандела(кд) — сила света в заданном направлении источника, испус-кающего монохроматическое излучение частотой 540' Ю 12 Гц, энергетическаясила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.Радиан(рад) — угол между двумя радиусами окружности, длина дугимежду которыми равна радиусу.Стерадиан(ср) — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезаю-щий из поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.Для установления производных единиц используют физические законы,связывающие их с основными единицами. Например, из формулы равномерно- го прямо линейного движения v=st (s— пройденный путь, t— время) произ- водная единица скорости получается равной 1 м/с.7ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ§ 1. М ОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ . С ИСТЕМА ОТСЧЕТА .Т РАЕКТОРИЯ , ДЛИНА ПУТИ , ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ Механика— часть физики, которая изучает закономерности механиче-ского движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Ме- ханическое движение— это изменение с течением времени взаимного распо- ложения тел или их частей.Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегре-ческий ученый Архимед (287—212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики уста- новлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564—1642) и окон- чательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643—1727).Механика Галилея—Ньютона называется классической механикой.Вней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых ма- лы по сравнению со скоростью света в вакууме. Законы движения макроскопи- ческих тел со скоростями, сравнимыми со скоростью с,изучаются релятивист- ской механикой,основанной на специальной теории относительности, сформулированной А. Эйнштейном (1879—1955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы — они заменяются законами квантовой механики.В первой части нашего курса мы будем изучать механику Галилея—Ньютона, т. е. рассматривать движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости с. В классической механике общепринята концепция пространства и времени, разработанная И. Ньютоном и господство- вавшая в естествознании на протяжении XVII—XIX вв. Механика Галилея— Ньютона рассматривает пространство и время как объективные формы сущест- вования материи, но в отрыве друг от друга и от движения материальных тел, что соответствовало уровню знаний того времени.Механика делится на три раздела: 1) кинематику; 2) динамику; 3) стати-ку.Кинематикаизучает движение тел, не рассматривая причины, которыеэто движение обусловливают.Динамикаизучает законы движения тел и причины, которые вызываютили изменяют это движение.Статикаизучает законы равновесия системы тел. Если известны законыдвижения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому зако- ны статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.8Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкрет-ных задач использует разные физические модели.Простейшей моделью являет- ся материальная точка— тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Понятие материальной точки — абстракт- ное, но его введение облегчает решение практических задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материаль- ные точки.Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленноразбить на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произволь- ной системы тел сводится к изучению системы материальных точек.В меха- нике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е.изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна мо- дель — абсолютно твердое тело. Абсолютно твердым теломназывается тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается постоянным.Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию по-ступательного и вращательного движений. Поступательное движение— это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение— это движение, при котором все точки тела движутся по окружно- стям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вра- щения.Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому дляописания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространст- ва эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета.С ним связывается система отсчета— совокупность системы координат и часов, связанных с телом от счета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки Ав данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x,yuzили радиусом- вектором г,проведенным из начала системы координат в данную точку (рис. 1).При движении материальной точки ее координаты с течением времениизменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями .(1.1, 1.2)Уравнения (1.1) и соответственно (1.2) называются кинематическими9уравнениями движения материальной точки. Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы.Если материальная точка свободно движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тре- мя степенями степенями свободы, если вдоль некоторой линии, то одной степе- нью свободы.Рис. 1Исключая tвуравнениях (1.1) и (1.2), получим уравнение траекториидвижения материальной точки. Траектория движения материальной точки — линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы тра- ектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траекто-рии (рис. 2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в по- ложении А.Длина участка траектории АВ,пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной путиAJ и является скаляр-ной функциейвремени: ? s = ? s(t). Вектор ? r = r – r 0 , проведенный из начально-го положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением.Рис. 2При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответ-10ствующим участком траектории и модуль перемещения | ? r| равен пройденномупути ? s.§ 2. С КОРОСТЬДля характеристики движения материальной точки вводится векторнаявеличина — скорость, которой определяется как быстротадвижения, так и его направлениев данный момент времени.Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траек-тории так, что в момент времени tей соответствует радиус-вектор г 0 (рис. 3). Втечение малого промежутка времени ? t точка пройдет путь ? s и получит эле-ментарное (бесконечно малое) перемещение ? г.Рис. 3Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения? градиуса-вектора точки к промежутку времени ? t:(2.1)Направление вектора средней скорости совпадает с направлением ? г. Принеограниченном уменьшении ? t средняя скорость стремится к предельномузначению, которое называется мгновенной скоростью v:Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равнаяпервой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая совпадает с касательной, то вектор скорости vнаправлен по касатель-ной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения ? t путь ? s11все больше будет приближаться к | ? г|, поэтому модуль мгновенной скоростиТаким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производнойпути по времени:(2.2)При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течениемвремени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной <v> — средней скоростью неравномерного движения:Из рис. 3 вытекает, что <v> > |<r>|, так как? s >| ? г|, и только в случаепрямолинейного движенияЕсли выражение ds=vdt(см. формулу (2.2)) проинтегрировать по временив пределах от tдо t+ ? t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время ? t:(2.3)В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скоро-сти постоянно; тогда выражение (2.3) примет видДлина пути, пройденного точкой за промежуток времени от tдо fa, дает-ся интегралом§ 3. У СКОРЕНИЕ И ЕГО СОСТАВЛЯЮЩИЕВ случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяетсяскорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быст- роту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.12Рассмотрим плоское движение,т. е. движение, при котором все участкитраектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки Ав момент времени t.За время? t движущаяся точка перешла в положе-ние Ви приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v= v + ? v. Перенесем вектор v в точку Аи найдем ? v (рис. 4).1 1Рис. 4 Средним ускорением неравномерного движения в интервале от tдо t+? rназывается векторная величина, равная отношению изменения скорости Ду к интервалу времени? г:Мгиовеивым ускорением а (ускорением) материальной точки в моментвреме ни t будет предел среднего ускорения: Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первойпроизводной скорости по времени.Разложим вектор ? v на две составляющие. Для этого из точки А(рис. 4)по направлению скорости v отложим вектор AD ,по модулю равный v 1 . Оче-видно, что вектор CD ,равный ? v τ , определяет изменение скорости за время ? tпо модулю: ? v τ = v 1 - v.Вторая же составляющая ? v n вектора ? v характеризуетизменение скорости за время ? t по направлению.Тангенциальная составляющая ускорения т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, опреде-ляя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка Вдоста-точно близка к точке А,поэтому ? s можно считать дугой окружности некоторо-13го радиуса г, мало отличающейся от хорды АВ.Тогда из подобия треугольников АОВи EADследует? v n AB = v 1 r , но так как AB= v ? t , тоВ пределе при ? t → 0 получим v → v.1Поскольку v 1 = v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольникEAD равнобедренный, то угол ADE между v и ? v стремится к прямому. Следо-nвательно, при ? t → 0 векторы ? v n и v оказываются взаимно перпендикулярны-ми. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор? v n , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны.Вторая составляющая ускорения, равнаяназывается нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростреми- тельным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическаясумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5):Рис. 5Итак, тангенциальнаясоставляющая ускорения характеризует быстротуизменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), анормальная составляющая ускорения — быстроту изменения скорости по на -правлению (направлена к центру кривизны траектории).В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускоре-ния движение можно классифицировать следующим образом:141) а τ =0, a n = 0 — прямолинейное равномерное движение;2) a τ = a= const, a n = 0 — прямолинейное равнопеременное движение.При таком виде движенияЕсли начальный момент времени t 1 = 0, а начальная скорость v 1 = v 0 , то,обозначив t 2 = tи v 2 = v, получим a=(v—v 0 )/t,откудаПроинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного мо-мента времени t,найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равно- переменного движенияs = ∫ t vdt = t ∫ ( v 0 + at ) dt = v 0 t + at 2 2 ;0 03) a τ = f(t), a n =0 – прямолинейное движение с переменным ускорением ;4) a τ =0, a n =const. При a τ = 0 скорость по модулю не изменяется , а изме -няется по направлению . Из формулы a =v 2 /r следует , что радиус кривизныnдолжен быть постоянным . Следовательно , движение по окружности являетсяравномерным ;5) a τ = 0, a n ≠ 0 — равномерное криволинейное движение ;6) a τ = const, a n ≠ 0 — криволинейное равнопеременное движение ;7) a τ = f(t), a n ≠ 0 — криволинейное движение с переменным ускорением .§ 4. У ГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕРассмотрим твердое тело , которое вращается вокруг неподвижной оси .Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиу -сов , центры которых лежат на оси вращения . Пусть некоторая точка движетсяпо окружности радиуса R( рис . 6). Ее положение через промежуток времени ? rзададим углом ?? . Элементарные ( бесконечно малые ) повороты можно рас -сматривать как векторы ( они обозначаются ? ? или d ? ). Модуль вектора d ?равен углу поворота , а его направление совпадает с направлением поступатель -ного движения острия винта , головка которого вращается в направлении дви -жения точки по окружности , т . е . подчиняется правилу правого винта ( рис . 6).Векторы , направления которых связываются с направлением вращения , назы -ваются псевдовекторами или аксиальными векторами.Эти векторы неимеют определенных точек приложения : они могут откладываться из любойточки оси вращения .Угловой скоростьюназывается векторная величина , равная первой про -изводной угла поворота тела по времени :15ω rтак же, как и вектор Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. d ? r (рис. 7). Размерность угловой скорости dim ω = T − 1 ,а ее единица — радиан в секунду (рад/с).Рис. 6 Рис. 7Линейная скорость точки (см. рис. 6)т.е.В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать каквекторное произведение:При этом модуль векторного произведения, по определению, равен еа-Кяп(шК) а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отω rк R.Если ω =const, то вращение равномерное и его можно характеризоватьпериодом вращенияТ— временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е поворачивается на угол 2π .Так как промежутку времени ? t = Тсо-ответствует ?? = 2 π , то ω =2 π /Т,откудаЧисло полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его дви-жении пс ОКОУЖНОСТИ , в единицу времени называется частотой вращения:16откудаУгловым ускорениемназывается векторная величина, равная первойпроизводной угловой скорости по времени:Тангенциальная составляющая ускоренияНормальная составляющая ускоренияПри вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорениянаправлю вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении векторε r сонаправлен вектору ω r(рис. 8), при замедлен ном — противонаправлен ему (рис. 9). Рис. 8Рис. 9Таким образом, связь между линейными (длина пути s,пройденного точ-кой по дуге окружности радиуса R,линейная скорость v, тангенциальное уско- рение аτ ,нормальное ускорение а n )и угловыми величинами (угол поворота ? ,угловая скорость ω ,угловое ускорение ε ) выражается следующими формулами:В случае равнопеременного движения точки по окружности ( ε —const)17где ω 0 — начальная угловая скорость.З АДАЧИ1.1.Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнениемs=A+Bt+Ct 2 +Dt 3 (С=0,1 м/с 2 , D=0,03м/с 3 ). Определить: 1) время после началадвижения, через которое ускорение атела будет равно 2 м/с 2 ; 2) среднее ускорение <а> тела за этот промежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с 2 ]1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым те-ло брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]1.3.Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой ско- рости от времени задается уравнениемω = 2At+ 5Bt 4 (А =2 рад/с 2 и В= 1рад/с 5 ). Определить полное ускорение точек обода колеса через t = 1 с посленачала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. [а=8,5 м/с2 ; N = 0,48]1.4.Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом г=4м, задается уравнением a n =A+Bt+Ct 2 (A = 1 м/с 2 , B = 6 м/с 2 , С = 3 м/с 2 ). Опре-делить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1 =5с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времениt 2 =1 с. [1) 6 м/с 2 ; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с 2 ]1.5.Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t = 1 минуменьшилась от 300 до 180 мин -1 . Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2)число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с 2 ; 2) 240]1.6.Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что за-висимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением? =A+3t+Ct 2 +Dt 3 (B = 1 рад/с, С = 1 рад/с 2 , D = 1 рад/с 3 ). Определить для точекна ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенци- альное ускорение %; 2) нормальное ускорение аn ;3) полное ускорение а.[1) 1,4м/с 2 ; 2) 28,9 м/с 2 ; 3) 28,9 м/с 2 ]18ГЛАВА 2ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПО-СТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛА§ 5. П ЕРВЫЙ ЗАКОН Н ЬЮТОНА . М АССА . С ИЛАДинамика является основным разделом механики, в ее основе лежат тризакона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют ис- ключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законови опытной проверке подвергают не каж- дый отдельный закон, а всю систему в целом.Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняетсостояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностыо. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.Механическое движение относительно, и его характер зависит от системыотсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальны- ми системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воз- действий,либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелио-центрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в цен- тре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Система от- счета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обу- словленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих слу- чаях ее можно считать инерциальной.Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела не-одинаково изменяют скорость своего движения, т. е., иными словами, приобре- тают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздей- ствия, но и от свойств самого тела (от его массы).Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных ха-рактеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и грави- тационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точно- стью, не меньшей 10 их значения).Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона,19вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движе- ния, т. е приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо дефор- мируются, т. е, изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направ- лением в пространств и точкой приложения. Итак, сила —это векторная вели- чина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.§ 6. В ТОРОЙ ЗАКОН Н ЬЮТОНАВторой закон Ньютона — основной закон динамики поступательногодвиженияотвечает на вопрос, как изменяется механическое движение матери- альной точки (тела под действием приложенных к ней сил.Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то ока-зывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:(6.1)При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускоре-ния оказываются различными, а именно(6.2)Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение —величины векторные, можем записать(6.3)Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобре-таемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материаль- ной точки (тела).В СИ коэффициент пропорциональности k=1. Тогдаили(6.4)Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механикеесть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак произ- водной:20(6.5)Векторная величинаP = mv (6.6)численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движе- ния)этой материальной точки.Подставляя (6.6) в (6.5), получим(6.7)Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньюто-на:скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки.Единица силы в СИ — ньютон(Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сооб-щает ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы:Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах от-счета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютонарассматривается как самостоятельный закон(а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инер- циальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (6.7).В механике большое значение имеет принцип независимости действиясил:если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, си- лы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F = ma разложена на два компонента: тангенциальную силу Fτ (направлена по касательной к траектории) и нормальную F n (направлена понормали к центру кривизны).Используя выражения a τ = dv dt и a n = v 2 R , а также v = Rv,можно запи-сать:21Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то,согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Нью- тона понимают результирующую силу.§ 7. Т РЕТИЙ ЗАКОН Н ЬЮТОНАВзаимодействие между материальными точками (телами) определяетсятретьим законом Ньютона:всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направ- лены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:(7.1)где F 12 — сила, действующая на первую материальную точку со сторонывторой; F 21 — сила, действующая на вторую материальную точку со стороныпервой. Эти силы приложены к разнымматериальным точкам (телам), всегда действуют парамии являются силами одной природы.Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики от-дельнойматериальной точки к динамике системыматериальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сво- дится к силам парного взаимодействия между материальными точками.§ 8. С ИЛЫ ТРЕНИЯОбсуждая до сих пор силы, мы не интересовались их происхождением.Однако в механике мы будем рассматривать различные силы: трения, упруго- сти, тяготения.Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной по-верхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это мож- но объяснить существованием силы трения,которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от отно- сительных скоростей тел. Силы трения могут быть разной природы, но в ре- зультате их действия механическая энергия всегда превращается во внутрен- нюю энергию соприкасающихся тел.Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение.Внешним трениемназывается трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасаю- щиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя,ес- ли же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, каче- нияили верчения.Внутренним трениемназывается трение между частями одного и тогоже тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости ко-22торых меняются от слоя к спою. В отличие от внешнего трения здесь отсутст- вует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении(слой смазки достаточно толстый) и граничном трении(толщина смазочной прослойки≈ 0,1 мкм именьше).Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обу-словлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей; в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притя- жения.Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис. 11), к которому приложенагоризонтальная сила F. Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения Fтр . Французские физики Г. Амонтон(1663—1705) и Ш. Кулон(1736—1806) опытным путем установили следующий закон: сила трения скольжения Fтр пропорциональна силе Nнормального давления, скоторой одно тело действует на другое:где f— коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприка-сающихся поверхностей.Найдем значение коэффициента трения. Если тело находится на наклон-ной плоскости с углом наклона α (рис. 12), то оно приходит в движение, толькокогда тангенциальная составляющая F силы тяжести Р больше силы трения F тр .Следовательно, в предельном случае (начало скольжения тела) F =F тр илиP sin α = f = fN = fP cos α , откуда0 0Рис. 11 Рис. 12Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу углаα 0 , при которомначинается скольжение тела по наклонной плоскости.Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмоле-кулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения23где р 0 — добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярногопритяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S— площадь контакта между телами; fист — истинный коэффици-ент трения скольжения.Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трениюдвижется транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т. д.В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтомуих надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между этими поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что по- верхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят друг относительно друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внутренним трением жидкости.Радикальным способом уменьшения силы трения является замена тренияскольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Сила трения каченияопределяется по закону, установленному Кулоном:(8.1)где r— радиус катящегося тела; f k — коэффициент трения качения,имеющий размерность dim f k =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения об-ратно пропорциональна радиусу катящегося тела.§ 9. З АКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА . Ц ЕНТР МАССДля вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия.Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой.Силы взаимодействия между материаль- ными точками механической системы называются внутренними.Силы, с кото- рыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними.Механическая система тел, на которую не действуют внешние си- лы, называется замкнутой(или изолированной).Бели мы имеем механиче- скую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньюто- на, силы, действующие между этими телами, будут равны и проти воположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скоростькоторых соответственно равны m 1 , m 2 ,…, m n и v 1 , v 2 ,…, v n . Пусть F ′ 1 , F ′ 2 , ..., F ′ n— равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a F1 , F 2 , ..., F n — равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньюто-на для каждого из л тел (механической системы:24Складывая почленно эти уравнения, получаемНо так как геометрическая сумма внутренних сил механической системыпо третьему Закону Ньютона равна нулю, тоили(9.1)гдеp = ∑ n m v — импульс системы. Таким образом, производная по вре-i = 1 i iмени от им пульса механической системы равна геометрической сумме внеш- них сил, действующих на систему.В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)Последнее выражение и является законом сохранения импульса:им-пульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике,хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются за- конам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. за- кон сохранения импульса — фундаментальный закон природы.• В чем заключается принцип независимости действия сил ?• Какова физическая сущность трения ? В чем отличие сухого трения от жидкого ?Какие виды внешнего ( сухого ) трения Вы знаете ?Закон сохранения импульса является следствием определенного свойствасимметрии пространства — его однородности. Однородность пространства25заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменя- ются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инер- циальной системы отсчета.Отметим, что, согласно (9.1), импульс сохраняется и для незамкнутойсистемы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.В механике Галилея—Ньютона из-за независимости массы от скоростиимпульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс(или центром инерции)системы материальных точек называется вооб- ражаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равенгде mi и r i — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точ-ки; n — число материальных точек в системе; m = ∑ n m ,— масса системы.i = 1 iСкорость центра массУчитывая, что p i = m i v i a ∑ i = n 1 m i , есть импульс р системы, можно напи-сать(9.2)т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость еецентра масс.Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим(9.3)т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой со-средоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геомет- рической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, чтоцентр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.26§ 10. У РАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫДвижение некоторых тел сопровождается изменением их массы, напри-мер масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движе-ния ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по ис- течении времени dtее масса уменьшится на dm и станет равной т—dm,а ско- рость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dtгде u — скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда(учли, что dmdv — малый высшего порядка малости по сравнению с ос-тальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтомуили(10.1)Второе слагаемое в правой части (10.1) называют реактивной силойF .pЕсли он противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпа- дает с v, то тормозится.Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменноймассы(10.2)которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859—1935).Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратоввысказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К. Э. Циолковский (1857—1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его счи- тают основателем отечественной космонавтики.Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действу-ют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), полу- чим27откудаЗначение постоянной интегрирования Сопределим из начальных усло-вий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стар- товая масса то, то С = u ln m0 . Следовательно,(10.3)Это соотношение называется формулой Циолковского.Она показывает,что: 1) чем больше конечная масса ракеты т,тем больше должна быть старто- вая масса ракеты m0 ; 2) чем больше скорость истечения игазов, тем большеможет быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е.для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью сраспро- странения света в вакууме.- Что называется механической системой ? Какие системы являются замкнутыми ? Является лиВселенная замкнутой системой ? Почему ?- В чем заключается закон сохранения импульса ? В каких системах он выполняется ? Почему онявляется фундаментальным законом природы ?- Каким свойством пространство обуславливается справедливость закона сохранения импульса ?- Что называется центром масс системы материальных точек ? Как движется центр масс замкнутойсистемы ?З АДАЧИ2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15. [10,9 м/с] 2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли? [28 м/с] 2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углыα = 30° и α = 45°. Гири равной массы (m 1 = m 2 =2 кг) соедине-ны нитью, перекинутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными f1 = f 2 =f = 0,1 ипренебрегая трением в блоке, определить. 1) ускорение,с которым движутся гири, 2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с 2 ; 2) 12 Н]282.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из ко- торой производится выстрел вдоль полотна под угломα =45° к горизонту. Мас-са платформы с пушкой Л/=20 т, масса снаряда т=10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами f = 0,002. Определить скорость снаря- да, если после выстрела платформа откатилась на расстояние s=3 м.[ v 0 = M 2 fgs ( m cos ∂ ) = 970 м / с ]2.5.На катере массой т=5т находится водомет , выбрасывающий µ =25кг / своды со скоростью u = 7 м / с относительно катера назад . Пренебрегая сопротив -лением движению катера , определить : 1) скорость катера через 3 мин после на -чала движения , 2) предельно возможную скорость катера . [1)v = u ( 1 − exp ( − µ t m ) ) =4,15 м / с ; 2) 7 м / с ]29 ГЛАВА 3РАБОТА И ЭНЕРГИЯ§11. Э НЕРГИЯ , РАБОТА , МОЩНОСТЬЭнергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодей-ствия. С раз личными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и пр. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело на- гревает холодное), в других — переходит в иную форму (например, в результа- те трения механическое движение превращается в тепловое). Однако сущест- венно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним те- лом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.Изменение механического движения тела вызывается силами, действую-щими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вво- дится понятие работы силы.Если тело движется прямолинейнои на него действует постоянная сила F,которая составляет некоторый угол а с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F,на направление перемещения (Fs =Fcos α ), умноженной на перемещение точки приложения силы:(11.1)В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направ-лению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмот- реть элементарное перемещение dr, то силу Г можно считать постоянной, а движение точки ее приложения — прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярнаявеличинаdA =Fdr = Fcos α ds = F ds,2где α — угол между векторами F и dr; ds=|dr| — элементарный путь; F s —проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).Рис. 13Работа силы на участке траектории от точки 1до точки 2 равна алгебраи-30ческой сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу(11.2)Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F s от пути tвдоль траектории 1—2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогдаискомая работа Аопределяется на графике площадью заштрихован- ной фигуры. Если, рапример, тело движется прямолинейно, сила F=const и а = const, то получимгде s— пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).Рис. 14Из формулы (11.1) следует, что приα < π /2 работа силы положительна, вэтом случае составляющая F, совпадает по направлению с вектором скорости движения v (см. рис. 13). Еслиα > π /2, то работа силы отрицательна. При α =π /2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна ну-лю.Единица работы — джоуль(Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Нна пути 1 м(1 Дж=1 Н-м).Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятиемощности:(11.3)За время dtсила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этойсилой, в данный момент временит. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, скоторой движется точка приложения этой силы; N— величина скалярная.31Единица мощности — ватт(Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт=1 Дж/с).§ 12. К ИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ Кинетическая энергиямеханической системы — это энергия механиче-ского движения этой системы.Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершаетработу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной рабо- ты. Таким образом, работа dAсилы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dt тела, т. е.Используя второй закон Ньютона F=m — и умножая на перемещение dr,получаемТак как v = α d t r ′ , то dA = mv dv = mvdv = dT, откудаТаким образом , тело массой т , движущееся со скоростью v, обладает ки -нетической энергией(12.1)Из формулы (12.1) видно , что кинетическая энергия зависит только отмассы и скорости тела , т . е . кинетическая энергия системы есть функция со -стояния ее движения .При выводе формулы (12.1) предполагалось , что движение рассматрива -ется в инерциальной системе отсчета , так как иначе нельзя было бы использо -вать законы Ньютона . В разных инерциальных системах отсчета , движущихсядруг относительно друга , скорость тела , а следовательно , и его кинетическаяэнергия будут неодинаковы . Таким образом , кинетическая энергия зависит отвыбора системы отсчета .Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел , опреде -ляемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия междуними .Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей( например , поля упругих сил , поля гравитационных сил ), характеризующихсятем , что работа , совершаемая действующими силами при перемещении тела изодного положения в другое , не зависит от того , по какой траектории это пере -мещение произошло , а зависит только от начального и конечного положений .32Такие поля называются потенциальными,а силы, действующие в них, — кон- сервативными.Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории пе- ремещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипа- тивной;ее примером является сила трения.Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энер-гией П. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) из- менении кон фигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенци- альной энергии:(12.2)Работа dAвыражается как скалярное произведение силы F на перемеще-ние dr и выражение (12.2) можно записать в виде(12.3)Следовательно, если известна функция П(г), то из формулы (12.3) можнонайти силу F по модулю и направлению.Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) какгде С— постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия опреде-ляется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не от- ражается на физических законах, так как в них входит или разность потенци- альных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Для консерва- тивных силили в векторном видегде(12.4) (12.5)(i, j, k — единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый вы- ражением (12.5), называется градиентом скаляра П.Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение∇ II. ∇ («набла») означает символический вектор, называемый оператором Га-мильтона * или набла-операторомс* У. Гамильтон (1805—1865) — ирландский математик и физик.33(12.6)Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Напри-мер, потенциальная энергия тела массой т,поднятого на высоту hнад поверх- ностью Земли, равнаП = mgh, (12.7)где высота Нотсчитывается от нулевого уровня, для которого П0 =0. Выражение(12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна ра- боте силы тяжести при падении тела с высоты hна поверхность Земли.Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энер-гия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда поло- жительна!).Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шах- ты (глубина h1 ),П= —mgh'.Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружи-ны). Сила упругости пропорциональна деформации:где F х упр — проекция силы упругости на ось х; k— коэффициент упру-гости(для пружины — жесткость),а знак минус указывает, что F x упр , направ-лена в сторону, противоположную деформации х.По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю си-ле упругости и противоположно ей направлена, т. е.Элементарная работа dА,совершаемая силой F при бесконечно малой дефор-xмации dx,равнаа полная работаидет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом,потенциальная энергия упругодеформированного телаПотенциальная энергия системы является функцией состояния системы.Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.Полная механическая энергиясистемы — энергия механического дви-жения и взаимодействия:34т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.§ 13. З АКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИЗакон сохранения энергии — результат обобщения многих эксперимен-тальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711— 1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольпем (1821—1894).Рассмотрим систему материальных точек массами m 1 , m 2 ,…, m n , движу-щихся со скоростями v 1 , v 2 ,…, v n . Пусть F ′ 1 , F ′ 2 , ..., F ′ n — равнодействующиевнутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a F ,1F 2 , ..., F n — равнодействующие внешних сил, которые также будем считать кон-сервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки дейст- вуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f1 , f 2 ,…, f n .При v<< cмассы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньюто- на для этих точек следующие:Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dtсо-вершают перемещения, соответственно равные dr t , dr 2 , ..., dr n .Умножим каждоеиз уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr i =v i dr,получим• Дайте определения и выведите формулы для известных вам видов механическойэнергии• Какова связь между силой и потенциальной энергией ?• Чем обусловлено изменение потенциальной энергии ?• Необходимо ли условие замкнутости системы для выполнения закона сохранениямеханической энергии ?35Сложив эти уравнения, получим(13.1)Первый член левой части равенства (13.1)где dt— приращение кинетической энергии системы. Второй членi ∑ = n 1 ( F ′ i + F i dr i ) равен элементарной работе внутренних и внешних консер-вативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативныхсил, действующих на систему. Таким образом, имеем(13.2)При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе изодного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними не- консервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, чтооткуда(13.3)т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Вы-ражение (13.3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, пол- ная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.Механические системы, на тела которых действуют только консерватив-ные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консер- вативных системах полная механическая энергия сохраняется.Закон сохранения механической энергии связан с однородностью време-ни.Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвари- антны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном36падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не за- висят от того, когда тело начало падать.Существует еще один вид систем — диссипативные системы,в которыхмеханическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в дру- гие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название дисси- пации(или рассеяния) энергии.Строго говоря, все системы в природе явля- ются диссипативными.В консервативных системах полная механическая энергия остается по-стоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в по- тенциальную и обратно в эквивалентных количествах так, что полная энергия остается неизменной. Этот закон не есть просто закон количественногосохра- нения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и ка- чественнуюсторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превращения энергии — фундаментальный закон природы,он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем макротел.В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, напримерсилы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следова- тельно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквива- лентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в дру- гой.В этом и заключается физическая сущностьзакона сохранения и превра- щения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.§ 14. Г РАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНЕРГИИВо многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенци-альная энергия которого является функцией лишь одной переменной (напри- мер, координаты х),т. е. П = П(х).График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется потенциальной кривой.Анализ потенци- альных кривых позволяет определить характер движения тела.Будем рассматривать только консервативные системы, т. е. системы, вкоторых взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутст- вуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (13.3). Рассмотрим графическое представление потенциальной энергии для тела в однородном по- ле тяжести и для упругодеформированного тела.Потенциальная энергия тела массой т,поднятого на высоту h над по-верхностью Земли, согласно (12.7), П(h)=mgh.График данной зависимости П = П(h) — прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 15), угол на- клона которой к оси hтем больше, чем больше масса тела (так как tgα = mg).37Рис. 15Пусть полная энергия тела равна Е(ее график — прямая, параллельнаяоси К).На высоте hтело обладает потенциальной энергией П, которая опреде- ляется отрезком вертикали, заключенным между точкой hна оси абсцисс и графиком П(h). Естестве но, что кинетическая энергия Тзадается ординатой между графиком П(h)и горизонтальной прямой ЕЕ.Из рис. 15 следует, что ес- ли h=hmax ,то Т=0и П = E = mgh max ,т. е. потенциальная энергия становится мак-симальной и равной полной энергии.Из приведенного графика можно найти скорость тела на высоте h:откудаЗависимость потенциальной энергии упругой деформации H=kx 2 /2отдеформации химеет вид параболы (рис. 16), где график заданной полной энер- гии тела Е— прямая, параллельная оси абсцисс х,а значения Г и П определя- ются так же, как на рис. 15. Из рис. 16 следует, что с возрастанием деформации хпотенциальная энергия тела воз растает, а кинетическая — уменьшается. Абс- цисса xопределяет максимально возможную деформацию растяжения тела, аmax—х max — максимально возможную деформацию сжатия тела. Если х = ± x max , тоТ = 0 и П = E = kx 2 max /2,т. е. потенциальная энергия становится максимальной иравной полной энергии.Из анализа графика на рис. 16 вытекает, что при полной энергии тела,равной Е,тело не может сместиться правее x max и левее — x max , так как кинети-ческая энергия не может быть отрицательной и, следовательно, потенциальная энергия не может быть больше полной энергии. В таком случае говорят, что те- ло находится в потенциальной ямес координатами- x max ≤ x ≤ x max38Рис. 16В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложныйвид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рис. 17). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е— заданная пол- ная энергия частицы, то частица может находиться только там, где П(x)≤ E, т.е. в областях I и III. Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьерCDG,ширина которого равна интервалу значений х,при которых Е <П, а его высота определяется разностью П- E.Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ейmaxнеобходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I частица с полной энергией Еоказывается «за- пертой» в потенциальной яме ABCи совершает колебания между точками с ко- ординатами xА и х с .Рис. 17В точке Вс координатой х0 (рис. 17) потенциальная энергия частицы ми-нимальна.39Так как действующая на частицу сила (см. § 12) F x = − ∂ ∂ П x (П— функциятолько одной координаты), а условие минимума потенциальной энергии∂ ∂ П х = 0 , , то в точке В – F x = 0.При смещении частицы из положения х 0 ( и влево и вправо ) она испыты -вает действие возвращающей силы , поэтому положение х 0 является положени -ем устойчивого равновесия.Указанные условия выполняются и для точки х ′0( для П max ). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равно-весия,так как при смещении частицы из положения х' 0 появляется сила , стре -мящаяся удалить ее от этого положения .§ 15. У ДАР АБСОЛЮТНО УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ ТЕЛПримером применения законов сохранения импульса и энергии при ре -шении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неуп -ругих тел .Удар ( или соударение) — это столкновение двух или более тел , при ко -тором взаимодействие длится очень короткое время . Помимо ударов в прямомсмысле этого слова ( столкновения атомов или биллиардных шаров ) сюда мож -но отнести и такие , как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т . д .Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударныеили мгновен-ные силы)столь велики , что внешними силами , действующими на них , можнопренебречь . Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближеннорассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения .Тела во время удара претерпевают деформацию . Сущность удара заклю -чается в том , что кинетическая энергия относительного движения соударяю -щихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации . Вовремя удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимисятелами . Наблюдения пока зывают , что относительная скорость тел после ударане достигает своего прежнего значения . Это объясняется тем , что нет идеальноупругих тел и идеально гладких поверхностей . Отношение нормальных состав -ляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффици-ентом восстановления ε ε ε ε :Если для сталкивающихся тел ε = 0, тотакие тела называются абсолют-но неупругнмн,если ε = 1 — абсолютно упругими.На практике для всех тел0 < ε < 1 ( например , для стальных шаров ε ≈ 0,56, для шаров из слоновой костиε ≈ 0,89, для свинца ε ≈ 0). Однако в некоторых случаях тела можно с большойстепенью точности рассматривать либо как абсолютно упругие , либо как абсо -лютно неупругие .Прямая , проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная кповерхности их соприкосновения , называется линией удара.Удар называется40центральным,если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральныеабсолютно уп- ругие и абсолютно неупругие удары.Абсолютно упругий удар— столкновение двух тел, в результате кото-рого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова пре- вращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульсаи закон сохранения кинетической энергии.Обозначим скорости шаров массами m 1 и m 2 до удара через v 1 и v 2 , послеудара — через v ′ 1 и v ′ 2 (рис. 18). В случае прямого центрального удара векторыскоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное — движению влево.Рис. 18При указанных допущениях законы сохранения имеют вид(15.1) (15.2)Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и(15.2), получимоткуда(15.3) (15.4) (15.5)41Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим(15.6) (15.7)Разберем несколько примеров. 1. При v2 = 0(15.8) (15.9)Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различныхмасс:а) m 1 = m 2 . Если второй шар до удара висел неподвижно (v 2 = 0) (рис. 19),то после удара остановится первый шар (v ′ = 0), а второй будет двигаться с той1же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v′ 2 =v 1 );Рис. 19б) m > m .Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как1 2и до удара, но с меньшей скоростью (v ′ 1 < v 1 ).Скорость второго шара послеудара больше, чем скорость первого после удара (v' 2 > v ′ 1 )(рис. 20);42Рис. 20в) m1 < m 2 .Направление движения первого шара при ударе изменяется —шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т. е. v'< v (рис. 21);2 1Рис. 21г) m2 >> m 1 (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений(15.8) и (15.9) следует, что v ′ 1 = − v 1 ; v ′ 2 ≈ 2 m 1 v 1 / m 2 ≈ 0 . .2.При m 1 = m 2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь видт . е . шары равной массы « обмениваются » скоростями . Абсолютов неупругий удар— столкновение двух тел , в результате ко -торого тела объединяются , двигаясь дальше как единое целое . Продемонстри -ровать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина( глины ), движущихся навстречу друг другу ( рис . 22).Рис . 22Если массы шаров m 1 и m 2 , их скорости до удара v 1 и v 2 , то , используя за -43кон сохранения импульса, можно записатьгде v — скорость движения шаров после удара. Тогда(15.10)Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продол-жать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m1 = m 2 ),тоВыясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральномабсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения ме- ханической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происхо- дит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую и другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:Используя (15.10), получаемЕсли ударяемое тело было первоначально неподвижно (v =0), то2Когда m 2 >> m 1 (масса неподвижного тела очень большая), то v << v 1 ипочти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации нако- вальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m1 >> m 2 ), тогда v ≈ v 1 ипрактически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» ме-ханической энергии под действием диссипативных сил.44З АДАЧИ3.1. Определить: 1) работу поднятия груза по наклонной плоскости; 2)среднюю и 3) максимальную мощности подъемного устройства, если масса груза 10 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с. [1) 173 Дж; 2) 86 Вт; 3) 173 Вт]3.2. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг.Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) скорость, с которой бро- шен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия 60 Дж; 2) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2) 88,6 Дж]3.3. Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту, с которойдолжна скатываться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную петлю и не выпала из желоба. [25 м]3.4. Пуля массой m=10 г, летевшая горизонтально со скоростью v=500м/с, попадает в баллистический маятник длиной l =1 м и массой М=5 кг и за- стревает в нем. Определить угол отклонения маятника. [18°30/ ]3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовомполе от расстояния rдо центра поля задается выражением П ( r ) = A − B , где Аr 2 rи В— положительные постоянныe. Определить значение г 0 , соответствующееравновесному положению частицы. Является ли это положение положением устойчивого равновесия? [г0 = 2А/Б]3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массойm 1 ударяется о покоящееся тело массой m 2 ,в результате чего скорость первоготела уменьшается в n = 1,5 раза. Определить: 1) отношение m 1 /m 2 ; 2) кинетиче-скую энергию Т' 2 второго тела, если первоначальная кинетическая энергия пер-вого тела T 1 = 1000 Дж. [1) 5; 2) 555 Дж]3.7. Тело массой m = 4 кг движется со скоростью v =3 м/с и ударяется о1 1неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, оп- ределить количество теплоты, выделившееся при ударе. [9 Дж]45ГЛАВА 4МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА§ 16. М ОМЕНТ ИНЕРЦИИПри изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием мо-мента инерции. Моментом терциисистемы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс пматери- альных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к инте-гралугде интегрирование производится по всему объему тела. Величина rв этом слу- чае есть функция положения точки с координатами х, у,z.Рис. 23В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного ци-линдра высотой hи радиусом Rотносительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины drсвнутренним радиусом rи внешним r+dr.Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2 dm(так как dr << r, то считаем, что расстояниевсех точек цилиндра от оси равно г), где dm — масса всего элементарного ци- линдра; его объем 2π rhdr.Если ρ — плотность материала, то dm = 2 π rh ρ dr и dJ= 2 π h ρ r 3 dr.Тогда момент инерции сплошного цилиндрано так какπ R 2 h— объем цилиндра, то его масса m = π R 2 h ρ ,а моментинерции46Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей черезего центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела Jотносительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельнойоси, проходящей через центр масс Стела, сложенному с произведением массы ттела на квадрат расстояния амежду осями:(16.1)В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некото-рых тел (тела считаются однородными, т— масса тела).Таблица 1Тело Положение оси Момент инерцииПолый тонкостенный цилиндр радиу- сом R Сплошной цилиндр или диск радиусом R Прямой тонкий стержень длиной l Прямой тонкий стержень длиной l Шар радиусом R Ось симметрии тR 2Тоже 1/2тR 2Ось перпендикулярна стержню и про- 1/12ml 2ходит через его серединуОсь перпендикулярна стержню и про- 1/3ml 2ходит через его конецОсь проходит через центр шара 2/5тR 2§ 17. К ИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯРассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около непод-вижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т, т , ..., т ,находящиеся на1 2 nрасстоянии г ь г 2 ,..., г n от оси.При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельныеего элементарные объемы массами m i опишут окружности различных радиусовr i и имеют различные линейные скорости v i .Но так как мы рассматриваем абсо-лютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:(17.1)47Рис. 24Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетиче-ских энергий его элементарных объемов:Используя выражение (17.1), получаемгде Jz — момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кине-тическая энергия вращающегося тела(17.2)Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетическойэнергии тела, движущегося поступательно (Г=ти 2 /2), следует, что момент инер-ции — мера инертности телапри вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося снаклон ной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энер- гии поступательного движения и энергии вращения:где т— масса катящегося тела; v c — скорость центра масс тела; J c —момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω —угловая скорость тела.48§ 18. М ОМЕНТ СИЛЫ . У РАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Моментом силы F относительно неподвижной точкиОназывается фи-зическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку Априложения силы, на силу F (рис. 25):М = [rF].Здесь М — псевдовектор,его направление совпадает с направлением по-ступательного движения правого винта при его вращении от г к F.Рис. 25.Модуль момента силыгде α — угол между г и F; r ⋅ sin α = l — кратчайшее расстояние между ли-нией действия силы и точкой О— плечо силы.Рис. 2649Моментом силы относительно неподвижной осиz называется скаляр-наявеличина М z ,равная проекции на эту ось вектора М момента силы, опреде-ленного относительно произвольной точки Оданной оси z(рис. 26). Значение момента Мг не зависит от выбора положения точки Она оси z.Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы пред-ставляется в виде вектора, совпадающего с осью:M z = [rF] z .Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 27). Пусть сила Fприложена в точке В,находящейся от оси z на расстоянии г, α — угол междунаправлением силы и радиусом-вектором г. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При поворо- те тела на бесконечно малый угол d? точка приложения Впроходит путьds=rd ? и работа равна произведению проекции силы на направление смещенияна величину смещения:Рис. 27Учитывая (18.1), можем записатьгдеFr sin α = Fl = M z — момент силы относительно оси z. Таким обра-зом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей си- лы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинети-ческой энергии: dA = dT, но dT = d ? ? ? ? J z 2 ω 2 ? ? ? ? = J z ω d ω , поэтому M z d ? = J z ω d ω ,или M z d dt ? = J z ω d dt ω .Учитывая , что ω = d ? , получаемdt50(18.3)Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращатель-ного движения твердого телаотносительно неподвижной оси.Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции (см. §20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство(18.4)где J— главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).§ 19. М ОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯПри сравнении законов вращательного и поступательного движений про-сматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.Моментом импульса (количества движения)материальной точки Аотносительно неподвижной точкиОназывается физическая величина, опре- деляемая векторным произведением:где г — радиус-вектор, проведенный из точки Ов точку A;p = mv — импульс материальной точки (рис. 28); L — псевдовектор,его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к р. Модуль вектора момента импульсагде α — угол между векторами г и р, / — плечо вектора р относительно точкиО.Рис. 2851Моментом импульса относительно неподвижной осиz называется ска-лярная величина L z ,равная проекции на эту ось вектора момента импульса, оп-ределенного относительно произвольной точки Оданной оси. Момент импуль- са L,не зависит от положения точки Она оси г.При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси zкаж-дая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса г с не-iкоторой скоростью v i . Скорость v i и импульс m i v i перпендикулярны этому ра-диусу, т. е. радиус является плечом вектора m i v i . Поэтому можем записать, чтомомент импульса отдельной частицы равен(19.1)и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.Момент импульса твердого телаотносительно оси есть сумма момен-тов импульса отдельных частиц:Используя формулу (17.1) v = ω r , получимi iт. е.(19.2)Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равенпроизведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую ско- рость. Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:т. е.Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательно-го движениятвердого тела относительно неподвижной оси: производная мо- мента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относи- тельно той же оси.Можно показать, что имеет место векторное равенство(19.3)52В замкнутой системе момент внешних сил М = 0 и dl = 0 , откудаdt(19.4)Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импуль -са : момент импульса замкнутой системы сохраняется , т . е . не изменяется с те -чением времени .Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон приро-ды.Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью,т .е . с инвариантностью физических законов относительно выбора направленияосей координат системы от счета ( относительно поворота замкнутой системы впространстве на любой угол ).Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с по -мощью скамьи Жуковского . Пусть человек , сиддпий на скамье , которая безтрения вращается вокруг вертикальной оси , и держащий в вытянутых рукахгантели ( рис . 29), приведен во вращение с угловой скоростью ш .Если человек}прижмет гантели к себе , то момент инерции системы уменьшится . Посколькумомент внешних сил равен нулю , момент импульса системы сохраняется и уг -ловая скорость вращения ω возрастает . Аналогично , гимнаст во время прыжка2через голову поджимает к туловищу руки и ноги , чтобы уменьшить свой мо -мент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения .Рис . 29Сопоставим основные величины и уравнения , определяющие вращение53Таблица 2§ 20. С ВОБОДНЫE ОСИ . Г ИРОСКОПДля того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с тече-нием времени неизменным, используют подшипники, в которых она удержива- ется. Однако существу ют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называ- ются свободными осями(или осями свободного вращения).Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называ- ются главными осями инерциитела). Например, главные оси инерции одно- родного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противопо- ложных граней (рис. 30). Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными ося- ми инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, прохо- дящие через центр масс.Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно изсвободных осей служит осью вращения тела.Можно показать, что вращение вокруг главных осей с наибольшим и54Рис. 30Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец,закрепленный к шпинделю центробежной машины, привести в быстрое враще- ние, то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикаль- ной оси, перпендикуляр ной оси палочки и проходящей через ее середину (рис. 31). Это и есть ось свободного вращения (момент инерции при этом положении палочки максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свобод- ной оси, освободить от внешних связей (аккурат но снять верхний конец нити с крючка шпинделя), то положение оси вращения в пространстве в течение неко- торого времени сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положе- ние в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой уг- ловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.Рис. 32Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардано-вом подвесе (рис. 32). Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА,которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей горизонтальной оси ВВ,которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD.Все три оси пересекаются в одной точке С, являющейся центром масс ги- роскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое на- правление в пространстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и мо- ментом импульса колец пренебрегаем.55Рис. 32Так как трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, егооси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его под- ставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения. Для свободно вращающегося гироскопа сила тяжести не может из- менить ориентацию его свободной оси, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения Ссовпадает с центром масс), а момент силы тяжести от- носительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его за- крепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (19.3), L=const, т. е. момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направле- ние в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в пространстве и ось гироскопа.Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необхо-димо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу, относительно его цен- тра масс отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гиро- скопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, при- ложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа (рис. 33) поворачива- ется вокруг прямой ОО , а не вокруг прямой О О ,как это казалось бы естест-3 3 2 2венным на первый взгляд (О 1 О 1 и О 2 О 2 лежат в плоскости чертежа, а О 3 О 3 и си-56Рис. 33Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент Мпары сил F направлен вдоль прямой О 2 О 2 .За время dt момент импульса L гиро-скопа получит приращение dL = Mdt (направление dL совпадает с направлени- ем М) и станет равным L' = L + dL. Направление вектора L' совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироско- па повернется вокруг прямой ОО . Если время действия силы мало, то, хотя3 3момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приво- дит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопи-ческого эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действую- щие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсчета и являются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. § 27).Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационныхприборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гиро- скопов — поддержание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авто рулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При вся- ком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва вет- ра и т. д.) положение оси гироскопа в пространстве сохраняется. Следователь- но, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относи- тельно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвраща-57ют движение к заданному курсу.Впервые гироскоп применен французским физиком Ж. Фуко (1819—1868) для доказательства вращения Земли.§ 21. Д ЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛАРассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсо-лютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. де- формируются.Деформацияназывается упругой,если после прекращения действиявнешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, назы- ваются пластическими(или остаточными).Деформации реального тела все- гда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил нико- гда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать упругие деформации, что мы и будем де- лать.В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжениеили сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно про- исходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.Рассмотрим однородный стержень длиной / и площадью поперечного се-чения S(рис. 34), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы F1 и F 2 (F 1 = F 2 = F),в результате чего длина стержня меняется на величи-ну ? l.Естественно, что при растяжении ? l положительно, а при сжатии отрица-тельно.Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называет-ся напряжением:σ = F S (21.1)Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называетсянормальным,если же по касательной к поверхности — тангенциальным.Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испыты-ваемой те лом, является его относительная деформация.Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)(21.2)относительное поперечное растяжение (сжатие)где d — диаметр стержня.Деформации ε и ε′ всегда имеют разные знаки (при растяжении ? l поло-жительно, a ? d отрицательно, при сжатии ? l отрицательно, а ? d положитель-но). Из опыта вытекает взаимосвязь ε и ε′ :58где µ — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и на-зываемый коэффициентом Пуассона * .Английский физик Р. Гук (1635—1703) экспериментально установил, чтодля малых деформаций относительное удлинение Е и напряжение апрямо про-порциональны друг другу:(21.3)где коэффициент пропорциональности Еназывается модулем Юнга ** . Извыражения (21.3) видно, что модуль Юнгаопределяется напряжением, вызы- вающим относительное удлинение, равное единице.Из формул (21.2), (21.3) и (21.1) вытекает, чтоили(21.4)где k— коэффициент упругости.Выражение (21.4) также задает закон Гука, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорцио- нально действующей на стержень силе.Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного преде-ла. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграм- мы напряжений, качественный ход которой мы рассмотрим для металлического образца (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимостьσ ( ε ), установ-ленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности(σ п ). При дальнейшем увеличении напряжениядеформация еще упругая (хотя зависимость σ ( ε ) уже нелинейна) и до пределаупругоcти( σ у ) остаточные деформации не возникают. За пределом упругости втеле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразит- ся не кривой ВО,а параллельной ей — CF.Напряжение, при котором появляет- ся заметная остаточная деформация («0,2%), называется пределом текучести (σ т ) — точка Сна кривой. В области CDдеформация возрастает без увеличениянапряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью теку- чести(или областью пластических деформаций).Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими,для которых же она практически отсутствует — хрупкими.При дальнейшем растяжении (за точку D)происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в* С. Пуассон (1781—1840) — французский ученый.** Т. Юнг (1773—1829) — английский ученый.59теле до разрушения, называется пределом прочности( σ p ).Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различныхфакторов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является теку- чим.Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стерж-ня, которая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:где х— абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе де-формации от 0 до ? l. Согласно закону Гука (21.4), F = kx = ESx/l.Поэтомут. е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональнаквадрату деформации ( ? l) 2 .Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, имею-щий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу F τ (рис.36), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена непод- вижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулыгде ? s – абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно другдруга; h – расстояние между слоями (для малых углов tg γ ≈ γ ).Рис. 36З АДАЧИ4.1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают ска-тываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одина- ковых радиусов. Определить: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на дан- ном уровне; 2) их отношение в данный момент времени. [1) 14/15; 2) 14/15]604.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0,5 м приложенапостоянная касательная сила F=100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М=2Н⋅ м. Определить массу тдиска, если известно, что егоугловое ускорение ε постоянно и равно 12 рад/с 2 . [32 кг]4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндрамассой m = 1кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены те- ла массами m1 = 1кг и m 2 = 2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить:1) ускорение грузов; 2) отношения T 2 /T 1 сил натяжения нити. [1) 2,8 м/с 2 ; 2)1,11]4.4. Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2 кг ⋅ м 2 , вра-щающегося при торможении равнозамедленно, за время t=1 мин уменьшилась от n= 300 мин -1 до n =180 мин -1 . Определить: 1) угловое ускорение е колеса; 2)1 2момент Мсилы торможения; 3) работу силы торможения. [1) 0.21 рад/с 2 ; 2) 0,42Н-м; 3) 630 Дж]4.5.Человек массой m = 80 кг, стоящbй на краю горизонтальной платфор-мы массой M = 100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной верти- кальной оси с частотой n= 10 мин -1 , переходит к ее центру. Считая платформу1круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой n2 будет тогда вращаться платформа. [26 мин -1 ]4.6. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, еслипри его растяжении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь по- перечного сечения 1 мм2 , модуль Юнга для алюминия E = 69 ГПа.[ ? l l = 2 A ( ) ESl = 0 , 03 ]61ГЛАВА 5ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ§ 22. З АКОНЫ К ЕПЛЕРА . З АКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯЕще в глубокой древности было замечено, что в отличие от звезд, кото-рые неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в тече- ние столетий, планеты описывают среди звезд сложнейшие траектории. Для объяснения петлеобразного движения планет древнегреческий ученый К. Пто- ломей (II в. н. э.), считая Землю рас положенной в центре Вселенной, предпо- ложил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр ко- торого равномерно движется по большому кругу, в центре которого находится Земля. Эта концепция получила название птолемеевой геоцентрической сис- темы мира.В начале XVI в. польским астрономом Н. Коперником (1473—1543)обоснована гелиоцентрическая система(см. § 5), согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория и наблюдения Коперника вос- принимались как занимательная фантазия. К началу XVII столетия большинст- во ученых убедилось, однако, в справедливости гелиоцентрической системы мира. И. Кеплер (1571—1630), обработав и уточнив результаты многочислен- ных наблюдений датского астронома Т. Браге (1546—1601), изложил законы движения планет:1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого на-ходится Солнце.2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает оди-наковые площади.3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся каккубы больших полуосей их орбит.Впоследствии И. Ньютон, изучая движение небесных тел, на основаниизаконов Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон все- мирного тяготения:между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m1 и m 2 0и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними(г 2 ):(22.1)Эта сила называется гравитационной(или силой всемирного тяготе-ния).Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорцио- нальности Gназывается гравитационной постоянной.Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за матери-альные точки, т. е. для таких тел, размеры которых малы по сравнению с рас-62стоянием между ними. Если же размеры взаимодействующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела надо разбить на точечные элементы, под- считать по формуле (22.1) силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем геометрически их сложить (проинтегрировать), что являет- ся довольно сложной математической задачей.Впервые экспериментальное доказательство закона всемирного тяготениядля земных тел, а также числовое определение гравитационной постоянной G проведено английским физиком Г. Кавендишем (1731—1810). Принципиальная схема опыта Кавендиша, применившего крутильные весы,представлена на рис. 37. Легкое коромысло Aс двумя одинаковыми шариками массой m = 729 г подвешено на упругой нити В.На коромысле С укреплены на той же высоте массивные шары массой М=158 кг. Поворачивая коромысло С вокруг верти- кальной оси, можно изменять расстояние между шарами с массами m и М.Под действием пары сил, приложенных к шарам тсо стороны шаров M, коромысло Аповорачивается в горизонтальной плоскости, закручивая нить Вдо тех пор, пока момент сил упругости не уравновесит момента сил тяготения. Зная упру- гие свойства нити, по измеренному углу поворота можно найти возникающие силы притяжения, а так как массы шаров известны, то и вычислить значение GРис. 37Значение G,приводимое в таблицах фундаментальных физических по-стоянных, принимается равным 6,6720 ⋅ 10 -11 Н - м 2 /кг 2 , т. е. два точечных теламассой по 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, притяги- ваются с силой 6,6720⋅ 10 -11 H. Очень малая величина Gпоказывает, что силагравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс.§ 23. С ИЛА ТЯЖЕСТИ И ВЕС . Н ЕВЕСОМОСТЬНа любое тело, расположенное вблизи поверхности Земли, действует си-ла тяготения F,под влиянием которой и в согласии со вторым законом Ньюто- на тело начнет двигаться с ускорением свободного падения g.Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой тдействует силаP = mg,63называемая силой тяжести.Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному за-конуГалилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного паде- ния одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широ- той в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с 2 на полюсах. Это обуслов-лено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюс- нутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли рав- ны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений gневелико, ус- корение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с2 .Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то силатяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:Р = mg= F = GmM/R 2 ,где М— масса Земли; R— расстояние между телом и центром Земли. Эта формула дана для случая, когда тело находится на поверхности Земли.Пусть тело расположено на высоте А от поверхности Земли, R — радиус1Земли, тогдаР= GmM/(R 0 + h) 2 , т. е. сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается.В физике применяется также понятие веса тела. Весом тела называют си-лу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или под- вес), удерживающую тело от свободного падения. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g,т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием не- весомости.Таким образом, сила тяжести действует всегда,а веспроявляетсятольков том случае, когдана тело кроме силы тяжести действуют еще дру- гие силы,вследствие чего тело движется с ускорением а, отличным от g. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением а≠ g, то к этому телу при-ложена дополнительная сила N, удовлетворяющая условиюТогда вес телат. е, если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то а =0 и P' = mg. Если тело свободно движется в поле тяготенияпо любой траекто- рии и в любом направлении, то a = g и P′ = 0, т. е. тело будет невесомым. На-пример, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, сво-64бодно движущихся в космосе.§ 24. П ОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ И ЕГО НАПРЯЖЕННОСТЬЗакон тяготения Ньютона определяет зависимость силы тяготения отмасс взаимодействующих тел и расстояния между ними, но не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Тяготение принадлежит к особой группе взаимодействий. Силы тяготения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помо-щью поля тяготения,или гравитационного поля.Это поле порождается те- лами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяго- тения заключается в том, что на всякое тело массой /я, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т. е.F = mg. (24.1)Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения.Напряженность поля тяготенияопределяется силой, действующей со сторо- ны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряжен ность есть силовая характеристикаполя тя- готения.Поле тяготения называется однородным,если его напряженность во всехточках одинакова, и центральным,если во всех точках поля векторы напря- женности направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке (А), неподвижнойпо отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис. 38).Рис. 38Для графического изображения силового поля используются силовые ли-нии (линии напряженности).Силовые линии выбираются так, что вектор на- пряженности поля направлен по касательной к силовой линии.65§ 25. Р АБОТА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ . П ОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯОпределим работу, совершаемую силами поля тяготения при перемеще-нии в нем материальной точки массой т.Вычислим, например, какую надо за- тратить работу для удаления тела массой тот Земли. На расстоянии R(рис. 39) на данное тело действует силаПри перемещении этого тела на расстояние dRсовершается работа(25.1)Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случаепротивоположны по направлению (рис. 39).Рис. 39Если тело перемещать с расстояния R1 до R 2 ,то работа(25.2)Из формулы (25.2) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения независит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конеч- ным положениями тела, т. е. силы тяготениядействительно консервативны,а поле тяготения является потенциальным(см. § 12).Согласно формуле (12.2), работа, совершаемая консервативными силами,равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т.е.Из формулы (25.2) получаем(25.3)Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий вдвух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при66? ?R 2 →∞ равной нулю ? ? ? lim П 2 = 0 ? ? ? . Тогда (25.3) запишется в видеR 2 → ∞П 1 = — GmM/R 1 .Так как первая точка была выбрана произвольно , тоВеличинаявляется энергетической характеристикойполя тяготения и называетсяпотенциалом . Потенциал поля тяготения <р — скалярная величина , определяе -мая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля илиработой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконеч -ность . Таким образом , потенциал поля тяготения , создаваемого телом массойМ,равен(25.4)где R — расстояние от этого тела до рассматриваемой точки .Из формулы (25.4) вытекает , что геометрическое место точек с одинако -вым потенциалом образует сферическую поверхность (R = const). Такие по -верхности , для которых потенциал постоянен , называются эквипотенциальны -ми .Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом ( ? ) поля тяготения и его на -пряженностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует , что элементарная ра -бота dA,совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т,равнаС другой стороны , dA=F d l (d l — элементарное перемещение ). Учитывая(24.1), полу чаем , что dA=mgdl,т . е . mgdl= —md ? ,илиВеличина d ? /d l характеризует изменение потенциала на единицу длины внаправлении перемещения в поле тяготения . Можно показать , что(25.5)∂ ? ∂ ? ∂ ?где grad ? = i + j + k - градиент скаляра ? (см. (12.5)). Знак ми-∂ x ∂ y ∂ zнус в формуле (25.5) показывает, что вектор напряженности g направлен в сто- рону убыванияпотенциала.В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения,67рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте hотноси- тельно Земли:где R— радиус Земли. Так как0(25.6)то, учитывая условие h << R , получаем0Таким образом, мы вывели формулу, совпадающую с (12.7), которая по-стулировалась раньше.§ 26. К ОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИДля запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от по-ставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.Первой космической (или круговой) скоростью υ 1 называют такую ми-нимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом г, действует си- ла тяготения Земли, сообщающая ему нормальное ускорениеυ 2 1 /r .По второмузакону Ньютона,Если спутник движется вблизи поверхности Земли, тогда r ≈ Ro (радиусЗемли) и g=GM/R 0 2 (см. (25.6)), поэтому у поверхности ЗемлиПервой космической скорости недостаточно для того, чтобы тело могловыйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называ- ется второй космической.Второй космической (или параболической) скоростью v 2 называют тунаименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодо- леть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсут- ствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения:откуда68Третьей космическойскоростью v называют скорость, которую необхо-3димо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной систе- мы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v3 =16,7 км/с.Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной тех- нической задачей. Ее первое теоретическое осмысление начато К. Э. Циолков- ским, им была выведена уже рассмотренная нами формула (10.3), позволяющая рассчитывать скорость ракет.Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая — призапуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая — при запус- ке ракеты в 1959 г. После исторического полета Ю. А. Гагарина в 1961 г. начи- нается бурное развитие космонавтики.§ 27. Н ЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА .С ИЛЫ ИНЕРЦИИКак уже отмечалось (см. § 5, 6), законы Ньютона выполняются только винерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными.В не- инерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, обу- словленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы осо- бого рода — так называемые силы терцин.Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедливдля любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассмат- риваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции Fин при этом должны быть такими,чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а', каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е.Так как F = ma (а — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то(27.1)Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета от-носительно измеряемой системы, поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инерции при ускоренном по- ступательном движении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета; 3) силы инерции, дейст- вующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.Рассмотрим эти случаи. 1. Силы терцин при ускоренном поступательном движения системы6940). Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, вить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается силой реакции нити Т.Рис. 40Если тележку привести в поступательное движение с ускорением «о, тонить начнет отклоняться от вертикали назад до такого угла а, пока результи- рующая сила F = P + T не обеспечит ускорение шарика, равноеOQ . Таким обра-зом, результирующая сила F направлена в сторону ускорения тележки IQ и дляустановившегося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением а0 ) равна F = mgtg α = ma 0 ,откудат. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение те- лежки.Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся те-лежкой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой Fи , которая является ничем иным,как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Таким образом,(27.2)Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается вповседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, то пасса- жир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону и пассажир удаляется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном торможении поезда. Силы инерции проявля- ются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космиче- ских кораблей.2. Силы инерции, действующее на тело, покоящееся во вращающейсясистеме отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью ω ( ω—const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установлены маятники (на нитях подве- шены шарики массой т).При вращении маятников вместе с диском шарики от- клоняются от вертикали на некоторый угол (рис. 41).70Рис. 41В инерциальной системе отсчета, связанной, например, с помещением,где установлен диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Следовательно, на него действует сила, равная F = mω 2 Rи направленная перпендикулярно осивращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести Р и силы натя- жения нити Т: F = P + T. Когда движение шарика установится, то F = mgtgα =m ω 2 R,откудат.e. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстоя- ние Rот центра шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращенияω .Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, ша-рик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противо- положно направленной ей силой Fц , которая является ничем иным, как силойинерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила F ц , назы-ваемая центробежной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вра- щения диска и равна(27.3) Действие центробежных сил инерции подвергаются, например, пассажи-ры в движущемся транспорте на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центро- бежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) принимаются специальные меры для уравновешива- ния центробежных сил инерции.Из формулы (27.3) вытекает, что центробежная сила инерции, действую-щая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения сосистемы отсчета и радиуса71R, воне зависит от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета. Следовательно, центробежная сила инерции действует во вращающихся систе- мах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающей-ся системе отсчета. Пусть шарик массой тдвижется спостоянной скоростью v'вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (v' = const,ω = const, v' ⊥ω ).Если диск не вращается, то шарик, направленный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А,если же, диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОБ(рис. 42, а), причем его скорость v'относительно диска изменяет свое направление. Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скоро- сти v'.Рис. 42Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдольрадиуса, используем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на ко- тором шарик движется без трения равно мерно и прямолинейно со скоростью v' (рис. 42, б).При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относительно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравнове- шивается приложенной к шарику силой инерции F, перпендикулярной скоро-Kсти v'. Эта сила называется кориолисовой силой инерции.Можно показать, что сила Кориолиса *(27.4)Вектор F K перпендикулярен векторам скорости v ′ тела и угловой скоростивращения ω системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительновращающейся системы отсчета, например, относительно Земли. Поэтому дей- ствием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если те- ло движется в северном полушарии на север (рис. 43), то действующая на него сила Кориолиса, как это следует из выражения (27.4), будет направлена вправо* Г. Кориолис (1792—1843) — французский физик и инженер.72по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг, то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. По- этому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашива- ются быстрее, чем левые и т.д. Аналогично можно показать, что в южном по- лушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к движению.Рис. 43Благодаря силе Кориолиса, падающие на поверхность Земли тела откло-няются к востоку ( на широте 60 ° это отклонение должно составлять 1 см припадении с высоты 100 м). С силой Кориолиса связано поведение маятника Фу- ко, явившееся в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикаль- ного направления.Раскрывая содержание F ин в формуле (27.1), получим основной закондинамики для инерциальных систем отсчета:где силы инерции задаются формулами (27.2) — (27.4).Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываютсяне взаи-модействием тел, а ускоренным движением системы отсчета.Поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело дейст- вует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускоре- ние всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием меж- ду телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не выполняются.Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силыинерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы со-73хранения импульса, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инер- ции действуют только в неинерциальных системах. В инерциальных системах отсчета таких сил не существует.Возникает вопрос о «реальности» или «фиктивности» сил инерции. Вньютоновской механике, согласно которой сила есть результат взаимодействия тел, на силы инерции можно смотреть как на «фиктивные», «исчезающие» в инерциальных системах отсчета. Однако возможна и другая их интерпретация. Так как взаимодействия тел осуществляются посредством силовых полей, то силы инерции рассматриваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать «реаль- ными». Независимо от того, рассматриваются ли силы инерции в качестве «фиктивных» или «реальных», многие явления, о которых упоминалось в на- стоящем параграфе, объясняются с помощью сил инерции.Силы инерции, действующие на тела в неинерциальной системе отсчета,пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим те- лам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможноразличить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точ- но так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить одно- родное поле тяготения от однородного поля сил инерции.Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основепринципа эквивалентности гравитационных сип и сил инерции (принципа эк- вивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происхо- дят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если на- пряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот прин- цип является основой общей теории относительности.З АДАЧИ5.1. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, сопри-касаясь друг с другом, притягиваются. Определить, как изменится сила притя- жения, если массу шаров увеличить в n=4 раза. [Возрастет в 6,35 раза]5.2. Плотность вещества некоторой шарообразной планеты составляет 3г/см 3 . Каким должен быть период обращения планеты вокруг собственной оси,чтобы на экваторе тела были невесомыми? [r = √ 3 π /(G p )=1,9 ч]5.3. Определить, в какой точке (считая of Земли) на прямой, соединяю-щей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Рас- стояние между центрами Земли и Луны равно R,масса Земли в 81 раз больше74массы Луны. [0,9 R]5.4. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала сопри-касаются друг с другом. Определить, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимодействия, если массу шаров увеличить в четыре раза. [Возрастет в 14,6 раза]5.5. Два спутника одинаковой массы движутся вокруг Земли по круговыморбитам радиусов R 1 и R 2 .Определить: 1) отношение полных энергий спутни-ков (Е 1 /Е 2 ); 2) отношение их моментов импульса (L 1 /L 2 ).[1) R 2 /R 1 ; 2) R 2 R 1 ]5.6. Вагон катится вдоль горизонтального участка дороги. Сила трениясоставляет 20% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик мас- сой 10 г. Определить: 1) силу, действующую на нить; 2) угол отклонения нити от вертикали. [1) 0,10 Н; 2) 11°35']5.7. Тело массой 1,5 кг, падая свободно в течение 5 с, попадает на Землюв точку с географической широтой ? =45°. Учитывая вращение Земли, нарисо-вать и определить все силы, действующие на тело в момент его падения на Землю. [1) 14,7 Н; 2) 35,7 Н; 3) 7,57 мН]75ГЛАВА 6 ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ§ 28. Д АВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ И ГАЗЕМолекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не свя-заны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся разлететься во все стороны, за- полняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.Жидкость же, имея определенный объем, принимает форму того сосуда, вкоторый она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекула ми остается практически постоянным, поэтому жидкость об- ладает практически неизменным объемом.Свойства жидкостей и газов во многом отличаются, однако в ряде меха-нических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика — раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие меж- ду собой и обтекаемыми ими твердыми телами, — использует единый подходк изучению жидкостей и газов.В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматрива-ются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части про- странства. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта из- вестно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренеб- речь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то частижидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каж- дый ее элемент Д5 с силами AF, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно пло- щадке? S, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости вдвижение (рис. 44).Рис. 44Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со76стороны жидкости на единицу площади, называется давлением ржидкости:Единица давления — паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемомусилой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности пло- щадью 1 м2 (1 Па=1 Н/м 2 ).Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паска-ля * : давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направ-лениям, при чем давление одинаково передается по всему объему, занятому по- коящейся жидкостью.Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутрипокоящейся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свобод- ная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении Sстолба жид кости, его высоте h и плотностиρвес P = ρ gSh,а давление на нижнее основание(28.1)т. е. давление изменяется линейно с высотой. Давление ρ ghназываетсягидростатическим давлением.Согласно формуле (28.1), сила давления на нижние слои жидкости будетбольше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, определяемая законом Архимеда:на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):где ρ — плотность жидкости, V— объем погруженного в жидкость тела.§ 29. У РАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИДвижение жидкостей называется течением,а совокупность частиц дви-жущейся жид кости — потоком.Графически движение жидкостей изображает- ся с помощью линий тока,которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким обра- зом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жид-* Б. Паскаль (1623—1662) — французский ученый.77кости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.Рис. 45Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.Течение жидкости называется установившимся(или стационарным),если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S и S ,пер-1 2пендикулярные направлению скорости (рис. 46).Рис. 46За время? t через сечение Sпроходит объем жидкости Sv ? t; следователь-но, за 1 с через S 1 пройдет объем жидкости S 1 v 1 ,где v 1 — скорость теченияжидкости в месте сечения S 1 .Через сечение S 2 за 1 с пройдет объем жидкостиS 2 v 2 ,где v 2 — скорость течения жидкости в месте сечения S 2 . Здесь предполага-ется, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (ρ =const), то через сечение S 2 пройдет такой же объем жидкости, как и черезсечение S 1ъ т. е.(29.1)Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкостина поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной труб- ки тока. Соотношение (29.1) называется уравнением неразрывностидля не- сжимаемой жидкости.78§ 30. У РАВНЕНИЕ Б ЕРНУЛЛИ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГОВыделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абст-ракция,т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S 2 , по которой слева напра-во течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S скорость течения v ,дав-1 1ление p 1 и высота, на которой это сечение расположено, h 1 .Аналогично, в местесечения S 2 скорость течения v 2 , давление p 2 и высота сечения h 2 .За малый про-межуток времени ? t жидкость перемещается от сечения S 1 к сечению S ′ 1 , от S 2к S ′ 2 .Рис. 47Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е2 —Е 1идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе Авнешних сил по перемещению массы тжидкости:(30.1)где Е 1 и Е 2 — полные энергии жидкости массой тв местах сечений S 1 иS 2 соответственно.С другой стороны, А— это работа, совершаемая при перемещении всейжидкости, заключенной между сечениями S 1 и S 2 , за рассматриваемый малыйпромежуток времени ? t. Для перенесения массы тот S 1 до S 2 жидкость должнапереместиться на расстояние l = v ? t и от S до S — на расстояние l =v ? t.1 1 2 2 2 2Отметим, что l 1 и l 2 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных нарис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления ри высоты h. Следовательно,(30.2)где F 1 = p 1 S 1 и F 2 = —p 2 S 2 (отрицательна, так как направлена в сторону,противоположную течению жидкости; рис. 47).Полные энергии E 1 и E 2 будут складываться из кинетической и потенци-79(30.3)(30.4)Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим(30.5)Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1),объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.Разделив выражение (30.5) на? V, получимгдеρ — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произволь-но, то можем записать(30.6)Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернуллн.Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.Величина рв формуле (30.6) называется статическим давлением(дав-ление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина pv 2 /2 — дина-мическим давлением.Как уже указывалось выше (см. § 28), величина pgh представляет собой гидростатическое давление.Для горизонтальной трубки тока (h 1 = h 2 выражение (30.6) принимает вид(30.7)где p + pv 2 /2 называется полным давлением.Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравне-ния неразрывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонталь- ной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров(рис. 48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает,80что в манометрической трубке В,прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А я С,прикрепленных к широ- кой части трубы.Рис. 48Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидко-сти (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидко- сти. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы кото- рых присоединены к манометру. C помощью одной из трубок измеряется пол- ное давление (р0 ),спомощью другой — статическое (р).Манометром измеряютразность давлений:(30.8)гдеρ 0 — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласноуравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динами- ческому давлению:(30.9)Рис. 49Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:81Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока боль-ше, положено в основу работы водоструйного насоса(рис. 50). Струя воды по- дается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давле- ние устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с боль- шой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воз- дух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133,32 Па).Рис. 50Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истеченияжидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндриче- ский сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 51).Рис. 51Рассмотрим два сечения (на уровнеAI свободной поверхности жидкости в82сосуде и на уровне А 2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:Так как давления р1 и p 2 в жидкости на уровнях первого и второго сече-ний равны атмосферному, т. е. р 1 = р 2 ,то уравнение будет иметь видИз уравнения неразрывности (29.1) следует, что v 2 /v 1 = S 1 /S 2 ,где S 1 и S 2— площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S 1 >> S 2 ,то членомv 2 1 /2можно пренебречь иЭто выражение получило название формулы Торричелли * .§ 31. В ЯЗКОСТЬ ( ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ ). Л АМИНАРНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙВязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей ока-зывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно дру- гой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхно- сти слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движуще- гося быстрее, на слой, движущийся медлен нее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, дей- ствует тормозящая сила.Сила внутреннего трения F тем больше, чем больше рассматриваемаяплощадь поверхности слоя S(рис. 52), и зависит от того, насколько быстро ме- няется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. На рисунке представлены два слоя, отстоящие друг от друга на расстоянии? х и движущие-ся со скоростями v 1 и v 2 . При этом v 1 — v 2 = ? v. Направление, в котором отсчи-тывается расстояние между слоями, перпендикулярноскорости течения слоев. Величина — показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х,перпендикулярном направлению движения слоев, и на- зывается градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего тре- ния83(31.1)где коэффициент пропорциональности η ,зависящий от природы жидко-сти, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью).Единица вязкости — паскаль-секунда (Па ⋅ с): 1 Па ⋅ с равен динамическойвязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с мо- дулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения 1 Н на 1 м2 по-верхности касания слоев (1 Па ⋅ с =1 Н ⋅ с/м 2 ).Рис. 52Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тембольшие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от темпе- ратуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостейη сувеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот,увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего тре- ния. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вяз- кость касторового масла в интервале 18—40°С падает в четыре раза. Россий- ский физик П. Л. Капица (1894—1984; Нобелевская премия 1978 г.) открыл, что при температуре 2,17 К жидкий гелий переходит в сверхтекучее состояние, в котором его вязкость равна нулю.Существует два режима течения жидкостей. Течение называется лами-нарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой сколь- зит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихре- вым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и переме- шивание жидкости (газа).Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях еедвижения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в ко- торой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их рас- стояние до поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, дви- жущийся вдоль оси трубы.84При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляю-щие скоростей, перпендикулярные течению, поэтому они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем изменяется довольно незначительно. Так как частицы жидкости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в раз- личных слоях мало отличаются. Из-за большого градиента скоростей у поверх- ности трубы обычно происходит образование вихрей.Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах (рис.53) отличается от параболического профиля при ламинарном течении более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в цен- тральной части течения. Характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса (О.Рейнольде (1842—1912) — английский уче- ный):где v = η /p— кинематическая вязкость; ρ — плотность жидкости; <v> —средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы.Рис. 53При малых значениях числа Рейнольдса (Re ? 1000) наблюдается лами-нарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 ? Re ? 2000, а при Re = 2300 (для гладких труб) течение — турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков.§ 32. М ЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ 1. Метод Стокса* . Этот метод определения вязкости основан на измере-нии скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы:* Дж. Стоке (1819—1903) — английский физик и математик.85сила тяжести Р = 4/3 π r 3 ρ g( ρ — плотность шарика), сила Архимеда F A =4/3 π r 3 ρ′ g ( ρ '— плотность жидкости) и сила сопротивления, эмпирически уста-новленная Дж. Стоксом: P = 6 πη rv,где г — радиус шарика, v — его скорость.При равномерном движении шарикаоткудаИзмерив скорость равномерного движения шарика, можно определитьвязкость жид кости (газа).2. Метод Пуазейля ** .Этот метод основан на ламинарном течении жид-кости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом Rи длиной /. В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr (рис. 54). Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую по- верхность этого слоя,где dS— боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означа-ет, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.Рис. 54Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, дейст-вующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей иа его основание:После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипаниежидкости, т. е. скорость на расстоянии Rот оси равна нулю, получаем** Ж. Пуазейль (1799—1868) — французский физиолог и физик.86Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по пара-болическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис. 53). За время tиз трубы вытечет жидкость, объем которойоткуда вязкость§ 33. Д ВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХОдной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследованиедвижения твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с кото- рыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов. На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим R), одна из которых (R) направле-xна в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока), — лобовое сопротивление,а вторая (R,) перпендикулярна этому направлению — подъем- ная сила(рис. 55).Рис. 55Если тело симметрично и его ось симметрии совпадает с направлениемскорости, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать, что в идеальной жидкости87равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Если рассмот- реть движение цилиндра в такой жидкости (рис. 56), то картина линий тока симметрична как относительно прямой, проходящей через точки Аи В,так и относительно прямой, проходящей через точки С и D,т.е. результирующая си- ла давления на поверхность цилиндра будет равна нулю.Рис. 56Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно приувеличении скорости обтекания). Вследствие вязкости среды в области, приле- гающей к поверхности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя возни- кает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончающейся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидкости (газа), направленное противопо- ложно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противоположные стороны (рис. 57).Рис. 57Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относи-тельно потока, что учитывается безразмерным коэффициентом сопротивления Сx ,определяемым экспериментально:(33.1)88где ρ — плотность среды; v — скорость движения тела; S— наибольшеепоперечное сечение тела.Составляющую R x можно значительно уменьшить, подобрав тело такойформы, которая не способствует образованию завихрения.Подъемная сила может быть определена формулой, аналогичной (33.1):где Су — безразмерный коэффициент подъемной силы.Для крыла самолета требуется большая подъемная сила при малом лобо-вом сопротивлении (это условие выполняется при малых углах атаки α (угол кпотоку); см. рис. 55). Крыло тем лучше удовлетворяет этому условию, чем больше величина К = Су /С х ,называемая качеством крыла. Большие заслуги вконструировании требуемого профиля крыла и изучении влияния геометриче- ской формы тела на коэффициент подъемной силы принадлежат «отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921).З АДАЧИ6.1. Полый железный шар (р=7,87 г/см 3 ) весит в воздухе 5 И, а в воде( ρ '=1 г/см 3 ) — 3 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определитьобъем внутренней полости шара. [139 см 3 ]6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания 5=1 м 2 и объемомК=3 м 3 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить время (, не-обходимое для опустошения бака, если на дне бака образовалось круглое от- верстие площадью S] = 10 см2 .6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой H = 5 м, име-ет форму усеченного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечения d1=6 см, верхнего —d 2 = 2 см. Высота сопла hА=1 м. Пренебрегая сопротивле-нием воздуха в струе и сопротивлением в сопле, определить: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном; 2) разность? р давления в нижнем сечении и атмо-сферного давления. Плотность воды ρ =1 г/см 3 . [1) 2 gH π d 2 4 = 3 , 1 × 10 − 3 м 3 /с;( )2) ? p = ρ gh + ρ gH 1 − d 4 2 d 1 4 = 58 , 3 кПа ]6.4. На горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд , в бо -ковой поверхности которого имеется отверстие . Поперечное сечение отверстиязначительно меньше поперечного сечения самого сосуда . Отверстие располо -89жено на расстоянии h 1 =64 см ниже уровня воды в сосуде, который поддержи-вается постоянным, и на расстоянии h 2 =25 см от дна сосуда. Пренебрегая вяз-костью воды, определить, на каком расстоянии по горизонтали от сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см]6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность ρ =1.2 г/см 3 ),падает с установившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик ( ρ '=2,7 г/см 3 )диаметром 1 мм. Определить динамическую вязкость глицерина. [1,6 Па-с]6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного настоле, вставлен на высоте h =5 см от его дна капилляр внутренним диаметром1d=2мм и длиной l=1 см. В сосуде поддерживается постоянный уровень машин- ного масла (плотностьρ = 0,9 г/см 3 и динамическая вязкость η =0,1 Па ⋅ с) на вы-соте h =80 см выше капилляра. Определить, на каком расстоянии по горизонта-2ли от конца капилляра падает на поверхность стола струя масла, вытекающая из отверстия. [r = d 2 ρ h 2 2 gh ( 32 l η ) = 8 , 9 см ]16.7. Определить наибольшую скорость , которую может приобрести сво -бодно падающий в воздухе ( ρ =1,29 г / см 3 ) стальной шарик ( ρ '=9 г / см 3 ) массойm=20 г . Коэффициент С х принять равным 0,5. [94 см / с ]90ГЛАВА 7ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ)ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ§ 34. П РЕОБРАЗОВАНИЯ Г АЛИЛЕЯ .М ЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В классической механикесправедлив механический принцип относитель-ности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета: инерциальнуюсистему К (скоординатами х, у, z),которую условно будем считать неподвиж- ной, и систему К'(с координатами х′ , у', z ′ ),движущуюся относительно Крав-номерно и прямолинейно со скоростью u (u = const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произволь- ный момент времени tрасположение этих систем друг относительно друга име- ет вид, изображенный на рис. 58. Скорость о направлена вдоль ОО',радиус- вектор, проведенный из О в О', г0 = ut.Рис. 58Найдем связь между координатами произвольной точки Ав обеих систе-мах. Из рис. 58 видно, чтоУравнение (34.1) можно записать в проекциях на оси координат: Уравнения (34.1) и (34.2) носят название преобразований координат91Галилея.В частном случае, когда система К'движется со скоростью v вдоль поло-жительного направления оси хсистемы К(в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют видВ классической механике предполагается, что ход времени не зависит ототноси тельного движения систем отсчета, т. е. к преобразованиям (34.2) можно добавить еще одно уравнение:(34.3)Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической ме-ханики (и«с), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца* (§ 36).Продифференцировав выражение (34.1) по времени (с учетом (34.3)), по-лучим уравнение(34.4)которое представляет собой правило сложения скоростей в классической механике.Ускорение в системе отсчета К Таким образом, ускорение точки Ав системах отсчета К и К',движущих-ся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково:а = а'. (34.5)Следовательно, если на точку Адругие тела не действуют (а=0), то, со-гласно (34.5), и а' = 0, т. е. система К'является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).Таким образом, из соотношения (34.5) вытекает подтверждение механи-ческого принципа относительности: уравнения динамики при переходе от од- ной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т. е. являются ин- вариантными по отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или дви- жется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движуще- гося равномерно и прямолинейна, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.* Х. Лоренц (1853—1928) — нидерландский физик-теоретик.92§ 35. П ОСТУЛАТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ( ЧАСТНОЙ ) ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИКлассическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макро-тел, движущихся с малыми скоростями (v ? c).Однако в конце XIX в. выясни- лось, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заряженных частиц ока- залось, что их движение не подчиняется законам механики. Далее возникли за- труднения при попытках применить механику Ньютона к объяснению распро- странения света. Если источник и приемник света движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, то, согласно классической механике, изме- ренная скорость должна зависеть от относительной скорости их движения. Американский физик А. Майкельсон (1852—1913) в 1881 г.,а затем в 1887 г. совместно с Е. Морли (американский физик, 1838—1923) пытался обнаружить движение Земли относительно эфира (эфирный ветер) — опыт Майкельсона — Морли , применяя интерферометр, названный впоследствии интерферометром Майкельсона (см. § 175). Обнаружить эфирный ветер Майкельсону не удалось, как, впрочем, не удалось его обнаружить и в других многочисленных опытах. Опыты «упрямо» показывали, что скорости света в двух движущихся друг от- носительно друга системах равны. Это противоречило правилу сложения ско- ростей классической механики.Одновременно было показано противоречие между классической теориейи уравнениями (см. § 139) Дж. К. Максвелла (английский физик, 1831—1879), лежащими в основе понимания света как электромагнитной волны.Для объяснения этих и некоторых других опытных данных необходимобыло создать новую механику, которая, объясняя эти факты, содержала бы ньютоновскую механику как предельный случай для малых скоростей (««с). Это и удалось сделать А. Эйнштейну, который пришел к выводу о том, что ми- рового эфира — особой среды, которая могла бы быть принята в качестве абсо- лютной системы, — не существует. Существование постоянной скорости рас- пространения света в вакууме находилось в согласии с уравнениями Максвелла.Таким образом, А. Эйнштейн заложил основы специальной теории отно-сительности. Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской меха- нике, предполагается, что время однородно (см. § 13), а пространство однород- но (см. § 9) и изотропно (см. § 19). Специальная теория относительности часто называется также релятивистской теорией, а специфические явления, описы- ваемые этой теорией, — релятивистскими эффектами.В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйн-штейна, сформулированные им в 1905 г.I. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электри-ческие, оптические), проведенные внутри данной инерциальной системы отсче- та, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантныпо отношению93к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.П. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакуу-мене зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одина- кова во всех инерциальных системах отсчета.Первый постулат Эйнштейна, являясь обобщением механического прин-ципа относительности Галилея на любые физические процессы,утверждает, та- ким образом, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описывающие эти законы, одина- ковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Согласно этому посту- лату, все инерциальные системы от счета совершенно равноправны, т. е. явле- ния (механические, электродинамические, оптические и др.) во всех инерци- альных системах отсчета протекают одинаково.Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света— фундаментальное свойство природы,которое констатируется как опытный факт.Специальная теория относительности потребовала отказа от привычныхпредставлений о пространстве и времени, принятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолютное время.Постулаты Эйнштейна и теория, построенная на их основе, установилиновый взгляд на мир и новые пространственно-временные представления, та- кие, например, как относительность длин и промежутков времени, относитель- ность одновременности событий. Эти и другие следствия из теории Эйнштейна находят надежное экспериментальное подтверждение, являясь тем самым обос- нованием постулатов Эйнштейна — обоснованием специальной теории относи- тельности.§ 36. П РЕОБРАЗОВАНИЯ Л ОРЕНЦААнализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйн-штейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классиче- ские преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам теории от- носительности.Для иллюстрации этого вывода рассмотрим две инерциальные системыотсчета: К(с координатами х, у,z) и К'(с координатами х ′ , у ′ ,z ′ ) движущуюсяотносительно К(вдоль оси х)со скоростью v = const (рис. 59). Пусть в началь- ный момент времени t = t' = 0, когда начала координат Ои О'совпадают, излу- чается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна, скорость света в обеих системах одна и та же и равна с.Поэтому если за время tв систе- ме Ксигнал дойдет до некоторой точки А(рис. 59), пройдя расстояниех= ct, (36.1)94то в системе К'координата светового импульса в момент достиженияточки Ах'= ct', (36.2)где t'— время прохождения светового импульса от начала координат доточки Ав системе К'.Вычитая (36.1) из (36.2), получаемх' - х= c(t' - t). Так как x ′ ≠ x(система К'перемещается по отношению к системе К),тот. е. отсчет времени в системах Ки К'различен — отсчет времени имеетотносительный характер(в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т. е. t = t').Рис. 59Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобра-зования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы от- счета к другой:заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйн- штейна (формулы представлены для случая, когда К'движется относительно К со скоростью v вдоль оси х).Эти преобразования предложены Лоренцем в 1904 г., еще до появлениятеории относительности, как преобразования, относительно которых уравнения Максвелла (см. § 139) инвариантны.Преобразована Лоренцаимеют вид95(36.3)Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны иотличаются лишь знаком при v. Это очевидно, так как если скорость движения системы К'относительно системы Кравна v, то скорость движения Котноси- тельно К'равна — V.Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (посравнению со скоростью с),т. е. когда β ? 1, они переходят в классическиепреобразования Галилея (в этом заключается суть принципасоответствия), ко- торые являются, следовательно, предельным случаем преобразований Лоренца. При v > cвыражения (36.3) для х, t, x′ , t'теряют физический смысл (становятсямнимыми). Это находится, в свою очередь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распространения света в вакууме, невозможно.Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что какрасстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не из- меняющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространст- венные, так и временные преобразования (см. (36.3)) не являются независимы- ми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон пре- образования времени — пространственные координаты, т. е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким об разом, теория Эйнштейна опе- рирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и времен- ные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.§ 37. С ЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Л ОРЕНЦА1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в сис-теме Кв точках с координатами х 1 и х 2 в моменты времени t 1 и t 2 происходятдва события. В системе К'им соответствуют координаты х ′ 1 и х' 2 и моментывремени t' , и t ′ . Если события в системе К происходят в одной точке (x = x )1 2 1 2и являются одновременными (t 1 = t 2 ),то, согласно преобразованиям Лоренца96(36.3),т. е. эти события являются одновременными и пространственно совпа-дающими для любой инерциальной системы отсчета.Если события в системе К пространственно разобщены (х 1 ≠ x 2 ), но од-новременны (t 1 = t 2 ), то в системе К',согласно преобразованиям Лоренца(36.3),Таким образом, в системе К'эти события, оставаясь пространственноразобщенными, оказываются и неодновременными.Знак разности t ′ 2 – t ′ 1 опре-деляется знаком выражения v(x 1 —x 2 ),поэтому в различных точках системыотсчета К'(при разных v) разность t ′ 2 – t ′ 1 будет различной по величине и можетотличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, на- оборот, второе событие предшествует первому. Сказанное, однако, не относит- ся к причинно-следственным событиям, так как можно показать, что порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некото-рой точке (с координатой х),покоящейся относительно системы К,происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события)τ = t 2 – t 1 , где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события.Длительность этого же события в системе К'(37.1)причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют (37.2)Подставляя (37.2) в (37.1), получаем97или(37.3)Из соотношения (37.3) вытекает, что τ < τ′ , т. е. длительность события,происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.Этот результат мо- жет быть еще истолкован следующим образом: интервал времениτ′ , отсчитан-ный по часам в системе К',с точки зрения наблюдателя в системе К,продолжи- тельнее интервалаτ , отсчитанного по его часам. Следовательно, часы, движу-щиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоя- щихся часов,т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно кото- рой часы движутся. На основании относительности понятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения дляτ и τ ' обратимы. Из (37.3) следует, чтозамедление хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости распространения света в вакууме.В связи с обнаружением релятивистского эффекта замедления хода часовв свое время возникла проблема «парадокса часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая многочисленные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический космический полет к звезде, находя- щейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли доходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света( 1 − β 2 = 0 , 001 ). По земным часам полет до звезды и обратно продлится 1000лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешест- вие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю в1 1 − β 2 раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Этоявление, получившее название парадокса близнецов, в действительности пара- докса не содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает рав- ноправность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассуждения состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система инерциальна, а корабельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно ре-альным в получил экспериментальное подтверждение при изучении нестабиль- ных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах сπ -мезонами. Среднее время жизни покоящихся π -мезонов (по часам, движущимсявместе с ними) τ ≈ 2,2 ⋅ 10 -8 с. Следовательно, π -мезоны, образующиеся в верх-них слоях атмосферы (на высоте ≈ 30 км) и движущиеся со скоростью, близкойк скорости с,должны были бы проходить расстояния с τ ≈ 6,6м, т. е. не моглибы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объяс-98няется это релятивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок жизниπ -мезона τ ′ = τ 1 − β 2 ,а путь этих частиц в атмосфе-ре v τ ′ = β c τ ′ = β c τ 1 − β 2 .Так как β ≈ 1, то v τ ' ? с τ .3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, распо-ложенный вдоль оси x ′ и покоящийся относительно системы К'.Длина стержняв системе К'будет l ′ 0 = x ′ 1 - х' 2 где х ′ 1 и х' 2 — не изменяющиеся со временем t'координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе от- счета К'стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К,отно- сительно которой он движется со скоростью V. Для этого необходимо измерить координаты его концов х1 и х 2 в системе К в один и тот же момент времени t.Их разность l = x 2 – x 1 и определяет длину стержня в системе К.Используя пре-образования Лоренца (36.3), получимт. е(37.4)Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно ко-торой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относи- тельно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К,то, определяя его длину в системе К',опять-таки придем к выражению (37.4).Из выражения (37.4) следует, что линейный размер тела, движущегосяотносительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении дви- жения в раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длинытем больше, чем больше скорость движения.Из второго и третьего уравнений преобразова- ний Лоренца (36.3) следует, чтот. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения иодинаковы во всех инерциальных системах отсчета.Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относитель- но которой тело покоится.4.Релятивистский закон сложения скоростей.Рассмотрим движениематериальной точки в системе К',в свою очередь движущейся относительно системы Ксо скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К.Ес- ли в системе Кдвижение точки в каждый момент времени / определяется коор- динатами х, у, z,а в системе К'в момент времени t'— координатами х', у', z',топредставляют собой соответственно проекции на оси х, у, zи х', у', z'вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем Ки К'.Согласно преоб- разованиям Лоренца (36.3),99Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистскийзакон сложения скоростей специальной теории относительности:(37.5)Если материальная точка движется параллельно оси х,то скорость иот-носительно системы Ксовпадает с и х ,а скорость u' относительно К'— с и' х .То-гда закон сложения скоростей примет вид(37.6)Легко убедиться в том, что если скорости v, и'и ималы по сравнению соскоростью с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике (см. (34.4)). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае дня малых скоростей (по сравнению со скоро- стью распространения света в вакууме) переходят в законы классической физи- ки, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постула-ту Эйнштейна (см. § 35). Действительно, если u ′ = c, то формула (37.6) приметвид u = c + v = c ( аналогично можно показать , что при и = с скорость и ' так -1 + cv cже равна с ). Этот результат свидетельствует о том , что релятивистский законсложения скоростей находится в согласии с постулатами Эйнштейна .Докажем также , что если складываемые скорости сколь угодно близки кскорости с , то их результирующая скорость всегда меньше или равна с . В каче -стве примера рассмотрим предельный случай u ′ =v = c. После подстановки вформулу (37.6) получим u = с . Таким образом , при сложении любых скоростейрезультат не может превысить скорости света с в вакууме . Скорость света ввакууме есть предельная скорость , которую невозможно превысить . Скоростьсвета в какой - либо среде , равная с /n (n — абсолютный показатель преломлениясреды ), предельной величиной не является ( подробнее см . § 189).100• Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе преобразований Лоренца ?• Одновременны ли события в системе К ', если системе К они происходят в одной точке е иодновременны ? в системе К события разобщены , но одновременны ? Обосновать ответ .• Какие следствия вытекают из специальной теории относительности для размеров тел идлительности событий в разных системах отсчета ? Обосновать ответ .• При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит25%?•В чем состоит « парадокс близнецов » и как в го разрешить ?• В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей ? Как показать , что он находитсясогласии с постулатами Эйнштейна ? §38. И НТЕРВАЛ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИПреобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об отно-сительности длин и промежутков времени, значение которых в различных сис- темах отсчета разное. В то же время относительный характер длин и промежут- ков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компо- нентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы от- счета, т. е. являющейся инвариантнойпо отношению к преобразованиям коор- динат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (х, у, z, t),такой физической величи- ной является интервал между двумя событиями:(38.1)где ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 = l 12 — расстояние между точкамитрехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначе- ние t12 = t 2 – t 1 получимПокажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инер-циальных системах отсчета. Обозначив ? t = t – t , ? x = x – x , ? y = y – y и ? z2 1 2 1 2 1= z 2 – z 1 выражение (38.1) можно записать в видеИнтервал между теми же событиями в системе К ' равен(38.2)Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),101Подставив эти значения в (38.2), после элементарных преобразований по-лучим, что ( ) s ′ 12 2 = c 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ? t 2 − ? x 2 − ? y 2 − ? z 2 , т. е.Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал,определяя пространственно-временные соотношения между событиями, явля- ется инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к дру- гой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.Теория относительности, таким образом, сформулировала новое пред-ставление о пространстве и времени. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея — Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Кроме того, инвариант- ность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что простран- ство и время органически связаны между собой и образуют единую форму су- ществования материи — пространство-время. Пространство и время не сущест- вуют вне материи и независимо от нее.Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория относи-тельности, или теория тяготения) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не явля- ется евклидовой (т. е. не зависящей от размеров области пространства- времени), а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентра- ции масс в этих областях и их движения.§ 39. О СНОВНОЙ ЗАКОН РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИМасса движущихся релятивистскихчастиц зависит от их скорости:(39.1)где т 0 — масса покоя частицы, т. е. масса, измеренная в той инерциаль-ной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; с— скорость света в вакууме; т— масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.Из принципа относительности Эйнштейна (см. § 35), утверждающего ин-вариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной сис- темы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона102оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импуль- са.Основной закон релятивистской динамикиматериальной точки имеет видилигде- релятивистский импульсматериальной точки. Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнениемньютоновской механики (6.7). Однако физический смысл его другой: справа стоит производная по времени от релятивистского импульса,определяемого формулой (39.4). Таким образом, уравнение (39.2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относи- тельности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являют- ся инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не сов- падает по направлению с силой.В силу однородности пространства(см. § 9) в релятивистской механикевыполняется закон сохранения релятивистского импульса:релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением време- ни. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с,то можно использо- вать только релятивистское выражение для импульса.Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, зна-чительно меньших скорости с,уравнение (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классической механики. Следовательно, условием применимости за- конов классической (ньютоновской) механики является условие v«c.Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v«c(формально пере ход осуществляется при с→ ∞ ). Та-ким образом, классическая механика— это механика макротел, движущихся с малыми скоростями(по сравнению со скоростью света в вакууме).Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (39.1)103является подтверждением справедливости специальной теории относительно- сти. В дальнейшем (см. § 116) будет показано, что на основании этой зависимо- сти производятся расчеты ускорителей.• Как определяется интервал между событиями ? Доказать , что он является инвариантом при пере -ходе от одной инерциальной системы отсчета к другой .• Какой вид имеет основной закон релятивистской динамики ? Чем он отличается от основного за -кона ньютоновской механики ?• В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса ?§ 40. З АКОН ВЗАИМОСВЯЗИ МАССЫ И ЭНЕРГИИНайдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Раньше (§ 12)было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:(40.1)Учитывая, что dr = vdt, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получаемПреобразовав данное выражение с учетом того, что vdv =υ d υ , и форму-лы (39.1), придем к выражению(40.2)т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально прираще- нию ее массы.Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее мас-са равна массе покоя т 0 ,то, проинтегрировав (40.2), получим(40.3)или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет видВыражение (40.4) при скоростях υ ? cпереходит в классическое:(40.4)(разлагая в ряд ( 1 − υ 2 c 2 ) − 1 / 2 = 1 + 1 2 ⋅ υ c 2 2 + 8 3 ⋅ υ c 4 4 при v ? c,правомерно пре-небречь членами второго порядка малости).104А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справед-ливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии, а именно любое изменение массы Д/я сопровождается изменением полной энер- гии частицы,(40.5)Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между пол-ной энергией тела Еи его массой т:(40.6)Уравнение (40.6), равно как и (40.5), выражает фундаментальный законприроды— за кон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в ва- кууме. Отметим, что в полную энергию Ене входит потенциальная энергия те- ла во внешнем силовом поле. Закон (40.6) можно, учитывая выражение (40.3), записать в видеоткуда следует, что покоящееся тело (Г=0) также обладает энергиейназываемой энергией покоя.В классической механике энергия покоя £о не учитывается, считая, что приυ = 0 энергия покоящегося тела равна нулю.В силу однородности времени(см. § 13) в релятивистской механике, каки в классической, выполняется закон сохранения энергии:полная энергия замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.Из формул (40.6) и (39.4) найдем релятивистское соотношение междуполной энергией и импульсом частицы:(40.7)Возвращаясь к уравнению (40.6), отметим еще раз, что оно имеет универ-сальный характер.Оно применимо ко всем формам энергии, т. е. можно ут- верждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана массаm = E (40.8)c 2и, наоборот, со всякой массой связана энергия (40.6).Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), вводят понятие энергии связи. Энергия свози системыравна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (на- пример, атомное ядро — на протоны и нейтроны). Энергия связи системы(40.9)105где m 0i , — масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; М 0 — массапокоя системы, состоящей из n частиц.Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще под-твержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реак- ций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядер- ных реакциях и превращениях элементарных частиц.Рассматривая выводы специальной теории относительности, видим, чтоона, как, впрочем, и любые крупные открытия, потребовала пересмотра многих установившихся и ставших привычными представлений. Масса тела не остает- ся постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не являются абсолютными величинами, а носят относительный харак- тер; наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.Основной вывод теории относительности сводится к тому, что простран-ство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существо- вания материи — пространство-время. Только поэтому пространственно- временной интервал между двумя событиями является абсолютным, в то время как пространственные и временные промежутки между этими событиями отно- сительны. Следовательно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространственно-временных соотношений движущейся материи.• Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике ? При каком условии релятиви -стская формула для кинетической энергии переходит в классическую формулу ?• Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии . В чем его физическая сущ -ность ? Приведите примеры его экспериментального подтверждения .З АДАЧИ7.1.Определить собственную длину стержня (длину, измеренную в сис-теме, относительно которой стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с измерительными приборами) его скорость v = 0,8 с, длина l = 1 м и угол между ним и направлением движенияθ =30°.[ l 0 = l ? ? ? ? 1 − υ c 2 2 sin 2 θ ? ? ? ? ? ? ? ? 1 − υ c 2 2 ? ? ? ? = 1 , 53 м ]7.2.Собственное время жизни частицы отличается на 1.5% от временижизни по неподвижным часам . Определить β = υ / с . [0,172]7.3.Тело , масса покоя которого 2 кг , движется со скоростью 200 Мм / с всистеме К ', перемещающейся относительно системы K со скоростью 200 Мм / с .Определить : 1) скорость тела относительно системы К ;2) его массу в этой сис -теме . [1) 277 Мм / с ; 2) 52 кг ]1067.4. Воспользовавшись тем, что интервал — инвариантная величина поотношенною к преобразованиям координат, определить расстояние, которое пролетелπ -мезон с момента рождения до распада, если время его жизни в этойсистеме отсчета ? t = 5 мкс, а собственное время жизни (время, отсчитанное no-часам, движущимся вместе с телом) ? t 0 =«2,2 мкс. [1.35 км]7.5. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицыпревышает ее ньютонов ский импульс в пять раз. [0,98 с]7.6. Определить скорость, полученную электроном, если он прошел уско-ряющую разность потенциалов 1,2 МэВ. [2,86 Мм/с]7.7. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энер-гия которого 1 ГэВ. [5,34 10-19 H с]107ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИИ ТЕРМОДИНАМИКИ ГЛАВА 8МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ§ 41. С ТАТИСТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ . О ПЫТНЫЕ ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Статистический и термодинамический методы исследования.Моле-кулярная физика и термодинамика — разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессыв телах, связанные с огромным числом содер- жащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов приме- няют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетнческнй) и термодинамический.Пер- вый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.Молекулярная физика— раздел физики, изучающий строение и свой-ства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основы- вающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.Идея об атомном строении вещества высказана древнегреческим филосо-фом Демокритом (460—370 до н. э.). Атомистика возрождается вновь лишь в XVII в. и развивается в работах М. В. Ломоносова, взгляды которого на строе- ние вещества и тепловые явления были близки к современным. Строгое разви- тие молекулярной теории относится к середине XIX в. и связано с работами не- мецкого физика Р. Клаузиуса (1822—1888), Дж. Максвелла и Л. Больцмана.Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом со-вокупного действия огромного числа молекул. Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с по- мощью статистическогометода. Этот метод основан на том, что свойства мак- роскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненнымизначениями динамиче- ских характеристик этих частиц (скорости, энергии и т. д.). Например, темпера- тура тела определяется скоростью хаотического движения его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения молекул. Нельзя говорить о температуре одной молекулы. Таким образом, мак- роскопические характеристики тел имеют физический смысл лишь в случае большого числа молекул.Термодинамика— раздел физики, изучающий общие свойства макро-скопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равнове-108сия, и процессы перехода между этими состояниями. Термодинамика не рас- сматривает микропроцессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический методотличается от статистического. Термодинамика базируется на двух началах — фундаментальных законах, установленных в ре- зультате обобщения опытных данных.Область применения термодинамики значительно шире, чем молекуляр-но-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим методом. Однако, с другой стороны, термодинамический метод несколько ограничен: термодинамика ни- чего не говорит о микроскопическом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавливает связи между макроскопическими свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различными методами исследования.Термодинамика имеет дело с термодинамической системой— совокуп-ностью макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Основа термодинамического метода — определение состояния термодинамической системы. Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния)— совокупностью физических величин, характери- зующих свойства термодинамической системы. Обычно в качестве параметров состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.Температура — одно из основных понятий, играющих важную роль нетолько в термодинамике, но и в физике в целом. Температура— физическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макро- скопической системы. В соответствии с решением XI Генеральной конферен- ции по мерам и весам (1960) в настоящее время можно применять только две температурные шкалы — термодинамическую и Международную практиче- скую,градуированные соответственно в кельвинах (К) и в градусах Цельсия (°С). В Международной практической шкалетемпература замерзания и ки- пения воды при давлении 1,013⋅ 10 5 Па соответственно 0 и 100°С (реперные точ-ки).Термодинамическая температурная шкалаопределяется по одной ре-перной точке, в качестве которой взята тройная точка воды(температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давлении 609 Па находятся в термо- динамическом равновесии). Температура этой точки по термодинамической шкале равна 273,16 К (точно). Градус Цельсия равен кельвину. В термодинами- ческой шкале температура замерзания воды равна 273,15 К (при том же давле- нии, что и в Международной практической шкале), поэтому, по определению, термодинамическая температура и температура по Между народной практиче- ской шкале связаны соотношениемТ = 273,15 + t.Температура Т=0К называется нулем кельвнн.Анализ различных про-цессов показывает, что 0 К недостижим, хотя приближение к нему сколь угодно близко возможно.Удельный объемv— это объем единицы массы. Когда тело однородно,109т. с. его плотность р =const, то v = V/m =l/ ρ .Так как при постоянной массеудельный объем пропорционален общему объему, то макроскопические свой- ства однородного тела можно характеризовать объемом тела.Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение втермодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из ее тер- модинамических параметров, называется термодинамическим процессом. Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии,ес- ли ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия рассматриваемой системы при этом не изменяются).В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализированной моде-льюидеального газа,согласно которой считают, что:1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению собъемом сосуда;2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсо-лютно упругие.Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных га-зов, так как они в условиях, близких к нормальным (например, кислород и ге- лий), а также при низких давлениях и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся поправки, учитывающие соб- ственный объем молекул газа и действующие молекулярные силы, можно пе- рейти к теории реальных газов.Рассмотрим законы, описывающие поведение идеальных газов.Закон Бойля — Мариотта* : для данной массы газа при постоянной темпе-ратуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная: pV= const при Т =const, т =const.(41.1)Кривая, изображающая зависимость между величинами ри V,характери-зующими свойства вещества при постоянной температуре, называется изотер- мой. Изотермы представляют собой гиперболы, расположенные на графике тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс (рис. 60).Рис. 60* Р. Бойль (1627—1691) — английский ученый; Э. Мариотт (1620—1684)—французский физик.110Законы Гей-Люссака ** : 1) объем данной массы газа при постоянном дав-лении изменяется линейно с температурой:(41.2)2) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется ли-нейно с температурой:(41.3)В этих уравнениях t— температура по шкале Цельсия, р 0 и V 0 — давле-ние и объем при 0°С, коэффициент α = 1/273,15 К -1 .Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобар-ным. На диаграмме в координатах V, t(рис. 61) этот процесс изображается пря- мой, называемой изобарой.Рис. 61Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным.На диаграмме в координатах р, t(рис. 62) он изображается прямой, называемой изохорой.Рис. 62Из (41.2) и (41.3) следует, что изобары и изохоры пересекают ось темпе-ратур в точке t = 1/ α = -273,15 °С, определяемой из условия 1 + α t = 0. Если пе-ренести начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (рис. 62), откуда** Ж. Гей-Люссак (1778—1850) — французский ученый.111Вводя в формулы (41.2) и (41.3) термодинамическую температуру, зако-нам Гей-Люссака можно придать более удобный вид:(41.4) (41.5)где индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной изобаре или изохоре.Закон Авогадро * : моли любых газов при одинаковых температуре и дав-лении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях этот объем ра- вен 22,41⋅ 10 -3 м э /моль.По определению, в одном моле различных веществ содержится одно и тоже число молекул, называемое постоянной Авогадро:Закон Дальтона ** :давление смеси идеальных газов равно сумме парци-альных давлений р 1 , p 2 , ..., р n входящих в нее газов:P = p 1 + p 2 +… +p nПарциальное давление— давление, которое производил бы газ, входя-щий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.§ 42. У РАВНЕНИЕ К ЛАПЕЙРОНА — М ЕНДЕЛЕЕВАКак уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тре-мя термодинамическими параметрами: давлением р,объемом Vи температурой Т.Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния,которое в общем виде дается выражениемгде каждая из переменных является функцией двух других.Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799—1864) вывел уравне-ние состояния идеального газа, объединив законы Бойля — Мариотта и Гей- Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V1 ,имеет давление p 1 инаходится при температуре T 1 . Эта же масса газа в другом произвольном со-* А. Авогадро (1776—1856) — итальянский физик и химик.** Дж. Дальтон (1766—1844) — английский химик и физик.112стоянии характеризуется параметрами р 2 , V 2 , Т 2 (рис. 63). Переход из состояния1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 — 1′ , 2) изохорного (изохора 1 ′ - 2).Рис. 63В соответствии с законами Бойля — Мариотта (41.1) и Гей-Люссака(41.5) запишем:(42.1) (42.2)Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) p ′ 1 ,получимТак как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массыгаза величина pV/Tостается постоянной, т. е.(42.3)Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона,в котором В— га-зовая постоянная, различная для разных газов.Русский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907) объединил уравнениеКлапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, ис- пользовав молярный объем Vm .Согласно закону Авогадро, при одинаковых риТмоли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m ,поэтому постоян-ная Bбудет одинаковой для всех газов.Эта общая для всех газов постоянная обозначается Rи называется молярнойгазовой постоянной.Уравнению(42.4)113удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеальногогаза, называемым также уравнением Клапейрона — Менделеева.Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы(42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 =1,013 ⋅ 10 5 Па, T 0 = 273,15 К, V m = 22,41 ⋅ 10 -3 м э /моль): R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапей-рона — Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых задан- ных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V,тоmпри тех же условиях масса m газа займет объем V= (т/М) ⋅ V m ,где М— моляр-ная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы — кило- грамм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона — Менделеева для массы т газа(42.5)где v=m/M— количество вещества. Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеаль-ного газа, вводя постоянную Больцмана:Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в видегде N A /V m = n— концентрация молекул (число молекул в единице объе-ма). Таким образом, из уравнения(42.6)следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропор- ционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м3 газа при нормальных условиях,называется числом Лошмндта * :§ 43. О СНОВНОЕ УРАВНЕНИЕМОЛЕКУЛЯРНО - КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВДля вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рас-смотрим одно атомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа дви- жутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пре- небрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда не- которую элементарную площадку? S(рис. 64) и вычислим давление, оказывае-* И. Лошмидт (1821—1895) — австрийский химик и физик. 86114мое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпен- дикулярно площадке, передает ей импульс m0 v -(- т 0 ) =2т 0 v,где m 0 — массамолекулы, v — ее скорость. За время ? tплощадки ? Sдостигнут только те мо-лекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ? Sи высотой v ? t(рис. 64). Число этих молекул равно n ? Sv ? t (n— концентрация молекул).Рис. 64Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к пло-щадке ? S под разными углами и имеют различные скорости, причем скоростьмолекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотиче- ское движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендику- лярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул - 1/6 - движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку? Sбудетl / n ? Sv ? t.При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс6Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,(43.1)Если газ в объеме Vсодержит Nмолекул, движущихся со скоростями v ,1v 2 , ..., V N , то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость(43.2)характеризующую всю совокупность молекул таза. Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет вид(43.3)Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярно-115или(43.4) (43.5)Учитывая, что n=N/V,получимгде Е— суммарная кинетическая энергия поступательного движения всехмолекул газа.Так как масса газа m=Nm 0 ,то уравнение (43.4) можно переписать в видеДля одного моля газа т = М (М— молярная масса), поэтомугде F — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейронаm— Менделеева, pV m = RT.Таким образом,откуда(43.6)Так как M = m 0 N A — масса одной молекулы, а N А — постоянная Авогад-ро, то из уравнения (43.6) следует, что(43.7)где k=R/N A — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатнойтемпературе молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости бу- дут соответственно 40 и 160 м/с.Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молеку-лы идеального газа(43.8)(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при Т=0 <ε 0 > = 0, т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, аследовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (43.8) раскрывает молекулярно- кинетическое толкование температуры.116§ 44. З АКОН М АКСВЕЛЛА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ И ЭНЕРГИЯМТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯПри выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории мо-лекулам зада вали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равнове- роятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скоростимолекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой то в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т =const, остается постоян- ной и равнойυ кв = 3 kT m 0 .Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия,устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распре- деление молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом.При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл пред-полагал, что газ состоит из очень большого числа Nтождественных молекул, находящие» в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемойфункцией распределения молекул по скоростям. Бели разбить диапазон скоро- стей молекул на малые интервалы, равные dv,то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v),имеющих скорость, заклю- ченную в этом интервале Функция f(v) определяет относительное число моле- кул dN (v)/N,скорости которых лежат в интервале от vдо v + dv,т. е.откудаПрименяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию /(v)— закон о распределении молекул идеального газа по скоростям:(44.1)Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (отмассы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).График функции (44.1) приведен на рис. 65. Так как при возрастании vмножитель exp [ − m 0 v 2 ( ) 2 kT ] уменьшается быстрее , чем растет множитель v 2 ,то функция f(v), начинаясь от нуля , достигает максимума при v, и затем асим -117птотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно v в .Рис. 65Относительное число молекул dN(v)/N,скорости которых лежат в интер-вале от v до v + dv, находится как площадь заштрихованной полоски на рис. 65. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция f(v) удовлетворяет условию нормировкиСкорость, при которой функция распределения молекул идеального газапо скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью.Зна- чение наиболее вероятной скорости можно найти продифференцировав выра- жение (44.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу v,приравняв ре- зультат нулю и используя условие для максимума выражения f(v):Значения v = 0 и v = ∞ соответствуют минимумам выражения (44.1), азначение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость v:B(44.2)Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимумфункции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (зна- чение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ог- раниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температу- ры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и пони- жаться.Средняя скорость молекулы<v> (средняя арифметическая скорость)определяется по формулеПодставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем118(44.3)Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятнаяv B = 3 RT M ; 2) средняя v = 8 RT ( ) π M = 1 , 13 v B ; 3) средняя квадратичнаяv кв = 3 RT M = 1 , 22 v B (рис. 65). Исходя из распределения молекул по скоро-стям(44.4)можно найти распределение молекул газа по значениям кинетическойэнергии ставив в (44.4) ε .Для этого перейдем от переменной vк переменной v = 2 ε m 0 и dv = ( 2 m 0 ε ) − 1 / 2 , получим ε = m 0 v 2 /2 .Под-где dN( ε )— число молекул , имеющих кинетическую энергию поступа -тельного движения , заключенную в интервале от ε до ε +d ε .Таким образом , функция распределения молекул по энергиям тепло-вого движенияСредняя кинетическая энергия < ε > молекулы идеального газат . е . получили результат , совпадающий с формулой (43.8).§ 45. Б АРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА . Р АСПРЕДЕЛЕНИЕБ ОЛЬЦМАНАПри выводе основного уравнения молекулярно - кинетической теории га -зов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось ,что на молекулы газа внешние силы не действуют , поэтому молекулы равно -мерно распределены по объему . Однако молекулы любого газа находятся в по -тенциальном поле тяготения Земли . Тяготение , с одной стороны , и тепловоедвижение молекул — с другой , приводят к некоторому стационарному состоя -нию газа , при котором давление газа с высотой убывает .Выведем закон изменения давления с высотой , предполагая , что поле тя -готения однородно , температура постоянна и масса всех молекул одинакова .Если атмосферное давление на высоте h равно р ( рис . 67), то на высоте h+dhоно равно p + dp( при dh> 0 dp < 0, так как давление с высотой убывает ). Раз -119ность давлений р и p + dpравна весу газа, заключенного в объеме цилиндра вы- сотой dh с основанием площадью 1 м2 :где р— плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при измене-нии высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следо- вательно,(45.1)Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа pV = (m/M)RT(т— масса газа, М— молярная масса газа), находим, чтоПодставив это выражение в (45.1), получимС изменением высоты от h 1 до h 2 давление изменяется от р 1 до р 2 (рис.67), т. е.или(45.2)Рис. 67Выражение (45.2) называется барометрической формулой. Она позволяетнайти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (45.2) может быть записано в виде120(45.3)где р— давление на высоте h.Прибор для определения высоты над земной поверхностью называетсявысотомером (или альтиметром). Его работа основана на использовании фор- мулы (45.3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем бы- стрее, чем тяжелее газ.Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользо-ваться выражением (42.6) p = nkT:где n — концентрация молекул на высоте h, n 0 — то же, на высоте h = 0.Так как М = m 0 N A (N А — постоянная Авогадро, m 0 — масса одной молекулы), aR=kN A ,то (45.4)где m gh = II — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.0(45.5)Выражение (45.5) называется распределением Больцманадля внешнегопотенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плот- ность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.Бели частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотиче-ского теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.§ 46. С РЕДНЕЕ ЧИСЛО СТОЛКНОВЕНИЙ И СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛМолекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерыв-но сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкнове- ниями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной сво- бодного пробега.В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом моле- кул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул<l>.Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении цен-тры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулыd(рис. 68). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней ариф-метической скорости <v>, и если <z> — среднее число столкновений, испыты-121ваемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробегаРис. 68Для определения <z> представим себе молекулу в виде шарика диамет-ром d,которая движется среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстоя- ниях, равных или меньших d,т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d(рис. 69).Рис. 69Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «лома-ного» цилиндра:где n — концентрация молекул, V = nd 2 <v> (<v> — средняя скорость мо-лекулы или путь, пройденный ею за 1 с). Таким образом, среднее число столк- новенийРасчеты показывают, что при учете движения других молекулТогда средняя длина свободного пробегат. e. <l> обратно пропорциональна концентрации n молекул. С другойстороны, из (42.6) следует, что при постоянной температуре n пропорциональна122давлению р.Следовательно,§ 47. О ПЫТНОЕ ОБОСНОВАНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО - КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИРассмотрим некоторые явления, экспериментально подтверждающие ос-новные положения и выводы молекулярно-кинетической теории.1. Броуновское движение.Шотландский ботаник Р. Броун (1773—1858),наблюдая под микроскопом взвесь цветочной пыльцы в воде, обнаружил, что частицы пыльцы оживленно и беспорядочно двигались, то вращаясь, то пере- мещаясь с места на место, подобно пылинкам в солнечном луче. Впоследствии оказалось, что подобное сложное зигзагообразное движение характерно для любых частиц малых размеров («1 мкм), взвешенных в газе или жидкости. Ин- тенсивность этого движения, называемого броуновским, повышается с ростом температуры среды, с уменьшением вязкости и размеров частиц (независимо от их химической природы). Причина броуновского движения долго оставалась неясной. Лишь через 80 лет после обнаружения этого эффекта ему было дано объяснение: броуновское движение взвешенных частиц вызывается ударами молекул среды, в которой частицы взвешены. Так как молекулы движутся хао- тически, то броуновские частицы получают толчки с разных сторон, поэтому и совершают движение столь причудливой формы. Таким образом, броуновское движение является подтверждением выводов молекулярно-кинетической тео- рии о хаотическом (тепловом) движении атомов и молекул.2. Опыт Штерна.Первое экспериментальное определение скоростей мо-лекул выполнено немецким физиком О. Штерном (1888—1970). Его опыты по- зволили также оценить распределение молекул по скоростям. Схема установки Штерна представлена на рис. 70. Рис. 70Вдоль оси внутреннего цилиндра с щелью натянута платиновая проволока,покрытая слоем серебра, которая нагревается током при откачанном воздухе. При нагревании серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попа- дают на внутреннюю поверхность второго цилиндра, давая изображение щели123О.Если прибор привести во вращение вокруг общей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки Она некоторое расстояние s.Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осажденного слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответст- вует максвелловскому распределению.Зная радиусы цилиндров, их угловую скорость вращения, а также изме-ряя s,можно вычислить скорость движения атомов серебра при данной темпе- ратуре проволоки. Результаты опыта показали, что средняя скорость атомов се- ребра близка к той, которая следует из максвелловского распределения молекул по скоростям.3. Опыт Ляммерт. Этот опыт позволяет более точно определить законраспределения молекул по скоростям. Схема вакуумной установки приведена на рис. 71. Молекулярный пучок, сформированный источником, проходя через щель, попадает в приемник. Между источником и приемником помещают два диска с прорезями, закрепленных на общей оси. При неподвижных дисках мо- лекулы достигают приемника, прохода через прорези в обоих дисках. Если ось привести во вращение, то приемника достигнут только те прошедшие прорезь в первом диске молекулы, которые затрачивают дня пробега между дисками вре- мя, равное или кратное времени оборота диска. Другие же молекулы задержи- ваются вторым диском. Меняя угловую скорость вращения дисков и измеряя число молекул, попадающих в приемник, можно выявить закон рас- пределения молекул по скоростям. Этот опыт также подтвердил справедли- вость максвелловского распределения молекул по скоростям.Рис. 714.Опытное определение постоянной Авогадро. Воспользовавшись идеейраспределения молекул по высоте (см. формулу (45.4)), французский ученый Ж. Перрен (1870—1942) экспериментально определил значение постоянной Авогадро. Исследуя под микроскопом броуновское движение, он убедился, что броуновские частицы распределяются по высоте подобно молекулам газа в по- ле тяготения. Применив к ним больцмановское распределение, можно записатьгде m— масса частицы, m 1 — масса вытесненной ею жидкости;124m = 4 3 π r 3 ρ , m 1 = 4 3 π r 3 ρ 1 (r— радиус частицы, ρ — плотность частицы, ρ 1 —плотность жидкости). Если n 1 и n 2 — концентрации частиц на уровнях h 1 и h 2 , ak = R/N A ,тоЗначение N А , получаемое из работ Ж. Перрена, соответствовало значени-ям, полученным в других опытах, что подтверждает применимость к броунов- ским частицам распределения (45.4).§ 48. Я ВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМАХВ термодинамически неравновесных системах возникают особые необ-ратимыепроцессы, называемые явлениями перевеса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплопроводность (обусловлена переносом энергии),диф- фузия (обусловлена переносом массы)и внутреннее трение (обусловлено пере- носом импульса).Для простоты ограничимся одномернымиявлениями перено- са. Систему отсчета выберем так, чтобы ось хбыла ориентирована в направле- нии переноса.1. Теплопроводность. Если в одной области газа средняя кинетическаяэнергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие по- стоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., иными словами, выравнивание темпера- тур.Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:(48.1)где j E — плотность теплового потока — величина, определяемая энерги-ей, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площад-ку,перпендикулярную оси х, λ - теплопроводность, dT - градиент температу-dxры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направле-нии нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что при теплопроводно- сти энергия переносится в направлении убывания температуры (поэтому знакиj E и dT dx — противоположны). Теплопроводность λ численно равна плотноститеплового потока при градиенте температуры, равном единице. Можно пока- зать, что(48.2)125где c v — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме(количест-во теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объе- ме),ρ — плотность газа, <v> — средняя скорость теплового движения молекул,<l> — средняя длина свободного пробега.2. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит са-мопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасаю- щихся газов, жид костей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотно- сти. Во время становления молекулярно-кинетической теории по вопросу диф- фузии возникли противоречия. Так как молекулы движутся с огромными ско- ростями, диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в ком- нате сосуд с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медлен- но. Однако противоречия здесь нет. Молекулы при атмосферном давлении об- ладают малой длиной свободного пробега и, сталкиваясь с другими молекула- ми, в основном «стоят» на месте.Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется законуФнка:(48.3)где. J m — плотность потока массы — величина, определяемая массой ве-щества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку,пер- пендикулярную оси х,D —диффузия (коэффициент диффузии), dρ /dx— гра-диент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины хв направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки jиmd ρ /dx противоположны). Диффузия Dчисленно равна плотности потока массыпри градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории га- зов,(48.4)3. Внутреннее трение (вязкость).Механизм возникновения внутреннеготрения между параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различ- ными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движе- ния происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее — увеличи- вается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.Согласно формуле (31.1), сила внутреннего трения между двумя слоямигаза (жидкости) подчиняется закону Ньютона:(48.5)где η — динамическая вязкость (вязкость), dv/dx— градиент скорости,показывающий быстроту изменения скорости в направлении х,перпендикуляр-126ном направлению движения слоев, S— площадь, на которую действует сила F.Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можнорассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда вы- ражение (48.S) можно пред ставить в виде(48.6)где j p — плотность потока импульса— величина, определяемая полнымимпульсом, переносимым в единицу времени в положительном направленииdvоси хчерез единичную площадку, перпендикулярную оси х, - градиент ско-dxрости. Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убыва- ния скорости (поэтому знакиj m и d ρ /dx — противоположны).Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса приградиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле(48.7)Из сопоставления формул (48.1), (48.3) и (48.6), описывающих явленияпереноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснова- ны и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математических выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молеку-лярно-кинетического смысла коэффициентов A, D и fj. Выражения для коэф-фициентов переноса выводятся из кинетической теории. Они записаны без вы- вода, так как строгое рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а ка- чественное — не имеет смысла Формулы (48.2), (48.4) и (48.7) связывают ко- эффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависимости междуλ , D и η :Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величи-нам определить другие.§ 49. В АКУУМ И МЕТОДЫ ЕГО ПОЛУЧЕНИЯ .С ВОЙСТВА УЛЬТРАРАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВЕсли из сосуда откачивать газ, то по мере понижения давления число127ихдлины свободного пробега. При достаточно большом разрежении столкно- вения между молекулами относительно редки, поэтому основную роль играют столкновения молекул со стенками сосуда. Вакуумомназывается состояние га- за, при котором средняя длина свободного пробега ⟨l⟩ сравнима или больше ха- рактерного линейного размера d сосуда, в котором газ находится. В зависимо- сти от соотношения ⟨l⟩ и dразличают низкий(⟨l⟩ ? d), средний (⟨l⟩≤ d), вы-сокий(⟨l⟩ > d) и сверхвысокий (⟨l⟩ ? d) вакуум. Газ в состоянии высокого ва- куума называется ультраразреженным.Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как,например, во многих современных электронных приборах используются элек- тронные пучки, формирование которых возможно лишь в условиях вакуума. Для получения различных степеней разрежения применяются вакуумные на- сосы.Внастоящее время применяются вакуумные насосы, позволяющие полу- чить предварительное разрежение (форвакуум) до ≈ 0,13 Па, а также вакуум- ные насосы и лабораторные приспособления, позволяющие получить давление до 13,3 мкПа — 1,33 пПа (10-7 —10 -14 мм рт. ст.).Принцип работы форвакуумного насоса представлен на рис. 72. Внутрицилиндрической полости корпуса вращается эксцентрично насаженный ци- линдр. Две лопасти 1 и 1', вставленные в разрез цилиндра и раздвигаемые пру- жиной 2,разделяют пространство между цилиндром и стенкой полости на две части. Газ из откачиваемого сосуда поступает в область 3,по мере поворачива- ния цилиндра лопасть 1 отходит, пространство 3увеличивается и газ засасыва- ется через трубку 4.При дальнейшем вращении лопасть 1'отключает простран- ство 3от трубки 4и начинает вытеснять газ через клапан 5 наружу. Весь про- цесс непрерывно повторяется.Рис. 72Для получения высокого вакуума применяются диффузионные насосы(рабочее вещество — ртуть или масло), которые не способны откачивать газ из сосудов начиная с атмосферного давления, но способны создавать добавочную разность давлений, поэтому их употребляют вместе с форвакуумными насоса- ми. Рассмотрим схему действия диффузионного насоса (рис. 73). В колбе ртуть нагревается, пары ртути, поднимаясь по трубке 1, вырываются из сопла 2с большой скоростью, увлекая за собой молекулы газа из откачиваемого сосуда (в нем создан предварительный вакуум). Эти пары, попадая затем в «водяную128рубашку», конденсируются и стекают обратно в резервуар, а захваченный газ выходит в пространство (через трубку 3),в котором уже создан форвакуум. Ес- ли применять многоступенчатые насосы (несколько сопл расположены после- довательно), то реально при хороших уплотнениях можно с помощью них по- лучить разрежение до 10-7 мм рт. ст.Рис. 73Для дальнейшего понижения давления применяются так называемые «ло-вушки». Между диффузионным насосом и откачиваемым объектом располага- ют специально изогнутое колено (7 или 2) соединительной трубки (ловушку), которую охлаждают жидким азотом (рис. 74). При такой температуре пары рту- ти (масла) вымораживаются и давление в откачиваемом сосуде понижается приблизительно на 1—2 порядка. Описанные ловушки называют охлаждаемы- ми; можно применять также неохлаждаемые ловушки. Специальное рабочее вещество (например, алюмогелъ) помещают в один из отростков соединитель- ной трубки вблизи откачиваемого объекта, которое поддерживается при темпе- ратуре 300°С. При достижении высокого вакуума алюмогель охлаждается до комнатной температуры, при которой он начинает поглощать имеющиеся в системе пары. Преимущество этих ловушек состоит в том, что с их помощью в откачиваемых объектах можно поддерживать высокий вакуум уже после непо- средственной откачки в течение даже нескольких суток.Рис. 74129Остановимся на некоторых свойствах ультраразреженных газов. Так как всостоянии ультраразрежения молекулы практически друг с другом не сталки- ваются, то газ в этом состоянии не обладает внутренним трением. Отсутствие соударений между молекулами разреженного газа отражается также на меха- низме теплопроводности. Если при обычных давлениях перенос энергии моле- кулами производится «эстафетой», то при ультраразрежении каждая молекула самадолжна перенести энергию от одной стенки сосуда к другой. Явление уменьшения теплопроводности вакуума при понижении давления используется на практике для создания тепловой изоляции. Например, для уменьшения теп- лообмена между телом и окружающей средой тело помещают в сосуд Дьюара* ,имеющий двойные стенки, между которыми находится разреженный воздух, теплопроводность которого очень мала.Рассмотрим два сосуда 7 и 2, поддерживаемых соответственно при тем-пературах T 1 и Т 2 (рис. 75) и соединенных между собой трубкой. Если длинасвободного пробега молекул гораздо меньше диаметра соединительной трубки(⟨l⟩ ? d), то стационарное состояние газа характеризуется равенством давлений в обоих сосудах (р1 = р 2 ).Стационарное же состояние ультраразреженного газа(⟨l⟩ ? d), находящегося в двух сосудах, соединенных трубкой, возможно лишь в том случае, когда встречные потоки частиц, перемещающихся из одного со- суда в другой, одинаковы, т. е.ние скорости молекул. Учитывая, что где n 1 и n 2 — концентрации молекул в обоих сосудах, ⟨v n = p ( ) kT и v = 8 RT ( ) 1 π ⟩ и ⟨v M ,из условия 2 ⟩ — сред-(49.1) получаем(49.2)т. е. в условиях высокого вакуума выравнивания давлений не происходит. Если в от качанный стеклянный баллон (рис. 76) на пружину 1насадить слюдяной листочек 2,одна сторона которого зачернена, и освещать его, то возникнет раз- ность температур между светлой и зачерненной поверхностями листочка. Из выражения (49.2) следует, что в данном случае разным будет и давление, т. е. молекулы от зачерненной поверхности будут отталкиваться с большей силой, чем от светлой, в результате чего листочек отклонится. Это явление называется радиометрическим эффектом.На радиометрическом эффекте основано дей- ствие радиометрического манометра.* Д. Дьюар (1842—1923) — английский химик и физик.130Рис. 76З АДАЧИ8.1. Начертить и объяснить графики изотермического и изобарного про-цессов в координатах р и V, p и Т, Т и V.8.2. В сосуде при температуре t = 20°C и давлении р = 0,2 МПа содержит-ся смесь газов — кислорода массой m = 16 г и азота массой m = 21 г. Опреде-1 2лить плотность смеси. [2,5 кг/м»]8.3. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотностькоторого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м 3 .[478 м/с]8.4. Используя закон о распределении молекул идеального газа по скоро-стям, найти закон, выражающий распределение молекул по относительнымскоростям u (u = v/v в ). [ f ( u ) = 4 π e − u 2 u 2 ]8.5. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по отно-сительным скоростям (см. задачу 8.4), определить, какая доля молекул кисло- рода, находящегося при температуре t = 0°С, имеет скорости от 100 до 110 м/с. [0,4]8.6. На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше, чем его плот-ность на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 273 К. [5,5 км]8.7. Определить среднюю продолжительность свободного пробега моле-кул водорода при температуре 300 К и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекул принять равным 0,28 ни. [170 не]8.8. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых усло-виях равны соответственно 1,42 ⋅ 10 м 2 /с и 8,5 мкПа ⋅ с. Определить концентра--4131 ГЛАВА 9ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ§ 50. Ч ИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛЫ . З АКОНРАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПОСТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛВажной характеристикой термодинамической системы является ее внут-ренняя энергия U— энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутренней энергии не отно- сятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.Внутренняя энергия — однозначная функциятермодинамического со-стояния системы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определен- ной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это означает, что при переходе системы из одного состояния в дру- гое изменение внутренней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода.В § 1 было введено понятие числа степеней свободы: это число независи-мых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространстве. В ряде задач молекулу одноатомного газа (рис. 77, а)рассматри- вают как материальную точку, которой приписывают три степени свободы по- ступательного движения. При этом энергию вращательного движения можно не учитывать (r→ 0, J = mr 2 → 0, T вр = J ω 2 → 0).Рис. 77В классической механике молекула двухатомного газа в первом прибли-жении рассматривается как совокупность двух материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью (рис. 77, 6).Эта система кроме трех степе- ней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы враща- тельного движения. Вращение вокруг третьей оси (оси, проходящей через оба атома) лишено смысла. Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степе- нями свободы 0'=5). Трехатомная (рис. 77, в) и многоатомная нелинейные мо- лекулы имеют шесть степеней свободы: три поступательных и три вращатель-132ных. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колеба- тельного движения.Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени сво-боды всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения ⟨ε ⟩ в (43.8):0В классической статистической физике выводится закон Больцмана оравномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для стати- стической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2,а на каждую колебательную сте- пень свободы — в среднем энергия, равная kT.Колебательная степень «облада- ет» вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинети- ческая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энер- гий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулыгде i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенногочисла колебательных степеней свободы молекулы:В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью меж-ду атомами; для них iсовпадает с числом степеней свободы молекулы.Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равнанулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия, от- несенная к одному молю газа, будет равна сумме кинетических энергий Nмо- лекул:(50.1)Внутренняя энергия для произвольной массы тгазагде М— молярная масса, v — количество вещества.133§ 51. П ЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИРассмотрим термодинамическую систему, для которой механическаяэнергия не изменяется, а изменяется лишь ее внутренняя энергия. Внутренняя энергия системы может изменяться в результате различных процессов, напри- мер совершения над системой работы или сообщения ей теплоты. Так, вдвигая поршень в цилиндр, в котором находится газ, мы сжимаем этот газ, в результа- те чего его температура повышается, т. е. тем самым изменяется (увеличивает- ся) внутренняя энергия газа. С другой стороны, температуру газа и его внут- реннюю энергию можно увеличить за счет сообщения ему некоторого количе- ства теплоты — энергии, переданной системе внешними телами путем тепло- обмена (процесс обмена внутренними энергиями при контакте тел с разными температурами).Таким образом, можно говорить о двух формах передачи энергии от од-них тел к другим: работе и теплоте. Энергия механического движения может превращаться в энергию теплового движения, и наоборот. При этих превраще- ниях соблюдается закон сохранения и превращения энергии; применительно к термодинамическим процессам этим законом и является первое начало термо- динамики, установленное в результате обобщения многовековых опытных дан- ных.Допустим, что некоторая система (газ, заключенный в цилиндр подпоршнем), обладая внутренней энергией U 1 получила некоторое количество те-плоты Qи, перейдя в новое состояние, характеризующееся внутренней энерги- ей U2 ,совершила работу Анад внешней средой, т. е. против внешних сил. Ко-личество теплоты считается положительным, когда оно подводится к системе, а работа — положительной, когда система совершает ее против внешних сил. Опыт показывает, что в соответствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода системы из первого состояния во второе изменение внутрен- ней энергии? U = U 2 – U 1 будет одинаковым и равным разности между количе-ством теплоты Q,полученным системой, и работой А,совершенной системой против внешних сил:или(51.1)Уравнение (51.1) выражает первое начало термодинамики:теплота,сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на со- вершение ею работы против внешних сил. Выражение (51.1) в дифференциаль- ной форме будет иметь вид134или в более корректной форме(51.2)где dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, δ A—элементарная работа, δ Q— бесконечно малое количество теплоты. В этом вы-ражении dU является полным дифференциалом, а δ A и δ Qтаковыми не явля-ются. В дальнейшем будем использовать запись первого начала термодинамики в форме (51.2).Из формулы (51.1) следует, что в СИ количество теплоты выражается втех же единицах, что работа и энергия, т. е. в джоулях (Дж).Если система периодически возвращается в первоначальное состояние, тоизменение ее внутренней энергии ? U = 0. Тогда, согласно первому началу тер-модинамики,т. е. вечныйдвигатель первого рода — периодически действующий двигатель, который совершал бы большую работу, чем сообщенная ему извне энергия, — невозможен (одна из формулировок первого начала термодинамики).§ 52. Р АБОТА ГАЗА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЕГО ОБЪЕМАДля рассмотрения конкретных процессов найдем в общем виде внешнююработу, совершаемую газом при изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде (рис. 78). Если газ, расширяясь, пере двигает поршень на бесконечно малое расстояние dl, то про- изводит над ним работугде S — площадь поршня, Sdl = dV— изменение объема системы. Таким обра- зом,(52.1)Полную работу А,совершаемую газом при изменении его объема от V до1V 2 ,найдем интегрированием формулы (52.1):(52.2)Результат интегрирования определяется характером зависимости междудавлением и объемом газа. Найденное для работы выражение (52.2) справедли- во при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел.Произведенную при том или ином процессе работу можно изобразитьграфически с помощью кривой в координатах р, V.Пусть изменение давления135газа при его расширении изображается кривой на рис. 79. При увеличении объ- ема на dVсовершаемая газом работа равна pdV,т. е. определяется площадью полоски с основанием dV,заштрихованной на рисунке. Поэтому полная работа, совершаемая газом при расширении от объема V1 до объема V 2 ,определяетсяплощадью, ограниченной осью абсцисс, кривой p=f(V)и прямыми V и V .1 2Рис. 79Графически можно изображать только равновесные процессы — процес-сы, состоящие из последовательности равновесных состояний. Они протекают так, что изменение термодинамических параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальныепроцессы неравновесны(они протека- ют с конечной скоростью), но в ряде случаев неравновесностью реальных про- цессов можно пренебречь (чем медлен нее процесс протекает, тем он ближе к равновесному). В дальнейшем рассматриваемые процессы будем считать рав- новесными.§ 53. Т ЕПЛОЕМКОСТЬУдельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теп-лоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:Единица удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин(Дж/(кг ⋅ К)).Молярная теплоемкость — величина, равная количеству теплоты, необ-ходимому дня нагревания 1 моль вещества на 1 К:где v = m/M — количество вещества.Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль ⋅ кельвин (Дж/(моль ⋅136К)).Удельная теплоемкость с связана с молярной C m соотношением(53.2)где М— молярная масса вещества.Различают теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении,если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается постоянным. Запишем выражение первого начала термодинамики (51.2) для 1 мольгаза с учетом формул (52.1) и (53.1):(53.3)Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил рав-на нулю (см. (52.1)) и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличе- ние его внутренней энергии:(53.4)т. е. молярная теплоемкость газа при постоянном объеме Суравна изме-нению внутренней энергии 1 моль газа при повышении его температуры на 1 К.Согласно формуле (50.1), dU m = 2 i RdT ,тогда(53.5)Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (53.3)можно записать в видеУчитывая, что dU m не зависит от вида процесса (внутренняя энергияdTидеального газа не зависит ни от р , ни от V , а определяется лишь температуройТ ) и всегда равна С (см. (53.4)), и дифференцируя уравнение Клапейрона —vМенделеева pV m = RT (42.4) по Т (р = const), получаем(53.6)Выражение (53.6) называется уравнением Майера; оно показывает, чтоС всегда больше С на величину молярной газовой постоянной. Это объясняет-р vся тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще до-полнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа. Использо- вав (53.5), выражение (53.6) можно записать в виде(53.7)137При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характер-ное для каждого газа отношение С р к С v :(53.8)Из формул (53.5) и (53.7) следует, что молярные теплоемкости определя-ются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утвер- ждение молекулярно-кинетической теории справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от темпера- туры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.По закону равномерного распределения энергии по степеням свободы(см. § 50), для комнатных температур C v = 7/2R.Из качественной эксперимен-тальной зависимости молярной теплоемкости С v водорода (рис. 80) следует, чтоС v зависит от темпера туры: при низкой температуре (≈ 50 К) С v = 3 /2 R,прикомнатной — С v = 5/2R (вместо расчетных 7 / 2 R!)и при очень высокой — С v =7/2R.Это можно объяснить, предположив, что при низких температурах на- блюдается только поступательное движение молекул, при комнатных — добав- ляется их вращение, а при высоких — к этим двум видам движения добавляют- ся еще колебания молекул.Рис. 80Расхождение теории и эксперимента нетрудно объяснить. Дело в том, чтопри вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения и колебаний молекул (возможны не любые вращательные и колебательные энергии, а лишь определенный дискретный ряд значений энергий). Если энер- гия теплового движения недостаточна, например, для возбуждения колебаний, то эти колебания не вносят своего вклада в теплоемкость (соответствующая степень свободы «замораживается» — к ней неприменим закон равнораспреде- ления энергии). Этим объясняется, что теплоемкость моля двухатомного газа — водорода — при комнатной температуре равна 5/2Rвместо7 /2 R.Аналогичноможно объяснить уменьшение теплоемкости при низкой температуре («замо-138раживаются» вращательные степени свободы) и увеличение при высокой («возбуждаются» колебательные степени свободы).§ 54. П РИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ К ИЗОПРОЦЕССАМСреди равновесных процессов, происходящих с термодинамическимисистемами, выделяются изопроцессы, при которых один из основных парамет- ров состояния сохраняется постоянным.Изохорный процесс (V=const). Диаграмма этого процесса (нзохора) вкоординатах р,К изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 81), где процесс 1—2есть изохорное нагревание, а 1—3— изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.Рис. 81Как уже указывалось в § 53, из первого начала термодинамики ( δ Q = dU+ δ A) дляизохорного процесса следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идетна увеличение его внутренней энергии:Согласно формуле (53.4),Тогда для произвольной массы газа получим(54.1)Изобарный процесс (р—const). Диаграмма этого процесса (изобара) вкоординатах р, Vизображается прямой, параллельной оси V.При изобарном процессе работа газа (см. (52.2)) при увеличении объема от V1 до V 2 равна(54.2)и определяется площадью заштрихованного прямоугольника (рис. 82).139Рис. 82Если использовать уравнение (42.5) Клапейрона — Менделеева для вы-бранных нами двух состояний, тооткудаТогда выражение (54.2) для работы изобарного расширения примет вид(54.3)Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой по-стояннойR:если (Т 2 – Т 1 = l К, то для 1 моль газа R=A, т.е. Rчисленно равнаработе изобарного расширения 1 моль идеального газа при нагревании его на 1 К.В изобарном процессе при сообщении газу массой mколичества теплотыего внутренняя энергия возрастает на величину (согласно формуле (53.4))При этом газ совершит работу, определяемую выражением (54.3). Изо-термически* процесс(Г= const). Как уже указывалось § 41, изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта:Диаграмма этого процесса (изотерма) вкоординатах р, Vпредставляетсобой гиперболу (см. рис. 60), расположенную на диаграмме тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс.Исходя из выражений (52.2) и (42.S) найдем работу изотермическогорасширения газа:140Так как при Т = const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:то из первого начала термодинамики ( δ Q = dU + δ A) следует, что для изотер-мического процессат. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:(54.4)Следовательно, для того чтобы при расширении газа температура не по-нижалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.• Чему равна работа изобарного расширения моля идеального газа при нагревании на 1 К ?• Нагревается или охлаждается идеальный газ , если он расширяется при постоянном давлении ?• Температура газа в цилиндре постоянна . Запишите на основе первого начала терм o динамикисоотношение между сообщенным количеством теплоты и совершенной работой .• Газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состояние 2 врезультате следующих процессов : а ) изотермического ; б ) изобарного ; в ) изохорного . Рассмотревэти процессы графически , показать : 1) в каком процессе работа расширения максимальна ; 2) когдагазу сообщается максимальное количество теплоты .• Газ переходит из одного и того же начального состояния 1 в одно и то же конечное состояние 2 врезультате следующих процессов : а ) изобарного процесса ; б ) последовательных изохорного иизотермического процессов . Рассмотрите эти переходы графически . Одинаковы или различны вобоих случаях : 1) изменение внутренней энергии ? 2) затраченное количество теплоты ?§ 55. А ДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС . П ОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕССАдиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплооб-мен («52=0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процес- сам можно отнести все быстропротекающие процессы. Например, адиабатиче- ским процессом можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуковой волны настолько велика, что обмен энерги- ей между волной и средой произойти не успевает. Адиабатические процессы применяются в двигателях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горю- чей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д. Из первого начала термодинамики (δ Q = dU + δ A)для адиабатического процесса следует, что(55.1)141т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергиисистемы.Используя выражения (52.1) и (53.4), для произвольной массы газа пере-пишем уравнение (55.1) в виде(55.2)Продифференцировав уравнение состояния для идеального газаpV = M m RT v ,получим(55.3)Исключим из (55.2) и (55.3) температуру Т:pdV + Vdp = − R = − C p − C vpdV C v C vРазделив переменные и учитывая, что Ср / С v = γ (см. (53.8)), найдемdp p = − γ dV VИнтегрируя это уравнение в пределах от pдо р и соответственно от V1 2 1до V 2 , а затем потенцируя, придем к выражениюТак как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то можно записать(55.4)Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, назы-ваемое также уравнением Пуассона.Для перехода к переменным Т, V или p , Т исключим из (55.4) с помощьюуравнения Клапейрона — Менделеевасоответственно давление или объем:(55.5) (55.6)Выражения (55.4) — (55.6) представляют собой уравнения адиабатиче-ского процесса. В этих уравнениях безразмерная величина (см. (53.8) и (53.2))(55.7)называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона). Для одно-142атомных газов (Ne, He и др.), достаточно хорошо удовлетворяющих условию идеальности, I = 3, γ γ γ γ =1,67. Для двухатомных газов (Н , N , O и др.) I =5, γ =2 2 21,4. Значения у,вычисленные по формуле (55.7), хорошо подтверждаются экс- периментом.Диаграмма адиабатического процесса (адиабата)в координатах р, Vизо-бражается гиперболой (рис. 83). На рисунке видно, что адиабата (pV 7 =const)более круга, чем изотерма (pV =const). Это объясняется тем, что при адиабати- ческом сжатии 1—3увеличение давления газа обусловлено не только уменьше- нием его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением темпера- туры.Рис. 83Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. За-пишем уравнение (55.1) в видеЕсли газ адиабатически расширяется от объема Vдо V ,то его темпера-2тура уменьшается от T до T и работа расширения идеального газа1 2(55.8)Применяя те же приемы, что и при выводе формулы (55.5), выражение(55.8) для работы при адиабатическом расширении можно преобразовать к видуРабота, совершаемая газом при адиабатическом расширении 1—2 (опре-деляется площадью, заштрихованной на рис. 83), меньше, чем при изотермиче-143ском. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом — температура поддерживает- ся постоянной за счет притока извне эквивалентного количества теплоты.Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатиче-ский процессы имеют общую особенность — они происходят при постоянной теплоемкости. В первых двух процессах теплоемкости соответственно равны СV и С р , в изотермическом процессе (dT = 0)теплоемкость равна ± ∞ , в адиаба-тическом ( δ Q = 0) теплоемкость равна нулю. Процесс, в котором теплоемкостьостается постоянной, называется полнтропным.Исходя из первого начала термодинамики при условии постоянства теп-лоемкости (С = const) можно вывести уравнение политропы:(55.9)где n=(C—C )/(C—C )— показатель политропы. Очевидно, что при С=0,p Vn = 0,из (55.9) получается уравнение адиабаты; при С = ∞ , n = 1 —уравнениеизотермы; при С = С p , n = 0 — уравнение изобары, при С = С V , n = ± ∞ — урав-нение изохоры. Таким образом, все рассмотренные процессы являются частны- ми случаями политропного процесса.§ 56. К РУГОВОЙ ПРОЦЕСС ( ЦИКЛ ). О БРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ Круговым процессом(или циклом)называется процесс, при которомсистема, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное. На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой (рис. 84). Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы расширения (1—2) и сжатия (2— 1) газа. Работа расширения (определяется площадью фигуры 1a2V2 V 1 1положи-тельна (dV > 0), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2blV V 2)от-1 2рицательна (dV < 0).Следовательно, работа, совершаемая газом за цикл, опре- деляется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за циклсовершает- ся положительная работа A = ?pdV > 0(цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым(рис. 84, а),если за цикл совершается отрицательная работа A = ?pdV < 0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется обратным(рис. 84, б).Рис. 84144Прямой цикл используется в тепловых двигателях— периодически дей-ствующих двигателях, совершающих работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах— периодически дейст- вующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переносит- ся к телу с более высокой температурой.В результате кругового процесса система возвращается в исходное со-стояние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно ну- лю. Поэтому первое начало термодинамики (51.1) для кругового процесса(56.1)т. e. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты. Однако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтомугде Q 1 — количество теплоты, полученное системой, Q 2 — количество тепло-ты, отданное системой. Поэтому термический коэффициент полезного действия для кругового процесса(56.2)Термодинамический процесс называется обратимым, если он может про-исходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой про- цесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменении. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.Любой равновесный процесс является обратимым. Обратимость равно-весного процесса, происходящего в системе, следует из того, что ее любое про- межуточное состояние есть состояние термодинамического равновесия; для не- го «безразлично», идет процесс в прямом или обратном направлении. Реальные процессы сопровождаются диссипацией энергии (из-за трения, теплопроводно- сти и т. д.), которая нами не обсуждается. Обратимые процессы— это идеали- зация реальных процессов.Их рассмотрение важно по двум причинам: 1) мно- гие процессы в природе и технике практически обратимы; 2) обратимые про- цессы являются наиболее экономичными; имеют максимальный термический коэффициент полезного действия, что позволяет указать пути повышения к. п. д. реальных тепловых двигателей.§ 57. Э НТРОПИЯ , ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ И СВЯЗЬ С ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮПонятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физи-ческого содержания этого понятия рассматривают отношение теплоты Q,полу- ченной телом в изотермическом процессе, к температуре Т теплоотдающего те-145ла, называемое приведенным количеством теплоты.Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно маломучастке процесса, равно SQ/T.Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круго- вом процессе,равно нулю:(57.1)Из равенства нулю интеграла (57.1), взятого по замкнутому контуру,следует, что подынтегральное выражение SQ/Tесть полный дифференциал не- которой функции, которая определяется только состоянием системы и не зави- сит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом,(57.2)Функция состояния,дифференциалом которой является δ Q/T,называетсяэнтропией и обозначается S.Из формулы (57.1) следует, что для обратимых процессовизменение эн-тропииВ термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающейнеобратимый цикл,возрастает:(57.4)Выражения (57.3) и (57.4) относятся только к замкнутым системам,еслиже система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом. Соотношения (57.3) и (57.4) можно представить в виде неравенства Клаузиуса(57.5)т. е. энтропия замкнутой системыможет либо возрастать(в случае необра- тимых процессов), либо оставаться постоянной(в случае обратимых процес- сов).Если система совершает равновесный переход из состояния 1в состояние2, то, согласно (57.2), изменение энтропии(57.6)где подынтегральное выражение и пределы интегрирования определяются че- рез величины, характеризующие исследуемый процесс. Формула (57.6) опреде- ляет энтропию лишь с точностью до аддитивной постоянной.Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропии.146идеального газа. Так как dU = M m C V dT , δ A = pdV = M m RT dV V , тоили(57.7)т. е. изменение энтропии ? S 1 → 2 идеального газа при переходе его из состояния 1в состояние 2 не зависит от вида процесса перехода 1 → 2.Так как для адиабатического процесса δ Q = Q, то ? S = 0 и, следовательно,S =const, т. е. адиабатический обратимый процесспротекает при постоянной энтропии.Поэтому его часто называют изоэнтропийным процессом. Из форму- лы (57.7) следует, что при изотермическом процессе (Т1 = Т 2 )при изохорном процессе (V 1 = V 2 )Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равнасумме энтропий тел, входящих в систему.Свойством аддитивности обладают также внутренняя энергия, масса, объем (температура и давление таким свойст- вом не обладают).Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике:энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность Wсостояния системы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической систе- мы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние (по определению, W≥ 1 ,т. е. термодинамическая вероятность не есть вероятность вматематическом смысле (последняя < 1!)).Согласно Больцману (1872), энтропиясистемы и термодинамическая ве-роятностьсвязаны между собой следующим образом:(57.8)где k— постоянная Больцмана. Таким образом, энтропия определяется лога- рифмом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятностисостояния термодинамической системы. Формула Больцма- на (S7.8) позволяет дать энтропии следующее статистическоетолкование:147энтропия является мерой неупорядоченности системы.В самом деле, чем больше число микросостояний, реализующих данное макросостояние, тем больше энтропия. В состоянии равновесия — наиболее вероятного состояния системы — число микросостояний максимально, при этом максимальна и эн- тропия.Так как реальные процессы необратимы, то можно утверждать, что всепроцессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии — принцип возрастания энтропии. При статистическом толковании энтропии это означает, что процессы в замкнутой системе идут в направлении увеличения числа мик- росостояний, иными словами, от менее вероятных состояний к более вероят- ным, до тех пор пока вероятность состояния не станет максимальной.Сопоставляя выражения (57.S) и (57.8), видим, что энтропия и термоди-намическая вероятность состояний замкнутой системы могут либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянными (в случае об- ратимых процессов).Отметим, однако, что эти утверждения имеют место для систем, состоя-щих из очень большого числа частиц, но могут нарушаться в системах с малым числом частиц. Для «малых» систем могут наблюдаться флуктуации, т. е. эн- тропия и термодинамическая вероятность состояний замкнутой системы на оп- ределенном отрезке времени могут убывать, а не возрастать, или оставаться по- стоянными.• Возможен ли процесс , при котором теплота , взятая от нагревателя , полностью преобразуется вработу ?• В каком направлении может изменяться энтропия замкнутой системы ? незамкнутой системы ?• Дайте понятие энтропии ( определение , размерность и математическое выражение энтропии дляразличных процессов ).• Изобразите в системе координат Т , S изотермический и адиабатический процессы .§ 58. В ТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИПервое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращенияэнергии, не позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Кроме того, можно представить множество процессов, не противо- речащих первому началу, в которых энергия сохраняется, а в природе они не осуществляются. Появление второго начала термодинамики связано с необхо- димостью дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет. Второе начало термодинамики определяет направление протекания термо- динамических процессов.Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса (см. § 57), второеначало термодинамики. можно сформулировать как закон возрастания энтро- пии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый про- цесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинами-148ки: в процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь существенно, что речь идет о замкнутых системах, так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом (убывать, возрастать, ос- таватьсяПОСТОЯННОЕ ). Кроме того, отметим еще раз, что энтропия остается по-стоянной в замкнутой системе только при обратимых процессах. При необра- тимых процессах в замкнутой системе энтропия всегда возрастает.Формула Больцмана (57.8) позволяет объяснить постулируемое вторымначалом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необ- ратимых процессах: возрастание энтропииозначает переход системы из менее вероятных в более вероятныесостояния. Таким образом, формула Больцмана позволяет дать статистическое толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистическим законом, описывает закономерности хаотического движения большого числа частиц, составляющих замкнутую систему.Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:1) по Кельвину:невозможен круговой процесс, единственным резуль-татом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;2) по Клаузнусу:невозможен круговой процесс, единственным резуль-татом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к бо- лее нагретому.Можно довольно просто доказать (предоставим это читателю) эквива-лентность формулировок Кельвина и Клаузиуса. Кроме того, показано, что если в замкнутой системе провести воображаемый процесс, противоречащий второ- му началу термодинамики в формулировке Клаузиуса, то он сопровождается уменьшением энтропии. Это же доказывает эквивалентность формулировки Клаузиуса (а следовательно, и Кельвина) и статистической формулировки, со- гласно которой энтропия замкнутой системы не может убывать.В середине XIX в. возникла проблема так называемой тепловой смертиВселенной.Рассматривая Вселенную как замкнутую систему и применяя к ней второе начало термодинамики, Клаузиус свел его содержание к утверждению, что энтропия Вселенной должна достигнуть своего максимума. Это означает, что со временем все формы движения должны перейти в тепловую. Переход же теплоты от горячих тел к холодным приведет к тому, что температура всех тел во Вселенной сравняется, т. е. наступит полное тепловое равновесие и все про- цессы во Вселенной прекратятся — наступит тепловая смерть Вселенной. Ошибочность вывода о тепловой смерти заключается в том, что бессмысленно применять второе начало термодинамики к незамкнутым системам, например к такой безграничной и бесконечно развивающейся системе, как Вселенная.Первые два начала термодинамики дают недостаточно сведений о пове-дении термодинамических систем при нуле Кельвина. Они дополняются третьимначалом термодинамики,или теоремой Нернста* — Планка:эн-тропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближе- ния температуры к нулю Кельвина:* В. Ф. Г. Нернст (1864—1941) — немецкий физик и химик.149Так как энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной,то эту постоянную удобно взять равной нулю. Отметим, однако, что это произ- вольное допущение, поскольку энтропия по своей сущностивсегда определя- ется с точностью до аддитивной постоянной. Из теоремы Нернста — Планка следует, что теплоемкости Ср и С V при 0 К равны нулю.§ 59. Т ЕПЛОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ХОЛОДИЛЬНЫЕМАШИНЫ . Ц ИКЛ К АРНО И ЕГО К . П . Д . ДЛЯИДЕАЛЬНОГО ГАЗАИз формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует,что вечныйдвигатель второго рода— периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, — невоз- можен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового дви- гателя (исторически второе начало термодинамики и возникло из анализа рабо- ты тепловых двигателей).Принцип действия теплового двигателя приведен на рис. 85. От термоста-та * с более высокой температурой T 1 называемого нагревателем,за цикл отни-мается количество теплоты Q 1 , a термостату с более низкой температурой Т 2 ,называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q 2 ,приэтом совершается работа A = Q 1 — Q 2 .Рис. 85Чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигате-ля (56.2) был равен 1, необходимо выполнение условия Q 2 = 0, т. е. тепловойдвигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Так, фран- цузский физик и инженер Н. Л. С. Карно (1796 — 1832) показал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теплоты с различ-* Термодинамическая система, которая может обмениваться теплотой с телами без изменения температуры.150ными температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодина- мики.Двигатель второго рода, будь он возможен, был бы практически вечным.Охлаждение, например, воды океанов на 1° дало бы огромную энергию. Масса воды в Мировом океане составляет примерно 1018 т, при охлаждении которойна 1° выделилось бы примерно 10 24 Дж теплоты, что эквивалентно полномусжиганию 10 14 т угля. Железнодорожный состав, нагруженный этим количест-вом угля, растянулся бы на расстояние 10 10 км, что приблизительно совпадает сразмерами Солнечной системы!Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется вхолодильной машине, принцип действия которой представлен на рис. 86. Сис- темой за цикл от термостата с более низкой температурой Тотнимается коли-2чество теплоты Q и от дается термостату с более высокой температурой Т ко-2 1личество теплоты Q 1 .Для кругового процесса, согласно (56.1), Q = A,но, по ус-ловию, Q = Q 2 - Q 1 < 0,поэтому A < 0 и Q 2 – Q 1 = - A,или Q 1 = Q 2 + A,т. е. ко-личество теплоты Q 1 ,отданное системой источнику теплоты при более высокойтемпературе Т 1 ,больше количества теплоты Q 2 ,полученного от источника теп-лоты при более низкой температуре Т 2 на величину работы, совершенной надсистемой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому.Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.Рис. 86Однако второе начало термодинамики не следует представлять так, чтооно совсем запрещает переход теплоты от менее нагретого тела к более нагре- тому. Ведь именно такой переход осуществляется в холодильной машине. Но при этом надо помнить, что внешние силы совершают работу над системой, т. е. этот переход не является единственным результатом процесса.Основываясь на втором начале термодинамики, Карно вывел теорему,носящую теперь его имя: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (Т1 ) и холодильников (Т 2 ),наибольшим к. п. д. обладают обратимые машины; при этом к. п. д. обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей (Т) и холо-1151дильников (Т 2 ), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела,совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими те- лами), а определяются только температурами нагревателя и холодильника.Карно теоретически проанализировал обратимый наиболее экономичныйцикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Его называют циклом Карно. Рассмотрим прямой циклКарно, в котором в качестве рабочего тела использу- ется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем.Цикл Карно изображен на рис. 87, где изотермические расширение и сжа-тие заданы соответственно кривыми 1—2 и 5—4,а адиабатические расширение и сжатие — кривыми 2—3и 4—7. При изотермическом процессе U=const, по- этому, согласно (54.4), количество теплоты Q1 ,полученное газом от нагревате-ля, равно работе расширения А ,совершаемой газом при переходе из состоя-12ния 1 в состояние 2:(59.1)Рис. 87При адиабатическом расширении 2—3теплообмен с окружающей сре-дой отсутствует и работа расширения А 23 совершается за счет изменения внут-ренней энергии (см. (55.1) и (55.8)):Количество теплоты Q 2 ,отданное газом холодильнику при изотермиче-ском сжатии, равно работе сжатия A :34152Работа адиабатического сжатияРабота, совершаемая в результате кругового процесса,и, как можно показать, определяется площадью, заштрихованной на рис. 87. Термический к. п. д. цикла Карно, согласно (56.2),Применив уравнение (55.5) для адиабат 2—3 и 4—1, получимоткуда(5.93)Подставляя (59.1) и (59.2) в формулу (56.2) и учитывая (59.3), получаем(59.4)т. е. для цикла Карно к. п. д. действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать раз- ность температур нагревателя и холодильника. Например, при T1 = 400 К и T 2 =300 К η = 0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а темпера-туру холодильника понизить на 50 К, то η = 0,5. К. п. д. всякого реального теп-лового двигателя из-за трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.Обратный циклКарно положен в основу действия тепловых насосов.Вотличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть — получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.Теорема Карно послужила основанием для установления термодинами-ческой шкалы температур.Сравнив левую и правую части формулы (59.4), получим (59.5)т. е. для сравнения температур T 1 и T 2 двух тел необходимо осуществить обра-тимый цикл Карно, в котором одно тело используется в качестве нагревателя, другое — холодильника. Из равенства (59.5) видно, что отношение температур тел равно отношению отданного в этом цикле количества теплоты к получен- ному. Согласно теореме Карно, химический состав рабочего тела не влияет на153результаты сравнения температур, поэтому такая термодинамическая шкала не связана со свойствами какого-то определенного термометрического тела. Отме- тим, что практически таким образом сравнивать температуры трудно, так как реальные термодинамические процессы, как уже указывалось, являются необ- ратимыми.З АДАЧИ9.1. Азот массой 1 кг находится при температуре 280 К. Определить: 1)внутреннюю энергию молекул азота; 2) среднюю кинетическую энергию вра- щательного движения молекул азота, Газ считать идеальным. [1) 208 кДж; 2) 83,1 кДж]9.2. Определить удельные теплоемкости c v и c p некоторого двухатомногогаза, если плотность этого газа при нормальных условиях 1,43 кг/м 3 . [с v =650Дж/(кг ⋅ К). c p =910 Дж/(кг ⋅ К)]9.3. Водород массой т = 20 гбыл нагрет на ? T=100 К при постоянномдавлении. Определить: 1) количество теплоты Q,переданное газу; 2) прираще- ние? U внутренней энергии газа; 3) работу Арасширения. [1) 29,3 кДж; 2) 20,9кДж; 3) 8,4 кДж]9.4 Кислород объемом 2 л находится под давлением 1 МПа. Определить,какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление вдвое в результате изохорного промесса. [5 кДж]9.5. Некоторый газ массой 2 кг находится при температуре 300 К и поддавлением 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа увели- чилось в три раза. Работа, затраченная на сжатие, A = -1,37 кДж. Определить: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа. [1) гелий; 2) 1,25 м3 /кг]9.6. Двухатомный идеальный газ занимает объем V 1 = 1 л и находится поддавлением p 1 =0,1 МПа. После адиабатического сжатия газ характеризуетсяобъемом V 2 и давлением p 2 .В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до пер-воначальной температуры, а его давление р 3 = 0,2МПа. Определить: 1) объемV 2 ; 2) давление p 2 .Представить эти процессы графически. [1) 0,5 л; 2) 0,26МПа]9.7. Идеальный газ количеством вещества v=2 моль сначала изобарно на-грели так, что его объем увеличился в n=2 раза, а затем изохорно охладили так, что давление газа уменьшилось вnп=2 раза. Определить приращение энтропии в ходе указанных процессов. [11,5 Дж/К]1549.8. Тепловая машина, совершая обратимый цикл Карно, за один цикл со-вершает работу 1 кДж. Температура нагревателя 400 К, а холодильника 300 К. Определить: 1) к. п. д. машины; 2) количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за цикл; 3) количество теплоты, отдаваемое холодильнику за цикл. [1) 25%; 2) 4 кДж; 3) 3 кДж]9.9. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический к. п. д. которогоравен 0,3. Определить работу изотермического сжатия газа, если работа изо- термического расширения составляет 300 Дж. [-210 Дж]155 ГЛАВА 10РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИИ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА§ 60. С ИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМодель идеального таза, используемая в молекулярно-кинетической тео-рии газов, позволяет описывать поведение разреженных реальных газов при достаточно высоких температурах и низких давлениях. При выводе уравнения состояния идеального газа размерами молекул и их взаимодействием друг с другом пренебрегают. Повышение давления приводит к уменьшению среднего расстояния между молекулами, поэтому необходимо учитывать объем молекул и взаимодействие между ними. Так, в 1 м3 газа при нормальных условиях со-держится 2,68 ⋅ 10 15 молекул, занимающих объем примерно 10 -4 м 3 (радиус моле-кулы примерно 10 -10 м), которым по сравнению с объемом газа (1 м 3 ) можнопренебречь. При давлении 500 МПа (1 атм = 101,3 кПа) объем молекул составит уже половину всего объема газа. Таким образом, при высоких давлениях и низ- ких температурах указанная модель идеального газа непригодна.При рассмотрении реальных газов — газов, свойства которых зависят отвзаимодействия молекул, надо учитывать силы межмолекулярного взаимодей- ствия. Они проявляются на расстояниях < 10-9 м и быстро убывают при увели-чении расстояния между молекулами. Такие силы называются короткодейст- вующими.В XX в., по мере развития представлений о строении атома и квантовоймеханики, было выяснено, что между молекулами вещества одновременно дей- ствуют силы притяжения и силы отталкивания. На рис. 88, априведена качест- венная зависимость сил межмолекулярного взаимодействия от расстояния г между молекулами, где F0 и F п — соответственно силы отталкивания и притя-жения, a F — их результирующая. Силы отталкивания считаются положитель- ными,а силы взаимного притяжения — отрицательными.На расстоянии г = г 0 результирующая сила F = 0,т. е. силы притяжения иотталкивания уравновешивают друг друга. Таким образом, расстояние г 0 соот-ветствует равновесному расстоянию между молекулами, на котором бы они на- ходились в отсутствие теплового движения. При г < г0 преобладают силы от-талкивания (F > 0),при г > г —силы притяжения (F < 0). На расстояниях г > 10 -90м межмолекулярные силы взаимодействия практически отсутствуют (F = 0).Элементарная работа δ Aсилы F при увеличении расстояния между моле-кулами на dr совершается за счет уменьшения взаимной потенциальной энергии молекул, т. е.(60.1)156Рис. 88Из анализа качественной зависимости потенциальной энергии взаимодей-ствия молекул от расстояния между ними (рис. 88, б) следует, что если молеку- лы находятся друг от друга на расстоянии, на котором межмолекулярные силы взаимодействия не действуют (г→ ∞ ), то П = 0. При постепенном сближениимолекул между ними появляются силы притяжения (F < 0), которые совершают положительную работу (δ A = Fdr > 0).Тогда, согласно (60.1), потенциальнаяэнергия взаимодействия уменьшается, достигая минимума при r = r 0 .При г < г 0с уменьшением г силы отталкивания (F > 0)резко возрастают и совершаемая против них работа отрицательна (δ A = Fdr < 0).Потенциальная энергия начина-ет тоже резко возрастать и становится положительной. Из данной потенциаль- ной кривой следует, что система из двух взаимодействующих молекул в со- стоянии устойчивого равновесия (г = г0 ) обладает минимальной потенциальнойэнергией.Критерием различных агрегатных состояний вещества является соотно-шение между величинами П min и kT.П min — наименьшая потенциальная энергиявзаимодействия молекул — определяет работу, которую нужно совершить про- тив сил притяжения для того, чтобы разъединить молекулы, находящиеся в равновесии (г = го); kTопределяет удвоенную среднюю энергию, приходящую-157ся на одну степень свободы хаотического (теплового) движения молекул.Если П min ? kT,то вещество находится в газообразном состоянии, таккак интенсивное тепловое движение молекул препятствует соединению моле- кул, сблизившихся до расстояния го, т. е. вероятность образования агрегатов из молекул достаточно мала. Если Пmin ? kT,то вещество находится в твердомсостоянии, так как молекулы, притягиваясь друг к другу, не могут удалиться на значительные расстояния и колеблются около положений равновесия, опреде- ляемого расстоянием г0 . Если П min ≈ kT,то вещество находится в жидком со-стоянии, так как в результате теплового движения молекулы перемещаются в пространстве, обмениваясь местами, но не расходясь на расстояние, превы- шающее г0 .Таким образом, любое вещество в зависимости от температуры можетнаходиться в газообразном, жидком или твердом агрегатном состоянии, причем температура перехода из одного агрегатного состояния в другое зависит, от зна- чения Пmin для данного вещества. Например, у инертных газов П min мало, а уметаллов велико, поэтому при обычных (комнатных) температурах они нахо- дятся соответственно в газообразном и твердом состояниях.§ 61. У РАВНЕНИЕ В АН - ДЕР -В ААЛЬСАКак уже указывалось в § 60, для реальных газов необходимо учитыватьразмеры молекул и их взаимодействие друг с другом, поэтому модель идеаль- ного газа и уравнение Клапейрона — Менделеева (42.4) pV=RT (для моля га-mза), описывающее идеальный газ, для реальных газов непригодны.Учитывая собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаи-модействия, голландский физик И. Ван-дер-Ваальс (1837—1923) вывел уравне- ние состояния реального газа. Ван-дер-Ваальсом в уравнение Клапейрона — Менделеева введены две поправки.1. Учет собственного объема молекул. Наличие сил отталкивания, ко-торые противодействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул, сводится к тому, что фактический свободный объем, в котором могут двигаться молекулы реального газа, будет не Vm , a.V m - b,где b— объем, зани-маемый самими молекулами.Объем bравен учетверенному собственному объему молекул.Если, на-пример, в сосуде находятся две молекулы, то центр любой из них не может приблизиться к центру фугой молекулы на расстояние, меньшее диаметра dмо- лекулы. Это означает, что для центров обеих молекул оказывается недоступ- ным сферический объем радиуса d,т. е. объем, равный восьми объемам моле- кулы или учетверенному объему молекулы в рас чете на одну молекулу.2. Учет притяжения молекул. Действие сил притяжения газа приводитк появлению дополнительного давления на газ, называемого внутренним дав- лением. По вычислениям Ван-дер-Ваальса, внутреннее давление обратно про- порционально квадрату молярного объема, т. е.158(61.1)где а— постоянная Ван-дер-Ваальса, характеризующая силы межмолекулярно- го притяжения, Vm — молярный объем.Вводя эти поправки, получим уравнение Ван-дер-Ваальса для моля газа(уравнение состояния реальных газов):(61.2)Для произвольного количества вещества v газа (v = m/M) с учетом того,что V = vV m ,уравнение Ван-дер-Ваальса примет видгде поправки аи b— постоянные для каждого газа величины, определяемые опытным путем (записываются уравнения Ван-дер-Ваальса для двух известных из опыта состояний газа и решаются относительно аи b).При выводе уравнения Ван-дер-Ваальса сделан целый ряд упрощений,поэтому оно также весьма приближенное, хотя и лучше (особенно для несильно сжатых газов) согласуется с опытом, чем уравнение состояния идеального газа.Уравнение Ван-дер-Ваальса не единственное уравнение, описывающеереальные газы. Существу ют и другие уравнения, некоторые из них даже точнее описывают реальные газы, но не рассматриваются из-за их сложности.§ 62. И ЗОТЕРМЫ В АН - ДЕР -В ААЛЬСА И ИХ АНАЛИЗДля исследования поведения реального газа рассмотрим изотермы Ван-дер-Ваальса — кривые зависимости р от V m при заданных T, определяемыеуравнением Ван-дер-Ваальса (61.2) для молягаза. Эти кривые (рассматривают- ся для четырех различных температур; рис. 89) имеют довольно своеобразный характер. При высоких температурах (Т > Тk изотерма реального газа отличает-ся от изотермы идеального таза только некоторым искажением ее формы, оста- ваясь монотонно спадающей кривой. При некоторой температуре Tк на изотер-ме имеется лишь одна точка перегиба К.Эта изотерманазывается критической,соответствующая ей температу-ра T k — критической температурой;точка перегиба Кназывается критиче-ской точкой;в этой точке касательная к ней параллельна оси абсцисс. Соот- ветствующие этой точке объем Кк и давлениер к называются также критиче-скими.Состояние с критическими параметрами (p k , V k , T k ) называется крити-ческим состоянием.При низких температурах (Т <T ) изотермы имеют вол-k159Рис. 89Для пояснения характера изотерм преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса (61.2) к виду(62.1)Уравнение (62.1) при заданных р и Тявляется уравнением третьей степе-ни относительно V ; следовательно, оно может иметь либо три вещественныхmкорня, либо один вещественный и два мнимых, причем физический смысл имеют лишь вещественные положительные корни. Поэтому первому случаю соответствуют изотермы при низких температурах (три значения объема газа V1 , V 2 и V 3 отвечают (символ «m» для простоты опускаем) одному значениюдавления р 1 ),второму случаю — изотермы при высоких температурах.Рассматривая различные участки изотермы при Т < Т К (рис. 90), видим,что на участках 1—3и 5—7 при уменьшении объема V давление рвозрастает,mчто естественно. На участке 3—5 сжатие вещества приводит к уменьшению давления; практика же показывает, что такие состояния в природе не осуществ- ляются. Наличие участка 3—5 означает, что при постепенном изменении объе- ма вещество не может оставаться все время в виде однородной среды; в некото- рый момент должно наступить скачкообразное изменение состояния и распад вещества на две фазы. Таким образом, истинная изотерма будет иметь вид ло- маной линии 7—6—2—1, Часть 6—7 отвечает газообразному состоянию, а часть 2—1 — жидкому. В состояниях, соответствующих горизонтальному уча- стку изотермы 6—2,наблюдается равновесие жидкой и газообразной фаз веще- ства. Вещество в газообразном состоянии при температуре ниже критической называется паром, а пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, назы- вается насыщенным.160Рис. 90Данные выводы, следующие из анализа уравнения Ван-дер-Ваальса, былиподтверждены опытами ирландского ученого Т. Эндрюса (1813—1885), изу- чавшего изотермическое сжатие углекислого газа. Отличие экспериментальных (Эндрюс) и теоретических (Ван-дер-Ваальс) изотерм заключается в том, что превращению газа в жидкость в первом случае соответствуют горизонтальные участки, а во втором — волнообразные.Для нахождения критических параметров подставим их значения в урав-нение (62.1) и запишем(62.2)(символ «m» для простоты опускаем). Поскольку в критической точке все три корня совпадают и равны Vk ,уравнение приводится к видуили(62.3)Так как уравнения (62.2) и (62.3) тождественны, то в них должны бытьравны и коэффициенты при неизвестных соответствующих степеней. Поэтому можно записатьРешая полученные уравнения, найдем(62.4)Если через крайние точки горизонтальных участков семейства изотермпровести линию, то получится колоколообразная кривая (рис. 91), ограничи- вающая область двухфазных состояний вещества. Эта кривая и критическая161изотерма делят диаграмму р, V m под изотермой на три области: под колоколо-образной кривой располагается область двухфазных состояний (жидкость и на- сыщенный пар), слева от нее находится область жидкого состояния, а справа — область пара. Пар отличается от остальных газообразных состояний тем, что при изотермическом сжатии претерпевает процесс сжижения. Газ же при тем- пературе выше критической не может быть превращен в жидкость ни при ка- ком давлении.Рис. 91Сравнивая изотерму Ван-дер-Ваальса с изотермой Эндрюса (верхняя кри-вая на рис. 92), видим, что последняя имеет прямолинейный участок 2—6,со- ответствующий двухфазным состояниям вещества. Правда, при некоторых ус- ловиях могут быть реализованы состояния, изображаемые участками ван-дер- ваальсовой изотермы 5—6и 2—3.Эти неустойчивые состояния называются метастабнльнымн.Участок 2—3изображает перегретую жидкость, 5—6 — пересыщенный пар.Обе фазы ограниченно устойчивы.Рис. 92При достаточно низких температурах изотерма пересекает ось F m , пере-ходя в область отрицательных давлений (нижняя кривая на рис. 92). Вещество162под отрицательным давлением находится в состоянии растяжения. При некото- рых условиях такие состояния также реализуются. Участок 8—9на нижней изо- терме соответствует перегретой жидкости,участок 9—10— растянутой жидкости.§ 63. В НУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ РЕАЛЬНОГО ГАЗАВнутренняя энергия реального газа складывается из кинетической энер-гии теплового движения его молекул (определяет внутреннюю энергию иде- ального газа, равную CV T;см. § 53) и потенциальной энергии межмолекулярно-го взаимодействия. Потенциальная энергия реального газа обусловлена только силами притяжения между молекулами. Наличие сил притяжения приводит к возникновению внутреннего давления на газ (см. (61.1)):Работа, которая затрачивается для преодоления сил притяжения, дейст-вующих между молекулами газа, как известно из механики, идет на увеличениепотенциальной энергии системы, т. е. δ A = p'dV m = δ ∏,или δ ∏= V a m 2 dV ,отку -да(постоянная интегрирования принята равной нулю). Знак минус означает, что молекулярные силы, создающие внутреннее давление р',являются силами при- тяжения (см. § 60). Учитывая оба слагаемых, получим, что внутренняя энергия моля реального газа(63.1)растет с повышением температуры и увеличением объема.Если газ расширяется без теплообмена с окружающей средой (адиабати-ческий процесс, т. е. δ Q = 0)и не совершает внешней работы (расширение газав вакуум, т. е. δ А = 0),то на основании первого начала термодинамики ( δ Q =(U 2 – U 1 ) + δ A) получим, чтоСледовательно, при адиабатическом расширении без совершения внеш-ней работы внутренняя энергия газа не изменяется.Равенство (63.2) формально справедливо как для идеального, так и дляреального газов, но физический смысл его для обоих случаев совершенно раз- личен. Для идеального газа равенство U= U означает равенство температурt 2(T 1 = T 2 ), т. е. при адиабатическом расширении идеального газа в вакуум еготемпература не изменяется. Для реального газа из равенства (63.2), учитывая, что для моля газа163получаем(63.3)Так как V 2 > V 1 (то Т 1 > Т 2 ,т. е. реальный газ при адиабатическом расши-рении в вакуум охлаждается. При адиабатическом сжатии в вакуум реальный газ нагревается.§ 64. Э ФФЕКТ Д ЖОУЛЯ — Т ОМСОНАЕсли идеальный газ адиабатически расширяется и совершает при этомработу, то он охлаждается, так как работа в данном случае совершается за счет его внутренней энергии (см. § 55). Подобный процесс, но с реальным газом — адиабатическое расширение реального газа с совершением внешними силами положительной работы— осуществили английские физики Дж. Джоуль (1818— 1889) и У. Томсон (лорд Кельвин, 1824—1907).Рис. 93Рассмотрим эффект Джоуля — Томсона. На рис. 93 представлена схемаих опыта. В теплоизолированной трубке с пористой перегородкой находятся два поршня, которые могут перемещаться без трения. Пусть сначала слева от перегородки газ под поршнем 1 находится под давлением p,занимает объем V1 1при температуре T ,а справа газ отсутствует (поршень 2 придвинут к перего-1родке). После прохождения газа через пористую перегородку в правой части газ характеризуется параметрами р2 , V 2 , Т 2 .Давления p 1 и p 2 поддерживаются по-стоянными (р 1 > р 2 ).Так как расширение газа происходит без теплообмена с окружающей сре-дой (адиабатически), то на основании первого начала термодинамики(64.1)164Внешняя работа, совершаемая газом, состоит из положительной работыпри движении поршня 2 (A 2 = p 2 V 2 )и отрицательной при движении поршня 1(A 1 = p 1 V 1 ),т. е. δ А = А 2 —А 1 .Подставляя выражения для работ в формулу(64.1), получаем(64.2)Таким образом, в опыте Джоуля — Томсона сохраняется (остается неиз-менной) вели чина U+pV.Она является функцией состояния и называется эн- тальпией.Ради простоты рассмотрим 1 мольгаза. Подставляя в формулу (64.2) вы-ражение (63.3) и рассчитанные из уравнения Ван-дер-Ваальса (61.2) значения p1 V 1 и p 2 V 2 (символ «m» опять опускаем) и производя элементарные преобра-зования, получаем4.3)Из выражения (64.3) следует, что знак разности (Т 2 – T 1 )зависит от того,какая из поправок Ван-дер-Ваальса играет большую роль. Проанализируем данное выражение, сделав допущение, что p2 ≈ p 1 и V 2 ≈ V 11) а ≈ 0 — не учитываем силы притяжения между молекулами, а учиты-ваем лишь размеры самих молекул. Тогдат. е. газ в данном случае нагревается;2) b ≈ 0— не учитываем размеров молекул, а учитываем лишь силы при-тяжения между молекулами. Тогдат. е. газ в данном случае охлаждается;3) учитываем обе поправки. Подставив в выражение (64.3) вычисленноеиз уравнения Ван-дер-Ваальса (61.2) значение р 1 имеем(64.4)т. е. знак разности температур зависит от значений начального объема V 1 и на-чальной температуры T 1 .Изменение температуры реального газа в результате его адиабатическогорасширения, или, как говорят, адиабатического дросселирования — медленного прохождения газа под действием перепада давления сквозь дроссель (например, пористую перегородку), называется эффектом Джоуля — Томсона. Эффект Джоуля — Томсона принято называть положительным, если газ в процессе дросселирования охлаждается (165( ? T > 0).В зависимости от условий дросселирования для одного и того же газаэффект Джоуля — Томсона может быть как положительным, так и отрицатель- ным. Температура, при которой (для данного давления) происходит изменение знака эффекта Джоуля — Томсона, называется температурой инверсии. Ее за- висимость от объема получим, приравняв выражение (64.4) нулю:(64.5)Кривая, определяемая уравнением (64.5), — кривая инверсии — приве-дена на рис. 94. Область выше этой кривой соответствует отрицательному эф- фекту Джоуля — Томсона, ниже — положительному. Отметим, что при боль- ших перепадах давления на дросселе температура газа изменяется значительно. Так, при дросселировании от 20 до 0,1 МПа и начальной температуре 17° С воздух охлаждается на 35° С.Рис. 94Эффект Джоуля — Томсона обусловлен отклонением газа от идеально-сти. В самом деле, для моля идеального газа pV m =RT,поэтому выражение(64.2) примет видоткуда следует, что T 1 = T 2 .§ 65. С ЖИЖЕНИЕ ГАЗОВПревращение любого газа в жидкость — сжижение газа — возможнолишь при температуре ниже критической (см. § 62). При ранних попытках сжижения газов оказалось, что некоторые газы (С12 , СО 2 , NH 3 ) легко сжижа-лись изотермическим сжатием, а целый ряд газов (О 2 , N2, HZ , Не) сжижению неподдавался. Подобные неудачные попытки объяснил Д. И. Менделеев, пока- завший, что сжижение этих газов производилось при температуре, большей критической, и поэтому заранее было обречено на неудачу. Впоследствии уда- лось получить жидкий кислород, азот и водород (их критические температуры166равны соответственно 154,4, 126,1 и 33 К), а в 1908 г. нидерландский физик Г. Камерлинг-Оннес (1853—1926) добился сжижения гелия, имеющего самую низкую критическую температуру (5,3 К).Для сжижения газов чаще применяются два промышленных метода, в ос-нове которых используется либо эффект Джоуля — Томсона, либо охлаждение газа при совершении им работы.Схема одной из установок, в которой используется эффект Джоуля—Томсона, — машины Линде * — представлена на рис. 95. Воздух в компрессоре(К) сжимается до давления в десятки мегапаскаль и охлаждается в холодильни- ке (X) до температуры ниже температуры инверсии, в результате чего при дальнейшем расширении газа наблюдается положительный эффект Джоуля — Томсона (охлаждение газа при его расширении). Затем сжатый воздух проходит по внутренней трубе теплообменника (ТО) и пропускается через дроссель (Др), при этом он сильно расширяется и охлаждается. Расширившийся воздух вновь засасывается по внешней трубе теплообменника, охлаждая вторую порцию сжатого воздуха, текущего по внутренней трубе. Так как каждая следующая порция воздуха предварительно охлаждается, а затем пропускается через дрос- сель, то температура понижается все больше. В результате 6—8-часового цикла часть воздуха (» 5%), охлаждаясь до температуры ниже критической, сжижает- ся и поступает в дьюаровский сосуд (ДС) (см. § 49), а остальная его часть воз- вращается в теплообменник.Рис. 95Второй метод сжижения газов основан на охлаждении газа при соверше-нии им работы. Сжатый газ, поступая в поршневую машину (детандер),расши- ряется и совершает при этом работу по передвижению поршня. Так как работа совершается за счет внутренней энергии газа, то его температура при этом по- нижается.Академик П. Л. Капица предложил вместо детандера применять турбоде-тандер, в котором газ, сжатый всего лишь до 500—600 кПа, охлаждается, со- вершая работу по вращению турбины. Этот метод успешно применен Капицей для сжижения гелия, предварительное охлаждение которого производилось жидким азотом. Современные мощные холодильные установки работают по принципу турбодетандера.* К. Линде (1842—1934) — немецкий физик и инженер.167§ 66. С ВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ . П ОВЕРХНОСТНОE НАТЯЖЕНИЕЖидкость является агрегатным состоянием вещества, промежуточныммежду газообразным и твердым, поэтому она обладает свойствами как газооб- разных, так и твердых веществ. Жидкости, подобно твердым телам, обладают определенным объемом, а подобно газам, принимают форму сосуда, в котором они находятся (см. § 28). Молекулы газа практически не связаны между собой силами межмолекулярного взаимодействия, и в данном случае средняя энергия теплового движения молекул газа гораздо больше средней потенциальной энер- гии, обусловленной силами притяжения между ними (см. § 60), поэтому моле- кулы газа разлетаются в разные стороны и газ занимает предоставленный ему объем. В твердых и жидких телах силы притяжения между молекулами уже существенны и удерживают молекулы на определенном расстоянии друг от друга. В этом случае средняя энергия хаотического (теплового) движения мо- лекул меньше средней потенциальной энергии, обусловленной силами межмо- лекулярного взаимодействия, и ее недостаточно для преодоления сил притяже- ния между молекулами, поэтому твердые тела и жидкости имеют определен- ный объем.Рентгеноструктурный анализ жидкостей показал, что характер располо-жения частиц жидкости промежуточен между газом и твердым телом. В газах молекулы движутся хаотично, поэтому нет никакой закономерности в их вза- имном расположении. Для твердых тел наблюдается так называемый дальний порядокв расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположение, повто- ряющееся на больших расстояниях. В жидкостях имеет место так называемый ближний порядокв расположении частиц, т. е. их упорядоченное расположе- ние, повторяющееся на расстояниях, сравнимых с межатомными.Теория жидкости до настоящего времени полностью не развита. Разра-ботка ряда проблем в исследовании сложных свойств жидкости принадлежит Я. И. Френкелю (1894—1952). Тепловое движение в жидкости он объяснял тем, что каждая молекула в течение некоторого времени колеблется около 9пределенного положения равновесия, после чего скачком переходит в новое положение, отстоящее от исходного на расстоянии порядка межатомного. Та- ким образом, молекулы жидкости довольно медленно перемещаются по всей массе жидкости и диффузия происходит гораздо медленнее, чем в газах. С по- вышением температуры жидкости частота колебательного движения резко уве- личивается, возрастает подвижность молекул, что, в свою очередь, является причиной уменьшения вязкости жидкости.На каждую молекулу жидкости со стороны окружающих молекул дейст-вуют силы притяжения, быстро убывающие с расстоянием (см. рис. 88); следо- вательно, начиная с некоторого минимального расстояния силами притяжения между молекулами можно пренебречь. Это расстояние (порядка 10-9 м) назы-вается радиусом молекулярного действия г, а сфера радиуса г — сферой моле-168кулярного действия.Выделим внутри жидкости какую-либо молекулу А(рис. 96) и проведемвокруг нее сферу радиуса г. Достаточно, согласно определению, учесть дейст- вие на данную молекулу только тех молекул, которые находятся внутри сферы молекулярного действия. Силы, с которыми эти молекулы действуют на моле- кулу А,направлены в разные стороны и в среднем скомпенсированы, поэтому результирующая сила, действующая на молекулу внутри жидкости со стороны других молекул, равна нулю. Иначе обстоит дело, если молекула, например мо- лекула В,расположена от поверхности на расстоянии, меньшем r.В данном случае сфера молекулярного действия лишь частично расположена внутри жидкости. Так как концентрация молекул в расположенном над жидкостью газе мала по сравнению с их концентрацией в жидкости, то равнодействующая сил F, приложенных к каждой молекуле поверхностного слоя, не равна нулю и на- правлена внутрь жидкости. Таким образом, результирующие силы всех молекул поверхностного слоя оказывают на жидкость давление, называемое молекуляр- ным (или внутренним). Молекулярное давление не действует на тело, поме- щенное в жидкость, так как оно обусловлено силами, действующими только между молекулами самой жидкости.Рис. 96Суммарная энергия частиц жидкости складывается из энергии их хаоти-ческого (теплового) движения и потенциальной энергии, обусловленной силами межмолекулярного взаимодействия. Для перемещения молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой надо затратить работу. Эта работа совершается за счет кинетической энергии молекул и идет на увеличение их потенциальной энергии. Поэтому молекулы поверхностного слоя жидкости обладают большей потенциальной энергией, чем молекулы внутри жидкости. Эта дополнительная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое жидкости, назы- ваемая поверхностной энергией, пропорциональна площади слоя? S:(66.1)где σ — поверхностное натяжение.Так как равновесное состояние характеризуется минимумом потенциаль-ной энергии, то жидкость при отсутствии внешних сил будет принимать такую169форму, чтобы при заданном объеме она имела минимальную поверхность, т. е. форму шара. Наблюдая мельчайшие капельки, взвешенные в воздухе, можем видеть, что они действительно имеют форму шариков, но несколько искажен- ную из-за действия сил земного тяготения. В условиях невесомости капля лю- бой жидкости (независимо от ее размеров) имеет сферическую форму, что до- казано экспериментально на космических кораблях.Итак, условием устойчивого равновесия жидкости является минимум по-верхностной энергии. Это означает, что жидкость при заданном объеме должна иметь наименьшую площадь поверхности, т. е. жидкость стремится сократить площадь свободной поверхности. В этом случае поверхностный слой жидкости можно уподобить растяну той упругой пленке, в которой действуют силы на- тяжения.Рассмотрим поверхность жидкости (рис. 97), ограниченную замкнутымконтуром. Под действием сил поверхностного натяжения (направлены по каса- тельной к поверхности жидкости и перпендикулярно участку контура, на кото- рый они действуют) поверхность жидкости сократилась и рассматриваемый контур переместился в положение, отмеченное светло-серым цветом. Силы, действующие со стороны выделенного участка на граничащие с ним участки, совершают работугде f — сила поверхностного натяжения, действующая на единицу длины кон- тура поверхности жидкости.Рис. 97Из рис. 97 видно, что ? l ? x = ? S, т. е.(66.2)Эта работа совершается за счет уменьшения поверхностной энергии, т. е.170Из сравнения выражений (66.1) — (66.3) видно, что(66.4) т. с. поверхностное натяжениеаравно силе поверхностного натяжения, при- ходящейся на единицу длины контура, ограничивающего поверхность. Единица поверхностного натяжения — ньютон на метр(Н/м) или джоуль на квадрат- ный метр(Дж/м2 ) (см. (66.4) и (66.1)). Большинство жидкостей при температу-ре 300 К имеет поверхностное натяжение порядка 10 -2 —10 -1 Н/м. Поверхност-ное натяжение с повышением температуры уменьшается, так как увеличивают- ся средние расстояния между молекулами жидкости.Поверхностное натяжение существенным образом зависит от примесей,имеющихся в жидкостях. Вещества,ослабляющие поверхностное натяжение жидкости, называются поверхностно-активными.Наиболее известным по- верхностно-активным веществом по отношению к воде является мыло. Оно сильно уменьшает ее поверхностное натяжение (примерно с 7,5⋅ 10 -2 до 4,5 ⋅ 10 -2Н/м). Поверхностно-активными веществами, понижающими поверхностное на- тяжение воды, являются также спирты, эфиры, нефть и др.Существуют вещества (сахар, соль), которые увеличивают поверхностноенатяжение жидкости благодаря тому, что их молекулы взаимодействуют с мо- лекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Например, если посолить мыльный раствор, то в поверхностный слой жидкости выталки- вается молекул мыла больше, чем в пресной воде. В мыловаренной технике мыло «высаливается» этим способом из раствора.§ 67. С МАЧИВАНИЕИз практики известно, что капля воды растекается на стекле и принимаетформу, изображенную на рис. 98, в то время как ртуть на той же поверхности превращается в несколько сплюснутую каплю (рис. 99). В первом случае гово- рят, что жидкость смачиваеттвердую поверхность, во втором — не смачивает ее. Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами по- верхностных слоев соприкасающихся сред. Для смачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость стремится увеличить поверхность со- прикосновения с твердым телом. Для несмачивающей жидкости силы притя- жения между молекулами жидкости и твердого тела меньше, чем между моле- кулами жидкости, и жидкость стремится уменьшить поверхность своего сопри- косновения с твердым телом.171Рис. 98 Рис. 99К линии соприкосновения трех сред (точка Оесть ее пересечение с плос-костью чертежа) приложены три силы поверхностного натяжения, которые на- правлены по касательной внутрь поверхности соприкосновения соответствую- щих двух сред (рис. 98 и 99). Эти силы, отнесенные к единице длинылинии со- прикосновения, равны соответствующим поверхностным натяжениямσ 12 , σ 13 ,σ 23 .Угол θ между касательными к поверхности жидкости и твердого тела назы-вается краевым углом. Условием равновесия капли (рис. 98) является равенство нулю суммы проекций сил поверхностного натяжения на направление каса- тельной к поверхности твердого тела, т. е.откуда(67.1)Из условия (67.1) вытекает, что краевой угол может быть острым или ту-пым в зависимости от значений ⋅σ 13 и σ 12 . Если σ 13 > σ 12 ,то cos θ > 0 и угол θ —острый (рис. 98), т. е. жидкость смачивает твердую поверхность. Если σ 13 < σ 12 ,то cos θ < 0 и угол θ — тупой (рис. 99), т. е. жидкость не смачивает твердую по-верхность. Краевой угол удовлетворяет условию (67.1), если(67.2)Если условие (67.2) не выполняется, то капля жидкости 2 ни при какихзначениях θ не может находиться в равновесии. Если σ 13 > σ 12 + σ 23 , то жид-кость растекается по поверхности твердого тела, покрывая его тонкой пленкой (например, керосин на поверхности стекла), — имеет место полное смачивание (в данном случаеθ = 0). Если σ 12 > σ 13 + σ 23 , то жидкость стягивается в шаро-вую каплю, в пределе имея с ней лишь одну точку соприкосновения (например, капля воды на поверхности парафина), — имеет место полное иесмачнвавяе (в данном случаеθ = π ).Смачивание и несмачивание являются понятиями относительными, т. е.жидкость, смачивающая одну твердую поверхность, не смачивает другую. На- пример, вода смачивает стекло, но не смачивает парафин; ртуть не смачивает172стекло, но смачивает чистые поверхности металлов.Явления смачивания и несмачивания имеют большое значение в технике.Напри мер, в методе флотационного обогащения руды (отделение руды от пус- той породы) ее, мелко раздробленную, взбалтывают в жидкости, смачивающей пустую породу и не смачивающей руду. Через эту смесь продувается воздух, а затем она отстаивается. При этом смоченные жидкостью частицы породы опус- каются на дно, а крупинки минералов «прилипают» к пузырькам воздуха и всплывают на поверхность жидкости. При механической обработке металлов их смачивают специальными жидкостями, что облегчает и ускоряет обработку.§ 68. Д АВЛЕНИЕ ПОД ИСКРИВЛЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИЕсли поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказываетна жидкость избыточное (добавочное) давление.Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверхности — отрицательно.Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверх-ность жидкости имеет форму сферы радиуса R,от которой мысленно отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса г = Rsinα (рис.100). Накаждый бесконечно малый элемент длины ? l этого контура действует сила по-верхностного натяжения ? F = σ? l,касательная к поверхности сферы. Разложив? F на два компонента ( ? F 1 и ? F 2 ), видим, что геометрическая сумма сил ? F 2равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направле- ны в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодейст- вующая сил поверхностного натяжения, действующих на вырезанный сегмент, направлена перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидкости и равна ал- гебраической сумме составляющих? F 1 :Разделив эту силу на площадь основания сегмента яг 2 , вычислим избы-точное давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности:(68.1)Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результи-рующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна(68.2)Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностьюменьше, чем в газе, на величину ? p.173Формулы (68.1) и (68.2) являются частным случаем формулы Лапласа * ,определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякоекривизны:(68.3)где R 1 и R 2 -радиусы кривизны двух любых взаимно перпендикулярных нор-мальных сечений поверхности жидкости в данной точке. Радиус кривизны по- ложителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.Для сферической искривленной поверхности (R 1 = R 1 = R)выражение(68.3) переходит в (68.1), для цилиндрической (R 1 = Rи R 2 = ∞ )— избыточноедавлениеВ случае плоской поверхности (R = R = ∞ ) силы поверхностного натя-1 2жения избыточного давления не создают.§ 69. К АПИЛЛЯРНЫE ЯВЛЕНИЯЕсли поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, на-литую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидко- стью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверх- ность жидкости — мениск — имеет вогнутую форму, если не смачивает — вы- пуклую (рис. 101).Рис. 101Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточ-ное давление, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приво- дит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так как под плоской по- верхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же174жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давле- ние приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капил- ляре поднимается или опускается на такую высоту h,при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление)ρ ghуравновешивается избыточ-ным давлением ? р, т. е.где р— плотность жидкости, g —ускорение свободного падения.Если r— радиус капилляра, θ — краевой угол, то из рис. 101 следует, что(2 σ cos θ )/r = ρ gh,откуда(69.1)В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднима-ется, а несмачивающая — опускается, из формулы (69.1) при θ < π /2 (cos0>0)получим положительные значения А, а при 0>я/2 (cos0<0) — отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жид- кость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (0=0) вода (р=1000 кг/м3 , <т=0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается навысоту А«3 м.Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике. На-пример, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия во- ды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т. д.§ 70. Т ВЕРДЫE ТЕЛА . М ОНО - И ПОЛИКРИСТАЛЛЫТвердые тела (кристаллы) характеризуются наличием значительных силмежмолекулярного взаимодействия и сохраняют постоянными не только свой объем, но и форму. Кристаллы имеют правильную геометрическую форму, ко- торая, как показали рентгенографические исследования немецкого физика- теоретика М. Лауэ (1879—1960), является результатом упорядоченного распо- ложения частиц (атомов, молекул, ионов), составляющих кристалл. Структура, для которой характерно регулярное расположение частиц с периодической по- вторяемостью в трех измерениях, называется кристаллической решеткой. Точ- ки, в которых расположены частицы, а точнее — средние равновесные положе- ния, около которых частицы совершают колебания, называются узлами кри- сталлической решетка.Кристаллические тела можно разделить на две группы: монокристаллы иполи кристаллы. Монокристаллы — твердые тела, частицы которых образуют единую кристаллическую решетку. Кристаллическая структура монокристаллов обнаруживается по их внешней форме. Хотя внешняя форма монокристаллов одного типа может быть различной, но углы между соответствующими гранями175у них остаются постоянными. Это закон постоянства углов, сформулированный М. В. Ломоносовым. Он сделал важный вывод, что правильная форма кристал- лов связана с закономерным размещением частиц, образующих кристалл. Мо- нокристаллами являются большинство минера лов. Однако крупные природные монокристаллы встречаются довольно редко (например, лед, поваренная соль, исландский шпат). В настоящее время многие монокристаллы выращиваются искусственно. Условия роста крупных монокристаллов (чистый раствор, мед- ленное охлаждение и т. д.) часто не выдерживаются, поэтому большинство твердых тел имеет мелкокристаллическую структуру, т. е. состоит из множест- ва беспорядочно ориентированных мелких кристаллических зерен. Такие твер- дые тела называются поликристаллами (многие горные породы, металлы и сплавы).Характерной особенностью монокристаллов является их анизотропность,т. е. зависимость физических свойств — упругих, механических, тепловых, электрических, магнитных, оптических — от направления. Анизотропия моно- кристаллов объясняется тем, что в кристаллической решетке различно число частиц, приходящихся на одинаковые по длине, но разные по направлению от- резки (рис. 102), т. е. плотность расположения частиц кристаллической решетки по разным направлениям неодинакова, что и приводит к различию свойств кри- сталла вдоль этих направлений. В поликристаллах анизотропия наблюдается только для отдельных мелких кристалликов, но их различная ориентация при- водит к тому, что свойства поликристалла по всем направлениям в среднем одинаковы.Рис. 102§ 71. Т ИПЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛСуществует два признака для классификации кристаллов: 1) кристалло-графический; 2) физический (природа частиц, расположенных в узлах кристал- лической решетки, и характер сил взаимодействия между ними).1. Кристаллографический признак кристаллов.В данном случаеважна только пространственная периодичность в расположении частиц, поэто- му можно отвлечься от их внутренней структуры, рассматривая частицы как геометрические точки.176Кристаллическая решетка может обладать различными видами симмет-рии. Сим метрия кристаллической решетки— ее свойство совмещаться с собой при некоторых пространственных перемещениях, например параллель- ных переносах, поворотах, отражениях или их комбинациях и т. д. Кристалли- ческой решетке, как доказал русский кристаллограф Е. С. Федоров (1853— 1919), присущи 230 комбинаций элементов сим метрии, или 230 различных пространственных групп.С переносной симметрией в трехмерном пространстве связывают понятиетрехмерной периодической структуры — пространственной решетки, или решетки Бравэ, представление о которой введено французским кристаллогра- фом О. Бравэ (1811—1863). Всякая пространственная решетка может быть со- ставлена повторением в трех различных направлениях одного и того же струк- турного элемента — элементарнойячейки. Всего существует 14 типов реше- ток Бравэ, различающихся по виду переносной симметрии. Они распределяют- ся по семи кристаллографическим системам,или сингониям, представлен- ным в порядке возрастающей симметрии в табл. 3. Для описания элементарных ячеек пользуются кристаллографическими осями координат, которые проводят параллельно ребрам элементарной ячейки, а начало координат выбирают в ле- вом углу передней грани элементарной ячейки. Элементарная кристаллическая ячейка представляет собой параллелепипед, построенный на ребрах а, b, сс уг- ламиα , β и γ между ребрами (табл. 3). Величины a, b и с и α , β и γ называютсяпараметрамиэлементарной ячейкии однозначно ее определяют.2. Физический признак кристаллов.В зависимости от рода частиц,расположенных в узлах кристаллической решетки, и характера сил взаимодей- ствия между ними кристаллы разделяются на четыре типа: ионные, атомные, металлические, молекулярные.Ионные кристаллы.В узлах кристаллической решетки располагаютсяпоочередно ионы противоположного знака. Типичными ионными кристаллами являются большинство галоидных соединений щелочных металлов (NaCl, CsCl, КВг и т. д.), а также оксидов различных элементов (MgO, CaO и т. д.). Структу- ры решеток двух наиболее характерных ионных кристаллов — NaCl (решетка представляет собой две одинаковые гранецентрированные кубические решетки, вложенные друг в друга; в узлах одной из этих решеток находятся ионы Na+ , вузлах другой — ионы Cl - ) и CsCl (кубическая объемно центрированная решетка— в центре каждой элементарной решетки находится ион) — показаны на рис. 103.177Рис. 103Силы взаимодействия между ионами являются в основном электростати-ческими (кулоновскими). Связь,обусловленная кулоновскнми силами притя- жения между разноименно заряженными ионами, называется ионной(или ге- терополярной). В ионнойрешетке нельзя выделить от дельные молекулы: кри-сталл представляет собой как бы одну гигантскую молекулу.Атомные кристаллы.В узлах кристаллической решетки располагаютсянейтральные атомы, удерживающиеся в узлах решетки гомеомолярными, или ковалентными, связямиквантово-механического происхождения (у соседних атомов обобществлены валентные электроны, наименее связанные с атомом). Атомными кристаллами являются ал маз и трафит (два различных состояния углерода), некоторые неорганические соединения (ZnS, BeO и т. д.), а также типичные полупроводники — германий Ge и кремний Si. Структура решетки алмаза приведена на рис. 104, где каждый атом углерода окружен четырьмя та- кими же атомами, которые располагаются на одинаковых расстояниях от него в вершинах тетраэдров.Рис. 104Валентные связи осуществляются па рами электронов, движущихся поорбитам, охватывающим оба атома, и носят направленный характер: ковалент- ные силы направлены от центрального атома к вершинам тетраэдра. В отличие от графита решетка алмаза не содержит плоских слоев, что не позволяет сдви-178гать отдельные участки кристалла, по этому алмаз является прочным соедине- нием.Таблица 3179Металлическиекристаллы. В узлах кристаллической решетки распола-гаются положительные ионы металла. При образовании кристаллической ре- шетки валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомами, отделя- ются от атомов и коллективизируются: они уже принадлежат не одному атому, как в случае ионной связи, и не паре соседних атомов, как в случае гомеопо- лярной связи, а всему кристаллу в целом. Таким образом, в металлах между по- ложительными ионами хаотически, подобно молекулам газа, движутся «сво- бодные» электроны, наличие которых обеспечивает хорошую электропровод- ность металлов. Так как металлическая связь не имеет направленного действия и положительные ионы решетки одинаковы по свойствам, то металлы должны иметь симметрию высокого порядка. Действительно, большинство металлов имеют кубическую объемно центрированную (Li, Na, К, Rb, Cs) и кубическую гранецентрированную (Си, Ag, Pt, Аи) решетки. Чаще всего металлы встреча- ются в виде поликристаллов.Молекулярные кристаллы. В узлах кристаллической решетки располага-ются ней тральные молекулы вещества, силы взаимодействия между которыми обусловлены незначительным взаимным смещением электронов в электронных оболочках атомов. Эти силы называются ван-дер-ваальсовыми, так как они имеют ту же природу, что и силы притяжения между молекулами, приводящи- ми к отклонению газов от идеальности. Молекулярными кристаллами являют- ся, например, большинство органических соединений (парафин, спирт, резина и т. д.), инертные газы (Не, Аг, Кг, Хе) и газы СО2 , О 2) N2 в твердом состоянии,лед, а также кристаллы брома Вг 2) иода I 2 . Ван-дер-ваальсовы силы довольнослабые, поэтому молекулярные кристаллы легко деформируются.В некоторых твердых телах одновременно может осуществляться не-сколько видов связи. Примером может служить графит (гексагональная решет- ка). Решетка графита (рис. 105) состоит из ряда параллельных плоскостей, в ко- торых атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников. Расстояние между плоскостями более чем в два раза превышает расстояние ме- жду атомами шестиугольника.Рис. 105Плоские слои связаны друг с другом ван-дер-ваальсовыми силами. В пре-180лентную связь с соседними атомами углерода, а четвертый электрон, оставаясь «свободным», коллективизируется, но не во всей решетке, как в случае метал- лов, а в пределах одного слоя. Таким образом, в данном случае осуществляются три вида связи: гомеополярная и металлическая — в пределах одного слоя; ван- дер-ваальсова — между слоями. Этим объясняется мягкость графита, так как его слои могут скользить друг относительно друга.Различие в строении кристаллических решеток двух разновидностей уг-лерода — графита и алмаза — объясняет различие в их физических свойствах: мягкость графита и твердость алмаза; графит — проводник электричества, ал- маз — диэлектрик (нет свободных электронов) и т. д.Расположение атомов в кристаллах характеризуется также координаци-онным числом — числом ближайших однотипных с данным атомом соседних атомов в кристаллической решетке или молекул в молекулярных кристаллах. Для модельного изображения кристаллических структур из атомов и ионов пользуются системой плотной упаковки шаров. Рассматривая простейший слу- чай плотной упаковки шаров одинакового радиуса на плоскости, приходим к двум способам их расположения (рис. 106, а, б).Правая упаковка является бо- лее плотной, так как при равном числе шаров площадь ромба со стороной, рав- ной стороне квадрата, меньше площади квадрата. Как видно из рисунка, разли- чие в упаковках сводится к различию координационных чисел: в левой упаков- ке координационное число равно 4, в правой — 6, т. е. чем плотнее упаковка, тем больше координационное число.Рис. 106Рассмотрим, при каких условиях плотная упаковка шаров в пространстве181тий слой можно опять уложить двояко и т. д. Итак, плотную упаковку можно описать как последовательность АВСВАС...,в которой не могут стоять рядом слои, обозначенные одинаковыми буквами.Рис. 107Из множества возможных комбинаций в кристаллографии реальное зна-чение имеют два типа упаковки: 1) двухслойная упаковка АВАВАВ...—- гекса- гональная плотно-упакованная структура (рис. 108); 2) трехслойная упаковка ABC ABC...— кубическая гранецентрированная структура (рис. 109). В обеих решетках координационное число равно 12 и плотность упаковки одинакова — атомы занимают 74% общего объема кристалла. Координационное число, соот- ветствующее кубической объемно центрированной решетке, равно 8, решетке алмаза (см. рис. 104) равно 4.Рис. 108 Рис. 109Кроме двух- и трехслойных упаковок можно построить многослойные сбольшим периодом повторяемости одинаковых слоев, например АВСВАСАВ- СВАС...— шестислойная упаковка. Существует модификация карбида SiC с периодом повторяемости 6, 15 и 243 слоя.Если кристалл построен из атомов различных элементов, то его можнопредставить в виде плотной упаковки шаров разных размеров. На рис. 110 при- ведено модельное изображение кристалла поваренной соли. Крупные ионы хлора (г =181 нм) образуют плотную трехслойную упаковку, у которой боль- шие пустоты заполнены меньшими по размеру ионами натрия (г = 98 нм). Каж-182дый ион Na окружен шестью ионами С1 и, наоборот, каждый ион С1 — шестью ионами Na.Рис. 110§ 72. Д ЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХРассмотренные в § 71 идеальные кристаллические структуры существуютлишь в очень малых объемах реальных кристаллов, в которых всегда имеются отклонения от упорядоченного расположения частиц в узлах решетки, назы- ваемые дефектами кристаллической решетки. Дефектыделятся на макро- скопические,возникающие в процессе образования и роста кристаллов (на- пример, трещины, поры, инородные макроскопические включения), и микро- скопические,обусловленные микроскопическими отклонениями от периодич- ности.Рис. 111 Мнкродефектыделятся на точечные и линейные.Точечные дефектыбывают трех типов: 1) вакансия— отсутствие атома в узле кристаллической решетки (рис. 111, а); 2)междоузельный атом— атом, внедрившийся в меж- доузельное пространство (рис. 111, б);3) примесный атом— атом примеси, либо замещающий атом основного вещества в кристаллической решетке (при- месь замещении,рис. 111, в),либо внедрившийся в междоузельное простран- ство (примесь внедрении,рис. 111, 6;только в междоузлии вместо атома ос- новного вещества располагается атом примеси). Точечные дефекты нарушают лишь ближний порядок в кристаллах, не затрагивая дальнего порядка, — в этом состоит их характерная особенность.183механические свойства кристаллов в значительной степени определяются де- фектами особого вида — дислокациями. Дислокации— линейные дефекты, нарушающие правильное чередование атомных плоскостей.Дислокации бывают краевые и винтовые.Если одна из атомных плос-костей обрывается внутри кристалла, то край этой плоскости образует краевую дислокацию (рис. 112, а). В случае винтовой дислокации (рис. 112, б) ни одна из атомных плоскостей внутри кристалла не обрывается, а сами плоскости лишь приблизительно параллельны и смыкаются друг с другом так, что факти- чески кристалл состоит из одной атомной плоскости, изогнутой по винтовой поверхности.Рис. 112Плотность дислокаций(число дислокаций, приходящихся на единицуплощади поверхности кристалла) для совершенных монокристаллов составляет 102 —10 3 см' 2 , для деформированных кристаллов— 10 10 — 10 12 см -2 . Дислокацииникогда не обрываются, они либо выходят на поверхность, либо разветвляются, поэтому в реальном кристалле образуются плоские или пространственные сет- ки дислокаций. Дислокации и их движение можно наблюдать с помощью элек- тронного микроскопа, а также методом избирательного травления — в местах выхода дислокации на поверхность возникают ямки травления (интенсивное разрушение кристалла под действием реагента), «проявляющие» дислокации.Наличие дефектов в кристаллической структуре влияет на свойства кри-сталлов, анализ которых проведем ниже.§ 73. Т ЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛВ качестве модели твердого тела рассмотрим правильно построеннуюкристаллическую решетку, в узлах которой частицы (атомы, ионы, молекулы), принимаемые за материальные точки, колеблются около своих положений рав- новесия — узлов решетки — в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Таким образом, каждой составляющей кристаллическую решетку частице при- писывается три колебательных степени свободы, каждая из которых, согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы (см. § 50), обладает энергией kT.Внутренняя энергия моля твердого тела184где N A — постоянная Авогадро; N A k = R (R— молярная газовая постоянная).Молярная теплоемкость твердого телаДж/(моль-К), (73.1)т. е. молярная (атомная) теплоемкость химически простых телв кристал-лическом состоянии одинакова (равна 3.R) и не зависит от температуры. Этот закон был эмпирически получен французскими учеными П. Дюлонгом (1785— 1838) и Л. Пти (1791—1820) и носит название закона Дюлонга - Пти.Если твердое тело является химическим соединением (например, NaCl),то число частиц в моле не равно постоянной Авогадро, а равно nN Ф ,где п—число атомов в молекуле (для NaCl число частиц в моле равно 2N A ,так, в од-ном моле NaCl содержится N А атомов Na и N A атомов С1). Таким образом, мо-лярная теплоемкость твердых химических соединенийС v = 3nR ≈ 25n Дж/(моль ⋅ К),т. е. равна сумме атомных теплоемкостей элементов, составляющих это соеди- нение.Таблица 4Как показывают опытные данные (табл. 4), для многих веществ законС,Дж/(моль-К)Вещество Теоретическое Эксперимен-значение тальное зна-чениеАлюминий А1 Алмаз С Бериллий Be Бор В Железо Fe Серебро Ag NaCl AgCl СаCl 25 25 25 25 25 25 50 50 75 25,55,915,6 13,5 26,8 25,6 50,6 50,9 76,22Дюлонга и Пти выполняется с довольно хорошим приближением, хотя некото- рые вещества (С, Be, В) имеют значительные отклонения от вычисленных теп- лоемкостей. Кроме того, так же как и в случае газов (см. § 53), опыты по изме- рению теплоемкости твердых тел при низких температурах показали, что она зависит от температуры (рис. 113). Вблизи нуля кельвин теплоемкость тел про- порциональна Т3 ,и только при достаточно высоких температурах, характерныхдля каждого вещества, выполняется условие (73.1). Алмаз, например, имеет те- плоемкость, равную 3К при 1800 К! Однако для большинства твердых тел ком- натная температура является уже достаточно высокой.185Рис. 113Расхождение опытных и теоретических значений теплоемкостей, вычис-ленных на основе классической теории, объяснили, исходя из квантовой теории теплоемкостей, А. Эйнштейн и П. Дебай.§ 74. И СПАРЕНИЕ , СУБЛИМАЦИЯ , ПЛАВЛЕНИЕ И КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ . А МОРФНЫЕ ТЕЛАКак в жидкостях, так и в твердых телах всегда имеется некоторое числомолекул, энергия которых достаточна для преодоления притяжения к другим молекулам и которые способны оторваться от поверхности жидкости или твер- дого тела и перейти в окружающее их пространство. Этот процесс для жидко- сти называется испарением (или парообразованием), для твердых тел — субли- мацией (или возгонкой).Испарение жидкостей идет при любой температуре, но его интенсивностьс повышением температуры возрастает. Наряду с процессом испарения проис- ходит компенсирующий его процесс конденсация пара в жидкость. Если число молекул, покидающих жидкость за единицу времени через единицу поверхно- сти, равно числу молекул, переходящих из пара в жидкость, то наступает дина- мическое равновесие между процессами испарения и конденсации. Пар, нахо- дящийся в равновесии со своей жидкостью, называется насыщением (см. также § 62).Для большинства твердых тел процесс сублимации при обычных темпе-ратурах незначителен и давление пара над поверхностью твердого тела мало; оно повышается с повышением температуры. Интенсивно сублимируют такие вещества, как нафталин, камфора, что обнаруживается по резкому, свойствен- ному им запаху. Особенно интенсивно сублимация происходит в вакууме — этим пользуются для изготовления зеркал. Известный пример сублимации — превращение льда в пар — мокрое белье высыхает на морозе.Если твердое тело нагревать, то его внутренняя энергия(складывается изэнергии колебаний частиц в узлах решетки и энергии взаимодействия этих час- тиц) возрастает. При повышении температуры амплитуда колебаний частиц увеличивается до тех пор, пока кристаллическая решетка не разрушится, —186твердое тело плавится. На рис. 114, аизображена примерная зависимость T(Q), где Q— количество теплоты, получаемое телом при плавлении. По мере сооб- щения твердому телу теплоты его температура повышается, а при температуре плавления Tm начинается переход тела из твердого состояния в жидкое. Темпе-ратура T , остается постоянной до тех пор, пока весь кристалл не расплавится,mи только тогда температура жидкости вновь начнет повышаться.Нагревание твердого тела до T m еще не переводит его в жидкое состоя-ние, поскольку энергия частиц вещества должна быть достаточной для разру- шения кристаллической решетки. В процессе плавления теплота, сообщаемая веществу, идет на совершение работы по разрушению кристаллической решет- ки, а поэтому Тпл =const до расплавления всего кристалла. Затем подводимаятеплота пойдет опять-таки на увеличение энергии частиц жидкости и ее темпе- ратура начнет повышаться. Количество теплоты, необходимое для расплавле- ния 1 кг вещества, называется удельной теплотой плавления.Рис. 114Если жидкость охлаждать, то процесс протекает в обратном направлении(рис. 114, б; Q'— количество теплоты, отдаваемое телом при кристаллизации): сначала температура жидкости понижается, затем при постоянной температуре, равной Т,начинается кристаллизация, после ее завершения температура кри-тсталла начнет понижаться. Для кристаллизации вещества необходимо наличие так называемых центров кристаллизации — кристаллических зародышей, кото- рыми могут быть не только кристаллики образующегося вещества, но и приме- си, а также пыль, сажа и т. д. Отсутствие центров кристаллизации в чистой жидкости затрудняет образование микроскопических кристалликов, и вещест- во, оставаясь в жидком состоянии, охлаждается до температуры, меньшей тем- пературы кристаллизации, при этом образуется переохлажденная жид кость (на рис. 114, б ей соответствует штриховая кривая). При сильном переохлаждении начинается спонтанное образование центров кристаллизации в вещество кри- сталлизуется довольно быстро.Обычно переохлаждение расплава происходит от долей до десятков гра-187к ним относятся смолы, воск, сургуч, стекло. Аморфные тела, являясь, таким образом, переохлажденными жидкостями, изотропны, т. е. их свойства во всех направлениях одинаковы; для них, как и для жидкостей, характерен ближний порядокв расположении частиц; в них в отличие от жидкостей подвижность частиц довольно мала. Особенностью аморфных тел является отсутствие у них определенной точки плавления, т. е. невозможно указать определенную темпе- ратуру, выше которой можно было бы констатировать жидкое состояние, а ни- же — твердое. Из опыта известно, что в аморфных телах со временем может наблюдаться процесс кристаллизации, например в стекле появляются кристал- лики; оно, теряя прозрачность, начинает мутнеть и превращаться в поликри- сталлическое тело.В последнее время широкое распространение в народном хозяйстве полу-чили полимеры — органические аморфные тела, молекулы которых состоят из большого числа одинаковых длинных молекулярных цепочек, соединенных химическими (валентными) связями. К полимерам относятся как естественные (крахмал, белок, каучук, клетчатка и др.), так и искусственные (пластмасса, ре- зина, полистирол, лавсан, капрон и др.) органические вещества. Полимерам присущи прочность и эластичность; некоторые полимеры выдерживают растя- жение, в 5—10 раз превышающее их первоначальную длину. Это объясняется тем, что длинные молекулярные цепочки могут при деформации либо сворачи- ваться в плотные клубки, либо вытягиваться в прямые линии. Эластичность по- лимеров проявляется только в определенном интервале температур, ниже кото- рого они становятся твердыми и хрупкими, а выше — пластичными. Хотя син- тетических полимерных материалов создано очень много (искусственные во- локна, замените ли кожи, строительные материалы, заменители металлов и др.), но теория полимеров до настоящего времени полностью не разработана. Ее развитие определяется запросами современной техники, требующей синтеза полимеров с заранее заданными свойствами.§75. Ф АЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ I И II РОДАФазой называется термодинамически равновесное состояние вещества,188ния агрегатного состояния вещества или переходы, связанные с изменениями в составе, строении и свойствах вещества (например, переход кристаллического вещества из одной модификации в другую).Различают фазовые переходы двух родов. Фазовый переход I рода(на-пример, плавление, кристаллизация и т. д.) сопровождается поглощением или выделением теплоты, называемой теплотой фазового перехода.Фазовые пере- ходы I рода характеризуются постоянством температуры, изменениями энтро- пии и объема. Объяснение этому можно дать следующим образом. Например, при плавлении телу нужно сообщить некоторое количество теплоты, чтобы вы- звать разрушение кристаллической решетки. Подводимая при плавлении тепло- та идет не на нагрев тела, а на разрыв межатомных связей, поэтому плавление протекает при постоянной температуре. В подобных переходах — из более упорядоченного кристаллического состояния в менее упорядоченное жидкое состояние — степень беспорядка увеличивается, т. е., согласно второму началу термодинамики, этот процесс связан с возрастанием энтропии системы. Если переход происходит в обратном направлении (кристаллизация), то система теп- лоту выделяет.Фазовые переходы, не связанные с поглощением или выделением тепло-ты и изменением объема, называются фазовымипереходами П рода. Эти пере- ходы характеризуются постоянством объема и энтропии, но скачкообразным изменением теплоемкости. Общая трактовка фазовых переходов II рода пред- ложена академиком Л. Д. Ландау (1908—1968). Согласно этой трактовке, фазо- вые переходы II рода связаны с изменением симметрии: выше точки перехода система, как правило, обладает более высокоесимметрией, чем ниже точки пе-рехода. Примерами фазовых переходов II рода являются: переход ферромаг- нитных веществ (железа, никеля) при определенных давлении и температуре в парамагнитное состояние; переход металлов и некоторых сплавов при темпера- туре, близкой к 0 К, в сверхпроводящее состояние, характеризуемое скачкооб- разным уменьшением электрического сопротивления до нуля; превращение обыкновенного жидкого гелия (гелия I) при Т=2,9К в другую жидкую модифи- кацию (гелий II), обладающую свойствами сверхтекучести.§ 76. Д ИАГРАММА СОСТОЯНИЯ . Т РОЙНАЯ ТОЧКАЕсли система является однокомпонентной, т. е. состоящей из химическиоднородного вещества или его соединения, то понятие фазы совпадает с поня- тием агрегатного состояния. Согласно § 60, одно и то же вещество в зависимо- сти от соотношения между удвоенной средней энергией, приходящейся на одну степень свободы хаотического (теплового) движения молекул, и наименьшей потенциальной энергией взаимодействия молекул может находиться в одном из трех агрегатных состояний: твердом, жидком или газообразном. Это соотноше- ние, в свою очередь, определяется внешними условиями — температурой и давлением. Следовательно, фазовые превращения также определяются измене- ниями температуры и давления.189Для наглядного изображения фазовых превращений используется диа-грамма состояния (рис. 115), на которой В координатах р, Тзадается зависи- мость между температурой фазового перехода и давлением в виде кривых ис- парения (КИ), плавления (КП) и сублимации (КС), разделяющих поле диа- граммы на три области, соответствующие условиям существования твердой (ТТ), жидкой (Ж) и газообразной (Г) фаз. Кривые на диаграмме называются кривыми фазового равновесия,каждая точка на них соответствует условиям равновесия двух сосуществующих фаз: КП — твердого тела и жидкости, КИ — жидкости и газа, КС — твердого тела и газа.Рис. 115Точка, в которой пересекаются эти кривые и которая, следовательно, оп-ределяет условия (температуру Т тр и соответствующее ей равновесное давлениер тр )одновременного равновесного сосуществования трех фаз вещества, называ-ется тройнойточкой. Каждое вещество имеет только одну тройную точку. Тройная точка воды соответствует температуре 273,16 К (или температуре О.ОГС по шкале Цельсия) и является основной реперной точкой для построе- ния термодинамической температурной шкалы.Термодинамика дает метод расчета кривой равновесия двух фаз одного итого же вещества. Согласно уравнению Клапейрона — Клаузнуса,производ- ная от равновесного давления по температуре равна (76.1)где L— теплота фазового перехода, (V 1 – V 2 )— изменение объема веществапри переходе его из первой фазы во вторую, Т— температура перехода (про- цесс изотермический).Уравнение Клапейрона — Клаузиуса позволяет определить наклоны кри-вых равновесия. Поскольку L и T положительны, наклон задается знаком (V –1190гда возрастает, поэтому, согласно (76.1), dp/dT > Q;следовательно, в этих про- цессах повышение температуры приводит к увеличению давления, и наоборот. При плавлении большинства веществ объем, как правило, возрастает, т. е. dp/dT > Q;следовательно, увеличение давления приводит к повышению температуры плавления (сплошная КП на рис. 115). Для некоторых же веществ (НО, Ge, чу-2гун и др.) объем жидкой фазы меньше объема твердой фазы, т. е. dp/dT < Q; следовательно, увеличение давления сопровождается понижением температуры плавления (штриховая линия на рис. 115).Диаграмма состояния, строящаяся на основе экспериментальных данных,позволяет судить, в каком состоянии находится данное вещество при опреде- ленных ри Т,а также какие фазовые переходы будут происходить при том или ином процессе. Например, при условиях, соответствующих точке 1 (рис. 116), вещество находится в твердом состоянии, точке 2 — в газообразном, а точке 3 — одновременно в жидком и газообразном состояниях. Допустим, что вещест- во в твердом состоянии, соответствующем точке 4,подвергается изобарному нагреванию, изображенному на диаграмме состояния горизонтальной штрихо- вой прямой 4—5—6.Из рисунка видно, что при температуре, соответствую- щей точке 5, вещество плавится, при более высокой температуре, соответст- вующей точке 6,— начинает превращаться в газ. Если же вещество находится в твердом состоянии, соответствующем точке 7, то при изобарном нагревании (штриховая прямая 7—8)кристалл превращается в газ минуя жидкую фазу. Ес- ли вещество находится в состоянии, соответствующем точке 9,то при изотер- мическом сжатии (штриховая прямая 9—70) оно пройдет следующие три со- стояния: газ — жидкость — кристаллическое состояние.Рис. 116На диаграмме состояний (см. рис. 115 и 116) видно, что кривая испарениязаканчивается в критической точке К.Поэтому возможен непрерывныйпереход вещества из жидкого состояния в газообразное и обратно в обход критической точки, без пересечения кривой испарения (переход 11—12на рис. 116), т. е. та- кой переход, который не сопровождается фазовыми превращениями. Это воз-191можно благодаря тому, что различие между газом и жидкостью является чисто количественным (оба эти состояния, например, являются изотропными). Пере- ход же кристаллического состояния (характеризуется анизотропией) в жидкое или газообразное может быть только скачкообразным (в результате фазового перехода), поэтому кривые плавления и сублимации не могут обрываться, как это имеет место для кривой испарения в критической точке. Кривая плавления уходит в бесконечность, а кривая сублимации идет в точку, где p = Qи Т = 0 К.З АДАЧИ10.1. Углекислый газ массой т=1 кг находится при температуре 290 К всосуде вместимостью 20 л. Определить давление газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Объяснить различие в результатах. Поправки аи Ьпринять рав- ными соответственно 0,365 Н⋅ м 4 /моль 2 и 4,3 ⋅ 10- 5 м 3 /моль. [1) 2,44 МПа; 2) 2,76МПа]10.2. Кислород, содержащий количество вещества v=2 моль, занимаетобъем V = 1 л. Определить изменение ? Tтемпературы кислорода, если он1адиабатически расширяется в вакуум до объема V 2 = 10 л. Поправку а принятьравной 0,136 Н ⋅ м 4 /моль 2 . [—11,8 К]10.3. Показать, что эффект Джоуля — Томсона всегда отрицателен, еслидросселируется газ, силами притяжения молекул которого можно пренебречь.10.4. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, оп-ределить работу А,которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d1= 2см до d 2 = 6 см. Поверхностное натяжение σ мыльного раствора принятьравным 40 мН/м. [0,8 мДж]10.5.Воздушный пузырек диаметром d = 0,02мм находится на глубине А= 20 см под поверхностью воды. Определить давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давление принять нормальным. Поверхностное натяжение водыσ=73 мН/м, а ее плотность ρ = 1 г/см 3 [118 кПа]10.6. Вертикальный открытый капилляр внутренним диаметром d=3ммопущен в сосуд с ртутью. Определить радиус кривизны ртутного мениска в ка- пилляре, если разность уровней ртути в сосуде и в капилляре ДА=3,7 мм. Плот- ность ртутиρ =13.6 г/см 3 , а поверхностное натяжение σ =0.5 Н/м. [2 мм]10.7. Для нагревания металлического шарика массой 25 г от 10 до 30°Сзатратили количество теплоты, равное 117 Дж. Определить теплоемкость ша- рика из закона Дюлонга и Пти и материал шарика. [Мм 107 кг/моль; серебро]192ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМГЛАВА 11ЭЛЕКТРОСТАТИКА§ 77. З АКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДАЕще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть,притягивает легкие предметы. Английский врач Джильберт (конец XVI в.) на- звал тела, способные после натирания притягивать легкие предметы, наэлек- тризованными. Сейчас мы говорим, что тела при этом приобретают электриче- ские заряды. Несмотря на огромное разнообразие веществ в природе, существу- ет только два типа электрических зарядов:заряды, подобные возникающим на стекле, потертом о кожу (их назвали положительными),и заряды, подобные возникающим на эбоните, потертом о мех (их назвали отрицательными);од- ноименные заряды друг от друга отталкиваются, разноимен ные — притягива- ются.Опытным путем (1910—1914) американский физик Р. Милликен (1868—1953) пока зал, что электрический заряд дискрете»,т. е. заряд любого тела со- ставляет целое кратное от элементарного электрического зарядае(е=1,6⋅ 10 -19Кл). Электрон (m e =9,11 ⋅ 10 -31 кг) и протон (m p =1,67 ⋅ 10 -27 кг) являются соответ-ственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.Все тела в природе способны электризоваться, т. е. приобретать электри-ческий заряд. Электризация тел может осуществляться различными способами: соприкосновением (трением), электростатической индукцией (см. § 92) и т. д. Всякий процесс заряжения сводится к разделению зарядов, при котором на од- ном из тел (или части тела) появляется избыток положительного заряда, а на другом (или другой части тела) — избыток отрицательного заряда. Общее ко- личество зарядов обоих знаков, содержащихся в телах, не изменяется: эти заря- ды только перераспределяются между телами.Из обобщения опытных данных был установлен фундаментальный законприроды,экспериментально подтвержденный в 1843 г. английским физиком М. Фарадеем (1791—1867), — закон сохранения заряда:алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающей- ся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.Электрический заряд — величина релятивистски инвариантная, т. е. независит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется этот заряд или покоится.В зависимости от концентрации свободных зарядов тела делятся на про-водники, диэлектрики и полупроводники. Проводники— тела, в которых электрический заряд может перемещаться по всему его объему. Проводники делятся на две группы: 1) проводники первого рода(металлы) — перенос в193них зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превра- щениями; 2) проводники второго рода(например, расплавленные соли, рас- творы кислот) — перенос в них зарядов (положительных и отрицательных ио- нов) ведет к химическим изменениям. Диэлектрики (например, стекло, пласт- массы) — тела, в которых практически отсутствуют свободные заряды. Полу- проводники (например, германий, кремний) занимают промежуточное положе- ние между проводниками и диэлектриками. Указанное деление тел является весьма условным, однако большое различие в них концентраций свободных за- рядов обусловливает огромные качественные различия в их поведении и оправ- дывает поэтому деление тел на проводники, диэлектрики и полупроводники.Единица электрического заряда (производная единица, так как определя-ется через единицу силы тока) — кулон (Кл) — электрический заряд, проходя- щий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с.§ 78. З АКОН К УЛОНАЗакон взаимодействия неподвижных точечныхэлектрических зарядов ус-тановлен в 1785 г. Ш. Кулоном с помощью крутильных весов, подобных тем, которые (см. § 22) использовались Г. Кавендишем для определения гравитаци- онной постоянной (ранее этот закон был открыт Г. Кавендишем, однако его ра- бота оставалась неизвестной более 100 лет). Точечным называется заряд, сосре- доточенный на теле, линейные раз меры которого пренебрежимо малы по срав- нению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодейству- ет. Понятие точечного заряда, как и материальной точки, является физической абстракцией.Закон Кулона: сила взаимодействия Fмежду двумя неподвижными то-чечными зарядами, находящимися в вакууме,пропорциональна зарядам Q 1 и Q 2и обратно пропорциональна квадрату расстояния rмежду ними:где k— коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды,т. е. является центральной, и соответствует притяжению (F < 0) в случае разно- именных зарядов и отталкиванию (F > 0)в случае одноименных зарядов. Эта сила называется кулоновской силой. В векторной форме закон Кулона имеет вид(78.1)где F — сила, действующая на заряд Q со стороны заряда Q , r — радиус-12 1 2 12вектор, соединяющий заряд Q 2 сзарядом Q 1 ,r = |r 12 | (рис. 117). На заряд Q 2 состороны заряда Q 1 действует сила F 21 = — F 12 .194Рис. 117В СИ коэффициент пропорциональности равенТогда закон Кулона запишется в окончательном виде:(78.2)Величина е 0 называется электрической постоянной; она относится к чис-лу фундаментальных физических постоянныхи равна(78.3)§ 79. Э ЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ . Н АПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯЕсли в пространство, окружающее электрический заряд, внести другойзаряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле. Согласно пред- ставлениям современной физики, поле реально существует и наряду с вещест- вом является одной из форм существования материи, посредством которого осуществляются определенные взаимодействия между макроскопическими те- лами или частицами, входящими в состав вещества. В данном случае говорят об электрическом поле — поле, посредством которого взаимодействуют элек- трические заряды. Мы будем рассматривать электрические поля, которые соз- даются неподвижными электрическими зарядами и называются электростати- ческими.Для обнаружения и опытного исследования электростатического поляиспользуется пробный точечный положительный заряд— такой заряд, кото- рый не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом Q,поместить пробный за- ряд Q0 ,то на него действует сила F, различная в разных точках поля, которая,согласно закону Кулона (78.2), пропорциональна пробному заряду Q 0 . Поэтомуотношение F/Q 0 не зависит от Q 0 и характеризует электростатическое поле втой точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженно- стью и является силовой характеристикой электростатического поля.195Напряженность электростатического поля в данной точке есть физиче-ская величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный по- ложительный заряд, помещенный в эту точку поля:(79.1)Как следует из формул (79.1) и (78.1), напряженность поля точечного за-ряда в вакуумеНаправление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей наположительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (оттал- кивание пробного положи тельного заряда); если поле создается отрицатель- ным зарядом, то вектор Е направлен к заряду (рис. 118).Рис. 118Из формулы (79.1) следует, что единица напряженности электростатиче-ского поля — ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл — напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл=1 В/м, где В (вольт) — единица потенциала электростатического поля (см. § 84).Графически электростатическое поле изображают с помощью линий на-пряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с на- правлением вектора Е (рис. 119).Рис. 119Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с на-правлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке простран- ства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряжен- ности никогда не пересекаются. Для однородного поля (когда вектор напря-196женности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напря- женности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности — радиальные прямые, выходящие из заря- да, если он положителен (рис. 120, а), и входящие в него, если заряд отрицате- лен (рис. 120, 6).Вследствие большой наглядности графический способ пред- ставления электростатического поля широко применяется в электротехнике.Рис. 120Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать нетолько направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились про водить их с определенной густотой (см. рис. 119): число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендику- лярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора Б. Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS,нор- маль о которой образует уголα с вектором Е, равно Е dScos α = E n dS,где Е n —проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS(рис. 121).Рис. 121Величинаназывается потоком вектора напряженности через площадку dS.Здесь dS = dSn — вектор, модуль которого равен dS,а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока векто- ра напряженности электростатического поля — 1 В⋅ м.197Для произвольной замкнутой поверхности Sпоток вектора Е сквозь этуповерхность(79.3)где интеграл берется по замкнутой поверхности S.Поток вектора Е является ал- гебраической величиной:зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей за положительное направ- ление нормали принимается внешняя нормаль,т. е. нормаль, направленная на- ружу области, охватываемой поверхностью.В истории развития физики имела место борьба двух теорий: дальнодей-ствия и близкодействия. В теории дальнодействия принимается, что электриче- ские явления определяются мгновенным взаимодействием зарядов на любых расстояниях. Согласно теории близкодействия, все электрические явления оп- ределяются изменениями полей зарядов, причем эти изменения распространя- ются в пространстве от точки к точке с конечной скоростью. Применительно к электростатическим полям обе теории дают одинаковые результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Переход же к явлениям, обусловленным движением электрических зарядов, приводит к несостоятельности теории дальнодействия, поэтому современной теорией взаимодействия заряженных частиц является теория близкодействия.§ 80. П РИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ . П ОЛЕ ДИПОЛЯРассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряжен-ности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой не- подвижных зарядов Q, Q ,…, Q .1 2 nОпыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный вмеханике принцип независимости действия сил (см. § 6), т. е. результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд Q0 равна векторнойсумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q;.(80.1)Согласно (79.1), F = Q 0 E и F 1 = Q 0 E 1 , где Е — напряженность результи-рующего поля, а Е 1 — напряженность поля, создаваемого зарядом Q 1 .Подстав-ляя последние выражения в (80.1), получаем(80.2)Формула (80.2) выражает принцип суперпозиции (наложения) электро-статических полей, согласно которому напряженность Е результирующего по- ля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумменапряженно- стей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.198Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические полялюбой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поляэлектрического диполя. Электрический диполь — система двух равных по мо- дулю разноименных точечных зарядов (+Q, - Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, на- правленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрица- тельного заряда к положи тельному и равный расстоянию между ними, называ- ется плечом диполя l. Вектор(80.3)совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведениюзаряда |Q|на плечо 1, называется электрическим моментом диполя или диполь- ным моментом (рис. 122).Рис. 122Согласно принципу суперпозиции (80.2), напряженность Е поля диполя впроизвольной точкегде Е + и Е_ — напряженности полей, создаваемых соответственно положи-тельным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рас- считаем напряженность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А(рис. 123).199Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке Анаправлена по оси диполя и по модулю равнаОбозначив расстояние от точки Адо середины оси диполя через г, на ос-новании формулы (79.2) для вакуума можно записатьСогласно определению диполя, l/2 ? г, поэтому2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к осям изего середины,в точке В(рис. 123). Точка Вравноудалена от зарядов, поэтому(80.4)где г' — расстояние от точки Вдо середины плеча диполя. Из подобия равно- бедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор Ев ,получимоткуда(80.5)Подставив в выражение (80.S) значение (80.4), получимВектор E g имеет направление, противоположное вектору электрическогомомента диполя (вектор р направлен от отрицательного заряда к положитель- ному).§ 81. Т ЕОРЕМА Г АУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕВычисление напряженности поля системы электрических зарядов с по-мощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.200В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозьсферическую поверхность радиуса r,охватывающую точечный заряд Q,нахо- дящийся в ее центре (рис. 124), равенРис. 124Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой по- верхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис.125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхно- стью она то входит в нее, то выходит из нее.Рис. 125Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счетесводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий,201входящих в поверхность. Бели замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и за-ключает в себя точечный заряд Q,поток вектора Е будет равен Q/ ε 0 , т. е.(81.1)Знак потока совпадает со знаком заряда Q.Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n за-рядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Е, полей, создавае- мых каждым зарядом в отдельности:E = ∑ E 0 . ПоэтомуiСогласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, ра-вен Q i / ε 0 . Следовательно,(81.2)Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля ввакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакуумесквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме за- ключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной наε 0 . Эта теорема вы-ведена математически для векторного поля любой природы русским математи- ком М. В. Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него примени- тельно к электростатическому полю — К. Гауссом.В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некото-рой объемной плотностью p = dQ/dV , различной в разных местах пространства.Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охва- тывающей некоторый объем V,(81.3)202§ 82. П РИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ Г АУССА К РАСЧЕТУНЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙВ ВАКУУМЕ 1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.Бесконечнаяплоскость (рис. 126) заряжена с постоянной поверхностной плотностью+ σ( σ = dQ/dS— заряд, приходящийся на единицу поверхности).Рис. 126Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направ- лены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно по- строим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям на- пряженности (cosα = 0), то поток вектора напряженности сквозь боковую по-верхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Enсовпадает с E), т. е. равен 2ES.Заряд, заключенный внутри построенной цилин- дрической поверхности, равенσ S.Согласно теореме Гаусса (81.2), 2ES = σ S/ ε 0 ,откуда(82.1)Из формулы (82.1) вытекает, что Ене зависит от длины цилиндра, т. е.напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными сло- вами, поле равномерно заряженной плоскости однородно..2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно зараженныхплоскостей(рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +α и — α .Поле таких плоскостейнайдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдель- ности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно за- ряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу203друг другу), поэтому здесь напряженность поля E = 0. В области между плоско- стями Е = Е+ + Е_ (Е + и E_ определяются по формуле (82.1)), поэтому результи-рующая напряженность(82.2)Рис. 127Таким образом, результирующая напряженность поля в области междуплоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плос- костями, равна нулю.3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сфериче-ская поверхность радиуса R собщим зарядом Qзаряжена равномерно с поверх- ностной плотностью +σ .Благодаря равномерному распределению заряда поповерхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128).Рис. 128Построим мысленно сферу радиуса r,имеющую общий центр с заряжен-ной сферой. Если г > R,то внутрь поверхности попадает весь заряд Q,создаю-204щий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4 π r 2 E = Q/ ε 0 ,откуда(82.3)При r>Rполе убывает с расстоянием rпо такому же закону, как у точеч-ного заряда. График зависимости E от г приведен на рис. 129. Если r ′ < R,тозамкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномер- но заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).Рис. 1294.Поле объемно заряженного шара.Шар радиуса R собщим зарядом Qзаряжен равномерно с объемной плотностью ρ ( ρ = dQ - заряд, приходящийсяdVна единицу объема). Учитывая соображения симметрии (см. п. 3), можно пока- зать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r' < Rохватывает заряд G' = 4/3 π r ′ 3 ρ . Поэтому, согласнотеореме Гаусса (81.2), ( ) 4 π r ′ 2 E = Q ′ ε 0 = 4 / 3 π r ′ 3 ρ ε 0 . Учитывая , чтоρ = Q 4 / 3 π R 3 , получаем(82.4)Таким образом , напряженность поля вне равномерно заряженного шараописывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием /согласно выражению (82.4). График зависимости Е от г для рассмотренногослучая приведен на рис . 130.205Рис. 1305. Поле равномерно зараженного бесконечного цилиндра (нити). Бес-конечный цилиндр радиуса R(рис. 131) заряжен равномерно с линейной плот-ностью τ ( τ = dQ - заряд, приходящийся на единицу длины).dlРис. 131Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут на-правлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса rи высотойl . Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцыпараллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2π r l E . По теореме Гаусса (81.2), при r > R 2 π r l E = τ l / ε 0 , откуда206(82.5)Если г < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, по-этому в этой области E = 0. Таким образом, напряженность поля вне равномер- но заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (82.5), внут- ри же его поле отсутствует.§ 83. Ц ИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯЕсли в электростатическом поле точечного заряда Qиз точки 1 в точку 2вдоль произвольное траектории (рис. 132) перемещается другой точечный зарядQ , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элемен-0тарном перемещении dlравнаРис. 132Так как d/cosα = dr, тоРабота при перемещении заряда Q 0 из точки 1в точку 2207(83.1)не зависит от траектории перемещения, а определяется только положе-ниями начальной 1 и конечной 2точек. Следовательно, электростатическое по- ле точечного заряда является потенциальным,а электростатические силы — консервативными (см. § 12).Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая при перемещенииэлектрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замк- нутому пути L, равна нулю, т.е.∫ dA = 0. (83.2)LЕсли в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взятьединичный точечный положительный заряд, то элементарная работ а сил поля на пути dl равна Edl = El dl, где El = Ecos α - проекция вектора Е на направлениеэлементарного перемещения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде∫ Edl = ∫ E l dl = 0 (83.3)L LИнтеграл∫ Edl = ∫ E l dl называется циркуляцией вектора напряженности.L LСледовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуля- ции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответст- венно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.Формула (83.3) справедлива только для электростатического поля. Вдальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов условие (83.3) не выполняется ( для него циркуляция вектора напряженности отлична от ну- ля).§ 84. П ОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯТело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое полеявляется потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа (см. § 12). Как известно (см.(12.2)), работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. По- этому работу (83.1) сил электростатического поля можно представить как раз- ность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q0 в началь-ной и конечной точках поля заряда Q:208A 12 = 4 πε 1 0 ⋅ QQ r 1 0 − 4 πε 1 0 ⋅ QQ r 2 0 = U 1 − U 2 (84.1)откуда следует , что потенциальная энергия заряда Q 0 в поле заряда QравнаОна , как и в механике , определяется неоднозначно , а с точностью допроизвольной постоянной С . Если считать , что при удалении заряда в беско -нечность (r → ∞ ) потенциальная энергия обращается в нуль (U = 0), то С = 0 ипотенциальная энергия заряда Q 0 , находящегося в поле заряда Q на расстоянииг от него , равна(84.2)Для одноименных зарядов Q 0 Q > 0 и потенциальная энергия их взаимо -действия ( отталкивания ) положительна , для разноименных зарядов Q 0 Q < 0 ипотенциальная энергия их взаимодействия ( притяжения ) отрицательна .Если поле создается системой л точечных зарядов Q , Q , …, Q , то рабо -1 2 nта электростатических сил , совершаемая над зарядом Q 0 . равна алгебраическойсумме работ сил , обусловленных каждым из зарядов в отдельности . Поэтомупотенциальная энергия Uзаряда Q 0 , находящегося в этом поле , равна сумме по -тенциальных энергий U i каждого из зарядов :(84.3)Из формул (84.2) и (84.3) вытекает , что отношение U/Q не зависит от Q0 0и является поэтому энергетической характеристикой электростатическогополя,называемой потенциалом :(84.4)Потенциал ? в какой - либо точке электростатического поля есть физиче -ская величина , определяемая потенциальной энергией единичного положитель -ного заряда , помещенного в эту точку .Из формул (84.4) и (84.2) следует , что потенциал поля , создаваемого то -чечным зарядом Q ,равен(84.5)Работа , совершаемая аилами электростатического поля при перемещениизаряда Q 0 из точки 1 в точку 2 ( см . (84.1), (84.4), (84.5)), может быть представ -лена как209(84.6)т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в на- чальной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электро- статическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при пере- мещении единичного положительного заряда из точки 1в точку 2.Работа сил поля при перемещении заряда Q 0 из точки 1в точку 2 можетбыть записана также в виде(84.7)Приравняв (84.6) и (84.7), придем к выражению для разности потенциа-лов:(84.8)где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей на- чальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не за- висит от траектории перемещения.Если перемещать заряд Q 0 из произвольной точки за пределы поля, т. е. вбесконечность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электро- статического поля, согласно (84.6), А∞ =О 0 ? ,откуда(84.9)Таким образом, потенциал— физическая величина, определяемая рабо-той по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совер- шаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по переме- щению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.Из выражения (84.4) следует, что единица потенциала — вольт(В): 1 Весть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциаль- ной энергией 1 Дж (1 В=1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно пока- зать, что введенная в § 79 единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл=1 Н⋅ м/(Кл ⋅ м)=1 Дж/(Кл ⋅ м)=1 В/м.Из формул (84.3) и (84.4) вытекает, что если поле создается несколькимизарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраическойсумме по- тенциалов полей всех этих зарядов:• Дайте определения потенциала данной точки электрического поля и разности потенциалов двухточек поля . Каковы их единицы ?• Приведите графики зависимостей Е (r) и ? (r) для равномерно заряженной сферической поверх -ности . Дайте их объяснение и обоснование .210§ 85. Н АПРЯЖЕННОСТЬ КАК ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА .Э КВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИНайдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля,являющейся его силовой характеристикой,и потенциалом — энергетической характеристикой поля.Работа по перемещению единичноготочечного положи- тельного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси хпри условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x1 – x 2 =dx,равна E x dx.Та же работа равна ? 1 - ? 2 = d ? .Приравняв оба выражения, можем записать(85.1)где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование произ- водится только по х.Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z,можемнайти вектор Е:где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z. Из определения градиента (12.4) и (12.6). следует, что(85.2)т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторо- ну убыванияпотенциала.Для графического изображения распределения потенциала электростати-ческого поля, как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуются эквипотен- циальными поверхностями— поверхностями, во всех точках которых потен- циал? имеет одно и то же значение.Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),? = 1 Q . Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае4 πε 0 r— концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярныэквипотенциальным поверхностям.Линии напряженности всегда нормальнык эквипотенциальным поверх-ностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют оди- наковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой по- верхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегданаправлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следова- тельно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям,а по- этому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой сис-темы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно211проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипо- тенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в раз- ных точках. Там, где эти поверхности рас положены гуще, напряженность поля больше.Итак, зная расположение линий напряженности электростатического по-ля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по извест- ному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенци- альных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного за- ряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом — впадину (б).Рис. 133§ 86. В ЫЧИСЛЕНИЕ РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ ПО НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯУстановленная в § 85 связь между напряженностью поля и потенциаломпозволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов меж- ду двумя произвольными точками этого поля.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости определяетсяформулой (82.1):где σ —поверхностная плотность заряда. Разность потенциалов между точка-ми, лежащими на расстояниях х 1 и х 2 от плоскости, равна (используем формулу(85.1))212 2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей определяется формулой (8X2): Е = σ / ε , где σ — поверхностная0плотность заряда. Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d(см. формулу (85.1)), равна(86.1)3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса Rс общим зарядом Qвнесферы (r > R) вычисляется по (82.3): E = 1 Q . Раз-4 πε 0 r 2ность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и г 2 отцентра сферы (r 1 > R, r 2 > К, r 2 > r 1 ), равна(86.2) Если принять r1 = r и r 2 = ∞ , то потенциал поля вне сферической поверх-ности, согласно формуле (86.2), задается выражением(ср. с формулой (84.5)). Внутри сферической поверхности потенциалвсюду одинаков и равенГрафик зависимости? от rприведен на рис. 134.213Рис. 1343.Поле объемно заряженного шара радиуса Rс общим зарядом Q внешара (r > R) вычисляется по формуле (82.3), поэтому разность потенциалов ме- жду двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и г 2 от центра шара (r 1 > R, г 2> R, г 2 > г 1 ),определяется формулой (86.2). В любой точке, лежащей внутришара на расстоянии r'от его центра (r ′ < R),напряженность определяется выра-жением (82.4):Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащимина расстояниях r ′ 1 и r ′ 2 от центра шара (r ′ 1 < R, r ′ 2 < R, r ′ 2 > r ′ 1 ) равна 5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R,заряженного с линейной плотностью τ , внецилиндра (r > R)определяется фор-мулой (82.5): Е=. Следовательно, разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и г 2 от оси заряженного цилиндра (r 1 >R. г 2 > R,г 2 >г 1 ), равна(86.3)§ 87. Т ИПЫ ДИЭЛЕКТРИКОВ . П ОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВДиэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так какположительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электро-214нов, то молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положи- тельные заряды ядер молекул суммарным зарядом + Q,находящимся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным от- рицательным зарядом —Q,находящимся в центре «тяжести» отрицательных за- рядов, то молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электри- ческим моментом, определяемым формулой (80.3). Первую группу диэлектри- ков (N2 , Н 2 , О 2 , СО 2 , СН 4 , ...) составляют вещества, молекулы которых имеютсимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицатель- ных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следова- тельно, дипольный момент молекулы р равен нулю. Молекулы таких диэлек- триков называются неполярными. Под действием внешнего электрического по- ля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (по- ложительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.Вторую группу диэлектриков (Н 2 О, NH 3 , SO 2 , CO,...) составляют вещест-ва, молекулы которых имеют асимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными. При отсут- ствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул вследст- вие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично и их резуль- тирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и воз- никает отличный от нуля результирующий момент.Третью группу диэлектриков (NaCl, KC1, КВг, ...) составляют вещества,молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматри- вать их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При наложении на ионный кристалл электрического поля происходит некото- рая деформация кристаллической решетки или относительное смещение под- решеток, приводящее к возникновению дипольных моментов.Таким образом, внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее элек-трическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующе- го электрического момента диэлектрика, или, иными словами, к поляризации диэлектрика. Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации дипо- лей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориенти- рованных по полю диполей.Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляри-зации:электронная, или деформационная, поляризация диэлектрика с неполяр-ными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит;ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярнымимолекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов215молекул по полю. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориен- тация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура;ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решет-ками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению диполь- ных моментов.§ 88. П ОЛЯРИЗОВАННОСТЬ . Н АПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКЕПри помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле он поляри-зуется, т. е. приобретает отличный от нуля дипольный момент p v = ∑ p i , где р i ,i— дипольный момент одной молекулы. Для количественного описания поляри- зации диэлектрика пользуются векторной величиной — поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика:(88.1)Из опыта следует, что для большого класса диэлектриков (за исключени-ем сегнетоэлектриков, см. § 91) поляризованность Р линейно зависит от напря- женности поля Е. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то(88.2)где æ— диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующаясвойства диэлектрика; æ - величина безразмерная; притом всегда æ > 0 и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (хотя, например, для спирта æ≈ 25, для воды æ = 80).Для установления количественных закономерностей поля в диэлектрикевнесем в однородное внешнее электрическое поле Е 0 (создается двумя беско-нечными параллельными разноименно заряженными плоскостями) пластинку из однородного диэлектрика, расположив ее так, как показано на рис. 135. Под действием поля диэлектрик поляризуется, т. е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные — против поля. В резуль- тате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоско- сти, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью +σ′ ,налевой — отрицательного заряда с поверхностной плотностью - σ '.Эти неском-пенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связанными. Так как их поверхностная плотностьσ′ меньше плот-ности σ свободных зарядов плоскостей, то не вое поле Е компенсируется полемзарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть — обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляриза-216ция диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первона- чальным внешним полем. Вне диэлектрика Е = Ео.Рис. 135Таким образом, появление связанных зарядов приводит к возникновениюдополнительного электрического поля Е' (поля, создаваемого связаннымизаря- дами), которое направлено против внешнего поля Е0 (поля, создаваемого сво-боднымизарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрикаПоле Е' = σ '/ ε 0 (поле, созданное двумя бесконечными заряженными плос-костями; см. формулу (82.2)), поэтому(88.3)Определим поверхностную плотность связанных зарядов σ '.По (88.1),полный дипольный момент пластинки диэлектрика p v = PV = PSd,где S—площадь грани пластинки, d —ее толщина. С другой стороны, полный диполь- ный момент, согласно (80.3), равен произведению связанного заряда каждой грани Q' =σ 'Sна расстояние dмежду ними, т. е. p = σ 'Sd.Таким образом, PSd =vσ 'Sd,или(88.4)т. е. поверхностная плотность связанных зарядов σ 'равна поляризованности Р.Подставив в (88.3) выражения (88.4) и (88.2), получимоткуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна(88.5)Безразмерная величина(88.6)называется диэлектрической проницаемостью среды.Сравнивая (88.5)217и (88.6), видим, что ε показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектри-ком, и характеризует количественно Свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле.§ 89. Э ЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ . Т ЕОРЕМА Г АУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКЕНапряженность электростатического поля, согласно (88.5), зависит отсвойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Еобратно пропорциональнаε . Вектор напряженности Е, переходя через границу диэлек-триков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобст- ва при расчетах электростатических полей. Поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором электриче- ского смещения, который для электрически изотропной среды, по определе- нию, равен(89.1)Используя формулы (88.6) и (88.2), вектор электрического смещенияможно выразить как(89.2)Единица электрического смещения — кулон на метр в квадрате (Кл/м 2 ).Рассмотрим, с чем можно связать вектор электрического смещения. Свя-занные заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электростати- ческого поля, создаваемого системой свободных электрических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных зарядов накладывается до- полнительное поле связанных зарядов. Результирующее полев диэлектрике описывается вектором напряженности Е, и потому он зависит от свойств ди- электрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое сво- бодными зарядами.Связанные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вы- звать, однако, перераспределение свободных зарядов, создающих поле. Поэто- му вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами(т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, ка- кое имеется при наличии диэлектрика.Аналогично, как и поле Е, поле D изображается с помощью линий элек-трического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности (см. §79).Линии вектораЕ могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах— свободных и связанных, в то время как линии вектораD — только на сво- бодных зарядах.Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.Для произвольной замкнутойповерхности Sпоток вектора D сквозь этуповерхность218где D n — проекция вектора D на нормаль пк площадке dS.Теорема Гаусса дляэлектростатического поля в диэлектрике:(89.3) т. е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключен- ных внутри этой поверхности свободныхэлектрических зарядов. В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.Для вакуума D= ε E ( ε =1), тогда поток вектора напряженности Е сквозьn 0 nпроизвольную замкнутую поверхность (ср. с (81.2)) равенТак как источниками поля Е в среде являются как свободные, так и свя-занные заряды, то теорему Гаусса (81.2) для поля Е в самом общем виде можно записать какгде ∑ n Q и ∑ k Q — соответственно алгебраические суммы свободных и свя-i = 1 1 i = 1 iссзанных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S.Однако эта формула неприемлема для описания поля Е в диэлектрике, так как она выражает свойст- ва неизвестного поля Е через связанные заряды, которые, в свою очередь, опре- деляются им же. Это еще раз доказывает целесообразность введения вектора электрического смещения.§ 90. У СЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДРассмотрим связь между векторами Е и D на границе раздела двух одно-родных изотропных диэлектриков (диэлектрические проницаемости которых ε1и ε 2 при отсутствии на границе свободных зарядов.Построим вблизи границыраздела диэлектриков 1 и 2 небольшой замкнутый прямоугольный контур AB- CDAдлиныl, ориентировав его так, как показано на рис. 136. Согласно теореме(83.3) о циркуляции вектора Е,219откуда(знаки интегралов по АВи CDразные, так как пути интегрирования противо- положны, а интегралы по участкам ВСи DAничтожно малы). Поэтому(90.1)Рис. 136Заменив, согласно (89.1), проекции вектора Е проекциями вектора D, де-ленными на ЕО £, получим(90.2)На границе раздела двух диэлектриков (рис. 137) построим прямой ци-линдр ничтожно малой высоты, одно основание которого находится в первом диэлектрике, другое — во втором.Рис. 137Основания? S настолько малы, что в пределах каждого из них вектор Dодинаков. Согласно теореме Гаусса (89.3),220(нормали n и n' к основаниям цилиндра направлены противоположно). Поэто- му(90.3)Заменив, согласно (89.1), проекции вектора D проекциями вектора Е, ум-ноженными на Вое, получим(90.4)Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриче-ских сред тангенциальная составляющая вектора Е (E τ ) и нормальная состав-ляющая вектора D (D n ) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), анормальная составляющая вектора Е (Е )и тангенциальная составляющая век-nтора D (D τ ) претерпевают скачок.Из условий (90.1) — (90.4) для составляющих векторов Е и D следует, чтолинии этих векторов испытывают излом (преломляются). Найдем связь между угламиα 1 и α 2 (на рис. 138 ε 2 > ε 1 ). Согласно (90.1) и (90.4), Е τ 2 = Е τ 1 и ε 2 E n2 =ε 1 E n1 . Разложим векторы E 1 и Е 2 у границы раздела на тангенциальные и нор-мальные составляющие. Из рис. 138 следует, чтоРис. 138Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий221Эта формула показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектри-ческой проницаемостью, линии Е и D удаляются от нормали.§ 91. С ЕТНЕТОЭЛЕКТРИКИСегнетоэлектрики — диэлектрики, обладающие в определенном интерва-ле температур спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью, т. е. поля- ризованностью в отсутствие внешнего электрического поля. К сегнетоэлектри- кам относятся, например, детально изученные И. В. Курчатовым (1903—1960) и П. П. Кобеко (1897—1954) сегнетова соль NaKC4H4O6⋅ 4Н2О (от нее и полу-чили свое название сегнетоэлектрики) и титанах бария ВаTiO 3 .При отсутствии внешнего электрического поля сегнетоэлектрик пред-ставляет собой как бы мозаику из доменов — областей с различными направле- ниями поляризованности. Это схематически показано на примере титаната ба- рия (рис. 139), где стрелки и знаки ?, ⊕ указывают направление вектора Р. Так как в смежных доменах эти направления различны, то в целом дипольный мо- мент диэлектрика равен нулю. При внесении сегнетоэлектрика во внешнее поле происходит переориентация дипольных моментов доменов по полю, а возник- шее при этом суммарное электрическое поле доменов будет поддерживать их некоторую ориентацию и после прекращения действия внешнего поля. Поэтому сегнетоэлектрики имеют аномально большие значения диэлектрической прони- цаемости (для сегнетовой соли, например,ε max ≈ 10 4 ).Рис. 139Сегнетоэлектрические свойства сильно зависят от температуры. Для каж-дого сегнетоэлектрика имеется определенная температура, выше которой его необычные свойства исчезают и он становится обычным диэлектриком. Эта температура называется точкой Кюри (в честь французского физика Пьера Кю- ри (1859—1906)). Как правило, сегнетоэлектрики имеют только одну точку Кюри; исключение составляют лишь сегнетова соль (—18 и +24°С) и изоморф- ные с нею соединения. В сегнетоэлектриках вблизи точки Кюри наблюдается222также резкое возрастание теплоемкости вещества. Превращение сегнетоэлек- триков в обычный диэлектрик, происходящее в точке Кюри, сопровождается фазовым переходом II рода (см. § 75).Диэлектрическая проницаемость ε (а следовательно, и диэлектрическаявосприимчивость æ)сегнетоэлектриков зависит от напряженности E поля в ве- ществе, а для других диэлектриков эти величины являются характеристиками вещества.Для сегнетоэлектриков формула (88.2) не соблюдается; для них связь ме-жду векторами поляризованности (Р) и напряженности (Е) нелинейнаяи зависит от значений Е в предшествующие моменты времени. В сегнетоэлектриках на- блюдается явление диэлектрического гистерезиса («запаздывания»). Как видно из рис. 140, с увеличением напряженности Евнешнего электрического поля по- ляризованность Ррастет, достигая насыщения (кривая 1). Уменьшение Р с уменьшением Епроисходит по кривой 2, и при Е = 0 сегнетоэлектрик сохраняет остаточную поляризованность Р,т. е. сегнетоэлектрик остается поляризован-0ным в отсутствие внешнего электрического поля. Чтобы уничтожить остаточ- ную поляризованность, надо приложить электрическое поле обратного направ- ления (—Ес ).Величина Е с называется коэрцитивной силой (от лат. coercitio —удерживание). Если далее Еизменять, то Ризменяется по кривой 3петли гис- терезиса.Рис. 140Интенсивному изучению сегнетоэлектриков послужило открытие акаде-миком Б. М. Вулом (1903—1985) аномальных диэлектрических свойств титана- та бария. Титанат бария из-за его химической устойчивости и высокой механи- ческой прочности, а также из-за сохранения сегнетоэлектрических свойств в широком температурном интервале нашел большое научно-техническое при- менение (например, в качестве генератора и приемника ультразвуковых волн). В настоящее время известно более сотни сегнетоэлектриков, не считая их твер- дых растворов. Сегнетоэлектрики широко применяются также в качестве мате- риалов, обладающих большими значениямиε (например, в конденсаторах).Следует упомянуть еще о пьезоэлектриках — кристаллических вещест-223вах, в которых при сжатии или растяжении в определенных направлениях воз- никает электрическая поляризация даже в отсутствие внешнего электрического поля (прямой пъезоэффект). Наблюдается и обратный пьезоэффект — появле- ние механической деформации под действием электрического поля. У некото- рых пьезоэлектриков решетка положительных ионов в состоянии термодина- мического равновесия смещена относительно решетки отрицательных ионов, в результате чего они оказываются поляризованными даже без внешнего элек- трического поля. Такие кристаллы называются пироэлектриками. Еще суще- ствуют электреты — диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего электрического поля (электрические аналоги постоянных магнитов) Эти группы веществ находят широкое применение в технике и бытовых устройствах.§ 92. П РОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕЕсли поместить проводник во внешнее электростатическое поле или егозарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатическое поле, в результате чего они начнут перемещаться. Перемещение зарядов (ток) про- должается до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. В самом деле, если бы по- ле, не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. Итак, напряженность поля во всех точках внутри провод- ника равна нулю:Е = 0. Отсутствие поля внутри проводника означает, согласно (85.2), что потен-циал во всех точках внутри проводника постоянен ( ? = const), т. е. поверхностьпроводника в электростатическом поле является эквипотенциальной(см. § 85). Отсюда же следует, что вектор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхности. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды начали бы по поверхности проводника перемещаться, что, в свою очередь, противоре- чило бы равновесному распределению зарядов. Если проводнику сообщить не- который заряд Q, тонескомпенсированные заряды располагаются только на поверхностипроводника. Это следует непосредственно из теоремы Гаусса (89.3), согласно которой заряд Q,находящийся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью, равентак как во всех точках внутри поверхности D = 0.Найдем взаимосвязь между напряженностью Еполя вблизи поверхности224верхности. Для этого применим теорему Гаусса к бесконечно малому цилиндру с основаниями? S, пересекающему границу проводник — диэлектрик. Ось ци-линдра ориентирована вдоль вектора E (рис. 141). Поток вектора электрическо- го смещения через внутреннюю часть цилиндрической поверхности равен ну- лю, так как внутри проводника E1 (а следовательно, и D 1 ) равен нулю, поэтомупоток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяется только потоком сквозь наружное основание цилиндра. Согласно теореме Гаусса (89.3), этот поток (D? S) равен сумме зарядов (Q = σ? S), охватываемых поверх-ностью: D ? S = σ? S, т. е.или(92.1) (92.2)где σ — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.Рис. 141Таким образом, напряженность электростатического поля у поверхностипроводника определяется поверхностной плотностью зарядов. Можно показать, что соотношение (92.2) задает напряженность электростатического поля вблизи поверхности проводника любой формы.Если во внешнее электростатическое поле внести нейтральный провод-225зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется элек- тростатической индукцией.Рис. 142Из рис. 142, бследует, что индуцированные заряды появляются на про-воднике вследствие смещенияих под действием поля, т. е. σ является поверх-ностной плотностью смещенных зарядов. По (92.1), электрическое смещение D вблизи проводника численно равно поверхностной плотности смещенных заря- дов. Поэтому вектор D получил название вектора электрического смещения.Так как в состоянии равновесия внутри проводника заряды отсутствуют,то создание внутри него полости не повлияет на конфигурацию расположения зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри по- лости поле будет отсутствовать. Если теперь этот проводник с полостью зазем- лить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т. е. полость полно- стью изолирована от влияния внешних электростатических полей. На этом ос- нована электростатическая защита— экранирование тел, например измеритель- ных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Вместо сплош- ного проводника для зашиты может быть использована густая металлическая сетка, которая, кстати, является эффективной при наличии не только постоян- ных, но и переменных электрических полей.Свойство зарядов располагаться на внешней поверхности проводника ис-пользуется для устройства электростатических генераторов, предназначенных для накопления больших зарядов и достижения разности потенциалов в не- сколько миллионов вольт. Электростатический генератор, изобретенный аме- риканским физиком Р. Ван-де-Граафом (1901—1967), состоит из шарообразно- го полого проводника 1 (рис. 143), укрепленного на изоляторах 2. Движущаяся замкнутая лента 3из прорезиненной ткани заряжается от источника напряже- ния с помощью системы остриев 4,соединенных с одним из полюсов источни- ка, второй полюс которого заземлен. Заземленная пластина 5 усиливает отека- ние зарядов с остриев на ленту. Другая система остриев 6снимает заряды с ленты и передает их полому шару, и они переходят на его внешнюю поверх- ность. Таким образом, сфере передается постепенно большой заряд и удается достичь разности потенциалов в несколько миллионов вольт. Электростатиче- ские генераторы применяются в высоковольтных ускорителях заряженных час- тиц, а также в слаботочной высоковольтной технике.226Рис. 143§ 93. Э ЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКАРассмотрим уединенный проводник, т. е. проводник, который удален отдругих проводников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (84.5), прямо про- порционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, бу- дучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уе- диненного проводника можно записатьВеличину(93.1)называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника. Емкость уединенного проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицуЕмкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит отматериала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри провод- ника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Емкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала.Единица электроемкости — фарад (Ф): 1 Ф — емкость такого уединенно-го проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заря- да 1 Кл.Согласно (84.5), потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося воднородной среде с диэлектрической проницаемостью ε ,равен227Используя формулу (93.1), получим, что емкость шара(93.2)Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар, находя-щийся в вакууме и имеющий радиус R = С/(4 πε 0 ) ≈ 9 ⋅ 10 6 км, что примерно в1400 раз больше радиуса Земли (электроемкость Земли С ≈ 0,7 мФ). Следова-тельно, фарад — очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы — миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постояннойε 0 — фарад на метр (Ф/м) (см. (78.3)).§ 94. К ОНДЕНСАТОРЫКак видно из § 93, для того чтобы проводник обладал большой емкостью,он должен иметь очень большие размеры. На практике, однако, необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших отно- сительно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величине заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства получили название конденсаторов.Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них воз-никают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заря- ды, причем ближайшими к наводящему заряду Qбудут заряды противополож- ного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q,т. е. понижают потенциал проводника, что приводит (см. (93.1)) к повышению его электроемкости.Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделенных ди-электриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружаю- щие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создавае- мое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между об- кладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют (см. § 82): 1) две пло- ские пластины; 2) два коаксиальных цилиндра; 3) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженно-сти начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю раз- ноименными зарядами. Под емкостью конденсаторапонимается физическая величина, равная отношению заряда Q,накопленного в конденсаторе, к разно- сти потенциалов (? 1 - ? 2 )между его обкладками:(94.1)228Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух парал-лельных металлических пластин площадью Sкаждая, расположенных на рас- стоянии dдруг от друга и имеющих заряды +Q и —Q.Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эф- фектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однородным. Его можно рассчитать используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов между ними, согласно (86.1),(94.2)где ε — диэлектрическая проницаемость. Тогда из формулы (94.1), заменяя Q=σ Sс учетом (94.2) получим выражение для емкости плоского конденсатора:(94.3)Для определения емкости цилиндрического конденсатора, состоящего издвух полых коаксиальных цилиндров срадиусами r 1 и r 2 (r 2 > r 1 ) ,вставленныходин в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем поле радиаль- но-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками. Разность потенциалов между обкладками вычислим по формуле (86.3) для поля равномерно заряженного бесконечного цилиндра с линейной плотностью r=Q/l (l— длина обкладок). При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов(94.4)Подставив (94.4) в (94.1), получим выражение для емкости цилиндриче-ского конденсатора:(94.5)Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего издвух концентрических обкладок, разделенных сферическим слоем диэлектрика, используем формулу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r 2 (r 2 > r 1 ) от центра заряженной сферическойповерхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциа- ловПодставив (94.6) в (94.1), получим(94.6) (94.7)Если d = r 2 – r 1 ? r 1 то r 2 ≈ r 1 ≈ r и C = 4 πε 0 ε r 2 /d. Так как 4 π r 2 —площадь229сферической обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы выражения для емкости сфе- рического и плоского конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для цилиндрического конденсатора: при малом зазоре между цилиндрами по срав- нению с их радиусами в формуле (94.5) ln (r/r ) можно разложить в ряд, огра-2 1ничиваясь только членом первого порядка. В результате опять приходим к фор- муле (94.3).Из формул (94.3), (94.5) и (94.7) вытекает, что емкость конденсаторовлюбой формы прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости ди- электрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому примене- ние в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость конденсаторов.Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением — разностьюпотенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой — электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конден-саторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и после- довательное соединения.1. Параллельное соединение конденсаторов (рис. 144).Рис. 144У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на об-кладках конденсаторов одинакова и равна ? - ? .Если емкости отдельныхA Bконденсаторов С 1 , С 2 , ..., С n ,то, согласно (94.1), их заряды равныа заряд батареи конденсаторов230Полная емкость батареит. е. при параллельном соединении конденсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.2. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 145).Рис. 145У последовательно соединенных конденсаторов заряды всех обкладокравны по модулю, а разность потенциалов на зажимах батареигде для любого из рассматриваемых конденсаторов ?? I = Q/C i .С другой сторо-ны,откудат. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величины, обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении конден- саторов результирующая емкость Свсегда меньше наименьшей емкости, ис- пользуемой в батарее.§ 95. Э НЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ , УЕДИНЕННОГОПРОВОДНИКА И КОНДЕНСАТОРА . Э НЕРГИЯЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ1. Энергия системы неподвижных точечных зародов. Электростатиче-ские силы взаимодействия консервативны (см. § 83); следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q 2 ,находящихся на рас-231стоянии гдруг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает по- тенциальной энергией (см. (84.2) и (84.5)):где ? 12 и ? 21 — соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q 2 в точкенахождения заряда Q и зарядом Q в точке нахождения заряда Q .Согласно1 1 2(84.5),поэтому Добавляя к системе из двух зарядов последовательно заряды 2з, б4> —.можно убедиться в том, что в случае и неподвижных зарядов энергия взаимо- действия системы точечных зарядов равна(95.1)где ? i — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q i ,всеми за-рядами, кроме i-ro.2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уе-диненный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С,? .Увеличим заряд этого проводника на &Q.Для этого необходимоперенести заряд dQиз бесконечности на уединенный проводник, затратив на это работу, равнуюЧтобы зарядить тело от нулевого потенциала до ? ,необходимо совер-шить работу(95.2)Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимосовершить, чтобы зарядить этот проводник:(95.3)Формулу (95.3) можно получить и из того, что потенциал проводника вовсех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотен- циальной. Полагая потенциал проводника равным? ,из (95.1) найдем232где Q = ∑ n Q - заряд проводника.i = 1 i3. Энергия заряженного конденсатора.Как всякий заряженный провод-ник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна(95.4)где Q— заряд конденсатора, С— его емкость, ?? — разность потенциаловмежду обкладками конденсатора.Используя выражение (95.4), можно найти механическую (пондеромо-торную) силу,с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние хмежду пластинами меняется, например, на величину? х.Тогда действующая сила совершает работу dA = Fdxвследст-вие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx = —dW,откуда(95.5)Подставив в (95.4) выражение 04.3), получим(95.6)Производя, дифференцирование при конкретном значении энергии (см.(95.5) и (95.6)), найдем искомую силу:где знак минус указывает, что сила Fявляется силой притяжения.4. Энергия электростатического поля.Преобразуем формулу (95.4),выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потен- циалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C =ε 0 ε S/d)и разности потенциалов между его обкладками ( ?? = Ed).Тогда(95.7)где V = Sd— объем конденсатора. Формула (95.7) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатиче- ское поле, — напряженностьЕ.Объемная плотностьэнергии электростатического поля (энергия едини-цы объема)(95.8)Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, длякоторого выполняется соотношение (88.2): Р = æ ε Е.0Формулы (9S.4) и (95.7) соответственно связывают энергию конденсаторас зарядомна его обкладках и с напряженностью поля.Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энергии и что является ее носителем233— заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электроста- тика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней по- ля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электроста- тика ответить на поставленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнит- ные поля могут существовать обособленно, независимо от возбудивших их за- рядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, спо- собныхпереносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положе- ние теории, близкодействия о том, что энергия локализована в полеи что но- сителемэнергии является поле.З АДАЧИ11.1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины,опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см 3 . Какова должна быть плотность ма-териала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосинаε =2. [1,6 г/см 3 ]11.2. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженнойплоскости с поверхностной плотностью σ = 1,5 нКл/см 2 расположена круглаяпластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями напряженности уголα =45°. Определить поток вектора напряженности через эту пластинку, если еерадиус г = 10 см. [1,88 кВ м]11.3. Кольцо радиусом г = 10 см из тонкой проволоки равномерно заря-жено с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить напряженность поля наоси, проходящей через центр кольца в точке А,удаленной на расстояние а = 20 см от центра кольца. [1 кВ/м]11.4. Шар радиусом R=10 см заряжен равномерно с объемной плотностьюρ = 5нКл/м 3 . Определить напряженность электростатического поля: 1) на рас-стоянии r 1 =2 см от центра шара; 2) на расстоянии г 2 = 12 см от центра шара.Построить зависимость Е(r).[1) 3,77 В/м; 2) 13,1 В/м]11.5. Электростатическое поле создается положительно заряженной бес-конечной нитью с постоянной линейной плотностью τ =1 нКл/см. Какую ско-рость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r1 =2,5 см до r 2 = 1.5 см? [18 Мм/с]11.6. Электростатическое поле создается сферой радиусом R=4 см, рав-номерно заряженной с поверхностной плотностью σ =1 нКл/м 2 . Определитьразность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r1=6 см и r 2 = 10 см. [1,2 В]23411.7. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженнойнити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния г 1 =10 см до г 2 =5см в направлении, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8мкКл/м]11.8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполненопарафином ( ε = 2). Расстояние между пластинами d=8,85 мм. Какую разностьпотенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,05 нКл/см2 ? [500 В]11.9. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотно-стью ρ =10 нКл/м 3 по шару радиусом R=5 см из однородного изотропного ди-электрика с диэлектрической проницаемостью ε =6. Определить напряженностиэлектростатического поля на расстояниях г =2 см и r =10 см от центра шара.1 2[E 1 = 1,25 В/м; E 2 =23,5 В/м]11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполненостеклом ( ε =7). Расстояние между пластинами d=5мм, разность потенциаловU=500 В. Определить энергию поляризованной стеклянной пластины, если ее площадь S=50 см2 . [6,64 мкДж]11.11. Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 10 пФ заряжен доразности потенциалов U=1 кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]11.12. Разность потенциалов между пластинами конденсатора U=200 В.Площадь каждой пластины S=100 см 2 , расстояние между пластинами d=1 мм,пространство между ними заполнено парафином ( ε =2). Определить силу при-тяжения пластин друг к другу. [3,54 мН]235ГЛАВА 12ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК§ 96. Э ЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК , СИЛА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА В электродинамике— разделе учения об электричестве, в котором рас-сматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов или макроскопических заряженных тел, — важнейшим понятием явля- ется понятие электрического тока. Электрическим токомназывается любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В проводнике под действием приложенного электрического поля Е свободные электрические заряды перемещаются: положительные — по полю, отрицательные — против поля (рис. 146, а),т. е. в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости.Если же упорядоченное движение электрических заря- дов осуществляется перемещением в пространстве заряженного макроскопиче- ского тела (рис. 146, б),то возникает так называемый конвекционный ток.Рис. 146Для возникновения и существования электрического тока необходимо, содной стороны, наличие свободных носителей тока— заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно, а с другой — наличие электрического поля,энергия которого, каким-то образом восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. За направление тока условнопринимают направление движения положительных зарядов.Количественной мерой электрического тока служит сила тока I— ска-лярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходя- щим через поперечное сечение проводника в единицу времени:Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такойток называется постоянным.Для постоянного тока236где Q— электрический заряд, проходящий за время tчерез поперечное сечение провод ника. Единица силы тока — ампер (А).Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через еди-ницу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направле- нию тока, называется плотностью тока:Выразим силу и плотность тока через скорость ‹v› упорядоченного дви-жения зарядов в проводнике. Если концентрация носителей тока равна n и каж- дый носитель имеет элементарный заряд е(что не обязательно для ионов), то за время? tчерез поперечное сечение Sпроводника переносится заряд? Q=ne⟨v⟩Sdt.Сила токаа плотность тока(96.1)Плотность тока — вектор,ориентированный по направлению тока, т. е.направление вектора j совпадает с направлением упорядоченного движения по- ложительных зарядов. Единица плотности тока — ампер на метр в квадрате (А/м2 ).Сила тока сквозь произвольную поверхность Sопределяется как потоквектора J, т. е.(96.2)где dS = ndS (n — единичный вектор нормали к площадке dS,составляющей с век тором j уголα ).§ 97. С ТОРОННИЕ СИЛЫ . Э ЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА И НАПРЯЖЕНИЕЕсли в цепи на носители тока действуют только силы электростатическо-го поля, то происходит перемещение носителей (они предполагаются положи- тельными) от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Это приведет к выравниванию потенциалов во всех точках цепи и к исчезнове- нию электрического поля. Поэтому для существования постоянного тока необ- ходимо наличие в цепи устройства, способного создавать и поддерживать раз- ность потенциалов за счет работы сил неэлектростатического происхождения. Такие устройства называются источникамитока. Силы неэлектростатическо- го происхождения,действующие на заряды со стороны источников тока, назы- ваются сторонними.Природа сторонних сил может быть различной. Например, в гальваниче-237ских элементах они возникают за счет энергии химических реакций между электродами и электролитами; в генераторе — за счет механической энергии вращения ротора генератора и т. п. Роль источника тока в электрической цепи, образно говоря, такая же, как роль насоса, который необходим для перекачива- ния жидкости в гидравлической системе. Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток.Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических заря-дов. Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется элек- тродвижущей силой (э.д.с.), действующей в цепи:(97.1)Эта работа производится за счет энергии, затрачиваемой в источнике то-ка, поэтому величину ξ можно также называть электродвижущей силой источ-ника тока, включенного в цепь. Часто, вместо того чтобы сказать: «в цепи дей- ствуют сторонние силы», говорят: «в цепи действует э. д. с.», т. с. термин «электродвижущая сила» употребляется как характеристика сторонних сил. Э.д.с., как и потенциал, выражается в вольтах (ср. (84.9) и (97.1)).Сторонняя сила F CT , действующая на заряд Q 0 . может быть выражена какгде Е — напряженность поля сторонних сил. Работа же сторонних сил по пе- ремещению заряда Qна замкнутом участке цепи равна0(97.2)Разделив (97.2) на Q 0 ,получим выражение для э. д. с., действующей вцепи:т. е. э.д.с., действующая в замкнутой цепи, может быть определена как цирку- ляция вектора напряженности поля сторонних сил. Э.д.с., действующая на уча- стке 1 -2,равна(97.3)На заряд Q 0 помимо сторонних сил действуют также силы электростати-ческого поля F e = Q 0 E. Таким образом, результирующая сила, действующая вцепи на заряд Q , равна0Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом Q на участке01—2,равна238Используя выражения (97.3) и (84.8), можем записать(97.4)Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю (см. §83), поэтому в данном случае A = Q ξ12 0 12НапряжениемUна участке 1—2 называется физическая величина, опре-деляемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (куло- новских) и сторон них сил при перемещении единичного положительного заря- да на данном участке цепи. Таким образом, согласно (97.4),Понятие напряжения является обобщением понятия разности потенциа-лов: напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не действует э.д.с., т. е. сторонние силы отсутст- вуют.• Что такое сторонние силы ? Какова их природа ?• Почему напряжение является обобщенным понятием разности потенциалов ?• В чем заключается физический смысл электродвижущей силы , действующей в цепи ?напряжения ? разности потенциалов ?• Какова связь между сопротивлением и проводимостью , удельным сопротивлением и удельнойпроводимостью ?§ 98. З АКОН О МА . С ОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКОВНемецкий физик Г. Ом (1787,—1854) экспериментально установил, чтосила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику (т. с. про- воднику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряже- нию Uна концах проводника:I=U/R, (98.1)где R— электрическое сопротивление проводника. Уравнение (98.1) выражает закон Ома для участка цепи(не содержащего источника тока): сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника. Формула (98.1) позволяет уста- новить единицу сопротивления — ом (Ом): 1 Ом — сопротивление такого про- водника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А. Величинаназывается электрической проводимостью проводника. Единица проводимости239— сименс (См): 1 См — проводимость участка электрической цепи сопротив- лением 1 Ом. Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для однородного ли- нейного проводника сопротивление Rпрямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:R = ρ l (98.2)Sгде ρ — коэффициент пропорциональности, характеризующий материал про-водника и называемый удельным электрическим сопротивлением.Единица удельного электрического сопротивления — ом-метр (Ом⋅ м). Наименьшимудельным сопротивлением обладают серебро (1,6-10~ 8 Ом м) и медь (1,7 ⋅ 10 -8Ом ⋅ м). На практике наряду с медными применяются алюминиевые провода.Хотя алюминий и имеет большее, чем медь, удельное сопротивление (2,6 ⋅ 10 -8Ом ⋅ м), но зато обладает меньшей плотностью по сравнению с медью.Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставиввыражение для сопротивления (98.2) в закон Ома (98.1), получим(98.3)где величина, обратная удельному сопротивлению,называется удельной электрической проводимостью вещества проводника. Ее единица — сименс на метр (См/м). Учитывая, что U/l = E— напряженностьэлектрического поля в проводнике, I/S = j — плотность тока, формулу (98.3)можно записать в виде(98.4)Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движут-ся в направлении вектора Е, то направления j и Е совпадают. Поэтому формулу (98.4) можно записать в виде(98.5)Выражение (98.5) — закон Ома в дифференциальной форме,связы-вающий плотность тока в любой точке внутри проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке. Это соотношение справедливо и для пе- ременных полей.Опыт показывает, что в первом приближении изменение удельного со-противления, а значит и сопротивления, с температурой описывается линейным законом:где ρ и ρ 0 , R и R 0 — соответственно удельные сопротивления и сопротивленияпроводника при t и 0 °С, α — температурный коэффициент сопротивления,для чистых металлов (при не очень низких температурах) близкий к 1/273 К -1 .Следовательно, температурная зависимость сопротивления может быть пред-240ставлена в видегде Т— термодинамическая температура.Качественный ход температурной зависимости сопротивления металлапредставлен на рис. 147 (кривая 1). Впоследствии было обнаружено, что сопро- тивление многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов при очень низких температурах Тk (0,14—20 К), называемых критическими,характерныхдля каждого вещества, скачкообразно уменьшается до нуля (кривая 2), т. е. ме- талл становится абсолютным проводником. Впервые это явление, названное сверхпроводимостью,обнаружено в 1911 г. Г. Камерлинг-Оннесом для ртути. Явление сверхпроводимости объясняется на основе квантовой теории. Практи- ческое использование сверхпроводящих материалов (в обмотках сверхпрово- дящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их низких критических температур. В настоящее время обнаружены и активно исследу- ются керамические материалы, обладающие сверхпроводимостью при темпера- туре выше 100 К.Рис. 147На зависимости электрического сопротивления металлов от температурыосновано действие термометров сопротивления,которые позволяют по гра- дуированной взаимосвязи сопротивления от температуры измерять температу- ру с точностью до 0,003 К. Термометры сопротивления, в которых в качестве рабочего вещества используются полупроводники, изготовленные по специаль- ной технологии, называются термнсторами.Они позволяют измерять темпера- туры с точностью до миллионных долей кельвин.§ 99. Р АБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА .З АКОН Д ЖОУЛЯ — Л ЕНЦАРассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено на-пряжение U.За время dt через сечение проводника переносится заряд dq = Idt. Так как ток представляет собой перемещение заряда dq под действием электри- ческого поля, то, по формуле (84.6), работа тока241(99.1)Если сопротивление проводника R,то, используя закон Ома (98.1), полу-чим(99.2)Из (99.1) и (99.2) следует, что мощность тока(99.3)Если сила тока выражается в амперах, напряжение — в вольтах, сопро-тивление — в омах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность — в ват- тах. На практике применяются также внесистемные единицы работы тока: ватт- час (Вт-ч) и киловатт-час (кВт-ч). 1 Вт⋅ ч — работа тока мощностью 1 Вт в тече-ние 1 ч; 1 Вт-ч = 3600 Вт-с = 3,6-10 3 Дж; 1 кВт-ч=10 3 Вт-ч=3,6-10 6 Дж.Если ток проходит по неподвижномуметаллическому проводнику, то всяработа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии,(99.4)Таким образом, используя выражения (99.4), (99.1) и (99.2), получим(99.5)Выражение (99.5) представляет собой закон Джоуля — Ленца, экспери-ментально установленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э. X. Лен- цем1 .Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем dV = dSdl(ось цилиндра совпадает с направлением тока), сопротивление которогоR = ρ dl . По закону Джоуля — Ленца, за время ? t в этом объеме выделитсяdSтеплотаКоличество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объ-ема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна(99.6)Используя дифференциальную форму закона Ома (j = γ E) и соотношениеρ = 1/ γ , получим(99.7)Формулы (99.6) и (99.7) являются обобщенным выражением закона Джо-1 Э. X. Ленц (1804—1865) — русский физик.242уля — Ленца в дифференциальной форме, пригодным для любого проводника.Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, котороеначалось с открытия в 1873 г. русским инженером А. Н. Лодыгиным (1847— 1923) лампы накаливания. На нагревании проводников электрическим током основано действие электрических муфельных печей, электрической дуги (от- крыта русским инженером В. В. Петровым (1761—1834)), контактной электро- сварки, бытовых электронагревательных приборов и т. д.§ 100. З АКОН О МА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИМы рассматривали закон Ома (см. (98.1)) для однородного участка цепи,т. е. такого, в котором не действует э.д.с. (не действуют сторонние силы). Те- перь рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую э.д.с. на уча- стке 1—2 обозначим черезξ 12 , а приложенную на концах участка разность по-тенциалов — через ? 1 — ? 2 .Если ток проходит по неподвижнымпроводникам, образующим участок1—2,то работа A 12 всех сил (сторонних и электростатических), совершаемаянад носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теп- лоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении за- ряда Q0 на участке 1—2,согласно (97.4),(100.1)Э.д.с. ξ 12 , как и сила тока I, — величина скалярная. Ее необходимо братьлибо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если э.д.с. способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1—2),тоξ12> 0. Если э.д.с. препятствует движению положительных зарядов в данном на- правлении, тоξ 12 < 0. За время t в проводнике выделяется теплота (см. (99.5))(100.2)Из формул (100.1) и (100.2) получимоткуда(100.3) (100.4)Выражение (100.3) или (100.4) представляет собой закон Ома для неодно-родного участка цени в интегральной форме, который является обобщенным законом Ома.Если на данном участке цепи источник тока отсутствует( ξ 12 = 0), то из(100.4) приходим к закону Ома для однородного участка цепи(98.1):(при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно разности243потенциалов (см. § 97)). Если же электрическая цепь замкнута,то выбранные точки 1 и 2 со впадают,? = ? ,тогда из (100.4) получаем закон Ома для замк-1 2нутой цепи:где ξ — э.д.с., действующая в цепи, R— суммарное сопротивление всей цепи.В общем случае R=r + R ,где r— внутреннее сопротивление источника тока, R1 1— сопротивление внешней цепи. Поэтому закон Ома для замкнутой цепи будет иметь видЕсли цепь разомкнутаи, следовательно, в ней ток отсутствует (I = 0), тоиз закона Ома (100.4) получим, что ξ 12 = ? 2 - ? 1 , э.д.с., действующая в разомк-нутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, для того чтобы найти э.д.с. источника тока, надо измерить разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи.§ 101. П РАВИЛА К ИРХГОФА ДЛЯ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙОбобщенный закон Ома (см. (100.3)) позволяет рассчитать практическилюбую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие уча- стки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т. д.), до- вольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правая Кирхгофа2 .Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех про-водников с током, называется узлом.При этом ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным.Первое правило Кирхгофа:алгебраическая сумма токов, сходящихся вузле, равна нулю:Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрическогозаряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электри- ческие заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.2 Г. Кирхгоф (1824—1887) — немецкий физик.244Рис. 148Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома дляразветвленных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149).Рис. 149Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отме-тив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпа- дающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положи- тельными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источ- ники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно запи- сать:Складывая почленно эти уравнения, получим(101.1)Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа:в любом замк-нутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи,245алгебраическая сумма произведений сил токов I i на сопротивления R i , соответ-ствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. ξ ,встре-kчающихся в этом контуре:(101.2)При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правилКирхгофа необходимо:1. Выбрать произвольноенаправление токов на всех участках цепи; дейст-вительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться;произведение IRположительно, если ток на данном участке совпадает с на- правлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направле- нию обхода, считаются положительными, против — отрицательными.3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу иско-мых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе полу- чатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему(рис. 150) измерительного моста Уитстона 3 .Рис. 150Сопротивления R1 , R 2 , R 3 и R 4 образуют его «плечи». Между точками А иВмоста включена батарея с э.д.с. ξ и сопротивлением r,между точками С и Dвключен гальванометр с сопротивлением R G . Для узлов А. В и С, применяя пер-3 Ч. Уитстон (1802—1875) — английский физик.246вое правило Кирхгофа, получим(101.3)Для контуров АСВA, ACDA и CBDC,согласно второму правилу Кирхго-фа, можно записать:(101.4)Если известны все сопротивления и э.д.с,, то, решая полученные шестьуравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R2 , R 3 и R 4 можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю(I G = 0). Тогда из (101.3) найдем(101.5)а из (101.4) получим(101.6) Из (101.5) и (101.6) вытекает, что(101.7)Таким образом, в случае равновесного моста (I G = 0) при определении ис-комого сопротивления R Э.Д.С. батареи, сопротивления батареи и гальвано-1метра роли не играют.На практике обычно используется реохордный мост Унтстоиа(рис.151), где сопротивления R 3 и R 4 представляют собой длинную однородную про-волоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R/R можно заменить отношением l /l .3 4 3 4Рис. 151Тогда, используя выражение (101.7), можно записать(101.8)Длины l 3 и l 4 легко измеряются по шкале, а R 2 всегда известно. Поэтомууравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R 1 .247З АДАЧИ12.1. По медному проводнику сечением 1 мм 2 течет ток; сила тока 1 А.Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свобод- ный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3 . [74 мкм/с]12.2. Определить, во сколько раз возрастет сила тока, проходящего черезплатиновую печь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t1 =20°С до t 2 = 1200°С. Температурный коэффициент сопротив-ления платины принять равным 3,65 ⋅ 10 -3 К -1 . [В 5 раз]12.3. По медному проводу сечением 0,3 мм 2 течет ток 0,3 А. Определитьсилу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электриче- ского поля. Удельное сопротивление меди 17 нОм⋅ м. [2,72 ⋅ 10 -21 Н]12.4. Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убываетот I =3 А до I = 0 за 30 с. Определить выделившееся за это время в проводнике0количество теплоты. [900 Дж]12.5. Плотность электрического тока в алюминиевом проводе равна 5А/см 2 . Определить удельную тепловую мощность тока, если удельное сопро-тивление алюминия 26 нОм-м. [66 Дж/(м 3 .с)]12.6. Определить внутреннее сопротивление r источника тока, если вовнешней цепи при силе тока I = 5 А выделяется мощность P = 10 Вт, а при си-1 1ле тока I 2 = 8 А — мощность Р 2 = 12 Вт.[0.17 Ом]12.7. Три источника тока с э.д.с. E 1 = 1,8 В, E 2 = 1,4 В и E 3 = 1,1 В соеди-нены накоротко одноименными полюсами. Внутреннее сопротивление первого источника r1 =0,4 Ом, второго— г 2 = 0,6 Ом. Определить внутреннее сопротив-ление третьего источника, если через первый источник идет ток I = 1,13 А. [0,21Ом]248ГЛАВА 13ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ,ВАКУУМЕ И ГАЗАХ§ 102. Э ЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВНосителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. элек-троны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это пред- ставление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости метал лов, созданной немецким физиком П. Друде (1863—1906) и разработанной впоследствии нидерландским физиком X. Ло- ренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.Первый из таких опытов — опыт Рикке 4 (1901), в котором в течение го-да электрический ток пропускался через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами металлических цилиндра (Сu, А1, Сu) одинакового радиуса. Несмотря на то, что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значения (≈ 3,5 ⋅ 10 6 Кл), никаких, даже микро-скопических, следов переноса вещества не обнаружилось. Это явилось экспе- риментальным доказательством того, что ионы в металлах не участвуют в пе- реносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытые в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном (1856—1940) электроны.Для доказательства этого предположения необходимо было определитьзнак и величину удельного заряда носителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов заключалась в следующем: если в металле име- ются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы должны по инерции смещаться вперед, как смещаются вперед пассажиры, стоящие в вагоне при его торможении. Ре- зультатом смещения зарядов должен быть импульс тока; по направлению тока можно определить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление про- водника, можно вычислить удельный заряд носителей. Идея этих опытов (1913) и их качественное воплощение принадлежат российским физикам С. Л. Ман- дельштаму (1879—1944) и Н. Д. Папалекси (1880—1947). Эти опыты в 1916 г. были усовершенствованы и проведены американским физиком Р. Толменом (1881—1948) и ранее шотландским физиком Б. Стюартом (1828—1887). Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах имеют отрицатель- ный заряд, а их удельный заряд приблизительно одинаков для всех исследован- ных металлов. По значению удельного заряда носителей электрического тока и по определенному ранее Р. Милликеном элементарному электрическому заряду4 К. Рикке (1845—1915) — немецкий физик.249была определена их масса. Оказалось, что значения удельного заряда и массы носителей тока и электронов, движущихся в вакууме, совпадали. Таким обра- зом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в ме- таллах являются свободные электроны.Существование свободных электронов в металлах можно объяснить сле-дующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в ре- зультате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнитель- но слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, стано- вятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электрон- ный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами иде- ального газа.Электроны проводимости при своем движении сталкиваются с ионамирешетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде — Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомно- го газа. Поэтому, применяя выводы молекулярно-кинетической теории (см. (44.3)), можно найти среднюю скорость теплового движения электроновкоторая для T=300 К равна 1,1 ⋅ 10 5 м/с. Тепловое движение электронов, являясьхаотическим, не может привести к возникновению тока.При наложении внешнего электрического поля на металлический про-водник кроме теплового движения электронов возникает их упорядоченное движение, т. е. возникает электрический ток. Среднюю скорость ⟨v⟩ упорядо- ченного движения электронов можно оценить согласно формуле (96.1) для плотности тока: j = ne⟨v⟩. Выбрав допустимую плотность тока, например для медных проводов 107 А/м 2 , получим, что при концентрации носителей тока n =8 ⋅ 10 28 м -3 средняя скорость ⟨v⟩ упорядоченного движения электронов равна7,8 ⋅ 10 -4 м/с. Следовательно, ⟨v⟩ ? ⟨u⟩, т. е. даже при очень больших плотностяхтока средняя скорость упорядоченного движения электронов, обусловливающе- го электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения. Поэтому при вычислениях результирующую скорость (⟨v⟩ + ⟨u⟩) можно заме- нять скоростью теплового движения ⟨u⟩.Казалось бы, полученный результат противоречит факту практическимгновенной передачи электрических сигналов на большие расстояния. Дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распространение элек- трического поля со скоростью с(с = 3⋅ 10 8 м/с). Через время t = 1/c (l— длинацепи) вдоль цепи установится стационарное электрическое поле и в ней начнет- ся упорядоченное движение электронов. Поэтому электрический ток возникает в цепи практически одновременно с ее замыканием.250§ 103. В ЫВОД ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГОТОКА В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ1. Закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электриче-ское поле напряженностью Е =const. Co стороны поля заряд еиспытывает дей- ствие силы F = eEи приобретает ускорение a = F/m = eE/m.Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скоростьтде ⟨t⟩ — среднеевремя между двумя последовательными соударениями элек- трона с ионами решетки.Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкива-ясь с иона ми решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому ско- рость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона(103.1)Классическая теория металлов не учитывает распределения электроновпо скоростям, поэтому среднее время ⟨t⟩ свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега ⟨t⟩ и средней скоростью движения элек- тронов относительно кристаллической решетки проводника, равной ⟨u⟩ + ⟨v⟩ (⟨u⟩ — средняя скорость теплового движения электронов). В § 102 было показа- но, что ⟨v⟩ ? ⟨u⟩, поэтомуПодставив значение ⟨t⟩ в формулу (103.1), получимПлотность тока в металлическом проводнике, по (96.1),откуда видно, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получили закон Ома в дифференциальной форме (ср. с (98.4)). Коэффициент пропорциональности между j иEесть не что иное, как удельная проводимость материала(103.2)которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и сред- няя длина их свободного пробега.2512. Закон Джоуля — Ленца.К концу свободного пробега электрон поддействием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию(103.3)При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передаетсярешетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагрева- ние.За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем ⟨z⟩столкновений:(103.4)Если n — концентрация электронов, то в единицу времени происходитn⟨z⟩ столкновений и решетке передается энергия(103.5)которая идет на нагревание проводника. Подставив (103.3) и (103.4) в (103.5), получим таким образом энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,(103.6)Величина w является удельной тепловой мощностью тока (см. § 99). Ко-эффициент пропорциональности между w и Е 2 по (103.2) есть удельная прово-димость γ ; следовательно, выражение (103.6) — закон Джоуля — Ленца в диф-ференциальной форме (ср. с (99.7)).3. Закон Видемана — Франца. Металлы обладают как большой элек-тропроводностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы — сво- бодные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только элек- трический заряд, но и присущую им энергию хаотического (теплового) движе- ния, т. е. осуществляют перенос теплоты.Видеманом и Францем в 1853 г. экспериментально установлен закон, со-гласно которому отношение теплопроводности (А) к удельной проводимости (у) для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличива- ется пропорционально термодинамической температуре:где β — постоянная, не зависящая от рода металла.Элементарная классическая теория электропроводности металлов позво-лила найти значение β : β = 3(k/e) 2 ,где k— постоянная Больцмана. Это значе-ние хорошо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впослед- ствии, это согласие теоретического значения с опытным случайно. Лоренц, применив к электронному газу статистику Максвелла — Больцмана, учтя тем252самым распределение электронов по скоростям, получил β = 2 (k/e) 2 ,что приве-ло к резкому расхождению теории с опытом.Таким образом, классическая теория электропроводности металлов объ-яснила законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана — Франца. Однако она помимо рассмотренных противоречий в законе Видемана — Франца столкнулась еще с рядом трудностей при объяс- нении различных опытных данных. Рассмотрим некоторые из них.Температурная зависимость сопротивления. Из формулы удельнойпроводимости (103.2) следует, что сопротивление металлов, т. е. величина, об- ратно пропорциональнаяγ ,должна возрастать пропорционально √ T(в (103.2) nи ⟨l⟩) от температуры не зависят, а ⟨u⟩ ≈ √ T). Этот вывод электронной теориипротиворечит опытным данным, согласно которым R ~ Т(см. § 98).Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах.Чтобы по формуле (103.2) получить γ , совпадающие с опытными значениями,надо принимать ⟨l⟩ значительно больше истинных, иными словами, предпола- гать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междо- узельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде — Лоренца.Теплоемкость металлов. Теплоемкость металла складывается из тепло-емкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. По- этому атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Согласно закону Дюлонга и Пти (см. § 73), тепло- емкость одноатомного кристалла равна ЗR. Учтем, что теплоемкость одноатом- ного электронного газа равна3 /2R. Тогда атомная теплоемкость металловдолжна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R,т. е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказы- вается на значении теплоемкости, что не объясняется классической электрон- ной теорией.Указанные расхождения теории с опытом можно объяснить тем, что дви-жение электронов в металлах подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой механики и, следовательно, поведение электронов проводи- мости надо описывать не статистикой Максвелла — Больцмана, а квантовой статистикой. Поэтому объяснить затруднения элементарной классической тео- рии электропроводности метал лов можно лишь квантовой теорией, которая будет рассмотрена в дальнейшем. Надо, однако, отметить, что классическая электронная теория не утратила своего значения и до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концентрации электронов прово- димости и высокой температуре) она дает правильные качественные результа- ты и является по сравнению с квантовой теорией простой и наглядной.§ 104. Р АБОТА ВЫХОДА ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА253практически не покидают металл. Следовательно, в поверхностном слое метал- ла должно быть задерживающее электрическое поле, препятствующее выходу электронов из металла в окружающий вакуум. Работа, которую нужно затра- тить для удаления электрона из металла в вакуум, называется работой выхода. Укажем две вероятные причины появления работы выхода:1. Если электрон по какой-то причине удаляется из металла, то в том мес-те, которое электрон покинул, возникает избыточный положительный заряд и электрон притягивается к индуцированному им самим положительному заряду.2. Отдельные электроны, покидая металл, удаляются от него на расстоя-ния порядка атомных и создают тем самым над поверхностью металла «элек- тронное облако», плотность которого быстро убывает с расстоянием. Это обла- ко вместе с наружным слоем положительных ионов решетки образует двойной электрический слой,поле которого подобно полю плоского конденсатора. Толщина этого слоя равна нескольким межатомным расстояниям (10-10 —10 -9м). Он не создает электрического поля во внешнем пространстве, но препятст- вует выходу свободных электронов из металла.Таким образом, электрон при вылете из металла должен преодолеть за-держивающее его электрическое поле двойного слоя. Разность потенциалов ??в этом слое, называемая поверхностным скачком потенциала, определяется ра- ботой выхода (А)электрона из металла:где е— заряд электрона. Так как вне двойного слоя электрическое поле отсут- ствует, то потенциал среды равен нулю, а внутри металла потенциал положите- лен и равен?? . Потенциальная энергия свободного электрона внутри металларавна —e ?? и является относительно вакуума отрицательной. Исходя из этогоможно считать, что весь объем металла для электронов проводимости пред- ставляет потенциальную яму с плоским дном, глубина которой равна работе выхода А.Работа выхода выражается в электрон-вольтах (эВ): 1 эВ равен работе,совершаемой силами поля при перемещении элементарного электрического за- ряда (заряда, равного заряду электрона) при прохождении им разности потен- циалов в 1 В. Так как заряд электрона равен 1,6⋅ 10 -19 Кл, то 1 эВ=1,6 ⋅ 10 -19 Дж.Работа выхода зависит от химической природы металлов и от чистоты ихповерхности и колеблется в пределах нескольких электрон-вольт (например, у калия A = 2,2 эВ, у платины A = 6,3 эВ). Подобрав определенным образом по- крытие поверхности, можно значительно уменьшить работу выхода. Например, если нанести на поверхность вольфрама (А = 4,5эВ) слой оксида щелочно- земельного металла (Са, Sr, Ва), то работа выхода снижается до 2 эВ.254• Сравните порядок средних скоростей теплового и упорядоченного движения электронов в ме -таллах ( при условиях , близких к нормальным и приемлемых в электротехнике ).• Почему тепловое движение электронов неклассической теории электропроводности не можетпривести к возникновению электрического тока ?• Выведите на основе классической теории электропроводности металлов дифференциальнуюформу законов Ома и Джоуля — Ленца• Как классическая теория электропроводности металлов объясняет зависимость сопротивленияметаллов от температуры ?• В чем заключаются трудности элементарной классической теории электропроводности метал -лов ? Каковы границы ее применения ?• Какие существуют разновидности эмиссионных явлений ? Дайте их определения .• Объясните вольт - амперную характеристику для вакуумного диода .• Что называется работой выхода электрона ?§ 105. Э МИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕЕсли сообщить электронам в металлах энергию, необходимую для пре-одоления работы выхода, то часть электронов может покинуть металл, в ре- зультате чего наблюдается явление испускания электронов, или электронной эмиссии. В зависимости от способа сообщения электронам энергии различают термоэлектронную, фотоэлектронную, вторичную электронную и автоэлек- тронную эмиссии.1. Термоэлектронная эмиссия — это испускание электронов нагретымиметаллами. Концентрация свободных электронов в металлах достаточно высо- ка, поэтому даже при средних температурах вследствие распределения элек- тронов по скоростям (по энергиям) некоторые электроны обладают энергией, достаточной для преодоления потенциального барьера на границе металла. С повышением температуры число электронов, кинетическая энергия теплового движения которых больше работы выхода, растет и явление термоэлектронной эмиссии становится заметным.Исследование закономерностей термоэлектронной эмиссии можно про-вести с по мощью простейшей двухэлектродной лампы — вакуумного диода, представляющего собой откачанный баллон, содержащий два электрода: катод Ки анод А.В простейшем случае катодом служит нить из тугоплавкого металла (например, вольфрама), накаливаемая электрическим током. Анод чаще всего имеет форму металлического цилиндра, окружающего катод. Если диод вклю- чить в цепь, как это показано на рис. 152, то при накаливании катода и подаче на анод положительного напряжения (относительно катода) в анодной цепи диода возникает ток. Если поменять полярность батареи Бто ток прекращает-Л)ся, как бы сильно катод ни накаливали. Следовательно, катод испускает отри- цательные частицы — электроны.Если поддерживать температуру накаленного катода постоянной и снятьзависимость анодного тока I а от анодного напряжения U а — вольт-ампернуюхарактеристику (рис. 153), то оказывается, что она не является линейной, т. е. для вакуумного диода закон Ома не выполняется. Зависимость термоэлектрон- ного тока / от анодного напряжения в области малых положительных значений255Uописывается законом трех вторых (установлен русским физиком С. А. Богу- славским (1883—1923) и американским физиком И. Ленгмюром (1881—1957)):где В— коэффициент, зависящий от формы и размеров электродов, а также их взаимного расположения.Рис. 152При увеличении анодного напряжения ток возрастает до некоторого мак-симального значения I M , называемого током насыщения. Это означает, что поч-ти все электроны, покидающие катод, достигают анода, поэтому дальнейшее увеличение напряженности поля не может привести к увеличению термоэлек- тронного тока. Следовательно, плотность тока насыщения характеризует эмис- сионную способность материала катода.Плотность тока насыщения определяется формулой Ричардсона — Деш-мана, выведенной теоретически на основе квантовой статистики:где А— работа выхода электронов из катода, Т -— термодинамическая темпе- ратура, С —постоянная, теоретически одинаковая для всех металлов (это не подтверждается экспериментом, что, по-видимому, объясняется поверхностны- ми эффектами). Уменьшение работы выхода приводит к резкому увеличению плотности тока насыщения. Поэтому применяются оксидные катоды (напри- мер, никель, покрытый оксидом щелочноземельного металла), работа выхода которых равна 1—1,5 эВ.На рис. 153 представлены вольт-амперные характеристики для двух тем-ператур катода: T 1 и T 2 причем Т 2 > Т 1 .С повышением температуры катода ис-пускание электронов с катода интенсивнее, при этом увеличивается и ток на- сыщения. При Uа =0 наблюдается анодный ток, т. е. некоторые электроны,256Рис. 153Явление термоэлектронной эмиссии используется в приборах, в которыхнеобходимо получить поток электронов в вакууме, например в электронных лампах, рентгеновских трубках, электронных микроскопах и т. д. Электронные лампы широко применяются в электро- и радиотехнике, автоматике и телеме- ханике для выпрямления переменных токов, усиления электрических сигналов и переменных токов, генерирования электромагнитных колебаний и т. д. В за- висимости от назначения в лампах используются дополнительные управляю- щие электроды.2. Фотоэлектронная эмиссия — это эмиссия электронов из металла поддействием света, а также коротковолнового электромагнитного излучения (на- пример, рентгеновcкого). Основные закономерности этого явления будут разо- браны при рассмотрении фотоэлектрического эффекта.3. Вторичная электронная эмиссия — это испускание электронов по-верхностью металлов, полупроводников или диэлектриков при бомбардировке их пучком электронов. Вторичный электронный поток состоит из электронов, отраженных поверхностью (упруго и неупруго отраженные электроны), и «ис- тинно» вторичных электронов — электронов, выбитых из металла, полупро- водника или диэлектрика первичными электронами.Отношение числа вторичных электронов n 2 к числу первичных n 1 ,вы-звавших эмиссию, называется коэффициентом вторичной электронной эмис- сии:Коэффициент δ зависит от природы материала поверхности, энергиибомбардирующих частиц и их угла падения на поверхность. У полупроводни- ков и диэлектриковδ больше, чем у металлов. Это объясняется тем, что в ме-таллах, где концентрация электронов проводимости велика, вторичные элек- троны, часто сталкиваясь с ними, теряют свою энергию и не могут выйти из ме- талла. В полупроводниках и диэлектриках же из-за малой концентрации элек- тронов проводимости столкновения вторичных электронов с ними происходят гораздо реже и вероятность выхода вторичных электронов из эмиттера возрас- тает в несколько раз.257Для примера на рис. 154 приведена качественная зависимость коэффици-ента вторичной электронной эмиссии δ от энергии Епадающих электронов дляKCl. С увеличением энергии электронов δ возрастает, так как первичные элек-троны все глубже проникают в кристаллическую решетку и, следовательно, выбивают больше вторичных электронов. Однако при некоторой энергии пер- вичных электроновδ начинает уменьшаться. Это связано с тем, что с увеличе-нием глубины проникновения первичных электронов вторичным все труднее вырваться на поверхность. Значениеδ max для КCl достигает ≈ 12 (для чистыхметаллов оно не превышает 2).Рис. 154Явление вторичной электронной эмиссии используется в фотоэлектрон-ных умножителях (ФЭУ), применяемых для усиления слабых электрических токов. ФЭУ представляет собой вакуумную трубку с фотокатодом К и анодом А, между которыми расположено несколько электродов — эмиттеров (рис. 155). Электроны, вырванные из фотокатода под действием света, попадают на эмиттер Э1 пройдя ускоряющую разность потенциалов между К и Э 1 . Из эмит-тера Э 1 выбивается δ электронов. Усиленный таким образом электронный по-ток направляется на эмиттер Э 2 , и процесс умножения повторяется на всех по-следующих эмиттерах. Если ФЭУ содержит nэмиттеров, то на аноде А, назы- ваемом коллектором, получается усиленный вδ n раз фотоэлектронный ток.Рис. 1552584. Автоэлектронная эмиссия — это эмиссия электронов с поверхностиметаллов под действием сильного внешнего электрического поля. Эти явления можно наблюдать в откачанной трубке, конфигурация электродов которой (ка- тод — острие, анод — внутренняя поверхность трубки) позволяет при напря- жениях примерно 103 В получать электрические поля напряженностью пример-но 10 7 В/м. При постепенном повышении напряжения уже при напряженностиполя у поверхности катода примерно 10 5 ÷ 10 б В/м возникает слабый ток, обу-словленный электронами, испускаемыми катодом. Сила этого тока увеличива- ется с повышением напряжения на трубке. Токи возникают при холодном като- де, поэтому описанное явление называется также холодной эмиссией. Объясне- ние механизма этого явления возможно лишь на основе квантовой теории.§ 106. И ОНИЗАЦИЯ ГАЗОВ . Н ЕСАМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ ГАЗОВЫЙ РАЗРЯДГазы при не слишком высоких температурах и при давлениях, близких катмосфер ному, являются хорошими изоляторами. Если поместить в сухой ат- мосферный воздух заряженный электрометр с хорошей изоляцией, то его заряд долго остается неизменным. Это объясняется тем, что газы при обычных усло- виях состоят из нейтральных атомов и молекул и не содержат свободных заря- дов (электронов и ионов). Газ становится проводником электричества, когда некоторая часть его молекул ионизуется,т. е. произойдет расщепление ней- тральных атомов и молекул на ионы и свободные электроны. Для этого газ надо подвергнуть действию какого-либо ионизатора (напри мер, поднеся к заряжен- ному электрометру пламя свечи, наблюдаем спад его заряда; здесь электропро- водность газа вызвана нагреванием).При ионизации газов, таким образом, под действием какого-либо иониза-тора происходит вырывание из электронной оболочки атома или молекулы од- ного или нескольких электронов, что приводит к образованию свободных элек- тронов и положи тельных ионов. Электроны могут присоединяться к нейтраль- ным молекулам и атомам, превращая их в отрицательные ионы. Следовательно, в ионизованном газе имеются положительные и отрицательные ионы и свобод- ные электроны. Прохождение электрического тока через газы называется газо- вым разрядом.Ионизация газов может происходить под действием различных ионизато-ров: сильный нагрев (столкновения быстрых молекул становятся настолько сильными, что они разбиваются на ионы), короткое электромагнитное излуче- ние (ультрафиолетовое, рентгеновское иγ -излучения), корпускулярное излуче-ние (потоки электронов, протонов, α -частиц) и т. д. Для того чтобы выбить измолекулы (атома) один электрон, необходимо затратить определенную энер- гию, называемую энергией ионизации, значения которой для атомов различных веществ лежат в пределах 4÷ 25 эВ.Одновременно с процессом ионизации газа всегда идет и обратный про-259жительные ионы и электроны, встречаясь, воссоединяются между собой с обра- зованием нейтральных атомов и молекул. Чем больше ионов возникает под действием ионизатора, тем интенсивнее идет и процесс рекомбинации.Строго говоря, электропроводность газа нулю не равна никогда, так как внем всегда имеются свободные заряды, образующиеся в результате действия на газы излучения радиоактивных веществ, имеющихся на поверхности Земли, а также космического излучения. Эта незначительная электропроводность возду- ха (интенсивность ионизации под действием указанных факторов невелика) служит причиной утечки зарядов наэлектризованных тел даже при хорошей их изоляции.Характер газового разряда определяется составом газа, его температуройи давлением, размерами, конфигурацией и материалом электродов, приложен- ным напряжением, плотностью тока.Рассмотрим цепь, содержащую газовый промежуток (рис. 156), подвер-гающийся непрерывному, постоянному по интенсивности воздействию иониза- тора.Рис. 156В результате действия ионизатора газ приобретает некоторую электро-проводность и в цепи потечет ток, зависимость которого от приложенного на- пряжения дана на рис. 157.На участке кривой ОАсила тока возрастает пропорционально напряже-нию, т. е. выполняется закон Ома. При дальнейшем увеличении напряжения за- кон Ома нарушается: рост силы тока замедляется (участок АВ)и наконец пре- кращается совсем (участок ВС).Это достигается в том случае, когда ионы и электроны, создаваемые внешним ионизатором за единицу времени, за это же время достигают электродов. В результате получаем ток насыщения (Iнас ), зна-260стоятельными.При дальнейшем увеличении напряжения между электродами сила тока вначале медленно (участок CD),а затем резко (участок DE)возраста- ет. Механизм этого явления будет рассмотрен в следующем параграфе.Рис. 157§ 107. С АМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ ГАЗОВЫЙ РАЗРЯД И ЕГО ТИПЫРазряд в газе, сохраняющийся после прекращения действия внешнего ио-низатора, называется самостоятельным.Рассмотрим условия возникновения самостоятельного разряда. Как ужеуказывалось в § 106, при больших напряжениях между электродами газового промежутка (см. рис. 156) ток сильно возрастает (участки CD и DE на рис. 157). При больших напряжениях возникающие под действием внешнего ионизатора электроны, сильно ускоренные электрическим полем, сталкиваясь с нейтраль- ными молекулами газа, ионизируют их, в результате чего образуются вторич- ные электроны и положительные ионы (процесс 1 на рис. 158). Положительные ионы движутся к катоду, а электроны — к аноду. Вторичные электроны вновь ионизируют молекулы газа, и, следовательно, общее количество электронов и ионов будет возрастать по мере продвижения электронов к аноду лавинообраз- но. Это является причиной увеличения электрического тока на участке CD(см. рис. 157). Описанный процесс называется ударной ионизацией.Однако ударная ионизация под действием электронов недостаточна для261Наконец, при значительных напряжениях между электродами газовогопромежутка наступает момент, когда положительные ионы, обладающие мень- шей длиной свободного пробега, чем электроны, приобретают энергию, доста- точную для ионизации молекул газа (процесс б), и к отрицательной пластине устремляются ионные лавины. Когда возникают кроме электронных лавин еще и ионные, сила тока растет уже практически без увеличения напряжения (уча- сток DEна рис. 157).Рис. 158В результате описанных процессов (7—б) число ионов и электронов вобъеме газа лавинообразно возрастает и разряд становится самостоятельным, т. е. сохраняется после прекращения действия внешнего ионизатора. Напряжение, при котором возникает самостоятельный разряд, называется напряжением про- боя.В зависимости от давления газа, конфигурации электродов, параметроввнешней цепи можно говорить о четырех типах самостоятельного разряда: тлеющем, искровом, дуговоми коронном.1.Тлеющшй разряд возникает при низких давлениях. Если к электро-дам, впаянным в стеклянную трубку длиной 30—50 см, приложить постоянное напряжение в несколько сотен вольт, постепенно откачивая из трубки воздух, то при давлении≈ 5,3 ÷ 6,7 кПа возникает разряд в виде светящегося извили-стого шнура красноватого цвета, идущего от катода к аноду. При дальнейшем понижении давления шнур утолщается, и при давлении≈ 13 Па разряд имеетвид, схематически изображенный на рис.Непосредственно к катоду прилегает тонкий светящийся слой 1 — первое262нии расстояния между электродами трубки его длина сокращается, в то время как катодные части разряда по форме и величине остаются неизменными. В тлеющем разряде особое значение для его поддержания имеют только две его части: катодное темное пространство и тлеющее свечение. В катодном темном пространстве происходит сильное ускорение электронов и положительных ио- нов, выбивающих электроны с катода (вторичная эмиссия). В области тлеюще- го свечения же происходит ударная ионизация электронами молекул газа. Об- разующиеся при этом положительные ионы устремляются к катоду и выбивают из него новые электроны, которые, в свою очередь, опять ионизируют газ и т. д. Таким образом непрерывно поддерживается тлеющий разряд.При дальнейшем откачивании трубки при давлении ж 1,3 Па свечение га-за ослабевает и начинают светиться стенки трубки. Электроны, выбиваемые из катода положи тельными ионами, при таких разрежениях редко сталкиваются с молекулами газа и поэтому, ускоренные полем, ударяясь о стекло, вызывают его свечение, так называемую катодолюмннесценцню. Поток этих электронов исторически получил название катодных лучей. Если в катоде просверлить ма- лые отверстия, то положительные ионы, бомбардирующие катод, пройдя через отверстия проникают в пространство за катодом и образуют резко ограничен- ный пучок, получивший название каваловых(или положительных) лучей, названных по знаку заряда, который они несут.Тлеющий разряд широко используется в технике. Так как свечение поло-жительного столба имеет характерный для каждого газа цвет, то его использу- ют в газосветных трубках для светящихся надписей и реклам (например, не- оновые газоразрядные трубки дают красное свечение, аргоновые — синевато- зеленое). В лампах дневного света, более экономичных, чем лампы накалива- ния, излучение тлеющего разряда, происходящее в парах ртути, поглощается нанесенным на внутреннюю поверхность трубки флуоресцирующим веществом (люминофором), начинающим под воздействием поглощенного излучения све- титься. Спектр свечения при соответствующем подборе люминофоров близок к спектру солнечного излучения. Тлеющий разряд используется для катодного напыленияметаллов. Вещество катода в тлеющем разряде вследствие бомбар- дировки положительными ионами, сильно нагреваясь, переходит в парообраз- ное состояние. Помещая вблизи катода различные предметы, их можно по- крыть равномерным слоем металла.2. Искровой разрядвозникает при больших напряженностях элек-трического поля ( ≈ 3 ⋅ 10 е В/м) в газе, находящемся под давлением порядка атмо-сферного. Искра имеет вад ярко светящегося тонкого канала, сложным образом изогнутого и разветвленного.Объяснение искрового разряда дается на основе стримерной теории,со-263тронов, образующие каналы искрового разряда. Из-за выделения при рассмот- ренных процессах большого количества энергии газ в искровом промежутке на- гревается до очень высокой температуры (примерно 104 К), что приводит к егосвечению. Быстрый нагрев газа ведет к повышению давления и возникновению ударных волн, объясняющих звуковые эффекты при искровом раз ряде - харак- терное потрескивание в слабых разрядах и мощные раскаты грома в случае молнии, являющейся примером мощного искрового разряда между грозовым облаком и Землей или между двумя грозовыми облаками.Искровой разряд используется для воспламенения горючей смеси в дви-гателях внутреннего сгорания и предохранения электрических линий передачи от перенапряжений (искровые разрядники). При малой длине разрядного про- межутка искровой разряд вызывает разрушение (эрозию) поверхности металла, поэтому он применяется для электроискровой точной обработки металлов (ре- зание, сверление). Его используют в спектральном анализе для регистрации за- ряженных частиц (искровые счетчики).3. Дуговой разряд.Если после зажигания искрового разряда от мощ-ного источника постепенно уменьшать расстояние между электродами, то раз- ряд становится непрерывным — возникает дуговой разряд. При этом сила тока резко возрастает, достигая сотен ампер, а напряжение на разрядном промежут- ке падает до нескольких десятков вольт. Дуговой разряд можно получить от ис- точника низкого напряжения минуя стадию искры. Для этого электроды (на- пример, угольные) сближают до соприкосновения, они сильно раскаляются электрическим током, потом их разводят и получают электрическую дугу (именно так она была открыта В. В. Петровым). При атмосферном давлении температура катода приблизительно равна 3900 К. По мере горения дуги угольный катод заостряется, а на аноде образуется углубление — кратер, являющийся наиболее горячим местом дуги.По современным представлениям, дуговой разряд поддерживается за счетвысокой температуры катода из-за интенсивной термоэлектронной эмиссии, а также термической ионизации молекул, обусловленной высокой температурой газа.Дуговой разряд находит широкое применение для сварки и резки метал-лов, получения высококачественных сталей (дуговая печь) и освещения (про- жекторы, проекционная аппаратура). Широко применяются также дуговые лампы с ртутными электродами в кварцевых баллонах, где дуговой разряд воз- никает в ртутном паре при откачанном воздухе. Дуга, возникающая в ртутном паре, является мощным источником ультрафиолетового излучения и использу- ется в медицине (например, кварцевые лампы). Дуговой разряд при низких дав- лениях в парах ртути используется в ртутных выпрямителях для выпрямления переменного тока.4. Коронный разряд — высоковольтный электрический разряд при вы-соком (напри мер, атмосферном) давлении в резко неоднородном поле вблизи электродов с большой кривизной поверхности (например, острия). Когда на- пряженность поля вблизи острия достигает 30 кВ/см, то вокруг него возникает свечение, имеющее вид короны, чем и вызвано название этого вида разряда.264В зависимости от знака коронирующего электрода различают отрица-тельную или положительную корону. В случае отрицательной короны рожде- ние электронов, вызывающих ударную ионизацию молекул газа, происходит за счет эмиссии их из катода под действием положительных ионов, в случае по- ложительной — вследствие ионизации газа вблизи анода. В естественных усло- виях корона возникает под влиянием атмосферного электричества у вершин мачт (на этом основано действие молниеотводов), деревьев5 . Вредное действиекороны вокруг проводов высоковольтных линий передачи проявляется в воз- никновении вредных токов утечки. Для их снижения провода высоковольтных линий делаются толстыми. Коронный разряд, являясь прерывистым, становится также источником радиопомех.Используется коронный разряд в электрофильтрах, применяемых дляочистки промышленных газов от примесей. Газ, подвергаемый очистке, дви- жется снизу вверх в вертикальном цилиндре, по оси которого расположена ко- ронирующая проволока. Ионы, имеющиеся в большом количестве во внешней части короны, оседают на частицах примеси и увлекаются полем к внешнему некоронирующему электроду и на нем оседают. Коронный разряд применяется также при нанесении порошковых и лакокрасочных покрытий. § 108. Плазма и ее свойства Плазмой называется сильно ионизованный газ, в котором концентрацииположительных и отрицательных зарядов практически одинаковы. Различают высокотемпературную плазму, возникающую при сверхвысоких температурах, и газоразрядную плазму, возникающую при газовом разряде. Плазма характе- ризуется степенью ионизации а — отношением числа ионизованных частиц к полному их числу в единице объема плазмы. В зависимости от величины а го- ворят о слабо (а составляет доли процента), умеренно (а — несколько процен- тов) и полностью (а близко к 100%) ионизованной плазме.Заряженные частицы (электроны, ионы) газоразрядной плазмы, находясьв ускоряющем электрическом поле, обладают различной средней кинетической энергией. Это означает, что температура Т,электронного газа одна, а ионного Ти — другая, причем Т е > Т и .Несоответствие этих температур указывает на то,что газоразрядная плазма является неравновесной, поэтому она называется также неизотермнческой. Убыль числа заряженных частиц в процессе рекомби- нации в газоразрядной плазме восполняется ударной ионизацией электронами, ускоренными электрическим полем. Прекращение действия электрического по- ля приводит к исчезновению газоразрядной плазмы.Высокотемпературная плазма является равновесной, или изотермической,т. е. при определенной температуре убыль числа заряженных частиц восполня- ется в результате термической ионизации. В такой плазме соблюдается равен- ство средних кинетических энергий составляющих плазму различных частиц. В состоянии подобной плазмы находятся звезды, звездные атмосферы, Солнце.5 Это явление получило в древности название огней святого Эльма.265Их температура достигает десятков миллионов градусов.Условием существования плазмы является некоторая минимальная плот-ность заряженных частиц, начиная с которой можно говорить о плазме как та- ковой. Эта плотность определяется в физике плазмы из неравенства L ? D,где L — линейный размер системы заряженных частиц, D— так называемый деба- евский радиус экранирования, представляющий собой то расстояние, на ко- тором происходит экранирование кулоновского поля любого заряда плазмы.Плазма обладает следующими основными свойствами: высокой степеньюионизации газа, в пределе — полной ионизацией; равенством нулю результи- рующего пространственного заряда (концентрация положительных и отрица- тельных частиц в плазме практически одинакова); большой электропроводно- стью, причем ток в плазме создается в основном электронами, как наиболее подвижными частицами; свечением; сильным взаимодействием с электриче- ским и магнитным полями; колебаниями электронов в плазме с большой часто- той (≈ 10 8 Гц), вызывающими общее вибрационное состояние плазмы; «коллек-тивным» — одновременным взаимодействием громадного числа частиц (в обычных газах частицы взаимодействуют друг с другом попарно). Эти свойства определяют качественное своеобразие плазмы, позволяющее считать ее осо бым, четвертым, состоянием вещества.Изучение физических свойств плазмы позволяет, с одной стороны, ре-шать многие проблемы астрофизики, поскольку в космическом пространстве плазма — наиболее распространенное состояние вещества, а с другой — от- крывает принципиальные возможности осуществления управляемого термо- ядерного синтеза. Основным объектом исследований по управляемому термо- ядерному синтезу является высокотемпературная плазма (≈ 10 8 К) из дейтерия итрития (см. § 268).Низкотемпературная плазма (< 10 s К) применяется в газовых лазерах, втермоэлектронных преобразователях и магнитогидродинамических генераторах (МГД-генераторах) — установках для непосредственного преобразования теп- ловой энергии в электрическую, в плазменных ракетных двигателях, весьма перспективных для длительных космических полетов.Низкотемпературная плазма, получаемая в плазмотронах, используетсядля резки и сварки металлов, для получения некоторых химических соединений (например, галогенидов инертных газов), которые не удается получить другими способами, и т. д.• Может ли возникнуть ток насыщения при самостоятельном газовом разряде ?• Каковы условия , необходимые для его существования ?• Охарактеризуйте типы самостоятельного газового разряда . В чем их особенности ?• В чем отличие равновесной плазмы от неравновесной ?• Охарактеризуйте процесс ионизации ; рекомбинации .• В чем отличие самостоятельного газового разряда от несамостоятельного ?• Приведите основные свойства плазмы . Каковы возможности ее применения ?266З АДАЧИ13.1. Концентрация электронов проводимости в металле равна 2,5 ⋅ 10 22 с -3 .Определить среднюю скорость их упорядоченного движения при плотности то- ка 1 А/мм2 . [0,25 мм/с]13.2. Работа выхода электрона из вольфрама составляет 4,5 эВ. Опреде-лить, во сколько раз увеличится плотность тока насыщения при повышении температуры от 2000 до 2500 К. [В 290 раз]13.3. Работа выхода электрона из металла равна 2.5 эВ. Определить ско-рость вылетающего из металла электрона, если он обладает энергией 10 -18 Дж.[1,15 Мм/с]13.4. Воздух между пластинами плоского конденсатора ионизируетсярентгеновским излучением. Сила тока, текущего между пластинами, 10 мкА. Площадь каждой пластины конденсатора равна 200 см2 , расстояние между ни-ми 1 см, разность потенциалов 100 В. Подвижность положительных ионов b + =1,4 см 2 /(В ⋅ с) и отрицательных b_= 1,9 см 3 /(В ⋅ с); заряд каждого иона равен эле-ментарному заряду. Определить концентрацию пар ионов между пластинами, если ток далек от насыщения. [9,5⋅ 10 14 м -3 ]13.5. Ток насыщения при несамостоятельном разряде равен 9,6 пА. Опре-делить число пар ионов, создаваемых в 1 с внешним ионизатором. [3 ⋅ 10 7 ]267ГЛАВА 14МАГНИТНОЕ ПОЛЕ§ 109. М АГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИОпыт показывает, что, подобно тому, как в пространстве, окружающемэлектрические заряды, возникает электростатическое поле, так и в пространст- ве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, назы- ваемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током (это явление впервые обнаружено датским физиком X. Эрстедом (1777—1851)).Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиесяв нем электрические заряды. Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиесяв этом поле электрические за- ряды. Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток раз- личен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от располо- жения проводника и от направления тока. Следовательно, чтобы охарактеризо- вать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток.Подобно тому, как при исследовании электростатического поля исполь-зовались точечные заряды, при исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током),линейные размеры кото- рого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали определяется правилом правого винта:за по- ложительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке (рис. 160).Рис. 160Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ори-ентирующее действие, поворачивая ее определенным образом. Этот результат используется для выбора направления магнитного поля. За направление маг-268нитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого распо- лагается положительная нормаль к рамке (рис. 161). За направление магнитного поля может быть также принято направление, совпадающее с направлением си- лы, которая действует на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку. Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующие на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля.Рис. 161Рамкой с током можно воспользоваться также и для количественногоописания магнитного поля. Так как рамка с током испытывает ориентирующее действие поля, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется формулой(109.1)где p m — вектор магнитного момента рамки с током (В — вектор магнитнойиндукции, количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I(109.2)где S— площадь поверхности контура (рамки), n — единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление pсовпадает, таким образом, с направлени-mем положительной нормали.Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различнымимагнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, однако отношение Mmax /p m (М max — максимальный вращающий момент) длявсех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнит- ного поля, называемой магнитной индукцией:Магнитная индукция в данной точке однородногомагнитного поля опре-деляется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с маг- нитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Следует отметить, что вектор В может быть выведен также из закона Ампера (см. § 111) и из выражения для силы Лоренца (см. § 114).269ческим, изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, каса- тельные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В. Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индукции.Линии магнитной индукции можно «проявить» с помощью железныхопилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно ма- леньким магнитным стрелкам. На рис. 162, апоказаны линии магнитной ин- дукции поля кругового тока, на рис. 162, б — линии магнитной индукции поля соленоида (соленоид — равномерно намотанная на цилиндрическую поверх- ность проволочная спираль, по которой течет электрический ток).Рис. 162Линии магнитной индукции всегда замкнутыи охватывают проводники стоком. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического по- ля, которые являются разомкнутыми(начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (см. § 79)).На рис. 163 изображены линяй магнитной индукции полосового магнита;они выходят из северного полюса и входят в южный. Вначале казалось, что здесь наблюдается полная аналогия с линиями напряженности электростатиче- ского поля и полюсы магнитов играют роль магнитных «зарядов» (магнитных моиополей).Рис. 163Опыты показали, что, разрезая магнит на части, его полюсы разделитьнельзя, т. е. в отличие от электрических зарядов свободные магнитные «заря- ды» не существуют, поэтому линии магнитной индукции не могут обрываться на полюсах. В дальнейшем было установлено, что внутри полосовых магнитов имеется магнитное поле, аналогичное полю внутри соленоида, н линии магнит-270ной индукции этого магнитного поля являются продолжением линий магнит- ной индукции вне магнита. Таким образом, линии магнитной индукции маг- нитного поля постоянных магнитов являются также замкнутыми.До сих пор мы рассматривали макроскопические токи, текущие в провод-никах Однако, согласно предположению французского физика А. Ампера (1775—1836), в любом теле существуют микроскопические токи, обусловлен- ные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические моле- кулярные токи создают свое магнитное поле и могут поворачиваться в магнит- ных полях макротоков. Например, если вблизи какого-то тела поместить про- водник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле допол- нительное магнитное поле. Вектор магнитной индукции В характеризует ре- зультирующеемагнитное поле, создаваемое всеми мокро-и микротоками,т. е. при одном и том же токе и прочих равных условиях вектор В в различныхсре- дах будет иметь разныезначения.Магнитное поле макротоковописывается вектором напряженности Н.Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с векто- ром напряженности следующим соотношением:(109.3)где µ — магнитная постоянная, µ — безразмерная величина — магнитная0проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макро- токов Нусиливается за счет поля микротоков среды.Сравнивая векторные характеристики электростатического (Е и D) и маг-нитного (В и Н) полей, укажем, что аналогом вектора напряженности электро- статического поля Е является вектор магнитной индукции В, так как векторы Е и В определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды. Ана- логом вектора электрического смещения D является вектор напряженности Н магнитного поля.§ 110. З АКОН Б ИО - С АВАРА - Л АПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ МАГНИТНОГО ПОЛЯМагнитное поле постоянных токов различной формы изучалось француз-скими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физи- ком П. Лапласом.Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl ко-торого создает в некоторой точке А(рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде(110.1)271дающий по направлению с током, г — радиус-вектор, проведенный из элемента d/ проводника в точку Аполя, r— модуль радиуса-вектора г. Направление dB перпендикулярно dl и г, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление мо- жет быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB, ес- ли поступательное движение винта соответствует направлению тока в элемен- те.Рис. 164Модуль вектора dB определяется выражением(110.2)где α — угол между векторами dl и г.Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип су-перпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого не- сколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнит- ных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движу- щимся зарядом в отдельности:(110.3)Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным форму-лам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определен- ную сим метрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рас- смотрим два примера.1.Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямомупроводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А,удаленной от оси проводника на расстояние R,векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). По- этому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качест-272ве постоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами dl и г), выразив через него все остальные величины.Рис. 165Из рис. 165 следует, что(радиус дуги CDвследствие малости dl равен r,и угол FDCпо этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что маг- нитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна(110.4)Так как угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределахот 0 до π , то, согласно (110.3) и (110.4),Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока(110.5)2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166).273Рис. 166Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору(sin α = l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового токаодинаково и равно R,то, согласно (110.2),ТогдаСледовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводникас током§ 111. З АКОН А МПЕРА .В ЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТОКОВМагнитное поле (см. § 109) оказывает на рамку с током ориентирующеедействие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть ре- зультат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследо- вания действия мгнитного поля на различные проводники с током, Ампер уста- новил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит ном поле, равна(111.1)где dl — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током, В — вектор магнитной индукции.Направление вектора dF может быть найдено, согласно (111.1), по общимправилам векторного произведения, откуда следует правело левой рут:если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вы- тянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.274Модуль силы Ампера (см. (111.1)) вычисляется по формуле(111.2)где α — угол между векторами dl и В.Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двухтоков. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I и I1 2(направления токов указаны на рис. 167), расстояние между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dlвторого проводника с током I 2 .Ток I 1 соз-дает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого пред- ставляют собой концентрические окружности. На правление вектора Bопре-1деляется правилом правого винта, его модуль по формуле (110.5) равенРис. 167Направление силы dF, с которой поле B действует на участок dlвторого1 1тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (111.2), с учетом того, что угол а между элементами тока I2 и векторомB 1 прямой, равенподставляя значение для B 1 получим(111.3)Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF 2 , с которой магнит-ное поле тока I 2 действует на элемент dl первого проводника с током I 1 направ-лена в противоположную сторону и по модулю равна(111.4)275Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, чтот. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваютсядруг к другус силой(111.5)Если токи имеют противоположные направления,то, используя правилолевой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (111.5).§ 112. М АГНИТНАЯ ПОСТОЯННАЯ .Е ДИНИЦЫ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ И НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯЕсли два параллельных проводника с током находятся в вакууме (µ = 1),то сила взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (111.5), равна(112.1)Для нахождения числового значения µ 0 воспользуемся определением ам-пера, согласно которому dF dl = 2 ⋅ 10 − 7 Н / м при I 1 = I 2 = 1 А и R = 1 м . Подставивэто значение в формулу (112.1), получимµ 0 = 4 π⋅ 10 -7 Н / А 2 = 4 π⋅ 10 -7 Гн / м ,где генри ( Гн ) — единица индуктивности ( см . § 126).Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В .Предположим , что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направле -нию магнитного поля . Тогда закон Ампера ( см . (111.2)) запишется в виде dF =IBdl, откудаЕдиница магнитной индукции — тесла ( Тл ): 1 Тл — магнитная индукциятакого однородного магнитного поля , которое действует с силой 1 Н на каждыйметр длины прямолинейного проводника , расположенного перпендикулярнонаправлению поля , если по этому проводнику проходит ток 1 А :1 Тл = 1 Н /( А - м ).Так как µ = 4 π⋅ 10 -7 Н / А 2 , а в случае вакуума ( µ =1), согласно (109.3), B =0µ 0 H , то для данного случая276Единица напряженности магнитного поля — ампер на метр(А/м): 1 А/м— напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4π⋅ 10 -7 Тл.§ 113. М АГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДАКаждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнит-ное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в ва- кууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обоб- щения опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечно- го заряда Q,свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v. Под сво- бодным движением зарядапонимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой(113.1)где t— радиус-вектор, проведенный от заряда Qк точке наблюдения М(рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плос- кости, в которой расположены векторы v и г, а именно: его направление совпа- дает с направлением поступательного движения правого винта при его враще- нии от v к г. Модуль магнитной индукции (113.1) вычисляется по формуле(113.2)где α — угол между векторами v и г.Рис. 168Сравнивая выражения (110.1) и (113.1), видим, что движущийся заряд посвоим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока:Приведенные закономерности (113.1) и (113.2) справедливы лишь при277малых скоростях (v ? c) движущихся зарядов, когда электрическое поле сво- бодно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создавае- мым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.Формула (113.1) определяет магнитную индукцию положительного заря-да, движущегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Qна- до заменить на — Q.Скорость v — относительная скорость, т. е. скорость отно- сительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависит как от времени, так и от положения точки Мнаблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный характер магнитного поля движущегося заряда.Впервые поле движущегося заряда удалось обнаружить американскомуфизику Г. Роуланду (1848—1901). Окончательно этот факт был установлен профессором Московского университета А. А. Эйхенвальдом (1863—1944), изучившим магнитное поле конвекционного тока, а также магнитное поле свя- занных зарядов поляризованного диэлектрика. Магнитное поле свободно дви- жущихся зарядов было измерено академиком А. Ф. Иоффе, доказавшим экви- валентность, в смысле возбуждения магнитного поля, электронного пучка и то- ка проводимости.§ 114. Д ЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖУЩИЙСЯ ЗАРЯДОпыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводникис током (см. § 111), но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q,движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой(114.1)где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки:если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четы- ре вытянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q > 0направления I и v совпадают, для Q < 0— противоположны), то отогнутый большой палец пока- жет направление силы, действующей на положительный заряд.На рис. 169 по- казана взаимная ориентация векторов v, В (поле направлено к нам, на рисунке показано точками) и F для положительного заряда. На отрицательный заряд си- ла действует в противоположном направлении. Модуль силы Лоренца (см. (114.1)) равенгде α — угол между v и В.Отметим еще раз (см. § 109), что магнитное поле не действует на покоя-278ды.Рис. 169Так как по действию силы Лоренца можно найти модуль и направлениевектора В, то выражение для силы Лоренца может быть использовано (наравне с другими, см. § 109) для определения вектора магнитной индукции В.Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженнойчастицы, поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заря- женной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в маг- нитном поле не изменяется.Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с ин-дукцией В действует и электрическое поле с напряженностью Е, то результи- рующая сила F, приложенная к заряду, равна векторной сумме сил — силы, действующей со стороны электрического поля, и силы Лоренца:Это выражение называется формулой Лоренца. Скорость v в этой форму-ле есть скорость заряда относительно магнитного поля.§ 115. Д ВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕВыражение для силы Лоренца (114.1) позволяет найти ряд закономерно-стей движения заряженных частиц в магнитном поле. Направление силы Ло- ренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в маг- нитном поле зависят от знака заряда Qчастицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях.Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное полеоднороднои на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной ин- дукции, то угол а между векторами v и В равен 0 или n.Тогда по формуле (114.1) сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно.279Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v,перпендикулярной вектору В, то сила Лоренца F = Q[vB] постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центростремительное ускорение. Отсюда следует, что частица будет двигаться по окружности, радиус rкоторой определяется из условия QvB = mv2 /r,откуда(115.1)Период вращения частицы,т. е. время Т,за которое она совершает одинполный оборот,Подставив сюда выражение (115.1), получим(115.2)т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду (Q/m) частицы, и магнитной ин- дукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v ? c).На этом основано дей- ствие циклических ускорителей заряженных частиц (см. § 116).Если скорость v заряженной частицы направлена под углом α к вектору В(рис. 170), то ее движение можно представить в виде суперпозиции: 1) равно- мерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью v1 = vcos α ; 2) рав-номерного движения со скоростью v ⊥ =vsin α по окружности в плоскости, пер-пендикулярной полю. Радиус окружности определяется формулой (115.1) (в данном случае надо заменить vна v⊥ =vsin α ). В результате сложения обоихдвижений возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитно- му полю (рис. 170).Рис. 170280Подставив в последнее выражение (115.2), получимНаправление, в котором закручивается спираль, зависит от знака зарядачастицы.Если скорость т заряженной частицы составляет угол а с направлениемвектора В неоднородногомагнитного поля, индукция которого возрастает в на- правлении движения частицы, то г и А уменьшаются с ростом В.На этом осно- вана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле.§ 116. У СКОРИТЕЛИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦУскорителями заряженных частиц называются устройства, в которыхпод действием электрических и магнитных полей создаются и управляются пучки высокоэнергетичных заряженных частиц (электронов, протонов, мезонов и т. д.).Любой ускоритель характеризуется типом ускоряемых частиц, энергией,сообщаемой частицам, разбросом частиц по энергиям и интенсивностью пучка. Ускорители делятся на непрерывные (из них выходит равномерный по времени пучок) и импульсные (из них частицы вылетают порциями — импульсами). По- следние характеризуются длительностью импульса. По форме траектории и ме- ханизму ускорения частиц ускорители делятся на линейные, циклические и ин- дукционные. В линейных ускорителях траектории движения частиц близки к прямым линиям, в циклических и индукционных — траекториями частиц яв- ляются окружности или спирали.Рассмотрим некоторые типы ускорителей заряженных частиц.1.Линейный ускоритель. Ускорение частиц осуществляется электроста-тическим полем, создаваемым, например, высоковольтным генератором Ван- де-Граафа (см. § 92). Заряженная частица проходит поле однократно: заряд Q, проходя разность потенциалов? 1 - ? 2 ,приобретает энергию W = Q( ? 1 - ? 2 ).Та-ким способом частицы ускоряются до ≈ 10 МэВ. Их дальнейшее ускорение спомощью источников постоянного напряжения невозможно из-за утечки заря- дов, пробоев и т. д.2. Линейный резонансный ускоритель. Ускорение заряженных частицосуществляется переменным электрическим полем сверхвысокой частоты, син- хронноизменяющимся с движением частиц. Таким способом протоны ускоря- ются до энергий порядка десятков мегаэлектрон-вольт, электроны — до десят- ков гигаэлектрон-вольт.3. Циклотрон — циклический резонансный ускоритель тяжелых частиц281поле, создаваемое электромагнитом, однородно и перпендикулярно плоскости дуантов.Рис. 171Если заряженную частицу ввести в центр зазора между дуантами, то она,ускоряемая электрическим и отклоняемая магнитным полями, войдя в дуант 1, опишет полуокружность, радиус которой пропорционален скорости частицы (см. (115.1)). К моменту ее выхода из дуанта 1 полярность напряжения изменя- ется (при соответствующем подборе изменения напряжения между дуантами), поэтому частица вновь ускоряется и, переходя в дуант 2, описывает там уже полуокружность большего радиуса и т. д.Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необходимо выпол-нить условие синхронизма(условие «резонанса») — периоды вращения частицы в магнитном поле и колебаний электрического поля должны быть равны. При выполнении этого условия частица будет двигаться по раскручивающейся спи- рали, получая при каждом прохождении через зазор дополнительную энергию. На последнем витке, когда энергия частиц и радиус орбиты доведены до мак- симально допустимых значений, пучок частиц посредством отклоняющего электрического поля выводится из циклотрона.Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий примерно 20 МэВ.Дальнейшее их ускорение в циклотроне ограничивается релятивистским воз- растанием массы со скоростью (см. (39.1)), что приводит к увеличению периода обращения (по (115.2) он пропорционален массе), и синхронизм нарушается. Поэтому циклотрон совершенно неприменим для ускорения электронов (при E = 0,5 МэВ m = 2m0 , при E = 10 МэВ m = 28m 0 !).Ускорение релятивистских частиц в циклических ускорителях можно,однако, осуществить, если применять предложенный в 1944 г. В. И. Векслером (1907—1966) и в 1945 г. американским физиком Э. Мак-Милланом (р. 1907) принципавтофазнровкн. Его идея заключается в том, что для компенсации увеличения периода вращения частиц, ведущего к нарушению синхронизма, изменяют либо частоту ускоряющего электрического, либо индукцию магнит- ного полей, либо то и другое. Принцип автофазировки используется в фазотро- не, синхротроне и синхрофазотроне.2824. Фазотрон(синхроциклотрон) — циклический резонансный ускорительтяжелых заряженных частиц (например, протонов, ионов, ос-частиц), в котором управляющее магнитное поле постоянно, частота ускоряющего электрического поля медленно изменяется с периодом. Движение частиц в фазотроне, как и в циклотроне, происходит по раскручивающейся спирали. Частицы в фазотроне ускоряются до энергий, примерно равных 1 ГэВ (ограничения здесь определя- ются размерами фазотрона, так как с ростом скорости частиц растет радиус их орбиты).5. Синхротрон— циклический резонансный ускоритель ультрарелятиви-стских электронов, в котором управляющее магнитное поле изменяется во вре- мени, а частота ускоряющего электрического поля постоянна. Электроны в синхротроне ускоряются до энергий 5—10 ГэВ.6. Синхрофазотрон— циклический резонансный ускоритель тяжелыхзаряженных частиц (протонов, ионов), в котором объединяются свойства фазо- трона и синхротрона, т. е. управляющее магнитное поле и частота ускоряющего электрического поля одно временно изменяются во времени так, чтобы радиус равновесной орбиты частиц оставался постоянным. Протоны ускоряются в син- хрофазотроне до энергий 500 ГэВ. 7. Бетатрон — циклический индукционный ускоритель электронов, в котором ускорение осуществляется вихревым элек- трическим полем (см. § 137), индуцируемым переменным магнитным полем, удерживающим электроны на круговой орбите. В бетатроне в отличие от рас- смотренных выше ускорителей не существует проблемы синхронизации. Элек- троны в бетатроне ускоряются до энергий 100 МэВ. При W >100 МэВ режим ускорения в бетатроне нарушается электромагнитным излучением электронов. Особенно распространены бетатроны на энергии 20—50 МэВ.§ 117. Э ФФЕКТ Х ОЛЛАЭффект Холла* (1879) — это возникновение в металле (или полупровод-нике) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитноеполе В, перпендикулярное j (рис. 172). При данном направлении j скорость но- сителей тока в металле — электронов — направлена справа налево. Электроны испытывают действие силы Лоренца (см. § 114), которая в данном случае на- правлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повы- шенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего — их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направ- ленное снизу вверх. Когда напряженность Ев этого поперечного поля достигнеттакой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Ло- ренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном на-* Э. Холл (1855—1938) — американский физик.283правлении. Тогдагде а— ширина пластинки, ?? — поперечная (холловская) разность потенциа-лов.Рис. 172Учитывая, что сила тока I = jS = nevS (S -площадь поперечного сеченияпластинки толщиной а,n— концентрация электронов, v— средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим(117.1)т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В,силе тока I и обратно пропорциональна толщине пла- стинки d.В формуле (117.1) R = 1/(en)— постоянная Холла, зависящая от ве- щества. По измеренному значению постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере прово- димости и заряде носителей); 2) судить о природе проводимости полупровод- ников (см. § 242, 243), так как знак постоянной Холла совпадает со знаком за- ряда еносителей тока. Эффект Холла поэтому — наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводни- ках. Он применяется также для умножения постоянных токов в аналоговых вы- числительных машинах, в измерительной технике (датчики Холла) и т. д.§ 118. Ц ИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА В МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕАналогично циркуляции вектора напряженности электростатического по-ля (см. § 83) введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора Впо заданному замкнутому контуру называется интегралгде dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода кон-284тура, B 1 = Bcos α — составляющая вектора В в направлении касательной к кон-туру (с учетом выбранного направления обхода), α — угол между векторами Ви dl.Закон полного токадлямагнитного поля в вакууме (теорема о цир-куляциивектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому кон- туру равна произведению магнитной постояннойµ на алгебраическую сумму0токов, охватываемых этим контуром:(118.1)где n — число проводников с токами, охватываемых контуром Lпроизвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается кон- туром. Положительным считается ток, направление которого .образует с на- правлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изобра- женных на рис. 173,Рис. 173Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме,поскольку,как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молеку- лярные токи.Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В напримере магнитного поля прямого тока /, перпендикулярного плоскости черте- жа и направленного к нам (рис. 174). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса к.В каждой точке этого контура вектор В одинаков по мо- дулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией маг- нитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равнаСогласно выражению (118.1), получим В ⋅ 2 π r = µ 0 I(в вакууме), откуда285Рис. 174Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получиливыражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (см. (110.5)).Сравнивая выражения (83.3) и (118.1) для циркуляции векторов Е и В,видим, что между ними существует принципиальное различие.Циркуляция век- тора В электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциаль ным.Циркуляция вектора В магнитного поля не рав- на нулю. Такое поле называется вихревым,Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такоеже значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа.§ 119. М АГНИТНЫЕ ПОЛЯ СОЛЕНОИДА И ТОРОИДАРассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного полявнутри соленоида.Рассмотрим соленоид длиной д, имеющий Nвитков, по ко- торому течет ток (рис. 175). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экс- периментальное изучение магнитного поля соленоида (см. рис. 162, 6)показы- вает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида — неод- нородным и очень слабым.На рис. 175 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соле-ноида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэто- му приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида со- средоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.Для нахождения магнитной индукции Ввыберем замкнутый прямоуголь-ный кон тур ABCDA,как показано на рис. 175. Циркуляция вектора В по замк- нутому контуру ABCDA,охватывающему все Nвитков, согласно (118.1), равна286Рис. 175Интеграл по ABCDAможно представить в виде четырех интегралов: поАВ, ВС, CDи DA.На участках АВи CDконтур перпендикулярен линиям маг- нитной индукции и В,= 0. На участке вне соленоида В=0.На участке DAцирку- ляция вектора В равна В1(контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,(119.1)Из (119.1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутрисоленоида (в вакууме):(119.2)Получили, что поле внутри соленоида однородно(краевыми эффектами вобластях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают). Од- нако отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био — Савара — Лапласа; в результате получается та же формула (119.2).Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида —кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 176). Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображенийсимметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r.Тогда, по теореме о циркуляции (118.1), B⋅ 2 π r = µ 0 NI, откуда следует, что магнитная индукциявнутри тороида (в вакууме)287где N— число витков тороида.Рис. 176Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B⋅ 2 π r = 0.Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).§ 120. П ОТОК ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ .Т ЕОРЕМА Г АУССА ДЛЯ ПОЛЯ ВПотоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через пло-щадку dS называется скалярнаяфизическая величина, равная(120.1)где В n = Всоs α .— проекция вектора В на направление нормали к площадке dS( α — угол между векторами n и В), dS = dSn— вектор, модуль которого равенdS,а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cosα (определяется выбором положительного направления нормали n).Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру нами уже определено (см. § 109): оно связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнит- ный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.Поток вектора магнитной индукции Φ B через произвольную поверхностьSравен(120.2)Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпенди-кулярно вектору В, B = B = constиn288Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м2 , расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индук-ция которого равна 1 Тл (1 Вб = 1 Тл ⋅ м 2 ).Теорема Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции сквозьлюбую замкнутую поверхность равен нулю:(120.3)Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие че-го линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замк- нутыми.Итак, для потоков векторов В и Е сквозь замкнутую поверхность в вихре-вом и потенциальном полях получаются различные выражения (см. (120.3), (81.2)).В качестве примера рассчитаем поток вектора В сквозь соленоид. Маг-нитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнит- ной проницаемостьюµ ,согласно (119.2), равнаМагнитный поток сквозь один виток соленоида площадью Sравена полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и назы- ваемый потокосцепленнем,(120.4).• Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции В , рассчитайте магнитное полетороида .• Что называют потоком вектора магнитной индукции ? Запишите теорему Гаусса для магнитногополя , объяснив ее физический смысл .• Какая физическая величина выражается в веберах ? Дайте определение вебера§ 121. Р АБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ПРОВОДНИКА И КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕНа проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемыезаконом Ампера (см. § 111). Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 177), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следова- тельно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с то- ком.289Рис. 177Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I(он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее маг- нитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера (см. (111.2)), равнаПод действием этой силы проводник переместится параллельно самомусебе на от резок dxиз положения 1 в положение 2.Работа, совершаемая маг- нитным полем, равнатак как ldx = dS— площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, BdS = dФ — поток вектора магнитной индукции, пронизы- вающий эту площадь. Таким образом,(121.1)т. е. 'работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна про- изведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся провод- ником.Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.Рис. 178Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным то-ком I в магнитном поле. Предположим, что контур Мперемещается в плоско-290сти чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М',изображенное на рис. 178 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж) указано на рисунке. Контур Ммысленно разобьем на два соеди- ненных своими концами проводника: ABC и CDА.Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемеще-нии контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по переме- щению проводников ABC (dA1 ) и CDA (dA 2 ), т. е.(121.2)Силы, приложенные к участку CDАконтура, образуют с направлениемперемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA 2 >0. Согласно(121.1), эта работа равна произведению силы тока I в контуре на пересеченный проводником CDAмагнитный поток. Проводник CDАпересекает при своем движении поток dФсквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ ,0 2пронизывающий контур в его конечном положении. Следовательно,(121.3)Силы, действующие на участок AВСконтура, образуют с направлениемперемещения тупые углы, поэтому совершаемая ими работа dA 1 < 0. ПроводникAВС пересекает при своем движении поток dФ 0 сквозь поверхность, выполнен-ную в цвете, и поток dФ , пронизывающий контур в начальном положении.1Следовательно,(121.4)Подставляя (121.3) и (121.4) в (121.2), получим выражение для элемен-тарной работы:где dФ - dФ = dФ'— изменениемагнитного потока сквозь площадь, ограни-2 1ченную контуром с током. Таким образом,(121.5)Проинтегрировав выражение (121.5), определим работу, совершаемуюсилами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнит- ном поле:(121.6)т. е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитномполе равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного пото- ка, сцепленного с контуром.Формула (121.6) остается справедливой для конту- ра любой формы в произвольном магнитном поле.З АДАЧИ291но распределенный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вра- щается с частотой 8 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольцаи проходящей через ее центр. Определить отношение магнитного момента кру- гового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса. [251 нКл/кг]14.2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см,течет постоянный ток 3 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата. [5,66 мкТл]14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам,расстояние между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противопо- ложных направлениях. Определить магнитную индукцию В вточке, удаленной на г=30 см от первого и г =40 см от второго проводника. [9,5 мкТл]1 214.4. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочногокольца радиусом 10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца. [10,7 мкТл]14.5. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с оди-наковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R.Чтобы их раздвинуть до расстояния 3R,на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа А=220 нДж. Определить силу тока в проводниках. [10 А]14.6. Определить напряженность поля, создаваемого прямолинейно рав-номерно движущимся со скоростью 500 км/с электроном в точке, находящейся от него на расстоянии 20 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, прохо- дящем через мгновенное положение электрона. [15,9 А/м]14.7. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в одно-родное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, движется по окружности. Опреде- лить радиус этой окружности. [3,23 см]14.8. Определить, при какой скорости пучок заряженных частиц, проходяперпендикулярно область, в которой созданы однородные поперечные электри- ческое и магнитное поля с E = 10 кВ/м и В = 0,2Тл, не отклоняется. [50 км/с]14.9. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить ради-ус дуантов циклотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. [>47 см]14.10. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускаетсяток 5 А. Пластинка помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концен- трацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциалов.292Плотность меди 8,93 г/см 3 . [1,85 мкВ]14.11. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Оп-ределить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, магнитную индукцию В вточке, расположенной на расстоянии 15 см от проводника. [20 мкТл]14.12. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индук-цию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по об- мотке которого, содержащей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см. [0.24 мТл; 191 А/м]14.13. Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечениясоленоида (без сердечника) Ф = 5 мкВб. Длина соленоида l = 25 см. Определить магнитный момент рт этого соленоида. [1 А ⋅ м 2 ]14.14. Круглая рамка с током площадью 20 см 2 закреплена параллельномагнитному полю (5 = 0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мН'м. Рамку освободили, после поворота на 90° ее угловая скорость стала 20 с-1 . Оп-ределить: 1) силу тока, текущего в рамке; 2) момент инерции рамки относи- тельно ее диаметра. [1) 1,5 А; 2) 3⋅ 10 -6 кг м 2 ]293ГЛАВА 15ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ§122. Я ВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ( ОПЫТЫ Ф АРАДЕЯ )В гл. 14 было показано, что электрические токи создают вокруг себя маг-нитное поле. Связь магнитного поля с током привела к многочисленным по- пыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Эта фундамен- тальная задача была блестяще решена в 1831 г. английским физиком М. Фара- деем, открывшим явление электромагнитной индукции.Оно заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, полу- чивший название индукционного.Рассмотрим классические опыты Фарадея, с помощью которых было об-наружено явление электромагнитной индукции.Рис. 179 Опыт I(рис. 179, а). Если в замкнутый на гальванометр соленоид вдви-гать или выдвигать постоянный магнит, то в моменты его вдвигания или вы- двигания наблюдается отклонение стрелки гальванометра (возникает индукци- онный ток); направления отклонений стрелки при вдвигании и выдвигании магнита противоположны. Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движения магнита относительно катушки. При изменении по- люсов магнита направление отклонения стрелки изменится. Для получения ин- дукционного тока магнит можно оставлять неподвижным, тогда нужно относи- тельно магнита передвигать соленоид.Опыт П. Концы одной из катушек, вставленных одна в другую, присое-диняются к гальванометру, а через другую катушку пропускается ток. Откло- нение стрелки гальванометра наблюдается в моменты включения или выклю- чения тока, в моменты его увеличения или уменьшения или при перемещении катушек друг относительно друга (рис. 179, б). Направления отклонений стрел- ки гальванометра также противоположны при включении или выключении то- ка, его увеличении или уменьшении, сближении или удалении катушек.294выводу, что индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции. Например, при повороте в однородном магнитном поле замкнутого проводящего контура в нем также возникает индукционный ток. В данном случае индукция магнитного поля вблизи проводника остается постоянной, а меняется только поток магнитной индукции сквозь контур.Опытным путем было также установлено, что значение индукционноготока совершенно не зависит от способа изменения потока магнитной индук- ции,а определяется лишь скоростьюего изменения (в опытах Фарадея также доказывается, что отклонение стрелки гальванометра (сила тока) тем больше, чем больше скорость движения магнита, или скорость изменения силы тока, или скорость движения катушек).Открытие явления электромагнитной индукции имело большое значение,так как была доказана возможность получения электрического тока с помощью магнитного поля. Этим была установлена взаимосвязь между электрическими и магнитными явлениями, что послужило в дальнейшем толчком для разработки теории электромагнитного поля.§ 123. З АКОН Ф АРАДЕЯ И ЕГО ВЫВОД ИЗ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИОбобщая результаты своих многочисленных опытов, Фарадей пришел кколичествен ному закону электромагнитной индукции. Он показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возникновение индукцион- ного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой электромагнитной индукции. Значение индукционного тока, а следовательно, и э.д.с. электромагнитной индукцииξ 1 определяютсятолько скоростью изменения магнитного потока, т. е.(123.1)Теперь необходимо выяснить знак ξ 1 . В § 120 было показано, что знакмагнитного потока зависит от выбора положительной нормали к контуру. В свою очередь, положительное направление нормали определяется правилом правого винта (см. § 109). Следовательно, выбирая положительное направление нормали, мы определяем как знак потока магнитной индукции, так и направле- ние тока и э.д.с. в контуре. Пользуясь этими представлениями и выводами, можно соответственно прийти к формулировке закона электромагнитной ин- дукции Фарадея:какова бы ни была причина изменения потока магнитной ин- дукции, охватываемого замкнутым проводящим кон туром, возникающая в контуре э. д. с.295(123.2)Знак минус показывает, что увеличение потока ? ? d Φ > 0 ? ? вызывает э . д . с .? dt ?ξ < 0, т . е . поле индукционного тока направлено навстречу потоку ; уменьше -1ние потока ? ? ? d dt Φ < 0 ? ? ? вызывает ξ 1 > 0, т . е . направления потока и поля индукци -онного тока совпадают . Знак минус в формуле (123.2) определяется правиломЛенца — общим правилом для нахождения направления индукционного тока ,выведенного в 1833 г .Правило Ленца:индукционный ток в контуре имеет всегда такое на -правление , что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению маг -нитного потока , вызва вшему этот индукционный ток .Закон Фарадея ( см . (1232)) может быть непосредственно получен из зако -на со хранения энергии , как это впервые сделал Г . Гельмгольц . Рассмотримпроводник с током I, который помещен в однородное магнитное поле , перпен -дикулярное плоскости контура , и может свободно перемещаться ( см . рис . 177).Под действием силы Ампера F, направление которой показано на рисунке , про -водник перемещается на отрезок dx. Таким образом , сила Ампера производитработу ( см . (121.1)) dA = Id Ф , где d Ф — пересеченный проводником магнитныйпоток .Согласно закону сохранения энергии , работа источника тока за время d t( ξ 1 Idf) будет складываться из работы на джоулеву теплоту (I 2 Rdt) и работы поперемещению проводника в магнитном поле (Id Ф ):где R — полное сопротивление контура . Тогдагде − d Φ есть не что иное , как закон Фарадея ( см . (123.2)).dtЗакон Фарадеяможно сформулировать еще таким образом : э . д . с . Е ,электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна познаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность , ограничен -ную этим контуром . Этот закон является универсальным: э.д . с . Б , не зависит отспособа изменения магнитного потока . Э . д . с . электромагнитной индукции вы -ражается в вольтах . Действительно , учитывая , что единицей магнитного потокаявляется вебер ( Вб ), получимКакова природа э . д . с . электромагнитной индукции ? Если проводник( подвижная перемычка контура на рис . 177) движется в постоянном магнитном296поле, то сила Лоренца, действующая на заряды внутри проводника, движущие- ся вместе с проводником, будет направлена противоположно току, т. е. она бу- дет создавать в проводнике индукционный ток противоположного направления (за направление электрического тока принимается движение положительных зарядов). Таким образом, возбуждение э.д.с. индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникаю- щей при движении проводника.Согласно закону Фарадея, возникновение э.д.с. электромагнитной индук-ции воз можно и в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение э.д.с. индукции. Максвелл для объяснения э. д. с. индукции в неподвижныхпроводниках пред- положил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Циркуляция вектора ЕB этого поля по лю-бому неподвижному контуру Lпроводника представляет собой э. д. с. электро- магнитной индукции:(123.3)• Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый про - водник в видекатушки , а не в виде одного витка провода ? . •Сформулируйте правило Ленца , проиллюстрировав его примерами• Как направлен индукционный ток ?• Всегда ли при изменении потока магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникаетэ . д . с . индукции ? индукционный ток ?• Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке , поступательно движущейся в однородноммагнитном поле ?§ 124. В РАЩЕНИЕ РАМКИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕЯвление электромагнитной индукции применяется для преобразованиямеханической энергии в энергию электрического тока. Для этой цели исполь- зуются генераторы, принцип действия которых можно рассмотреть на примере плоской рамки, вращающейся в однородном магнитном поле (рис. 180).Предположим, что рамка вращается в однородном магнитном поле (В =const) равномерно с угловой скоростью ω = const. Магнитный поток, сцеплен-ный с рамкой площадью S,в любой момент времени t,согласно (120.1), равенгде α = ω t— угол поворота рамки в момент времени t (начало отсчета выбранотак, чтобы при t = 0 было α = 0).При вращении рамки в ней будет возникать переменная э.д.с. индукции297(124.1)изменяющаяся со временем по гармоническому закону. При sin ω t = l э.д.с. ξ 1 ,максимальна, т. е.(124.2)Учитывая (124.2), выражение (124.1) можно записать в видеТаким образом, если в однородном магнитном поле равномерно вращает-ся рамка, то в ней возникает переменная э.д.с., изменяющаяся по гармониче- скому закону.Из формулы (124.2) вытекает, что ξ (следовательно, и э.д.с. индукции)maxнаходится в прямой зависимости от величин ω , Ви S. В России принята стан-дартная частота тока v = ω /(2 π ) = 50 Гц, поэтому возможно лишь увеличениедвух остальных величин. Для увеличения Вприменяют мощные постоянные магниты или в электромагнитах пропускают значительный ток, а также внутрь электромагнита помещают сердечники из материалов с большой магнитной проницаемостьюµ .Если вращать не один, а ряд витков, соединенных последо-вательно, то тем самым увеличивается S.Переменное напряжение снимается с вращающегося витка с помощью щеток, схематически изображенных на рис. 180.Рис. 180Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим.298§ 125. В ИХРЕВЫЕ ТОКИ ( ТОКИ Ф УКО )Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и вмассивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи оказываются замкнутыми в толще проводника и поэтому называются вихревыми. Их также называют токами Фуко — по имени первого исследова- теля.Токи Фуко, как и индукционные токи в линейных проводниках, подчи-няются правилу Ленца: их магнитное поле направлено так, чтобы противодей- ствовать изменению магнитного потока, индуцирующему вихревые токи. На- пример, если между полюсами невключенного электромагнита массивный мед- ный маятник совершает практически незатухающие колебания (рис. 181), то при включении тока он испытывает сильное торможение и очень быстро оста- навливается. Это объясняется тем, что возникшие токи Фуко имеют такое на- правление, что действующие на них со стороны магнитного поля силы тормо- зят движение маятника. Этот факт используется для успокоения (демпфирова- ния) подвижных частей различных приборов. Если в описан ном маятнике сде- лать радиальные вырезы, то вихревые токи ослабляются и торможение почти отсутствует.Рис. 181Вихревые токи помимо торможения (как правило, нежелательного эф-фекта) вызывают нагревание проводников. Поэтому для уменьшения потерь на нагревание якоря генераторов и сердечники трансформаторов делают не сплошными, а изготовляют из тонких пластин, отделенных одна от другой слоями изолятора, и устанавливают их так, чтобы вихревые токи были направ- лены поперек пластин. Джоулева теплота, выделяемая токами Фуко, использу- ется в индукционных металлургических печах. Индукционная печь представля- ет собой тигель, помещаемый внутрь катушки, в которой пропускается ток вы- сокой частоты. В металле возникают интенсивные вихревые токи, способные разогреть его до плавления. Такой способ позволяет плавить металлы в вакуу-299ме, в результате чего получаются сверхчистые материалы.Вихревые токи возникают и в проводах, по которым течет переменныйток. Направление этих токов можно определить по правилу Ленца. На рис. 182, апоказано направление вихревых токов при возрастании первичного тока в проводнике, а на рис. 182, б — при его убывании. В обоих случаях направление вихревых токов таково, что они противодействуют изменению первичного тока внутри проводника и способствуют его изменению вблизи поверхности. Таким образом, вследствие возникновения вихревых токов быстропеременный ток оказывается распределенным по сечению провода неравномерно — он как бы вытесняется на поверхность проводника. Это явление получило название скин- эффекта (от англ, skin — кожа) или поверхностного эффекта. Так как токи вы- сокой частоты практически текут в тонком поверхностном слое, то провода для них делаются полыми.Рис. 182Если сплошные проводники нагревать токами высокой частоты, то в ре-зультате скин-эффекта происходит нагревание только их поверхностного слоя. На этом основан метод поверхностной закалки металлов. Меняя частоту поля, он позволяет производить закалку на любой требуемой глубине.§ 126. И НДУКТИВНОСТЬ КОНТУРА . С АМОИНДУКЦИЯЭлектрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себямагнитное поле, индукция которого, по закону Био - Савара - Лапласа (см. (110.2)), пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току I в контуре:(126.1)где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцеплен-300ный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1Гн — индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Согласно(120.4), полный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равенµ µ N 2 I . Подставив это выражение в формулу (126.1), получим0 l(126.2)т . е . индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N,его длиныl , площади Sи магнитной проницаемости µ вещества , из которого изготовленсердечник соленоида .Можно показать , что индуктивность контура в общем случае зависиттолько от геометрической формы контура , его размеров и магнитной прони -цаемости той среды , в которой он находится . В этом смысле индуктивностьконтура — аналог электрической емкости уединенного проводника , котораятакже зависит только от формы проводника , его размеров и диэлектрическойпроницаемости среды ( см . § 93).Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея ( см . (123.2)), получим ,что э . д . с . самоиндукцииЕсли контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не из -меняется ( в дальнейшем будет показано , что последнее условие выполняется невсегда ), то L = const и(126.3)где знак минус , обусловленный правилом Ленца , показывает , что наличие ин -дуктивности в контуре приводит к замедлению изменениятока в нем .Если ток со временем возрастает , то dI > 0 и ξ S < 0, т . е . ток самоиндук -dtции направлен навстречу току , обусловленному внешним источником , и замед -ляет его возрастание . Если ток со временем убывает , то dI < 0 и ξ > 0 , т . е . ин -dt Sдукционный ток имеет такое же направление , как и убывающий ток в контуре ,и замедляет его убывание . Таким образом , контур , обладая определенной ин -301дуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.• Что такое вихревые токи ? Вредны они или полезны ?• Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными ?§ 127. Т ОКИ ПРИ РАЗМЫКАНИИ И ЗАМЫКАНИИ ЦЕПИПри всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с.самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции.Экстратоки самоиндукции, соглас- но правилу Ленца, все гда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник токас э.д.с. ξ , резистор сопротивлением Rи катушку индуктивностью L.Под дейст-вием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток в катушке индук-тивностью Lначнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоин-дукции ζ = − L dI , препятствующей , согласно правилу Ленца , уменьшениюS dtтока . В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I = ξ S /R,или(127.1)Разделив в выражении (127.1) переменные , получим dI = − R dt . . Интег-I Lрируя это уравнение по I (от I 0 до I)и t(от 0 до f), находим In (I/I 0 ) = —Rt/L,или(127.2)где t = L/R— постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убываетпо экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем большеτ и, сле-довательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.302Рис. 183При замыкании цепи помимо внешней э. д. с.ξ возникает э. д. с. самоин-дукции ζ = − L dI , препятствующая , согласно правилу Ленца , возрастаниюS dtтока . По закону Ома , IR = ξ + ξ илиSВведя новую переменную u = IR - ξ , преобразуем это уравнение к видугде τ — время релаксации .В момент замыкания (t = 0) сила тока I = 0 и u = - ? . Следовательно , ин -тегрируя по u ( от - ? до IR - ? ) и t ( от 0 до t), находим In [(IR - ? )]/ - ? = -t/ τ , или(127.3)где I 0 = ? /R — установившийся ток ( при t → ∞ ).Таким образом , в процессе включения источника тока нарастание силытока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис . 183. Си -ла тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится кустановившемуся значению I = ? / R .Скорость нарастания тока определяется0тем же временем релаксации τ = L/R ,что и убывание тока . Установление токапроисходит тем быстрее , чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопро -тивление .Оценим значение э . д . с . самоиндукции ? S , возникающей при мгновенномувеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 до R. Предположим ,что мы размыкаем контур , когда в нем течет установившийся ток I 0 = ? /R 0 . Приразмыкании цепи ток изменяется по формуле (1272). Подставив в нее выраже -ние для I и т , получим0303Э.д.с. самоиндукциит. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R 0 ? 1), обладаю-щей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз пре- вышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет боль- ших значений.§ 128. В ЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯРассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных достаточ-но близко друг от друга (рис. 184).Рис. 184Если в контуре 1 течет ток I1 то магнитный поток, создаваемый этим то-ком (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линия- ми), пропорционален I1 .Обозначим через Ф 21 ту часть потока, которая прони-зывает контур 2. Тогда(128.1)где L 21 — коэффициент пропорциональности.Если ток I 1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. ? 12 , которая позакону Фарадея (см. (123.2)) равна и противоположна по знаку скорости изме- нения магнитного потока Ф21 созданного током в первом контуре и пронизы-304вающего второй:Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I 2 магнитный поток (егополе изображено на рис. 184 штриховыми линиями) пронизывает первый кон- тур. Если Ф12 — часть этого потока, пронизывающего контур 1, тоЕсли ток I 2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. ? i1 , котораяравна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф 12 ,созданного током во втором контуре и пронизывающего первый:Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силытока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорцио- нальности L21 и L 12 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты,подтверждаемые опытом, показывают, что L 21 и L 12 равны друг другу, т. е.(128.2)Коэффициенты L 12 и L 21 зависят от геометрической формы, размеров,взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивно- сти, — генри (Гн).Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на об-щий тороидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значе- ние (рис. 185).Рис. 185Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом вит-ков N 1 , током I 1 и магнитной проницаемостью µ сердечника, согласно (119.2),B = µ µ N 1 I 10 l , где l — длина сердечника по средней линии. Магнитный305поток сквозь один виток второй катушки Φ = BS = µ µ N 1 I 1 S . .2 0 lТогда полный магнитный поток ( потокосцепление ) сквозь вторичную об -мотку , содержащую N 2 витков ,Поток Ψ создается током I поэтому , согласно (128.1), получаем1(128.3)Если вычислить магнитный поток , создаваемый катушкой 2 сквозь ка -тушку 1, то для L 12 получим выражение в соответствии с формулой (128.3). Та -ким образом , взаимная индуктивность двух катушек , намотанных на общий то -роидальный сердечник ,§ 129. Т РАНСФОРМАТОРЫПринцип действия трансформаторов , применяемых для повышения илипонижения напряжения переменного тока , основан на явлении взаимной ин -дукции . Впервые трансформаторы были сконструированы и введены в практи -ку русским электротехником П . Н . Яблочковым (1847—1894) и русским физи -ком И . Ф . Усагиным (1855—1919). Принципиальная схема трансформатора по -казана на рис . 186.Рис . 186Первичная и вторичная катушки ( обмотки ), имеющие соответственно N1и N 2 витков , укреплены на замкнутом железном сердечнике . Так как концыпервичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения сэ . д . с . ? 1 то в ней возникает переменный ток создающий в сердечнике транс -форматора переменный магнитный поток Ф , который практически полностьюлокализован в железном сердечнике и , следовательно , почти целиком пронизы -306вает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление э.д.с. взаимной индукции, а в первичной — э.д.с. самоин- дукции. Ток I1 первичной обмотки определяется согласно закону Ома:где R 1 — сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I 1 R 1 на со-противлении R при быстропеременных полях малo по сравнению с каждой из1двух э.д,с., поэтому(129.1)Э.д.с. взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,(129.2)Сравнивая выражения (129.1) и (129.2), получим, что э.д.с., возникающаяво вторичной обмотке,(129.3)где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках проти- воположны по фазе.Отношение числа витков N 2 /N 1 ,показывающее, во сколько раз э.д.с. вовторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, на- зывается коэффициентом трансформации.Пренебрегая потерями энергии, которые в современных трансформаторахне превышают 2% и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых токов, и применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практи- чески одинаковы:откуда, учитывая соотношение (129.3), найдемт. е. токи в обмотках обратно пропорциональны числу витков в этих обмотках.Если N 2 / N 1 > 1, то имеем дело с повышающий трансформатором, увеличи-вающим переменную э.д.с. и понижающим ток (применяются, например, для передачи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае по- тери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются); еслиN 2 / N 1 < 1, то имеем дело с понижающим трансформатором, уменьшающимэ.д.с. и повышающим ток (применяются, например, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении).Мы рассматривали трансформаторы, имеющие только две обмотки. Од-нако транс форматоры, используемые в радиоустройствах, имеют 4—5 обмо-307ток, обладающих разными рабочими напряжениями. Трансформатор, состоя- щий из одной обмотки, называется автотрансформатором. В случае повышаю- щего автотрансформатора э.д.с. подводится к части обмотки, а вторичная э.д.с. снимается со всей обмотки. В понижающем автотрансформаторе напряжение сети подается на всю обмотку, а вторичная э.д.с. снимается с части обмотки.§ 130. Э НЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯПроводник, по которому протекает электрический ток, всегда окруженмагнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с по- явлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, яв- ляется носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.Рассмотрим контур индуктивностью L,по которому течет ток I. С дан-ным контуром сцеплен магнитный поток (см. (126.1)) Φ = LI,причем при изме-нении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = LdI. Однако для измене- ния магнитного потока на величину dФ (см. § 121) необходимо совершить ра- боту dA = IdΦ = LIdI.Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будетравнаСледовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,(130.1)Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности рас-пространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энер- гия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представ- лениям теории поля. Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, ха-рактеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (130.1) выражение (126.2), получимТак как I = BlN 2 / N 1 > 1N) (см. (119.2)) и B = N 2 /N 1 > 1 (см. (109.3)), то(130.2)где Sl = V— объем соленоида.Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, по-этому энергия (см. (130.2)) заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью308(130.3)Выражение (130.3) для объемной плотности энергии магнитного поляимеет вид, аналогичный формуле (95.8) для объемной плотности энергии элек- тростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная,т. е. оно относится только к пара- и диамагнетикам (см. § 132).• Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электростатическогои магнитного полей . Чему равнообъемная плотность энергии магнитного поля ?• Напряженность магнитного поля возросла в два раза . Как изменилась объемная плотность энер -гии электромагнитного поля ?• Приведите соотношение между токами нав первичной и вторичной обмотках повышающеготрансформатора .З АДАЧИ15.1. Кольцо из алюминиевого провода ( ρ = 26 нОм-м) помещено в маг-нитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм. Определить скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А. [0,33 Тл/с]15.2. В однородном магнитном поле, индукция которого 0,5 Тл, равно-мерно с частотой 300 мин -1 вращается катушка, содержащая 200 витков, плотноприлегающих друг к другу. Площадь поперечного сечения катушки 100 см 2 .Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную э.д.с., индуцируемую в катушке. [31,4 В]15.3. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающихдруг к другу, диаметром 0,3 мм с изоляцией ничтожно малой толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГн. [3040]15.4. Определить, через сколько времени сила тока замыкания достигнет0,98 пре дельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопро- тивлением 10 Ом и индуктивностью 0,4 Гн. [0,16 с] 15.5.15.5. Два соленоида (индуктивность одного L 1 =0,36 Гн, второго L 2 = 0,64Гн) одинаковой длины и практически равного сечения вставлены один в дру- гой. Определить взаимную индуктивность соленоидов. [0,48 Гн] 15.8.15.6. Автотрансформатор, понижающий напряжение с U =5,5 кВ до1309U 2 =220 В, содержит в первичной обмотке N 1 = 1500 витков. Сопротивлениевторичной обмотки R 2 = 2 Ом. Сопротивление внешней цепи (в сети понижен-ного напряжения) R = 13 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определить число витков во вторичной обмотке трансформатора. [68]310ГЛАВА 16МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА§ 131. М АГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНОВ И АТОМОВРассматривая действие магнитного поля на проводники с током в на дви-жущиеся заряды, мы не интересовались процессами, происходящими в вещест- ве. Свойства среды учитывались формально с помощью магнитной проницае- мостиµ .Для того чтобы разобраться в магнитных свойствах сред и их влияниина магнитную индукцию, необходимо рассмотреть действие магнитного поля на атомы и молекулы вещества.Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, на-магничиваются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул, положив в основу гипотезу Ампера (см. § 109), согласно ко- торой в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные дви- жением электронов в атомах и молекулах.Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным при-ближением можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орби- там. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом(см. (109.2)) pm = ISn, модуль которого(131.1)где I = ev— сила тока, v — частота вращения электрона по орбите, S—площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке (рис. 187), то ток направлен против часовой стрелки и вектор рm , (в соответствии с правиломправого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона, как указано на рисунке.Рис. 187С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механиче-311ским моментом импульса L ,модуль которого, согласно (19.1),е(131.2)где v = 2 π vr, π r 2 = S.Вектор L (его направление также определяется по прави-eлу правого винта) называется орбитальным механическим моментом элек- трона.Из рис. 187 следует, что направления p m и L c противоположны, поэтому,учитывая выражения (131.1) и (131.2), получим (131.3)где величина(131.4)называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов (общепри- нято писать со знаком «—», указывающим на то, что направления моментов противоположны). Это отношение, определяемое универсальными постоянны- ми, одинаково для любой орбиты, хотя для разных орбит значения vи rразлич- ны. Формула (131.4) выведена для круговой орбиты, но она справедлива и для эллиптических орбит.Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено вопытах Эйнштейна и де Гааза * (1915), которые наблюдали поворот свободноподвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намаг- ничении во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался пе- ременный ток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось ги- ромагнитное отношение, которое оказалось равным —(е/m).Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекулярные токи, совпадал со знаком за- ряда электрона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза большим, чем введенная ранее величина g(см. (131.4)). Для объяснения этого результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предпо- ложено, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных моментов (см. (131.1) и (131.2)) электрон обладает собственным механическим моментом импульса Les , называемым спином. Считалось, что спин обусловлен вращением электронавокруг своей оси, что привело к целому ряду противоречий. В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона Lсоответствует собственный (спиновый)esмагнитный момент р ms , пропорциональный L es и направленный в противопо-ложную сторону:(131.5)* В. И. де Гааз (1878—1960) — нидерландский физик.312Величина g s называется гиромагнитным отношением спиновых момен-тов.Проекция собственного магнитного момента на направление вектора Вможет принимать только одно из следующих двух значений:где h = h/(2 π ) (h — постоянная Планка), µ B —магнетон Бора, являющийся еди-ницей магнитного момента электрона.В общем случае магнитный момент электрона складывается из орбиталь-ного и спинового магнитных моментов. Магнитный момент атома, следова- тельно, складывается из магнитных моментов входящих в его состав электро- нов и магнитного момента ядра (обусловлен магнитными моментами входящих в ядро протонов и ней тронов). Однако магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных моментов электронов, поэтому ими пренебрегают. Таким образом, общий магнитный момент атома (молекулы) рa равен векторной суммемагнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:(131.6)Еще раз обратим внимание на то, что при рассмотрении магнитных мо-ментов электронов и атомов мы пользовались классической теорией, не учиты- вая ограничений, накладываемых на движение электронов законами квантовой механики. Однако это не противоречит полученным результатам, так как для дальнейшего объяснения намагничивания веществ существенно лишь то, что атомы обладают магнитными моментами.§ 132. Д ИА - И ПАРАМАГНЕТИЗМВсякое вещество является магнетиком, т. е. оно способно под действиеммагнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Для по- нимания механизма этого явления необходимо рассмотреть действие магнитно- го поля на движущиеся в атоме электроны.Ради простоты предположим, что электрон в атоме движется по круговойорбите. Если орбита электрона ориентирована относительно вектора В произ- вольным об разом, составляя с ним уголα (рис. 188), то можно доказать, чтоона приходит в такое движение вокруг В, при котором вектор магнитного мо- мента з, сохраняя постоянным угол α , вращается вокруг вектора В с некоторойmугловой скоростью. Такое движение в механике называется прецессией. Пре- цессию вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры, совершает, например, диск волчка при замедлении движения.Таким образом, электронные орбиты атома под действием внешнего маг-313ля, направленная противоположно внешнему полю. Наведенные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и образуют собственное маг- нитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект по- лучил название диамагнитного эффекта, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетика- ми.Рис. 188В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, по-скольку в данном случае магнитные моменты электронов взаимно компенси- руются, и суммарный магнитный момент атома (он равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) составляющих атом электро- нов) равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (например, Bi, Ag, Аu, Сu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т. д.Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнего магнит-ного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойствен всем ве- ществам. Однако наряду с диамагнитными веществами существуют и парамаг- нитные — вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по на- правлению поля.У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного полямагнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (моле- кулы) парамагнетиков всегда обладают магнитным моментом. Однако вследст- вие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы бес- порядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свойствами не обла- дают. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливает- ся преимущественнаяориентация магнитных моментов атомов по полю(пол- ной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким образом, па- рамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадаю- щее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект назы- вается парамагнитным. При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ориентация магнитных моментов вследствие теплового движения нарушается и314парамагнетик размагничивается. К парамагнетикам относятся редкоземельные элементы, Pt, A1 и т. д. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагнетиках, но он значительно слабее парамагнитного и поэтому остается незаметным.Из рассмотрения явления парамагнетизма следует, что его объяснениесовпадает с объяснением ориентационной (дипольной) поляризации диэлектри- ков с полярными молекулами (см. § 87), только электрический момент атомов в случае поляризации надо заменить магнитным моментом атомов в случае на- магничения.Подводя итог качественному рассмотрению дна- и парамагнетизма, ещераз от метим, что атомы всех веществ являются носителями диамагнитных свойств. Если магнитный момент атомов велик, то парамагнитные свойства преобладают над диамагнитными и вещество является парамагнетиком; если магнитный момент атомов мал, то преобладают диамагнитные свойства и ве- щество является диамагнетиком.§ 133. Н АМАГНИЧЕННОСТЬ . М АГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕПодобно тому, как для количественного описания поляризации диэлек-триков вводилась поляризованность (см. § 88), для количественного описания намагничения магнетиков вводят векторную величину — намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:где Р = ∑p — магнитный момент магнетика, представляющий собой вектор-m aную сумму магнитных моментов отдельных молекул (см. (131.6)).Рассматривая характеристики магнитного поля (см. § 109), мы вводиливектор магнитной индукции В, характеризующий результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, и вектор напряженности Н, ха- рактеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагниченным веществом. Тогда можем записать, что век- тор магнитной индукции результирующего магнитного поля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля В0 (поля, создаваемогонамагничивающим током в вакууме) и поля микротоков В' (поля, создаваемого молекулярными токами):В = В 0 + В ′ , (133.1)где В0 = µ 0 Н (см. (109.3)).Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотриммагнетик в виде кругового цилиндра сечения Sи длины l, внесенного в одно- родное внешнее магнитное поле с индукцией В0 .Возникающее в магнетикемагнитное поле молекулярных токов будет направлено противоположно внеш- нему полю для диамагнетиков и совпадать с ним по направлению для парамаг-315нетиков. Плоскости всех молекулярных токов расположатся перпендикулярно вектору В0 ,так как векторы их магнитных моментов p m антипараллельны век-тору B 0 (для диамагнетиков) и параллельны В 0 (для парамагнетиков). Если рас-смотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутрен- них участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов направ- лены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис. 189). Нескомпен- сированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверх- ность цилиндра.Рис. 189Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соле-ноиде и создает внутри него поле, магнитную индукцию В'которого можно вы- числить, учитывая формулу (119.2) для N =1 (соленоид из одного витка):(133.2)где I' — сила молекулярного тока, l — длина рассматриваемого цилиндра, а магнитная проницаемостьµ принята равной единице.С другой стороны, I'/I — ток, приходящийся на единицу длины цилиндра,или его линейная плотность, поэтому магнитный момент этого тока p = I'lS/l = I'V/l, где V— объем магнетика. Если Р— магнитный момент магнетика объе- мом V,то намагниченность магнетика(133.3)Сопоставляя (133.2) и (133.3), получим, чтоили в векторной форме316или(133.4) (133.5)Как показывает опыт, в несильных полях намагниченность прямо про-порциональна напряженности поля, вызывающего намагничение, т. е.(133.6)где χ — безразмерная величина, называемая магнитной восприимчиво-стью вещества. Для диамагнетиков χ отрицательна (поле молекулярных токовпротивоположно внешнему), для парамагнетиков — положительна (поле моле- кулярных токов совпадает с внешним).Используя формулу (133.6), выражение (133.4) можно записать в видеоткудаБезразмерная величина(133.7) (133.8)представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив (133.8) в (133.7), придем к соотношению (109.3) В =µ µ Н, которое ранее постулирова-0лось.Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и па-рамагнетиков очень мало (порядка 10 -4 —10 -6 ), то для них µ незначительно от-личается от единицы. Это просто понять, так как магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким образом, для диа- магнетиковχ < 0 и µ <1, для парамагнетиков χ > 0 и µ >1.Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуля-ции вектора В) является обобщением закона (118.1):где I и I' — соответственно алгебраические суммы макротоков (токовпроводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произволь- ным замкнутым кон туром L.Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции В по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сум- ме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром,317умноженной на магнитную постоянную. Вектор В, таким образом, характери- зует результирующее поле, созданное как макроскопическими токами в про- водниках (токами проводимости), так и микроскопическими токами в магнети- ках, поэтому линии вектора магнитной индукции В не имеют источников и яв- ляются замкнутыми.Из теории известно, что циркуляция намагниченности J по произвольно-му замкнутому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром:Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно запи-сать также в виде(133.9)где I, подчеркнем это еще раз, есть алгебраическая сумма токов прово-димости.Выражение, стоящее в скобках в (133.9), согласно (133.5), есть не чтоиное, как введенный ранее вектор Н напряженности магнитного поля. Итак, циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру Lравна алгеб- раической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:(133.10)Выражение (133.10) представляет собой теорему о циркуляции вектора Н.§ 134. У СЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДEЛА ДВУХ МАГНЕТИКОВУстановим связь для векторов В и Н на границе раздела двух однородныхмагнетиков (магнитные проницаемости µ 1 и µ 2 при отсутствии на границе то-ка проводимости.Построим вблизи границы раздела магнетиков 1 и2прямой цилиндр ни-чтожно малой высоты, одно основание которого находится в первом магнетике, другое — во втором (рис. 190). Основания AS настолько малы, что в пределах каждого из них вектор В одинаков. Согласно теореме Гаусса (120.3),(нормали n и n' к основаниям цилиндра направлены противоположно). Поэто- му(134.1)318Рис. 190Заменив, согласно B =µ 0 µ H ,проекции вектора В проекциями вектора Н,умноженными на µ µ , получим0(134.2)Вблизи границы раздела двух магнетиков 1и 2 построим небольшойзамкнутый прямоугольный контур ABCDAдлиной l, ориентировав его так, как показано на рис. 191.Рис. 191Согласно теореме (133.10) о циркуляции вектора Н,(токов проводимости на границе раздела нет), откуда319(134.3)Заменив, согласно B = µ 0 µ H, проекции вектора Н проекциями вектора В,деленными на µ 0 µ , получим(134.4)Таким образом, при переходе через границу раздела двух магнетиковнормальная составляющая вектора В (B n и тангенциальная составляющая век-тора H (H τ ) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а тангенциаль-ная составляющая вектора В (В τ ) и нормальная составляющая вектора Н (Н n )претерпевают скачок.Из полученных условий (134.1)—(134.4) для составляющих векторов В иН следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Как и в случае диэлектриков (см. § 90), можно найти закон преломления линий В (а значит, и линий Н):(134.5)Из этой формулы следует, что, входя в магнетик с большей магнитнойпроницаемостью, линии В и Н удаляются от нормали.§ 135. Ф ЕРРОМАГНЕТИКИ И ИХ СВОЙСТВАПомимо рассмотренных двух классов веществ — диа- и парамагнетиков,называемых слабомагнитнымн веществами,существуют еще сильномаг- нитные вещества — ферромагнетики— вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, т. е. они намагничены даже при отсутствии внешнего маг- нитного поля. К ферромагнетикам кроме основного их представителя — железа (от него и идет название «ферромагнетизм») — от носятся, например, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения.Ферромагнетики помимо способности сильно намагничиваться обладаютеще и другими свойствами, существенно отличающими их от диа- и парамагне- тиков. Если для слабомагнитных веществ зависимость J от Н линейна (см. (133.6) и рис. 192), то для ферромагнетиков эта зависимость, впервые изученная в 1878 г. методом баллистического гальванометра для железа русским физиком А. Г. Столетовым (1839—1896), является довольно сложной. По мере возраста- ния Ннамагниченность J сначала растет быстро, затем медленнее и, наконец, достигается так называемое магнитное насыщение Jнас уже не зависящее от на-пряженности поля. Подобный характер зависимости Jот Н можно объяснить тем, что по мере увеличения намагничивающего поля увеличивается степень ориентации молекулярных магнитных моментов по полю, однако этот процесс начнет замедляться, когда остается все меньше и меньше неориентированных моментов, и, наконец, когда все моменты будут ориентированы по полю, даль- нейшее увеличение Jпрекращается и наступает магнитное насыщение.320Рис. 192Магнитная индукция B =µ 0 (H + J)(см. (133.4)) в слабых полях растет бы-стро с ростом Нвследствие увеличения J, а в сильных полях, поскольку второе слагаемое постоянно (J = Jнас ), Врастет с увеличением Нпо линейному закону(рис. 193).Рис. 193Существенная особенность ферромагнетиков — не только большие зна-чения µ (на пример, для железа — 5000, для сплава супермаллоя — 800 000!),но и зависимость µ от Н(рис.194). Вначале µ растет с увеличением Н,затем,достигая максимума, начинает уменьшаться, стремясь в случае сильных полей к 1 (µ = B/( µ 0 H) = l + J/Н,поэтому при J = J нас = const с ростом НотношениеJ/H → 0, а µ → 1).Характерная особенность ферромагнетиков состоит также в том, что дляних зависимость J от H (а следовательно, и В от Н)определяется предысторией намагничения ферромагнетика. Это явление получило название магнитного гистерезиса. Если намагнитить ферромагнетик до насыщения (точка 1, рис. 195), а затем начать уменьшать напряженность Ннамагничивающего поля, то, как показывает опыт, уменьшение J описывается кривой 1—2,лежащей выше кривой 1- 0.При Н= 0 J отличается от нуля, т. e. в ферромагнетике наблюдается остаточное намагничение J.С наличием остаточного намагничения связаноoc321действием поля Н с ,имеющего направление, противоположное полю, вы-звавшему намагничение. Напряженность H c называется коэрцитивной силой.Рис. 194Рис. 195 При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик пе-ремагничивается (кривая 3—4),и при H = - H нас достигается насыщение (точка4).Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4—5—6) и вновь перемагнитить до насыщения (кривая 6—1).Таким образом, при действии на ферромагнетик переменного магнитногополя намагниченность Jизменяется в соответствии с кривой 1—2—3—4—5— 6—1,которая называется петлей гистерезиса (от греч. «запаздывание»). Гисте- резис приводит к тому, что намагничение ферромагнетика не является одно- значной функцией H, т. е. одному и тому же значению H соответствует не- сколько значений JРазличные ферромагнетики дают разные гистереэисные петли. Ферро-магнетики с малой (в пределах от нескольких тысячных до 1—2 А/см) коэрци- тивной силой НC (с узкой петлей гистерезиса) называются мягкими, с большой(от нескольких десятков до нескольких тысяч ампер на сантиметр) коэрцитив- ной силой (с широкой петлей гистерезиса) — жесткими. Величины Hс , J ic , и µ maxопределяют применимость ферромагнетиков для тех или иных практических целей. Так, жесткие ферромагнетики (например, углеродистые и вольфрамовые стали) применяются для изготовления постоянных магнитов, а мягкие (напри- мер, мягкое железо, сплав железа с никелем) — для изготовления сердечников трансформаторов.Ферромагнетики обладают еще одной существенной особенностью: длякаждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая точ- кой Кюри, при которой он теряет свои магнитные свойства. При нагревании образца выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагне- тик. Переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, проис-322ходящий в точке Кюри, не сопровождается поглощением или выделением теп- лоты, т. е. в точке Кюри происходит фазовый переход II рода (см. § 75).Наконец, процесс намагничения ферромагнетиков сопровождается изме-нением его линейных размеров и объема. Это явление получило название маг- нитострикция. Величина и знак эффекта зависят от напряженности Ннамагни- чивающего поля, от природы ферромагнетика и ориентации кристаллографиче- ских осей по отношению к полю.§ 136. П РИРОДА ФЕРРОМАГНЕТИЗМАРассматривая магнитные свойства ферромагнетиков, мы не вскрывалифизическую природу этого явления. Описательная теория ферромагнетизма была разработана французским физиком П. Вейссом (1865—1940). Последова- тельная количественная теория на основе квантовой механики развита Я. И. Френкелем и немецким физиком В. Гейзенбергом (1901—1976).Согласно представлениям Вейсса, ферромагнетики при температурах ни-же точки Кюри обладают спонтанной намагниченностью независимо от нали- чия внешнего намагничивающего поля. Спонтанное намагничение, однако, на- ходится в кажущемся противоречии с тем, что многие ферромагнитные мате- риалы даже при температурах ниже точки Кюри не намагничены. Для устране- ния этого противоречия Вейсс ввел гипотезу, согласно которой ферромагнетик ниже точки Кюри разбивается на большое число малых макроскопических об- ластей — доменов, самопроизвольно намагниченных до насыщения.При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдель-ных доменов ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результирующий магнитный момент ферромагнетика равен нулю и ферромаг- нетик не намагничен. Внешнее магнитное поле ориентирует по полю магнит- ные моменты не отдельных атомов, как это имеет место в случае парамагнети- ков, а целых областей спонтанной намагниченности. Поэтому с ростом Нна- магниченность J (см. рис. 192) и магнитная индукции В(см. рве. 193) уже в до- вольно слабых полях растут очень быстро. Этим объясняется также увеличениеµ ферромагнетиков до максимального значения в слабых полях (см. рис. 194).Эксперименты показали, что зависимость В от H нeявляется такой плавной, а имеет ступенчатый вид, как показано на рис. 193. Это свидетельствует о том, что внутри ферромагнетика домены поворачиваются по полю скачком.При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетики со-храняют остаточное намагничение, так как тепловое движение не в состоянии быстро дезориентировать магнитные моменты столь крупных образований, ка- кими являются домены. Поэтому и наблюдается явление магнитного гистерези- са (рис. 195). Для того чтобы ферромагнетик размагнитить, необходимо прило- жить коэрцитивную силу; размагничиванию способствуют также встряхивание и нагревание ферромагнетика. Точка Кюри оказывается той температурой, вы- ше которой происходит разрушение доменной структуры.Существование доменов в ферромагнетиках доказано экспериментально.323Прямым экспериментальным методом их наблюдения является метод порошко- вых фигур. На тщательно отполированную поверхность ферромагнетика нано- сится водная суспензия мелкого ферромагнитного порошка (например, магне- тита). Частицы оседают преимущественно в местах максимальной неоднород- ности магнитного поля, т. е. на границах между доменами. Поэтому осевший порошок очерчивает границы доменов и подобную картину можно сфотогра- фировать под микроскопом. Линейные размеры доменов оказались равными 10-4 —10 -2 см.Дальнейшее развитие теории ферромагнетизма Френкелем и Гейзенбер-гом, а также ряд экспериментальных фактов позволили выяснить природу эле- ментарных носителей ферромагнетизма. В настоящее время установлено, что магнитные свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами электронов(прямым экспериментальным указанием этого служит опыт Эйнштейна и де Гааза, см. § 131). Установлено также, что ферромагнит- ными свойствами могут обладать только кристаллические вещества, в атомах которых имеются недостроенные внутренние электронные оболочки с неском- пенсированными спинами. В подобных кристаллах могут возникать силы, ко- торые вынуждают спиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно друг другу,что и приводит к возникновению областей спонтанного намагничения. Эти силы, называемые обменными силами, имеют квантовую природу — они обусловлены волновыми свойствами электронов.Так как ферромагнетизм наблюдается только в кристаллах, а они облада-ют анизотропией (см. § 70), то в монокристаллах ферромагнетиков должна иметь место анизотропия магнитных свойств (их зависимость от направления в кристалле). Действительно, опыт показывает, что в одних направлениях в кри- сталле его намагниченность при данном значении напряженности магнитного поля наибольшая (направление легчайшего намагничения), в других — наи- меньшая (направление трудного намагничения). Из рассмотрения магнитных свойств ферромагнетиков следует, что они похожи на сегнетоэлектрики (см. § 91).Существуют вещества, в которых обменные силы вызывают антипарал-лельнуюориентацию спиновых магнитных моментов электронов. Такие тела называются антиферромагнетиками.Их существование теоретически было предсказано Л. Д. Ландау. Антиферромагнетиками являются некоторые соеди- нения марганца (MnO, MnF2 ), железа (FeO, FeCl 2 ) и многих других элементов.Для них также существует антиферромагнитная точка Кюри (точкаНееля * ),при которой магнитное упорядочение спиновых магнитных моментов наруша- ется и антиферромагнетик превращается в па рамагнетик, претерпевая фазовый переход П рода (см. § 75).В последнее время большое значение приобрели полупроводниковыеферромагнетики — ферриты,химические соединения типа MeO ⋅ Fe 2 O 3 , где Me— ион двухвалентного металла (Mn, Co, Ni, Cu, Mg, Zn, Cd, Fe). Они отличают- ся заметными ферромагнитными свойствами и большим удельным электриче-* Л. Неель (род. 1904) — французский физик.324ским сопротивлением (в миллиарды раз большим, чем у металлов). Ферриты применяются для изготовления постоянных магнитов, ферритовых антенн, сер- дечников радиочастотных контуров, элементов оперативной памяти в вычисли- тельной технике, для покрытия пленок в магнитофонах и видеомагнитофонах и т. д.• Объясните петлю гистерезиса ферромагнетика . Что такое магнитострикция ?• Какие ферромагнетики являются магнитомягкими ? магнитожесткими ? Где их применяют ?• Каков механизм намагничения ферромагнетиков ?• Какую температуру для ферромагнетика называют точкой Кюри ?З АДАЧИ16.1. Напряженность однородного магнитного поля в меди равна 10 А/м.Определить магнитную индукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если диамагнитная восприимчивость меди |χ |=8,8 ⋅ 10 -8 . [1.11 пТл]16.2. По круговому контуру радиусом 50 см, погруженному в жидкий ки-слород, течет ток 1,5 А. Определить намагниченность в центре этого контура, если магнитная восприимчивость жидкого кислорода 3,4⋅ 10 -3 . [5,1 мА/м]16.3. По обмотке соленоида индуктивностью 1 мГн, находящегося в диа-магнитной среде, течет ток 2 А. Соленоид имеет длину 20 см, площадь попе- речного сечения 10 см2 и 400 витков. Определить внутри соленоида: 1) магнит-ную индукцию; 2) намагниченность. [1) 5 мТл; 2) 20 А/м]16.4. Алюминиевый шарик радиусом 0,5 см помещен в однородное маг-нитное поле (В 0 = 1 Тл). Определить магнитный момент, приобретенный шари-ком, если магнитная восприимчивость алюминия 2,1 ⋅ 10 -5 . [8,75 мкА ⋅ м 2 ]325ГЛАВА 17ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛАДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ§ 137. В ИХРЕВОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕИз закона Фарадея (см. (123.2)) ?i = —d Φ /dt следует, что любоеизмене-ние сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникно- вению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индук- ционный ток. Следовательно, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носи- тели тока действуют сторонние силы — силы неэлектростатического происхо- ждения (см. § 97). Поэтому встает вопрос о природе сторонних сил в данном случае.Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, нис химическими процессами в контуре; их возникновение также нельзя объяс- нить силами Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют. Мак- свелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Мак- свелла, контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, явля- ясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле.Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порожда-ет электрическое поле Е циркуляция которого, по (123.3),B(137.1)где Е ,— проекция вектора Е на направление dl.BI BПодставив в формулу (137.1) выражение Φ = ∫ BdS (см. (120.2)), получимSЕсли поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирова-ния и интегрирования можно поменять местами. Следовательно,(137.2)где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл ∫ BdSSявляется функцией только от времени.Согласно (83.3), циркуляция вектора напряженности электростатического326поля (обозначим его E G ) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:(137.3)Сравнивая выражения (137.1) и (137.3), видим, что между рассматривае-мыми полями (Е B и E Q ) имеется принципиальное различие: циркуляция вектораЕ B в отличие от циркуляции вектора E Q не равна нулю. Следовательно, элек-трическое поле Е B , возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле(см. § 118), является вихревым.§ 138. Т ОК СМЕЩЕНИЯСогласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждаетв окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно сущест- вовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вы- зывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электриче- ским полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 196).Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденса- тор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют про- водники.Рис. 196Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим ивызываемым им магнитным полями. По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, рав- ный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводи- мости (I) и смещения (Iсм ) равны: I см = I.Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора327(138.1)(поверхностная плотность заряда σ на обкладках равна электрическому сме-щению Dв конденсаторе (см. (92.1)). Подынтегральное выражение в (138.1)∂ Dможно рассматривать как частный случаи скалярного произведения dS , ко-∂ t∂ Dгда и dS взаимно параллельны. Поэтому для общего случая можно запи-∂ tсатьСравнивая это выражение I = I см = ∫ j см dS (см. (96.2)), имеемS(138.2)Выражение (138.2) и было названо Максвеллом плотностью тока смеще-ния.Рис. 197Рассмотрим, каково же направление векторов плотностей токов проводи-мости и смещения j и j см . При зарядке конденсатора (рис. 197, а ) через провод-ник, соединяющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой; поле в кон-∂ D ∂ Dденсаторе усиливается; следовательно, > 0, т. е. вектор направлен в ту∂ t ∂ t∂ Dже сторону, что и D. Из рисунка видно, что направления векторов и j сов-∂ tпадают. При разрядке конденсатора (рис. 197, б ) через проводник, соединяю-щий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой; поле в конденсаторе ос-328∂ D ∂ Dлабляется; следовательно, <0, т. е. вектор направлен противоположно∂ t ∂ t∂ Dвектору D. Однако вектор направлен опять так же, как и вектор j. Из разо-∂ tбранных примеров следует, что направление вектора j, а следовательно, и век-∂ Dтора j см совпадает с направлением вектора ∂ t , как это и следует из формулы(138.2).Подчеркнем, что из всех физических свойств, присущих току проводимо-сти, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле (линии индукции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке конденсатора показаны на рис. 197 штриховыми линиями).В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как, со-гласно (89.2), D = ε 0 E + P, где Е— напряженность электростатического поля, аР — поляризованность (см. § 88), то плотность тока смещения(138.3)где ε 0 - плотность тока смещения в вакууме, ∂ ∂ P t - плотность токаполяри-зации — тока, обусловленного упорядоченным движением электрических заря- дов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот ди- полей в полярных молекулах). Возбуждение магнитного поля токами поляриза- ции правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что и другая часть плотности тока смещения? ? ε ∂ E ? ? , не связанная с движением зарядов, а обусловленная толькоизменени-? 0 ∂ t ?ем электрического поля во времени, также возбуждает магнитное поле, являет- ся принципиально новым утверждениемМаксвелла. Даже в вакууме всякое из- менение во времени электрического поля приводит к возникновению в окру- жающем пространстве магнитного поля.Следует отметить, что название «ток смещения» является условным, аточнее — исторически сложившимся, так как ток смещения по своей сути — это изменяющееся со временем электрическое поле. Ток смещения поэтому существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Однако в данном случае он пренебре- жимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения под- тверждено экспериментально А. А. Эйхенвальдом, изучавшим магнитное поле тока поляризации, который, как следует из (138.3), является частью тока сме- щения.Максвелл ввел понятие полного тока,равного сумме токов проводимо-329сти (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного токаВведя понятия тока смещения и полного тока, Максвелл по-новому по-дошел к рас смотрению замкнутости цепей переменного тока. Полный ток в них всегда замкнут, т. е. на концах проводника обрывается лишь ток проводи- мости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток сме- щения, который замыкает ток проводимости.Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора Н (см. (133.10)), введяв ее правую часть полный ток I полн = ∫ j полн dS сквозь поверхность S,натянутуюSна замкнутый контур L.Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора Н запишется в виде(138.4)Выражение (138.4) справедливо всегда, свидетельством чего являетсяполное соответствие теории и опыта.§ 139. У РАВНЕНИЯ М АКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯВведение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершениюсозданной им макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явле- ния, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии под- тверждено.В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравне-ния:1. Электрическое поле (см. § 137) может быть как потенциальным (E Q ),так и вихревым (Е в ),поэтому напряженность суммарного поля Е = Е е + Е B . Таккак циркуляция вектора E Q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е вопределяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности сум- марного поляЭто уравнение показывает, что источниками электрического поля могутбыть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнит- ные поля.2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):330Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либодвижущими ся зарядами (электрическими токами), либо переменными электри- ческими полями.3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):(139.1)Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно собъемной плотностью ρ ,то формула (139.1) запишется в виде4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимымии между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектриче- ские и неферромагнитные среды):где ε 0 и µ 0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и µ —соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, γ — удельнаяпроводимость вещества,Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического полямогут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени маг- нитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися элек- трическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электриче- скими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электри- ческого и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.Для стационарных полей(E = const и В = const) уравнения Максвеллапри-331т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только элек- трические заряды, источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянныеэлектрическое и магнитное поля.Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стоксаи Гауссаможно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциаль- ной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обеформы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная — эквива- лентны. Однако если имеются поверхности разрыва — поверхности, на кото- рых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что всевеличины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, диффе- ренциальную форму дополняют граничными условиями,которым должно удов- летворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше (см. § 90, 134):(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических имагнитных полей в покоящихся средах.Они играют в учении об электромагне- тизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с поро- ждаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно свя- заны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.Теория Максвелла, являясь обобщением основных законов электрическихи магнитных явлений, не только смогла объяснить уже известные эксперимен- тальные факты, что также является важным ее следствием, но и предсказала новые явления. Одним из важных выводов этой теории явилось существование магнитного поля токов смещения (см. § 138), что позволило Максвеллу пред- сказать существование электромагнитных волн — переменного электромагнит- ного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В332дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного элек- тромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна ско- рости света с = 3⋅ 10 8 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойствэлектромагнитных волн привели Максвелла к созданию электромагнитной тео- рии света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г. Герцем (1857—1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распро- странения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.К электромагнитному полю применим только принцип относительностиЭйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом от- носительности Галилея.Согласно принципу относительности Эйнштейна, механические, оптиче-ские и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета про- текают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не ме- няется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя ве- личины Е, В, D, Н в них преобразуются по определенным правилам.Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрениеэлектрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета про водник с постоянным током, возбуж- дая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относи- тельно других инерциальиых систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение,а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории элек- трических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.• Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формахи объясните их физический смысл .• Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими ?• Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособленно друг отдруга ? Запишите для них уравнения Максвелла в обеих формах .• Какие основные выводы можно сделать на основе теории Максвелла ?333 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГЛАВА 18МЕХАНИЧЕСКИЕ ИЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ§ 140. Г АРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Колебанияминазываются движения или процессы, которые характери-зуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника ча- сов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маят- ника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеб- лются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электро магнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковы ми харак- теристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подходак изучению колебаний различной физической природы.На- пример, единый подход к изучению механических и электромагнитных колеба- ний применялся английским физиком Д. У. Рэлеeм (1842—1919), А. Г. Столе- товым, русским инженером-экспериментатором П. Н. Лебедевым (1866—1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л. И. Мандельштам (1879—1944) и его ученики.Колебанияназываются свободными(или собственными),если они со-вершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем от- сутствии внешних воз действий на колебательную систему (систему, совер- шающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания— колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодиче- ские процессы(процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания величины sописываются уравнением типа(140.1)где А— максимальное значение колеблющейся величины, называемое ампли- тудой колебания,ω 0 — круговая (циклическая) частота, ? — начальнаяфаза колебанияв момент времени t = 0, ( ω 0 t + ? )— фаза колебанияв моментвремени t.Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до - 1, то sможет принимать значения от + Адо - А.334Определенные состояния системы, совершающей гармонические колеба-ния, повторяются через промежуток времени Т,называемый периодом коле- бания,за который фаза колебания получает приращение 2π , т. е.откуда(140.2)Величина, обратная периоду колебаний,(140.3)т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний.Сравнивая (140.2) и (140.3), получимЕдиница частоты — герц(Гц): 1 Гц — частота периодического процесса,при которой за 1 с совершается один цикл процесса.Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически ко-леблющейся величины s:(140.4) (140.5)т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Ампли- туды величин (140.4) и (140.5) соответственно равны Аω 0 и А ω 2 0 .Фаза величи-ны (140.4) отличается от фазы величины (140.1) на π /2, а фаза величины (140.5)отличается от фазы величины (140.1) на π .Следовательно, в моменты времени,когда s = 0, ds/dtприобретает наибольшие значения; когда же sдостигает мак- симального отрицательного значения, то d2 s/dt 2 приобретает наибольшее поло-жительное значение (рис. 198).Из выражения (140.5) следует дифференциальное уравнение гармони-ческих колебаний(140.6)(где s = A cos ( ω 0 t + ? )). Решением этого уравнения является выражение(140.1).335Рис. 198Гармонические колебания изображаются графически методом вращаю-щегося вектора амплвтуды, или методом векторных диаграмм.Для этого из произвольной точки О,выбранной на оси х,под углом? ,равным начальнойфазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 199).Рис. 199Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростьюω 0 , равнойциклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещать- ся по оси х и принимать значения от - А до +А,а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s = Acos(ω 0 t + ? ). Таким образом, гармони-ческое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольновы- бранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом? ,равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω 0вокруг этой точки.В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода336вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблю- щуюся величину представляют комплексным числом.Согласно формуле Эй- лера, для комплексных чиселгде i = − 1 —мнимая единица . Поэтому уравнение гармонического колебания(140.1) можно записать в комплексной форме :(140.8)Вещественная часть выражения (140.8)представляет собой гармоническое колебание . Обозначение Re вещественнойчасти условимся опускать и (140.8) будем записывать в видеВ теории колебаний принимается , что колеблющаяся величина sравнавещественной частикомплексного выражения , стоящего в этом равенствесправа .§ 141. М ЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯПусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические ко -лебания вдоль оси координат x около положения равновесия , принятого за на -чало координат . Тогда зависимость координаты хот времени t задается уравне -нием , аналогичным уравнению (140.1), где s = х :(141.1)Согласно выражениям (140.4) и (140.5), скорость vи ускорение аколеб -лющейся точки соответственно равны(141.2)Сила F = ma ,действующая на колеблющуюся материальную точку мас -сой т,с учетом (141.1) и (141.2) равнаСледовательно , сила пропорциональна смещению материальной точки изположения равновесия и направлена в противоположную сторону ( к положе -нию равновесия ).Кинетическая энергия материальной точки , совершающей прямолиней -ные гармонические колебания , равна337или(141.3) (141.4)Потенциальная энергии материальной точки, совершающей гармониче-ские колебания под действием упругой силы F,равнаили(141.5) (141.6)Сложив (141.3) и (141.5), получим формулу для полной энергии:(141.7)Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колеба-ниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна. Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2ω 0 ,т. е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармони-ческого колебания. На рис. 200 представлены графики зависимости х, Т и П от времени. Так как ⟨sin2 α ⟩ = ⟨cos 2 α ⟩ = 1/2, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7)следует, что ⟨Т⟩ = ⟨П⟩ = 1/2Е.Рис. 200338§ 142. Г АРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР .П РУЖИННЫЙ , ФИЗИЧЕСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙМАЯТНИКИ Гармоническим осцилляторомназывается система, совершающая коле-бания, описываемые уравнением вида (140.6):(142.1)Колебания гармонического осциллятора являются важным примером пе-риодического движения и служат точной или приближенной моделью во мно- гих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического ос- циллятора являются пружинный, физический и математический маятники, ко- лебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы кон- тура можно было бы считать линейными; см. §146).1. Пружинный маятник— это груз массой т,подвешенный на абсо-лютно упругой пружине в совершающий гармонические колебания под дейст- вием упругой силы F = - kx, где k— жесткостьпружины. Уравнение движения маятникатх = - kx ?илиИз выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совер-шает гармонические колебания по закону х = A cos( ω 0 t + ? ) сциклическойчастотойи периодом(142.2) (142.3)Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в кото-рых выполняется закон Гука (см. (21.3)), т. с. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, со- гласно (141.5) и (142.2), равна3. Физический маятник— это твердое тело, совершающее под действи-ем силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, прохо- дящей через точку О,не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).339Рис. 201Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол α , тов соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент Мвозвращающей силы можно записать в видегде J— момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l — расстояние между ней и центром масс маятника, Fτ = - mgsin α ≈mg α — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F τ иα всегда противоположны; sin α ≈ α соответствует малым колебаниям маятника,т.e. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в видеПринимаяполучим уравнение(142.5)идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:(142.6)Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический ма-340(142.5)) и периодом(142.7)где L = J/(ml)— приведенная длина физического маятника.Точка О' на продолжении прямой ОС,отстоящая от точки Оподвеса ма-ятника на расстоянии приведенной длины L,называется центром качаний фи- зического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получимт. е. ОО' всегда больше ОС.Точка подвеса Омаятника и центр качаний О'об- ладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка Оподвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.3. Математический маятник — это идеализированнаясистема, состоя-щая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника(142.8)где l — длина маятника.Так как математический маятник можно представить как частный случайфизического маятника,предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (142.7), полу- чим выражение для периода малых колебаний математического маятника(142.9)Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длинаLфизического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина фи- зического маятника — это длина такого математического маятника, период ко- лебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маят- ника.§ 143. С ВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕСреди различных электрических явлений особое место занимают элек-тромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превраще- ниями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур — цепь, со- стоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конден-341сатора емкостью Си резистора сопротивлением R.Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеали-зированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R ≈ 0). Длявозбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, со- общая его обкладкам заряды ±Q.Тогда в начальный момент времени t = 0 (рис. 202, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергиякоторого — 1 Q 2 ( см . (95.4)). Если замкнуть конденсатор на катушку индук -2 Cтивности , он начнет разряжаться , и в контуре потечет возрастающий со време -нем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться , аэнергия магнитного поля катушки ( она равна 1/2 LQ 2 )— возрастать .Рис . 202Таккак R ≈ 0, то , согласно закону сохранения энергии , полная энергиятак как она на нагревание не расходуется . Поэтому в момент t = 1/4 Т , когдаконденсатор полностью разрядится , энергия электрического поля обращается внуль , а энергия магнитного поля ( а следовательно , и ток ) достигает наибольше -го значения ( рис . 202, б ). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать ;следовательно , начнет ослабевать магнитное поле катушки , и в ней индуциру -ется ток , который течет ( согласно правилу Ленца ) в том же направлении , что иток разрядки конденсатора . Конденсатор начнет перезаряжаться , возникнетэлектрическое поле , стремящееся осла бить ток , который в конце концов обра -тится в нуль , а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума ( рис .202, в ). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении ( рис .202, г ) и система к моменту времени t = T придет в первоначальное состояние( рис . 202, а ). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядкии зарядки конденсатора . Если бы потерь энергии не было , то в контуре совер -342шались бы периодические незатухающие колебания, т. е. периодически изме- нялись (колебались) бы заряд Qна обкладках конденсатора, напряжение Uна конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следова- тельно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания со- провождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить смеханическими колебаниями маятника (рис. 202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q2 /(2C))анало-гична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ2 /2) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движениямаятника. Индуктивность L играет роль массы m,а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивно-стью L,конденсатор емкостью Си резистор сопротивлением R,где IR — напряжение на резисторе, U C = Q/C— напряжение на конденсаторе,? s = − dI - э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании вdtней переменного тока (? s — единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,(143.1)Разделив (143.1) на L и подставив I = Q & и dI = Q & & , ? получим дифференци-dtальное уравнение колебаний заряда Q в контуре:(143.2)В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтомурассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. §140). Если со противление R = Q, то свободные электромагнитные колебания вконтуре являются гармоническими . Тогда из (143.2) получим дифференциаль-ное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре:Из выражений (142.1) и (140.1) вытекает, что заряд Q совершает гармо-нические колебания по закону(143.3)где Q m — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотойω 0 , называемой собственной частотой контура, т. е.343и периодом(143.4) (143.5)Формула (143.5) впервые было получена У. Томсоном и называетсяформулойТомсона. Сила тока в колебательном контуре (см. (140.4))(143.6)(143.7)где U = Q /C— амплитуда напряжения.m mИз выражений (143.3) и (143.6) вытекает, что колебания тока / опережаютпо фазе колебания заряда Qна π /2, т. е., когда ток достигает максимальногозначения, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и на- оборот.§ 144. С ЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ И ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ .Б ИЕНИЯКолеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных про-цессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного на- правления и одинаковой частотывоспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). По- строим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Так как векторы A1 иА 2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ω 0 , то разность фаз ( ? 1 - ? 2 ) ме-жду ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего ко- лебания будет(144.1)В выражении (144.1) амплитуда Аи начальная фаза ? соответственно за-даются соотношениями(144.2)344Рис. 203Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одногонаправления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Ам- плитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (? 2 - ? 1 ) склады-ваемых колебаний.Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз ( ? -2? 1 ) :1) ( ? 2 - ? 1 ) = ±2m π (m=0, 1, 2, ...), тогда A = A 1 + A 2 ,т. е. амплитуда ре-зультирующего колебания Аравна сумме амплитуд складываемых колебаний;2) ( ? 2 - ? 1 ) = ±(2m + 1) π (m = 0,1, 2, ...), тогда A = |A 1 — A 2 |,т. е. ампли-туда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых ко- лебаний.Для практики особый интерес представляет случай, когда два складывае-мых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с перио- дически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды ко- лебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близки- ми частотами, называются биениями.Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А,а частоты равны ω иω + ?ω , причем ?ω ? ω . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазыобоих колебаний были равны нулю:Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе ?ω /2? ω , найдем(144.3)Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармониче-345ское с частотой со, амплитуда А,которого изменяется по следующему периоди- ческому закону:(144.4)Частота изменения А σ в два раза больше частоты изменения косинуса(так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот скла- дываемых колебаний:Период биенийХарактер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирныелинии дают график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график медленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.Рис. 204Определение частоты тона (звука определенной высоты (см. § 158)) бие-ний между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко приме- няемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.Любые сложные периодические колебания s = f(t)можно представить ввиде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частотеω 0 :(144.5)Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с поня-тием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье* .Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические ко-* Ж. Фурье (1768—1830) — французский ученый.346лебания с частотами ω 0 , 2 ω 0 , З ω 0 называются первой(или основной), вто-рой, третьей и т. д. гармоникамисложного периодического колебания.§ 145. С ЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙРассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинако-вой частоты ω ,происходящих во взаимно перпендикулярных направленияхвдоль осей хи у.Дня простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем(145.1)где α — разность фаз обоих колебаний, А и В— амплитуды складываемых ко-лебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исклю- чением из выражений (145.1) параметра t.Записывая складываемые колебания в виде( )и заменяя во втором уравнении cos ω tна х/Аи sin ω t на 1 − x 2 , получим по -Aсле несложных преобразований уравнение эллипса , оси которого ориентирова -ны относительно координатных осей произвольно :(145.2)Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса , тотакие колебания называются эллиптически поляризованными .Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складывае -мых колебаний и разности фаз α . Рассмотрим некоторые частные случаи , пред -ставляющие физический интерес :1) α = m π (m = 0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в от -резок прямойу = ± ( В / А ) х , (145.3)где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т ( рис . 205, а ), а знакминус — нечетным значениям т ( рис . 205, б ). Результирующее колебание явля -ется гармоническим колебанием с частотой со и амплитудой A 2 + B 2 , совер -шающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол? = arctg ? ? B cos m π ? ? . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными? A ?347колебаниями;Рис. 2052) α = ( 2 m + 1 ) π (m = 0, ±1, ±2, ...). В данном случае уравнение примет2вид(145.4)Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а егополуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А = В,то эллипс (145.4) вырождается в окружность.Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованны- ми по кругу.Рис. 206Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний раз-личны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лнссажу* .* Ж. Лиссажу (1822—1880) — французский физик.348Рис. 207Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разностифаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны ввер- ху; разность фаз принимается равной? ).Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пе-ресечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.• Какова траектория точки , участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармо -нических колебаниях с одинаковыми периодами ? Когда получается окружность ? прямая ?• Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний ?• Что такое биения ? Чему равна частота биений ? период ?§ 146. Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ( МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ) И ЕГО РЕШЕНИЕ . Автоколебания Рассмотрим свободные затухающие колебания — колебания, амплитудыкоторых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением349времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колеба- ний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических ко- лебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнит- ной энергии в электрических колебательных системах.Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных сис-тем. Обычно рассматривают линейные системы— идеализированные реаль- ные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства сис- темы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, напри- мер, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по сво- ей природе линейные системы описываются идентичными линейными диффе- ренциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийли-нейной системы задается в виде(146.1)где s— колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический про- цесс,δ = const — коэффициент затухания, ω ω ω ω 0 — циклическая частота свобод-ных незатухающихколебаний той же колебательной системы, т. е. при δ = 0(при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотойколеба- тельной системы. Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде(1462)где u = u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим(146.3)Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомойвели чиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:(146.4)(если ( ω 2 - δ 2 ) > 0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получимуравнение типа (142.1) u & & + ω 2 u = 0 , решением которого является функция u =A 0 cjs( ω t + ? ) ( см . (140.1)). Таким образом , решение уравнения (146.1) в случаемалых затуханий ( δ 2 ? ω 2 0 )(146.5)где(146.6)350— амплитуда затухающих колебаний,а A 0 — начальная амплитуда. За-висимость (146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времениτ = 1/ δ , в течение которого ам-плитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем ре- лаксации.Рис. 208Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие ко-лебания не являются периодическими и» строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя после- дующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величи- ны (рис. 208). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы (146.4) равенЕсли А(T) и А(t + Т)— амплитуды двух последовательных колебании,соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношениеназывается декрементом затухания, а его логарифм(146.7)— логарифмическим декрементом затухания; N — число колебаний, совер-eшаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.Для характеристики колебательной системы пользуются понятием доб-ротности Q,которая при малых значениях логарифмического декремента равна351(146.8)(так как затухание мало ( δ 2 ? ω 2 0 ), то T принято равным Т 0 ).Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу ко-лебаний N e ,совершаемых системой за время релаксации.Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейныхсистем, применимы для колебаний различной физической природы — механи- ческих (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнит- ных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.Дляпружинного маятника (см. § 142) массой т,совершающего малые колебания под действием упругой силы F= - kx,сила трения пропорциональна скорости, т.е.где r — коэффициент сопротивления;знак минус указывает на противопо- ложные направления силы трения и скорости.При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид(146.9)Используя формулу ω = k m (см. (142.2)) и принимая, что коэффици-ент затухания(146.10)получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение зату- хающих колебаний маятника:Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчи-няются закону( )где частота ω = ω 2 0 − r 2 4 m 2 ( см . (146.4)).Добротность пружинного маятника , согласно (146.8) и (146.10),Q = km r .2.Свободные затухающие колебания в электрическом колебатель-ном контуре.Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийзаряда в контуре ( при R ≠ 0) имеет вид ( см . (143.2))352Учитывая выражение (143.4) и принимая коэффициент затухания(146.11)дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) видеИз выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда соверша-ются по законус частотой, согласно (146.4),(146.12) (146.13)меньшей собственной частоты контура ω 0 (см. (143.4)). При R = 0 формула(146.13) переходит в (143.4).Логарифмический декремент затухания определяется формулой (146.7), адобротность колебательного контура (см. (146.8))(146.14)В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания δпериод затухающих колебаний растет и при δ = ω 0 обращается в бесконечность,т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t→ ∞ . Процесс не будетколебательным. Он называется апериодическим.Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживатьколебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, при- чем свойства этих колебаний определяются самой системой.Автоколебания принципиальноотличаются от свободных незатухающихколебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колеба- ний (см. § 147), происходящих под действием периодической силы. Автоколе- бательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая со- гласованность поступления энергии определенными порциями в нужный мо- мент времени (в такт с ее колебаниями).Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповоймеханизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передавае- мая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и ор-353ганных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей.Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннегосгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т. д.• Что такое коэффициент затухания ? декремент затухания ? логарифмический декрементзатухания ?• В чем заключается физический смысл этих величин ?• При каких условиях наблюдается апериодическое движение ?• Что такое автоколебания ? В чем их отличие от вынужденных и свободных незатухающихколебаний ? Где они применяются ?§ 147. Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ( МЕХАНИЧЕСКИХИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ) И ЕГО РЕШЕНИЕЧтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие коле-бания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t),изменяющего по гармоническому закону:Если рассматривать механические колебания, то роль X(t)играет внеш-няя вынуждающая силаF=F 0 cos ω t. (147.1)С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запи-шется в видеmх = - kx – rx + F ? 0 cos ω t.Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению(147.2)Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t)играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармо- ническому закону э.д.с. или переменное напряжение(147.3)Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в видеИспользуя (143.4) и (146.11), придем к уравнению(147.4)Колебания, возникающие под действием внешней периодически изме-няющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются354соответственно вынужденными механическими и вынужденными электро- магнитными колебаниями.Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородномудифференциальному уравнению(147.5)применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F 0 /m,в случаеэлектромагнитных — U m /L).Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) одно-родного уравнения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Ча- стное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину(147.6)Частное решение этого уравнения будем искать в видеПодставляя выражение для sи его производных (s = i η s 0 e i η t , s? = - η 2 s 0 e i η t )в уравнение (147.6), получаем(147.7)Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментоввремени, то время tиз него должно исключаться. Отсюда следует, что η = ω .Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s и умножим ее числи-0тель и знаменатель наЭто комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:где(147.8) (147.9)Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет355видЕго вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна(147.10)где А и ? задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеетвид(147.11)Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородногоуравнения(147.12)(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет сущест- венную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колеба- ний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значе- ния, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынуж- денные колебания происходят с частотой со и являются гармоническими; ам- плитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят отω .Рис. 209Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных коле-баний, учитывая, что ω 2 0 = l/(LC) (см. (143.4)) и δ = R/(2L)(см. (146.11)):(147.13)Продифференцировав Q = Q m cos( ω t - α ) no t,найдем силу тока в контурепри установившихся колебаниях:356где(147.14) (147.15)Выражение (147.14) может быть записано в видегде ? = α - π /2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением(см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)(147.16)Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения ( ?> 0), если ω L > 1/( ω 0 С),и опережает напряжение ( ? < 0), если ω L < l( ω C).Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью вектор-ной диаграммы. Это сделано в § 149 для переменных токов.§ 148. А МПЛИТУДА И ФАЗА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ( МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ).Р ЕЗОНАНСРассмотрим зависимость амплитудыАвынужденных колебаний от час-тоты ω .Механические и электромагнитные колебания будем рассматриватьодновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х)колеб- лющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.Из формулы (147.8) следует, что амплитуда Асмещения (заряда) имеетмаксимум. Чтобы определить резонансную частоту ω рез — частоту, при кото-рой амплитуда Асмещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти мак- симум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выраже- ния. Продифференцировав подкоренное выражение поω и приравняв его нулю,получим условие, определяющее ωрезЭто равенство выполняется при ω = 0, ± ω 2 0 − 2 δ 2 ,у которых тольколишь положи тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резо- нансная частота(148.1)Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при357приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего перемен- ного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колеба- тельной системы, называется резонансом(соответственно механическимили электрическим).Приδ 2 ? ω 2 0 значение ω рез , практически совпадает с собст-венной частотой ω 0 колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу(147.8), получим(148.2)На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебанийот частоты при различных значениях δ .Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чемменьше δ ,тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если ω→ 0, товсе кривые (см. также (147.8)) достигают одного и того же, отличного от нуля, предельного значения x0 / ω 2 0 , которое называют статическим отклонением. Вслучае механических колебаний x / ω 2 = F /(m ω 2 ) в случае электромагнитных0 0 0 0— U m /(L ω 2 0 ).Если ω→∞ , то все кривые асимптотически стремятся к нулю.Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.Рис. 210Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании (δ 2 ? ω 2 0 ) резо-нансная амплитуда смещения (заряда)где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), x 0 / ω 2 0 — рассмот-ренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Qха- рактеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q,тем больше Арез .На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости(тока).358Рис. 211Амплитуда скорости (тока)максимальна при ω 2 0 = ω 0 и равна x 0 /(2 δ ), т. е. чем больше коэффициент зату-хания δ , ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2),(146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механиче- ском резонансе равнаа амплитуда тока при электрическом резонансеИз выражения tg ? = 2 δω /( ω 2 0 - ω 2 ) (см. (147.9)) следует, что если затуха-ние в системе отсутствует ( δ = 0), то тольков этом случае колебания и вынуж-дающая сила (приложенное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях? ≠ 0.Зависимость ? от ω при разных коэффициентах δ графически представ-лена на рис. 212, из которого следует, что при изменении ω изменяется и сдвигфаз ? .Из формулы (147.9) вытекает, что при ω = 0 ? = 0, а при ω = ω незави-0симо от значения коэффициента затухания ? = π /2, т. е. сила (напряжение) опе-режает по фазе колебания на π /2. При дальнейшем увеличении ω сдвиг фаз воз-растает и при ω ? ω ? → π ,т.е. фаза колебаний почти противоположна фазевнешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми.359Рис. 212Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Напри-мер, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволя- ет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с час- тотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акусти- ка, электротехника используют явление резонанса.§ 149. П ЕРЕМЕННЫЙ ТОКУстановившиеся вынужденные электромагнитные колебания (см. § 147)можно рас сматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный токможно счи- тать квазистационарным,т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазиста- ционарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирх- гофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи,содержащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам кото- рого приложено переменное напряжение(149.1)где U — амплитуда напряжения.m1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлениемR(L → 0, C → 0) (рис. 213, а). При выполнении условия квазистационарности токчерез резистор определяется законом Ома:360где амплитуда силы тока I m = U m /R.Рис. 213Для наглядного изображения соотношений между переменными токами инапряжениями воспользуемся методом векторных диаграмм.На рис. 213, б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока Im и напряжения U m нарезисторе (сдвиг фаз между I m и U m равен нулю).2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностьюL(R → 0,С → 0) (рис. 214, а).Рис. 214Если в цепи приложено переменное напряжение (149.1), то в ней потечетпеременный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции (см. (126.3))? s = − L dI dt . Тогда закон Ома (см. (100.3)) для рассматриваемого участка цепиимеет видоткуда(149.2)Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то361(149.3)есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, чтопосле интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим(149.4)где I = U /( ω L).Величинаm m(149.5)называется реактивным индуктивным сопротивлением(или индуктивным сопротивлением).Из выражения (149.5) вытекает, что для постоянного тока (ω= 0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подстановка значения U m= ω LI в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующему значениюmпадения напряжения на катушке индуктивности:(149.6)Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падениенапряжения U C опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на π /2, что ипоказано на векторной диаграмме (рис. 214, б).3.Переметни ток, текущий через конденсатор емкостью С(R → 0,L → 0) (рис. 215, а).Рис. 215Если переменное напряжение (149.1) приложено к конденсатору, то онвсе время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих прово- дов можно пренебречь, то362Сила тока(149.7)гдеВеличинаназывается реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопро- тивлением). Для постоянного тока (ω = 0) R →∞ , т.е. постоянный ток черезCконденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе(149.8)Сравнение выражений (149.7) и (149.8) приводит к выводу, что падениенапряжения U C отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на π /2.Это показано на векторной диаграмме (рис. 215, б).4.Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенныерезистор, катушку индуктивности и конденсатор. На рис. 216, апредставлен участок цепи, содержащий резистор сопротивлением R,катушку индуктивно- стью Lи конденсатор ем костью С, к концам которого приложено переменное напряжение (149.1).363В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементахцепи соответствующие падения напряжения U R , U L и U c .На рис. 216, бпред-ставлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (UR ), катушке (U L ) и конденсаторе (U C ). Амплитуда U m приложенного напряже-ния должна быть равна векторной сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б,угол? определяет разность фаз между напряжением исилой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (147.16))(149.9)Из прямоугольного треугольника получаемоткуда амплитуда силы тока имеет значение(149.10)совпадающее с (147.15).Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по законуU = U m cos ω t,то в цепи течет ток(149.11)где ? и I ш определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10).Величина(149.12)называется полным сопротивлением цепи, а величина- реактивным сопротивлением.Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. Вданном случае падения напряжений U R и U L всумме равны приложенному на-пряжению U.Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 217, из которого следует, что(149.13)Выражения (149.9) и (149.10) совпадают с (149.13), если в них 1/( ω С)=0,т. е. С = ∞ . Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С = ∞ , а неС = 0.Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой кон- денсатор отсутствует (расстояние между обкладками стремится к нулю, а ем- кость — к бесконечности; см. (94.3)).364Рис. 217§ 150. Р ЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙЕсли в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенныеконденсатор, катушку индуктивности и резистор (см. рис. 216),(150.1)то угол сдвига фаз между током и напряжением (149.9) обращается в нуль ( ? =0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (150.1) удовлетворяет частота(150.2)В данном случае полное сопротивление цепи Z (149.12) становится ми-нимальным, равным активному сопротивлению Rцепи, и ток в цепи определя- ется этим сопротивлением, принимая максимальные (возможные при данном Um )значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равновнешнему напряжению, приложенному к цепи (U R = U),а падения напряженийна конденсаторе (U C ) и катушке индуктивности (U L ) одинаковы по амплитуде ипротивоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений (по- следовательным резонансом), а частота (150.2) — резонансной частотой. Век- торная диаграмма для резонанса напряжений приведена на рис. 218, а зависи- мость амплитуды силы тока отω уже была дана на рис. 211.Рис. 218365В случае резонанса напряженийподставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напря- жений на катушке индуктивности и конденсаторе, получимгде Q — добротность контура, определяемая выражением (146.14). Так как добротность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряже- ние как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряже- ние, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений использует- ся в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонанса на конденсаторе можно получить на- пряжение с амплитудой QU(Qв данном случае — добротность контура, кото-mрая может быть значительно больше U ). Это усиление напряжения возможноmтолько для узкого интервала частот вблизи резонанс ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резо- нанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.§ 151. Р ЕЗОНАНС ТОКОВРассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включен-ные конденсатор емкостью Си катушку индуктивностью L (рис. 219).Рис. 219Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей на-столько мало, что им можно пренебречь. Если приложенное напряжение изме- няется по закону U = Um cos ω t (см. (149.1)), то, согласно формуле (149.11), в366амплитуда которого определяется из выражения (149.10) при условии R = 0 и L = 0:Начальная фаза ? 1 этого тока по формуле (149.9) определяется равенст-вом(151.1)Аналогично, сила тока в ветви 1L2амплитуда которого определяется из (149.10) при условии R = 0 и С = ∞ (усло-вие отсутствия емкости в цепи, см. § 149):Начальная фаза ? 2 этого тока (см. (149.9))(151.2)Из сравнения выражений (151.1) и (131.2) вытекает, что разность фаз то-ков в ветвях 1С2 и 1L2равна ? 1 - ? 2 = π ,т. е. токи в ветвях противоположны пофазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепиЕсли ω = ω рез = 1/ √ LC, то I m1 = I m2 и I m = 0. Явление резкого уменьшенияамплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты со прило- женного напряжения к резонанс ной частоте соре, называется резонансом то- ков (параллельным резонансом).В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений (см. § 150).Амплитуда силы тока I оказалась равна нулю потому, что активным со-mпротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R,то разность фаз? 1 - ? 2 не будет равна π ,поэтому при резонансе токов амплитуда силы токаI будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Такимmобразом, при резонансе токов во внешней цепи токи I 1 и I 2 компенсируются исила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обу- словленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I1 иI 2 могут значительно превышать силу тока I.Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменномутоку с частотой, близкой к резонансной. Поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно опреде- ленное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов ис- пользуется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вих- ревыми токами (см. § 125). В них емкость конденсатора, включенного парал- лельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора367получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.• Назовите характерные признаки резонанса напряжений , резонанса токов . Приведите графикирезонанса токов и напряжений .• Как вычислить мощность , выделяемую в цепи переменного тока ? Что называется коэффициен -том мощности ?§ 152. М ОЩНОСТЬ , ВЫДЕЛЯЕМАЯ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКАМгновенное значение мощности переменного тока равно произведениюмгновенных значений напряжения и силы тока:где U(t) = U m cos ω t, I(t) = I m cos( ω t - ? )(см. выражения (149.1) и (149.11)).Раскрыв cos( ω t - ? ),получимПрактический интерес представляет не мгновенное значение мощности, аее среднее значение за период колебания. Учитывая, что ⟨cos 2 ω t⟩ = 1/2, ⟨sin ω tcos ω t⟩ = 0, получим(152.1)Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U cos ? = RI .По-m mэтомуТакую же мощность развивает постоянный токВеличиныназываются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действую- щим значениям тока и напряжения.Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение среднеймощности (152.1) можно записать в виде(152.2)где множитель cos ? называется коэффициентом мощности.Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи перемен-ного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos? = l и Р = IU.Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R =3680), то cos ? = 0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни былиток и напряжение. Если cos ? имеет значения, существенно меньшие единицы,то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cos? , наи-меньшее допустимое значение которого для промышленных установок состав- ляет примерно 0,85.З АДАЧИ18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с час-тотой v=2 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое коор- динатой х0 =6см, со скоростью v 0 = 14 см/с. Определить амплитуду колебания.[6,1 см]18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж,а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фазаπ /3. [х= 0,04cos( π t + π /3)]18.3. При подвешивании грузов массами m 1 = 500 г и m 2 =400 г к свобод-ным пружинам последние удлинились одинаково ( ? l =15 см). Пренебрегая мас-сой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стер-жень длиной 25 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. [7,2 см]18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на ? l =16см, совершают за одно и то же время: один n = 10 колебаний, другой n —6 ко-1 2лебаний. Определить длины маятников l 1 и l 2 [l 1 ~9 см, l 2 =25 см]18.6. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков,равным 50, индуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2 нФ. Максималь- ное напряжение на обкладках конденсатора составляет 150 В. Определить мак- симальный магнитный поток, пронизывающий катушку. (0,3 мкВб]18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колеба-ний одинакового периода, равного 8 с, и одинаковой амплитуды 2 см составля- етπ /4. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения369( π t/4 + π /8)]18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях,происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = cosπ t и y = cos π t/2.Определить уравнение траектории точки ивычертить ее с нанесением масштаба. [2y 2 – x = 1]18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, ам-плитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286]18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн,конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Заряд на об- кладках конденсатора Qm = 1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2)логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,06; 3) U = 100е-20t cos 636 π t]18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Оми конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитуд- ным значением 110 В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряже- нием. [60°]18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной50 см и площадью поперечного сечения 10 см 2 , содержащая 3000 витков. Опре-делить активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное зна-чение напряжения равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость кото- рой 1 нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГц иконденсатор емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контуре неза- тухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. [100]370ГЛАВА 19УПРУГИЕ ВОЛНЫ§ 153. В ОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ . П РОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫКолебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкойили газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше рас- положена частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет коле- баться. Иначе говоря, фазы колебаний частиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это расстояние. При изучении распро- странения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение сре- дыи среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется вол-новым процессом (или волной). При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положении равновесия. Вместе с волной 6т частицы к частице среды передаются лишь состояние коле- бательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выде-ляются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами назы- ваются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Уп- ругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах части- цы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникаютупругие силы при деформации сжатия и растяжения,т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига,т. е. в твердых телах; в жид- костях и газах возникают только продольные волны,а в твердых телах— как продольные,так и поперечные.Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей ко-лебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 220 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью vвдоль оси х,т. е. приведена зависимость между смещениемξ частиц среды, участ-вующих в волновом процессе, и расстоянием хэтих частиц (например, частицы В)от источника колебаний Одля какого-то фиксированного момента времени t. Приведенный график функцииξ (х, t)похож на график гармонического колеба-371мент времени, а график колебаний — зависимость .смещения данной частицы от времени.Рис. 220Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинако-вой фазе, называется длиной волны Я (рис. 220). Длина волны равна тому рас- стоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.или, учитывая, что Т = 1/v, где v — частота колебаний,Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблютсяне только частицы, расположенные вдоль оси х,а колеблется совокупность час- тиц, расположенных в некотором объеме, т. е. волна, распространяясь от ис- точника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Гео- метрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени — один. Волновой фронт также является волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется пло- ской или сферической.§ 154. У РАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ . Ф АЗОВАЯ СКОРОСТЬ . В ОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕБегущими волнами называются волны, которые переносят в пространствеэнергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846—1915), решившего зада- чу о распространении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с372направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой вол- ной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпен- дикулярно направлению распространения волны.Для вывода уравнения бегущей волны — зависимости смещения колеб-лющейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну,пред- полагая, что колебания носят гармонический характер, а ось хсовпадает с на- правлением распространения волны (рис. 220). В данном случае волновые по- верхности перпендикулярны оси х,а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещениеξ будет зависеть только от х и t,т. е. ξ =ξ (x, t).На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу Всреды, находящуюся от ис-точника колебаний Она расстоянии х.Если колебания точек, лежащих в плос- кости x=Q,описываются функциейξ (0, t) = Acos ω t,то частица Всреды колеб-лется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от коле- баний источника на т, так как для прохождения волной расстояния хтребуется время t = x/v,где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение коле- баний частиц, лежащих в плоскости х,имеет вид(154.1)откуда следует, что ξ (х, t)является не только периодической функцией време-ни, но и периодической функцией координаты х.Уравнение (154.1) есть урав- нение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противополож- ном направлении, тоВ общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдольположительного направления оси хв среде, не поглощающейэнергию, имеет вид(154.2)где А =const — амплитуда волны, ω — циклическая частота, ? — началь-0ная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета хи t, [ω (t - x/v) + ? ]— фаза плоской волны.0Для характеристики волн используется волновое число(154.3)Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид(154.4)Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направле-ния оси х,отличается от (154.4) только знаком члена kx.Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны мож-но записать в виде373где физический смысл имеет лишь действительная часть (см. § 140). Предпо- ложим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.(154.5)Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на ω , получим dt − 1 dx = 0 , откудаv(154.6)Следовательно , скорость v распространения волны в уравнении (154.6)есть не что иное , как скорость перемещения фазы волны,и ее называют фазо -вой скоростью .Повторяя ход рассуждений для плоской волны , можно доказать , чтоуравнение сферической волны — волны , волновые поверхности которой имеютвид концентрических сфер , записывается как(154.7)где г — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды . В слу -чае сферической волны даже в среде , не поглощающейэнергию , амплитуда ко -лебаний не остается постоянной , а убывает с расстоянием по закону 1/ г . Урав -нение (154.7) справедливо лишь для г , значительно превышающих размеры ис -точника ( тогда источник колебаний можно считать точечным).Из выражения (154.3) вытекает , что фазовая скорость(154.8)Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты , то это явлениеназывают дисперсией волн , а среда , в которой наблюдается дисперсия волн , на -зывается диспергирующей средой .Распространение волн в однородной изотропнойсреде в общем случаеописывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в част -ных производныхили(154.9)∂ 2 ∂ 2 ∂ 2где v — фазовая скорость , ? = + + — оператор Лапласа . Решением∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2уравнения (154.9) является уравнение любой волны . Соответствующей подста -374новкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сферическая волна (см. (154.7)). Для плоской вол- ны, распространяющейся вдоль оси х,волновое уравнение имеет вид(154.10)• Что такое волновое число ? фазовая и групповая скорости ?• В чем заключается физический смысл вектора Умова ?• Какая волна является бегущей , гармонической , плоской , сферической ?• Каковы уравнения этих волн ?§ 155. П РИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ .Г РУППОВАЯ СКОРОСТЬЕсли среда, в которой распространяется одновременно несколько волн,линейна, т.е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создавае- мых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распростра- няется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смеще- ний, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье (см. (144.5)) лю-бая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т. е. в виде волнового пакета, или группы волн. Волновым пакетом называется супер- позиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в ка- ждый момент времени ограниченную область пространства.«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяю-щихся вдоль положительного направления оси хгармонических волн с одина- ковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем dω? ω и dk ? k. ТогдаЭта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитудаесть медленно изменяющаяся функция координаты хи времени t.За скорость распространения этой негармонической волны (волновогопакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рас-375сматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При усло- вии, что tdω = xdk = const,получим(155.1)Скорость иесть групповая скорость. Ее можно определить как скоростьдвижения группы волн, образующих в каждый момент времени локализован- ный в пространстве волновой пакет. Выражение (155.1) получено для волново- го пакета из двух составляющих, однако можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае.Рассмотрим связь между групповой u = d ω (см. (155.1)) и фазовой υdk= ω /k (см. (154.8)) скоростями. Учитывая, что k =2 π / λ (см. (154.3)), получим 288или(155.2)Из формулы (155.2) вытекает, что и может быть как меньше, так и боль-ше v в зависимости от знака dv/d λ . В недиспергирующей среде dv/d λ . = 0 игрупповая скорость совпадает с фазовой.Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигуриру-ет при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космиче- скими объектами и т. д. В теории относительности доказывается, что групповаяскорость u ≤ c, в то время как для фазовой скорости ограничений не существу -ет .§ 156. И НТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛНСогласованное протекание во времени и пространстве нескольких коле-бательных или волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волныназываются когерентными,если разность их фаз остается постоянной во времени. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту. При наложении в пространстве двух (или нескольких) ко- герентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление ре- зультирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждае-мых точечными источниками S 1 и S 2 (рис. 221), колеблющимися с одинаковымиамплитудой A и частотой ω и постоянной разностью фаз.0376Рис. 221Согласно (154.7),где r l и г 2 — расстояния от источников волн до рассматриваемой точки В,k— волновое число, ? и ? 2 — начальные фазы обеих накладывающихся сфе-1рических волн. Амплитуда результирующей волны в точке Впо (144.2) равнаТак как для когерентных источников разность начальных фаз ( ? 1 - ? 2 ) =const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от вели- чины? = г 1 – r 2 , называемой резвостью хода волн.В точках, где(156.1)наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего ко- лебания A = |A0 /r 1 + A 0 r 2 | . В точках, где(156.2)наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего ко- лебания A = |A/r - A r |; m = 0, I, 2, ..., называется соответственно порядком0 1 0 2интерференционного максимума или минимума.Условия (156.1) и (156.2) сводятся к тому, что(156.3)Выражение (156.3) представляет собой уравнение гиперболы с фокусамив точках S 1 и S 2 .Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблю-дается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет со- бой семейство гипербол (рис. 221), отвечающих условию? 1 - ? 2 = 0.Междудвумя интерференционными максимумами (на рис. 221 сплошные линии) нахо- дятся интерференционные минимумы (на рис. 221 штриховые линии).377§ 157. С ТОЯЧИЕ ВОЛНЫОсобым случаем интерференции являются стоячие волны — это волны,образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся на- встречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае попе- речных волн и одинаковой поляризацией.Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские вол-ны распространяются навстречу друг другу вдоль оси хв среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми амплитудами и частотами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда на- чальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х,и волны, рас- пространяющейся ей навстречу, будут иметь вид(157.1)Сложив эти уравнения и учитывая, что k = 2 π / λ (см. (154.3)), получимуравнение стоячей волны:Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этойволны прoисходят колебания той же частоты ω с амплитудой A = |2Аcos(2 π x/ λ )|,зависящей от координаты храссматриваемой точки.В точках среды, где(157.3)амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А.В точках среды, где(157.4)амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колеба- ний максимальна (АСT = 2А),называются пучностями стоячей волны,а точки,в которых амплитуда колебаний равна нулю (A ст = 0), называются узлами стоя-чей волны.Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.Из выражений (157.3) и (157.4) получим соответственно координаты пуч-ностей и узлов:(157.5) (157.6)Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя сосед-ними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны А/2. Расстоя- ние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно А/4.378В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания содинаковой амплитудой,но с запаздыванием по фазе(в уравнении (157.1) бе- гущей волны фаза колебаний зависит от координаты храссматриваемой точки), все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплиту- дами,но с одинаковыми фазами(в уравнении (157.2) стоячей волны аргумент косинуса не зависит от х).При переходе через узел множитель 2Аcos(2π х λ ) ме-няет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на тс, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофа- зе.Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и от-раженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отра- женная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение вол- ны, в данном случае возникает узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пуч- ность (рис. 222, а),если более плотная — узел (рис. 222, б).Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противопо- ложными фазами, в результате чего получается узел. Бели же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы коле- бания складываются с одинаковыми фазами — образуется пучность.Рис. 222Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распростране-ния переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет,так как падающая и отраженная волны одинаковой ам-379плитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэто- му полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узло- выми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных по- ловине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.§ 158. З ВУКОВЫЕ ВОЛНЫ Звуковыми(или акустическими) волнаминазываются распростра-няющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16—20 000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Волны с v < 16 Гц (ннфразвуковые)и v > 20 кГц (ультразвуковые)органами слуха человека не воспринимаются.Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными,так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как про- дольными, так и поперечными, так как твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (растяжения) и сдвига.Интенсивностыо звука(или силойзвука) называется величина, опреде-ляемая сред ней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению рас- пространения волны:Единица интенсивности звука в СИ — ватт на метр в квадрате(Вт/м 2 ).Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для то-го чтобы, вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой ми- нимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает определен- ный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существуют наименьшая (порот слы- шимости) инаибольшая (порог болевого ощущения)интенсивности звука, которые способны вызвать звуковое восприятие. На рис. 223 представлены за- висимости порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Об- ласть, расположенная между этими двумя кривыми, является областью слы- шимости.Рис. 223380Если интенсивность звука является величиной, объективно характери-зующей вол новой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсивностью, является громкость звука,зависящая от частоты. Со- гласно физиологическому закону Вебера — Фехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его ин- тенсивности:где I 0 — интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая длявсех звуков равной 10 -12 Вт/м 2 . Величина Lназывается уровнем интенсивно-сти звукаи выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими, — децибелами(дБ).Физиологической характеристикой звука является уровень громкости,который выражается в фонах(фон). Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного чистого тона) равна 1 фон, если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует «90 фон, а шепот на расстоянии 1 м —≈ 20 фон.Реальный звук является наложением гармонических колебаний с боль-шим набором частот, т. е. звук обладает акустическим спектром,который может быть сплошным(в некотором интервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым(присутствуют колебания отделенных друг от друга оп- ределенных частот).Звук характеризуется помимо громкости еще высотой и тембром. Высотазвука— качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зави- сящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится «выше». Характер акустического спектра и распределения энергии между определенными частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемое тембром звука.Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акустический спектр, т. е. их голоса имеют раз- личный тембр.Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой сре-де со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником зву- ка является струна, соединенная с корпусом инструмента).Совершая колебания, тело вызывает колебания прилегающих к нему час-тиц среды с такой же частотой. Состояние колебательного движения последо- вательно передается к все более удале

нным от тела частицам среды, т. е. в сре- де распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды. Скорость распространения звуковых волн в газах вычисляется по формуле(158.1)где R— молярная газовая постоянная, М— молярная масса, γ = C p /C v — отно-шение молярных теплоемкостсй газа при постоянных давлении и объеме, Т— термодинамическая температура. Из формулы (158.1) вытекает, что скорость381звука в газе не зависит от давления ргаза, но возрастает с повышением темпе- ратуры. Чем больше молярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при T = 273 К скорость звука в воздухе (M = 29⋅ 10 -3 кг/моль) v = 331м/с, в водороде (M = 2 ⋅ 10 -3 кг/моль) v = 1260 м/с. Выражение (158.1) соответст-вует опытным данным.При распространении звука в атмосфере необходимо учитывать целыйряд факторов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекулярную структуру газовой среды, явления преломления и отражения звука на границе двух сред. Кроме того, любая реальная среда обладает вязкостью, поэтому на- блюдается затухание звука, т. е. уменьшение его амплитуды и, следовательно, интенсивности звуковой волны по мере ее распространения. Затухание звука обусловлено в значительной мере его поглощением в среде, связанным с необ- ратимым переходом звуковой энергии в другие формы энергии (в основном в тепловую).Для акустики помещений большое значение имеет реверберации звука —процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выклю- чения его источника. Если помещения пустые, то происходит медленное зату- хание звука и создается «гулкость» помещения. Если звуки затухают быстро (при применении звукопоглощающих материалов), то они воспринимаются приглушенными. Время реверберации — это время, в течение которого интен- сивность звука в помещении ослабляется в миллионами, а его уровень — на 60 дБ. Помещение обладает хорошей акустикой, если время реверберации состав- ляет 0,5—1,5 с.§ 158. Э ФФЕКТ Д ОПЛЕРА В АКУСТИКЕЭффектом Доплера* называется изменение частоты колебаний, воспри-нимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) из- меняет частоту принимаемых коле-Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и при-емник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; «„„ и «щ,— соответст- венно скорости движения источника и приемника, причем они положительны, если источник (приемник) приближается к приемнику (источнику), и отрица- тельны, если удаляется. Частота колебаний источника равна v0 .1. Источник в приемник покоятся относительно среды,т. е. v ист = v пр =0.Если v— скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой сре- де, то длина волныλ = vT = υ /v 0 . Распространяясь в среде, волна достигнетприемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой* Х. Доплер (1803—1853) — австрийский физик, математик и астроном.382Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равначастоте v 0 , с которой звуковая волна излучается источником.2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится,т.е. v пр> 0, v ист = 0.В данном случае скорость распространения волны относительно прием-ника станет равной v + v пр . Так как длина волны при этом не меняется, тот. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (v + v пр )/vраз большечастоты колебаний источника.3. Источник приближается к приемнику, а приемник покоится,т.е.v ист >0, v пр = 0.Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, по-этому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние vT(равное длине волны А) не- зависимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источ- ник пройдет в направлении волны расстояние vист T (рис. 224), т. е. длина волныв направлении движения сократится и станет равной λ ' = λ - v ист Т =(v - v ист )T,тогдат. е. частота v колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v/(v - vист ) раз. В случаях 2 и 3, если v ист < 0и v пр < 0, знак будет обратным.Рис. 2244. Источник иприемник движутся относительно друг друга.Исполь-зуя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых приемником:(159.1)383причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависи-мости от того, движется ли источник или приемник. Если направления скоро- стей vпр , и v ист не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой,то вместо этих скоростей в формуле (159.1) надо брать их проекции на направ- ление этой прямой.§ 160. У ЛЬТРАЗВУК И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕПо своей природе ультразвук представляет собой упругие волны, и в этомон не отличается от звука (см. § 158). Однако ультразвук, обладая высокими частотами (v > 20 кГц) и, следовательно, малыми длинами волн, характеризует- ся особыми свойствами, что позволяет выделить его в отдельный класс явле- ний. Из-за малых длин волн ультразвуковые волны, как и свет, могут быть по- лучены в виде строго направленных пучков.Для генерации ультразвука используются в основном два явления. Обратный пьезоэлектрический эффект(см. также § 91) — это возник-новение деформации в вырезанной определенным образом кварцевой пластин- ке (в последнее время вместо кварца применяется титанат бария) под действием электрического поля. Если такую пластинку поместить в высокочастотное пе- ременное поле, то можно вызвать ее вынужденные колебания. При резонансе на собственной частоте пластинки получают большие амплитуды колебаний и, следовательно, большие интенсивности излучаемой ультразвуковой волны. Идея кварцевого ультразвукового генератора принадлежит французскому фи- зику П. Ланжевену (1872—1946).Магнитострикция— это возникновение деформации в ферромагнетикахпод действием магнитного поля. Поместив ферромагнитный стержень (напри- мер, из никеля или железа) в быстропеременное магнитное поле, возбуждают его механические колебания, амплитуда которых максимальна в случае резо- нанса.Ультразвуки широко используются в технике, например для направлен-ной подводной сигнализации, обнаружения подводных предметов и определе- ния глубин (гидролокатор, эхолот). Например, в эхолоте от пьезокварцевого ге- нератора, укрепленного на судне, посылаются направленные ультразвуковые сигналы, которые, достигнув дна, отражаются от него и возвращаются обратно. Зная скорость их распространения в воде и определяя время прохождения (от подачи до возвращения) ультразвукового сигнала, можно вычислить глубину. Прием эха также производится с помощью пьезокварца. Звуковые колебания, дойдя до пьезокварца, вызывают в нем упругие колебания, в результате чего на противоположных поверхностях кварца возникают электрические заряды, ко- торые измеряются.Если пропускать ультразвуковой сигнал через исследуемую деталь, томожно обнаружить в ней дефекты по характерному рассеянию пучка и по появ- лению ультра звуковой тени. На этом принципе создана целая отрасль техники384— ультразвуковая дефектоскопия, начало которой положено С. Я. Соколовым (1897—1957). Применение ультразвука легло также в основу новой области акустики — акустоэлектроники, позволяющей на ее основе разрабатывать при- боры для обработки сигнальной информации в микрорадиоэлектронике.Ультразвук применяют для воздействия на различные процессы (кри-сталлизацию, диффузию, тепло- и массообмен в металлургии и т. д.) и биологи- ческие объекты (повышение интенсивности процессов обмена и т. д.), для изу- чения физических свойств веществ (поглощения, структуры вещества и т. д.). Ультразвук используется также для механической обработки очень твердых и очень хрупких тел, в медицине (диагностика, ультразвуковая хирургия, микро- массаж тканей) и т. д.З АДАЧИ19.1. Плоская гармоническая волна распространяется вдоль прямой, сов-падающей с положительным направлением оси хв среде, не поглощающей энергию, со скоростью v = 12 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x1 = 7м и x 2 = 12 м от источника колебаний, колеблются с разно-стью фаз ?? = 5/6 π .Амплитуда волны А = 6 см. Определить: 1) длину волны λ ;2) уравнение волны; 3) смещение ξ 2 второй точки в момент времени t=3 с. [1) 12см; 2) ξ (х, t) = 0,06cos(2 π t - π х/6);3) 6 см]19.2. Два динамика расположены на расстоянии 2 м друг от друга и вос-производят один и тот же музыкальный тон на частоте 1000 Гц. Приемник на- ходится на расстоянии 4 м от центра динамиков. Принимая скорость звука 340 м/с, определить, на какое расстояние от центральной линии параллельно дина- микамнадо отодвинуть приемник, чтобы он зафиксировалпервый интерференционный минимум. [0,34 м]19.3. Для определения скорости звука в воздухе методом акустическогорезонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между соседними положениями поршня, при ко- тором наблюдается резонанс на частоте 1700 Гц. составляет 10 см. Определить скорость звука в воздухе. [340 м/с]19.4. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при не-которых условиях составляет 461 м/с. Определить скорость распространения звука при тех же условиях. [315 м/с]19.5. Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного прием-ника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частоты ? v=54Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определить частоту тона звуково- го сигнала гудка поезда. [611 Гц]385ГЛАВА 20ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ§ 161. Э КСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНСуществование электромагнитных вола— переменного электромаг-нитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью, — вытекает из уравнений Максвелла (см. § 139). Уравнения Максвелла сформули- рованы в 1865 г. на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Как уже указывалось, решающую роль для утверждения максвелловской теории сыграли опыты Герца (1888), доказавшие, что электри- ческие и магнитные поля действительно распространяются в виде волн, пове- дение которых полностью описывается уравнениями Максвелла.Источником электромагнитных волн в действительности может быть лю-бой электрический колебательный контур или проводник, по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменное электрическое поле (ток смещения) или соответственно переменное магнитное поле. Однако излучаю- щая способность источника определяется его формой, размерами и частотой колебаний. Чтобы излучение играло заметную роль, необходимо увеличить объем пространства, в котором переменное электромагнитное поле создается. Поэтому для получения электромагнитных волн непригодны закрытые колеба- тельные контуры, так как в них электрическое поле сосредоточено между об- кладками конденсатора, а магнитное — внутри катушки индуктивности.Герц в своих опытах, уменьшая число витков катушки и площадь пластинконденсатора, а также раздвигая их (рис. 225, а, 6),совершил переход от закры- того колебательного контура к открытому колебательному контуру (вибратору Герца), представляющему собой два стрежня, разделенных искровым проме- жутком (рис. 225, в).Рис. 225386Если в закрытом колебательном контуре переменное электрическое полесосредоточено внутри конденсатора (рис. 225, а),то в открытом оно заполняет окружающее контур пространство (рис. 255, в),что существенно повышает ин- тенсивность электромагнитного излучения. Колебания в такой системе поддер- живаются за счет источника э.д.с., подключенного к обкладкам конденсатора, а искровой промежуток применяется для того, чтобы увеличить разность потен- циалов, до которой первоначально заряжаются обкладки.Для возбуждения электромагнитных волн вибратор Герца Вподключалсяк индуктору И(рис. 226).Рис. 226Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробивного значе-ния, возникала искра, закорачивающая обе половины вибратора, и в нем возни- кали свободные затухающие колебания. При исчезновении искры контур раз- мыкался и колебания прекращались. Затем индуктор снова заряжал конденса- тор, возникала искра и в контуре опять наблюдались колебания и т. д. Для ре- гистрации электромагнитных волн Герц пользовался вторым вибратором, назы- ваемым резонатором Р,имеющим такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т. е. настроенным в резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора, то в его зазоре проскакивала электрическая искра.С помощью описанного вибратора Герц экспериментировал с электро-магнитными волнами, длина волны которых составляла примерно 3 м. П. Н. Лебедев, применяя миниатюрный вибратор из тонких платиновых стерженьков, получил миллиметровые электромагнитные волны с А=6 — 4 мм. Дальнейшее развитие методики эксперимента в этом направлении позволило в 1923 г. рос- сийскому физику А. А. Глаголевой-Аркадьевой (1884—1945) сконструировать массовый излучатель, в котором короткие электромагнитные волны, возбуж- даемые колебаниями электрических зарядов в атомах и молекулах, генерирова- лись с помощью искр, проскакиваемых между металлическими опилками, взвешенными в масле, Так были получены волны сλ от 50 мм до 80 мкм. Темсамым было доказано существование волн, перекрывающих интервал между радиоволнами и инфракрасным излучением.Недостатком вибраторов Герца и Лебедева и массового излучателя Гла-387хали и обладали малой мощностью. Для получения незатухающих колебаний необходимо создать автоколебательную систему (см. § 146), которая обеспечи- вала бы подачу энергии с частотой, равной частоте собственных колебаний контура. Поэтому в 20-х годах нашего столетия перешли к генерированию электромагнитных волн с помощью электронных ламп. Ламповые генераторы позволяют получать колебания заданной (практически любой) мощности и си- нусоидальной формы.Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (илидлин волн λ = c/v, где с— скорость электромагнитных волн в вакууме), отли-чаются друг от друга по способам их генерации и регистрации, а также по сво- им свойствам. Поэтому электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновское иγ -излучения (табл.5). Следуетотметить, что границы между различными видами электромагнитных волн до- вольно условны.Таблица 5Вид излучения Длина волны, м Частота волны, Гц Источник излученияРадиоволны 10 3 -10 -4 3 ⋅ 10 5 -3 ⋅ 10 12 Колебательный кон- тур Вибратор Герца Массовый излучатель Ламповый генераторСветовые волны: инфракрасное Лампы Лазеры Трубки РентгенаРадиоактивный рас- пад Ядерные процессы Космические процес- сы 5 6ние видимый свет ультрафиолетовое излу- чение Рентгеновское излуче- ние Гамма-излучение излуче- 8 ⋅ ⋅ 10 10 -7 -4 - 8 - 4 ⋅ ⋅ 10 10 -7 -7 3,75 ⋅ 10 ⋅ 11 10 – 3,75 14 - 3 ⋅ ⋅ 10 10 17 144 ⋅ 10 -7 – 10 -9 7,5 ⋅ 10 14 -3 ⋅ 10 172 l,5 ⋅ 10 I7 -5 10 19⋅ 10 -9 - 6 ⋅ 10 -12 >5-10< 6⋅ 10 -12 19§ 182. Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГ-НИТНОЙ ВОЛНЫКак уже указывалось (см. § 161), одним из важнейших следствий уравне-ний Максвелла (см. § 139) является существование электромагнитных волн. Можно показать, что для однороднойи изотропной среды вдали от зарядов и токов,создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удов- летворяют волновому уравнению типа (1S4.9):388(162.1) (162.2)— оператор Лапласа, v— фазовая скорость.Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описы-вает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электро- магнитных волн определяется выражением(162.3)где c = 1 ε 0 µ 0 , ε 0 и µ 0 — соответственно электрическая и магнитная постоян-ные, ε и µ — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.В вакууме (при ε =1 и µ = 1)скорость распространения электромагнитныхволн совпадает со скоростью с.Так как εµ > 1, то скорость распространенияэлектромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.При вычислении скорости распространения электромагнитного поля поформуле (162.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экс- периментальными данными, если учитывать зависимостьε и µ от частоты.Совпадение же размерного коэффициента в (162.3) со скоростью распростране- ния света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.Следствием теории Максвелла является поперечностъ электромагнитныхволн: векторы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей вол- ны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотогра- фия» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикуляр- ной вектору v скорости распространения волны, причем векторы Е, Н иУ обра-зуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 227), причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соот- ношением(162.4)Следовательно, Е и Нодновременно достигают максимума, одновремен-но обращаются в нуль и т. д.389Рис. 227Oт уравнений (162.1) и (162.2) можно перейти к уравнениям(162.5) (162.6)где соответственно индексы уи z при Е и Нподчеркивают лишь то, что векто- ры Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.Уравнениям (162.5) и (162.6) удовлетворяют, в частности, плоские моно-хроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной стро- го определенной частоты), описываемые уравнениями(162.7) (162.8)где Е 0 и Н 0 — соответственно амплитуды напряженностей электрического имагнитного полей волны, ω — круговая частота волны, k = ω /v— волновоечисло, ? — начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0.В уравне-ниях (162.7) и (162.8) ? одинаково, так как колебания электрического и магнит-ного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах.§ 163. Э НЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН .И МПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯВозможность обнаружения электромагнитных волн указывает на то, чтоони переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной вол- ны складывается из объемных плотностей wэл (см. (95.8)) и w м (см. (130.3))электрического и магнитного полей:390Учитывая выражение (162.4), получим, что плотности энергии электри-ческого и магнитного полей в каждый момент времени одинаковы, т. е. w 33 =w tl .ПоэтомуУмножив плотность энергии w на скорость vраспространения волны всреде (см. (162.3)), получим модуль плотности потока энергии:Так как векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направ-лением распространения волны правовинтовую систему, то направление векто- ра [ЕН] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора ра- вен ЕН.Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется векто- ром Умова — Пойнтинга:Вектор S направлен в сторону распространения электромагнитной вол-ны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за еди- ницу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (этиявления подтверждены опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление. Давление элек- тромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядочение двигаться и под- вергаются со стороны магнитного поля волны действию сил Лоренца. Однако значение этого давления ничтожно мало. Можно оценить, что при средней мощности солнечного излучения, приходящего на Землю, давление для абсо- лютно поглощающей поверхности составляет примерно 5 мкПа. В исключи- тельно тонких экспериментах, ставших классическими, П. Н. Лебедев в 1899 г. доказал существование светового давления на твердые тела, а в 1910 г. — на га- зы. Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов тео- рии Максвелла о том, что свет представляет собой электромагнитные волны.Существование давления электромагнитных волн приводит к выводу отом, что электромагнитному полю присущ механический импульс. Импульс электромагнитного полягде W— энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как р = mс(поле в вакууме распространяется со скоростью с), получим р = mс = W/c,откуда(163.1)Это соотношение между массой и энергией электромагнитного поля яв-391Таким образом, рассмотренные свойства электромагнитных волн, опре-деляемые теорией Максвелла, полностью подтверждаются опытами Герца, Ле- бедева и выводами специальной теории относительности, сыгравшими решаю- щую роль для подтверждения и быстрого признания этой теории.• Запишите волновое уравнение для векторов Е и Н переменного электромагнитного поля . Про -анализируйте его решения и объясните физический смысл .• Как определяется фазовая скорость электромагнитных волн ?• Как определить объемную плотность энергии в электромагнитной волне ?• В чем заключается физический смысл вектора Умова — Пойнтинга ? Чему он равен ?§ 164. И ЗЛУЧЕНИЕ ДИПОЛЯ .П РИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНПростейшим излучателем электромагнитных волн является электриче-ский диполь, электрический момент которого изменяется во времени по гармо- ническому законугде ро — амплитуда вектора р. Примером подобного диполя может служить система, состоящая из покоящегося положительного заряда +Qи отрицатель- ного заряда —Q,гармонически колеблющегося вдоль направления р с частотой со.Задача об излучении диполя имеет в теории излучающих систем важноезначение, так как всякую реальную излучающую систему (например, антенну) можно рассчитывать рассматривая излучение диполя. Кроме того, многие во- просы взаимодействия излучения с веществом можно объяснить на основе классической теории, рассматривая атомы как системы зарядов, в которых электроны совершают гармонические колебания около их положений равнове- сия.Характер электромагнитного поля диполя зависит от выбора рассматри-ваемой точки. Особый интерес представляет так называемая волновав зова ди- поля — точки пространства, отстоящие от диполя на расстояниях г,значитель- но превышающих длину волны (r ?λ ), — так как в ней картина электромаг-нитного поля диполя сильно упрощается. Это связано с тем, что в волновой зо- не диполя практически остаются только «отпочковавшиеся» от диполя, свобод- но распространяющиеся поля, в то время как поля, колеблющиеся вместе с ди- полем и имеющие более сложную структуру, сосредоточены в области расстоя- ний r≤ λЕсли волна распространяется в однородной изотропной среде, то времяпрохождения волны до точек, удаленных от диполя на расстояние r,одинаково. Поэтому во всех точках сферы, центр которой совпадает с диполем, фаза коле- баний одинакова, т. е. в волновой зоне волновой фронт будет сферическим и, следовательно, волна, излучаемая диполем, есть сферическая волна.392В каждой точке векторы Е и Н колеблются по закону cos( ω t—kr),ампли-туды этих векторов пропорциональны (1/г)sin θ (для вакуума), т. е. зависят отрасстояния rдо излучателя и угла θ между направлением радиуса-вектора иосью диполя. Отсюда следует, что интенсивность излучения диполя в волновой зоне(164.1)Зависимость (164.1) I от θ при заданном значении r,приводимая в поляр-ных координатах (рис. 228), называется диаграммой направленности излучения диполя. Как видно из выражения (164.1) и приведенной диаграммы, диполь сильнее всего излучает в направлениях, перпендикулярных его оси (θ = π /2).Вдоль своей оси ( θ = 0 и θ = π )диполь не излучает вообще. Диаграмма направ-ленности излучения диполя позволяет формировать излучение с определенны- ми характеристиками и используется при конструировании антенн.Рис. 228Впервые электромагнитные волны были использованы через семь лет по-сле опытов Герца. 7 мая 189S т. преподаватель физики офицерских минных классов А. С. Попов (1859—1906) на заседании Русского физико-химического общества продемонстрировал первый в мире радиоприемник, открывший воз- можность практического использования электромагнитных воли для беспрово- лочной связи, преобразившей жизнь человечества. Первая переданная в мире радиограмма содержала лишь два слова: «Генрих Герц». Изобретение радио Поповым сыграло огромную роль для распространения и развития теории Мак- свелла.Электромагнитные волны сантиметрового и миллиметрового диапазонов,встречая на своем пути преграды, отражаются от них. Это явление лежит в ос- нове радиолокации — обнаружения предметов (например, самолетов, кораблей и т. д.) на больших расстояниях и точного определения их положения. Помимо этого, методы радиолокации используются для наблюдения прохождения и об- разования облаков, движения метеоритов в верхних слоях атмосферы и т. д.Для электромагнитных волн характерно явление дифракции — огибанияволнами различных препятствий. Именно благодаря дифракции радиоволн воз- можна устойчивая радиосвязь между удаленными пунктами, разделенными393между собой выпуклостью Земли. Длинные волны (сотни и тысячи метров) применяются в фототелеграфии, короткие волны (несколько метров и меньше) применяются в телевидении для передачи изображений на небольшие расстоя- ния (немногим больше пределов прямой видимости). Электромагнитные волны используются также в радиогеодезии для очень точного определения расстоя- ний с помощью радиосигналов, в радиоастрономии для исследования радиоиз- лучения небесных тел и т. д. Полное описание применения электромагнитных волн дать практически невозможно, так как нет областей науки в техники, где бы они не использовались.З АДАЧИ20.1. Электромагнитная волна с частотой 4 МГц переходит из немагнит- ной среды с диэлектрической проницаемостьюε =3 в вакуум. Определить при-ращение ее длины волны. [31,7 м] 20.2. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, а другие индуктивно соединены с генератором электромагнитных колебаний, по- гружены в спирт. При соответствующем подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя узлами стоячих волн на проводах равно 0,5 м. Принимая диэлектрическую проницаемость спиртаε =26, а его магнитную проницаемость µ =1. определить частоту колебаний гене-ратора. [58,8 МГц] 20.3. В вакууме вдоль оси храспространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 18,8 В/м. Определить интенсивность волны, т. е. среднюю энергию, приходящуюся за единицу времени на единицу площади, расположенной перпендикулярно на- правлению распространения волны. [0.47 Вт/м2 ]394ОПТИКА.КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ ГЛАВА 21ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙИ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ§ 165. О СНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ОПТИКИ .П ОЛНОE ОТРАЖЕНИЕЕще до установления природы света были известны следующие основныезаконы оптики: закон прямолинейного распространения света в оптически од- нородной среде; закон независимости световых пучков (справедлив только в линейной оптике); закон отражения света; закон преломления света.Закон прямолинейного распространения света: свет в оптически одно-родной среде распространяется прямолинейно.Доказательством этого закона является наличие тени с резкими граница-ми от непрозрачных предметов при освещении их точечными источниками све- та (источники, размеры которых значительно меньше освещаемого предмета и расстояния до него). Тщательные эксперименты показали, однако, что этот за- кон нарушается, если свет проходит сквозь очень малые отверстия, причем от- клонение от прямолинейности распространения тем больше, чем меньше отвер- стия.Закон независимости световых пучков: эффект, производимый отдель-ным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (на- пример, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных све- товых пучков независимо.Если свет падает на границу раздела двух сред (двух прозрачных ве-ществ), то падающий луч I (рис. 229) разделяется на два — отраженный II и преломленный III,направления которых задаются законами отражения и пре- ломления.Рис. 229395Закон отражения: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающимлучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; угол i'1 , отражения равен углу i 1 падения:Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр,проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; от- ношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина посто- янная для данных сред:(165.1)где n 21 — относительный показатель преломления второй среды относи-тельно первой. Индексы в обозначениях углов i , i ′ , i указывают, в какой среде1 1 2(первой или второй) вдет луч.Относительный показатель преломления двух сред равен отношению ихабсолютных показателей преломления:(165.2)Абсолютным показателем преломления среды называется величина n,равная отношению скорости сэлектромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости vв cреде:(165.3)Сравнение с формулой (162.3) дает, что n = εµ , где ε и µ — соответст-венно электрическая и магнитная проницаемости среды. Учитывая (165.2), за- кон преломления (165.1) можно записать в виде(165.4)Из симметрии выражения (165.4) вытекает обратимость световых лучей.Если обратить луч III (рис. 229), заставив его падать на границу раздела под уг-лом i 2 , то преломленный луч в первой среде будет распространяться под угломi 1 т. е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I.Если свет распространяется из среды с большим показателем преломле-ния n 1 (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломленияn 2 (оптически менее плотную) (n 1 > n 2 ), например из стекла в воду, то, согласно(165.4),Отсюда следует, что преломленный луч удаляется от нормали и уголпреломления i 2 больше, чем угол падения i 1 (рис. 230, а ). С увеличением углападения увеличивается угол преломления (рис. 230, б , в ) до тех пор, пока принекотором угле падения (i 1 = i пр ,) угол преломления не окажется равным π /2.Угол i пр называется предельным углом. При углах падения i 1 > i пр весь падаю-396Рис. 230По мере приближения утла падения к предельному интенсивность пре-ломленного луча уменьшается, а отраженного — растет (рис. 230, а—в). Если i1= i пр , то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивностьотраженного равна интенсивности падающего (рис. 230, г). Таким образом, при углах падения в пределах от iпр , до π /2 луч не преломляется, а полностью отра-жается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы. Это явление называется полным отражением.Предельный угол i пр определим из формулы (165.4) при подстановке в нееi 2 = π /2.Тогда(165.5)Уравнение (165.5) удовлетворяет значениям угла i пр при n 2 ≤ n 1 . Следова-тельно, явление полного отражения имеет место только при падении света из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную.Явление полного отражения используется в призмах полного отражения.Показатель преломления стекла равен n ≈ 1,5, поэтому предельный угол дляграницы стекло — воздух равен i пр =arcsin(l/l,5) = 42°. Поэтому при падениисвета на границу стекло — воздух при i > 42° всегда будет иметь место полное отражение. На рис. 231, а—впоказаны призмы полного отражения, позволяю- щие: а) повернуть луч на 90°; б) повернуть изображение; в) обернуть лучи. Та- кие призмы применяются в оптических приборах (например, в биноклях, пери- скопах), а также в рефрактометрах,позволяющих определять показатели пре- ломления тел (по закону преломления, измеряя iпр , находим относительный по-казатель преломления двух сред, а также абсолютный показатель преломления одной из сред, если показатель преломления другой среды известен).Явление полного отражения используется также в световодах (свето-397ло мления. Свет, падающий на торец световода под углами, большими пре- дельного, претерпевает на поверхности раздела сердцевины и оболочки полное отражение и распространяется только по световедущей жиле.Рис. 231Таким образом, с помощью световодов можно как угодно искривлятьпуть светового пучка. Диаметр световедущих жил лежит в пределах от не- скольких микрометров до нескольких миллиметров. Для передачи изображе- ний, как правило, применяются многожильные световоды. Вопросы передачи световых волн и изображений изучаются в специальном разделе оптики — во- локонной оптике,возникшей в 50-е годы XX столетия. Световоды использу- ются в электронно-лучевых трубках, в электронно-счетных машинах, для коди- рования информации, в медицине (например, диагностика желудка), для целей интегральной оптики и т. д.§ 166. Т ОНКИЕ ЛИНЗЫ . И ЗОБРАЖЕНИЕ ПРЕДМЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЗРаздел оптики, в котором законы распространения света рассматриваютсяна основе представления о световых лучах, называется геометрической опти- кой. Под световыми лучами понимают нормальные к волновым поверхностям линии, вдоль которых распространяется поток световой энергии. Геометриче- ская оптика, оставаясь приближенным методом построения изображений в оп- тических системах, позволяет разобрать основные явления, связанные с прохо- ждением через них света, и является поэтому основой теории оптических при- боров.398Линзы представляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя по-верхностями (одна из них обычно сферическая, иногда цилиндрическая, а вто- рая — сферическая или плоская), преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изображения предметов. Материалом для линз служат стекло, кварц, кристаллы, пластмассы и т. п. По внешней форме (рис. 232) лин- зы делятся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые; 3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпуклые. По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие и рассеивающие.Рис. 232Линза называется тонкой, если ее толщина (расстояние между ограничи-вающими поверхностями) значительно меньше по сравнению с радиусами по- верхностей, ограничивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кри- визны поверхностей линзы, называется главной оптической осью. Для всякой линзы существует точка, называемая оптическим центром линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь нее не преломляясь. Оптический центр Олинзы для простоты будем считать совпадающим с геометрическим центром средней части линзы (это справедливо только для двояковыпуклой и двояковогнутой линз с одинаковыми радиусами кривизны обеих поверхностей; для плосковыпуклых и плосковогну- тых линз оптический центр Олежит на пересечении главной оптической оси со сферической поверхностью).Для вывода формулы тонкой линзы — соотношения, связывающего ра-диусы кривизны R 1 и R 2 поверхностей линзы с расстояниями аи bот линзы допредмета и его изображения, — воспользуемся принципом Ферма * , или прин-ципом наименьшего времени: действительный путь распространения света (траектория светового луча) есть путь, для прохождения которого свету требу- ется минимальное время по сравнению с любым другим мыслимым путем меж- ду теми же точками.Рассмотрим два световых луча (рис. 233) — луч, соединяющий точки АиВ(луч ЛОВ),и луч, проходящий через край линзы (луч АСВ),— воспользовав- шись условием равенства времени прохождения света вдоль АО Ви АСВ.Вре- мя прохождения света вдоль АОВ* П. Ферма (1601—-1665) — французский математик и физик.399где N = n/n 1 — относительный показатель преломления (n и n1— соответст-венно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Вре- мя прохождения света вдоль АСВравноТак как t = t , то1 2(166.1)Рис. 233Рассмотрим параксиальные (приосевые) лучи,т. е. лучи, образующиес оптической осью малые углы. Только при использовании параксиальных лу- чей получается стигматическое изображение,т. е. все лучи параксиального пучка, исходящего из точки А,пересекают оптическую ось в одной и той же точке В.Тогда h ? (a+e), h ? (b+d)иАналогично,Подставив найденные выражения в (166.1), получим(166.2)400Для тонкой линзы е ? аи d ? b,поэтому (166.2) можно представить ввидеУчитывая, чтоe = R 2 − R 2 2 − h 2 = R 2 − R 2 1 − h 2 R 2 2 = R 2 − R 2 ? ? ? 1 − 1 2 ( h R 2 ) 2 ? ? ? = h 2 ( ) 2 R 2и соответственно d = h 2 /(2R ), получим1(166.3)Выражение (166.3) представляет собой формулу тонкой линзы . Радиускривизны выпуклой поверхности линзы считается положительным , вогнутой —отрицательным . Если α = ∞ , т . е . лучи падают на линзу параллельным пучком( рис . 234, а ), тоРис . 234Соответствующее этому случаю расстояние b = OF = f называется фо -кусным расстоянием линзы , определяемым по формулеОно зависит от относительного показателя преломления и радиусов кри -визны .401Если b = ∞ , т. е. изображение находится в бесконечности и, следователь-но, лучи выходят из линзы параллельным пучком (рис. 234, 6),то a = OF = f. Таким образом, фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон оди- наковой средой, равны. Точки F,лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называются фокусами линзы. Фокус — это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.Величина(166.4)называется оптической силой линзы. Ее единица — диоптрия (дптр). Диоп- трия — оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м: 1 дптр= 1/м.Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, с от-рицательной — рассеивающими. Плоскости, проходящие через фокусы линзы перпендикулярно ее главной оптической оси, называются фокальными плоско- стями. В отличие от собирающей рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лу- чей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси (рис. 235).Рис. 235Учитывая (166.4), формулу линзы (166.3) можно записать в видеДля рассеивающей линзы расстояния/и bнадо считать отрицательными.Построение изображения предмета в линзах осуществляется с помощьюследующих лучей:1) луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющегосвоего направления;2) луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломле-402зы;3) луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы;после преломления в ней он выходит из линзы параллельно ее главной оптиче- ской оси.Для примера приведены построения изображений в собирающей (рис.236) и в рассеивающей (рис. 237) линзах: действительное (рис. 236, а)и мнимое (рис. 236, б)изображения — в собирающей линзе, мнимое — в рассеивающей.Рис. 236Рис. 237Отношение линейных размеров изображения и предмета называется ли-403решения различных научных и технических задач.§ 167. А БЕРРАЦИИ ( ПОГРЕШНОСТИ ) ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМРассматривая прохождение света через тонкие линзы, мы ограничивалисьпараксиальными лучами (см. § 166). Показатель преломления материала линзы считали не зависящим от длины волны падающего света, а падающий свет — монохроматическим. Так как в реальных оптических системах эти условия не выполняются, то в них возникают искажения изображения, называемые абер- рациями (или погрешностями).1. Сферическая аберрация. Если расходящийся пучок света падает налинзу, то араксиальные лучи после преломления пересекаются в точке S'(на расстоянии OS'от оптического центра линзы), а лучи, более удаленные от оп- тической оси, — в точке S",ближе к линзе (рис. 238). В результате изображение светящейся точки на экране, перпендикулярном оптической оси, будет в виде расплывчатого пятна. Этот вид погрешности, связанный со сферичностью пре- ломляющих поверхностей, называется сферической аберрацией. Количествен- ной мерой сферической аберрации является отрезокδ = OS" - OS'.Применяядиафрагмы (ограничиваясь параксиальными лучами), можно сферическую аберрацию уменьшить, однако при этом уменьшается светосила линзы. Сфери- ческую аберрацию можно практически устранить, составляя системы из соби- рающих (δ < 0) и рассеивающих ( δ > 0) линз. Сферическая аберрация являетсячастным случаем астигматизма.Рис. 2382. Кома. Если через оптическую систему проходит широкий пучок от све-тящейся точки, расположенной не на оптической оси, то получаемое изображе- ние этой точки будет в виде освещенного пятнышка, напоминающего кометный хвост. Такая погрешность называется поэтому комой. Устранение комы произ- водится теми же приемами, что и сферической аберрации.3. Днсторсня. Погрешность, при которой при больших углах падения лу-чей на линзу линейное увеличение для точек предмета, находящихся на разных расстояниях от главной оптической оси, несколько различается, называется дисторсией. В результате нарушается геометрическое подобие между предме- том (прямоугольная сетка, рис. 239, а) и его изображением (рис. 239, б— по-404душкообразная дисторсия, рис. 239, в— бочкообразная дисторсия). Дисторсия особенно опасна в тех случаях, когда оптические системы применяются для съемок, например при аэрофотосъемке, в микроскопии и т. д. Дисторсию ис- правляют соответствующим подбором составляющих частей оптической сис- темы. Рис. 2394. Хроматическая аберрация. До сих пор мы предполагали, что коэффи-циенты преломления оптической системы постоянны. Однако это утверждение справедливо лишь для освещения оптической системы монохроматическим светом (λ = const); при сложном составе света необходимо учитывать зависи-мость коэффициента преломления вещества линзы (и окружающей среды, если это не воздух) от длины волны (явление дисперсии). При падении на оптиче- скую систему белого света отдельные составляющие его монохроматические лучи фокусируются в разных точках (наибольшее фокусное расстояние имеют красные лучи, наименьшее — фиолетовые), поэтому изображение размыто и по краям окрашено. Это явление называется хроматической аберрацией. Так как разные сорта стекол обладают различной дисперсией, то, комбинируя соби- рающие и рассеивающие линзы из различных стекол, можно совместить фоку- сы двух (ахроматы) и трех (апохроматы) различных цветов, устранив тем са- мым хроматическую аберрацию. Системы, исправленные на сферическую и хроматическую аберрации, называются апланатами.5. Астигматизм. Погрешность, обусловленная неодинаковостью кривиз-ны оптической поверхности в разных плоскостях сечения падающего на нее светового пучка, называется астигматизмом. Так, изображение точки, удален- ной от главной оптической оси, наблюдается на экране в виде расплывчатого пятна эллиптической формы. Это пятно в зависимости от расстояния экрана до оптического центра линзы вырождается либо в вертикальную, либо в горизон- тальную прямую. Астигматизм исправляется подбором радиусов кривизны преломляющих поверхностей и их фокусных расстояний. Системы, исправлен- ные на сферическую и хроматическую аберрации и астигматизм, называются анастигматами.Устранение аберраций возможно лишь подбором специально рассчитан-ных сложных оптических систем. Одновременное исправление всех погрешно- стей — задача крайне сложная, а иногда даже неразрешимая. Поэтому обычно устраняются полностью лишь те погрешности, которые в том или ином случае особенно вредны.405§ 168. О СНОВНЫЕ ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЕДИНИЦЫФотометрия — раздел оптики, занимающийся вопросами измерения ин-тенсивности света и его источников. В фотометрии используются следующие величины:1) энергетические — характеризуют энергетические параметры оптиче-ского излучения безотносительно к его действию на приемники излучения;2) световые — характеризуют физиологические действия света и оцени-ваются по воздействию на глаз (исходят из так называемой средней чувстви- тельности глаза) или другие приемники излучения.1. Энергетические величины. Поток излучения Ф е — величина, равнаяотношению энергии Wизлучения ко времени t, за которое излучение произош- ло:Единица потока излучения — ватт (Вт). Энергетическая светимость (нзлучательность) Re , — величина, равнаяотношению потока излучения Ф e испускаемого поверхностью, к площади Sсе-чения, сквозь которое этот поток проходит:т. е. представляет собой поверхностную плотность потока излучения.Единица энергетической светимости — ватт на метр в квадрате (Вт/м 2 ).Энергетическая сила света (сила излучения) I определяется спомо-eщью понятия о точечном источнике света — источнике, размерами которого по сравнению с расстоянием до места наблюдения можно пренебречь. Энергети- ческая сила света 1е — величина, равная отношению потока излучения Ф, ис-точника к телесному углу со,в пределах которого это излучение распространя- ется:Единица энергетической силы света — ватт на стерадиан(Вт/ср). Энергетическая яркость (лучистость)Вe , —величина, равная отноше-нию энергетической силы света ? I e элемента излучающей поверхности к пло-щади ? S проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную направле-нию наблюдения:Единица энергетической яркости — ватт на стерадиан-метр в квадрате(Вт/(ср ⋅ м 2 )).Энергетическая освещенность (облученность)Е е характеризует вели-чину потока из лучения, падающего на единицу освещаемой поверхности. Еди- ница энергетической освещенности совпадает с единицей энергетической све-406тимости (Вт/м 2 ).2. Световые величины.При оптических измерениях используются раз-личные приемники излучения (например, глаз, фотоэлементы, фотоумножите- ли), которые не обладают одинаковой чувствительностью к энергии различных длин волн, являясь, таким образом, селективными (избирательными).Каж- дый приемник излучения характеризуется своей кривой чувствительности к свету различных длин волн. Поэтому световые измерения, являясь субъектив- ными, отличаются от объективных, энергетических и для них вводятся свето- вые единицы, используемые только для видимого света. Основной световой единицейв СИ является единица силы света — кандела(кд), определение ко- торой дано выше (см. Введение). Определение световых единиц аналогично энергетическим.Световой потокФ определяется как мощность оптического излучения повызываемому им световому ощущению (по его действию на селективный при- емник света с заданной спектральной чувствительностью).Единица светового потока — люмен(лм): 1 лм — световой поток, испус-каемый точечным источником силой света в 1 кд внутри телесного угла в 1 ср (при равномерности поля излучения внутри телесного угла) (1 лм = 1 кд-ср).СветимостьRопределяется соотношениемЕдиница светимости — люмен на метр в квадрате(лм/м 2 ).ЯркостьB v светящейся поверхности в некотором направлении ? есть ве-личина, равная отношению силы света I в этом направлении к площади Sпро- екции светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную данному на- правлению:Единица яркости — кандела на метр в квадрате(кд/м 2 ).Единица освещенности — люкс(лк): 1 лк — освещенность поверхности,на 1 м 2 которой падает световой поток в 1 лм (1 лм = 1 лм/м 2 ).ОсвещенностьЕ— величина, равная отношению светового потока Ф,падающего на поверхность, к площади Sэтой поверхности:§ 169. Э ЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИОбласть физики и техники, в которой изучаются вопросы формирования,фокусировки и отклонения пучков заряженных частиц и получения с их помо- щью изображений под действием электрических в магнитных полей в вакууме, называется электронной оптикой. Комбинируя различные электронно- оптические элементы — электронные линзы, зеркала, призмы, — создают элек- тронно-оптические приборы, например электрон но-лучевую трубку, электрон- ный микроскоп, электронно-оптический преобразователь.407электрических и магнитных полей которых формируются и фокусируются пуч- ки заряженных частиц. Существуют электростатические и магнитные линзы. В качестве электростатической линзы может быть использовано электрическое поле с вогнутыми и выпуклыми эквипотенциальными поверхностями, напри- мер в системах металлических электродов и диафрагм, обладающих осевой симметрией. На рис. 240 изображена простейшая собирающая электростатиче- ская линза, где А— точка предмета, В— ее изображение, пунктиром изобра- жены линии напряженности поля.Рис. 240Магнитная линза обычно представляет собой соленоид с сильным маг-нитным полем, коаксиальным пучку электронов. Чтобы магнитное поле скон- центрировать на оси симметрии, соленоид помещают в железный кожух с уз- ким внутренним кольцевым разрезом.Если расходящийся пучок заряженных частиц попадает в однородноемагнитное поле, направленное вдоль оси пучка, то скорость каждой частицы можно разложить на два компонента: поперечный и продольный. Первый из них определяет равномерное движение по окружности в плоскости, перпенди- кулярной направлению поля (см. § 115), второй—равномерное прямолинейное движение вдоль поля. Результирующее движение частицы будет происходить по спирали, ось которой совпадает с направлением поля. Для электронов, ис- пускаемых под различными углами, нормальные составляющие скоростей бу- дут различны, т. е. будут различны и радиусы описываемых ими спиралей. Од- нако отношение нормальных составляющих скорости к радиусам спиралей за период вращения (см. § 115) будет для всех электронов одинаково; следова- тельно, через один оборот все электроны сфокусируются в одной и той же точ- ке на оси магнитной линзы.«Преломление» электростатических и магнитных линз зависит от их фо-408разбросе скоростей электронов в пучке наблюдается также и хрома тическая аберрация. Аберрации ухудшают разрешающую способность и качество изо- бражения, а поэтому в каждом конкретном случае необходимо их устранять.2.Электронный микроскоп — устройство, предназначенное для получе-ния изображения микрообъектов; в нем в отличие от оптического микроскопа вместо световых лучей используют ускоренные до больших энергий (30—100 кэВ и более) в условиях глубокого вакуума (примерно 0,1 мПа) электронные пучки, а вместо обычных линз — электронные линзы. В электронных микро- скопах предметы рассматриваются либо в проходящем, либо в отраженном по- токе электронов, поэтому различают просвечивающие и отражательные элек- тронные микроскопы.На рис. 241 приведена принципиальная схема просвечивающего элек-тронного микроскопа. Электронный пучок, формируемый электронной пушкой 1, попадает в область действия конденсорной линзы2,которая фокусирует на объекте 3электронный пучок необходимого сечения и интенсивности. Пройдя объект и испытав в нем отклонения, электроны проходят вторую магнитную линзу — объектив4— исобираются ею в промежуточное изображение 5. За- тем с помощью проекционной линзы6на флуоресцирующем экране достига- ется окончательное изображение 7.Рис. 241Разрешающая способность электронного микроскопа ограничивается, содной стороны, волновыми свойствами (дифракцией) электронов, с другой — аберрациями электронных линз. Согласно теории, разрешающая способность микроскопа пропорциональна длине волны, а так как длина волны применяе- мых электронных пучков (примерно 1 им) в тысячи раз меньше длины волны световых лучей, то разрешение электронных микроскопов соответственно409больше и составляет 0,01 — 0,0001 мкм (для оптических микроскопов прибли- зительно равно 0,2 — 0,3 мкм). С помощью электронных микроскопов можно добиться значительно больших увеличений (до 106 раз), что позволяет наблю-дать детали структур размерами 0,1 нм.4. Электронно-оптическийпреобразователь — это устройство, предна-значенное для усиления яркости светового изображения и преобразования не- видимого глазом изображения объекта (например, в инфракрасных или ультра- фиолетовых лучах) в видимое. Схема простейшего электронно-оптического преобразователя приведена на рис. 242. Изображение предмета Аспомощью оптической линзы 1 проецируется на фото катод 2. Излучение от объекта вызы- вает с поверхности фотокатода фотоэлектронную эмиссию, пропорциональную распределению яркости спроецированного на него изображения. Фотоэлектро- ны, ускоренные электрическим полем (3— ускоряющий электрод), фокусиру- ются с помощью электронной линзы 4на флуоресцирующий экран 5, где элек- тронное изображение преобразуется в световое (получается окончательное изо- бражение А").Электронная часть преобразователя находится в высоковакуум- ном сосуде 6.Рис. 242Из оптики известно, что всякое увеличение изображения связано суменьшением его освещенности. Достоинство электронно-оптических преобра- зователей заключается в том, что в них можно получить увеличенное изобра- жение А"даже большей освещенности, чем сам предмет А,так как освещен- ность определяется энергией электронов, создающих изображение на флуорес- цирующем экране. Разрешающая способность каскадных (нескольких последо- вательно соединенных) электронно-оптических преобразователей составляет 25—60 штрихов на 1 мм. Коэффициент преобразования — от ношение излу- чаемого экраном светового потока к потоку, падающему от объекта на фотока- тод, —- у каскадных электронно-оптических преобразователей достигает « 10*. Недостаток этих приборов — малая разрешающая способность и довольно вы- сокий темновой фон, что влияет на качество изображения.З АДАЧИ21.1. На плоскопараллельную стеклянную пластинку (n = 1,5) толщиной 6см падает под углом 35° луч света. Определить боковое смещение луча, про- шедшего сквозь эту пластинку. [1,41 см]41021.2. Необходимо изготовить плосковыпуклую линзу с оптической силой6 дптр. Определить радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если пока- затель преломления материала линзы равен 1,6. [10 см]21.3. Определить, на какую высоту необходимо повесить лампочку мощ-ностью 300 Вт, чтобы освещенность расположенной под ней доски была равна 50 лк. Наклон доски составляет 35°, а световая отдача лампочки равна 15 лм/Вт. Принять, что полный световой поток, испускаемый изотропным точечным ис- точником света, Ф411ГЛАВА 22ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА§ 170. Р АЗВИТИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ СВЕТАОсновные законы оптики известны еще с древних веков. Так, Платон (430г. до н. э.) установил закон прямолинейного распространения и закон отраже- ния света. Аристотель (350 г. до н. э.) и Птоломей изучали преломление света. Первые представления о природе света возникли у древних греков и египтян, которые в дальнейшем, по мере изобретения и усовершенствования различных оптических инструментов, например параболических зеркал (XIII в.), фотоап- парата и микроскопа (XVI в.), зрительной трубы (XVII в.), развивались и трансформировались. В конце XVII в. на основе многовекового опыта и разви- тия представлений о свете возникли две теории света: корпускулярная (И. Нью- тон) и волновая (Р. Гук и X. Гюйгенс).Согласно корпускулярной теории (теории истечения), свет представляетсобой поток частиц (корпускул), испускаемых светящимися телами и летящих по прямолинейным траекториям. Движение световых корпускул Ньютон под- чинил сформулированным им законам механики. Так, отражение света понима- лось аналогично отражению упругого шарика при ударе о плоскость, где также соблюдается закон равенства углов падения и отражения. Преломление света Ньютон объяснял притяжением корпускул преломляющей средой, в результате чего скорость корпускул меняется при переходе из одной среды в другую. Из теории Ньютона следовало постоянство синуса угла падения i1 , к синусу углапреломления i 2 :(170.1)где с — скорость распространения света в вакууме, v— скорость распростра- нения света в среде. Так как n в среде всегда больше единицы, то, по теории Ньютона,v >с, т. е. скорость распространения света в среде должна быть все- гда больше скорости его распространения в вакууме.Согласно волновой теории, развитой на основе аналогии оптических иакустических явлений, свет представляет собой упругую волну, распростра- няющуюся в особой среде — эфире. Эфир заполняет все мировое пространство, пронизывает все тела и обладает механическими свойствами — упругостью и плотностью. Согласно Гюйгенсу, большая скорость распространения света обу- словлена особыми свойствами эфира.Волновая теория основывается на принципе Гюйгенса:каждая точка, докоторой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени. Напом- ним, что волновым фронтом называется геометрическое место точек, до кото- рых доходят колебания к моменту времени t.Принцип Гюйгенса позволяет412анализировать распространение света и вывести законы отражения и преломле- ния.Выведем законы отражения и преломления света, исходя из принципаГюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред падает плоская волна (фронт волны — плоскость AS),распространяющаяся вдоль направления I (рис. 243). Когда фронт волны достигнет отражающей поверхности в точке А,эта точка начнет излучать вторичную волну. Для прохождения волной расстояния ВС требуется время? t = BC/v.За это же время фронт вторичной волны достигнетточек полусферы, радиус ADкоторой равен v ? t = BC.Положение фронта отра-женной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC,а направление распространения этой волны — лучом II. Из равенства треугольников ABCи ADCвытекает закон отражения: угол от- ражения i′ 1 равен углу падения i 1 .Рис. 243Для вывода закона преломления предположим, что плоская волна (фронтволны — плоскость AS),распространяющаяся в вакууме вдоль направления /со скоростью света с, падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна v(рис. 244).Рис. 244Пусть время прохождения волной пути ВСравно? t. Тогда BС = с ? t. За413это же время фронт волны, возбуждаемый точкой Ав среде со скоростью v, достигнет точек полусферы, радиус которой AD = v? t.Положение фронта пре-ломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйген- са задается плоскостью DC, а направление ее распространения — лучом III. Из рис. 244 следует, что AC = BC/sin i= AD/sin i ,т. е. c ? t/sin i = v ? t/sin i , откуда1 1 1 2(170.2)Сравнивая выражения (170.2) и (170.1), видим, что волновая теория при-водит к выводу, отличному от вывода теории Ньютона. По теории Гюйгенса,v < c,т. е. скорость распространения света в среде должна быть всегда меньше скорости его распространения в вакууме.Таким образом, к началу XVIII в. существовало два противоположныхподхода к объяснению природы света: корпускулярная теория Ньютона и вол- новая теория Гюйгенса. Обе эти теории объясняли прямолинейное распростра- нение света, законы отражения и преломления. XVIII век стал веком борьбы этих теорий. Экспериментальное доказательство справедливости волновой тео- рии было получено в 18S1 г., когда Э. Фуко (и независимо от него А. Физо) из- мерил скорость распространения света в воде и получил значение, соответст- вующее формуле (170.2). К началу XIX столетия корпускулярная теория была полностью отвергнута и восторжествовала волновая теория. Большая заслуга в этом отношении принадлежит английскому физику Т. Юнгу, исследовавшему явления дифракции и интерференции, и французскому физику О. Френелю (1788—1827), дополнившему принцип Гюйгенса и объяснившему эти явления.Несмотря на признание волновой теории, она обладала целым рядом не-достатков. Например, явления интерференции, дифракции и поляризации могли быть объяснены только в том случае, если световые волны считать поперечны- ми. С другой стороны, если световые волны — поперечные, то их носитель — эфир — должен обладать свойствами твердых тел. Попытка же наделить эфир свойствами твердого тела успеха не имела, так как эфир не оказывает заметного воздействия на движущиеся в нем тела. Далее эксперименты показали, что ско- рость распространения света в разных средах различна, поэтому эфир должен обладать в разных средах различными свойствами. Теория Гюйгенса не могла объяснить также физической природы наличия разных цветов.Наука о свете накапливала экспериментальные данные, свидетельствую-щие о взаимосвязи световых, электрических и магнитных явлений, что позво- лило Максвеллу в 70-х годах прошлого столетия создать электромагнитную теорию света (см. § 139). Согласно электромагнитной теории Максвелла (см. (162.3)),где с и v — соответственно скорости распространения света в вакууме и всреде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ .414света, поэтому электромагнитная теория не могла объяснить явление дисперсии (зависимость показателя преломления от длины волны). Эта трудность была преодолена в конце XIX в. Лоренцем, предложившим электронную теорию, со- гласно которой диэлектрическая проницаемость е зависит от длины волны па- дающего света. Теория Лоренца ввела представление об электронах, колеблю- щихся внутри атома, в позволила объяснить явления испускания и поглощения света веществом.Несмотря на огромные успехи электромагнитной теории Максвелла иэлектронной теории Лоренца, они были несколько противоречивы и при их применении встречался ряд затруднений. Обе теории основывались на гипотезе об эфире, только «упругий эфир» был заменен «эфиром электромагнитным» (теория Максвелла) или «неподвижным эфиром» (теория Лоренца). Теория Максвелла не смогла объяснить процессов испускания и поглощения света, фо- тоэлектрического эффекта, комптоновского рассеяния и т. д. Теория Лоренца, в свою очередь, не смогла объяснить многие явления, связанные с взаимодейст- вием света с веществом, в частности вопрос о распределении энергии по дли- нам волн при тепловом излучении черного тела.Перечисленные затруднения и противоречия были преодолены благодарясмелой гипотезе (1900) немецкого физика М. Планка (1858—1947), согласно которой излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а дискрет- но, т. е. определенными порциями (квантами), энергия которых определяется частотой v:(170.3)где h— постоянная Планка.Теория Планка не нуждалась в понятии об эфире. Она объяснила тепло-вое излучение черного тела. Эйнштейн в 190S г. создал квантовую теорию све- та, согласно которой не только излучениесвета, но и его распространениепро- исходит в виде потока световых квантов — фотонов, энергия которых опреде- ляется соотношением (170.3), а масса(170.4)Квантовые представления о свете хорошо согласуются с законами излу-чения и поглощения света, законами взаимодействия света с веществом. Одна- ко как с помощью этих представлений объяснить такие хорошо изученные яв- ления, как интерференция, дифракция и поляризация света? Эти явления легко объясняются на основе волновых представлений. Все многообразие изученных свойств и законов распространения света, его взаимодействия с веществом по- казывает, что свет имеет сложную природу. Он представляет собой единство противоположных видов движения— корпускулярного (квантового) и волно- вого (электромагнитного). Длительный путь развития привел к современным представлениям о двойственной корпускулярно-волновой природе света. Вы- ражения (170.3) и (170.4) связывают корпускулярные характеристики излуче-415ния — массу и энергию кванта — с волновыми — частотой колебаний и длиной волны. Таким образом, свет представляет собой единство дискретности и не- прерывности.§ 171. К ОГЕРЕНТНОСТЬ И МОНОХРОМАТИЧНОСТЬ СВЕТОВЫХ ВОЛНИнтерференцию света можно объяснить, рассматривая интерференциюволн (см. § 156). Необходимым условием интерференции волн является их ко- герентность, т. е. согласованное протекание во времени и пространстве не- скольких колебательных или волновых процессов. Этому условию удовлетво- ряют монохроматические волны — не ограниченные в пространстве волны од- ной определенной и строго постоянной частоты. Так как ни один реальный ис- точник не дает строго монохроматического света, то волны, излучаемые любы- ми независимыми источниками света, всегда некогерентны. Поэтому на опыте не наблюдается интерференция света от независимых источников, например от двух электрических лампочек.Понять физическую причину немонохроматичности, а следовательно, инекогерентности волн, испускаемых двумя независимыми источниками света, можно исходя из самого механизма испускания света атомами. В двух само- стоятельных источниках света атомы излучают независимо друг от друга. В каждом из таких атомов процесс излучения конечен и длится очень короткое время (т ж 10 ~8 с). За это время возбужденный атом возвращается в нормаль-ное состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать световые волны, но уже с новой начальной фазой. Так как разность фаз между излучением двух таких независимых атомов изме- няется при каждом новом акте испускания, то волны, спонтанно излучаемые атомами любого источника света, некогерентны. Таким образом, волны, испус- каемые атомами, лишь в течение интервала времени≈ 10 -8 с имеют приблизи-тельно постоянные амплитуду и фазу колебаний, тогда как за больший проме- жуток времени и амплитуда, и фаза изменяются. Прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов называется волновым цугом.Описанная модель испускания света справедлива и для любого макроско-пического источника, так как атомы светящегося тела излучают свет также не- зависимодруг от друга. Это означает, что начальные фазы соответствующих им волновых цугов не связаны между собой. Помимо этого, даже для одного и того же атома начальные фазы разных цугов отличаются для двух последующих ак- тов излучения. Следователь но, свет, испускаемый макроскопическим источни- ком, некогерентен.Любой немонохроматический свет можно представить в виде совокупно-сти сменяющих друг друга независимых гармонических цугов. Средняя про- должительность одного цугаτ ког называется временем когерентности. Коге-рентность существует только в пределах одного цуга, и время когерентности не может превышать время излучения, т. е.τ ког < τ . Прибор обнаружит четкую ин-416терференционную картину лишь тогда, когда время разрешения прибора значи- тельно меньше времени когерентности накладываемых световых волн.Если волна распространяется в однородной среде, то фаза колебаний вопределен ной точке пространства сохраняется только в течение времени коге- рентностиτ ког . За это время волна распространяется в вакууме на расстояние l ког= c τ ког , называемое длиной когерентности (или длиной цуга). Таким образом,длина когерентности есть расстояние, при прохождении которого две или не- сколько волн утрачивают когерентность. Отсюда следует, что наблюдение ин- терференции света возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины когерентности для используемого источника света.Чем ближе волна к монохроматической, тем меньше ширина ?ω спектраее частот и, как можно показать, больше ее время когерентности τ ког , следова-тельно, и длина когерентности l ког . Когерентность колебаний, которые совер-шаются в одной и той же точке пространства, определяемая степенью моно- хроматичности волн, называется временной когерентностью.Наряду с временной когерентностью для описания когерентных свойствволн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, вво- дится понятие пространственной когерентности. Два источника, размеры и вза- имное расположение которых позволяют (при необходимой степени монохро- матичности света) наблюдать интерференцию, называются пространственно- когерентными. Радиусом когерентности (или длиной пространственной коге- рентности) называется максимальное поперечное направлению распростране- ния волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции. Та- ким образом, пространственная когерентность определяется ради усом коге- рентности.Радиус когерентностигде λ — длина волны света, ? — угловой размер источника. Так, минимальновозможный радиус когерентности для солнечных лучей (при угловом размере Солнца на Земле? ≈ 10 -2 рад и λ ≈ 0,5 мкм) составляет ≈ 0,05 мм. При такоммалом радиусе когерентности невозможно непосредственно наблюдать интер- ференцию солнечных лучей, поскольку разрешающая способность человече- ского глаза на расстоянии наилучшего зрения составляет лишь 0,1 мм. Отме- тим, что первое наблюдение интерференции провел в 1802 г. Т. Юнг именно с солнечным светом, для чего он предварительно пропускал солнечные лучи че- рез очень малое отверстие в непрозрачном экране (при этом на несколько по- рядков уменьшался угловой размер источника света и тем самым резко увели- чивался радиус когерентности (или длина пространственной когерентности)).§ 172. И НТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТАПредположим, что две монохроматические световые волны, накладыва-юсь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания417одинакового направления: х 1 = А 1 cos( ω t + ? 1 ) и x 2 = A 2 cos( ω t + ? 2 ).Под хпони-мают напряженность электрического Еили магнитного Нполей волны; векто- ры Е и Н колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. § 162). Напряженности электрического и магнитного полей подчиняются принципу суперпозиции (см. § 80 и 110). Амплитуда результирующего колебания в дан- ной точке A2 = A 2 + A 2 + 2A A cos( ? - ? )(см. 144.2)). Так как волны коге-l 2 1 2 2 1рентны, то cos( ? 2 - ? 1 ) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точкипространства) значение, поэтому интенсивность результирующей волны (1~А 2 )(172.1)В точках пространства, где cos( ? 2 - ? 1 ) >0, интенсивность I > I 1 + I 2 , гдеcos( ? 2 - ? 1 ) <О, интенсивность I < I 1 + I 2 . Следовательно, при наложении двух(или нескольких) когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возни- кают максимумы, а в других — минимумы интенсивности. Это явление называ- ется интерференцией света.Для некогерентных волн разность ( ? 2 - ? 1 ) непрерывно изменяется, по-этому среднее во времени значение cos( ? 2 - ? 1 ) равно нулю, и интенсивностьрезультирующей волны всюду одинакова и при I 1 = I 2 равна 2I 1 (для когерент-ных волн при данном условии в максимумах I = 4I 1 в минимумах I = 0).Как можно создать условия, необходимые для возникновения интерфе-ренции световых волн? Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путейнакладываются друг на друга, и наблюдается интерференционная картина.Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определеннойточке О.До точки М,в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна в среде с показателем преломления n2 прошла путь s 1 ,вторая — в среде споказателем преломления n — путь s .Если в точке Офаза колебаний равна2 2ω t,то в точке Мпервая волна возбудит колебание А 1 cos ω (t – s 1 /v 1 ),вторая вол-на — колебание А 2 cos ω (t – s 2 /v 2 ),где v 1 = c/n 1 , v 2 = c/n 2 — соответственно фазо-вая скорость первой и второй волны. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке М,равна(учли, что ω /с = 2 π v/с = 2 πλ 0 где λ 0 — длина волны в вакууме). Произведениегеометрической длины sпути световой волны в данной среде на показатель n преломления этой среды называется оптической длиной пути L,a? = L 2 – L 1 —разность оптических длин проходимых волнами путей — называется оптиче- ской разностью хода. Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме418(172.2)то δ = ±2 π m,и колебания, возбуждаемые в точке Мобеими волнами, будутпроисходить в одинаковой фазе. Следовательно, (172.2) является условием ин- терференционного максимума.Если оптическая разность хода(172.3)то δ = ±(2m + 1) π ,и колебания, возбуждаемые в точке Мобеими волнами, будутпроисходить в противофазе. Следовательно, (172.3) является условием интер- ференционного минимума.§ 173. М ЕТОДЫ НАБЛЮДЕНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТАДля осуществления интерференции света необходимо получить коге-рентные световые пучки, для чего применяются различные приемы. До появле- ния лазеров (см. § 233) во всех приборах для наблюдения интерференции света когерентные пучки получали разделением и последующим сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника. Практически это можно осу- ществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел. Рассмот- рим некоторые из этих методов.1. Метод Юнга. Источником света служит ярко освещенная щель S(рис.245), от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S 1 иS 2 ,параллельные щели S. Таким образом, щели S 1 и S 2 играют роль когерент-ных источников.Рис. 245Интерференционная картина (область ВС)наблюдается на экране (Э),расположенном на некотором расстоянии параллельно S и S .Как уже указы-1 2валось (см. § 171), Т. Юнгу принадлежит первое наблюдение явления интерфе- ренции.2. Зеркала Френеля.Свет от источника S (рис.246) падает расходящим-ся пучком на два плоских зеркала А О и А О,расположенных относительно1 2419друг друга под углом, лишь немного отличающимся от 180° (угол ? мал). Ис-пользуя правила построения изображения в плоских зеркалах, можно показать, что и источник, и его изображения S1 и S 2 (угловое расстояние между которымиравно 2 ? )лежат на одной и той же окружности радиуса r с центром в О(точкасоприкосновения зеркал).Рис. 246Световые пучки, отразившиеся от обоих зеркал, можно считать выходя-щими из мнимых источников S 1 и S 2 ,являющихся мнимыми изображениями Sвзеркалах.Мнимые источники S 1 и S 2 взаимно когерентны, и исходящие из них све-товые пучки, встречаясь друг с другом, интерферируют в области взаимного перекрывания (на рис. 246 она заштрихована). Можно показать, что макси- мальный угол расхождения перекрывающихся пучков не может быть больше 2? .Интерференционная картина наблюдается на экране (Э), защищенном отпрямого попадания света заслонкой (3).3. Бипризма Френеля.Она состоит из двух одинаковых, сложенных ос-нованиями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S(рис. 247) преломляется в обеих призмах, в результате чего за бипризмой распро- страняются световые лучи, как бы исходящие из мнимых источников S1 и S 2 ,являющихся когерентными. Таким образом, на поверхности экрана (в заштри- хованной области) происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.Рис. 247420Расчет интерференционной картины от двухисточников. Расчет ин-терференционной картины для рассмотренных выше методов наблюдения ин- терференции света можно провести, используя две узкие параллельные щели, расположенные достаточно близко друг к другу (рис. 248).Рис. 248Щели S1 и S 2 находятся на расстоянии dдруг от друга и являются коге-рентными (реальными или мнимыми изображениями источника Sв какой-то оптической системе) источниками света. Интерференция наблюдается в произ- вольной точке Аэкрана, параллельного обеим щелям и расположенного от них на расстоянии l, причем l?d. Начало отсчета выбрано в точке О,симметричной относительно щелей.Интенсивность в любой точке Аэкрана, лежащей на расстоянии хот О,определяется оптической разностью хода ? = s – s (см. § 172). Из рис. 248 име-2 1емоткуда s 2 - s 2 = 2xd,или2 1Из условия l?d следует, что s 1 + s 2 ≈ 2l, поэтому(173.1)Подставив найденное значение ? (173.1) в условия (172.2) и (172.3), по-лучим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться в случае, если(173.2)а минимумы -— в случае, если(173.3)Расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами),421(173.4)? х не зависит от порядка интерференции (величины m) и является посто-янной для данных l, d и λ 0 . Согласно формуле (173.4), ? x обратно пропорцио-нально d;следовательно, при большом расстоянии между источниками, напри- мер при d≈ l,отдельные полосы становятся неразличимыми. Для видимого све-та λ 0 ≈ 10 -7 м, поэтому четкая, доступная для визуального наблюдения интерфе-ренционная картина имеет место при l?d (это условие и принималось при рас- чете). По измеренным значениям l, d в? х, используя (173.4), можно экспери-ментально определить длину волны света. Из выражений (173.2) и (173.3) сле- дует, таким образом, что интерференционная картина, создаваемая на экране двумя когерентными источниками света, представляет собой чередование свет- лых и темных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответст- вующий m = 0, проходит через точку О.Вверх и вниз от него на равных рас- стояниях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого (m = 1), второго (m = 2) порядков и т. д.Описанная картина, однако, справедлива лишь при освещении монохро-матическим светом ( λ 0 = const). Если использовать белый свет, представляю-щий собой непрерывный набор длин волн от 0,39 мкм (фиолетовая граница спектра) до 0,75 мкм (красная граница спектра), то интерференционные макси- мумы для каждой длины волны будут, согласно формуле (173.4), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m = 0максимумы всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться белая поло- са, по обе стороны которой симметрично расположатся спектрально окрашен- ные полосы максимумов первого, второго порядков и т. д. (ближе к белой поло- се будут находиться зоны фиолетового цвета, дальше — зоны красного цвета).§ 174. И НТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА В ТОНКИХ ПЛЕНКАХВ природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок(масляные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленки на металлах), возникающее в результате интерференции света, отраженного двумя поверхно- стями пленки.Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем прелом-ления n и толщиной dпод углом i (рис. 249) падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим один луч). На поверхности пленки в точке О луч разделится на два: частично отразится от верхней поверхности пленки, а частично преломится. Преломленный луч, дойдя до точки С, частично прело- мится в воздух (n0 = 1), а частично отразится и пойдет к точке В.Здесь он опятьчастично отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности не рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом i. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2когерентны, если оптическая разность их хода мала по срав- нению с длиной когерентности падающей волны. Если на их пути поставить422собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек Рфокальной плоскости линзы. В результате возникает интерференционная картина, которая определя- ется оптической разностью хода между интерферирующими лучами.Рис. 249Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерферирующи-ми лучами от точки Одо плоскости АВ,где показатель преломления окружающей пленку среды принят равным 1, а член ±λ 0 /2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границыраздела. Если n > n 0 , то потеря полуволны произойдет в точке Ои вышеупомя-нутый член будет иметь знак минус; если же n < n 0 , то потеря полуволны про-изойдет в точке С и λ 0 /2 будет иметь знак плюс. Согласно рис. 249, ОС= СВ=d/cos г, ОА = OBsin I = 2d tgr sini.Учитывая для данного случая закон прелом- ления sini = nsin r, получимС учетом потери полуволны для оптической разности хода получим(174.1)(174.2)и минимум, если (см. (172.3))423(174.3)Интерференция, как известно, наблюдается, только если удвоенная тол-щина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.1. Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллель-ной пластины).Из выражений (174.2) и (174.3) следует, что интерференцион- ная картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется величи- намиλ 0 , d, n и i.Для данных λ 0 , d и nкаждому наклону iлучей соответствуетсвоя интерференционная полоса. Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.Лучи 1 ′ и 1 ″ ,отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки (рис.250), параллельны друг другу, так как пластинка плоскопараллельна.Рис. 250Следовательно, интерферирующие лучи 1′ и 1 ″ «пересекаются» только вбесконечности, поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности.Для их наблюдения используют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1′ и 1 ″соберутся в фокусе Fлинзы (на рис. 250 ее оптическая ось параллельна лучам 1′ и 1 ″ ), в эту же точку придут и другие лучи (на рис. 250 — луч 2),параллель-ные лучу 1, в результате чего увеличивается общая интенсивность. Лучи 3,на- клоненные под другим углом, соберутся в другой точке Рфокальной плоскости линзы. Легко показать, что если оптическая ось линзы перпендикулярна по- верхности пластинки, то полосы равного наклона будут иметь вид концентри- ческих колец с цент ром в фокусе линзы.2. Полосы равной толщины (интерференция от пластинки перемен-ной толщины). Пусть на клин (угол α между боковыми гранями мал) падаетплоская волна, направление распространения которой совпадает с параллель- ными лучами 1 и 2 (рис. 251). Из всех лучей, на которые разделяется падающий луч 1, рассмотрим лучи 1′ и 1 ″ ,отразившиеся от верхней и нижней поверхно-стей клина. При определенном взаимном положении клина и линзы лучи 1' и 1"424пересекутся в некоторой точке А,являющейся изображением точки В.Так как лучи 1′ и 1 ″ когерентны, они будут интерферировать. Если источник располо-жен довольно далеко от поверхности клина и угол, а ничтожно мал, то оптиче- ская разность хода между интерферирующими лучами 1' и 1" может быть с дос- таточной степенью точности вычислена по формуле (174.1), где d— толщина клина в месте падения на него луча. Лучи 2' и 2", образовавшиеся при делении луча 2, падающего в другую точку клина, собираются линзой в точке А'.Опти- ческая разность хода уже определяется толщиной d'.Таким образом, на экране возникает система интерференционных полос. Каждая из полос возникает при отражении от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (в общем случае толщина пластинки может изменяться произвольно). Интерференционные по- лосы, возникающие в результате интерференции от мест одинаковой толщины, называются полосами равной толщины.Рис. 251Так как верхняя и нижняя грани клина не параллельны между собой, толучи 1 ′ и 1 ″ (2' и 2") пересекаются вблизи пластинки, в изображенном на рис.251 случае — над ней (при другой конфигурации клина они могут пересекаться и под пластинкой). Таким образом, полосы равной толщины локализованы вблизи поверхности клина.Бели свет падает на пластинку нормально, то полосы равной толщины локализуются на верхней поверхности клина.3. Кольца Ньютона. Кольца Ньютона, являющиеся классическим приме-ром полос равной толщины, наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны (рис. 252). Парал- лельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и час- тично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластинкой. При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины, при нормальном падении света имеющие вид концентриче- ских окружностей.В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полувол-ны при отражении), согласно (174.1), при условии, что показатель преломления воздуха n = 1, а I = 0,425где d—ширина зазора.Рис. 252Из рис. 252 следует, что R2 = (R - d) 2 + r 2 ,где R— радиус кривизны лин-зы, r— радиус кривизны окружности, всем точкам которой соответствует оди- наковый зазор d.Учитывая, что dмало, получим d = r2 /(2R).Следовательно,(174.4)Приравняв (174.4) к условиям максимума (172.2) и минимума (172.3), по-лучим выражения для радиусов m-гo светлого кольца и m-го темного кольца соответственноИзмеряя радиусы соответствующих колец, можно (зная радиус кривизнылинзы R)определить λ 0 и, наоборот, по известной λ 0 найти радиус кривизны Rлинзы.Как для полос равного наклона, так и для полос равной толщины положе-ние максимумов зависит от длины волны λ 0 (см. (174.2)). Поэтому системасветлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим светом. При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных длин волн, и ин- терференционная картина приобретает радужную окраску. Все рассуждения были проведены для отраженного света.Интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полувол- ны. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается наλ 0 /2, т. е. максимумам интерференции в отраженном све-те соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот.426§ 175. П РИМЕНЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТАЯвление интерференции обусловлено волновой природой света; его ко-личественные закономерности зависят от длины волны До- Поэтому это явле- ние применяется для подтверждения волновой природы света и для измерения длин волн (интерференционная спектроскопии).Явление интерференции применяется также для улучшения качества оп-тических приборов (просветление оптики) и получения высокоотражающих по- крытий. Прохождение света через каждую преломляющую поверхность линзы, например через границу стекло — воздух, сопровождается отражением≈ 4%падающего потока (при показа теле преломления стекла ≈ 1,5). Так как совре-менные объективы содержат большое количество линз, то число отражений в них велико, а поэтому велики и потери светового потока. Таким образом, ин- тенсивность прошедшего света ослабляется и светосила оптического прибора уменьшается. Кроме того, отражения от поверхностей линз приводят к возник- новению бликов, что часто (например, в военной технике) демаскирует поло- жение прибора.Для устранения указанных недостатков осуществляют так называемоепросветление оптики.Для этого на свободные поверхности линз наносят тон- кие пленки с показателем преломления, меньшим, чем у материала линзы. При отражении света от границ раздела воздух — пленка и пленка — стекло возни- кает интерференция когерентных лучей 1′ и 2'(рис. 253).Просветляющий слойРис. 253Толщину пленки dи показатели преломления стекла nс и пленки n можноподобрать так, чтобы волны, отраженные от обеих поверхностей пленки, гасили друг друга. Для этого их амплитуды должны быть равны, а оптическая разностьхода равна ( 2 m + 1 ) λ 0 — (см. (172.3)). Расчет показывает, что амплитуды отра-2женных лучей равны, если(175.1)427Так как n с , nи показатель преломления воздуха n 0 удовлетворяют усло-виям n с > n > n 0 , то потеря полуволны происходит на обеих поверхностях; сле-довательно, условие минимума (предполагаем, что свет падает нормально, т. е. I = 0)где nd— оптическая толщина пленки. Обычно принимают m = 0, тогдаТаким образом, если выполняется условие (175.1) и оптическая толщинапленки равна λ /4, то в результате интерференции наблюдается гашение отра-0женных лучей. Так как добиться одновременного гашения для всех длин волн невозможно, то это обычно делается для наиболее восприимчивой глазом дли- ны волныλ ≈ 0,55 мкм. Поэтому объективы с просветленной оптикой имеют0синевато-красный оттенок.Создание высокоотражающих покрытий стало возможным лишь на осно-ве многолучевой интерференции. В отличие от двухлучевой интерференции, которую мы рассматривали до сих пор, многолучевая интерференция возникает при наложении большого числа когерентных световых пучков. Распределение интенсивности в интерференционной картине существенно различается; ин- терференционные максимумы значительно уже и ярче, чем при наложении двух когерентных световых пучков. Так, результирующая амплитуда световых коле- баний одинаковой амплитуды в максимумах интенсивности, где сложение про- исходит в одинаковой фазе, в Nраз больше, а интенсивность в N2 раз больше,чем от одного пучка (N— число интерферирующих пучков). Отметим, что для нахождения результирующей амплитуды удобно пользоваться графическим ме- тодом, используя метод вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Много- лучевая интерференция осуществляется в дифракционной решетке (см. § 180).Многолучевую интерференцию можно осуществить в многослойной сис-теме чередующихся пленок с разными показателями преломления (но одинако- вой оптической толщиной, равнойλ 0 /4), нанесенных на отражающую поверх-ность (рис. 254). Можно показать, что на границе раздела пленок (между двумя слоями ZnS с большим показателем преломления n1 находится пленка криолитас меньшим показателем преломления n 2 ) возникает большое число отраженныхинтерферирующих лучей, которые при оптической толщине пленок λ 0 /4 будутвзаимно усиливаться, т. е. коэффициент отражения возрастает. Характерной особенностью такой высокоотражательной системы является то, что она дейст- вует в очень узкой спектральной области, причем чем больше коэффициент от- ражения, тем уже эта область. Например, система из семи пленок для области 0,5 мкм дает коэффициент отраженияρ ≈ 96% (при коэффициенте пропускания≈ 3,5% и коэффициенте поглощения <0,5%). Подобные отражатели применяют-ся в лазерной технике, а также используются для создания интерференционных светофильтров (узкополосных оптических фильтров).428Рис.254Явление интерференции также применяется в очень точных измеритель-ных приборах, называемых интерферометрами. Все интерферометры основаны на одном и том же принципе и различаются лишь конструкционно. На рис. 255 представлена упрощенная схема интерферометра Майкельсона.Монохроматический свет от источника Sпадает под углом 45° на плос-копараллельную пластинку Р 1 .Сторона пластинки, удаленная от S,посеребрен-ная и полупрозрачная, разделяет луч на две части: луч 1 (отражается от посе- ребренного слоя) и луч 2 (проходит через вето). Луч 1 отражается от зеркала М1и, возвращаясь обратно, вновь проходит через пластинку Р (луч l').Луч 2 идет1к зеркалу М , отражается от него, возвращается обратно и отражается от пла-2429жды, то для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча ставится пластинка Р2 (точно такая же, как и Р 1 ,только не покрытая слоем се-ребра).Лучи 1 ′ и 2' когерентны; следовательно, будет наблюдаться интерферен-ция, результат которой зависит от оптической разности хода луча 1 от точки О до зеркала М1 и луча 2 от точки Одо зеркала М 2 . При перемещении одного иззеркал на расстояние λ 0 /4 разность хода обоих лучей увеличится на λ 0 /2 и про-изойдет смена освещенности зрительного поля. Следовательно, по незначи- тельному смещению интерференционной картины можно судить о малом пере- мещении одного из зеркал и использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10-7 м) измерения длин (измерения длины тел, длины волнысвета, изменения длины тела при изменении температуры (интерференционный дилатометр)).Российский физик В. П. Линник (1889—1984) использовал принцип дей-ствия интерферометра Майкельсона для создания микроинтерферометра (ком- бинация интерферометра и микроскопа), служащего для контроля чистоты об- работки поверхности.Интерферометры — очень чувствительные оптические приборы, позво-ляющие определять незначительные изменения показателя преломления про- зрачных тел (газов, жидких и твердых тел) в зависимости от давления, темпера- туры, примесей и т. д. Такие интерферометры получили название интерферен- ционных рефрактометров. На пути интерферирующих лучей располагаются две одинаковые кюветы длиной l, одна из которых заполнена, например, газом с известным (n), а другая — с неизвестным (n ) показателями преломления. Воз-0 zникшая между интерферирующими лучами дополнительная оптическая раз- ность хода? = (n z – n 0 )l. Изменение разности хода приведет к сдвигу интерфе-ренционных полос. Этот сдвиг можно характеризовать величинойгде m показывает, на какую часть ширины интерференционной полосы сме-0стилась интерференционная картина. Измеряя величину m 0 при известных l, m 0и λ , можно вычислить n z , или изменение n z - n 0 . Например, при смещении ин-терференционной картины на 1/5 полосы при l= 10 см и λ = 0,5 мкм (n z – n 0 ) =10 -6 , т.е. интерференционные рефрактометры позволяют измерять изменениепоказателя преломления с очень высокой точностью (до 1/1 000 000).Применение интерферометров очень многообразно. Кроме перечисленно-430З АДАЧИ22.1. Определить, какую длину пути s 1 пройдет фронт волны монохрома-тического света в вакууме за то же время, за которое он проходит путь s 2 =1.5мм в стекле с показателем преломления n 2 =1.5. [2.25 мм]22.2. В опыте Юнга щели, расположенные на расстоянии 0,3 мм, освеща-лись монохроматическим светом с длиной волны 0,6 мкм. Определить расстоя- ние от щелей до экрана, если ширина интерференционных полос равна 1 мм. [0,5 м]22.3. На стеклянный клин (n = 1,5) нормально падает монохроматическийсвет ( λ =698 нм). Определить угол между поверхностями клина, если расстояниемежду двумя соседними интерференционными минимумами в отраженном све- те равно 2 мм. [0,4']22.4. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохрома-тическим светом, падающим нормально. При заполнении пространства между линзой и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,21 раза. Определить показатель прелом- ления жидкости. (1,46]22.5. На линзу с показателем преломления 1,55 нормально падает моно-хроматический свет с длиной волны 0,55 мкм. Для устранения потерь отражен- ного света на линзу наносится тонкая пленка. Определить: 1) оптимальный по- казатель преломления пленки; 2) толщину пленки. [1) 1.24; 2) 0,111 мкм]22.6. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интерфе-ренционной картины на 450 полос зеркало пришлось переместить на расстоя- ние 0,135 мм. Определить длину волны падающего света. [0,6 мкм]22.7. На пути одного из лучей интерференционного рефрактометра по-местили откачанную трубку длиной 10 см. При заполнении трубки хлором ин- терференционная картина сместилась на 131 полосу. Определить показатель преломления хлора, если наблюдение производится с монохроматическим све- том с длиной волны 0,59 мкм. [1,000773]431 ГЛАВА 23ДИФРАКЦИЯ СВЕТА§ 176. П РИНЦИП Г ЮЙГЕНСА — Ф РЕНЕЛЯДифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихсяна их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря ди- фракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препят- ствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т. е. звуковая волна его огибает.Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса(см. §170), согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит цен- тром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном эк-ране (рис. 256). Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область гео- метрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.Рис. 256Явление дифракции характерно для волновых процессов. Поэтому еслисвет является волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифрак- ция, т. е. световая волна, падающая на границу какого-либо непрозрачного тела, должна огибать его (проникать в область геометрической тени). Из опыта, од- нако, известно, что предметы, освещаемые светом, идущим от точечного ис- точника, дают резкую тень и, следовательно, лучи не отклоняются от их прямо- линейного распространения. Почему же возникает резкая тень, если свет имеет волновую природу? К сожалению, теория Гюйгенса ответить на этот вопрос не могла.Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространенияволнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Фре- нель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей ин- терференции вторичных волн.432Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемаякаким-либо источником S,может быть представлена как результат суперпози- ции когерентных вторичных волн,«излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замк- нутой поверхности, охватывающей источник S.Обычно в качестве этой по- верхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторич- ных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения нахо- дится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии эк- рана.Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретномслучае найти амплитуду (интенсивность) результирующей волны в любой точ- ке пространства, т. е. определить закономерности распространения света. В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложный и гро- моздкий, однако, как будет показано ниже, для некоторых случаев нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется алгебраическим сум- мированием.§ 177. М ЕТОД ЗОН Ф РЕНЕЛЯ .П РЯМОЛИНЕЙНОE РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТАПринцип Гюйгенса — Френеля в рамках волновой теории должен былответить на вопрос о прямолинейном распространении света. Френель решил эту задачу, рассмотрев взаимную интерференцию вторичных волн и применив прием, получивший название метода зов Френеля.Найдем в произвольной точке Мамплитуду световой волны, распростра-няющейся в однородной среде из точечного источника S(рис. 257).Рис. 257433Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, заменим действие источника 5действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной по- верхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S(поверх- ность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность Ф на кольце- вые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались наλ /2, т. е. P 1 M – P 0 M = P 2 M – P 1 M = P 3 M - P 2 M=...= λ /2.Подобное разбиениефронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке Мсферыλ λ λрадиусами b + , b + 2 , b + 3 , L . Так как колебания от соседних зон прохо-2 2 2дят до точки Мрасстояния, отличающиеся на λ /2, то в точку Мони приходят впротивоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаб- лять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М(177.1)где А , А ,... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, ..., m-й зонами.1 2Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пустьвнешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты hm (рис. 258).Рис. 258Обозначив площадь этого сегмента через ат ,найдем, что площадь m-йзоны Френеля равна ?σ m = σ m — σ m-1 , где σ m-1 — площадь сферического сегмен-та, выделяемого внешней границей (m—1)-й зоны. Из рисунка следует, что(177.2)После элементарных преобразований, учитывая, что Л«а и А«А, получим(177.3)Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля соответ-ственно равны(177.4)434Выражение (177.4) не зависит от m;следовательно, при не слишкомбольших mплощади зон Френеля одинаковы. Таким образом, построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на равные зоны.Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке Мтем меньше, чем больше угол ? m (рис. 258) между нормалью n к поверхностизоны и направлением на М,т. е. действие зон постепенно убывает от централь- ной (около Р0 ) к периферическим. Кроме того, интенсивность излучения в на-правлении точки Муменьшается с ростом mи вследствие увеличения расстоя- ния от зоны до точки М.Учитывая оба этих фактора, можем записатьОбщее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико;например, при a = b =10 см и λ =5мкм N = π 2 ab π a λ 2 = 8 ⋅ 10 5 . Поэтому в качестведопустимого приближения можно считать , что амплитуда колебания А т от не -которой m- й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитудпримыкающих к ней зон , т . е .(177.5)Тогда выражение (177.1) можно записать в виде(177.6)так как выражения , стоящие в скобках , согласно (177.5), равны нулю , а остав -шаяся часть от амплитуды последней зоны ± А m /2 ничтожно мала .Таким образом , амплитуда результирующих колебаний в произвольнойточке М определяется как бы действием только половины центральной зоныФренеля . Следовательно , действие всей волновой поверхности на точку М сво -дится к действию ее малого участка , меньшего центральной зоны .Если в выражении (1772) положим , что высота сегмента h ? a ( при неmслишком больших m), тогда r 2 т =2 а h m . Подставив сюда значение (177.3), най -дем радиус внешней границы m- й зоны Френеля :(177.7)При a = b =10 см в λ = 0,5 мкм радиус первой ( центральной ) зоны r 1 =0,158 мм . Следовательно , распространение света от S к М происходит так , буд -то световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т . е .прямолинейно . Таким образом , принцип Гюйгенса — Френеля позволяет объяс -нить прямолинейное распространение света в однородной среде .Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтвержде -на экспериментально . Для этого используются зонные пластинки — в простей -шем случае стеклянные пластинки , состоящие из системы чередующихся про -зрачных и непрозрачных концентрических колец , построенных по принципу435расположения зон Френеля, т. е. с радиусами r m зон Френеля, определяемымивыражением (177.7) для заданных значений а, bи λ (m = 0,2,4,... для прозрач-ных и m = 1, 3, 5,... для непрозрачных колец). Если поместить зонную пластин- ку в строго определенном месте (на расстоянии аот точечного источника и на расстоянии bот точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки), то для света длиной волныλ она перекроет четные зоны и оставит свободныминечетные начиная с центральной. В результате этого результирующая амплиту- да A = A1 + A 3 + A 5 + ... должна быть больше, чем при полностью открытомволновом фронте. Опыт подтверждает эти выводы: зонная пластинка увеличи- вает освещенность в точке М,действуя подобно собирающей линзе.§ 178. Д ИФРАКЦИЯ Ф РЕНЕЛЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ И ДИСКЕРассмотрим дифракцию в сходящихся лучах, или дифракцию Френеля,осуществляемую в том случае, когда дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.1. Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распростра-няющаяся из точечного источника S,встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В,лежа- щей на линии, соединяющей Sс центром отверстия (рис. 259).Рис. 259Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоя-нии b.Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых от- верстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (177.1) и (177.6)),где знак плюс соответствует нечетным mи минус — четным m.436Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда(интенсивность) в точке Вбудет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если от- верстие открывает одну зону Френеля, то в точке Вамплитуда А =А1 , т.е.вдвоебольше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием (см. § 177). Ин- тенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие откры- вает две зоны Френеля, то их действия в точке Впрактически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от кругло- го отверстия вблизи точки Вбудет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В(если тчетное, то в центре будет темное кольцо, если тнечетное — то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участкахэкрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично пе- рекрываются непрозрачным экраном. Если отверстие освещается не монохро- матическим, а белым светом, то кольца окрашены.Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра.Если он большой, то A A и результирующая амплитуда A = A /2,т. е. такаяm ? 1 1же, как и при полностью открытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблюдается, свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.2. Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от то-чечного источника S,встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем иа экране Э в точке В,лежащей на линии, соединяющей Sс центром диска (рис. 260).Рис. 260437В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо ис-ключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает тпервых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего ко- лебания в точке В равнаилитак как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегданаблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответст- вующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный мак- симум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а ин- тенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется отточки Ви увеличивается угол ? т (см. рис. 258) между нормалью к поверхностиэтой зоны и направлением на точку В.В результате интенсивность центрально- го максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших раз- мерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.Отметим, что дифракция на круглом отверстии и дифракция на дискевпервые рассмотрены Френелем.§ 179. Д ИФРАКЦИЯ Ф РАУНГОФЕРА НА ОДНОЙ ЩЕЛИНемецкий физик И. Фраунгофер (1787—1826) рассмотрел дифракциюплюскахсветовых волн, или дифракцию в параллельных лучах. Дифракция Фраунгофера,имеющая большое практическое значение, наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от пре- пятствия, вызвавшего дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собираю- щей линзы, установленной за препятствием.Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (дляэтого практически достаточно, чтобы длина щели была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной а(рис. 261, а). Оптическая разность хода меж- ду крайними лучами МСи ND,идущими от щели в произвольном направлении? ,438где F— основание перпендикуляра, опущенного из точки Мна луч ND.Рис. 261Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MNназоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру Мщели. Ширина каж- дой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равнаλ /2,т. е. всего на ширине щели уместится ? : λ /2 зон. Так как свет на щель падаетнормально, то плоскость щели совпадает с волновым фронтом; следовательно, все точки волнового фронта в плоскости щели будут колебаться в одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как вы- бранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.Из выражения (179.1) вытекает, что число зон Френеля, укладывающихсяна ширине щели, зависит от угла ? .От числа зон Френеля, в свою очередь, за-висит результат наложения всех вторичных волн. Из приведенного построения следует, что при интерференции света от каждой пары соседнихзон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как колебания от каж- дой пары соседних зон взаимно гасят друг друга. Следовательно, если число зон Френеля четное,то439(179.2)и в точке Внаблюдается дифракционный минимум(полная темнота), если же число зон Френеля нечетное,то(179.3)и наблюдается дифракционный максимум,соответствующий действию од- ной нескомпенсированной зоны Френеля. Отметим, что в направлении? = 0щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распростра- няется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке Внаблюдается централь-0ный дифракционный максимум.Из условий (179.2) и (179.3) можно найти направления на точки экрана, вкоторых амплитуда (а следовательно, и интенсивность) равна нулю (sin ? = ±minm λ /a) или максимальна sin ? min = ± (2m + 1) λ /(2a).Распределение интенсивно-сти на экране, получаемое вследствие дифракции (дифракционный спектр), приведено на рис. 261, б.Расчеты показывают, что интенсивности в централь- ном и последующих максимумах относятся как 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : ..., т. е. основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Из опыта и соответствующих расчетов следует, что сужение щели приводит к то- му, что центральный максимум расплывается, а интенсивность уменьшается (это, естественно, относится и к другим максимумам). Наоборот, чем щель ши- ре (а >λ ),тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих по-лос больше. При а ? λ в центре получается резкое изображение источника све-та, т. е. имеет место прямолинейное распространение света.Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны λ , по-этому рассмотренная выше дифракционная картина имеет место лишь для мо- нохроматического света. При освещении щели белым светом центральный мак- симум наблюдается в виде белой полоски; он общий для всех длин волн (при?= 0 разность хода равна нулю для всех λ ). Боковые максимумы радужно окра-шены, так как условие максимума при любых mразлично для разных λ . Такимобразом, справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы первого (m = 1), второго (m = 2) и других порядков, обращенные фиолетовым краем к центру дифракционной картины. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.§ 180. Д ИФРАКЦИЯ Ф РАУНГОФЕРА НА ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКЕБольшое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при про-хождении света через одномерную дифракционную решетку— систему па-440раллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Рассматривая дифракцию Фраунгофера на щели, мы видели, что распределение интенсивности на экране определяется направлением дифрагированных лучей. Это означает, что пере- мещение щели параллельно самой себе влево или вправо не изменит дифракци- онной картины. Следовательно, если перейти от одной щели ко многим (к ди- фракционной решетке), то дифракционные картины, создаваемые каждой ще- лью в отдельности, будут одинаковыми.Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимнойинтерференции волн, идущих от всех щелей, т. е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференциякогерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.Рассмотрим дифракционную решетку. На рис. 262 для наглядности пока-заны только две соседние щели MNи CD.Если ширина каждой щели равна а,а ширина непрозрачных участков между щелями b,то величина d = a + bназыва- ется постоянной (периодом) дифракционной решетки.Рис. 262Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскостирешетки. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного на- правления? одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:(180.1)Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни однаиз щелей не рас-пространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т. е. преж- ние (главные) минимумыинтенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (179.2):(180.2)441Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посы-лаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т. е. возникнут дополнительные минимумы. Очевидно, что эти дополнитель- ные минимумы будут наблюдаться в тех направлениях, которым соответствует разность хода лучейλ /2, З λ /2, …, посылаемых, например, от крайних левыхточек Ми С обеих щелей. Таким образом, с учетом (180.1) условие дополни- тельных минимумов:Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если(180.3)т. е. выражение (180.3) задает условие главных максимумов.Таким образом, полная дифракционная картина для двух щелей опреде-ляется из условий:т. е. между двумя главными максимумами располагается один дополнительный минимум. Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными максимумами при трех щелях располагается два дополнительных минимума, при четырех щелях — три и т. д.Если дифракционная решетка состоит из Nщелей, то условием главныхминимумов является условие (180.2), условием главных максимумов — усло- вие (180.3), а условием дополнительных минимумов(180.4)где т'может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, ....т. е. кроме тех, при которых условие (180.4) переходит в (180.3). Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается N—1 до- полнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающи- ми весьма слабый фон.Чем больше щелей N,тем большее количество световой энергии пройдетчерез решетку, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимумами, тем, следовательно, более интенсивными и более острыми будут максимумы. На рис. 263 качественно представлена дифракционная картина от восьми щелей. Так как модуль sin? не может быть больше единицы, то из(180.3) следует, что число главных максимумов442Рис. 263Положение главных максимумов зависит от длины волныλ (см. (180.3)).Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (m = 0), разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная — наружу. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических ком- понентов), т. е. дифракционная решетка может быть использована как спек- тральный прибор.Дифракционные решетки, используемые в различных областях спектра,отличаются размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм, что позволяет перекрывать область спектра от ультрафиолетовой его части до инфракрасной). Например, ступенча- тый профиль решетки позволяет концентрировать основную часть падающей энергии в направлении одного определенного ненулевого порядка.§ 181. П РОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА .Р АССЕЯНИИ СВЕТАДифракция света наблюдается не только на плоской одномерной решет-ке(штрихи нанесены перпендикулярно некоторой прямой линии), но и на дву- мерной решетке(штрихи нанесены во взаимно перпендикулярных направле- ниях в одной и той же плоскости). Большой интерес представляет также ди- фракция на пространственных(трехмерных) решетках— пространственных образованиях, в которых элементы структуры подобны по форме, имеют гео- метрически правильное и периодически повторяющееся расположение, а также постоянные (периоды) решеток, соизмеримые с длиной волны электромагнит-443ного излучения. Иными словами, подобные пространственные образования должны иметь периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направ- лениям. В качестве пространственных дифракционных решеток могут быть ис- пользованы кристаллические тела, так как в них неоднородности (атомы, моле- кулы, ионы) регулярно повторяются в трех направлениях.Дифракция света может происходить также в так называемых мутныхсредах — средах с явно выраженными оптическими неоднородностями. К мут- ным средам относятся аэрозоли (облака, дым, туман), эмульсия, коллоидные растворы и т. д., т. е. такие среды, в которых взвешено множество очень мелких частиц инородных веществ. Свет, проходя через мутную среду, дифрагирует от беспорядочно расположенных микронеоднородностей, давая равномерное рас- пределение интенсивностей по всем направлениям, не создавая какой-либо оп- ределенной дифракционной картины. Происходит так называемое рассеяние светав мутной среде.Это явление можно наблюдать, например, когда узкий пучок солнечных лучей, проходя через запыленный воздух, рассеивается на пылинках и тем самым становится видимым.Рассеяние света (как правило, слабое) наблюдается также и в чистых сре-дах,не содержащих посторонних частиц. Л. И. Мандельштам объяснил рассея- ние света в средах нарушением их оптической однородности, при котором по- казатель преломления среды не постоянен, а меняется от точки к точке. В даль- нейшем польский физик М. Смолуховский (1872—1917) указал, что причиной рассеяния света могут быть также флуктуации плотности, возникающие в про- цессе хаотического (теплового) движения молекул среды. Рассеяние света в чистых средах, обусловленное флуктуациями плотности, анизотропии или кон- центрации, называется молекулярным рассеянием.Молекулярным рассеянием объясняется, например, голубой цвет неба.Согласно закону Д. Рэлея, интенсивность рассеянного света обратно пропор- циональна четвертой степени длины волны (I≈ λ -4 ), поэтому голубые и синиелучи рассеиваются сильнее, чем желтые и красные, обусловливая тем самым голубой цвет неба. По этой же причине свет, прошедший через значительную толщу атмосферы, оказывается обогащенным более длинноволновой частью спектра (сине-фиолетовая часть спектра полностью рассеивается) и поэтому при закате и восходе Солнце кажется красным, Флуктуации плотности и интен- сивность рассеяния света возрастают с увеличением температуры. Поэтому в ясный летний день цвет неба является более насыщенным по сравнению с та- ким же зимним днем.§ 182. Д ИФРАКЦИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТКЕ .Ф ОРМУЛА В УЛЬФА — Б РЭГГОВДля наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постояннаярешетки была того же порядка, что и длина волны падающего излучения (см. (180.3)). Кристаллы, являясь трехмерными пространственными решетками (см. § 181), имеют постоянную порядка 10-10 м и, следовательно, непригодны для444наблюдения дифракции в видимом свете ( λ ≈ 5 ⋅ 10 -7 м). Эти факты позволилинемецкому физику М. Лауэ (1879—1960) прийти к выводу, что в качестве есте- ственных дифракционных решеток для рентгеновского излучения можно ис- пользовать кристаллы, поскольку расстояние между атомами в кристаллах од- ного порядка сλ рентгеновского излучения ( ≈ 10 -12 ÷ 10 -8 м).Простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения от кристал-лической решетки предложен независимо друг от друга Г. В. Вульфом (1863— 192S) и английскими физиками Г. и Л. Брэггами (отец (1862—1942) и сын (1890—1971)). Они пред положили, что дифракция рентгеновского излучения является результатом его отражения от системы параллельных кристаллогра- фических плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы (атомы) кристалличе- ской решетки).Представим кристаллы в виде совокупности параллельных кристаллогра-фических плоскостей (рис. 264), отстоящих друг от друга на расстоянии d.Рис. 264Пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей (1, 2) па-дает под углом скольжения θ (угол между направлением падающих лучей икристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической ре- шетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1′ и 2',интерферирующих между собой, подобно вторичным волнам, от щелей ди- фракционной решетки. Максимумы интенсивности (дифракционные максиму- мы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Вульфа — Брэггов(182.1)т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кри- сталлографических плоскостей, кратной целому числу длин волн А, наблюда- ется дифракционный максимум.При произвольном направлении падения монохроматического рентгенов-ского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, на- до, поворачивая кристалл, найти угол скольжения. Дифракционная картина может быть получена и при произвольном положении кристалла, для чего нуж-445но пользоваться непрерывным рентгеновским спектром, испускаемым рентге- новской трубкой. Тогда дня таких условий опыта всегда найдутся длины волн А, удовлетворяющие условию (182.1).Формула Вульфа — Брэггов используется при решении двух важных за-дач:1. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны накристаллической структуре неизвестного строения и измеряя ви от, можно найти межплоскостное расстояние (d),т. е. определить структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного анализа. Формула Вульфа — Брэггов остается справедливой и при дифракции электронов и нейтронов. Методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции электро- нов и нейтронов, называются соответственно электронографией и нейтроно- графией.2. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длины волнына кристаллической структуре при известном dи измеряя θ и m, можно найтидлину волны падающего рентгеновского излучения. Этот метод лежит в основе рентгеновской спектроскопии.• Каков механизм рассеяния света в мутной среде ? в чистой среде ?• Как объяснить голубой цвет неба ? Почему при закате и восходе Солнце кажется красным ?• Почему на кристаллах не наблюдается дифракция видимого света и наблюдается дифракциярентгеновского излучения ?• Какие практические применения имеет формула Вульфа — Брэггов ?§ 183. Р АЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВИспользуя даже идеальную оптическую систему (такую, для которой от-сутствуют дефекты и аберрации), невозможно получить стигматическое изо- бражение точечного источника, что объясняется волновой природой света. Изображение любой светящейся точки в монохроматическом свете представля- ет собой дифракционную картину, т. е. точечный источник отображается в виде центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и свет- лыми кольцами.Согласно критерию Рэлея,изображения двух близлежащих одинаковыхточечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми симметричными контурами разрешимы (раз- делены для восприятия), если центральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого (рис. 265, а).При выполнении критерия Рэлея интенсив- ность «провала» между максимумами составляет 80% интенсивности в макси- муме, что является достаточным для разрешения линийλ 1 и λ 2 . Если критерийРэлея нарушен, то наблюдается одна линия (рис. 265, б).4461. Разрешающая способность объектива. Если на объектив падает свет отдвух удаленных точечных источников S 1 и S 2 (например, звезд) с некоторымугловым расстоянием δψ ,то вследствие дифракции световых волн на краяхдиафрагмы, ограничивающей объектив, в его фокальной плоскости вместо двух точек наблюдаются максимумы, окруженные чередующимися темными и свет- лыми кольцами (рис. 266).Рис. 266 Можно доказать, что две близлежащие звезды, наблюдаемые в объективев монохроматическом свете, разрешимы, если угловое расстояние между ними(183.1)где λ — длина волны света, D— диаметр объектива.Разрешающей способностью (разрешающей силой) объективаназы-вается величинагде δψ — наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при ко-тором они еще оптическим прибором разрешаются.Согласно критерию Рэлея, изображения двух одинаковых точек разреши-мы, когда центральный максимум дифракционной картины для одной точки совпадает с первым минимумом дифракционной картины для другой (рис. 266).447Из рисунка следует, что при выполнении критерия Рэлея угловое расстояние δψмежду точками должно быть равно ? , т.е. с учетом (183.1)Следовательно, разрешающая способность объектива(183.2)т. е. зависит от его диаметра и длины волны света.Из формулы (183.2) видно, что для увеличения разрешающей способно-сти оптических приборов нужно либо увеличить диаметр объектива, либо уменьшить длину волны. Поэтому для наблюдения более мелких деталей пред- мета используют ультрафиолетовое излучение, а полученное изображение в данном случае наблюдается с помощью флуоресцирующего экрана либо фик- сируется на фотопластинке. Еще большую раз решающую способность можно было бы получить с помощью рентгеновского излучения, но оно обладает большой проникающей способностью и проходит через вещество не преломля- ясь; следовательно, в данном случае невозможно создать преломляющие линзы. Потоки электронов (при определенных энергиях) обладают примерно такой же длиной волны, как и рентгеновское излучение. Поэтому электронный микро- скоп имеет очень высокую разрешающую способность (см. § 169).Разрешающей способностью спектрального прибора называют безраз-мерную величину(183.3)где δλ — абсолютное значение минимальной разности длин волн двух соседнихспектральных линий, при которой эти линии регистрируются раздельно.2. Разрешающая способность дифракционной решетки.Пусть макси-мум m-го порядка для длины волны λ наблюдается под углом ? , т. e.,согласно2(180.3), dsin ? = m λ 2 .При переходе от максимума к соседнему минимуму разность хода меня-ется на λ /N (см. (180.4)), где N— число щелей решетки. Следовательно, мини-мум λ 1 наблюдаемый под углом ? min ,удовлетворяет условию dsin ? min = m λ 1+ λ /N. По критерию Рэлея, ? = ? , т.е. m λ = m λ + λ /N или λ /( λ - λ ) = mN.1 min 2 1 1 2 2 1Так как λ 1 и λ 2 близки между собой, т. е. λ 2 - λ 1 = δλ , то, согласно (183.3),Таким образом, разрешающая способность дифракционной решетки про-порциональна порядку mспектра и числу Nщелей, т. е. при заданном числе щелей увеличивается при переходе к большим значениям порядка m интерфе- ренции. Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей способностью (до 2⋅ 10 5 ).§ 184. П ОНЯТИЕ О ГОЛОГРАФИИ448дующего восстановления волнового поля, основанный на регистрации интер- ференционной кар тины. Она обязана своим возникновением законам волновой оптики — законам интерференции и дифракции.Этот принципиально новый способ фиксирования и воспроизведенияпространственного изображения предметов изобретен английским физиком Д. Табором (1900—1979) в 1947 г. (Нобелевская премия 1971 г.). Эксперимен- тальное воплощение и дальнейшая разработка этого способа (Ю. Н. Денисюком в 1962 г. и американскими физиками Э. Лейтом и Ю. Упатниексом в 1963 г.) стали возможными после появления в 1960 г. источников света высокой степе- ни когерентности — лазеров (см. § 233).Рассмотрим элементарные основы принципа голографии, т. е. регистра-ции и восстановления информации о предмете. Для регистрации и восстановле- ния волны необходимо уметь регистрировать и восстанавливать амплитуду и фазу идущей от предмета волны. В самом деле, согласно формуле (144.2), учи- тывая, что I ~ А2 ,распределение интенсивности в интерференционной картинеопределяется как амплитудой интерферирующих волн, так и разностью их фаз. Поэтому для регистрации как фазовой, так и амплитудной информации кроме волны, идущей от предмета(так называемой предметной волны), используют еще когерентную с ней волну,идущую от источникасвета (так называемую опорную волну). Идея голографирования состоит в том, что фотографируется распределение интенсивности в интерференционной картине, возникающей при суперпозиции волнового поля объекта и когерентной ему опорной волны из- вестной фазы. Последующая дифракция света на зарегистрированном распре- делении почернений в фотослое восстанавливает волновое поле объекта и до- пускает изучение этого поля при отсутствии объекта.Практически эта идея может быть осуществлена с помощью принципи-альной схемы, показанной на рис. 267, а.Лазерный пучок делится на две части, причем одна его часть отражается зеркалом на фотопластинку (опорная волна), а вторая попадает на фотопластинку, отразившись от предмета (предметная волна). Опорная и предметная волны, являясь когерентными и накладываясь друг на друга, образуют на фотопластинке интерференционную картину. После проявления фотопластинки и получается голограмма — зарегистрированная на фотопластинке интерференционная картина, образованная при сложении опор- ной и предметной волн.Для восстановления изображения (рис. 267, 6)голограмма помещается вто же самое положение, где она находилась до регистрации. Ее освещают опор- ным пучком того же лазера (вторая часть лазерного пучка перекрывается диа- фрагмой). В результате дифракции света на интерференционной структуре го- лограммы восстанавливается копия предметной волны, образующая объемное (со всеми присущими предмету свойствами) мнимое изображение предмета, расположенное в том месте, где предмет находился при голографировании. Оно кажется настолько реальным, что его хочется потрогать. Кроме того, восста- навливается еще действительное изображение предмета, имеющее рельеф, об- ратный рельефу предмета, т. е. выпуклые места заменены вогну ыми, и наобо- рот (если наблюдение ведется справа от голограммы).449Рис. 267Обычно пользуются мнимым топографическим изображением, котороепо зритель ному восприятию создает полную иллюзию существования реально- го предмета. Рассматривая из разных положений объемное изображение пред- мета, даваемое голограммой, можно увидеть более удаленные предметы, за- крытые более близкими из них (заглянуть за ближние предметы). Это объясня- ется тем, что, перемещая голову в сторону, мы воспринимаем изображение, восстановленное от периферической части голограммы, на которую при экспо- нировании падали также и лучи, отраженные от скрытых предметов. Голограм- му можно расколоть на несколько кусков. Но даже малая часть голограммы восстанавливает полное изображение. Однако уменьшение размеров голо граммы приводит к ухудшению четкости получаемого изображения. Это объ- ясняется тем, что голограмма для опорного пучка служит дифракционной ре- шеткой, а при уменьшении числа штрихов дифракционной решетки (при уменьшении размеров голограммы) ее разрешающая способность уменьшается.Методы голографии (запись голограммы в трехмерных средах, цветное ипанорамное голографирование и т. д.) находят все большее развитие. Примене- ния голографии разнообразны, во наиболее важными, приобретающими все450большее значение, являются запись и хранение информации. Методы гологра- фии позволяют записывать в сотни раз больше страниц печатного текста, чем методы обычной микрофотографии. По подсчетам, на фотопластинку размером 32× 32 мм можно записать 1024 голограммы (площадь каждой из них 1 мм 2 ), т.е. на одной фотопластинке можно «разместить» книгу объемом свыше тысячи страниц. В качестве будущих разработок могут служить ЭВМ с топографиче- ской памятью, голографический электронный микроскоп, голографические ки- но и телевидение, топографическая интерферометрия и т. д.З АДАЧИ23.1. Плоская световая волна с длиной волны 0,6 мкм падает нормальнона диафрагму с круглым отверстием диаметром 1 см. Определить расстояние от точки наблюдения до отверстия, если отверстие открывает: 1) две зоны Френе- ля; 2) три зоны Френеля. [1) 20,8 м; 2) 13,9 м]23.2. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 1 м от точечно-го источника монохроматического света ( λ = 0,5 мкм). Посередине между ис-точником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Опре- делить радиус отверстия, при котором центр дифракционной картины на экране будет наиболее темным. [0,5 мм]23.3. На щель шириной 0,2 мм падает нормально монохроматическийсвет с длиной волны 0,5 мкм. Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен параллельно щели на расстоянии 1 м. Определить рас- стояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны центрального фраунгоферова максимума. [5 мм]23.4. Определить число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, еслиуглу λ /2 соответствует максимум пятого порядка для монохроматического све-та с длиной волны 0,5 мкм. [400 мм" 1 ]23.5. Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского из-лучения падает на грань кристалла с расстоянием 0,28 нм между его атомными плоскостями. Определить длину волны рентгеновского излучения, если под уг- лом 30° к плоскости грани наблюдается дифракционный максимум второго по- рядка. [140 пм]23.6. Определить постоянную дифракционной решетки, если она в пер-вом порядке разрешает две спектральные линии калия ( λ 1 =578 нм и λ 2 =580нм). Длина решетки 1 см. [34,6 мкм]451ГЛАВА 24ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ§ 185. Д ИСПЕРСИЯ СВЕТАДисперсией света называется зависимость показателя преломления л ве-щества от частоты v (длины волны λ ) света или зависимость фазовой скорости vсветовых волн (см. § 154) от его частоты v. Дисперсия света представляется в виде зависимости(185.1)Следствием дисперсии является разложение в спектр пучка белого светапри прохождении его через призму. Первые экспериментальные наблюдения дисперсии света принадлежат И. Ньютону (1672 г.).Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучоксвета падает на призму с преломляющим углом Аи показателем преломления п (рис. 268) под угломα 1 .После двукратного преломления (на левой и правойгранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол? .Рис. 268 Из рисунка следует, что(185.2)Предположим, что углы А и α 1 малы, тогда углы α 2 , β 1 и β 2 будут такжемалы и вместо синусов этих углов можно воспользоваться их значениями. По- этомуα / β = n, β / α = 1/n, а так как β + β = A,то α = β n = n(A - β ) = n(A -1 1 2 2 1 2 2 2 1α 1 /n) = nA - α 1 , откуда(185.3)Из выражений (185.3) и (185.2) следует, что452(185.4)т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы.Из выражения (185.4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зави-сит от величины n - 1, а n — функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклоненными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдалось И. Ньютоном. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью ди- фракционной решетки, разлагая свет в спектр, можно определить его спек- тральный состав.Рассмотрим различия в дифракционном и призматическом спектрах.1.Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно подлинам волн (см. (180.3)), поэтому по измеренным углам (по направлениям со- ответствующих максимумов) можно вычислить длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показателя преломления, поэтому для определения длины волны света надо знать зависимость n =ƒ ( λ ) (185.1).2. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах распо-лагаются различно. Из (180.3) следует, что в дифракционной решетке синус уг- ла отклонения пропорционален длине волны. Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракцион- ной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям пока- зателя преломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением дли- ны волны уменьшается (рис. 269). Поэтому красные лучи отклоняются призмой слабее, чем фиолетовые.Величинаназываемая дисперсией вещества,показывает, как быстро изменяется показа- тель прело мления с длиной волны. Из рис. 269 следует, что показатель пре- ломления для прозрачных веществ с уменьшением длины волны увеличивается; следовательно, величина dn/dλ по модулю также увеличивается с уменьшениемλ .Рис. 269453Такая дисперсияназывается нормальной. Как будет показано ниже, ход кривой n(λ ) — кривой дисперсии— вблизи линий и полос поглощения будет иным: nуменьшается с уменьшением λ . Такой ход зависимости n от λ называется ано-мальной дисперсией.На явлении нормальной дисперсии основано действие призменныхспектрографов.Несмотря на их некоторые недостатки (например, необходи- мость градуировки, различная дисперсия в разных участках спектра) при опре- делении спектрального состава света, призменные спектрографы находят ши- рокое применение в спектральном анализе. Это объясняется тем, что изготов- ление хороших призм значительно проще, чем изготовление хороших дифрак- ционных решеток. В призменных спектрографах также легче получить боль- шую светосилу.§ 186. Э ЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ СВЕТАИз макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, чтоабсолютный показатель преломления средыгде ε — диэлектрическая проницаемость среды, µ — магнитная проницаемость.В оптической области спектра для всех веществ µ ≈ 1, поэтому(186.1)Из формулы (186.1) выявляются некоторые противоречия с опытом: ве-личина n,являясь переменной (см. § 185), остается в то же время равной опре- деленной постоянной -√ε . Кроме того, значения n, получаемые из этого выра-жения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения диспер- сии света с точки зрения электромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматрива- ется как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными час- тицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колеба- ния в переменном электромагнитном поле волны.Применим электронную теорию дисперсии света для однородного ди-электрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимостиε от частоты ω световых волн. Диэлектрическая проницаемостьвещества, по определению (см. (88.6) и (88.2)), равнагде æ— диэлектрическая восприимчивость среды, ε — электрическая посто-0янная, Р — мгновенное значение поляризованности. Следовательно,(186.2)т. е. зависит от Р.В данном случае основное значение имеет электронная поля- ризация, т. е. вынужденные колебания электронов под действием электриче- ской составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации мо-454лекул частота колебаний в световой волне очень высока (v ≈ 10 15 Гц).В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания со-вершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны — оп- тические электроны. Для простоты рассмотрим колебания только одного опти- ческого электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р = ех,где е— заряд электрона, х— смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концен- трация атомов в диэлектрике равна nто мгновенное значение поляризованно-0стиИз (186.2) и (186.3) получим(186.3) (186.4)Следовательно, задача сводится к определению смещения хэлектронапод действием внешнего поля Е.Поле световой волны будем считать функцией частоты со,т. е. изменяющимся по гармоническому закону: E = E0 cos ω t.Уравнение вынужденных колебаний электрона (см. § 147) для простей-шего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде(186.5)где F = eE — амплитудное значение силы, действующей на электрон со сторо-0 0ны поля волны, ω = k m — собственная частота колебаний электрона, m —0масса электрона. Решив уравнение (186.5), найдем ε = n 2 в зависимости от кон-стант атома (е, m, ω 0 ) и частоты ω внешнего поля, т. е. решим задачу диспер-сии. Решение уравнения (186.5) можно записать в видегде(186.6) (186.7)в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим(186.8)Если в веществе имеются различные заряды e h совершающие вынужден-ные колебания с различными собственными частотами еа 0| , то(186.9)455где m 1 — масса i-го заряда.Из выражений (186.8) и (186.9) вытекает, что показатель преломления лзависит от частоты ω внешнего поля, т. е. полученные зависимости действи-тельно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше до- пущениях, которые в дальнейшем надо устранить. Из выражений (186.8) и (186.9) следует, что в области отω = 0 до ω = ω n 2 больше единицы и возраста-0ет с увеличением ω (нормальная дисперсия); при ω = ω 0 n 2 = ± ∞ ; в области от ω= ω 0 до ω = ∞ n 2 меньше единицы и возрастает от - ∞ до 1 (нормальная диспер-сия). Перейдя от n 2 к n, получим, что график зависимости n от ω имеет вид,изображенный на рис. 270.Рис. 270Такое поведение n вблизиω 0 — результат допущения об отсутствии силсопротивления при колебаниях электронов. Если принять в расчет и это обстоя- тельство, то график функции л (со) вблизи too задается штриховой линией АВ. Область АВ— область аномальной дисперсии (n убывает при возрастанииω ),остальные участки зависимости n от ω описывают нормальную дисперсию (nвозрастает с возрастанием ω ).Российскому физику Д. С. Рождественскому (1876—1940) принадлежитклассическая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал интерференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула (186.9) правиль- но характеризует зависимость n отω , а также ввел в нее поправку, учитываю-щую квантовые свойства света и атомов.§ 187. П ОГЛОЩЕНИЕ ( АБСОРБЦИЯ ) СВЕТА Поглощением (абсорбцией) светаназывается явление уменьшенияэнергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие преоб- разования энергии волны в другие виды энергии. В результате поглощения ин- тенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.Поглощение света в веществе описывается законом Бугера * :* П. Бугер (1698—1758) — французский ученый.456(187.1)где I 0 и I — интенсивности плоской монохроматической световой волны навходе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, α — коэффициентпоглощения, зависящий от длины волны света, химической природы и состоя- ния вещества и не зависящий от интенсивности света. При х=1/α интенсив-ность света I по сравнению с I 0 уменьшается в ераз.Коэффициент поглощения зависит от длины волны λ (или частоты ω )идля различных веществ различен. Например, одноатомные газы и пары метал- лов (т. е. вещества, в которых атомы расположены на значительных расстояни- ях друг от друга и их можно считать изолированными) обладают близким к ну- лю коэффициентом поглощения и лишь для очень узких спектральных областей (примерно 10-12 — 10 -7 м) наблюдаются резкие максимумы (так называемыйлинейчатыйспектр поглощения). Эти линии соответствуют частотам собст- венных колебаний электронов в атомах. Спектр поглощения молекул, опреде- ляемый колебаниями атомов в молекулах, характеризуется полосами погло- щения(примерно 10~10 —10~ 7 м).Коэффициент поглощения для диэлектриков невелик (примерно 10 -3 - 10 -5см -1 ), однако у них наблюдается селективное поглощение света в определенныхинтервалах длин волн, когда а резко возрастает, и наблюдаются сравнительно широкие полосы поглощения, т. е. диэлектрики имеют сплошной спектр по- глощения.Это связано с тем, что в диэлектриках нет свободных электронов и поглощение света обусловлено явлением резонанса при вынужденных колеба- ниях электронов в атомах и атомов в молекулах диэлектрика.Коэффициент поглощения для металлов имеет большие значения (при-мерно 10 3 —10 5 см -1 ) и поэтому металлы являются непрозрачными для света. Вметаллах из-за наличия свободных электронов, движущихся под действием электрического поля световой волны, возникают быстропеременные токи, со- провождающиеся выделением джоулевой теплоты. Поэтому энергия световой волны быстро уменьшается, превращаясь во внутреннюю энергию металла. Чем выше проводимость металла, тем сильнее в нем поглощение света.На рис. 271 представлены типичная зависимость коэффициента поглоще-ния α от длины волны света λ и зависимость показателя преломления n от λ вобласти полосы поглощения.Рис. 271457Из рисунка следует, что внутри полосы поглощения наблюдается ано-мальная дисперсия (nубывает с уменьшением λ ). Однако поглощение веществадолжно быть значительным, чтобы повлиять на ход показателя преломления.Зависимостью коэффициента поглощения от длины волны объясняетсяокрашенность поглощающих тел. Например, стекло, слабо поглощающее крас- ные и оранжевые лучи и сильно поглощающее зеленые и синие, при освещении белым светом будет казаться красным. Если на такое стекло направить зеленый и синий свет, то из-за сильного поглощения света этих длин волн стекло будет казаться черным. Это явление используется для изготовления светофильтров, которые в зависимости от химического состава (стекла с присадками различных солей, пленки из пластмасс, содержащие красители, растворы красителей и т. д.) пропускают свет только определенных длин волн, поглощая остальные. Раз- нообразие пределов селективного (избирательного) поглощения у различных веществ объясняет разнообразие и богатство цветов и красок, наблюдающееся в окружающем мире.Явление поглощения широко используется в абсорбционном спектраль-ном анализе смеси газов, основанном на измерениях спектров частот и интен- сивностей линий (полос) поглощения. Структура спектров поглощения опреде- ляется составом и строением молекул, поэтому изучение спектров поглощения является одним из основных методов количественного и качественного иссле- дования веществ.§ 188. Э ФФЕКТ Д ОПЛЕРАЭффект Доплера в акустике (см. § 159) объясняется тем, что частота ко-лебаний, воспринимаемых приемником, определяется скоростями движения ис- точника колебаний и приемника относительно среды, в которой происходит распространение звуковых воли. Эффект Доплера наблюдается также и при движении относительно друг друга источника и приемника электромагнитных волн. Так как особой среды, служащей носителем электромагнитных волн, не существует, то частота световых волн, воспринимаемых приемником (наблюда- телем), определяется только относительной скоростью источника и приемника (наблюдателя). Закономерности эффекта Доплера для электромагнитных волн устанавливаются на основе специальной теории относительности.Согласно принципу относительности Эйнштейна (см. § 35), уравнениесветовой волны во всех инерциальных системах отсчета одинаково по форме. Используя преобразования Лоренца (см. § 36), можно получить уравнение вол- ны, посылаемой источником, в направлении приемника в другой инерциальной системе отсчета, а следователь но, и связать частоты световых волн, излучае- мых источником (v0 ) и воспринимаемых приемником (v). Теория относительно-сти приводит к следующей формуле, описывающей эффект Доплера для элек- тромагнитных волн в вакууме:458(188.1)где v— скорость источника света относительно приемника, с— скорость света в вакууме,β = v/c, θ — угол между вектором скорости v и направлением на-блюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем. Из выра- жения (188.1) следует, что приθ = 0(188.2)Формула (188.2) определяет так называемый продольный эффект Допле-ра, наблюдаемый при движении приемника вдоль линии, соединяющей его с источником. При малых относительных скоростях v (v ? c),разлагая (188.2) в ряд по степенямβ и пренебрегая членом порядка β 2 ,получим(188.3)Следовательно, при удалении источника и приемника друг от друга (приих положительной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более длин- новолновую область (v < v, λ > λ )— так называемое красное смещение. При0 0сближении же источника и приемника (при их отрицательной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более коротковолновую область (v > v0 , λ < λ 0 )— так называемое фиолетовое смещение.Если θ = π /2, то выражение (188.1) примет вид(188.4)Формула (188.4) определяет так называемый поперечный эффект Допле-ра, наблюдаемый при движении приемника перпендикулярно линии, соеди- няющей его с источником.Из выражения (188.4) следует, что поперечный эффект Доплера зависитот β 2 ,т. е. при малых β является эффектом второго порядка малости по сравне-нию с продольным эффектом, зависящим от β (см. (188.3)). Поэтому обнаруже-ние поперечного эффекта Доплера связано с большими трудностями. Попереч- ный эффект, хотя и много меньше продольного, имеет принципиальное значе- ние, так как не наблюдается в акустике (при v ? cиз (188.4) следует, что v = v0 !), и является, следовательно, релятивистским эффектом.Он связан с замед-лением течения времени движущегося наблюдателя. Экспериментальное обна- ружение поперечного эффекта Доплера явилось еще одним подтверждением справедливости теории относительности; он был обнаружен в 1938 г. в опытах американского физика Г. Айвса.Продольный эффект Доплера был впервые обнаружен в 1900 г. в лабора-459космических тел, так как по смещению частоты световых колебаний, которое проявляется в виде смещения или уширения спектральных линий, определяется характер движения излучающих частиц или излучающих тел. Эффект Доплера получил широкое распространение в радиотехнике и радиолокации, например в радиолокационных измерениях расстояний до движущихся объектов.§ 189. И ЗЛУЧЕНИЕ В АВИЛОВА — Ч ЕРЕНКОВАРоссийский физик П. А. Черенков (1904—1990), работавший под руково-дством Вавилова, показал, что при движении релятивистских заряженных час- тиц в среде с постоянной скоростью v, превышающей фазовую скорость света в этой среде,т. е. при условии v > c/n (n - показатель преломления среды), воз- никает электромагнитное излучение, названное впоследствии излучением (эф- фектом) Вавилова — Черенкова. Природа данного излучения, обнаруженного для разнообразных веществ, в том числе и для чистых жидкостей, подробно изучалась С. И. Вавиловым. Он показал, что данное свечение не является лю- минесценцией (см. § 245), как считалось ранее, и высказал предположение, что оно связано с движением свободных электронов сквозь вещество.Излучение Вавилова — Черенкова в 1937 г. было теоретически объясненороссийскими учеными И. Е. Таммом (1895—1971) и И. М. Франком (р. 1908) (Черенков, Тамм и Франк в 1958 г. удостоены Нобелевской премии).Согласно электромагнитной теории, заряженная частица (например, элек-трон) излучает электромагнитные волны лишь при движении с ускорением. Тамм и Франк показали, что это утверждение справедливо только до тех пор, пока скорость заряжен ной частицы не превышает фазовой скорости с/nэлек- тромагнитных волн в среде, в которой частица движется. Если частица облада- ет скоростью v > c/n,то, даже двигаясь равномерно, она будет излучать элек- тромагнитные волны. Таким образом, согласно теории Тамма и Франка, элек- трон, движущийся в прозрачной среде со скоростью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, должен сам излучать свет.Отличительной особенностью излучения Вавилова — Черенкова являетсяего распространение не по всем направлениям, а лишь по направлениям, со- ставляющим острый уголθ страекторией частицы, т. е. вдоль образующих ко-нуса, ось которого совпадает с направлением скорости частицы. Определим угол в:(189.1)Возникновение излучения Вавилова — Черенкова и его направленностьистолкованы Франком и Таммом на основе представлений об интерференции света с использованием принципа Гюйгенса.На основе излучения Вавилова — Черенкова разработаны широко ис-пользуемые экспериментальные методы для регистрации частиц высоких энер- гий и определения их свойств (направление движения, величина и знак заряда, энергия). Счетчики для регистрации заряженных частиц, в которых использует- ся излучение Вавилова — Черенкова, получили название черенковских счет-460чиков.В этих счетчиках частица регистрируется практически мгновенно (при движении заряженной частицы в среде со скоростью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, возникает световая вспышка, преобразуемая с помощью фотоэлектронного умножителя (см. § 10S) в им пульс тока). Это по- зволило в 1955 г. итальянскому физику Э. Сегре (р. 1905) открыть в черенков- ском счетчике короткоживущую античастицу — антипротон.З АДАЧИ24.1. На грань стеклянной призмы (n = 1,5) нормально падает луч света.Определить угол отклонения луча призмой, если ее преломляющий угол равен 25°. [14°21']24.2. При прохождении света в некотором веществе пути хего интенсив-ность уменьшилась в два раза. Определить, во сколько раз уменьшится интен- сивность света при прохождении им пути 4π . [В 16 раз]24.3. Источник монохроматического света с длиной волны λ 0 =0,6 мкмдвижется по направлению к наблюдателю со скоростью v = 0.15 с (с — ско- рость света в вакууме). Определить длину волныλ ,которую зарегистрируетприемник. [516 нм]24.4. Определить минимальную кинетическую энергию (в мегаэлектрон-вольтах), которой должен обладать электрон, чтобы в среде с показателем пре- ломления n = 1,5 возникло излучение Вавилова — Черенкова. [0,17 МэВ]461ГЛАВА 25ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА§ 190. Е СТЕСТВЕННЫЙ И ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТСледствием теории Максвелла (см. § 162) является поперечность свето-вых волн: векторы напряженностей электрического £ и магнитного Н полей волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору ско- рости v распространения волны (перпендикулярно лучу). Поэтому для описа- ния закономерностей поляризации света достаточно знать поведение лишь од- ного из векторов. Обычно все рассуждения ведутся относительно светового вектора — вектора напряженности Е электрического поля (это название обу- словлено тем, что при действии света на вещество основное значение имеет электрическая составляющая поля волны, действующая на электроны в атомах вещества).Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множе-ства атомов. Атомы же излучают световые волны независимо друг от друга, по- этому световая волна, излучаемая телом в целом, характеризуется всевозмож- ными равновероятными колебаниями светового вектора (рис. 272, а; луч пер- пендикулярен плоскости рисунка). В данном случае равномерное распределе- ние векторов Е объясняется большим числом атомарных излучателей, а равен- ство амплитудных значений векторов Е — одинаковой (в среднем) интенсивно- стью излучения каждого из атомов. Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора Е (и, следовательно, Н) называется естественным.Рис. 272 Свет,в котором направления колебаний светового вектора каким-то об-разом упорядочены, называется поляризованным.Так, если в результате ка- ких-либо внешних воздействий появляется преимущественное (но не исключи- тельное!) направление колебаний вектора Е (рис. 272, б), то имеемдело с час- тично поляризованнымсветом. Свет, в котором вектор Е (и, следовательно, Н) колеблется только в одном направлении, перпендикулярном лучу (рис. 272, в), называется плоскополяризованным (линейно поляризованным).Плоскость, проходящая через направление колебаний светового вектораплоскополяризованной волны и направление распространения этой волны, на- зывается плоскостью поляризации.Плоскополяризованный свет является462предельным случаем эллиптически поляризованного света— света, для ко- торого вектор Е (вектор Н) изменяется со временем так, что его конец описыва- ет эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу. Если эллипс поляри- зации вырождается (см. § 145) в прямую (при разности фаз? ,равной нулю илиπ ), то имеемдело с рассмотренным выше плоскополяризованным светом, еслив окружность (при ? = ± π /2 и равенстве амплитуд складываемых волн), тоимеем дело с циркулярно поляризованным (поляризованным покругу) све- том.Степенью поляризацииназывается величинагде I max и I min , — соответственно максимальная и минимальная интенсивностичастично поляризованного света, пропускаемого анализатором. Для естествен- ного света? Пропускаемого анализатором. Для естественного света Imax = I min иР = 0, для плоскополяризованного I = 0 и Р = 1.minЕстественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный, ис-пользуя так называемые поляризаторы,пропускающие колебания только оп- ределенного направления (например, пропускающие колебания, параллельные главной плоскости поляризатора, и полностью задерживающие колебания, пер- пендикулярные этой плоскости). В качестве поляризаторов могут быть исполь- зованы среды, анизотропные в отношении колебаний вектора Е, например кри- сталлы (их анизотропия известна, см. § 70). Из природных кристаллов, давно используемых в качестве поляризатора, следует от метить турмалин.Рассмотрим классические опыты с турмалином (рис. 273).Рис. 273Направим естественный свет перпендикулярно пластинке турмалина Т1 ,вырезанной параллельно так называемой оптической осиОО'(см. § 192). Вра- щая кристалл Т1 вокруг направления луча, никаких изменении интенсивностипрошедшего через турмалин света не наблюдаем. Если на пути луча поставить вторую пластинку турмалина Ти вращать ее вокруг направления луча, то ин-2тенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в зависимости от уг- ла а между оптическими осями кристаллов по закону Малюса* :* Э. Малюс (1775—1812) — французский физик.463(190.1)где I и I — соответственно интенсивности света, падающего на второй кри-0сталл и вышедшего из него. Следовательно, интенсивность прошедшего через пластинки света изменяется от минимума (полное гашение света) приα = π /2(оптические оси пластинок перпендикулярны) до максимума при α = 0 (оптиче-ские оси пластинок параллельны). Однако, как это следует из рис. 274, ампли- туда Е световых колебаний, прошедших через пластинку T2 будет меньше ам-плитуды световых колебаний E , падающих на пластиду Т .0 1Рис. 274Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то иполучается выражение (190.1).Результаты опытов с кристаллами турмалина объясняются довольно про-сто, если исходить из изложенных выше условий пропускания света поляриза- тором. Первая пластинка турмалина пропускает колебания только определен- ного направления (на рис. 273 это направление показано стрелкой AB),т. е. преобразует естественный свет в плоскополяризованный. Вторая же пластинка турмалина в зависимости от ее ориентации из поляризованного света пропуска- ет большую или меньшую его часть, которая соответствует компоненту Е, па- раллельному оси второго турмалина. На рис. 273 обе пластинки расположены так, что направления пропускаемых ими колебаний АВ и А'В'перпендикулярны друг другу. В данном случае T1 пропускает колебания, направленные по АВ,aT 2 их полностью гасит, т. е. за вторую пластинку турмалина свет не проходит.Пластинка Т 1 ,преобразующая естественный свет в плоскополяризован-ный, является поляризатором. Пластинка Т 2 ,служащая для анализа степени по-ляризации света, называется анализатором. Обе пластинки совершенно одина- ковы (их можно поменять местами).Если пропустить естественный свет через два поляризатора, главныеплоскости которых образуют угол а, то из первого выйдет плоскополяризован-464ный свет, интенсивность которого I 0 = 1/2I ест из второго, согласно (190.1), вый-дет свет интенсивностью I = I cos 2 α . Следовательно, интенсивность света, про-0шедшего через два поляризатора,откуда I max = 1/2 I ест (поляризаторы параллельны) и I min = 0 (поляризаторыскрещены).§ 191. П ОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА ПРИ ОТРАЖЕНИИ И ПРЕЛОМЛЕНИИ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВЕсли естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков(например, воздуха и стекла), то часть его отражается, а часть преломляется и распространяется во второй среде. Устанавливая на пути отраженного и пре- ломленного лучей анализатор (например, турмалин), убеждаемся в том, что от- раженный и преломленный лучи частично поляризованы: при поворачивании анализатора вокруг лучей интенсивность света периодически усиливается и ос- лабевает (полного гашения не наблюдается!). Дальнейшие исследования пока- зали, что в отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плос- кости падения (на рис. 275 они обозначены точками), в прелом ленном — коле- бания, параллельные плоскости падения (изображены стрелками).Рис. 275Степень поляризации (степень выделения световых волн с определеннойориентацией электрического (и магнитного) вектора) зависит от угла падения лучей и показателя преломления. Шотландский физик Д. Брюстер (1781—1868) установил закон, согласно которому при угле паденияIB (угол Брюстера), опре-деляемого соотношением(n 21 — показатель преломления второй среды относительно первой), отра-465женный луч является плоскополяризованным(содержит только колебания, пер- пендикулярные плоскости падения) (рис. 276). Преломленный же луч при угле паденияiB поляризуется максимально, но не полностью.Рис. 276Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженныйи преломленный лучи взаимно перпендикулярны(tgi B = sini B /cosi B , n 21 = sini B /sini 2 (i 2 — угол преломления), откуда cosi B = sini 2 ). Следовательно, i B – i 2 = π /2,но i ′ B = i B (закон отражения), поэтому i' B + i 2 = π /2.Степень поляризации отраженного и преломленного света при различныхуглах падения можно рассчитать из уравнений Максвелла, если учесть гранич- ные условия для электромагнитного поля на границе раздела двух изотропных диэлектриков (так называемые формулы Френеля).Степень поляризации преломленного света может быть значительно по-вышена (многократным преломлением при условии падения света каждый раз на границу раздела под углом Брюстера). Если, например, для стекла (n = 1,53) степень поляризации преломленного луча составляет «15%, то после преломле- ния на 8—10 наложенных друг на друга стеклянных пластинок вышедший из такой системы свет будет практически полностью поляризованным. Такая со- вокупность пластинок называется стопой. Стопа может служить для анализа поляризованного света как при его отражении, так и при его преломлении.§ 192. Д ВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕВсе прозрачные кристаллы (кроме кристаллов кубической системы, кото-рые оптически изотропны) обладают способностью двойного лучепреломления, т. е. раздваивания каждого падающего на них светового пучка. Это явление, в 1669 г. впервые обнаруженное датским ученым Э. Бартолином (162S—1698) для исландского шпата (разновидность кальцита СаСО), объясняется особен-3466ностями распространения света в анизотропных средах и непосредственно вы- текает из уравнений Максвелла.Если на толстый кристалл исландского шпата направить узкий пучок све-та, то из кристалла выйдут два пространственно разделенных луча, параллель- ных друг другу и падающему лучу (рис. 277).Рис. 277Даже в том случае, когда первичный пучок падает на кристалл нормаль-но, преломленный пучок разделяется на два, причем один из них является про- должением первичного, а второй отклоняется (рис. 278). Второй из этих лучей получил название необыкновенного (е),а первый — обыкновенного (о).Рис. 278В кристалле исландского шпата имеется единственное направление,вдоль которого двойное лучепреломление не наблюдается. Направление в оп- тически анизотропном кристалле, по которому луч света распространяется, не испытывая двойного луче преломления, называется оптической осью кристал- ла. В данном случае речь идет именно о направлении,а не о прямой линии, про- ходящей через какую-то точку кристалла. Любая прямая, проходящая парал- лельно данному направлению, является оптической осью кристалла.Кристаллы в зависимости от типа их симметрии бывают одноосные и двуосные, т. е. имеют одну или две оптические оси (к первым и относится исландский шпат).Исследования показывают, что вышедшие из кристалла лучи плоскопо-ляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Плоскость, проходящая через направление луча света и оптическую ось кристалла, называется главной467плоскостью (или главным сечением кристалла). Колебания светового вектора (вектора напряженности Е электрического поля) в обыкновенном луче проис- ходят перпендикулярно главной плоскости, в необыкновенном — в главной плоскости (рис. 278).Неодинаковое преломление обыкновенного и необыкновенного лучейуказывает на различие для них показателей преломления. Очевидно, что при любом направлении обыкновенного луча колебания светового вектора перпен- дикулярны оптической оси кристалла, поэтому обыкновенный луч распростра- няется по всем направлениям с одинаковой скоростью и, следовательно, пока- затель преломления n0 для него есть вели чина постоянная. Для необыкновен-ного же луча угол между направлением колебаний светового вектора и оптиче- ской осью отличен от прямого и зависит от направления луча, поэтому необык- новенные лучи распространяются по различным направлениям с разными ско- ростями. Следовательно, показатель преломления пе необыкновенного луча яв-ляется переменной величиной, зависящей от направления луча. Таким образом, обыкновенный луч подчиняется закону преломления (отсюда и название «обыкновенный»), а для необыкновенного луча этот закон не выполняется. По- сле выхода из кристалла, если не принимать во внимание поляризацию во вза- имно перпендикулярных плоскостях, эти два луча ничем друг от друга не отли- чаются.Как уже рассматривалось, обыкновенные лучи распространяются в кри-сталле по всем направлениям с одинаковой скоростью v 0 = c/n 0 ,а необыкновен-ные — с разной скоростью v в =с/n в . (в зависимости от угла между вектором Е иоптической осью). Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси, n 0 =n e , v 0 = v e т.е. вдоль оптической оси существует только одна скорость распро-странения света. Различие в v e и v в для всех направлений, кроме направленияоптической оси, и обусловливает явление двойного лучепреломления света в одноосных кристаллах.Допустим, что в точке Sвнутри одноосного кристалла находится точеч-ный источник света. На рис. 279 показано распространение обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле (главная плоскость совпадает с плоско- стью чертежа, ОО' — направление оптической оси).468Волновой поверхностью обыкновенного луча (он распространяется с v 0 =const) является сфера, необыкновенного луча (v ≠ const) — эллипсоид враще-eния. Наибольшее расхождение волновых поверхностей обыкновенного и не- обыкновенного лучей наблюдается в направлении, перпендикулярном оптиче- ской оси. Эллипсоид и сфера касаются друг друга в точках их пересечения с оптической осью ОО',Если то ve < v о (n е > n o ),эллипсоид необыкновенного лучавписан в сферу обыкновенного луча (эллипсоид скоростей вытянут относи- тельно оптической оси) и одноосный кристалл называется положительным (рис. 279, а).Если ve > v 0 (n e < n 0 ),то эллипсоид описан вокруг сферы (эллипсо-ид скоростей растянут в направлении, перпендикулярном оптической оси) и одноосный кристалл называется отрицательным (рис. 279, б).Рассмотренный выше исландский шпат относится к отрицательным кристаллам.В качестве примера построения обыкновенного и необыкновенного лучейрассмотрим преломление плоской волны на границе анизотропной среды, на- пример положи тельной (рис. 280).Рис. 280Пусть свет падает нормально к преломляющей грани кристалла, а опти-ческая ось ОО'составляет с нею некоторый угол. С центрами в точках Аи Впо строим сферические волновые поверхности, соответствующие обыкновенному лучу, и эллипсоидальные — необыкновенному лучу. В точке, лежащей на ОО', эти поверхности соприкасаются. Согласно принципу Гюйгенса, поверхность, касательная к сферам, будет фронтом (а—а)обыкновенной волны, поверхность, касательная к эллипсоидам, — фронтом (b—b)необыкновенной волны. Прове- дя к точкам касания прямые, получим направления распространения обыкно- венного (о)и необыкновенного (е)лучей. Таким образом, в данном случае обыкновенный луч пойдет вдоль первоначального направления, необыкновен- ный же отклонится от первоначального направления.469§ 193. П ОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ПРИЗМЫ И ПОЛЯРОИДЫВ основе работы поляризационных приспособлений, служащих для полу-чения поляризованного света, лежит явление двойного лучепреломления. Наи- более часто для этого применяются призмы и поляроиды. Призмы делятся на два класса:1) призмы, дающие только плоскополяризованный луч (поляризацион-ные призмы);2) призмы, дающие два поляризованных во взаимно перпендикулярныхплоскостях луга (двоякопреломляющие призмы).Поляризационные призмы построены по принципу полного отражения(см. § 165) одного из лучей (например, обыкновенного) от границы раздела, в то время как другой луч с другим показателем преломления проходит через эту границу. Типичным представителем поляризационных призм является првзма Ннколь* , называемая часто ни?колем. Призма Николя (рис. 281) представляетсобой двойную призму из исландского шпата, склеенную вдоль линии АВка- надским бальзамом с n = 1,55. Оптическая ось ОО'призмы составляет с вход- ной гранью угол 48°. На передней грани призмы естественный луч, параллель- ный ребру СВ,раздваивается на два луча: обыкновенный (n= 1,66) и необык-oновенный (n e = 1,51). При соответствующем подборе угла падения, равного илибольшего предельного, обыкновенный луч испытывает полное отражение (ка- надский бальзам для него является средой оптически менее плотной), а затем поглощается зачерненной боковой поверхностью СВ.Необыкновенный луч вы- ходит из кристалла параллельно падающему лучу, незначительно смещенному относительно него (ввиду преломления на наклонных гранях АСи BD).Рис. 281Двоякопреломляющие призмы используют различие в показателях пре-ломления обыкновенного и необыкновенного лучей, чтобы развести их воз- можно дальше друг от друга. Примером двоякопреломляющих призм могут служить призмы из исландского шпата и стекла, призмы, составленные из двух призм из исландского шпата со взаимно перпендикулярными оптическими ося- ми. Для первых призм (рис. 282) обыкновенный луч преломляется в шпате и470стекле два раза и, следовательно, сильно отклоняется, необыкновенный же луч при соответствующем подборе показателя преломления стекла n(n≈ n е ) прохо-дит призму почти без отклонения. Для вторых призм различие в ориентировке оптических осей влияет на угол расхождения между обыкновенным и необык- новенным лучами.Рис. 282Двоякопреломляющие кристаллы обладают свойством дихроизма,т. е.различного поглощения света в зависимости от ориентации электрического вектора световой волны, и называются дихроичными кристаллами.Приме- ром сильно дихроичного кристалла является турмалин, в котором из-за сильно- го селективного поглощения обыкновенного луча уже при толщине пластинки 1 мм из нее выходит только необыкновенный луч. Такое различие в поглоще- нии, зависящее, кроме того, от длины волны, приводит к тому, что при освеще- нии дихроичного кристалла белым светом кристалл по разным направлениям оказывается различно окрашенным.Дихроичные кристаллы приобрели еще более важное значение в связи сизобретением поляроидов.Примером поляроида может служить тонкая пленка из целлулоида, в которую вкраплены кристаллики герапатита (сернокислого иод-хинина). Герапатит — двоякопреломляющее вещество с очень сильно вы- раженным дихроизмом в области видимого света. Установлено, что такая плен- ка уже при толщине≈ 0,1 мм полностью поглощает обыкновенные лучи види-мой области спектра, являясь в таком тонком слое совершенным поляризато- ром. Преимущество поляроидов перед призмами — возможность изготовлять их с площадями поверхностей до нескольких квадратных метров. Однако сте- пень поляризации в них сильнее зависит от А, чем в призмах. Кроме того, их меньшая по сравнению с призмами прозрачность (приблизительно 30%) в соче- тании с небольшой термостойкостью не позволяет использовать поляроиды в мощных световых потоках. Поляроиды применяются, например, для защиты от ослепляющего действия солнечных лучей и фар встречного автотранспорта.Разные кристаллы создают различное по значению н направлению двой-ное луче преломление, поэтому, пропуская через них поляризованный свет и измеряя изменение его интенсивности после прохождения кристаллов, можно определить их оптические характеристики и производить минералогический анализ. Для этой цели используются поляризационные микроскопы.471• Что называется оптической осью кристалла ? Чем отличаются двуосные кристаллы от одноос -ных ?• Чем обусловлено двойное лучепреломление в оптически анизотропном одноосном кристалле ?Чем отличаются отрицательные кристаллы от положительных ? Приведите построение волновыхповерхностей для о и е лучей .• Какие поляризационные приборы вы знаете ? В чем заключается принцип их действия ?§ 194. А НАЛИЗ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТАПусть на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптиче-ской оси, нормально падает плоскополяризованный свет (рис. 283). Внутри пластинки он разбивается на обыкновенный (о)и необыкновенный (е)лучи, ко- торые в кристалле пространственно не разделены (но движутся с разными ско- ростями), а на выходе из кристалла складываются.Рис. 283Так как в обыкновенном и необыкновенном лучах колебания световоговектора совершаются во взаимно перпендикулярных направлениях, то на выхо- де из пластинки в результате сложения этих колебаний возникают световые волны, вектор Е (а следовательно, и Н) в которых меняется со временем так, что его конец описывает эллипс, ориентированный произвольно относительно координатных осей. Уравнение этого эллипса (см. (145.2)):(194.1)где Е 0 и л Е е — соответственно составляющие напряженности электрическогополя волны в обыкновенном и необыкновенном лучах, ? — разность фаз коле-баний. Таким образом, в результате прохождения через кристаллическую пла- стинку плоскополяризованныйсвет превращается в эллиптически поляризован- ный.Между обыкновенным и необыкновенным лучами в пластинке возникаетоптическая разность хода472если разность фазгде d— толщина пластинки, λ — длина волны света в вакууме. Если0? =(n 0 - n е )d = λ /4, ? =± π /2, то уравнение (194.1) примет видт. е. эллипс ориентирован относительно главных осей кристалла. При Е 0 = Е е(если световой вектор в падающем на пластинку плоскополяризованном свете составляет уголα = 45° с направлением оптической оси пластинки)т. е. на выходе из пластинки свет оказывается циркулярно поляризованным.Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для которой оптиче-ская разность ходаназывается пластинкой в четверть волны (пластинкой λ /4). Знак плюс соответ-ствует отрицательным кристаллам, минус — положительным. Плоскополяризо- ванный свет, пройдя пластинкуλ /4, на выходе превращается в эллиптическиполяризованный (в частном случае циркулярно поляризованный). Конечный результат, как уже рассматривали, определяется разностью фаз? и углом α .Пластинка, для которойназывается пластинкой в полволны и т. д.В циркулярно поляризованном свете разность фаз ? между любыми дву-мя взаимно перпендикулярными колебаниями равна ± π /2. Если на пути такогосвета поставить пластинку λ /4, то она внесет дополнительную разность фаз± π /2.Результирующая разность фаз станет равной 0 или π . Следовательно (см.(194.1)), циркулярно поляризованный свет, пройдя пластинку λ /4, становитсяплоскополяризованным. Если теперь на пути луча поставить поляризатор, то можно добиться полного его гашения. Если же падающий свет естественный, то он при прохождении пластинкиλ /4 таковым и останется (ни при каком по-ложении пластинки и поляризатора погашения луча не достичь).Таким образом, если при вращении поляризатора при любом положениипластинки интенсивность не меняется, то падающий свет естественный. Если интенсивность меняется и можно достичь полного гашения луча, то падающий свет циркулярно поляризованный; если полного гашения не достичь, то па- дающий свет представляет смесь естественного и циркулярно поляризованного.Если на пути эллиптически поляризованного света поместить пластинку473λ /4, оптическая ось которой ориентирована параллельно одной из осей эллипса,то она внесет дополнительную разность фаз ± π /2. Результирующая разностьфаз станет равной нулю или п.Следовательно, эллиптически поляризованный свет, пройдя пластинкуλ /4, повернутую определенным образом, превращаетсяв плоскополяризованный и может быть погашен поворотом поляризатора. Этим методом можно отличить эллиптически поляризованный свет от частично по- ляризованного или циркулярно поляризованный свет от естественного.§ 195. И СКУССТВЕННАЯ ОПТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯДвойное лучепреломление имеет место в естественных анизотропныхсредах (см. § 192). Существуют, однако, различные способы получения искус- ственной оптической анизотропия, т. е. сообщения оптической анизотропии ес- тественно изотропным веществам.Оптически изотропные вещества становятся оптически анизотропнымипод действием: 1) одностороннего сжатия или растяжения (кристаллы кубиче- ской системы, стекла и др.); 2) электрического поля (эффект Керра* ; жидкости,аморфные тела, тазы); 3) магнитного поля (жидкости, стекла, коллоиды). В пе- речисленных случаях вещество приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого со впадает с направлением деформации, электрическо- го или магнитного полей соответственно указанным выше воздействиям.Мерой возникающей оптической анизотропии служит разность показате-лей прело мления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси:(195.1)где k 1 , k 2 , k 3 — постоянные, характеризующие вещество, σ — нормальное на-пряжение (см. § 21), Е и Н— соответственно напряженность электрического и магнитного полей. На рис. 284 приведена установка для наблюдения эффекта Керра в жидкостях (установки для изучения рассмотренных явлений однотип- ны). Ячейка Керра — кювета с жидкостью (например, нитробензолом), в кото- рую введены пластины конденсатора, помещается между скрещенными поля- ризатором Ри анализатором А.При отсутствии электрического поля свет через систему не проходит. При наложении электрического поля жидкость становит- ся двоякопреломляющей; при изменении разности потенциалов между электро- дами меняется степень анизотропии вещества, а следовательно, и интенсив- ность света, прошедшего через анализатор. На пути l между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает оптическая разность хода* Д. Керр (1824—1904) —шотландский физик.474(с учетом формулы (195.1)) или соответственно разность фазгде B = k 2 / λ — постоянная Керра.Рис. 284Эффект Керра — оптическая анизотропия веществ под действием элек-трического поля — объясняется различной поляризуемостью молекул жидко- сти по разным направлениям. Это явление практически безынерционно, т.е. время перехода вещества из изотропного состояния в анизотропное при вклю- чении поля (и обратно) составляет приблизительно 10-10 с. Поэтому ячейка Кер-ра служит идеальным световым затвором и применяется в быстропротекающих процессах (звукозапись, воспроизводство звука, скоростная фото- и киносъем- ка, изучение скорости распространения света и т. д.), в оптической локации, в оптической телефонии и т. д.Искусственная анизотропия под действием механических воздействийпозволяет исследовать напряжения, возникающие в прозрачных телах. В дан- ном случае о степени деформации отдельных участков изделия (например, ос- таточных деформаций в стекле при закалке) судят по распределению в нем ок- раски. Так как применяемые обычно в технике материалы (металлы) непро- зрачны, то исследование напряжений производят на прозрачных моделях, а по- том делают соответствующий пересчет на проектируемую конструкцию.§ 196. В РАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИНекоторые вещества (например, из твердых тел — кварц, сахар, кино-варь, из жид костей — водный раствор сахара, винная кислота, скипидар), на- зываемые оптически активными, обладают способностью вращать плоскость поляризации.Вращение плоскости поляризации можно наблюдать на следующем опы-те (рис. 285). Если между скрещенными поляризатором Ри анализатором А, дающими темное поле зрения, поместить оптически активное вещество (на- пример, кювету с раствором сахара), то поле зрения анализатора просветляется. При повороте анализатора на некоторый угол? можно вновь получить темноеполе зрения. Угол ? и есть угол, на который оптически активное вещество по-ворачивает плоскость поляризации света, прошедшего через поляризатор. Так как поворотом анализатора можно получить темное поле зрения, то свет, про-475шедший через оптически активное вещество, является плоскополяризованным.Рис. 285Опыт показывает, что угол поворота плоскости поляризации для оптиче-ски активных кристаллов и чистых жидкостейдля оптически активных растворов(196.1)где d— расстояние, пройденное светом в оптически активном веществе, α([ α ]) — так называемое удельное вращение, численно равное углу поворотаплоскости поляризации света слоем оптически активного вещества единичной толщины (единичной концентрации — для растворов), С —массовая концен- трация оптически активного вещества в растворе, кг/м3 . Удельное вращение за-висит от природы вещества, температуры и длины волны света в вакууме.Опыт показывает, что все вещества, оптически активные в жидком со-стоянии, обладают таким же свойством и в кристаллическом состоянии. Однако если вещества активны в кристаллическом состоянии, то не всегда активны в жидком (например, расплавленный кварц). Следовательно, оптическая актив- ность обусловливается как строением молекул вещества (их асимметрией), так и особенностями расположения частиц в кристаллической решетке.Оптически активные вещества в зависимости от направления вращенияплоскости поляризации разделяются на право- и левовращающне. В первом случае плоскость поляризации, если смотреть навстречу лучу, вращается впра- во (по часовой стрелке), во втором — влево (против часовой стрелки). Враще- ние плоскости поляризации объяснено О. Френелем (1817 г.). Согласно теории Френеля, скорость распространения света в оптически активных веществах раз- лична для лучей, поляризованных по кругу вправо и влево.Явление вращения плоскости поляризации и, в частности, формула(196.1) лежат в основе точного метода определения концентрации растворов оптически активных веществ, называемого поляриметрие1 (сахариметрией). Для этого используется установка, показанная на рис. 285. По найденному углу поворота плоскости поляризации? и известному значению [ α ] из (196.1) нахо-дится концентрация растворенного вещества.Впоследствии М. Фарадеем было обнаружено вращение плоскости поля-476го поля. Это явление получило название эффекта Фарадея (или магнитного вра- щения плоскости поляризации). Оно имело огромное значение для науки, так как было первым явлением, в котором обнаружилась связь между оптическими и электромагнитными процессами.З АДАЧИ25.1. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественно-го света, прошедшего через два поляризатора, расположенные так, что угол между их главными плоскостями равен 45°, а в каждом из николей теряется 5% интенсивности падающего на него света. [В 4,43 раза]25.2. Предельный угол полного отражения для пучка света на границекристалла каменной соли с воздухом равен 40,5°. Определить угол Брюстера при падении света из воздуха на поверхность этого кристалла. (57е ]25.3. Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме »600нм, падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси. Принимая показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно n= 1,66 и n = 1,49, определить дли-o eны волн этих лучей в кристалле. [ λ o = 361 нм, λ e = 403 нм]25.4. Определить наименьшую толщину кристаллической пластинки вполволны для λ =589 нм, если разность показателей преломления обыкновен-ного и необыкновенного лучей для данной длины волны n – n = 0,17. [1,73o eмкм]25.5. Естественный монохроматический свет падает на систему из двухскрещенных николей, между которыми находится кварцевая пластинка толщи- ной 4 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси. Во сколько раз умень- шится интенсивность света, прошедшего через эту систему, если удельное вра- щение кварца равно 15 утл. град/мм? [В 2,67 раза]477ГЛАВА 26КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ§ 197. Т ЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И « ГО ХАРАКТЕРИСТИКИТела, нагретые до достаточно высоких температур, светятся. Свечениетел, обусловленное нагреванием, называется тепловым (температурным) излу- чением. Тепловое излучение, являясь самым распространенным в природе, со- вершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества (т. е. за счет его внутренней энергии) и свойственно всем телам при температуре выше 0 К. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положе- ние максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, при низких — преимущественно длинные (инфракрасные).Тепловое излучение — практически единственный вид излучения, кото-рый может быть равновесным. Предположим, что нагретое (излучающее) тело помещено в полость, ограниченную идеально отражающей оболочкой. С тече- нием времени, в результате непрерывного обмена энергией между телом и из- лучением, наступит равновесие, т. е. тело в единицу времени будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать. Допустим, что равновесие между те- лом и излучением по какой-либо причине нарушено и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Если в единицу времени тело больше излучает, чем по- глощает (или наоборот), то температура тела начнет понижаться (или повы- шаться). В результате будет ослабляться (или возрастать) количество излучае- мой телом энергии, пока, наконец, не установится равновесие. Все другие виды излучения неравновесны.Количественной характеристикой теплового излучения служит спек-тральная плотность энергетической светимости (излучательностн) тела — мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины:где dW изл v, dv — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за едини-цу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в ин- тервале частот от v до v+dv.Единица спектральной плотности энергетической светимости (R )—v,Tджоуль на метр в квадрате(Дж/м 2 ).Записанную формулу можно представить в виде функции длины волны:Так как c = λ v, то478где знак минус указывает на то, что с возрастанием одной из величин ( V или λ )другая величина убывает. Поэтому в дальнейшем знак минус будем опускать. Таким образом,(197.1)С помощью формулы (197.1) можно перейти от R v,T к R λ ,T ,и наоборот.Зная спектральную плотность энергетической светимости, можно вычис-лить интегральную энергетическую светимость (интегральную нзлуча- тельность)(ее называют про сто энергетической светимостью тела), просум- мировав по всем частотам:(197.2)Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуетсяспектральной поглощательной способностьюпоказывающей, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на еди- ницу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волна- ми с частота ми от v до v+dv, поглощается телом. Спектральная поглощатель- ная способность — величина безразмерная. Величины Rv,T и А v,T зависят отприроды тела, его термодинамической температуры и при этом различаются для излучений с различными частотами. Поэтому эти величины относят к опре- деленным Т иv (вернее, к достаточно узкому интервалу частот от v до v+dv). Тело, способное поглощать полностью при любой температуре все па-дающее на него излучение любой частоты, называется черным.Следовательно, спектральная поглощательная способность черного тела для всех частот и тем- ператур тождественно равна единице (Ач v,T = 1). Абсолютно черных тел в при-роде нет, однако такие тела, как сажа, платиновая чернь, черный бархат и неко- торые другие, в определенном интервале частот по своим свойствам близки к ним.Идеальной моделью черного тела является замкнутая полость с неболь-шим отверстием О,внутренняя поверхность которой зачернена (рис. 286). Луч света, попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, в результате чего интенсивность вышедшего излучения оказывается практически равной нулю. Опыт показывает, что при размере отверстия, мень- шего 0,1 диаметра полости, падающее излучение всех частот полностью по- глощается. Вследствие этого открытые окна домов со стороны улицы кажутся черными, хотя внутри комнат достаточно светло из-за отражения света от стен.Наряду с понятием черного тела используют понятие серого тела — тела,поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности479тела. Таким образом, дня серого тела А с v,T = А Т =const <1.Рис. 286Исследование теплового излучения сыграло важную роль в созданииквантовой теории света, поэтому необходимо рассмотреть законы, которым оно подчиняется.§ 198. З АКОН К ИРХГОФАКирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условияравновесного излучения в изолированной системе тел, установил количествен- ную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спек- тральной поглощательной способностью тел. Отношение спектральной плотно- сти энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры (закон Кирхгофа):(198.1)Для черного тела А ч ≡ 1,поэтому из закона Кирхгофа (см. (198.1)) вы-v,Tтекает, что R v,T для черного тела равна r v,T . Таким образом, универсальнаяфункция Кирхгофа r v,T есть не что иное, как спектральная плотность энерге-тической светимости черного тела.Следовательно, согласно закону Кирхго- фа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимо- сти к спектральной плотности энергетической светимости к спектральной по- глощательной способности равно спектральной плотности энергетической све- тимости черного тела при той же температуре и частоте.Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетическойсветимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости черного тела (при тех же значениях Ти v), так как Аv,T <1 и поэтому R v,T < r v,T . Кроме того, из (198.1) вытекает, что ес-ли тело при данной температуре T не поглощает электромагнитные волны в ин- тервале частот от v до v+dv, то оно их в этом интервале частот при температуре T и не излучает, так как при Аv,T =0 R v,T = 0.480Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимоститела (197.2) можно записать в видеДля серого телагде(198.2)— энергетическая светимость черного тела (зависит только от темпера-туры).Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолькохарактерным для него, что может служить надежным критерием для определе- ния природы излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым.§ 199. З АКОНЫ С ТЕФАНА — Б ОЛЬЦМАНА И СМЕЩЕНИЯ В ИНАИз закона Кирхгофа (см. (198.1)) следует, что спектральная плотностьэнергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения.Австрийский физик И. Стефан (183S—1893), анализируя эксперимен-тальные данные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетиче- ской светимости Л, от температуры. Согласно закону Стефана — Больцмана,(199.1)т. е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой сте- пени его термодинамической температуры;σ — постоянная Стефана — Больц-мана: ее экспериментальное значение равно 5,67 ⋅ 10 -8 Вт/(м 2 ⋅ К 4 ).Закон Стефана — Больцмана, определяя зависимость R e от температуры,не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции rλ ,T от длины волны λ? ? ? r λ , T = λ c 2 r v , T ? ? ? при различных температурах (рис. 287) следует, что распределе-ние энергии в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые име- ют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры481смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой за- висимости rλ ,T от λ и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимо-сти R e ,черного тела и, следовательно, по закону Стефана — Больцмана, четвер-той степени температуры.Рис. 287Немецкий физик В. Вин (1864—1928), опираясь на законы термо- и элек-тродинамики, установил зависимость длины волны λ max , соответствующей мак-симуму функции r λ ,T от температуры Т.Согласно закону смещения Вина,(199.2)т. е. длина волны λ max , соответствующая максимальному значению спектраль-ной плотности энергетической светимости r λ ,T черного тела, обратно пропор-циональна его термодинамической температуре, b— постоянная Вина; ее экс- периментальное значение равно 2,9⋅ 10 -3 м ⋅ К. Выражение (199.2) потому назы-вают законом смещенияВина, что оно показывает смещение положения макси- мума функции rλ ,T по мере возрастания' температуры в область коротких длинволн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).§ 200. Ф ОРМУЛЫ Р ЭЛЕЯ — Д ЖИНСА И П ЛАНКАИз рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что тер-модинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа rv,T не дал желаемых результатов. Следующая строгая по-пытка теоретического вывода зависимости r v,T принадлежит английским уче-ным Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому из- лучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим за- коном равномерного распределения энергии по степеням свободы.Формула Рэлея — Джннса для спектральной плотности энергетическойсветимости черного тела имеет вид(200.1)482где ⟨ ε ⟩ = kT—средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Для ос-циллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потен- циальной энергий одинаковы (см. § 50), поэтому средняя энергия каждой коле- бательной степени свободы ⟨ε ⟩ = kT.Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальнымиданными тольков области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспери- ментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана — Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использо- ванием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))в то время как по закону Стефана — Больцмана R e пропорциональна четвертойстепени температуры. Этотрезультат получил название «ультрафиолетовой ка- тастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяс- нить законы распределения энергии в спектре черного тела.В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Ви-на (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображе- ний:r v1,T = Cv 3 Ae -Av/Tгде r— спектральная плотность энергетической светимости черного тела, Сv1,Tи А— постоянные величины. В современных обозначениях с использованием постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в видеПравильное, согласующееся с опытными данными выражение для спек-тральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно,т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой ги- потезе,атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определен- ными порциями — квантами,причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):(200.2)где h=6,625 ⋅ 10 -34 Дж ⋅ с — постоянная Планка.Так как излучение испускаетсяпорциями, то энергия осциллятора е может принимать лишь определенные дис-483кретные значения,кратные целому числу элементарных порций энергии ε 0 :В данном случае среднюю энергию ⟨ ε ⟩ осциллятора нельзя приниматьравной kT.В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана (§ 45), средняя энергия осциллятораа спектральная плотность энергетической светимости черного телаТаким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофаформулу(200.3)которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределе- нию энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур.Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декаб- ря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.В области малых частот, т. е. при hv << kT(энергия кванта очень мала посравнению с энергией теплового движения kT),формула Планка (200.3) совпа- дает с формулой Рэлея — Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого слу- чая двумя первыми членами:Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, чтот. е. получили формулу Рэлея — Джинса (200.1). Из формулы Планка можно получить закон Стефана — Больцмана. Со-гласно (198.3) и (200.3),484Введем безразмерную переменную x = hv/(kT); dx = hdv/(kT);dv =kTdx/h. Формула для R e , преобразуется к виду(200.4). Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить за-кон Стефана — Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подста- новка числовых значений k, си h дает для постоянной Стефана — Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон сме- щения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):откудаЗначение λ max , при котором функция достигает максимума, найдем, при-равняв нулю эту производную. Тогда, введя x = hc/(kT λ max ),получим уравнениеРешение этого трансцендентного уравнения методом последовательныхприближений дает х=4,965. Следовательно, hc/(kT λ max ) = 4,965, откудат. е. получили закон смещения Вина (см. (199.2)).Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, kи с, можно вы-числить постоянные Стефана — Больцмана аи Вина b. Сдругой стороны, зная экспериментальные значения а и b,можно вычислить значения А и k(именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспе-риментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового из- лучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излуче-485ния. Следовательно, формула Планка является полным решением основной за- дачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало воз- можным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка. § 201. О ПТИЧЕСКАЯ ПИРОМЕТРИЯ .Т ЕПЛОВЫЕ ИСТОЧНИКИ СВЕТАЗаконы теплового излучения используются для измерения температурыраскаленных и самосветящихся тел (например, звезд). Методы измерения высо- ких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергети- ческой светимости или интегральной энергетической светимости тел от темпе- ратуры, называются оптической пирометрией. Приборы для измерения темпе- ратуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называются пирометрами. В зависимости от того, какой за- кон теплового излучения используется при измерении температуры тел, разли- чают радиационную, цветовую и яркостную температуры.1. Радиационная температура — это такая температура черного тела,при которой его энергетическая светимость R e , (см. (198.3)) равна энергетиче-ской светимости R T (см. (197.2)) исследуемого тела. В данном случае регистри-руется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана — Больцмана (199.1) вычисляется его радиационная температура:Радиационная температура Т р тела всегда меньше его истинной темпера-туры Т.Для доказательства этого предположим, что исследуемое тело является серым. Тогда, используя (199.1) и (198.2), можно записатьС другой стороны,Из сравнения этих выражений вытекает, чтоТак как А т < 1, то Т р < Т,т. е. истинная температура тела всегда выше ра-диационной.2. Цветовая температурa. Для серых тел (или тел, близких к ним посвойствам) спектральная плотность энергетической светимостигде A T = const < l. Следовательно, распределение энергии в спектре излучениясерого тела такое же, как и в спектре черного тела, имеющего ту же температу- ру, поэтому к серым телам применим закон смещения Вина (см. (199.2)). Зная длину волныλ , соответствующую максимальной спектральной плотностиmax486энергетической светимости R λ ,T исследуемого тела, можно определить его тем-пературукоторая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температу- ра совпадает с истинной. Для тел, которые сильно отличаются от серых (на- пример, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой темпера- туры теряет смысл. Таким способом определяется температура на поверхности Солнца (Tц ≈ 6500 К) и звезд.3. Яркостная температуря Т я — это температура черного тела, при ко-торой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетиче- ской светимости равна спектральной плотности энергетической светимости ис- следуемого тела, т. е.(201.1)где Т—истинная температура тела. По закону Кирхгофа (см. (198.1)), для ис- следуемого тела при длине волныλили, учитывая (201.1),(201.2)Так как для нечерных тел А < 0, то r λ ,Tя < r λ ,T и, следовательно, Т Я < Т,т.е. истинная температура тела всегда выше яркостной.В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с исче-зающей нитъю. Накал нити пирометра подбирается таким, чтобы выполнялось условие (201.1). В данном случае изображение нити пирометра становится не- различимым на фоне поверхности раскаленного тела, т. е. нить как бы «исчеза- ет». Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную температуру.Зная поглощательную способность А λ ,T тела при той же длине волны, пояркостной температуре можно определить истинную. Переписав формулу Планка (200.3) в видеи учитывая это в (201.2), получимт. е. при известных А λ ,T и λ можно определить истинную температуру4874. Тепловые источники света. Свечение раскаленных тел используетсядля создания источников света, первые из которых — лампы накаливания и ду- говые лампы — были соответственно изобретены русскими учеными А. Н. Ло- дыгиным в 1873 г. и П. Н. Яблочковым в 1876 г.На первый взгляд кажется, что черные тела должны быть наилучшимитепловыми источниками света, так как их спектральная плотность энергетиче- ской светимости для любой длины волны больше спектральной плотности энергетической светимости не черных тел, взятых при одинаковых температу- рах. Однако оказывается, что для некоторых тел (например, вольфрама), обла- дающих селективностью теплового излучения, доля энергии, приходящаяся на излучение в видимой области спектра, значительно больше, чем для черного тела, нагретого до той же температуры. Поэтому вольфрам, обладая еще и вы- сокой температурой плавления, является наилучшим материалом для изготов- ления нитей ламп.Температура вольфрамовой нити в вакуумных лампах не должна превы-шать 2450 К, поскольку при более высоких температурах происходит ее силь- ное распыление. Максимум излучения при этой температуре соответствует длине волны≈ 1,1 мкм, т. е. очень далек от максимума чувствительности чело-веческого глаза ( ≈ 0,55 мкм). Наполнение баллонов ламп инертными газами(например, смесью криптона и ксенона с добавлением азота) при давлении ≈ 50кПа позволяет увеличить температуру нити до 3000 К, что приводит к улучше- нию спектрального состава излучения. Однако светоотдача при этом не увели- чивается, так как возникают дополнительные потери энергии из-за теплообмена между нитью и газом вследствие теплопроводности и конвекции. Для умень- шения потерь энергии за счет теплообмена и повышения светоотдачи газона- полненных ламп нить изготовляют в виде спирали, отдельные витки которой обогревают друг друга. При высокой температуре вокруг этой спирали образу- ется неподвижный слой газа и исключается теплообмен вследствие конвекции. Энергетический к.п.д. ламп накаливания в настоящее время не превосходит 5%.§ 202. В ИДЫ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА .З АКОНЫ ВНЕШНЕГО ФОТОЭФФЕКТАГипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения черно-го тела, получила подтверждение и дальнейшее развитиепри объяснении фо- тоэффекта — явления, открытие и исследование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом)на- зывается испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект наблюдается в твердых телах (металлах, по- лупроводниках, диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молеку- лах (фотоионизация). Фотоэффект обнаружен (1887 г.) Г. Герцем, наблюдав- шим усиление процесса разряда при облучении искрового промежутка ультра- фиолетовым излучением.488Первые фундаментальные исследования фотоэффекта выполнены рус-ским ученым А. Г. Столетовым. Принципиальная схема для исследования фо- тоэффекта приведена на рис. 289.Рис. 289Два электрода (катод Киз исследуемого металла и анод А— в схеме Сто-летова применялась металлическая сетка) в вакуумной трубке подключены к бата рее так, что с помощью потенциометра Rможно изменять не только значе- ние, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освеще- нии катода монохроматическим светом (через кварцевое окошко), измеряется включенным в цепь миллиамперметром. Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил следующие закономерности, не утратившие своего значения до нашего времени: 1) наиболее эффективное действие оказывает ультрафиолетовое излучение; 2) под действием света вещество теряет только отрицательные заряды; 3) сила тока, возникающего под действием света, прямо пропорциональна его интенсивности.Дж. Дж. Томсон в 1898 г. измерил удельный заряд испускаемых под дей-ствием света частиц, (по отклонению в электрическом и магнитном полях). Эти измерения показали, что под действием света вырываются электроны.Внутренний фотоэффект— это вызванные электромагнитным излуче-нием переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связан- ных состояний в свободные без вылета наружу. В результате концентрация но- сителей тока внутри, тела увеличивается, что приводит к возникновению фото- проводимости(повышению электропроводности полупроводника или диэлек- трика при его освещении) или к возникновению э.д.с.Вентильный фотоэффект, являющийся разновидностью внутреннего фо-тоэффекта, — возникновение э.д.с. (фото-э.д.с.) при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). Вентильный фотоэффект открывает, таким об- разом, пути для прямого преобразования солнечной энергии в электрическую.На рис. 289 приведена экспериментальная установка для исследования489вольт-ампер ной характеристики фотоэффекта — зависимости фототока /, обра- зуемого потоком электронов, испускаемых катодом под действием света, от на- пряжения Uмежду электродами. Такая зависимость, соответствующая двум различным освещенностям Е,катода (частота света в обоих случаях одинакова), приведена на рис. 290. По мере увеличения Uфототок постепенно возрастает, т. е. все большее число фотоэлектронов достигает анода. Пологий характер кри- вых показывает, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Максимальное значение тока Iнас — фототок насыщения — определяется такимзначением U,при котором все электроны, испускаемые катодом, достигают анода:где n — число электронов, испускаемых катодом в 1 с.Рис. 290Из вольт-амперной характеристики следует, что при U = 0 фототок не ис-чезает. Следовательно, электроны, выбитые светом из катода, обладают неко- торой начальной скоростью v, а значит, и отличной от нуля кинетической энер- гией и могут достигнуть анода без внешнего поля. Для того чтобы фототек стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение U0 .При U =U 0 ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максималь-ной скоростью v max , не может преодолеть задерживающего поля и достигнутьанода. Следовательно,(202.1)т. е., измерив задерживающее напряжение U 0 , можно определить максимальныезначения скорости и кинетической энергии фотоэлектронов.При изучении вольт-амперных характеристик разнообразных материалов(важна чистота поверхности, поэтому измерения проводятся в вакууме и на свежих поверхностях) при различных частотах падающего на катод излучения и различных энергетических освещенностях катода и обобщения полученных данных были установлены следующие три закона внешнего фотоэффекта.I. Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света числофотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетиче-490ской освещенности Е е катода).II. Максимальная начальная скорость (максимальная начальная кине-тическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой v.III. Для каждого вещества существует красная границафотоэффекта, т.е. минимальная частота v света (зависящая от химической природы вещества и0состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.Качественное объяснение фотоэффекта с волновой точки зрения на пер-вый взгляд не должно было бы представлять трудностей. Действительно, под действием поля световой волны в металле возникают вынужденные колебания электронов, амплитуда которых (например, при резонансе) может быть доста- точной для того, чтобы электроны покинули металл; тогда и наблюдается фото- эффект. Кинетическая энергия вырываемого из металла электрона должна была бы зависеть от интенсивности падающего света, так как с увеличением послед- ней электрону передавалась бы большая энергия. Однако этот вывод противо- речит II закону фотоэффекта. Так как, по волновой теории, энергия, передавае- мая электронам, пропорциональна интенсивности света, то свет любой частоты, но достаточно большой интенсивности должен был бы вырывать электроны из металла; иными словами, красной границы фотоэффекта не должно быть, что противоречит III закону фотоэффекта. Кроме того, волновая теория не смогла объяснить безынерционность фотоэффекта, установленную опытами. Таким образом, фотоэффект необъясним с точки зрения волновой теории света.§ 203. У РАВНЕНИЕ Э ЙНШТЕЙНА ДЛЯ ВНЕШНЕГОФОТОЭФФЕКТА . Э КСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕПОДТВЕРЖДЕНИЕ КВАНТОВЫХ СВОЙСТВ СВЕТАА. Эйнштейн в 1905 г. показал, что явление фотоэффекта и его законо-мерности могут быть объяснены на основе предложенной им квантовой тео- рии фотоэффекта.Согласно Эйнштейну, свет частотой v не только испуска- ется,как это предполагал Планк (см. § 200), но и распространяетсяв про- странстве и поглощаетсявеществом отдельными порциями (квантами), энергия которыхε 0 = hv.Таким образом, распространение света нужно рассматриватьне как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в про- странстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью сраспро- странения света в вакууме. Кванты электромагнитного излучения получили на- звание фотонов.По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электроном.Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально ин- тенсивности света (I закон фотоэффекта). Безынерционность фотоэффекта объ- ясняется тем, что передача энергии при столкновении фотона с электроном происходит почти мгновенно.Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном рабо-ты выхода Аиз металла (см. § 104) и на сообщение вылетевшему фотоэлектро-491ну кинетической энергии mv 2 max /2. По закону сохранения энергии,(203.1)Уравнение (203.1) называется уравнением Эйнштейна для внешнегофотоэффекта.Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить II и III законы фотоэффекта.Из (203.1) непосредственно следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона линейно возрастает с увеличением частоты падающего излуче- ния и не зависит от его интенсивности (числа фотонов), так как ни А,ни v от интенсивности света не зависят (II закон фотоэффекта). Так как с уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (для данного металла А=const), то при некоторой достаточно малой частоте v = v0 кинетиче-ская энергия фотоэлектронов станет равной нулю и фотоэффект прекратится (III закон фотоэффекта). Согласно изложенному, из (203.1)получим, что(203.2)и есть красная граница фотоэффекта для данного металла. Она зависит лишь от работы выхода электрона, т. е. от химической природы вещества и состояния его поверхности.Выражение (203.1) можно записать, используя (202.1) и (203.2), в видеУравнение Эйнштейна было подтверждено опытами Милликена. В егоприборе (1916 г.) поверхность исследуемого металла подвергалась очистке в вакууме. Исследовалась зависимость максимальной кинетической энергии фо- тоэлектронов (изменялось задерживающее напряжение U0 (см. (202.1)) от час-тоты v и определялась постоянная Планка. В 1926 г. российские физики П. И. Лукирский (1894—1954) и С. С. Прилежаев для исследования фотоэффекта применили метод вакуумного сферического конденсатора. Анодом в их уста- новке служили посеребренные стенки стеклянного сферического баллона, а ка- тодом — шарик (R≈ 1,5 см) из исследуемого металла, помещенный в центрсферы. В остальном схема принципиально не отличается от описанной на рис. 289. Такая форма электродов позволила увеличить наклон вольт-амперных ха- рактеристик и тем самым более точно определять задерживающее напряжение U0 (а следовательно, и h).Значение h,полученное из данных опытов, согласует-ся со значениями, найденными другими методами (по излучению черного тела (§ 200) и по коротковолновой границе сплошного рентгеновского спектра (§ 299)). Все это является доказательством правильности уравнения Эйнштейна, а вместе с тем и его квантовой теории фотоэффекта.Если интенсивность света очень большая (лазерные пучки; см. § 233), товозможен многофотонный (нелинейный) фотоэффект, при котором электрон, испускаемый метал лом, может одновременно получить энергию не от одного, а от Nфотонов (N=2÷ 7). Уравнение Эйнштейна для многофотонного фотоэф-492В опытах с фокусируемыми лазерными пучками плотность фотоновочень большая, поэтому электрон может поглотить не один, а несколько фото- нов. При этом электрон может приобрести энергию, необходимую для выхода из вещества, даже под действием света с частотой, меньшей красной границы — порога однофотонного фотоэффекта. В результате красная граница смещает- ся в сторону более длинных волн.Идея Эйнштейна о распространении света в виде потока отдельных фото-нов и квантовом характере взаимодействия электромагнитного излучения с ве- ществом подтверждена в 1922 г. опытами А. Ф. Иоффе и Н. И. Добронравова. В электрическом поле плоского конденсатора уравновешивалась заряженная пы- линка из висмута. Нижняя обкладка конденсатора изготовлялась из тончайшей алюминиевой фольги, которая являлась одновременно анодом миниатюрной рентгеновской трубки. Анод бомбардировался ускоренными до 12 кВ фото- электронами, испускаемыми катодом под действием ультрафиолетового излу- чения. Освещенность катода подбиралась столь слабой, чтобы из него в 1 с вы- рывалось лишь 1000 фотоэлектронов, а следовательно, и число рентгеновских импульсов было 1000 в 1 с. Опыт показал, что в среднем через каждые 30 мин уравновешенная пылинка выходила из равновесия, т. е. рентгеновское излуче- ние освобождало из нее фотоэлектрон.Если бы рентгеновское излучение распространялось в виде сферическихволн, а не отдельных фотонов, то каждый рентгеновский импульс отдавал бы пылинке очень малую часть своей энергии, которая распределялась бы, в свою очередь, между огромным числом электронов, содержащихся в пылинке. По- этому при таком механизме трудно вообразить, что один из электронов за такое короткое время, как 30 мин, может накопить энергию, достаточную для пре- одоления работы выхода из пылинки. Напротив, с точки зрения корпускуляр- ной теории это возможно. Так, если рентгеновское излучение распространяется в виде потока дискретных фотонов, то электрон выбивается из пылинки только тогда, когда в нее попадает фотон. Элементарный расчет для выбранных усло- вий дает, что в среднем в пылинку попадает один фотон из 1,8⋅ 10 6 . Так как в 1 свылетает 1000 фотонов, то в среднем в пылинку будет попадать один фотон в 30 мин, что согласуется с результатами опыта.Если свет представляет собой поток фотонов, то каждый фотон, попадая врегистрирующий прибор (глаз, фотоэлемент), должен вызывать то или иное действие независимо от других фотонов. Это же означает, что при регистрации слабыхсветовых потоков должны наблюдаться флуктуацииих интенсивности. Эти флуктуации слабых потоков видимого светадействительно наблюдались С. И. Вавиловым. Наблюдения проводились визуально. Глаз, адаптированный к темноте, обладает довольно резким порогом зрительного ощущения, т. е. вос- принимает свет, интенсивность которого не меньше некоторого порога. Для света сλ = 525 нм порог зрительного ощущения соответствует у разных людейпримерно 100—400 фотонам, падающим на сетчатку за 1 с. С. И. Вавилов на- блюдал периодически повторяющиеся вспышки света одинаковой длительно- сти. С уменьшением светового потока некоторые вспышки уже не воспринима- лись глазом, причем чем слабее был световой поток, тем больше было пропус-493ков вспышек. Это объясняется флуктуациями интенсивности света, т. е. число фотонов оказывалось по случайным причинам меньше порогового значения. Таким образом, опыт Вавилова явился наглядным подтверждением квантовых свойств света.§ 204. П РИМЕНЕНИЕ ФОТОЭФФЕКТАНа явлении фотоэффекта основано действие фотоэлектронных приборов,получивших разнообразное применение в различных областях науки и техники. В настоящее время практически невозможно указать отрасли производства, где бы не использовались фотоэлементы — приемники излучения, работающие на основе фотоэффекта и преобразующие энергию излучения в электрическую.Простейшим фотоэлементом с внешним фотоэффектом является вакуум-ный фото элемент. Он представляет собой откачанный стеклянный баллон, внутренняя поверхность которого (за исключением окошка для доступа излу- чения) покрыта фоточувствительным слоем, служащим фотокатодом. В качест- ве анода обычно используется кольцо или сетка, помещаемая в центре баллона. Фотоэлемент включается в цепь батареи, э.д.с. которой выбирается такой, что- бы обеспечить фототок насыщения. Выбор материала фотокатода определяется рабочей областью спектра: для регистрации видимого света и инфракрасного излучения используется кислородно-цезиевый катод, для регистрации ультра- фиолетового излучения и коротковолновой части видимого света — сурьмяно- цезиевый. Вакуумные фотоэлементы безынерционны, и для них наблюдается строгая пропорциональность фототока интенсивности излучения. Эти свойства позволяют использовать вакуумные фотоэлементы в качестве фотометрических приборов, напри мер фотоэлектрический экспонометр, люксметр (измеритель освещенности) и т. д.Для увеличения интегральной чувствительности вакуумных фотоэлемен-тов (фото-ток насыщения, приходящийся на 1 лм светового потока) баллон за- полняется разреженным инертным газом (Аг или Ne при давлении≈ 1,3 ÷ 13 Па).Фототок в таком элементе, называемом газонаполненным, усиливается вслед- ствие ударной ионизации молекул газа фотоэлектронами. Интегральная чувст- вительность газонаполненных фотоэлементов (≈ 1 мА/лм) гораздо выше, чемдля вакуумных (20—150 мкА/лм), но они обладают по сравнению с последними большей инерционностью (менее строгой пропорциональностью фототока ин- тенсивности излучения), что приводит к ограничению области их применения.Для усиления фототока применяются уже рассмотренные выше (см. рис.155) фотоэлектронные умножители, в которых наряду с фотоэффектом исполь- зуется явление вторичной электронной эмиссии (см. § 105). Размеры фотоэлек- тронных умножителей немного превышают размеры обычной радиолампы, об- щий коэффициент усиления составляет≈ 10 7 (при напряжении питания 1—1,5кВ), а их интегральная чувствительность может достигать 10 А/лм. Поэтому фотоэлектронные умножители начинают вытеснять фотоэлементы, правда, их применение связано с использованием высоковольтных стабилизированных ис-494точников питания, что несколько неудобно.Фотоэлементы с внутренним фотоэффектом, называемые полупроводни-ковыми фотоэлементами или фотосопротивлениями (фоторезисторами), обла- дают гораздо большей интегральной чувствительностью, чем вакуумные. Для их изготовления используются PbS, CdS, PbSe и некоторые другие полупровод- ники. Если фотокатоды вакуумных фотоэлементов и фотоэлектронных умно- жителей имеют красную границу фотоэффекта не выше 1,1 мкм, то применение фотосопротивлений позволяет производить измерения в далекой инфракрасной области спектра (З÷ 4 мкм), а также в областях рентгеновского и гамма-излучений. Кроме того, они малогабаритны и имеют низкое напряжение пита- ния. Недостаток фотосопротивлений — их заметная инерционность, поэтому они непригодны для регистрации быстропеременных световых потоков.Фотоэлементы с вентильным фотоэффектом, называемые вентильнымифотоэлементами (фотоэлементами с запирающим слоем), обладая, подобно элементам с внешним фотоэффектом, строгой пропорциональностью фототока интенсивности излучения, имеют бо?льшую по сравнению с ними интегральную чувствительность (примерно 2—30 мА/лм) и не нуждаются во внешнем источ- нике э.д.с. К числу вентильных фотоэлементов относятся германиевые, крем- ниевые, селеновые, купроксные, сернисто-серебряные и др.Кремниевые и другие вентильные фотоэлементы применяются для созда-ния солнечных батарей, непосредственно преобразующих световую энергию в электрическую. Эти батареи уже в течение многих лет работают на космиче- ских спутниках и кораблях. К.п.д. этих батарей составляет≈ 10% и, как показы-вают теоретические расчеты, может быть доведен до ≈ 22%, что открывает ши-рокие перспективы их использования в качестве источников электроэнергии для бытовых и производственных нужд.Рассмотренные виды фотоэффекта используются также в производстведля контроля, управления и автоматизации различных процессов, в военной технике для сигнализации и локации невидимым излучением, в технике звуко- вого кино, в различных системах связи и т. д.§ 205. М АССА И ИМПУЛЬС ФОТОНА . Д АВЛЕНИЕ СВЕТАСогласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет испускается, по-глощается и распространяется дискретными порциями (квантами), названными фотонами. Энергия фотона E0 =hv.Его масса находится из закона взаимосвязимассы и энергии (см. (40.8)):(205.1)Фотон — элементарная частица, которая всегда (в любой среде!) движет-495Импульс фотона р γ получим, если в общей формуле (40.7) теории относи-тельности положим массу покоя фотона m 0 γ = 0:(205.2)Из приведенных рассуждений следует, что фотон, как и любая другаячастица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Выражения (205.1), (205.2) и (200.2) связывают корпускулярныехарактеристики фотона — массу, импульс и энергию — с волновойхарактеристикой света — его частотой v.Если фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, долженоказывать на него давление. Согласно квантовой теории, давление света на по- верхность обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью передает ей свой импульс.Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказы-ваемое на поверхность тела потоком монохроматического излучения (частота v), падающего перпендикулярно поверхности. Если в единицу времени на еди- ницу площади поверхности тела падает Nфотонов, то при коэффициенте отра- женияρ света от поверхности тела ρ Nфотонов отразится, a (l - ρ )N— погло-тится. Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс р γ = hv/c,акаждый отраженный — 2 р γ = 2hv/c (при отражении импульс фотона изменяетсяна - р γ ). Давление света на поверхность равно импульсу, который передают по-верхности в 1 с Nфотонов:Nhv = E e есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в еди-ницу времени, т.e. энергетическая освещенность поверхности (см. § 168), a E/c = w— объемная плотность энергии излучения. Поэтому давление, произ-eводимое светом при нормальном падении на поверхность,(205.3)Формула (205.3), выведенная на основе квантовых представлений, совпа-дает с выражением, получаемым из электромагнитной (волновой) теории Мак- свелла (см. § 163). Таким образом, давление света одинаково успешно объясня- ется и волновой, и квантовой теорией. Как уже говорилось (см. § 163), экспе- риментальное доказательство существования светового давления на твердые тела и газы дано в опытах П. Н. Лебедева, сыгравших в свое время большую роль в утверждении теории Максвелла. Лебедев использовал легкий подвес на тонкой нити, по краям которого прикреплены легкие крылышки, одни из кото- рых зачернены, а поверхности других зеркальные. Для исключения конвекции и радиометрического эффекта (см. § 49) использовалась подвижная система зеркал, позволяющая направлять свет на обе поверхности крылышек, подвес помещался в откачанный баллон, крылышки подбирались очень тонкими (что- бы температура обеих поверхностей была одинакова). Световое давление на крылышки определялось по углу закручивания нити подвеса и совпадало с тео-496ретически рассчитанным. В частности оказалось, что давление света на зер- кальную поверхность вдвое больше, чем на зачерненную (см. (205.3)).§ 206. Э ФФЕКТ К ОМПТОНА И ЕГО ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯНаиболее полно корпускулярные свойства света проявляются в эффектеКомптона. Американский физик А. Комптон (1892—1962), исследуя в 1923 г. рассеяние монохроматического рентгеновского излучения веществами с легки- ми атомами (парафин, бор), обнаружил, что в составе рассеянного излучения наряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается также более длинноволновое излучение. Опыты показали, что разность ДЯ=Я'—Я не зави- сит от длины волны Я падающего излучения и природы рассеивающего веще- ства, а определяется только углом рассеяния в:(206.1)где λ′ — длина волны рассеянного излучения, λ C - комптоновская длинаволны(при рассеянии фотона на электроне λ C =2,426 пм).Эффектом Комитета называется упругое рассеяние коротковолновогоэлектромагнитного излучения (рентгеновского и γ -излучений) на свободных(или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Этот эффект не укладывается в рамки волновой теории, согласно которой длина волны при рассеянии изменяться не должна: под действием пе- риодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и по- этому излучает рассеянные волны той же частоты.Объяснение эффекта Комптона дано на основе квантовых представленийо природе света. Если считать, как это делает квантовая теория, что излучение имеет корпускулярную природу, т. е. представляет собой поток фотонов, то эффект Комптона — результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами вещества (для легких атомов электроны слабо свя- заны с ядрами атомов, поэтому их можно считать свободными). В процессе это- го столкновения фотон передает электрону часть своих энергии и импульса в соответствии с законами их сохранения.Рассмотрим упругое столкновение двух частиц (рис. 291) — налетающегофотона, обладающего импульсом р γ = hv/c и энергией ε γ = hv, с покоящимсясвободным электроном (энергия покоя W 0 = m 0 c 2 ; m 0 — масса покоя электрона).Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и им- пульса и изменяет направление движения (рассеивается). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны рассеянного излучения. При каждом столкновении выполняются законы со хранения энергии и импульса.Согласно закону сохранения энергии,(206.2)а согласно закону сохранения импульса,497где W 0 = m 0 c 2 —энергия электрона до столкновения, ε γ = hv — энергия нале-тающего фотона, W = p 2 c 2 + m 2 0 c 4 — энергия электрона после столкновенияe(используется релятивистская формула, так как скорость электрона отдачи в общем случае значительна), er =Av' — энергия рассеянного фотона. Подставив ввыражение (206.2) значения величин и представив (206.3) в соответствии с рис. 291, получим(206.4) (206.5)Рис. 291Решая уравнения (206.4) и (206.5) совместно, получимПоскольку v = c/ λ , v'=c/ λ ' и ?λ = λ '— λ , получимВыражение (206.6) есть не что иное, как полученная экспериментальноКомптоном формула (206.1). Подстановка в нее значений h, m 0 и с дает компто-новскую длину волны электрона λ = h/(m с) = 2,426 им.C CНаличие в составе рассеянного излучения несмещенной линии (излуче-ния первоначальной длины волны) можно обменить следующим образом. При рассмотрении механизма рассеяния предполагалось, что фотон соударяется лишь со свободным электроном. Однако если электрон сильно связан с атомом, как это имеет место для внутренних электронов (особенно в тяжелых атомах), то фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом. Так как масса атома по сравнению с массой электрона очень велика, то атому передается лишь ничтожная часть энергии фотона. Поэтому в данном случае длина волныλ ' рассеянного излучения практически не будет отличаться от длины волны λ498Из приведенных рассуждений следует также, что эффект Комптона неможет наблюдаться в видимой области спектра, поскольку энергия фотона ви- димого света сравнима с энергией связи электрона с атомом, при этом даже внешний электрон нельзя считать свободным.Эффект Комптона наблюдается не только на электронах, но и на другихзаряженных частицах, например протонах, однако из-за большой массы прото- на его отдача «просматривается» лишь при рассеянии фотонов очень высоких энергий.Как эффект Комптона, так и фотоэффект на основе квантовых представ-лении обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, во втором — поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии фотона со свободным электроном, а фотоэффект — со связан- ными электронами. Можно показать что при столкновении фотона со свобод- ным электроном не может произойти поглощения фотона, так как это находит- ся в противоречии с законами сохранения импульса и энергии. Поэтому при взаимодействии фотонов со свободными электрона-ми может наблюдаться только их рассеяние, т. е. эффект Комптона.§ 207. Е ДИНСТВО КОРПУСКУЛЯРНЫХ И ВОЛНОВЫХ СВОЙСТВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯРассмотренные в этой главе явления — излучение черного тела, фотоэф-фект, эффект Комптона — служат доказательством квантовых (корпускуляр- ных) представлении о свете как о потоке фотонов. С другой стороны, такие яв- ления, как интерференция, дифракция и поляризация света, убедительно под- тверждают волновую (электромагнитную) природу света. Наконец, давление и преломление света объясняются как волновой так и квантовой теориями. Таким образом, электромагнитное излучение обнаруживает удивительное единство, казалось бы, взаимоисключающих свойств -непрерывных (волны) и дискретных (фотоны), которые взаимно дополняют друг друга. Основные уравнения (см. § 205), связывающие корпускулярные свойства электромагнитного излучения (энергия и импульс фотона) с волновыми свойствами (частота или длина вол- ны):Более детальное рассмотрение оптических явлений приводит к выводу,что свойства непрерывности, характерные для электромагнитного поля свето- вой волны, не следует противопоставлять свойствам дискретности, характер- ным для фотонов. Свет, обладая одновременнокорпускулярными и волновыми свойствами, обнаруживает определенные закономерности в их проявлении. Так, волновые свойства света проявляются в закономерностях его распростра- нения, интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные — в про- цессах взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны, тем мень- ше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются квантовые свой-499ства света (с этим связано, например, существование красной границы фотоэф- фекта). Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше энергия и импульс фо- тона и тем труднее обнаруживаются волновые свойства света (например, вол- новые свойства (дифракция) рентгеновского излучения обнаружены лишь по- сле применения в качестве дифракционной решетки кристаллов).Взаимосвязь между двойственными корпускулярно-волновыми свойст-вами света можно объяснить, если использовать, как это делает квантовая оп- тика, статистический подходк рассмотрению закономерностей распростране- ния света. Например, дифракция света на щели состоит в том, что при прохож- дении света через щель происходит перераспределениефотонов в пространстве. Так как вероятность попадания фотонов в различные точки экрана неодинакова, то и возникает дифракционная картина. Освещенность экрана пропорциональна вероятности попадания фотонов на единицу площади экрана. С другой сторо- ны, по волновой теории, освещенность пропорциональна квадрату амплитуды световой волны в той же точке экрана. Следовательно, квадрат амплитуды световой волны в данной точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в данную точку. Задачи 26.1. Черное тело нагрели от температуры Т 1 = 500 К до Т 2 -2000 К. Опре-делить: 1) во сколько раз увеличилась его энергетическая светимость; 2} как изменилась длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости. [1) В 256 раз; 2) уменьшилась на 4,35 мкм]26.2. Черное тело находится при температуре Т =2900 К. При его осты-1вании длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на? λ =9 мкм. Определить температу-ру Т 2 ,до которой тело охладилось. [290 К]26.3. Определить работу выхода Аэлектронов из вольфрама, если краснаягранима фотоэффекта для него λ = 275 нм. (4,52 эВ]026.4. Определить постоянную Планка, если известно, что для прекраще-ния фотоэффекта, вызванного облучением некоторого металла светом с часто- той v=2,2 ⋅ 10 15 с -1 , необходимо приложить задерживающее напряжение U =6,61 01В, а светом с частотой v 2 =4,6 ⋅ 10 15 с -1 —задерживающее напряжение U 02 =16,5 В.[6,6 ⋅ 10 -34 Дж-с]26.5. Определить в электрон-вольтах энергию фотона, при которой егомасса равна массе покоя электрона. [0,51 МэВ]26.6. Давление монохроматического света с длиной волны 600 нм на за-черненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам,500равно 0,1 мкПа. Определить число фотонов, падающих на поверхность площа- дью 10 см2 за 1 с. [9 10 16 ]26.7. Фотон с длиной волны 100 пм рассеялся под углом 180° на свобод-ном электроне. Определить в электрон-вольтах кинетическую энергию элек- трона отдачи. [580 эВ]501ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ,МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ ГЛАВА 27ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ§ 208. М ОДЕЛИ АТОМА Т ОМСОНА И Р ЕЗАРФОРДАПредставление об атомах как неделимых мельчайших частицах вещества(«атомос» — неразложимый) возникло еще в античные времена (Демокрит, Эпикур, Лукреций). В средние века, во времена безграничного господства церкви, учение об атомах, будучи материалистическим, естественно, не могло получить признания, а тем более дальнейшего развития. К началу XVIII в. ато- мистическая теория приобретает все большую популярность, так как к этому времени в работах А. Лавуазье (1743—1794, французский химик), М. В. Ломо- носова и Д. Дальтона была доказана реальность существования атомов. Однако в это время вопрос о внутреннем строении атомов даже не возникал, так как атомы по-прежнему считались неделимыми.Большую роль в развитии атомистической теории сыграл Д. И. Менделе-ев, раз работавший в 1869 г. Периодическую систему элементов, в которой впервые на научной основе был поставлен вопрос о единой природе атомов. Во второй половине XIX в. экспериментально было доказано, что электрон являет- ся одной из основных составных, частей любого вещества. Эти выводы, а также многочисленные экспериментальные данные привели к тому, что в начале XX в. серьезно встал вопрос о строении атома.Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальныхданных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой мо- дели, атом представляет собой непрерывно заряженный положительным заря- дом шар радиусом порядка 10-10 м, внутри которого около своих положенийравновесия колеблются электроны; суммарный отрицательный заряд электро- нов равен положительному заряду шара, поэтому атом в целом нейтрален. Че- рез несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распреде- ленном внутри атома положительном заряде ошибочно.В развитии представлений о строении атома велико значение опытов анг-лийского физика Э. Резерфорда (1871—1937) по рассеянию ос-частиц в веще- стве. Альфа-частицы возникают при радиоактивных превращениях; они явля- ются положительно заряженными частицами с зарядом 2еи массой, примерно в 7300 раз большей массы электрона. Пучкиα -частиц обладают высокой моно-хроматичностью (для данного превращения имеют практически одну и ту же скорость (порядка 107 м/с)).Резерфорд, исследуя прохождение α -частиц в веществе (через золотуюфольгу толщиной примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые502000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Так как электроны не могут существенно изменить дви- жение столь тяжелых и быстрых частиц, какα -частицы, то Резерфордом былсделан вывод, что значительное отклонение α -частиц обусловлено их взаимо-действием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное от- клонение испытывают лишь немногиеα -частицы; следователь но, лишь неко-торые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.На основании своих исследований Резерфорд в 1911 г. предложил ядер-ную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели, вокруг положитель- ного ядра, имеющего заряд Ze(Z — порядковый номер элемента в системе Менделеева, е —элементарный заряд), размер 10-15 — 10 -14 м и массу, практи-чески равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10 -10 м позамкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку ато- ма. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду элек- тронов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z электронов.Для простоты предположим, что электрон движется вокруг ядра по кру-говой орбите радиуса r.При этом кулоиовская сила взаимодействия между ядром и электроном сообщает электрону центростремительное ускорение. Вто- рой закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности под действием кулоновской силы, имеет вид(208.1)где т,и v —масса и скорость электрона на орбите радиуса r, ε 0 — электриче-ская постоянная.Уравнение (208.1) содержит два неизвестных: rи v.Следовательно, суще-ствует бесчисленное множество значений радиуса и соответствующих ему зна- чений скорости (а значит, и энергии), удовлетворяющих этому уравнению. По- этому величины r, v(следовательно, и Е)могут меняться непрерывно, т. е. мо- жет испускаться любая, а не вполне определенная порция энергии. Тогда спек- тры атомов должны быть сплошными. В действительности же опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр. Из выражения (208.1) следует, что при г≈ 10 -10 м скорость движения электронов v ≈ 10 6 м/с, а ускорение v 2 /г = 10 22м/с 2 . Согласно классической электродинамике, ускоренно движущиеся элек-троны должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непре- рывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Таким образом, атом Резерфорда оказывается не- устойчивой системой, что опять-таки противоречит действительности.Попытки построить модель атома в рамках классической физики не при-вели к успеху: модель Томсона была опровергнута опытами Резерфорда, ядер- ная же модель оказалась неустойчивой электродинамически и противоречила опытным данным. Пре одоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой — квантовой— теории атома.503§ 209. Л ИНЕЙЧАТЫЙ СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДАИсследования спектров излучения разреженных газов (т. е. спектров из-лучения отдельных атомов) показали, что каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий. Самым изученным является спектр наиболее простого атома — атома водорода.Швейцарский ученый И. Бальмер (1825—1898) подобрал эмпирическуюформулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:(209.1)где R' = 1,10 ⋅ 10 7 м -1 —постоянная Ридберга * . Так как v=c/A, то формула (209.1)может быть переписана для частот:(209.2)где R = R'с = 3,29 ⋅ 10 15 с -1 — также постоянная Ридбeрга.Из выражений (209.1) и (209.2) вытекает, что спектральные линии, отли-чающиеся различными значениями л, образуют группу или серию линий, назы- ваемую серией Бальмера.С увеличением л линии серии сближаются; значение n =∞ определяет границу серии, ккоторой со стороны больших частот при-мыкает сплошной спектр.В дальнейшем (в начале XX в.) в спектре атома водорода было обнаруже-но еще несколько серий. В ультрафиолетовой области спектранаходится се- рия Лаймана:В инфракрасной области спектрабыли также обнаружены:серия Пашена серия Брэкета серия Пфунда серия Хэмфри* И. Ридберг (1854—1919) — шведский ученый, специалист в области спектроскопии.504Все приведенные выше серив в спектре атома водорода могут быть опи-саны одной формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера:(209.3)где тимеет в каждой данной серии постоянное значение, т=1, 2, 3, 4, 5, 6 (оп- ределяет серию), ппринимает целочисленные значения начиная с т+1 (опреде- ляет отдельные линии этой серии).Исследование более сложных спектров — спектров паров щелочных ме-таллов (на пример, Li, Na, К) — показало, что они представляются набором не- закономерно расположенных линий. Ридбергу удалось разделить их на три се- рии, каждая из которых располагается подобно линиям бальмеровской серии.Приведенные выше сериальные формулы подобраны эмпирически и дол-гое время не имели теоретического обоснования, хотя и были подтверждены экспериментально с очень большой точностью. Приведенный выше вид сери- альных формул, удивительная повторяемость в них целых чисел, универсаль- ность постоянной Ридберга свидетельствуют о глубоком физическом смысле найденных закономерностей, вскрыть который в рамках классической физики оказалось невозможным.§ 210. П ОСТУЛАТЫ Б ОРАПервая попытка построить качественно новую — квантовую — теориюатома была предпринята в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором (1885—- 1962). Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические за- кономерности линейчатых спектров, ящерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме су-ществуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют ста- ционарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите,должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовле- творяющие условию(210.1)где т,— масса электрона, v— его скорость по n-й орбите радиуса r n ,? = h/(2 π ).Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с однойстационар ной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энер- гией(210.2)505равной разности энергий соответствующих стационарных состоянии (Е n и Е m— соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излуче- ния (поглощения)). При Ет <Е п происходит излучение фотона (переход атома изсостояния с боль шей энергией в состояние с меньшей энергией, т. с. переход электрона с более удален ной от ядра орбиты на более близлежащую), при Е>Е — его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е.т nпереход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дис- кретных частот v =(Еn – Е m )/hквантовых переходов и определяет линейчатыйспектр атома.§ 211. О ПЫТЫ Ф РАНКА И Г ЕРЦАИзучая методом задерживающего потенциала столкновения электронов сатомами газов (1913), Д. Франк и Г. Герц экспериментально доказали дискрет- ность значений энергии атомов. Принципиальная схема их установки приведе- на на рис. 292.Рис. 292Вакуумная трубка, заполненная парами ртути (давление приблизительноравно 13 Па), содержала катод (К), две сетки (C и С ) и анод (А). Электроны,1 2эмиттируемые катодом, ускорялись разностью потенциалов, приложенной ме- жду катодом и сеткой С1 . Между сеткой С 2 и анодом приложен небольшой(примерно 0,5 В) задерживающий потенциал.Электроны, ускоренные в области 1, попадают в область 2между сетка-ми, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны, которые после соударений имеют достаточную энергию для преодоления задерживаю- щего потенциала в области 3,достигают анода. При неупругих соударениях электронов с атомами ртути последние могут возбуждаться. Согласно воров- ской теории, каждый из атомов ртути может получить лишь вполне определен- ную энергию, переходя при этом в одно из возбужденных состояний. Поэтому если в атомах действительно существуют стационарные состояния, то электро- ны, сталкиваясь сатомами ртути, должны терять энергию дискретно, опреде- ленными порциями, равными разности энергий соответствующих стационар- ных состояний атома.Из опыта следует (рис. 293), что при увеличении ускоряющего потенциа-ла вплоть до 4,86 В анодный ток возрастает монотонно, его значение проходит через максимум (4,86 В), затем резко уменьшается и возрастает вновь. Даль- нейшие максимумы наблюдаются при 2⋅ 4,86 и 3 ⋅ 4,86 В.506Рис. 293Ближайшим к основному, невозбужденному, состоянию атома ртути яв-ляется возбужденное состояние, отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ. Пока разность потенциалов между катодом и сеткой меньше 4,86 В, электроны, встречая на своем пути атомы ртути, испытывают с ними только упругие соударения. При е? = 4,86эВ энергия электрона становится достаточ-ной, чтобы вызвать неупругий удар, при котором электрон отдает атому ртути всю кинетическую энергию, возбуждая переход одного из электронов атома из нормального энергетического состояния на возбужденный энергетический уро- вень. Электроны, потерявшие свою кинетическую энергию, уже не смогут пре- одолеть тормозящего поля и достигнуть анода. Этим и объясняется первое рез- кое падение анодного тока при е? = 4,86 эВ. При значениях энергии, кратных4,86 эВ, электроны могут испытать с атомами ртути 2, 3, ... неупругих соударе- ния, потеряв при этом полностью свою энергию, и не достигнуть анода, т. е. должно наблюдаться резкое падение анодного тока. Это действительно наблю- дается на опыте (рис. 293).Таким образом, опыты Франка и Герца показали, что электроны пристолкновении с атомами ртути передают атомам только определенные порции энергии, причем 4,86 эВ — наименьшая возможная порция энергии (наимень- ший квант энергии), которая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии. Следовательно, идея Бора о существовании в ато- мах стационарных состояний блестяще выдержала экспериментальную провер- ку.Атомы ртути, получившие при соударении с электронами энергию ? Е,переходят в возбужденное состояние и должны возвратиться в основное, излу- чая при этом, согласно второму постулату Бора (см. (210.2)), световой квант с частотой v =? Е/h. По известному значению ? Е = 4,86 эВ можно вычислитьдлину волны излучения: λ = hс/ ? Е ≈ 255 нм. Таким образом, если теория верна,то атомы ртути, бомбардируемые электронами с энергией 4,86 эВ, должны яв-507ляться источником ультрафиолетового излучения с λ ≈ 255 нм. Опыт действи-тельно обнаруживает одну ультрафиолетовую линию с λ ≈ 254 нм. Таким обра-зом, опыты Франка и Герца экспериментально подтвердили не только первый, но и второй постулат Бора. Эти опыты сыграли огромное значение в развитии атомной физики.§ 212. С ПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА ПО Б ОРУПостулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водо-рода и водородоподобных систем — систем, состоящих из ядра с зарядом Zeи одного электрона (например, ионы Не+ , Li 2+ ), а также теоретически вычислитьпостоянную Ридберга.Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной сис-теме, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение (208.1) mv 2 /r = Ze 2 /(4 πε r 2 ),предложенное Резерфордом, и уравнениеe 0(210.1), получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:(212.1)где n = 1, 2, 3, ... . Из выражения (212.1) следует, что радиусы орбит растут про- порционально квадратам целых чисел.Для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты электрона при n = 1,называемый первым воровским радиусом (а),равен(212.2)что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов. Так как радиусы стационарных орбит измерить невозможно, то для проверки теории необходимо обратиться к таким величинам, которые могут быть измерены экс- периментально. Такой величиной является энергия, излучаемая и поглощаемая атомами водорода.Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается изего кинетической энергии (m e v 2 /2) и потенциальной энергии в электростатиче-ском поле ядра (-Ze 2 /(4 πε r):0(учли, что m 2 e v 2 = 1 2 Ze 2 ( 4 πε 0 r ) ; см . (208.1)). Учитывая квантованные для ра -диуса n- й стационарной орбиты значения (212.1), получим , что энергия элек -трона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения :508где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.Из формулы (212.3) следует, что энергетические состояния атома обра-зуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимо- сти от значения n. Целое число nв выражении (212.3), определяющее энергети- ческие уровни атома, называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние с n = 1 является основным (нормальным) состоянием; состояния с n > 1 являются возбужденными. Энергетический уровень, соответствующий основ- ному состоянию атома, называется основным (нормальным) уровнем; все ос- тальные уровни являются возбужденными.Придавая n различные целочисленные значения, получим для атома во-дорода (Z= 1), согласно формуле (212.3), возможные уровни энергии, схемати- чески представленные на рис. 294. Энергия атома водорода с увеличением n возрастает и энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей значению n =∞ . Атом водорода обладает, таким образом, минимальной энерги-ей (E1 = —13,55 эВ) при n =1.максимальной (E ∞ = 0) при n = ∞ . Следовательно,значение E ∞ = 0 соответствует ионизации атома (отрыву от него электрона). Со-гласно второму постулату Бора (см. (210.2)), при переходе атома водорода (Z= 1) из стационарного состояния n в стационарное состояние m с меньшей энер- гией испускается квантоткуда частота излучения(212.4)Воспользовавшись при вычислении Rсовременными значениями универ-сальных постоянных, получим величину, совпадающую с экспериментальным значением постоянной Ридберга в эмпирических формулах для атома водорода (см. § 209). Это совпадение убедительно доказывает правильность полученной Бором формулы (212.3) для энергетических уровней водородоподобной систе- мы.Подставляя, например, в формулу (212.4) m =1 и n =2, 3, 4, ..., получимгруппу линий, образующих серию Лаймана (см. § 209) и соответствующих пе- реходам электронов с возбужденных уровней (n =2, 3, 4, ...) на основной (m = 1). Аналогично, при подстановке m =2,3, 4, 5, 6 и соответствующих им значе- ний n получим серии Бальмера, Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри (часть из них схематически представлена на рис. 294), описанные в § 209. Следователь- но, по теории Бора, количественно объяснившей спектр атома водорода, спек- тральные серии соответствуют излучению, возникающему в результате перехо- да атома в данное состояние из возбужденных состояний, расположенных выше данного.509Рис. 294Спектр поглощения атома водорода является линейчатым, но содержитпри нормальных условиях только серию Лаймана. Он также объясняется теори- ей Бора. Так как свободные атомы водорода обычно находятся в основном со- стоянии (стационарное состояние с наименьшей энергией при n = 1),то при со- общении атомам извне определенной энергии могут наблюдаться лишь перехо- ды атомов из основного состояния в возбужденные (возникает серия Лаймана).Теория Бора была крупным шагом в развитии атомной физики и явиласьважным этапом в создании квантовой механики. Однако эта теория обладает внутренними противоречиями (с одной стороны, применяет законы классиче- ской физики, а с другой — основывается на квантовых постулатах). В теории Бора рассмотрены спектры атома водорода и водородоподобных систем и вы- числены частоты спектральных линий, однако эта теория не смогла объяснить интенсивности спектральных линий и ответить на вопрос: почему совершаются те или иные переходы? Серьезным недостатком теории Бора была невозмож- ность описания с ее помощью спектра атома гелия — одного из простейших атомов, непосредственно следующего за атомом водорода.З АДАЧИ27.1. Определить максимальную и минимальную энергии фотона в ульт-рафиолетовой серии спектра атома водорода (серии Лаймана). [E max =13,2 эВ,E min = 10,2 эВ]51027.2. Определить длину волны, соответствующую границе серии Бальме-ра. [364 нм]27.3. Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный мо-мент электрона, движущегося по второй орбите атома водорода. [p m =en?/(2m)= 1,8 ⋅ 10 -23 А ⋅ м 3 ]27.4. Используя теорию Бора, определить изменение орбитального меха-нического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния (n = 2) в основное с испусканием фотона с длиной волныλ = 1.212 ⋅ 10 -7 м.[ ? L=?=1.05 ⋅ 10 -34 Дж ⋅ с]27.5. Определить потенциал ионизации атома водорода. [13,6 В]27.6. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода E =i13,6 эВ, определить второй потенциал возбуждения этого атома. [12,1 В]27.7. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода E i =13,6511ГЛАВА 28ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ§ 213. К ОРПУСКУЛЯРНО - ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВАФранцузский ученый Луи де Бройль (1892—1987), осознавая сущест-вующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной кор- пускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универ- сальности корпускулярно-волнового дуализма.Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с кор- пускулярными обладают также волновыми свойствами. Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектомсвязываются, с одной стороны, корпуску- лярныехарактеристики — энергия Еи импульс р,а с другой — волновые ха- рактеристики— частота v и длина волныλ Количественные соотношения,связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:(213.1) Смелость гипотезы де Бройля заключалась именно в том, что соотноше-ние (213.1) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочас- тиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:(213.2)Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р.Вскоре гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927г. американские физики К. Дэвиссон (1881—1958) и Л. Джермер (1896—1971) обнаружила, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифрак- ционной решетки — кристалла никеля, — дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа — Брэггов (182.1), а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле (213.2). В дальнейшем формула де Бройля бы- ла подтверждена опытами П. С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших ди- фракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (энергия≈ 50 кэВ) через металлическую фольгу (толщиной ≈ 1мкм).Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, то512(промежуток времени между двумя электронами в 10 4 раз больше времени про-хождения электроном прибора), возникающая при длительной экспозиции ди- фракционная картина не отличается от дифракционных картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков электронов, в десятки миллионов раз бо- лее интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являются свой- ством их коллектива, а присущи каждой частице в отдельности.Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов,протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило дока- зательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося опре- деленной длиной волны, рас считываемой по формуле де Бройля (213.2). От- крытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению и развитию новых методов исследования структуры веществ, таких, как электронография и ней- тронография (см. § 182), а также к возникновению новой отрасли науки — электронной оптики (см. § 169).Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочас-тиц привело к выводу о том, что перед нами универсальное явление, общее свойство материи. Но тогда волновые свойства должны быть присущи и макро- скопическим телам. Почему же они не обнаружены экспериментально? Напри- мер, частице массой 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля сλ = 6,62 ⋅ 10 -31 м. Такая длина волны лежит за пределами доступнойнаблюдению области (периодических структур с периодом d ≈ 10 -31 м не суще-ствует). Поэтому считается, что макроскопические тела проявляют только одну сторону своих свойств — корпускулярную — и не проявляют волновую.Представление о двойственной корпускулярно-волновой природе частицвещества углубляется еще тем, что на частицы вещества переносится связь ме- жду полной энергией частицы еи частотой v волн де Бройля:(213.3)Это свидетельствует о том, что соотношение между энергией и частотойв формуле (213.3) имеет характер универсального соотношения,справедливого как для фотонов, так и для любых других микрочастиц. Справедливость же со- отношения (213.3) вытекает из согласия с опытом тех теоретических результа- тов, которые получены с его помощью в квантовой механике, атомной и ядер- ной физике.Подтвержденная экспериментально гипотеза де Бройля о корпускулярно-513сущих микрообъекту, и состоит дуализм волна — частица. Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в виде какой-нибудь модели неправиль- но.» (в сб.: Философские вопросы современной физики. — М.: Изд-во АН СССР, 1959).§ 214. Н ЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВОЛН ДЕ Б РОЙЛЯРассмотрим свободно движущуюся со скоростью vчастицу массой т.Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн де Бройля. Фазовая скорость, согласно (154.8),(214.1)(E = ? ω и p = ?k, где k = 2 π / λ — волновое число). Так как c > v,то фазоваяскорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (фазовая скорость волн может быть как меньше, так и больше св отличие от групповой скорости волн (см. § 155)). Групповая скорость, согласно (155.1),Для свободной частицыСледовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости час-тицы.Групповая скорость фотонат. е. равна скорости самого фотона.Волны де Бройля испытывают дисперсию (см. § 154). Действительно,подставив в выражение (214.1) v фаз = E/pформулу (40.7) E = m 2 0 c 4 + p 2 c 2 ,увидим, что скорость волн де Бройля зависит от длины волны. Это обстоятель- ство сыграло в свое время большую роль в развитии положений квантовой ме- ханики. После установления корпускулярно-волнового дуализма делались по- пытки связать корпускулярные свойства частиц с волновыми и рассматривать частицы как «узкие» волновые пакеты (см. § 155), «составленные» из волн де Бройля. Это позволяло как бы отойти от двойственности свойств частиц. Такая гипотеза соответствовала локализации частицы в данный момент времени в оп- ределенной ограниченной области пространства. Аргументом в пользу этой ги- потезы являлось и то, что скорость распространения центра пакета (групповая скорость) оказалась, как показано выше, равной скорости частицы. Однако по-514добное представление частицы в виде волнового пакета (группы волн де Брой- ля) оказалось несостоятельным из-за сильной дисперсии волн де Бройля, при- водящей к «быстрому расплыванию» (примерно 10-26 с!) волнового пакета илидаже разделению его на несколько пакетов.§ 215. С ООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙСогласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц веще-ства, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. По этому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.В классической механике всякая частица движется по определенной тра-ектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траттории и неправомерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку им- пульс выражается через длину волны (см. (213.1)), то отсюда следует, что мик- рочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную коор- динату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значе- нием координаты, то ее импульс является полностью неопределенным.В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные сволновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотноше- нию неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z),и определенную со- ответствующую проекцию импульса (рх , р у , p z ),причем неопределенности этихвеличин удовлетворяют условиям(215.1)т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей про- екции импульса не может быть меньше величины порядка h.Из соотношения неопределенностей (215.1) следует, что, например, еслимикрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (Дх=0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается со- вершенно неопределенной (? p х → ∞ ), и наоборот. Таким образом, для микро-частицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозмож- ность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координа- ту и импульс микрообъекта.Поясним, что соотношение неопределенностей действительно вытекает515из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через уз- кую щель шириной? х, расположенную перпендикулярно направлению их дви-жения (рис. 295). Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Брой- ляλ электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемаяна экране (Э), характеризуется главным максимумом, расположенным симмет- рично оси Y,и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем, так как основная доля интенсивности приходится на главный максимум).Рис. 295До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси Y, поэтомусоставляющая импульса р х = 0,так что ? р х =0, а координата хчастицы являетсясовершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси Xопределяется с точностью до ширины щели, т.е. с точностью? х. В этот же момент вследствие дифракции электроны откло-няются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2 ?( ? —угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следова-тельно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси X,которая, как следует из рис. 295 и формулы (213.1), равна(215.2)Для простоты ограничимся рассмотрением только тех электронов, кото-рые попадают на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции (см. § 179) известно, что первый минимум соответствует углу? ,удовлетво-ряющему условию(215.3)где ? х — ширина щели, а λ — длина волны де Бройля. Из формул (215.2) и(215.3) получим516где учтено, что для некоторой, хотя и незначительной, частя электронов, попа- дающих за пределы главного максимума, величина? p x ≥ p sin ? .Следовательно,получаем выражениет. е. соотношение неопределенностей (215.1).Невозможность одновременно точно определить координату и соответст-вующую проекцию импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъек- тов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения час- тицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенно- стей является,таким образом, квантовым ограничением применимости клас- сической механики к микрообъектам.Соотношение неопределенностей, отражая специфику физики микрочас-тиц, позволяет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической механики к микрочастицам, в частности, с какой степенью точно- сти можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значе- ниями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (215.1) в виде(215.4)Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньшенеопределенности ее координаты н скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, напри- мер, уже для пылинки массой 10-12 кг и линейными размерами 10 -б м, координа-та которой определена с точностью до 0,01 ее размеров ( ? х = 10 -8 м), неопреде-ленность скорости, по (215.4), ? v х = 6,62 ⋅ 10 -34 /(10 -8 ⋅ 10 -12 ) м/с = 6,62 ⋅ -14 м/с, т. с.не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигать- ся. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координата и скорость макротел могут быть одновременно изме- рены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической меха- ники.Предположим, пучок электронов движется вдоль оси хсо скоростью v =10 8 м/с, определяемой с точностью до 0,01% ( ? v x ≈ 10 4 м/с). Какова точность517т. е. положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о движении электронов по определенной траектории, иными словами, описывать их движение законами классической механики.Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся ватоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона ? x ≈10 -10 м (по рядка размеров самого атома, т. е. можно считать, что электрон при-надлежит данному атому). Тогда, согласно (215.4),? v x = 6,62 ⋅ 10- 34 /(9,11 ⋅ 10 -31 ⋅ 10 -10 ) = 7,27 ⋅ 10 6 м/с. Используя законы классическойфизики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса≈ 0,5-10~ 10 м его скорость v ≈ 2,3 ⋅ 10 6 м/с. Таким образом, неоп-ределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определен- ной траектории, иными словами, для описания движения электрона в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенно-стей для энергии Еи времени t,т. е. неопределенности этих величин удовлетво- ряют условию(215.5)Подчеркнем, что ? Е — неопределенность энергии некоторого состояниясистемы, ? t — промежуток времени, в течение которого оно существует. Сле-довательно, система, имеющая среднее время жизни ? t, не может быть охарак-теризована определенным значением энергии; разброс энергии ? Е = h/ ? t воз-растает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (215.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность? v =? E/h, т. е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной v ± ? Е/h.Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; изме- ряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существова- ния атома в возбужденном состоянии.§ 216. В ОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛЭкспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальностикорпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микро-объектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречие целого ряда экспериментов с применяемыми в начале XX в. теориями привели к новому этапу развития квантовой теории — созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микро- частиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает пери-518од с 1900 г. (формулировка Плавком квантовой гипотезы; см. § 200) до 20-х го- дов XX в.; оно связано прежде всего с работами австрийского физика Э. Шре- дингера (1887—1961), немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака (1902—1984).На данном этапе развития возникли новые принципиальные проблемы, вчастности проблема физической природы волн де Бройля. Для выяснения этой проблемы сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина, наблюдаемая для световых волн, характеризуется тем, что в результате наложения дифрагирующих волн друг на друга в различных точках простран- ства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной кар- тины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлени- ям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадаю- щих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет веро- ятность попадания фотона в ту или иную точку.Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характе-ризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям, — в одних направлениях наблюдает- ся большее число частиц, чем в других. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соот- ветствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, ин- тенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее чис- ло частиц, т. е. интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства оп- ределяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятност- ной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где ин- тенсивность волн де Бройля наибольшая.Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц явля-ется важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т. е. считать, что веро- ятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках про- странства может быть отрицательна, что не имеет смысла.Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн (1882—1970) в1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемаяΨ (х, у, z, t). Этувеличину называют также волновой функцией (или Ψ -функцией). Амплитудавероятности может быть комплексной, и вероятность Wпропорциональна квад- рату ее модуля:(216.1)519(| Ψ | 2 = ΨΨ *, Ψ *— функция, комплексно сопряженная с Ψ ). Таким образом,описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет стати- стический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квад- рат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени г в области с координатами хи x+dx, уи y+dy, zи z+dz.Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается прин-ципиально по-новому — с помощью волновой функции, которая является ос- новным носителем информацииоб их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна(216.2)Величина(квадрат модуля Ψ -функции) имеет смысл плотности вероятности,т. е. опре-деляет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z.Таким образом, физический смысл имеет не самаΨ -функция, а квадрат ее модуля | Ψ | 2 , которым задается интенсивность волн деБройля.Вероятность найти частицу в момент времени е в конечном объеме V,со-гласно теореме сложения вероятностей, равнаТак как | Ψ | 2 dF определяется как вероятность, то необходимо волновуюфункцию Ψ нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обра-щалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего про- странства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей(216.3)где данный интеграл (216.3) вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у, zот -∞ до ∞ . Таким образом, условие (216.3) говоритоб объективном существовании частицы в пространстве.Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состоя-ния микро частиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. ФункцияΨ , характеризующая вероятность обнаружения действия микрочасти-цы в элементе объема, должна быть конечной(вероятность не может быть больше единицы), однозначной(вероятность не может быть неоднозначной ве- личиной) и непрерывной(вероятность не может изменяться скачком).Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции:если системаможет находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функция- миΨ 1 , Ψ 2 , …, Ψ n ,…, то она также может находиться в состоянии Ψ , описывае-мом линейной комбинацией этих функций:520где С n (n = 1, 2,...) — произвольные, вообще говоря, комплексные числа. Сло-жение волновых функций(амплитуд вероятностей), а не вероятностей(опреде- ляемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для неза- висимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.Волновая функция Ψ , являясь основной характеристикой состояния мик-рообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения фи- зических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние ⟨r⟩ электрона от ядра вычисляют по формулегде интегрирование производится, как и в случае (216.3).§ 217. О БЩЕЕ УРАВНЕНИЕ Ш РЕДИНГЕРА .У РАВНЕНИЕ Ш РЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХСОСТОЯНИЙСтатистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение не-определенностей Гсйзенберга (см. § 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в раз- личных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали на- блюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функцииΨ (х, у, г, t), так как именноона, или, точнее, величина | Ψ | 2 , определяет вероятность пребывания частицы вмомент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и x+dx, уи y+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойст- ва частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.Основное уравнение нерелятивистской квантовой механикисформули-ровано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулиру- ется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом полу- чаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид(217.1)где ?=h/(2 π ), т— масса частицы, ? — оператор Лапласа521i — мнимая единица, U (х, у, z, f)— потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ (х, у, z, t) —искомая волновая функция час-тицы.Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0;см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<c.Оно дополняется условиями, накладываемыми на вол- новую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψнепрерывной (см. § 216); 2) производные , , , должны быть не-∂ x ∂ y ∂ z ∂ tпрерывны; 3) функция | Ψ | должна быть интегрируема; это условие в простей-ших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движу-щуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская вол- на. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х,имеет вид (см. § 154)ξ (х, t) = Acos( ω t—kx), если в комплексной записи ξ (x, t) = Ae i( ω t-kx) .Следова-тельно, плоская волна де Бройля имеет вид Ψ = A e − ( i h Et − px ) (217.2)(учтено, что ω = E/?, k = p/? ). В квантовой механике показатель экспонентыберут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только | Ψ | 2 , тоэто (см. (217.2)) несущественно. Тогдаоткуда(217.3)Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р (Е = р 2 /(2m)) иподставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнениекоторое совпадает с уравнением (217.1) для случая U = 0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетическойи потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения в используя взаимосвязь между Е и р(для данного случая р 2 /(2m) = Е-U), придем к диффе-522ренциальному уравнению, совпадающему с (217.1).Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравне-ния Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредннгера. Его такженазывают уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физи- ческих явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упро- стить, исключив зависимостьΨ от времени, иными словами, найти уравнениеШредингера для стационарных состояний— состояний с фиксированными значениями энергии.Это возможно, если силовое поле, в котором частила дви- жется, стационарно, т. е. функция U = U(х, у, z)не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителемe i ω t = e − i ( E h ) t , так что(217.4)где Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.Подставляя (217.4) в (217.1), получимоткуда после деления на общий множитель е и соответствующих преобразо-вании придем к уравнению, определяющему функцию ψ :(217.5)Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарныхсостояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е час-тицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регу- лярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, од- нозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ф. Но регулярные решения имеют местоне при любых значениях параметра Е , а лишь при определенном их наборе, ха-рактерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называ- ются собственными функциями. Собственные значения Емогут образовыватькак непрерыввый, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерыв- ном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре.523§ 218. П РИНЦИП ПРИЧИННОСТИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕИз соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимо-сти принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, соглас- но приношу причинности — принципу классического детерминизма, по из- вестному состоянию системы в некоторый момент времени (полностью опреде- ляется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, при- ложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой после- дующий момент. Следовательно, классическая физика основывается на сле- дующем понимании причинности: состояние механической системы в началь- ный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причи- на, а ее состояние в последующий момент — следствие.С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и опре-деленную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соотношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в начальный момент времени состояние системы точно не определя- ется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности.Однако никакого нарушения принципа причинности применительно кмикрообъектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие со- стояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классиче- ской механике. В квантовой механике состояние микрообъекта полностью оп- ределяется волновой функциейΨ (x, у, z, t),квадрат модуля которой| Ψ (x, у, z, t)| 2 задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с ко-ординатами х, у, z.В свою очередь, волновая функция Ψ (х, у, z, t)удовлетворяет уравнениюШредингера (217.1), содержащему первую производную функции Ψ по време-ни. Это же означает, что задание функции Ψ 0 (для момента времени t 0 ) опреде-ляет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механи- ке начальное состояниеΨ 0 есть причина, а состояние Ψ в последующий момент— следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функцииΨ предопределяет ее значения для любых последующих0моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествующего состояния, как того требует принцип причинности.§ 219. Д ВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫСвободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних по-лей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х)силы не524действуют, то потенциальная энергия частицы U(x) = constи ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энер- гией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состоя- ний примет вид(219.1)Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решениемуравнения (219.1) является функция ψ (x) = Ae ikx ,где A = const и k = const,с соб-ственным значением энергии(219.2) Функция ψ (x) = Ae ikx = Ae (i/k) √ 2mEx представляет собой только координат-ную часть волновой функции Ψ (х, t). Поэтому зависящая от времени волноваяфункция, согласно (217.4),(219.3)(здесь ω = E/? и k = p x /?).функция (219.3) представляет собой плоскую моно-хроматическую волну де Бройля (см. (217.2)).Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульсаоказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число kможет принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской моно-хроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от време- ни плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространстват. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероят- ными.§ 220. Ч АСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ« ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ » Е БЕСКОНЕЧНОВЫСОКИМИ « СТЕНКАМИ »Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера приме-нительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бес- конечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энер- гией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)525где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).Рис. 296Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае од-номерной задачи запишется в виде(220.1)По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проника-ет за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х = 0 и х = l)непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид(220.2)В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется куравнениюили(220.3)где(220.4)526Общее решение дифференциального уравнения (220.3): Ψ (x) = Asin kx + Bcos kx.Так как по (220.2) ψ (x) = 0, то B = 0. Тогда(220.5)Условие (220.2) Ψ (l) = Asin kl выполняется только при kl= n π ,где n —целые числа, т. е. необходимо, чтобы(220.6)Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что(220.7)т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях , зависящих от целого числа n. Следова- тельно, энергия Eчастицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокимиn«стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. кванту- ется. Квантованные значения энергии Eназываются уровнями энергии, а числоnл, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным кванто- вым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконеч- но высокими «стенками» может находиться только на определенном энергети- ческом уровне En ,или, как говорят, частица находится в квантовом состоянииn.Подставив в (220.5) значение kиз (220.6), найдем собственные функции:Постоянную интегрирования Анайдем из условия нормировки (216.3),которое для данного случая запишется в видеВ результате интегрирования получима собственные функции будут иметь вид(220.8)Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энер-527гии (220.7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297,а.На рис. 297,б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |Ψ n (x)| 2 = Ψ n (x) Ψ * n (x) для n = 1, 2 и 3.Рис. 297Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n = 2 частицане может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоя- тельны.Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между дву-мя сосед ними уровнями равен(220.9)Например, для электрона при размерах ямы l =10 -1 м (свободные элек-троны в металле) ? E n ≈ 10 -35 n Дж ≈ 10 -16 n эВ, т. е. энергетические уровни рас-положены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l = 10-10 м), то для электрона? E n ≈ 10 -17 n Дж ≈ 10 2 n эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии(линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приво-дит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, рав- наяπ 2 ? 2 /(2ml 2 ). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно ивытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Аде частицы в «яме» шириной l равна? x = l. Тогда, согласно соотношению не-определенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае ну- левое, значение. Неопределенность импульса528ний импульса соответствует кинетическая энергия E min ≈ ( ? p) 2 /(2m) = h 2 /(2ml 2 ).Все остальные уровни (n > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах(n >> 1) ? E /E ≈ 2/n << 1,т. е. соседние уровни расположены тесно: тем тес-n nнее, чем больше n.Если n очень велико, то можно говорить о практически не- прерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы кванто- вой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную рольв со временной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, при- чем в определенных пре дельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят при v<<с в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.§ 221. П РОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР .Т УННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТРассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы(рис. 298, а) для одномерного (по оси х)движения частицы. Для потенциально- го барьера прямоугольной формы высоты Uи ширины l можем записать(для области 1), (для области 2), (для области 3).При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е,либо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е > U),либо отразится от него (при Е < U)и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может про- никнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при E > U,имеется отлич- ная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E < Uимеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х >l,т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, каза- лось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения урав- нения Шредингера, описывающего движение микро частицы при условиях529данной задачи.Рис. 298Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний для каждойиз выделенных на рис. 298, аобласти имеет вид(221.1) Общие решения этих дифференциальных уравнений: (для области 1); (221.2)(для области 2);(для области 3). (221.3)В частности, для области 1полная волновая функция, согласно (217.4),будет иметь вид(221.4)В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну типа(219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х(соответст-530вует частице, движущейся в сторону барьера), а второй — волну, распростра- няющуюся в противоположном направлении, т. е. отраженную от барьера (со- ответствует частице, движущейся от барьера налево).Решение (221.3) содержит также волны (после умножения на временноймножитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В3 в формуле (221.3) следует принять равным нулю.В области 2 решение зависит от соотношений Е > U или Е < U.Физиче-ский интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высо- ты потенциального барьера, поскольку при Е < Uзаконы классической физики однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно (221.1), q = iβ — мнимое число, гдеУчитывая значение qи B 3 =0, получим решения уравнения Шредингерадля трех областей в следующем виде:(для области 3). (221.5)В области 2функция (221.5) уже не соответствует плоским волнам, рас-пространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. Можно показать, что для частного случая высокого и широкого барьера, когдаβ l>>1, B 2 ≈ 0 .Качественный характер функций ψ (x), ψ (x), ψ (x) иллюстрируется на1 2 3рис. 298, б,откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барь- ера, а в области 3,если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новомуспецифическому квантовому явлению, получившему название туннельного эф- фекта, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциаль- ный барьер.Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициентапрозрачности Dпотенциального барьера, определяемого как отношение плот- ности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Можно пока- зать, чтоДля того чтобы найти отношение |A 3 /A 1 |2,необходимо воспользоватьсяусловиями непрерывности ψ и ψ ' на границах барьера х = 0 и х = l(рис. 298):531(221.6)Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты A , A ,2 3B 1 и B 2 через A 1 .Совместное решение уравнений (221.6) для прямоугольногопотенциального барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачно- сти мал по сравнению с единицей)(221.7)где U— высота потенциального барьера, Е— энергия частицы, l — ширина барьера, D— постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из0выражения (221.7) следует, что Dсильно зависит от массы mчастицы, ширины l барьера и от (U - E);чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы. Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 299), удовлетворяющей условиям так называемого квазиклассического при- ближения (достаточно гладкая форма кривой), имеемРис. 299С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциаль-ный барьер при Е < Uневозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом.Прохождение части- цы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неоп- ределенность импульса? р на отрезке ? x = l составляет ? р > h/l. Связанная с.532этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия ( ? р) 2 /(2m) можетоказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Ман-дельштама и М. А. Леонтовича (1903—1981). Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например,α -распад, протекание термоядерных ре-акций).§ 222. Л ИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕЛинейный гармонический осциллятор — система, совершающая одно-мерное движение под действием квазиупругой силы, — является моделью, ис- пользуемой во многих задачах классической и квантовой теории (см. § 142). Пружинный, физический и математический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осцил- лятора (см. (141.5)) равна(222.1)где ω 0 — собственная частота колебаний осциллятора, m— масса частицы. За-висимость (222.1) имеет вид параболы (рис. 300), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.Рис. 300Амплитуда малых колебаний классического осциллятора определяетсяего полной энергией Е(см. рис. 16). В точках с координатами ±х max полнаяэнергия Еравна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (-хmax , + х max ).Такой выход означалбы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приво- дит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, класси- ческий осциллятор находится в «потенциальной яме» с координатами — - хmax ≤ x ≤ х max «без права выхода» из нее.533Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осцилля-тор — описывается уравнением Шредингера (217.5), учитывающим выражение (222.1) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида(222.2)где Е— полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (222.2) решается только при собственных значе- ниях энергии(222.3)Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора можетиметь лишь декретом значения, т. е. квантуется.Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими«стенками» (см. § 220), минимальным значением энергии E 0 = 1/2? ω 0 .Сущест-вование минимальной энергии — она называется энергией нулевых колеба- ний— является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находитьсяна дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В са- мом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса части- цы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координа- ты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пре- быванию частицы в «потенциальной яме».Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осцилляторапротиворечит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоя- щейся в положении равновесия частице). Например, классическая физика при- водит к выводу, что при Т=0энергия колебательного движения атомов кри- сталла должна обращаться в нуль. Следовательно, должно исчезать и рассеяние света, обусловленное колебаниями атомов. Однако эксперимент показывает, что интенсивность рассеяния света при понижении температуры не равна нулю, а стремится к некоторому предельному значению, указывающему на то, что при T→ 0 колебания атомов в кристалле не прекращаются. Это является подтвер-ждением наличия нулевых колебаний.Из формулы (222.3) также следует, что уровни энергии линейного гармо-нического осциллятора расположены на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 300), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями равно ?ω 0 , причем минимальное значение энергии E 0 = 1/2? ω 0 .Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к одно-му значительному отличию от классического рассмотрения. Квантово- механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области |х| < х(см. рис. 16), в то время как с классической точкиmax534зрения она не может выйти за пределы области (- х max ,+ х max ).Таким образом,имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, кото- рая является классически запрещенной. Этот результат (без его вывода) демон- стрируется на рис. 301, где приводится квантовая плотность вероятности w об- наружения осциллятора для состояния n = 1.Рис. 301Из рисунка следует, что для квантового осциллятора действительно плот-ность вероятности wимеет конечные значения за пределами классически доз- воленной области |x|≥ х max т. е. имеется конечная (но небольшая) вероятностьобнаружить частицу в области за пределами «потенциальной ямы». Существо- вание отличных от нуля значений wза пределами «потенциальной ямы» объяс- няется возможностью прохождения микрочастиц сквозь потенциальный барьер (см. § 221).З АДАЧИ28.1. Свободная частица движется со скоростью u.Доказать, что выпол-няется соотношение v фаз u = c 2 .28.2. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите.Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 1% от ее числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Применительно ли в данном случае для электрона понятие траектории? [? х=33нм; нет]28.3. Ψ -Функция некоторой частицы имеет вид ψ = A e − r/ a , где г — рас-rстояние этой частицы от силового центра, а— постоянная. Определить среднее расстояние ⟨r⟩ частицы от силового центра. [⟨r⟩=π /2]28.4. Записать уравнение Шредингера для стационарных состояний элек-535трона, находящегося в атоме водорода.28.5. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальнойяме» шириной lс бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность W обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в воз- бужденном состоянии (n=2).Пояснить физический смысл полученного резуль- тата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. [W=0,195]28.6. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. Опре-делить в электрон-вольтах разность энергий U - E,при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99. [0,1 мэВ]536ГЛАВА 29ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИАТОМОВ И МОЛЕКУЛ§ 223. А ТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕРешение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода(а также водородоподобных систем: иона гелия Не" 1 ", двукратно ионизованно-го лития Li + + и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском по-ле ядра.Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающимзарядом Ze (для атома водорода Z= 1),где r— расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r)изо- бражена жирной кривой на рис. 302. U(r) с уменьшением г (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функциейΨ ,удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учиты-вающему значение (223.1):(223.2)где m— масса электрона, Е— полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для ре- шения уравнения (223.2) обычно используют сферическую систему координат: r,θ , ? . Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рас-смотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их фи- зический смысл.1. Энергия. В теории дифференциальных уравнении доказывается, чтоуравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям одно- значности, конечности и непрерывности волновой функцииΨ ,только при соб-ственных значениях энергии(223.3)т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высо-кими «стенками» (см. § 220) и гармонического осциллятора (см. § 222), реше- ние уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дис- кретных энергетических уровней. Возможные значения Е, Е , Е ,...показаны на1 2 3рис. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень E l ,отвечаю-537щий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (E n > E 1 ,n =2, 3, ...) — возбужденные (см. § 212). При Е < 0движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа nэнергетические уровни располагаются теснее и при n =∞ E ∞ = 0.При Е > 0 движение электронаявляется свободным; область непрерывного спектра Е > 0(заштрихована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водо- рода равнаРис. 302Выражение (223.3) совпадает с формулой (212.3), полученной Бором дляэнергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения урав- нения Шредингера.2. Квантовые числа.В квантовой механике доказывается, что уравне-нию Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции Ψ (r, в, <р), оп-ределяемые тремя квантовыми числами: главным л, орбитальным / и магнит- ным /и/.Главное квантовое числол, согласно (223.3), определяет энергетиче-ские уровни электронав атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса(ме-ханический орбитальный момент) электрона квантуется,т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой538(223.4)где l — орбитальное квантовое число,которое при заданном л принимает зна- чения(223.5)т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электронав атоме.Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L l моментаимпульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Llx на направление z внешнего магнитного поля прини-мает квантованные значения, кратные n:(223.6)где m l — магнитное квантовое число,которое при заданном l может прини-мать значения(223.7)т. е. всего 2l+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое числоm оп-lределяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространст- ве 2l+1 ориентации.Наличие квантового числа m l должно привести в магнитном поле к рас-щеплению уровня с главным квантовым числом nна 2l+1 подуровней. Соот- ветственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П. Зееманом (1865—1945) и получило название эффекта Зеемана.Расщепление уровней энергии во внеш- нем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эф- фектом Штарка* .Хотя энергия электрона (223.3) и зависит только от главного квантовогочисла n, но каждому собственному значению Е (кроме E ) соответствует не-n 1сколько собственных функций Ψ nlml , отличающихся значениями l и m l . Следо-вательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Так как при данном n орбитальное кванто- вое число l может изменяться от 0 до n - 1 (см. (223.5)), а каждому значению l соответствует 2l+1 различных значений /и/ (223.7), то число различных состоя- ний, соответствующих данному n, равно(223.8)Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравненийШредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагае- мых на волновую функциюΨ .Кроме того, так как при движении электрона ватоме существенны волновые свойства электрона, то квантовал механика во-* И. Штарк (1874—1957) — немецкий физик.539обще отказывается от классического представления об электронных орбитах. Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответст- вует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероятность обна- ружения электрона в единице объема.Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна.Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в раз личных точках объема атома. Квантовые числаn и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число mlхарактеризует ориентацию электронного облака в пространстве.В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона,характеризующееся квантовыми числами l = 0, называют s-состоянием (элек- трон в этом состоянии называют s-электроном), l = 1 — p-состоянием, l = 2 — d-состоянием, l = 3 — f-состоянием и т. д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в со стояниях с n = 2 и l = 0 и 1 обозначаются соответст- венно символами 2sи 2р.На рис. 303 для примера приведено распределение электронной плотно-сти (формы электронного облака) для состояний атома водорода при n=1 и n=2, определяемое |Ψ nlml | 2 .Как видно из рисунка, оно зависит от n, l и m l .Так, при l= 0 электронная плотность отлична от нуля в центре и не зависит от направле- ния (сферически-симметрична), а для остальных состояний в центре равна ну- лю и зависит от направления.Рис. 3035403. Спектр. Квантовые числа n, l и m l позволяют более полно описатьспектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора (см. рис. 294).В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающие числовозможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и погло- щением света. Теоретически доказано и экспериментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально- симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие переходы, для которых: 1) изменение орбитального квантового числа? l удовлетворяет усло-вию(223.9)2) изменение магнитного квантового числа Am/ удовлетворяет условиюВ оптических спектрах указанные правила отбора в основном выполня-ются. Однако в принципе могут наблюдаться и слабые «запрещенные» линии, например возникающие при переходах с? l = 2. Появление этих линий объясня-ется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает перехо- ды, соответствующие излучению более сложных систем зарядов, например квадруполей. Вероятность же квадрупольных переходов (переходы с? l= 2) вомного раз меньше вероятности дипольных переходов, поэтому «запрещенные» линии и являются слабыми.Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному л, иправило отбора (223.9), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 304): серии Лаймана соответствуют переходысерии Бальмера —и т.д. Переход электрона из основного состояния в возбужденное обусловленувеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как погло- щающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водо- рода должен состоять из линий, соответствующих переходам 1s→ np (n=2, 3, ...),что находится в полном согласии с опытом.541Рис. 304§ 224. 1 S -С ОСТОЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ ВОДОРОДА1s-Состояние электрона в атоме водорода является сферически-симметричным, т. е. не зависит от углов θ и ? .Волновая функция фэлектрона вэтом состоянии определяется только расстоянием r электрона от ядра, т. е.Ψ = Ψ 100 (r), где цифры в индексе соответственно указывают, что n = 1, l= 0и m l= 0. Уравнению Шредингера для 1s-состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет функция вида(224.1)где, как можно показать, а = h 2 4 πε 0 /(me 2 )— величина, совпадающая с первымборовским радиусом а(см. (212.2)) для атома водорода, С — некоторая посто- янная, определяемая из условия нормировки вероятностей (216.3).Благодаря сферической симметрии Ψ -функции вероятность обнаруженияэлектрона на расстоянии rодинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV,отвечающий одинаковой плотности вероятности, обычно представ- ляют в виде объема сферического слоя радиусом rи толщиной dr.dV = 4π r 2 dr.Тогда, согласно условию нормировки вероятностей (216.3) с учетом (224.1),542После интегрирования получим(224.2)Подставив выражение (224.2) в формулу (224.1), определим нормиро-ванную волновую функцию, отвечающую 1s-состоянию электрона в атоме во- дорода:(224.3)Вероятность обнаружить электрон в элементе объема (см. (216.2)) равнаПодставив в эту формулу волновую функцию (224.3), получимВычислим те расстояния r max от ядра, на которых электрон может бытьобнаружен с наибольшей вероятностью. Исследуя выражение dW/drна макси- мум, получим, что rmax = а. Следовательно, электрон может быть обнаружен снаибольшей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеется равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точ- ках, расположенных на сферах радиуса а сцентром в ядре атома. Казалось бы, квантово-механический расчет дает полное согласие с теорией Бора. Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь при r = адостигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве (рис. 305).Рис. 305543Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероят-ным расстоянием от электрона до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантово-механический смысл воровского радиу- са.§ 225. С ПИН ЭЛЕКТРОНА . С ПИНОВОЕ КВАНТОВОЕ ЧИСЛОО. Штерн и В. Герлах, проводя прямые измерения магнитных моментов(см. § 131), обнаружили в 1922 г., что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в ^-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю (см. (223.4)). Магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением элек- трона, пропорционален механическому моменту (см. (131.3)), поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов во- дорода в основном состоянии, т. е. расщепления быть не должно. Однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнару- живают тонкую структуру (являются дублетами) дажев отсутствие магнитного поля.Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также рядадругих трудностей в атомной физике американские физики Д. Уленбек (1900— 1974) и С. Гаудсмит (1902—1979) предположили, что электрон обладает собст- венным неуничтожимым механизмом моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, — спином (см. § 131).Спин электрона (и всех других микрочастиц) — квантовая величина, унее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электро- на, подобное его заряду и массе.Если электрону приписывается собственный механический момент им-пульса (спин) L s , то ему соответствует собственный магнитный момент p ms . Со-гласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по законугде s— спиновое квантовое число. По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция La спинаквантуется так, что вектор L, может принимать 2s + 1ориентации. Так как в опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s+1=2,от- куда s = ½. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением, аналогичным (223.6):где m s — магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь толькодва значения:m s = ± 1/2Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризо-544вать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме необхо- димо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами зада- вать еще магнитное спиновое квантовое число.§ 226. П РИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ . Ф ЕРМИОНЫ И БОЗОНЫЕсли перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одногоэлектрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантово-механическая систе- ма состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства — массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы назы- вают тождественными.Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц прояв-ляются в фундаментальномпринципе квантовой механики — принципе нераз- личимости тождественных частиц, согласно которому невозможно эксперимен- тально различить тождественные частицы.В классической механике даже одинаковые частицы можно различить поположению в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент вре- мени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из раз- личных частиц.В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенно-стей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вы- числять лишь вероятность (|Ψ | 2 ) нахождения микрочастицы в окрестностях тойили иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица нахо- дится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь говорить о веро- ятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следст- вием вероятностной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, который, как уже указывалось, является фунда- ментальным.Принимая во внимание физический смысл величины | Ψ | 2 ,принцип не-различимости тождественных частиц можно записать в виде545где х 1 и х 2 — соответственно совокупность пространственных и спиновых ко-ординат первой и второй частиц. Из выражения (226.1) вытекает, что возможны два случая:т. е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной,если ме- няет — антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симмет- рии волновой функции не меняется со временем. Это же является доказательст- вом того, что свойство симметрии или антисимметрии — признак данного типа микрочастиц.Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций оп-ределяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элемен- тарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, ней- троны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиня- ются статистике Ферми — Дирака; эти частицы называются фермионамн.Час- тицы с нулевым или целочисленным спином (например,π -мезоны, фотоны)описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статисти- ке Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, явля- ются фермионами (суммарный спин — полуцелый), а из четного — бозонами (суммарный спин целый).Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождест-венных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физи- ком В. Паули (1900—1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц.• В чем суть принципа неразличимости тождественных частиц ?• Какие частицы являются бозонами ? фермионами ?• Почему атом водорода может иметь одну и ту же энергию , находясь в различных состояниях ?§ 227. П РИНЦИП П АУЛИ . Р АСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ ПО СОСТОЯНИЯМЕсли тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их546роде только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).Из этого положения вытекает более простая формулировка принципаПаули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до построе- ния квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не ли- митируется.Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется на-бором четырех квантовых чисел:главного n(n =1, 2, 3, ...), орбитального l (l = 0, 1, 2, ..., n—1), магнитного m(m = - l, .... - 1, 0, +1, ..., + l),l lмагнитного спинового (m s = + 1 / 2 , - 1/2).Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, кото-рый может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четы- рех квантовых чисел n, l,ml и m s ,т. е.где Z (n, l, m l , m s )— число электронов, находящихся в квантовом состоя-нии, описываемом набором четырех квантовых чисел: n, l,m l , m s .Таким обра-зом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.Согласно формуле (223.8), данному nсоответствует n 2 различных состоя-ний, отличающихся значениями l и m l . Квантовое число m,может приниматьлишь два значения (± 1 / 2 ).Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, оп-ределяемых данным главным квантовым числом, равноСовокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и тоже главное квантовое число n,называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим дан- ному l. Поскольку .орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n - 1, число подоболочек равно порядковому номеру nоболочки. Количество элек- тронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым кван- товыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l + 1). Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 6.547Таблица 6Главное квантовое число л1 2 3 4 5Символ оболочки К L M N ОМаксимальное числоэлектронов в оболочке 2 8 18 32 50Орбитальное квантовоечисло l 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4Символ подоболочки 1s 2s 2р 3s 3р 3d 4s 4р 4d 4f 5s 5p 5d 5f 5gМаксимальное число элек- тронов в подоболочке 2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 14 18§ 228. П ЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВМ ЕНДЕЛЕЕВАПринцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения электронныхсостояний в атомах, позволяет объяснить Периодическую систему элементов Д. И. Менделеева (1869) — фундаментального законаприроды, являющегося ос- новой современной химии, атомной и ядерной физики.Д. И. Менделеев ввел понятие порядкового номера Z химического эле-мента, равного числу протонов в ядре и соответственно общему числу электро- нов в электронной оболочке атома. Расположив химические элементы по мере возрастания порядковых номеров, он получил периодичность в изменении хи- мических свойств элементов. Однако для известных в то время 64 химических элементов некоторые клетки таблицы оказались незаполненными, так как соот- ветствующие им элементы (например, Ga, Se, Ge) тогда еще не были известны. Д. И. Менделеев, таким образом, не только правильно расположил известные элементы, но и предсказал существование новых, еще не открытых элементов и их основные свойства. Кроме того, Д. И. Менделееву удалось уточнить атом- ные веса некоторых элементов. Например, атомные веса Be и U, вычисленные на основе таблицы Менделеева, оказались правильными, а полученные ранее экспериментально — ошибочными.Так как химические и некоторые физические свойства элементов объяс-няются внешними (валентными) электронами в атомах, то периодичность свойств химических элементов должна быть связана с определенной периодич- ностью в расположении электронов в атомах. Поэтому для объяснения таблицы будем считать, что каждый последующий элемент образован из предыдущего прибавлением к ядру одного протона и соответственно прибавлением одного электрона в электронной оболочке атома. Взаимодействием электронов пре- небрегаем, внося, где это необходимо, соответствующие поправки. Рассмотрим атомы химических элементов, находящиеся в основном состоянии.Единственный электрон атома водорода находится в состоянии 1s,харак-теризуемом квантовыми числами n = 1, l = 0, m l = 0 и m s = ±1/2 (ориентация егоспина произвольна). Оба электрона атома Не находятся в состоянии 1s,но с ан- типараллельной ориентацией спина. Электронная конфигурация для атома Не записывается как 1s548K-оболочки, что соответствует завершению I периода Периодической системы элементов Менделеева (табл. 7).Третий электрон атома Li (Z=3), согласно принципу Паули, уже не можетразместиться в целиком заполненной А-оболочке и занимает наинизшее энерге- тическое состояние с n=2(L-оболочка), т. е. 2s-состояние. Электронная конфи- гурация для атома Li: 1s2 2s.Атомом Li начинается II период Периодическойсистемы элементов. Четвертым электроном Be (Z=4) заканчивается заполнение подоболочки 2s.У следующих шести элементов от В (2=5) до Ne (Z=10) идет заполнение подоболочки 2р(табл. 7). II период Периодической системы закан- чивается неоном — инертным газом, для которого подоболочка 2рцеликом за- полнена.Одиннадцатый электрон Na (Z=11) размещается в М-оболочке (n=3), за-нимая наинизшее состояние 3s.Электронная конфигурация имеет вид 1s2 2s 2 2p 6 3s.Зs-Электрон (как и 2s-элсктрон Li) является валентным электроном,поэтому оптические свойства Na подобны свойствам Li. С Z=12 идет последо- вательное заполнение М-оболочки. Аг (Z= 18) оказывается подобным Не и Ne: в его наружной оболочке все s- и p-состояния заполнены. Аг является химиче- ски инертным и завершает III период Периодической системы.Девятнадцатый электрон К (Z=19) должен был бы занять Зd-cостояние вМ-оболочке. Однако и в оптическом, и в химическом отношениях атом К схож с атомами Li и Na, которые имеют внешний валентный электрон в s-состоянии. Поэтому 19-й валентный электрон К должен также находиться в s-состоянии, но это может быть только s-состояние новой оболочки (N-оболочки), т. е. за- полнение N-оболочки для К начинается при незаполненной М-оболочке. Это означает, что в результате взаимодействия электронов состояние n=4, l=0имеет меньшую энергию, чем состояние n=3, l=2.Спектроскопические и химические свойства Са (Z=20)показывают, что его 20-й электрон также находится в 4s- состоянии N-оболочки. В последующих элементах происходит заполнение М- оболочки (от Sc (Z=21) до Zn (Z=30)). Далее N-оболочка заполняется до Кг (Z= 36), у которого опять-таки, как и в случае Ne и Аг, s-и p-состояния наружной оболочки заполнены целиком. Криптоном заканчивается IV период Периодиче- ской системы. Подобные рассуждения применимы и к остальным элементам таблицы Менделеева, однако эти данные можно найти в справочниках. Отме- тим лишь, что и начальные элементы последующих периодов Rb, Cs, Fr явля- ются щелочными металлами, а их последний электрон находится в s-состоянии. Кроме того, атомы инертных газов (Не, Ne, At, Кг, Хе, Rn) занимают в таблице особое положение — в каждом из них s- и p-состояния наружной оболочки це- ликом заполнены и ими завершаются очередные периоды Периодической сис- темы.Таблица 7Пе- Z Эле- K L M N Пе Z Эле- K L M Nри- мент ри- ментод 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f од 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f1 1 2 H 1 2 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 K 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 - - 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2He CaSc 1 2 3 5 5 6 7 8TiVCrMnFeCoNiIVIII 11 12 13 14 15 16 17 18 Na Vg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 6 6 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 29 30 31 32 33 34 35 36 Cu 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 6 6 10 10 10 10 10 10 10 10 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6ZnAl Ga GeSiP S AsSe BrClAr KrКаждую из двух групп элементов — лантаниды (от лантана (Z= 57) долютеция (Z=71)) и актиниды (от актиния (Z=89) до лоуренсия (Z= 103)) — при- ходится помещать в одну клетку таблицы, так как химические свойства элемен- тов в пределах этих групп очень близки. Это объясняется тем, что для лантани- дов заполнение подоболочки 4f, которая может содержать 14 электронов, начи- нается лишь после того, как целиком заполнятся подоболочки 5s, 5р и 6s.По- этому для этих элементов внешняя Р-оболочка (6s2 )оказывается одинаковой.Аналогично, одинаковой для актинидов является Q-оболочка (7s 2 ).Таким образом, открытая Менделеевым периодичность в химическихсвойствах элементов объясняется повторяемостью в структуре внешних оболо- чек у атомов родственных элементов. Так, инертные газы имеют одинаковые внешние оболочки из 8 электронов (заполненные s- и p-состояния); во внешней оболочке щелочных металлов (Li, Na, К, Rb, Cs, Fr) имеется лишь один s- электрон; во внешней оболочке щелочно-земельных металлов (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) имеется два s-электрона; галоиды (F, С1, Вг, I, At) имеют внешние обо- лочки, в которых недостает одного электрона до оболочки инертного газа, и т.д.• Как изменилась бы структура электронных оболочек атома , если бы электроны были не фер -мионами , а бозонами ?• Сколько электронов может быть в атоме , у которого в основном состоянии заполнены К - и L-оболочки , З s- подоболочка и два электрона в Зр - подоболочке ? Что это за атом ?• Какие квантовые числа имеет внешний ( валентный ) электрон в основном состоянии атома на -трия ?• Записать электронную конфигурацию для атомов : 1) неона ; 2) никеля ; 3) германия ; 4) кобальта .§ 229. Р ЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫБольшую роль в выяснении строения атома, а именно распределенияэлектронов по оболочкам, сыграло излучение, открытое в 1895 г. немецким фи- зиком В. Рентгеном (1845—1923) и названное рентгеновским. Самым распро- страненным источником рентгеновского излучения является рентгеновская трубка, в которой сильно ускоренные электрическим полем электроны бомбар- дируют анод (металлическая мишень из тяжелых металлов, например W или Pt), испытывая на нем резкое торможение. При этом возникает рентгеновское излучение, представляющее собой электромагнитные волны с длиной волны примерно 1012 —10 -8 м. Волновая природа рентгеновского излучения доказанаопытами по его дифракции, рассмотренными в § 182.Исследование спектрального состава рентгеновского излучения показы-вает, что его спектр имеет сложную структуру (рис. 306) и зависит как от энер- гии электронов, так и от материала анода. Спектр представляет собой наложе- ние сплошного спектра, ограниченного со стороны коротких длин волн некото- рой границейλ min , называемой границей сплошного спектра, и линейчатогоспектра — совокупности отдельных линий, появляющихся на фоне сплошного спектра.551Рис. 306Исследования показали, что характер сплошного спектра совершенно независит от материала анода, а определяется только энергией бомбардирующих анод электронов. Детальное исследование свойств этого излучения показало, что оно испускается бомбардирующими анод электронами в результате их тор- можения при взаимодействии с атомами мишени. Сплошной рентгеновский спектр поэтому называют тормозным спектром. Этот вывод находится в со- гласии с классической теорией излучения, так как при торможении движущих- ся зарядов должно действительно возникать излучение со сплошным спектром.Из классической теории, однако, не вытекает существование коротковол-новой границы сплошного спектра. Из опытов следует, что чем больше кинети- ческая энергия электронов, вызывающих тормозное рентгеновское излучение, тем меньшеλ min . Это обстоятельство, а также наличие самой границы объясня-ются квантовой теорией. Очевидно, что предельная энергия кванта соответст- вует такому случаю торможения, при котором вся кинетическая энергия элек- трона переходит в энергию кванта, т. е.где U— разность потенциалов, за счет которой электрону сообщается энергия Еmax , v max — частота, соответствующая границе сплошного спектра. Отсюда гра-ничная длина волны(229.1)что полностью соответствует экспериментальным данным. Измеряя границу рентгеновского сплошного спектра, по формуле (229.1) можно определить экс- периментальное значение постоянной Планка h,которое наиболее точно совпа- дает с современными данными.При достаточно большой энергии бомбардирующих анод электронов нафоне сплошного спектра появляются отдельные резкие линии — линейчатый спектр, определяемый материалом анода и называемый характеристическим рентгеновским спектром (излучением).По сравнению с оптическими спектрами характеристические рентгенов-ские спектры элементов совершенно однотипны и состоят из нескольких серий,552обозначаемых К, L, М, N и O.Каждая серия, в свою очередь, содержит неболь- шой набор отдельных линий, обозначаемых в порядке убывания длины волны индексамиα , β , γ ... (К α , К β , К γ ,.... L α , L β , L γ , ...). При переходе от легких элемен-тов к тяжелым структура характеристического спектра не изменяется, лишь весь спектр смещается в сторону коротких волн. Особенность этих спектров за- ключается в том, что атомы каждого химического элемента, независимо от то- го, находятся ли они в свободном состоянии или входят в химическое соедине- ние, обладают определенным, присущим только данному элементу линейчатым спектром характеристического излучения. Так, если анод состоит из несколь- ких элементов, то и характеристическое рентгеновское излучение представляет собой наложение спектров этих элементов.Рассмотрение структуры и особенностей характеристических рентгенов-ских спектров приводит к выводу, что их возникновение связано с процессами, происходящими во внутренних, застроенных электронных оболочках атомов, которые имеют сходное строение.Разберем механизм возникновения рентгеновских серий, который схема-тически показан на рис. 307.Рис. 307Предположим, что под влиянием внешнего электрона или высоко энерге-тического фотона вырывается один из двух электронов it-оболочки атома. То- гда на его место может перейти электрон с более удаленных от ядра оболочек L, M, N,.... Такие переходы сопровождаются испусканием рентгеновских кван- тов и возникновением спектральных линии К-серии: Кα (L → K), К β (М → К), К γ(N → K)и т. д. Самой длинноволновой линией K-серии является линия К α .Час-тоты линий возрастают в ряду К α → К β → К γ ,поскольку энергия, высвобождаемаяпри переходе электрона на К-оболочку с более удаленных оболочек, увеличи- вается. Наоборот, интенсивности линий в ряду Кα → К β → К γ убывают, так каквероятность переходов электронов с L-оболочки на K-оболочку больше, чем с553более удаленных оболочек М и N. К-cериясопровождается обязательно други- ми сериями, так как при испускании ее линий появляются вакансии в оболочках L, М,...,которые будут заполняться электронами, находящимися на более высо- ких уровнях.Аналогично возникают и другие серии, наблюдаемые, впрочем, толькодля тяжелых элементов. Рассмотренные линии характеристического излучения могут иметь тонкую структуру, поскольку уровни, определяемые главным квантовым числом, расщепляются согласно значениям орбитального и магнит- ного квантовых чисел.Исследуя рентгеновские спектры элементов, английский физик Г. Мозли(1887—1915) установил в 1913 г. соотношение, называемое законом Мозли:(229.2)где v — частота, соответствующая данной линии характеристического рентге- новского излучения, R— постоянная Ридберга,σ — постоянная экранирова-ния, m = 1,2, 3, ... (определяет рентгеновскую серию), nпринимает целочис- ленные значения начиная с от +1 (определяет отдельную линию соответствую- щей серии). Закон Мозли (229.2) подобен обобщенной формуле Бальмера (209.3) для атома водорода.Смысл постоянной экранирования заключается в том, что на электрон,совершающий переход, соответствующий некоторой пинии, действует не весь заряд ядра Ze,а заряд (Z -σ )e,ослабленный экранирующим действием другихэлектронов. Например, для К α -линии σ =1, и закон Мозли запишется в виде§ 230. М ОЛЕКУЛЫ : ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ , ПОНЯТИЕ ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЯХМолекула — наименьшая частица вещества, состоящая из одинаковыхили различных атомов, соединенных между собой химическими связями, и яв- ляющаяся носителем его основных химических и физических свойств. Химиче- ские связи обусловлены взаимодействием внешних, валентных электронов ато- мов. Наиболее часто в молекулах встречается два типа связи: ионная н кова- лентная (см. § 71).Ионная связь (например, в молекулах NaCl, КВг) осуществляется элек-тростатическим взаимодействием атомов при переходе электрона одного атома к другому, т. е. при образовании положительного и отрицательного ионов. Ко- валентная связь (например, в молекулах Н2 , С 2 , СО) осуществляется при обоб-ществлении валентных электронов двумя соседними атомами (спины валент- ных электронов должны быть антипараллельны). Ковалентная связь объясняет- ся на основе принципа неразличимости тождественных частиц (см. § 226), на-554пример электронов в молекуле водорода. Неразличимость частиц приводит к специфическому взаимодействию между ними, называемому обменным взаи- модействием. Это чисто квантовый эффект, не имеющий классического объяс- нения, но его можно себе представить так, что электрон каждого из атомов мо- лекулы водорода проводит некоторое время у ядра другого атома и, следова- тельно, осуществляется связь обоих атомов, образующих молекулу. При сбли- жении двух водородных атомов до расстояний порядка боровского радиуса возникает их взаимное притяжение и образуется устойчивая молекула водоро- да.Молекула является квантовой системой; она описывается уравнениемШредингера, учитывающим движение электронов в молекуле, колебания ато- мов молекулы, вращение молекулы. Решение этого уравнения — очень сложная задача, которая обычно разбивается на две: для электронов и ядер.Энергия изолированной молекулы(230.1)где Е эл — энергия движения электронов относительно ядер, Е кол — энергия ко-лебаний ядер (в результате которых периодически изменяется относительное положение ядер), Евращ — энергия вращения ядер (в результате которых перио-дически изменяется ориентация молекулы в пространстве). В формуле (230.1) не учтены энергия поступательного движения центра масс молекулы и энергия ядер атомов в молекуле. Первая из них не квантуется, поэтому ее изменения не могут привести к возникновению молекулярного спектра, а вторую можно не учитывать, если не рассматривать сверхтонкую структуру спектральных линий. ОтношенияЕ эл : Е кол : Е вращ = 1 : m M : m M ,где т— масса элект рона, М—величина, имеющая порядок массы ядер атомов в молекуле, m/M ≈ 10 -5 ÷ 10 -3 эВ.Поэтому Е эл >> Е кол >> Е вращ . Доказано, что Е эл ≈ 1 ÷ 10 эВ, Е кол ≈ 10 -2 ÷ 10 -1 эВ,Е вращ ≈ 10 -5 ÷ 10 -3 эВ.Каждая из входящих в выражение (230.1) энергий квантуется (ей соответ-ствует набор дискретных уровней энергии) и определяется квантовыми числа- ми. При переходе из одного энергетического состояния в другое поглощается или испускается энергия? Е = hv. При таких переходах одновременно изменя-ются энергия движения электронов, энергии колебаний и вращения. Из теории и эксперимента следует, что расстояние между вращательными уровнями энер- гии? Е вращ гораздо меньше расстояния между колебательными уровнями ? Е кол ,которое, в свою очередь, меньше расстояния между электронными уровнями? Е эл . На рис. 308 схематически представлены уровни энергии двухатомной мо-лекулы (для примера рассмотрены только два электронных уровня — показаны жирными линиями).555Рис. 308Как будет показано в § 231, структура энергетических уровней молекулопределяет их спектр излучения, возникающий при квантовых переходах меж- ду соответствующими энергетическими уровнями.§ 231. М ОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ .К ОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТАСтроение молекул и свойства их энергетических уровней проявляются вмолекулярных спектрах— спектрах излучения (поглощения), возникающих при квантовых переходах между уровнями энергии молекул. Спектр излучения молекулы определяется структурой ее энергетических уровней и соответст- вующими правилами отбора (так, например, изменение квантовых чисел, соот- ветствующих как колебательному, так и вращательному движению, должно быть равно ± 1).Итак, при разных типах переходов между уровнями возникают различныетипы молекулярных спектров. Частоты спектральных линий, испускаемых мо- лекулами, могут соответствовать переходам с одного электронного уровня на другой (электронные спектры)или с одного колебательного (вращательного) уровня на другой (колебательные (вращательные) спектры).Кроме того, возможны и переходы с одними значениями Екол и Е вращ на уровни, имеющиедругие значения всех трех компонентов, в результате чего возникают элек- тронно-колебательные и колебательно-вращательные спектры.По этому556спектр молекул довольно сложный.Типичные молекулярные спектры — полосатые, представляющие собойсовокупность более или менее узких полос в ультрафиолетовой, видимой и ин- фракрасной областях. Применяя спектральные приборы высокой разрешающей способности, можно видеть, что полосы представляют собой настолько тесно расположенные линии, что они с трудом разрешаются. Структура, молекуляр- ных спектров различна для разных молекул и с увеличением числа атомов в молекуле усложняется (наблюдаются лишь сплошные широкие полосы). Коле- бательными и вращательными спектрами обладают только многоатомные мо- лекулы, а двухатомные их не имеют. Это объясняется тем, что двухатомные молекулы не имеют дипольных моментов (при колебательных и вращательных переходах отсутствует изменение дипольного момента, что является необходи- мым условием отличия от нуля вероятности перехода).В 1928 г. академики Г. С. Ландсберг (1890—1957) и Л. И. Мандельштам иодновременно индийские физики Ч. Раман (1888—1970) и К. Крипшан (р. 1911) открыли явление комбинационного рассеяния света. Если на вещество (газ, жидкость, прозрачный кристалл) падает строго монохроматический свет, то в спектре рассеянного света помимо несмещенной спектральной линии обнару- живаются новые линии, частоты которых представляют собой суммы или раз- ности частоты v падающего света и частот vсобственных колебаний (или вра-iщений) молекул рассеивающей среды.Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами v – v i , меньши-ми частоты v падающего света, называются стоксовымн (или красными) спут- никами, линии с часто тами v + vi , большими v, — антистоксовыми (или фиоле-товыми) спутниками. Анализ спектров комбинационного рассеяния приводит к следующим выводам: 1) линии спутников располагаются симметрично по обе стороны от несмещенной линии; 2) частоты vi не зависят от частоты падающегона вещество света, а определяются только рассеивающим веществом, т. е. ха- рактеризуют его состав и структуру; 3) число спутников определяется рассеи- вающим веществом; 4) интенсивность антистоксовых спутников меньше ин- тенсивности стоксовых и с повышением температуры рассеивающего вещества увеличивается, в то время как интенсивность стоксовых спутников практически от температуры не зависит.Объяснение закономерностей комбинационного рассеяния света даетквантовая теория. Согласно этой теории, рассеяние света есть процесс, в кото- ром один фотон поглощается и один фотон испускается молекулой. Если энер- гии фотонов одинаковы, то в рассеянном свете наблюдается несмещенная ли- ния. Однако возможны процессы рассеяния, при которых энергии поглощенно- го и испущенного фотонов различны. Различие энергии фотонов связано с пе- реходом молекулы из нормального состояния в возбужденное (испущенный фотон будет иметь меньшую частоту — возникает стоксов спутник) либо из возбужденного состояния в нормальное (испущенный фотон будет иметъ большую частоту — возникает антистоксов спутник).Рассеяние света сопровождается переходами молекулы между различны-ми колебательными или вращательными уровнями, в результате чего и возни-557кает ряд симметрично расположенных спутников. Число спутников, таким об- разом, определяется энергетическим спектром молекул, т. е. зависит только от природы рассеивающего вещества. Так как число возбужденных молекул го- раздо меньше, чем число невозбужденных, то интенсивность антистоксовых спутников меньше, чем стоксовых. С повышением температуры число возбуж- денных молекул растет, в результате чего возрастает и интенсивность антисто- ксовых спутников.Молекулярные спектры (в том числе и спектры комбинационного рассея-ния света) применяются для исследования строения и свойств молекул, исполь- зуются в молекулярном спектральном анализе, лазерной спектроскопии, кван- товой электронике и т. д.§ 232. П ОГЛОЩЕНИЕ .С ПОНТАННОЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЯКак отмечалось выше, атомы могут находиться лишь в квантовых со-стояних с дискретными значениями энергии E 1 , Е 2 , Е т ,.... Ради простоты рас-смотрим только два из этих состояний (1 и 2) с энергиями Е 1 и Е 2 .Если атомнаходится в основном состоянии 1, то под действием внешнего излучения мо- жет осуществиться вынужденный переход в возбужденное состояние 2 (рис. 309, а),приводящий к поглощению излучения. Вероятность подобных перехо- дов пропорциональна плотности излучения, вызывающего эти переходы.Рис. 309Атом, находясь в возбужденном состоянии 2, может через некоторыйпромежуток времени спонтанно, без каких-либо внешних воздействий, перейти в состояние с низшей энергией (в нашем случае в основное), отдавая избыточ- ную энергию в виде электрома нитного излучения (испуская фотон с энергией hv = E– E 1 ).Процесс испускания фотона возбужденным атомом (возбужден-2ной микросистемой) без каких-либо внешних воздействий называется спонтан-558ным (или самопроизвольным) излучешкм (рис. 309, б).Чем больше вероятность спонтанных переходов, тем меньше среднее время жизни атома в возбужден- ном состоянии. Так как спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтан- ное излучение некогерентно.В 1916 г. А. Эйнштейн для объяснения наблюдавшегося на опыте термо-динамического равновесия между веществом и испускаемым и поглощаемым им излучением постулировал, что помимо поглощения и спонтанного излуче- ния должен существовать третий, качественно иной тип взаимодействия. Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии 2, действует внешнее излуче- ние с частотой, удовлетворяющей условию hv = E2 – E 1 ,то возникает вынуж-денный (индуцированный) переход в основное состояние 1 с излучением фото- на той же энергии hv = E– E (рис. 309, в). При подобном переходе происходит2 1излучение атомом фотона дополнительнок тому фотону, под действием кото- рого произошел переход. Возникающее в результате таких переходов излуче- ние называется вынужденным (индуцированным) излучением. Таким образом, в процесс вынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фотон, вызывающий испускание излучения возбужденным атомом, и вторичный фо- тон, испущенный атомом. Существенно, что вторичные фотоны неотличимыот первичных, являясь точной их копией.В статистической физике известен принцип детального равновесия, со-гласно которому при термодинамическом равновесии каждому процессу можно сопоставить обратный процесс, причем скорости их протекания одинаковы. А. Эйнштейн применил этот принцип и закон сохранения энергии при рассмотре- нии излучения и поглощения электромагнитных волн в случае черного тела. Из условия, что при равновесии полная вероятность испускания (спонтанного и вынужденного) фотонов равна вероятности поглощения фотонов той же часто- ты, Эйнштейн получил выведенную ранее Планком формулу (200.3).Эйнштейн и Дирак показали, что вынужденное излучение (вторичныефотоны) тождественновынуждающему излучению (первичным фотонам): оно имеет такие же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, как и вынуждающее излучение. Следовательно, вынужденное излучение стро- го когерентно свынуждающим излучением, т. е. испущенный фотон неотли- чим от фотона, падающего на атом.Испущенные фотоны, двигаясь в одном направлении и встречая другиевозбужденные атомы, стимулируют дальнейшие индуцированные переходы, и число фотонов растет лавинообразно. Однако наряду с вынужденным излуче- нием возможен и конкурирующий процесс — поглощение. Поэтому для усиле- ния падающего излучения необходимо, чтобы число актов вынужденного излу- чения фотонов (оно пропорционально заселенности возбужденных состояний) превышало число актов поглощения фотонов (оно пропорционально заселенно- сти основных состояний). В системе атомов, находящейся в термодинамиче- ском равновесии, поглощение падающего излучения будет преобладать над вы- нужденным, т.е. падающее излучение при прохождении через вещество будет ослабляться.Чтобы среда усиливала падающее на нее излучение, необходимо создать559неравновесное состояние системы,при котором число атомов в возбужденных состояниях было бы больше, чем их число в основном состоянии. Такие со- стояния называются состояниями с инверсией населенностей. Процесс созда- ния неравновесного состояния вещества (перевод системы в состояние с инвер- сией населенностей) называется накачкой. Накачку можно осуществить опти- ческими, электрическими и другими способами.В средах с инверсными состояниями вынужденное излучение может пре-высить поглощение, вследствие чего падающий пучок света при прохождении через эти среды будет усиливаться (эти среды называются активными). В дан- ном случае явление протекает так, как если бы в законе Бугера I = I0 - α x (см.(187.1)) коэффициент поглощения α , зависящий, в свою очередь, от интенсив-ности излучения, стал отрицательным. Активные среды поэтому можно рас- сматривать в качестве сред с отрицательным коэффициентом поглощения.Впервые на возможность получения сред, в которых свет может усили-ваться за счет вынужденного излучения, указал в 1939 г. российский физик В. А. Фабрикант, экспериментально обнаружив вынужденное излучение паров ртути, возбужденных при электрическом разряде. Открытие явления усиления электромагнитных волн и изобретенный способ их усиления (В. А. Фабрикант, М. М. Вудынский, Ф. А. Бугаева; 1951) легли в основу квантовой электроники, положения которой позволили впоследствии осуществить квантовые усилители и квантовые генераторы света.§ 233. О ПТИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ ( ЛАЗЕРЫ )Практически инверсное состояние среды осуществлено в принципиальноновыхисточниках излучения — оптических квантовых генераторах, или лазе- рах (от первых букв английского названия Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — усиление света с помощью вынужденного излучения). Лазеры генерируют в видимой, инфракрасной и ближней ультрафиолетовой об- ластях (в оптическом диапазоне). Идея качественно нового принципа усиления и генерации электромагнитных волн, примененная в мазерах (генераторы и усилители, работающие в сантиметровом диапазоне радиоволн) и лазерах, при- надлежит российским ученым Н. Г. Басову (р. 1922) и А. М. Прохорову (р. 1916) и американскому физику Ч. Таунсу (р. 1915), удостоенным Нобелевской премии 1964 г.Важнейшими из существующих типов лазеров являются твердотельные,газовые, полупроводниковые и жидкостные (в основу такого деления положен тип активной среды). Более точная классификация учитывает также и методы накачки — оптические, тепловые, химические, электроионизационные и др. Кроме того, необходимо принимать во внимание и режим генерации — непре- рывный или импульсный.Лазер обязательно имеет три основных компонента: 1) активную среду,вкоторой создаются состояния с инверсией населенностей; 2) систему накачки (устройство для создания инверсии в активной среде); 3) оптический резона-560тор(устройство, выделя ющее в пространство избирательное направление пуч- ка фотонов и формирующее выходящий световой пучок).Первым твердотельным лазером (1960; США), работающим в видимойобласти спектра (длина волны излучения 0,6943 мкм), был рубиновый лазер (Т. Мейман (р. 1927)). В нем инверсная населенность уровней осуществляется по трехуровневой схеме, предложенной в 19SS г. Н. Г. Басовым и А. М. Прохоро- вым. Кристалл рубина представляет собой оксид алюминия А12 О 3 , в кристал-лической решетке которого некоторые из атомов А1 замещены трехвалентными ионами Сг3+ (0,03 и 0,05% ионов хрома соответственно для розового и красногорубина). Для оптической накачки используется импульсная газоразрядная лам- па. При интенсивном облучении рубина светом мощной импульсной лампы атомы хрома переходят с нижнего уровня 1на уровни широкой полосы 3 (рис. 310).Рис. 310Так как время жизни атомов хрома в возбужденных состояниях мало(меньше 10 -7 с), то осуществляются либо спонтанные переходы 3 → 1(они не-значительны), либо наиболее вероятные беэызлучательные переходы на уро- вень 2(он называется метастабильным) с передачей избытка энергии решетке кристалла рубина. Переход 2→ 1запрещен правилами отбора, поэтому длитель-ность возбужденного состояния 2 атомов хрома порядка 10 -3 с, т.е. примерно начетыре порядка больше, чем для состояния 3.Это приводит к «накоплению» атомов хрома на уровне 2. При достаточной мощности накачки их концентра- ция на уровне 2 будет гораздо больше, чем на уровне 1, т. е. возникает среда с инверсной населенностью уровня 2.Каждый фотон, случайно родившийся при спонтанных переходах, впринципе может инициировать (порождать) в активной среде множество выну- жденных переходов 2→ 1, в результате чего появляется лавина вторичных фо-тонов, являющихся копиями первичных. Таким образом и зарождается лазерная генерация. Однако спонтанные переходы носят случайный характер, и спон- танно рождающиеся фотоны испускаются в разных направлениях. Тем самым в самых разных направлениях распространяются и лавины вторичных фотонов. Следовательно, излучение, состоящее из подобных лавин, не может обладать высокими когерентными свойствами.Для выделения направления лазерной генерации используется принципи-561ально важный элемент лазера — оптический резонатор. В простейшем случае им служит пара обращенных друг к другу параллельных (или вогнутых) зеркал на общей оптической оси, между которыми помещается активная среда (кри- сталл или кювета с газом). Как правило, зеркала изготовляются так, что от од- ного из них излучение полностью отражается, а второе — полупрозрачно. Фо- тоны, движущиеся под углами к оси кристалла или кюветы, выходят из актив- ной среды через ее боковую поверхность. Те же из фотонов, которые движутся вдоль оси, многократно отразятся от противоположных торцов, каждый раз вы- зывая вынужденное испускание вторичных фотонов, которые, в свою очередь, вызовут вынужденное излучение, и т. д. Так как фотоны, возникшие при выну- жденном излучении, движутся в том же направлении, что и первичные, то по- ток фотонов, параллельный оси кристалла или кюветы, будет лавинообразно нарастать. Многократно усиленный поток фотонов выходит через полупро- зрачное зеркало, создавая строго направленный световой пучок огромной ярко- сти. Таким образом, оптический резонатор «выясняет» направление (вдоль оси) усиливаемого фотонного потока, формируя тем самым лазерное излучение с высокими когерентными свойствами. Первым газовым лазером непрерывного действия (1961) был лазер на смеси атомов неона и гелия. Газы обладают узки- ми линиями поглощения, лампы же излучают свет в широком интервале длин волн; следовательно, применять их в качестве накачки невыгодно, так как ис- пользуется только часть мощности лампы. Поэтому в газовых лазерах инверс- ная населенность уровней осуществляется электрическим разрядом, возбуж- даемым в газах.В гелий-неоновом лазере накачка происходит в два этапа: гелий служитносителем энергии возбуждения, а неон дает лазерное излучение. Электроны, образующиеся в разряде, при столкновениях возбуждают атомы гелия, которые переходят в возбужденное состояние 3 (рис.311).Рис. 311При столкновениях возбужденных атомов гелия с атома ми неона проис-ходит их возбуждение и они переходят на один из верхних уровней неона, ко- торый расположен вблизи соответствующего уровня гелия. Переход атома не- она с верхнего уровня 3на один из нижних уровней 2приводит к лазерному из- лучению сλ =0,6328 мкм.Лазерное излучение обладает следующими свойствами:5621. Временная и пространственная когерентность(см. § 171). Время ко-герентности составляет 10 -3 с, что соответствует длине когерентности порядка10 5 м (l ког = с τ ког ), т. е. на семь порядков выше, чем для обычных источниковсвета.2. Строгая монохроматичность( ?λ < 10 -11 м).3. Большая плотность потока энергии.Если, например, рубиновый стер-жень при накачке получил энергию W = 20Дж и высветился за 10 -3 с, то потокизлучения Ф е =20/10 -3 Дж/с = 2 ⋅ 10 4 Вт. Фокусируя это излучение на площади 1мм 2 , получим плотность потока энергии Ф е /S = 2 ⋅ 10 4 /10 -6 Вт/м 2 = 2 ⋅ 10 10 Вт/м 2 .4. Очень малое угловое расхождение в пучке.Например, при использова-нии специальной фокусировки луч лазера, направленный с Земли, дал бы на поверхности Луны световое пятно диаметром примерно 3 км (луч прожектора осветил бы поверхность диаметром примерно 40 000 км).К.п.д. лазеров колеблется в широких пределах — от 0,01% (для гелий-неонового лазера) до 75% (для лазера на стекле с неодимом), хотя у большинст- ва лазеров к.п.д. составляет 0,1—1%. Создан мощный СО-лазер непрерывного2действия, генерирующий инфракрасное излучение ( λ = 10,6 мкм), к.п.д. которо-го (30%) превосходит к.п.д. существующих лазеров, работающих при комнат- ной температуре.Необычные свойства лазерного излучения находят в настоящее времяширокое применение.Применение лазеров для обработки, резания и микросварки твердых ма-териалов оказывается экономически более выгодным (например, пробивание калиброванных отверстий в алмазе лазерным лучом сократило время с 24 ч до 6—8 мин). Лазеры применяются для скоростного и точного обнаружения де- фектов в изделиях, для тончайших операций (например, луч CO-лазера в каче-2стве бескровного хирургического ножа), для исследования механизма химиче- ских реакций и влияния на их ход, для получения сверхчистых веществ. Широ- ко применяется лазерное разделение изотопов, например такого важного в энергетическом отношении элемента, как уран.Одним из важных применений лазеров является получение и исследова-ние высоко температурной плазмы. Эта область их применения связана с разви- тием нового направления — лазерного управляемого термоядерного синтеза.Лазеры широко применяются в измерительной технике. Лазерные интер-ферометры (в них источником света служит лазер) используются для сверхточ- ных дистанционных измерений линейных перемещений, коэффициентов пре- ломления среды, давления, температуры. Например, рассмотренный выше ге- лий-неоновый лазер из-за излучения высокой стабильности, направленности и монохроматичности (полоса частот 1 Гц при частоте 1014 Гц) незаменим приюстировочных и нивелировочных работах.Интересное применение лазеры нашли в голографии (см. § 184). Для соз-дания систем голографической памяти с высокой степенью считывания и большой емкостью необходимы газовые лазеры видимого диапазона еще более высокой монохроматичности и направленности излучения.563Очень перспективны и интересны полупроводниковые лазеры, так какони обладают широким рабочим диапазоном (0,7—30 мкм) и возможностью плавной перестройки частоты их излучения.Применения лазеров в настоящее время столь обширны, что даже их пе-речисление в объеме настоящего курса просто невозможно.З АДАЧИ29.1. Определить, сколько различных волновых функций соответствуетглавному квантовому числу n=5.125] 29.2. Построить и объяснить диаграмму, иллюстрирующую расщеплениеэнергетических уровней и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состояниями с l=2 и l =1. [d→ р-переход].29.3. Принимая, что уравнению Шредингера для 1s-состояния электрона ватоме водорода удовлетворяет функция Ψ = Ce -r/a (С— некоторая постоян-ная), показать, что a = ? 2 4 πε /(me 2 ),равная первому воровскому радиусу.0Учесть, что 1s-состояние сферически-симметрично. 29.4. Электрон в атоме находится в f-состоянии. Определить: 1) моментимпульса (орбитальный) L электрона; 2) максимальное значение проекции мо-lмента импульса L на направление внешнего магнитного поля. [1) 3.46?; 2)lzmaxЗ?] 29.5. Заполненной электронной оболочке соответствует главное кванто-вое число n = 3. Определить число электронов в этой оболочке, которые имеют одинаковые следующие квантовые числа: 1) ms =1/2 и l = 2;2) m s = 1/2и m l = 0.[1) 5; 2) 3]29.6. Минимальная длина волны рентгеновского излучения, полученногоот трубки, работающей при напряжении 50 кВ, равна 24,8 нм. Определить по этим данным постоянную Планка. [6,61⋅ 10 34 Дж-с]29.7. Определить самую длинноволновую линию K-серии характеристи-ческого рентгеновского спектра, если анод рентгеновской трубки изготовлен из платины. Постоянную экранирования принять равной единице. [20 пм] 564 ГЛАВА 30 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ§ 234. К ВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА .Ф АЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО .Ф УНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Квантовая статистика— раздел статистической физики, исследующийсистемы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.В отличие от исходных положений классической статистической физики,в которой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывается на принципе неразличи- мости тождественных частиц (см. § 226). При этом оказывается, как будет по- казано ниже, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиня- ются разным статистикам.Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерноепространство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определяется заданием 6N переменных, так как состояние каждой час- тицы определяется трой кой координат х, у, zи тройкой соответствующих про- екций импульса рх , р у , р z .Соответственно число «взаимно перпендикулярных»координатных осей данного про странства равно 6N.Это 6N-мерное простран- ство называется фазовым пространством.Каждому микросостоянию системы отвечает точка в 6N-мерном фазовом пространстве, так как задание точки фазо- вого пространства означает задание координат и им пульсов всех частиц систе- мы. Разобьем фазовое пространство на малые 6N-мерные элементарные ячейки объемом dqdp = dq1 dq 2 … dq 3N dp 1 dp 2 ...dp 3N , где q— совокупность координатвсех частиц, р— совокупность проекций их импульсов. Корпускуляр-но- волновой дуализм свойств вещества (см. § 213) и соотношение неопределенно- стей Гейзенберга (см. § 215) приводят к выводу, что объем элементарной ячей- ки (он называется фазовым объемом) не может быть меньше чем h3 (h— посто-янная Планка).Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помо-щью функции распределения f(q, p):dW = f(q,p) dq dp.(234.1)Здесь dW—вероятность того, что точка фазового пространства попадет вэлемент фазового объема dqdp,расположенного вблизи данной точки q, р. Иными словами, dWпредставляет собой вероятность того, что система нахо- дится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интерва- ле q, q+dq и р, p+dp.Согласно формуле (234.1), функция распределения есть не что иное, как565плотность вероятности определенного состояния системы. Поэтому она должна быть нормирована на единицу:где интегрирование производится по всему фазовому пространству.Зная функцию распределения f(q, p) ,можно решить основную задачуквантовой статистики — определить средние значения величин, характери- зующих рассматрива емую систему. Среднее значение любой функции(234.2)Если иметь дело не с координатами и импульсами, а с энергией, котораяквантуется, то состояние системы характеризуется не непрерывной, а дискрет- ной функцией распределения.Явное выражение функции распределения в самом общем виде получиламериканский физик Д. Гиббс (1839—1903). Оно называется каноническим распределениемГиббса. В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид(234.3)где А— постоянная, определяемая из условия нормировки к единице, n— со- вокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние. Под- черкнем, что f(E)есть именно вероятность данного состояния, а не вероятностьnтого, что система имеет определенное значение энергии Е n ,так как даннойэнергии может соответствовать не одно, а несколько различных состояний (может иметь место вырождение).§ 235. П ОНЯТИЕ О КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕБ ОЗЕ — Э ЙНШТЕЙНА И Ф ЕРМИ — Д ИРАКАОдним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как иклассической, является идеальный газ. Этосвязано с тем, что во многих случа- ях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так на- зываемых чисел заполнения Ni — чисел, указывающих степень заполненияквантового состояния (характеризуется данным набором iквантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождест венных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином (см. § 226),числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, ... (см. § 227). Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином (см. § 226), числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых (см. § 227). Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая стати- стика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоя- нии, т. е. определить средние числа заполнения ⟨N⟩.i566Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой стати-стикой Бозе — Эйнштейна * . Распределение бозонов по энергиям вытекает изтак называемого большого канонического распределения Гиббса (с перемен- ным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. § 227):(235.1)Это распределение называется распределением Боэе — Эйнштейна.Здесь ⟨N i ⟩ — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией E i , k —постоянная Больцмана, T—термодинамическая температура, µ —химическийпотенциал; µ не зависит от энергии, а определяется только температурой иплотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из усло- вия, что сумма всех ⟨Ni ⟩ равна полному числу частиц в системе. Здесь µ ≤ 0,таккак иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрицательно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энер- гии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все осталь- ные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фик- сированы.Идеальный газ из фермионов — фермн-газ — описывается квантовой ста-тистикой Ферми — Дирака ** . Распределение фермионов по энергиям имеет вид(235.2)где ⟨N i ⟩ — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Е i , µ —химический потенциал. В отличие от (235.1) µ может иметь положительноезначение (это не приводит к отрицательным значениям чисел ⟨N ⟩). Это распре-iделение называется распределением Ферми — Дирака.(ср. с выражением (44.4)), где(235.3) (235.4)Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведутсебя подобно классическому газу.Система частиц называется вырожденной,если ее свойства существен-ным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической ста- тистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится суще-* Ш. Бозе (1894—1974) — индийский физик.** Э. Ферми (1901—1954) — итальянский физик.567ственным при весьма низких температурах и больших плотностях. Парамет- ром вырожденияназывается величина А.При A << 1,т. е. при малой степени вырождения, распределения Бозе — Эйнштейна (235.1) и Ферми — Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана (235.3).Температурой вырожденияТ называется температура, ниже которой0отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, т. е. T0 — температура, при которой вырождениестановится существенным. Если Т >> T 0 , то поведение системы частиц (газа)описывается классическими законами.§ 236. В ЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛАХРаспределение электронов по различным квантовым состояниям подчи-няется принципу Паули (см. § 227), согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чи- сел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энер- гетической лестнице».Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальныйгаз, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если µ — хи-0мический поте нциал электронного газа при Т—О К, то, согласно (235.2), сред- нее число ⟨N(E)⟩ электронов в квантовом состоянии с энергией Еравно(236.1)Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частицв квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния сов- падают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов ⟨N(E)⟩ = f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям.Из (236.1) следует, что при T=0 К функция распределения ⟨N(E)⟩ = 1, ес-ли E < µ 0 и ⟨N(E)⟩ = 0, если E > µ 0 .График этой функции приведен на рис. 312,а.В области энергий от 0 до µ 0 функция ⟨N(E)⟩ равна единице. При E = µ 0 онаскачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т =0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E =µ 0 заполнены элек-тронами, а все состояния с энергией, большей µ , свободны. Следовательно, µ0 0есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Фермии обозначается Е(Е = µ ). Поэтому рас-F F 0пределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде568(236.2)Рис. 312Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называетсяуровнемФермн. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми E ,которуюFимеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в класси- ческой теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется нера-венство kT < Е F . Это означает, что электронный газ в металлах практическивсегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т 0 вырожде-ния (см. § 235) находится из условия kT 0 = E F .Она определяет границу, вышекоторой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствую- щие расчеты показывают, что для электронов в металле Т0 = 10 4 К, т. е. для всехтемператур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми —Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в ок- рестности ЕF (рис. 312, 6).(Здесь же для сравнения пунктиром приведена функ-ция распределения при T = 0 К) Это объясняется тем, что при Т > 0небольшое число электронов с энергией, близкой к ЕF ,возбуждается вследствие тепловогодвижения и их энергия становится больше Е F .Вблизи границы Ферми при Е<E F заполнение электронами меньше единицы, а при Е > Е F — больше нуля. Втепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т≈ 300 К и температуре вырождения T 0 =3 - 10 4 К,569— это 10 -5 от общего числа электронов.Если (E—E F ) >> kT(«хвост» функции распределения), то единицей взнаменателе (236.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (E—E) >> T,т. е. при больших значениях энер-Fгии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E—EF ) << T, кним применима только квантовая статистика Ферми —Дирака.§ 237. П ОНЯТИЕ О КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТЕПЛОЕМКОСТИ .Ф ОНОНЫКвантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости те-плоемкости газов (в частности, двухатомных) от температуры (см. § S3). Со- гласно квантовой механике, энергия вращательного движения молекул и энер- гия колебаний атомов в молекуле могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий со- седних уровней энергии (kT <<? E), то при столкновении молекул вращатель-ные и колебательные степени свободы практически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно одноатомному.Так как разность между соседними вращательными уровнями энергиизначительно меньше, чем между колебательными, т. е. ? E вращ << ? E кол (см. §230), то с ростом температуры возбуждаются вначале вращательные степени свободы, в результате чего теплоемкость возрастает; при дальнейшем росте температуры возбуждаются и колебательные степени свободы и происходит дальнейший рост теплоемкости (см. рис. 80).Функции распределения Ферми — Дирака для Т = 0 К и Т > 0заметноразличаются (рис. 312) лишь в узкой области энергий (порядка kT).Следова- тельно, в процессе нагревания металла участвует лишь незначительная часть всех электронов проводимости. Этим и объясняется отсутствие заметной раз- ницы между теплоемкостями металлов и диэлектриков, что не могло быть объ- яснено классической теорией (см. § 103).Как уже указывалось (см. § 73), классическая теория не смогла объяснитьтакже зависимость теплоемкости твердых тел от температуры, а квантовая ста- тистика решила эту задачу. Так, А. Эйнштейн, приближенно считая, что коле- бания атомов кристаллической решетки независимы (модель кристалла как со- вокупности независимых колеблющихся с одинаковой частотой гармонических осцилляторов), создал качественную квантовую теорию теплоемкости кристал- лической решетки. Она впоследствии была развита П. Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми (рассмотрел непрерывный спектр частот гармонических осцилляторов).Рассматривая непрерывный спектр частот осцилляторов, П. Дебай пока-зал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят ко- лебания низких частот, соответствующих упругим волнам. Поэтому тепловое570возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распростра- няющихся в кристалле. Согласно корпускулярно-волновому дуализму свойств вещества, упругим волнам в кристалле сопоставляют фононы, обладающие энергией E = ?ω .Фонон есть квант энергии звуковой волны (так как упругиеволны — волны звуковые). Фононы являются квазичастицами— элементар- ными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам. Аналогично тому как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, квантование упругих волн привело к представлению о фононах.Квазичастицы, в частности фононы, сильно отличаются от обычных час-тиц (например, электронов, протонов, фотонов), так как они связаны с коллек- тивным движением многих частиц системы. Квазичастицы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле. Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при столкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке — он при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононовговорят о квазннмпульсе.Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фонон-ного газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна (см. § 235), так как фононы являются бозонами (их спин равен нулю). Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным; поэтому в формуле (235.1) для фононов необходимоµ положить равным нулю.Применение статистики Бозе — Эйнштейна к фононному газу — газу изневзаимодействующих безе-частиц — привело П. Дебая к количественному выводу, согласно которому при высоких температурах, когда T >> TD (класси-ческая область), теплоемкость твердых тел описывается законом Дюлонга и Птн (см. § 73), а при низких температурах, когда Т << Т0 (квантовая область),— пропорциональна кубу термодинамической температуры: C v ~ Т 3 .В данномслучае T D — характеристическая температура Дебая, определяемая соотноше-нием kT D = ? ω D ,где ω D — предельная частота упругих колебаний кристалличе-ской решетки. Таким ббразом, теория Дебая объяснила расхождение опытных и теоретических (вычисленных на основе классической теории) значений тепло- емкости твердых тел (см. § 73 и рис. 113).Модель квазичастиц — фононов — оказалась эффективной для объясне-ния открытого П. Л. Капицей явления сверхтекучести жидкого гелия (см. § 31, 75). Теория сверхтекучести, созданная (1941) Л. Д. Ландау и развитая (1947) российским ученым Н. Н. Боголюбовым (р. 1909), применена впоследствии к явлению сверхпроводимости (см. § 239).§ 238. В ЫВОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВКвантовая теория электропроводности металлов — теория электропро-водности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми— Дирака,— пересмотрела вопрос об электропроводности металлов,571рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла(238.1)которое по внешнему виду напоминает классическую формулу (103.2) для γ , ноимеет совершенно другое физическое содержание. Здесь n— концентрация электронов проводимости в металле, ⟨l⟩ — средняя длина свободного пробегаFэлектрона, имеющего энергию Ферми, ⟨u ⟩ — средняя скорость теплового дви-Fжения такого электрона.Выводы, получаемые на основе формулы (238.1), полностью соответст-вуют опытным данным. Квантовая теория электропроводности металлов, в ча- стности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры:γ ~1/T(классическая теория (см. § 103) дает, что γ ~ 1/ √ T,а также аномальнобольшие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свобод- ного пробега электронов в металле (см. § 103).Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаи-модействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижныечастицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически одно- родной среде — она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току — упорядоченному движе- нию электронов — никакого сопротивления. «Электронные волны», распро- страняясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности,которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обуслов- ливаются также тепловыми колебаниями. В реальной кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов. Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связанных с тепловыми колебаниями, можно рас- сматривать как столкновения электронов с фононами.Согласно классической теории, ⟨u F ⟩ ~ √ T, поэтому она не смогла объяс-нить истинную зависимость уот температуры (см. § 103). В квантовой теории средняя скорость ⟨u⟩ от температуры практически не зависит, так как доказы-Fвается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответст- вует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур ⟨lF ⟩ ~ Т -1 , поэтому, учитывая независимость ⟨u⟩ от тем-пературы, получим, что сопротивление металлов (R ~ l/ γ )в соответствии с дан-ными опытов растет пропорционально Т.Таким образом, квантовая теория572электропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.§ 239. С ВЕРХПРОВОДИМОСТЬ .П ОНЯТИЕ ОБ ЭФФЕКТЕ Д ЖОЗЕФСОНАПрежде чем на основе квантовой теории приступить к качественномуобъяснению явления сверхпроводимости, рассмотрим некоторые свойства сверхпроводников.Различные опыты, поставленные с целью изучения свойств сверхпровод-ников, приводят к выводу, что при переходе металла в сверхпроводящее со- стояние не изменяется структура его кристаллической решетки, не изменяются его механические и оптические (в видимой и инфракрасной областях) свойства. Однако при таком переходе наряду со скачкообразным изменением электриче- ских свойств качественно меняются его магнитные и тепловые свойства. Так, в отсутствие магнитного поля переход в сверхпроводящее состояние сопровож- дается скачкообразным изменением теплоемкости, а при переходе в сверхпро- водящее состояние во внешнем магнитном поле скачком изменяются и тепло- проводность, и теплоемкость (такие явления характерны для фазовых перехо- дов II рода; см. § 75). Достаточно сильное магнитное поле (а, следовательно, и сильный электрический ток, протекающий по сверхпроводнику) разрушает сверхпроводящее состояние.Как показал немецкий физик В. Мейсснер (1882—1974), в сверхпроводя-щем состоянии магнитное поле в толще сверхпроводника отсутствует. Это оз- начает, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры (см. § 98) магнитное поле из него вытесняется (эффект Мейсснера).Общность эффектов, наблюдаемых в сверхпроводящем состоянии раз-личных металлов, их соединений и сплавов, указывает на то, что явление сверхпроводимости обусловлено физическими причинами, общими для различ- ных веществ, т. е. должен существовать единый для всех сверхпроводников ме- ханизм этого явления.Физическая природа сверхпроводимости была понята лишь в 1957 г. наоснове теории (создана Ландау в 1541 г.) сверхтекучести гелия (см. § 237). Тео- рия сверхпроводимости создана американскими физиками Д. Бардяном (р. 1908), Л. Купером (р. 1930) и Д. Шриффером (р. 1931) и развита Н. Н. Боголю- бовым.Оказалось, что помимо внешнего сходства между сверхтекучестью(сверхтекучая жидкость протекает по узким капиллярам без трения, т. е. без со- противления течению) и сверхпроводимостью (ток в сверхпроводнике течет без сопротивления по проводу) существует глубокая физическая аналогия: и сверх- текучесть, и сверхпроводимость — это макроскопический квантовый эффект.Качественно явление сверхпроводимости можно объяснить так. Междуэлектронами металла помимо кулоновского отталкивания, в достойной степени ослабляемого экранирующим действием положительных ионов решетки, в ре- зультате электрон-фононного взаимодействия (взаимодействия электронов с573колебаниями решетки) возникает слабое взаимное притяжение. Это взаимное притяжение при определенных условиях может преобладать над отталкивани- ем. В результате электроны проводимости, притягиваясь, образуют своеобраз- ное связанное состояние, называемое куперовской парой.«Размеры» пары много больше (примерно на четыре порядка) среднего межатомного расстоя- ния, т. е. между электронами, «связанными» в пару, находится много «обыч- ных» электронов.Чтобы куперовскую пару разрушить (оторвать один из ее электронов),надо затратить некоторую энергию, которая пойдет на преодоление сил притя- жения электронов пары. Такая энергия может быть в принципе получена в ре- зультате взаимодействия с фононами. Однако пары сопротивляются своему разрушению. Это объясняется тем, что существует не одна пара, а целый ан- самбль взаимодействующих друг с другом куперовских пар.Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположно на-правленные спины. Поэтому спин такой пары равен нулю и она представляет собой бозон. К бозонам принцип Паули неприменим, и число бозе-частиц, на- ходящихся в одном состоянии, не ограничено. Поэтому при сверхнизких тем- пературах бозоны скапливаются в основном состоянии, из которого их доволь- но трудно перевести в возбужденное. Система бозе-частиц — куперовских пар, обладая устойчивостью относительно возможности отрыва электрона, может под действием внешнего электрического поля двигаться без сопротивления со стороны проводника, что и приводит к сверхпроводимости.На основе теории сверхпроводимости английский физик Б. Джозефсон (р.1940) в 1962 г. предсказал эффект, названный его именем (Нобелевская премия 1973 г.). Эффект Джозефсона (обнаружен в 1963 г.) — протекание сверхпрово- дящего тока сквозь тонкий слой диэлектрика (пленка оксида металла толщиной яв! нм), раз деляющий два сверхпроводника (так называемый контакт Джозеф- сона). Электроны проводимости проходят сквозь диэлектрик благодаря тун- нельному эффекту. Если ток через контакт Джозефсона не превышает некото- рое критическое значение, то падения напряжения на нем нет (стационарный эффект), если превышает — возникает падение напряжения Uи контакт излу- чает электромагнитные волны (нестационарный эффект). Частота v излучения связана с Uна контакте соотношением v = 2eU/h (e — заряд электрона). Воз- никновение излучения объясняется тем, что куперовские пары (они создают сверхпроводящий ток), проходя сквозь контакт, приобретают относительно ос- новного состояния сверхпроводника избыточную энергию. Возвращаясь в ос- новное состояние, они излучают квант электромагнитной энергии hv=2eU.Эффект Джозефсона используется для точного измерения очень слабыхмагнитных полей (до 10 -18 Тл), токов (до 10 -10 А) и напряжений (до 10 -15 В), атакже для создания быстродействующих элементов логических устройств ЭВМ и усилителей.574• Как объясняет квантовая статистика отсутствие заметного отличия теплоемкостей металлов идиэлектриков ?• Что такое фоион ? Каковы его свойства ?• Как на основе понятий квантовой теории электропроводности металлов объяснить зависимостьудельной проводимости от температуры ?• Как объяснить явление сверхпроводимости ?• Что такое эффект Джозефсона ? З АДАЧИ30.1. Показать, что при малом параметре вырождения распределения Бозе— Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в распределение Максвелла — Больцмана.30.2. Определить функцию распределения для электронов, находящихсяна энергетическом уровне Е,для случая (Е - Е F ) << kT,пользуясь: 1) статисти-кой Ферми —Дирака; 2) статистикой Максвелла — Больцмана.30.3. Определить в электрон-вольтах максимальную энергию Ефотона,который может возбуждаться в кристалле КС1, характеризуемом температурой Дебая TD =227 К. Фотон какой длины волны λ обладал бы такой энергией? [E =0,02 эВ; λ = 63,5 мкм]30.4. Глубина потенциальной ямы металла составляет 11 эВ, а работа вы-хода 4 эВ. Определить полную энергию электрона на уровне Ферми. [E = - 4 эВ]30.5. Электрон с кинетической энергией 4 эВ попадает в металл, при этомего кинетическая энергия увеличивается до 7 эВ. Определить глубину потенци- альной ямы. [3 эВ]575ГЛАВА 31ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА§ 240. П ОНЯТИЕ О ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛИспользуя уравнение Шредингера — основное уравнение динамики в не-релятивистской квантовой механике, — в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например, найти возможные значения его энергии, а также соот- ветствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической зада- чи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно све- дением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела.В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое прибли-жение.Кван-тово-механическая система разделяется на тяжелые и легкие час- тицы — ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значитель- но различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном по- ле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристаллической решетки не- подвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.Далее используется приближение самосогласованного поля.Взаимо-действие данного электрона со всеми другими электронами заменяется дейст- вием на него стационарного электрического поля, обладающего периодично- стью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным в пространст- ве зарядом всех других электронов и всех ядер. Таким образом, в рамках зон- ной теории многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле — усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.Рассмотрим мысленно «процесс образования» твердого тела из изолиро-ванных атомов. Пока атомы изолированы, т. е. находятся друг от друга на мак- роскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 313).Рис. 313576По мере «сжатия» нашей модели до кристаллической решетки, т. е. когдарасстояния между атомами станут равными межатомным расстояниям в твер- дых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетиче- ские уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны,обра- зуется зонный энергетический спектр.Из рис. 313, на котором показано расщепление энергетических уровней взависимости от расстояния rмежду атомами, видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расще- пляются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллекти- визированы» — принадлежат всему твердому телу.Образование зонного энергетического спектра в кристалле является кван-тово-механическим эффектом и вытекает из соотношения неопределенностей. В кристалле валентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами, чем внутренние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциаль- ные барьеры, разделяющие атомы, т. е. перемещаться без изменений полной энергии (туннельный эффект, см. § 221). Это приводит к тому, что среднее вре- мя жизни т валентного электрона в данном атоме по сравнению с изолирован- ным атомом существенно уменьшается и составляет примерно 10-15 с (для изо-лированного атома оно примерно 10 -8 с). Время же жизни электрона в каком-либо состоянии связано с неопределенностью его энергии (шириной уровня) соотношением неопределенностей? E ~ h/ τ (см. (215.5)). Следовательно, еслиестественная ширина спектральных линий составляет примерно 10 -7 эВ, то вкристаллах ? E ≈ 1 ÷ 10 эВ, т. е. энергетические уровни валентных электроноврасширяются в зону дозволенных значений энергии.Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах за-крашенных на рис. 313 областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дис- кретных уровней, сколько атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее рас положены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет приблизительно 10-22 эВ. Так каконо столь ничтожно, то зоны можно считать практически непрерывными, одна- ко факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям.Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных зна-чений энергии, называемыми запрещенными энергетическими зонами. В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.577§ 241. М ЕТАЛЛЫ , ДИЭЛЕКТРИКИ И ПОЛУПРОВОДНИКИ ПО ЗОННОЙ ТЕОРИИЗонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковатьсуществование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электро- нами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне опреде-ляется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой- то энергетический уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетиче- ская зона также запол нена целиком. В общем случае можно говорить о валент- ной зоне, которая полностью заполнена электронами и образована из энергети- ческих уровней внутренних электронов свободных атомов, и о зове проводимо- сти (свободной зоне), которая либо частично заполнена электронами, либо сво- бодна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизирован- ных» электронов изолированных атомов.В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запре-щенной зоны возможны четыре случая, изображенные на рис. 314.Рис. 314На рис. 314, асамая верхняя зона, содержащая электроны, заполненалишь частично, т. е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае элек- трон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участво- вать в проводимости. Внутривенный переход вполне возможен, так как, напри- мер, при 1 К энергия теплового движения kT≈ 10 -4 эВ, т. е. гораздо больше раз-ности энергий между соседними уровнями зоны (примерно 10 -22 эВ). Таким об-разом, если в твердом теле имеется зона, лишь частично заполненная электро- нами, то это тело всегда будет проводником электрического тока. Именно это свойственно металлам.Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае,когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рис. 314, б).Это имеет место для578щелочно-земельных элементов, образующих II группу таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn, ...). В данном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следова- тельно, в данном случае металлические свойства щелочно-земельных элемен- тов обусловлены перекрытием валентной и свободной зон.Помимо рассмотренного выше перекрытия зон возможно также перерас-пределение электронов между зонами, возникающими из уровней различных атомов, которое может привести к тому, что вместо двух частично заполненных зон в кристалле окажутся одна полностью заполненная (валентная) зона и одна свободная зона (зона проводимости). Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состояний состоит только из валентной зоны и зоны про- водимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны? E.Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зо- ны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком, оставаясь им при всех реальных температурах (рис. 314, в). Если запрещенная зона достаточно узка (? Е порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону про-водимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источ ника, способного передать электро- нам энергию? Е,и кристалл является полупроводником (рис. 314, г).Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной тео-рии состоит в том, что при 0 К в зоне проводимости металлов имеются элек- троны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же ме- жду диэлектриками и полупроводниками определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (например, для NaCl? Е = 6 эВ),для полупроводников — достаточно узка (например, для германия ? E = 0,72эВ). При температурах, близких к 0 К, полупроводники ведут себя как диэлек- трики, так как переброса электронов в зону проводимости не происходит. С по- вышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости, т. е. элек- трическая проводимость проводников в этом случае увеличивается.§ 242. С ОБСТВЕННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВПолупроводниками являются твердые тела, которые при Т =0 характери-зуются полностью занятой электронами валентной зоной, отделенной от зоны проводимости сравнительно узкой (? Е порядка 1 эВ) запрещенной зоной (рис.314, г). Своим названием они обязаны тому, что их электропроводность меньше электропроводности металлов и больше электропроводности диэлектриков.В природе полупроводники существуют в виде элементов (элементы IV,V и VI групп Периодической системы элементов Менделеева), например Si, Ge, As, Se, Те, и химических соединений, например оксиды, сульфиды, селениды,579сплавы элементов различных групп. Различают собственные и примесные по- лупроводники. Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью. Примером собственных полупроводников могут служить химически чистые Ge, Se, а также многие химические соединения: InSb, GaAs, CdS и др.При 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупро-водники ведут себя как диэлектрики. При повышении же температуры электро- ны с верхних уровней валентной зоны I могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости II (рис. 315). При наложении на кристалл электри- ческого поля они перемещаются против поля и создают электрический ток. Та- ким образом, зона II из-за ее частичного «укомплектования» электронами ста- новится зоной проводимости. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется электронной проводимостью или про- водимостью n-тнпа (от лат. negative — отрицательный).Рис. 315В результате тепловых забросов электронов из зоны I в зону II в валент-ной зоне возникают вакантные состояния, получившие название дырок. Во внешнем электрическом поле на освободившееся от электрона место — дырку — может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон, и т. д. Такой процесс заполнения дырок электро- нами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном дви- жению электрона, так, как если бы дырка обладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Проводимость собственных полупро- водников, обусловленная квазичастицами — дырками, называется дырочной проводимостьюили проводимостью р-типа(от лат. positive — положитель- ный).Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два меха-низма проводимости: электронный и дырочный. Число электронов в зоне про- водимости равно числу дырок в валентной зоне, так как последние соответст- вуют электронам, возбужденным в зону проводимости. Следовательно, если концентрации электронов проводимости и дырок обозначить соответственно nеи n р ,то(242.1)Проводимость полупроводников всегда является возбужденной,т. е. по-является только под действием внешних факторов (температуры, облучения, сильных электрических полей и т. д.).580В собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине за-прещенной зоны (рис. 316).Рис. 316Действительно, для переброса электрона с верхнего уровня валентной зо-ны на нижний уровень зоны проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны? E. При появлении же электрона в зоне про-водимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Следовательно, энергия, затраченная на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части. Так как энергия, соответствующая половине ширины запре- щенной зоны, идет на переброс электрона и такая же энергия затрачивается на образование дырки, то начало отсчета для каждого из этих процессов должно находиться в середине запрещенной зоны. Энергия Ферми в собственном полу- проводнике представляет собой энергию, от которой происходит возбуждение электронов и дырок.Вывод о расположении уровня Ферми в середине запрещенной зоны соб-ственного полупроводника может быть подтвержден математическими выклад- ками. В физике твердого тела доказывается, что концентрация электронов в зо- не проводимости(242.2)где E 2 — энергия, соответствующая дну зоны проводимости (рис. 316), Е F —энергия Ферми, Т— термодинамическая температура, C — постоянная, зави-1сящая от температуры и эффективной массы электрона проводимости. Эффек- тивнаямасса — величина, имеющая размерность массы и характеризующая динамические свойства квазичастиц — электронов проводимости и дырок. Введение в зонную теорию эффективной массы электрона проводимости по- зволяет, с одной стороны, учитывать действие на электроны проводимости не только внешнего поля, но и внутреннего периодического поля кристалла, а с другой стороны, абстрагируясь от взаимодействия электронов проводимости с решеткой, рассматривать их движение во внешнем поле как движение свобод- ных частиц.Концентрация дырок в валентной зоне(242.3)581где C 2 — постоянная, зависящая от температуры и эффективной массы дырки,E 1 —энергия, соответствующая верхней границе валентной зоны. Энергия воз-буждения в данном случае отсчитывается вниз от уровня Ферми (рис. 316), по- этому величины в экспоненциальном множителе (242.3) имеют знак, обратный знаку экспоненциального множителя в (242.2). Так как для собственного полу- проводника nе = n р (242.1), тоЕсли эффективные массы электронов и дырок равны (m * e = m * р ),то C 1 =C 2 и, следовательно, - (Е 2 – Е F ) = Е 1 - Е F ),откудат. е. уровень Ферми в собственном полупроводнике действительно расположен в середине запрещенной зоны.Так как для собственных полупроводников ? E >> kT,то распределениеФерми — Дирака (235.2) переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Положив в (236.2) E - Е≈ ? E/2,получимF(242.4)Количество электронов, переброшенных в зону проводимости, а следо-вательно, и количество образовавшихся дырок пропорциональны ⟨N(E)⟩ . Таким образом, удельная проводимость собственных полупроводников(242.5)где γ 0 — постоянная, характерная для данного полупроводника.Увеличение проводимости полупроводников с повышением температурыявляется их характерной особенностью (у металлов с повышением температуры проводимость уменьшается). С точки зрения зонной теории это обстоятельство объяснить довольно просто: с повышением температуры растет число электро- нов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимо- сти и участвуют в проводимости. Поэтому удельная проводимость собственных полупроводников с повышением температуры растет.Если представить зависимость In γ от 1/Т,то для собственных полупро-водников — это прямая (рис. 317), по наклону которой можно определить ши- рину запрещен ной зоны? E, а по ее продолжению — γ 0 (прямая отсекает на осиординат отрезок, равный In γ ).582Рис. 317Одним из наиболее широко распространенных полупроводниковых эле-ментов явля ется германий, имеющий решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан кова-лентными связями (см. § 71) с четырьмя ближайшими соседя- ми. Упрощенная плоская схема расположения атомов в кристалле Ge дана на рис. 318, где каждая черточка обозначает связь, осуществляемую одним элек- троном. В идеальном кристалле при 0 К такая структура представляет собой диэлектрик, так как все валентные электроны участвуют в образовании связей и, следовательно, не участвуют в проводимости.Рис. 318При повышении температуры (или под действием других внешних фак-торов) тепловые колебания решетки могут привести к разрыву некоторых ва- лентных связей, в результате чего часть электронов отщепляется и они стано- вятся свободными. В покинутом электроном месте возникает дырка (она изо- бражена белым кружком), заполнить которую могут электроны из соседней па- ры. В результате дырка, так же как и освободившийся электрон, будет двигать- ся по кристаллу. Движение электронов проводимости и дырок в отсутствие электрического поля является хаотическим. Если же на кристалл наложить электрическое поле, то электроны начнут двигаться против поля, дырки — по583полю, что приведет к возникновению собственной проводимости германия, обусловленной как электронами, так и дырками.В полупроводниках наряду с процессом генерации электронов и дырокидет процесс рекомбинация:электроны переходят из зоны проводимости в ва- лентную зону, отдавая энергию решетке и испуская кванты электромагнитного излучения. В результате для каждой температуры устанавливается определен- ная равновесная концентрация электронов и дырок, изменяющаяся с темпера- турой согласно выражению (242.4).§ 243. П РИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВПроводимость полупроводников, обусловленная примесями, называетсяпримесной проводимостью,а сами полупроводники — примесными полу- проводниками.Примесная проводимость обусловлена примесями (атомы по- сторонних элементов), а также дефектами типа избыточных атомов (по сравне- нию со стехиометрическим составом), тепло выми (пустые узлы или атомы в междоузлиях) и механическими (трещины, дислокации и т. д.) дефектами. На- личие в полупроводнике примеси существенно изменяет его проводимость. На- пример, при введении в кремний примерно 0,001 ат.% бора его проводимость увеличивается примерно в 10б раз.Примесную проводимость полупроводников рассмотрим на примере Ge иSi, в которые вводятся атомы с валентностью, отличной от валентности основ- ных атомов на единицу. Например, при замещении атома германия пятивалент- ным атомом мышьяка (рис. 319, а) один электрон не может образовать кова- лентной связи, он оказыва ется лишним и может быть легко при тепловых ко- лебаниях решетки отщеплен от атома, т. е. стать свободным. Образование сво- бодного электрона не сопровождается нарушением ковалентной связи; следова- тельно, в отличие от случая, рассмотренного в § 242, дырка не возникает. Из- быточный положительный заряд, возникающий вблизи атома примеси, связан с атомом примеси и поэтому перемещаться по решетке не может.С точки зрения зонной теории рассмотренный процесс можно предста-вить следующим образом (рис. 319, 6).Введение примеси искажает поле ре- шетки, что приводит к возникновению в запрещенной зоне энергетического уровня Dвалентных электронов мышьяка, называемого примесным уровнем. В случае германия с примесью мышьяка этот уровень располагается от дна зо- ны проводимости на расстоянии? E D = 0,013 эВ. Так как ? E D < kT,то уже приобычных температурах энергия теплового движения достаточна для того, что- бы перебросить электроны примесного уровня в зону проводимости; образую- щиеся при этом положительные заряды локализуются на неподвижных атомах мышьяка и в проводимости не участвуют.Таким образом, в полупроводниках с примесью, валентность которой наединицу больше валентности основных атомов, носителями тока являются электроны;возникает электронная щшмесшш проводимость (проводимость л- тнпа). Полупроводники с такой проводимостью называются электронными (или584полупроводниками n-тнпа). Примеси, являющиеся источником электронов, на- зываются донорами, а энергетические уровни этих примесей — донорнымн уровнями.Предположим, что в решетку кремния введен примесный атом с тремявалентными электронами, например бор (рис. 320, а).Для образования связей с четырьмя ближайшими соседями у атома бора не хватает одного электрона, од- на из связей остается неукомплектованной и четвертый электрон может быть захвачен от соседнего атома основного вещества, где соответственно образует- ся дырка. Последовательное заполнение образующихся дырок электронами эк- вивалентно движению дырок в полупроводнике, т. е. дырки не остаются лока- лизованными, а перемещаются в решетке кремния как свободные положитель- ные заряды. Избыточный же отрицательный заряд, возникающий вблизи атома примеси, связан с атомом примеси и по решетке перемещаться не может.Рис. 320По зонной теории, введение трехвалентной примеси в решетку кремнияприводит к возникновению в запрещенной зоне примесного энергетического уровня А,не занятого электронами. В случае кремния с примесью бора этот уровень располагается выше верхнего края валентной зоны на расстоянии? E D= 0,08 эВ (рис. 320, б).Близость этих уровней к валентной зоне приводит к то- му, что уже при сравнительно низких температурах электроны из валентной зо- ны переходят на примесные уровни и, связываясь с атомами бора, теряют спо- собность перемещаться по решетке кремния, т. е. в проводимости не участвуют. Носителями тока являются лишь дырки, возникающие в валентной зоне.Таким образом, в полупроводниках с примесью, валентность которой на585ники с такой проводимостью называются дырочными (или полупроводниками р-типа).Примеси, захватывающие электроны из валентной зоны полупровод- ника, называются акцепторами, а энергетические уровни этих примесей — ак- цепторными уровнями.В отличие от собственной проводимости, осуществляющейся одновре-менно электронами и дырками, примесная проводимость полупроводников обусловлена в основном носителями одного знака: электронами — в случае до- норной примеси, дырками — в случае акцепторной. Эти носители тока называ- ются основными. Кроме основных носителей в полупроводнике имеются и не- основные носители: в полупроводниках n-типа — дырки, в полупроводниках р- типa — электроны.Наличие примесных уровней в полупроводниках существенно изменяетположение уровня Ферми Е .Расчеты показывают, что в случае полупроводни-Fков n-типа уровень Ферми Е F0 при 0 К расположен посередине между дном зо-ны проводимости и донорным уровнем (рис. 321).Рис. 321С повышением температуры все большее число электронов переходит издонорных состояний в зону проводимости, но, помимо этого, возрастает и чис- ло тепловых флуктуации, способных возбуждать электроны из валентной зоны и перебрасывать их через запрещенную зону энергий. Поэтому при высоких температурах уровень Ферми имеет тенденцию смещаться вниз (сплошная кри- вая) к своему предельному положению в центре запрещенной зоны, характер- ному для собственного полупроводника.Уровень Ферми в полупроводниках р-типа при 0 К Е F0 располагается по-середине между потолком валентной зоны и акцепторным уровнем (рис. 322). Сплошная кривая опять-таки показывает его смещение с температурой. При температурах, при которых примесные атомы оказываются полностью исто- щенными и увеличение концентрации носителей происходит за счет возбужде- ния собственных носителей, уровень Ферми располагается посередине запре-586щенной зоны, как в собственном полупроводнике.Рис. 322Проводимость примесного полупроводника, как и проводимость любогопроводника, определяется концентрацией носителей и их подвижностью. С из- менением температуры подвижность носителей меняется по сравнительно сла- бому степенному закону, а концентрация носителей — по очень сильному экс- поненциальному закону, поэтому проводимость примесных полупроводников от температуры определяется в основном температурной зависимостью кон- центрации носителей тока в нем. На рис. 323 дан примерный график зависимо- сти Inγ от 1/Тдля примесных полупроводников.Рис. 323Участок АВописывает примесную проводимость полупроводника. Ростпримесной проводимости полупроводника с повышением температуры обу- словлен в основном ростом концентрации примесных носителей. Участок ВС соответствует области истощения примесей (это подтверждают и эксперимен-587ты), участок CDописывает собственную проводимость полупроводника.§ 244. Ф ОТОПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Фотопроводимость(см. § 202) полупроводников— увеличение элек-тропроводности полу проводников под действием электромагнитного излуче- ния— может быть связана со свойствами как основного вещества, так и содер- жащихся в нем примесей. В первом случае при поглощении фотонов, соответ- ствующих собственной полосе поглощения полупроводника, т. е. когда энергия фотонов равна или больше ширины запрещенной зоны (hv >? E), могут совер-шаться перебросы электронов из валентной зоны в зону проводимости (рис. 324, а),что приведет к появлению добавочных (неравновесных) электронов (в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне). В результате возникает собст- венная фотопроводимость,обусловленная как электронами, так и дырками.Рис. 324Если полупроводник содержит примеси, то фотопроводимость можетвозникать и при hv < ? E: для полупроводников с донорной примесью фотондолжен обладать энергией hv > ? E D , а для полупроводников с акцепторнойпримесью — hv ≥ ? E A .При поглощении света примесными центрами происхо-дит переход электронов с донорных уровней в зону проводимости в случае по- лупроводника n-типа (рис. 324, б)или из валентной зоны на акцепторные уров- ни в случае полупроводника р-типа(рис. 324, в). В результате возникает при- месная фотопроводимость,являющаяся чисто электронной для полупровод- ников n-типа и чисто дырочной для полупроводников р-типа.Таким образом, еслиhv≥ ? E для собственных полупроводников,hv ≥ ? E П для примесных полупроводников (244.1)( ? E П — в общем случае энергия активации примесных атомов), то в полупро-воднике возбуждается фотопроводимость. Из (244.1) можно определить крас- ную границу фото проводимости— максимальную длину волны, при которой еще фотопроводимость возбуждается:λ 0 =сh/ ? E для собственных полупроводников,λ 0 =сh/ ? E П для примесных полупроводников.588Учитывая значения ? E и ? E П для конкретных полупроводников, можнопоказать, что красная граница фотопроводимости для собственных полупро- водников приходится на видимую область спектра, для примесных же полупро- водников — на инфракрасную.На рис. 325 представлена типичная зависимость фотопроводимости j икоэффициента поглощения æот длины волны λ падающего на полупроводниксвета. Из рисунка следует, что при λ > λ 0 фотопроводимость действительно невозбуждается. Спад фотопроводимости в коротковолновой части полосы по- глощения объясняется большой скоростью рекомбинации в условиях сильного поглощения в тонком поверхностном слое толщиной x≈ 1мкм (коэффициентпоглощения ≈ 10 6 м -1 ).Рис. 325Наряду с поглощением, приводящим к появлению фотопроводимости,может иметь место экситонный механизм поглощения. Экситоиы представляют собой квазичастицы — электрически нейтральные связанные состояния элек- трона и дырки, образующиеся в случае возбуждения с энергией, меньшей ши- рины запрещенной зоны. Уровни энергии экситонов располагаются у дна зоны проводимости. Так как экситоны электрически нейтральны, то их возникнове- ние в полупроводнике не приводит к появлению дополнительных носителей тока, вследствие чего экситонное поглощение света не сопровождается увели- чением фотопроводимости.§ 245. Л ЮМИНЕСЦЕНЦИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛВ природе давно известно излучение, отличное по своему характеру отвсех известных видов излучения (теплового излучения, отражения, рассеяния света и т. д.). Этим излучением является люминесцентное излучение, примера- ми которого может служить свечение тел при облучении их видимым, ультра- фиолетовым и рентгеновским излучением,γ -излучением и т. д. Вещества, спо-собные под действием различного рода возбуждений светиться, получили на- звание люминофоров.589Люминесценцня — неравновесное излучение, избыточное при даннойтемпературе над тепловым излучением тела и имеющее длительность, большую периода световых колебаний. Первая часть этого определения приводит к вы- воду, что люминесценция не является тепловым излучением (см. § 197), по- скольку любое тело при температуре выше 0 К излучает электромагнитные волны, а такое излучение является тепловым. Вторая часть показывает, что лю- минесценция не является таким видом свечения, как отражение и рассеяние света, тормозное излучение заряженных частиц и т. д. Период световых коле- баний составляет примерно 10-15 с, поэтому длительность, по которой свечениеможно отнести к люминесценции, больше — примерно 10 -10 с. Признак дли-тельности свечения дает возможность отличить люминесценцию от других не- равновесных процессов. Так, по этому признаку удалось установить, что излу- чение Вавилова — Черепкова (см. § 189) нельзя отнести к люминесценции.В зависимости от способов возбуждения различают: фотолюминесцен-цию (под действием света), рентгенолюминесценцию (под действием рентге- новского излучения), катодолюмннесценцмю (под действием электронов), электролюминесценцию (под действием электрического поля), раднолюмннес- ценцию (при возбуждении ядерным излучением, напримерγ -излучением, ней-тронами, протонами), хемилюминесценцню (при химических превращениях), триболюминесценцию (при растирании и раскалывании некоторых кристаллов, например сахара). По длительности свечения условно различают: флуорес- ценцмю (t < 10-8 с) и фосфоресценцию — свечение, продолжающееся заметныйпромежуток времени после прекращения возбуждения.Первое количественное исследование люминесценции проведено болееста лет назад Дж. Стоксом * , сформулировавшим в 1852 г. следующее правило:длина волны люминесцентного излучения всегда больше длины волны света, возбудившего его (рис. 326).Спектр поглощения Спектр ( возбуждения ) люминесценцииРис. 326Согласно квантовой теории, правило Стокса означает, что энергия hv па-дающего фотона частично расходуется на какие-то неоптические процессы, т. е.* Дж. Стоке (1819—1903) — английский физик и математик.590откуда v люм < V или λ люм > λ , что и следует из сформулированного правила.Основной энергетической характеристикой люминесценции являетсяэнергетический выход, введенный С. И. Вавиловым в 1924 г., — отношение энергии, излученной люминофором при полном высвечивании, к энергии, по- глощенной им. Типичная для органических люминофоров (на примере раствора флуоресцина) зависимость энергетического выходаη от длины волны λ возбу-ждающего света представлена на рис. 327.Рис. 327Из рисунка следует, что вначалеη растет пропорционально λ , а затем,достигая максимального значения, быстро спадает до нуля при дальнейшем уве личенииλ (закон Вавилова). Величина энергетического выхода для различныхлюминофоров колеблется в довольно широких пределах, максимальное ее зна- чение может достигать примерно 80%.Твердые тела, представляющие собой эффективно люминесцирующиеискусственно приготовленные кристаллы с чужеродными примесями, получили название кристаллофосфоров. На примере кристаллофосфоров рассмотрим ме- ханизмы возникновения люминесценции с точки зрения зонной теории твердых тел. Между валентной зоной и зоной проводимости кристаллофосфора распо- лагаются примесные уровни активатора (рис. 328).Рис. 328При поглощении атомом активатора фотона с энергией hvэлектрон с591примесного уровня переводится в зону проводимости, свободно перемещается по кристаллу до тех пор, пока не встретится с ионом активатора и не рекомби- нирует с ним, перейдя вновь на примесный уровень. Рекомбинация сопровож- дается излучением кванта люминесцентного свечения. Время высвечивания люминофора определяется временем жизни возбужденного состояния атомов активатора, которое обычно не превышает миллиардных долей секунды. По- этому свечение является кратковременным и исчезает почти вслед за прекра- щением облучения.Для возникновения длительного свечения (фосфоресценции) кристалло-фосфор должен содержать также центры захвата, или ловушки для электронов, представляющие собой незаполненные локальные уровни (например, Л1 и Л 2 ),лежащие вблизи дна зоны проводимости (рис. 329).Рис. 329Они могут быть образованы атомами примесей, атомами в междоузлияхи т. д. Под действием света атомы активатора возбуждаются, т. е. электроны с примесного уровня переходят в зону проводимости и становятся свободными. Однако они захватываются ловушками, в результате чего теряют свою подвиж- ность, а, следовательно, и способность рекомбинировать с ионом активатора. Освобождение электрона из ловушки требует затраты определенной энергии, которую электроны могут получить, например, от тепловых колебаний решет- ки. Освобожденный из ловушки электрон попадает в зону проводимости и движется по кристаллу до тех пор, пока или не будет снова захвачен ловушкой, или не рекомбинирует с ионом активатора. В последнем случае возникает квант люминесцентного излучения. Длительность этого процесса определяется вре- менем пребывания электронов в ловушках.Явление люминесценции получило широкое применение в практике, на-пример люминесцентный авалю — метод определения состава вещества по ха- рактерному его свечению. Этот метод, являясь весьма чувствительным (при- мерно 10-10 г/см 3 ), позволяет обнаруживать наличие ничтожных примесей и592дуемая поверхность покрывается для этого люминесцентным раствором, кото- рый после удаления остается в трещинах).Люминофоры используются в люминесцентных лампах, являются актив-ной средой оптических квантовых генераторов (см. § 233) и сцинтилляторов (будут рассмотрены ниже), применяются в электронно-оптических преобразо- вателях (см. § 169), для создания аварийного и маскировочного освещения и для изготовления светящихся указателей различных приборов.• Каковы по зонной теории механизмы возникновения флуоресценции и фосфоресценции ?• Что такое люминесценция ? Какие ее виды вам известны ?• Что представляют собой кристаллофоры ?§ 246. К ОНТАКТ ДВУХ МЕТАЛЛОВ ПО ЗОННОЙ ТЕОРИИЕсли два различных металла привести в соприкосновение, то между нимивозникает разность потенциалов, называемая контактной разностью потенциа- лов. Итальянский физик А. Вольта (1745—1827) установил, что если металлы А1, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd привести в контакт в указанной последовательности, то каждый предыдущий при соприкосновении с одним из следующих зарядится положительно. Этот ряд называется рядом Вольта. Кон- тактная разность потенциалов для различных металлов составляет от десятых до целых вольт.Вольта экспериментально установил два закона:1.Контактная разность потенциалов зависит лишь от химического составаи температуры соприкасающихся металлов.2. Контактная разность потенциалов последовательно соединенных раз-личных проводников, находящихся при одинаковой температуре,не зависит от химического состава промежуточных проводников и равна контактной разно- сти потенциалов, возникающей при непосредственном соединении крайних проводников.Для объяснения возникновения контактной разности потенциалов вос-пользуемся представлениями зонной теории. Рассмотрим контакт двух метал- лов с различными работами выхода А1 и А 2 ,т. е. с различными положениямиуровня Ферми (верхнего заполненного электронами энергетического уровня). Если А1 < А 2 (этот случай изображен на рис. 330, а), то уровень Ферми распола-гается в металле 1выше, чем в металле 2.Следовательно, при контакте метал- лов электроны с более высоких уровней металла 1будут переходить на более низкие уровни металла 2, что приведет к тому, что металл 1 зарядится положи- тельно, а металл 2— отрицательно. Одновременно происходит относительное смещение энергетических уровней: в металле, заряжающемся положительно, все уровни смещаются вниз, а в металле, заряжающемся отрицательно, — вверх. Этот процесс будет происходить до тех пор, пока между соприкасающи- мися металлами не установится равновесие, которое, как доказывается в стати- стической физике, характеризуется совпадением уровней Ферми в обоих ме- таллах (рис. 330,6),Так как для соприкасающихся металлов уровни Ферми сов-593падают, а работы выхода A 1 и А 2 не изменяются (они являются константами ме-таллов и не зависят от того, находятся металлы в контакте или нет), то потен- циальная энергия электронов в точках, лежащих вне металлов в непосредствен- ной близости к их по верхности (точки А и Вна рис. 330, б),будет различной. Следовательно, между точками А и Вустанавливается разность потенциалов, которая, как следует из рисунка, равна(246.1)Рис. 330Разность потенциалов (246.1), обусловленная различием работ выходаконтактирующих металлов, называется внешней контактной разностью потен- циалов. Чаще говорят просто о контактной разности потенциалов, подразуме- вая под ней внешнюю.Если уровни Ферми для двух контактирующих металлов не одинаковы,то между внутренними точками металлов наблюдается внутренняя контактная разность потенциалов, которая, как следует из рисунка, равна(246.2)В квантовой теории доказывается, что причиной возникновения внутрен-ней контактной разности потенциалов является различие концентраций элек- тронов в контактирующих металлах.?? " зависит от температуры Тконтактаметаллов (поскольку наблюдается зависимость Е от Т), обусловливая термо-Fэлектрические явления. Как правило, ?? " << ?? '.Если, например, привести в соприкосновение три разнородных провод-ника, имеющих одинаковую температуру, то разность потенциалов между кон- цами разомкнутой цепи равна алгебраической сумме скачков потенциала во всех контактах. Она, как можно показать (предоставляем это сделать читателю),594не зависит от природы промежуточных проводников (второй закон Вольта).Внутренняя контактная разность потенциалов возникает в двойном элек-трическом слое, образующемся в приконтактной области и называемом кон- тактным слоем. Толщина контактного слоя в металлах составляет примерно 10-10 м, т. е. соизмерима с междоузельными расстояниями в решетке металла.Число электронов, участвующих в диффузии через контактный слой, составля- ет примерно 2% от общего числа электронов, находящихся на поверхности ме- талла. Столь незначительное изменение концентрации электронов в контактном слое, с одной стороны, и малая по сравнению с длиной свободного пробега электрона его толщина — с другой, не могут привести к заметному изменению проводимости контактного слоя по сравнению с остальной частью металла. Следовательно, электрический ток через контакт двух металлов проходит так же легко, как и через сами металлы, т. е. контактный слой проводит электриче- ский ток в обоих направлениях (1→ 2 и 2 → 1)одинаково и не дает эффекта вы-прямления, который всегда связан с односторонней проводимостью.§ 247. Т ЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕСогласно второму закону Вольта, в замкнутой цепи, состоящей из не-скольких металлов, находящихся при одинаковой температуре, э.д.с. не возни- кает, т. е. не происходит возбуждения электрического тока. Однако если темпе- ратура контактов не одинакова, то в цепи возникает электрический ток, назы- ваемый термоэлектрическим. Явление возбуждения термоэлектрического тока (явление Зеебека), а также тесно связанные с ним явления Пельте и Томсона на- зываются термоэлектрическими явлениями.1. Явление Зеебека (1821). Немецкий физик Т. Зеебек (1770—1831) об-наружил, что в замкнутой цепи, состоящей из последовательно соединенных разнородных проводников, контакты между которыми имеют различную тем- пературу, возникает элект рический ток.Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из двух металлических провод-ников 1 и 2 стемпературами спаев Т 1 (контакт А) и Т 2 (контакт В),причем Т 1 >Т 2 (рис. 331).Не вдаваясь в подробности, отметим, что в замкнутой цепи для многихпар металлов (например, Сu—Bi, Ag—Си, Аu — Си) электродвижущая сила прямо пропорциональна разности температур в контактах:Эта э.д.с. называется термоэлектродвижущей силой. Направление токапри T 1 > T 2 на рис. 331 показано стрелкой. Термоэлектродвижущая сила, на-пример для пары металлов медь — константан, для разности температур 100 К составляет всего 4,25 мВ.595Рис. 331Причина возникновения термоэлектродвижущей э.д.с. ясна уже из фор-мулы (246.2), определяющей внутреннюю контактную разность потенциалов на границе двух металлов. Дело в том, что положение уровня Ферми зависит от температуры. Поэтому если температуры контактов разные, то разными будут и внутренние контактные разности потенциалов. Таким образом, сумма скачков потенциала отлична от нуля, что и приводит к возникновению термоэлектриче- ского тока. Отметим также, что при градиенте температуры происходит и диф- фузия электронов, которая тоже обусловливает термо-э.д.с.Явление Зеебека не противоречит второму началу термодинамики, таккак в данном случае внутренняя энергия преобразуется в электрическую, для чего используется два источника теплоты (два контакта). Следовательно, для поддержания постоянного тока в рассматриваемой цепи необходимо поддержи- вать постоянство разности температур контактов: к более нагретому контакту непрерывно подводить теплоту, а от холодного — непрерывно ее отводить.Явление Зеебека используется для измерения температуры. Для этогоприменяются термоэлемент, или термопары— датчики температур, состоя- щие из двух соединенных между собой разнородных металлических проводни- ков. Если контакты (обычно спаи) проводников (проволок), образующих тер- мопару, находятся при разных температурах, то в цепи возникает термоэлек- тродвижущая сила, которая зависит от разности температур контактов и приро- ды применяемых материалов. Чувствительность термопар выше, если их со- единять последовательно. Эти соединения называются термобатареями(или тремостолбиками).Термопары применяются как для измерения ничтожно ма- лых разностей температур, так и для измерения очень высоких и очень низких температур (например, внутри доменных печей или жидких газов). Точность определения температуры с помощью термопар составляет, как правило, не- сколько кельвин, а у некоторых термопар достигает≈ 0,01 К. Термопары обла-дают рядом преимуществ перед обычными термометрами: имеют большую чувствительность и малую инерционность, позволяют проводить измерения в широком интервале температур и допускают дистанционные измерения.Явление Зеебека в принципе может быть использовано для генерацииэлектрического тока. Так, уже сейчас к. п.д. полупроводниковых термобатарей достигает≈ 18%. Следовательно, совершенствуя полупроводниковые термо-электрогенераторы, можно добиться эффективного прямого преобразования596солнечной энергии в электрическую.2. Явление Пельтье(1834). Французский физик Ж. Пельтье (1785—1845) обнаружил, что при прохождении через контакт двух различных провод- ников электрического тока в зависимости от его направления помимо джоуле- вой теплоты выделяется или поглощается дополнительная теплота. Таким обра- зом, явление Пельтье является обратным по отношению к явлению Зеебека. В отличие от джоулевой теплоты, которая пропорциональна квадрату силы тока, теплота Пельтье пропорциональна первой степени силы тока и меняет знак при изменении направления тока.Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из двух разнородных металли-ческих проводников 1 и 2(рис. 332), по которым пропускается ток I' (его на- правление в данном случае выбрано совпадающим с направлением термотока (на рис. 331 при условии T> T )). Согласно наблюдениям Пельтье, спай А,ко-1 2торый при явлении Зеебека поддерживался бы при более высокой температуре, будет теперь охлаждаться, а спай В— нагреваться. При изменении направления тока I' спай Абудет нагреваться, спай В— охлаждаться.Рис. 332Объяснить явление Пельтье можно следующим образом. Электроны поразную сторону спая обладают различной средней энергией (полной — кинети- ческой плюс потенциальной). Если электроны (направление их движения зада- но на рис. 332 пунктир ными стрелками) пройдут через спай Ви попадут в об- ласть с меньшей энергией, то избыток своей энергии они отдадут кристалличе- ской решетке и спай будет нагреваться. В спае Аэлектроны переходят в область с большей энергией, забирая теперь недоста ющую энергию у кристаллической решетки, и спай будет охлаждаться.Явление Пельтье используется в термоэлектрических полупроводнико-вых холодильниках, созданных впервые в 1954 г. под руководством А. Ф. Иоф- фе, и в некоторых электронных приборах.3. Явление Томсона (1856). Вильям Томсон (Кельвин), исследуя термо-электрические явления, пришел к заключению, подтвердив его эксперимен- тально, что при прохождении тока по неравномернонагретому проводнику должно происходить дополнительное выделение (поглощение) теплоты, анало-597гичной теплоте Пельтье. Это явление получило название явления Томсона. Его можно объяснить следующим образом. Так как в более нагретой части провод- ника электроны имеют бблыпую среднюю энергию, чем в менее нагретой, то, двигаясь в направлении убывания температуры, они отдают часть своей энер- гии решетке, в результате чего происходит выделение теплоты Томсона. Если же электроны движутся в сторону возрастания температуры, то они, наоборот, пополняют свою энергию за счет энергии решетки, в результате чего происхо- дит поглощение теплоты Томсона.§ 248. В ЫПРЯМЛЕНИЕ НА КОНТАКТЕ МЕТАЛЛ — ПОЛУПРОВОДНИКРассмотрим некоторые особенности механизма процессов, происходящихпри приведе нии в контакт металла с полупроводником. Для этого возьмем по- лупроводник n-типа с работой выхода А,меньшей работы выхода АM из метал-ла. Соответствующие энергетические диаграммы до и после приведения в кон- такт показаны на рис. 333, а, бРис. 333Если АM > А,то при контакте электроны из полупроводника будут пере-ходить в металл, в результате чего контактный слой полупроводника обеднится электронами и зарядится положительно, а металл — отрицательно. Этот про- цесс будет происходить до достижения равновесного состояния, характеризуе- мого, как и при контакте двух металлов, выравниванием уровней Ферми для металла и полупроводника. На контакте образуется двойной электрический слой d,поле которого (контактная разность потенциалов) препятствует даль- нейшему переходу электронов. Вследствие малой концентрации электронов проводимости в полупроводнике (порядка 1015 см -3 вместо 10 -6 см -3 в металлах)толщина контактного слоя в полупроводнике достигает примерно 10 -6 см, т. е.примерно в 10 000 раз больше, чем в металле. Контактный слой полупроводни-598ка обеднен основными носителями тока — электронами в зоне проводимости, и его сопротивление значительно больше, чем в остальном объеме полупровод ника. Такой контактный слой называется запирающим.При d = 10 -6 см и ?? ≈ 1 В напряженность электрического поля контакт-ного слоя E = ?? /d ≈ 10 8 В/м. Такое контактное поле не может сильно повлиятьна структуру спектра (например, на ширину запрещенной зоны, на энергию ак- тивации примесей и т. д.) и его действие сводится лишь к параллельному ис- кривлению всех энергетичес ких уровней полупроводника в области контакта (рис. 333,б). Так как в случае контакта уровни Ферми выравниваются, а работы выхода — величины постоянные, то при АМ > Аэнергия электронов в контакт-ном слое полупроводника больше, чем в остальном объеме. Поэтому в контакт- ном слое дно зоны проводимости поднимается вверх, удаляясь от уровня Фер- ми. Соответственно происходит и искривление верхнего края валентной зоны, а также донорного уровня.Помимо рассмотренного выше примера возможны еще следующие трислучая контакта металла с примесными полупроводниками: а) А М < А,полу-проводник n-типа; б) А M > А,полупроводник p-типа; в) А М <А, полупроводник p-типа. Соответствующие зонные схемы показаны на рис. 334.Рис. 334Если АМ < А,то при контакте металла с полупроводником n-типа элек-троны из металла переходят в полупроводник и образуют в контактном слое полупроводника отрицательный объемный заряд (рис. 334, а).Следовательно, контактный слой полу проводника обладает повышенной проводимостью, т. е. не является запирающим. Рассуждая аналогично, можно показать, что искрив- ление энергетических уровней по сравнению с контактом металл — полупро- водник n-типа (АM > А)происходит в обратную сторону.При контакте металла с полупроводником р-типа запирающий слой обра-зуется при А М < А (рис.334, в), так как в контактном слое полупроводника на-блюдается избыток отрицательных ионов акцепторных примесей и недостаток основных носителей тока— дырок в валентной зоне. Если же АМ > А(рис. 334,599вышенной проводимостью.Исходя из приведенных рассуждений, видим, что запирающий контакт-ный слой возникает при контакте донорного полупроводника с меньшей рабо- той выхода, чем у металла (см. рис. 333, б), и у акцепторного — с большей ра- ботой выхода, чем у металла (рис. 333, в).Запирающий контактный, слой обладает односторонней (вентильной)проводимостью, т. е. при приложении к контакту внешнего электрического по- ля он пропускает ток практически только в одном направлении: либо из метал- ла в полупроводник, либо из полупроводника в металл. Это важнейшее свойст- во запирающего слоя объясняется зависимостью его сопротивления от направ- ления внешнего поля.Если направления внешнего и контактного полей противоположны, тоосновные носители тока втягиваются в контактный слой из объема полупро- водника; толщина контактного слоя, обедненного основными носителями тока, и его сопротивление уменьшаются. В этом направлении, называемом пропуск- ным, электрический ток может проходить через контакт металл — полупровод- ник. Если внешнее поле совпадает по знаку с контактным, то основные носите- ли тока будут перемещаться от границы с металлом; толщина обедненного слоя возрастает, возрастает и его сопротивление. Очевидно, что в этом случае ток через контакт отсутствует, выпрямитель заперт — это запорное направление. Для запирающего слоя на границе металла с полупроводником n-типа (АМ >А)пропускным является направление тока из металла в полупроводник, а для за- пирающего слоя на границе металла с полупроводником р-типа. (АМ < А)— изполупроводника в металл.§ 249. К ОНТАКТ ЭЛЕКТРОННОГО И ДЫРОЧНОГО ПОЛУПРОВОДНИКОВ ( Р - П - ПЕРЕХОД )Граница соприкосновения двух полупроводников, один из которых имеетэлектронную, а другой — дырочную проводимость, называется электронно- дырочным переходом (или p-n-нереходом). Эти переходы имеют большое прак- тическое значение, являясь основой работы многих полупроводниковых прибо- ров. p-n-Переход нельзя осуществить просто механическим соединением двух полупроводников. Обычно области раз личной проводимости создают либо при выращивании кристаллов, либо при соответствующей обработке кристаллов. Например, на кристалл германия n-типа накладывается индиевая «таблетка» (рис. 335, а). Эта система нагревается примерно при 500° С в вакууме или в ат- мосфере инертного газа; атомы индия диффундируют на некоторую глубину в германий. Затем расплав медленно охлаждают. Так как германий, содержащий индий, обладает дырочной проводимостью, то на границе закристаллизовавше- гося расплава и германия n-типа образуется p-n-переход (рис. 335, б).600Рис. 335Рассмотрим физические процессы, происходящие в p-n-переходе (рис.336).Рис. 336Пусть донорный полупроводник (работа выхода — Аn ,уровень Ферми —Е Fn )приводится в контакт (рис. 336,б) сакцепторным полупроводником (работавыхода — А р ,уровень Ферми — Е Fp ). Электроны из n-полупроводника, где ихконцентрация выше, будут диффундировать в p-полупроводник, где их концен-601трация ниже. Диффузия же дырок происходит в обратном направлении — в на- правлении р→ n.В n-полупроводнике из-за ухода электронов вблизи границы остается не-скомпенсированный положительный объемный заряд неподвижных ионизован- ных донорных атомов. В n-полупроводнике из-за ухода дырок вблизи границы образуется отрицательный объемный заряд неподвижных ионизованных акцеп- торов (рис. 336, а). Эти объемные заряды образуют у границы двойной элек- трический слой, поле которого, направленное от n-области к p-области, препят- ствует дальнейшему переходу электронов в направлении n→ ри дырок в на-правлении р → n.Если концентрации доноров и акцепторов в полупроводникахn- и р-типаодинаковы, то толщины слоев d 1 и d 2 (рис. 336, в), в которых лока-лизуются неподвижные заряды, равны (d 1 = d 2 ).При определенной толщине p-n-перехода наступает равновесное состоя-ние, характеризуемое выравниванием уровней Ферми для обоих полупроводни- ков (рис. 336, в). В области p-n-перехода энергетические зоны искривляются, в результате чего возникают потенциальные барьеры как для электронов, так и для дырок. Высота потенциаль ного барьера е? определяется первоначальнойразностью положений уровня Ферми в обоих полупроводниках. Все энергети- ческие уровни акцепторного полупроводника подняты относительно уровней донорного полупроводника на высоту, равную е? ,причем подъем происходитна толщине двойного слоя d.Толщина dслоя p-n-перехода в полупроводниках составляет примерно10 -б — 10 -7 м, а контактная разность потенциалов — десятые доли вольт. Носи-тели тока способны преодолеть такую разность потенциалов лишь при темпе- ратуре в несколько тысяч градусов, т. е. при обычных температурах равновес- ный контактный слой является запирающим (характеризуется повышенным со- противлением).Сопротивление запирающего слоя можно изменить с помощью внешнегоэлектрического поля. Если приложенное к p-n-переходу внешнее электрическое поле направлено от n-полупроводника к p-полупроводнику (рис. 337, а), т. е. совпадает с полем контактного слоя, то оно вызывает движение электронов в n- полупроводнике и дырок в p-полупроводнике от границы р-n-перехода в проти- воположные стороны.Рис. 337В результате запирающий слой расширится и его сопротивление возрас-602запирающим (обратным). В этом направлении электрический ток через p-n- переход практически не проходит. Ток в запирающем слое в запирающем на- правлении образуется лишь за счет неосновных носителей тока (электронов в p- полупроводнике и дырок в n-полупроводнике).Если приложенное к p-n-переходу внешнее электрическое поле направле-но противоположно полю контактного слоя (рис. 337, 6),то оно вызывает дви- жение электронов в n-полупроводнике и дырок в p-полупроводнике к границе p-n-перехода навстречу друг другу. В этой области они рекомбинируют, тол- щина контактного слоя и его сопротивление уменьшаются. Следовательно, в этом направлении электрический ток проходит сквозь p-n-переход в направле- нии от p-полупроводника к n-полупроводнику; оно называется пропускным (прямым).Таким образом, p-n-переход (подобно на контакте металл — полупровод-ник) об ладает односторонней (вентильной) проводимостью.На рис. 338 представлена вольт-амперная характеристика p-n-перехода.Как уже указывалось, при пропускном (прямом) напряжении внешнее электри- ческое поле способствует движению основных носителей тока к границе p-n- перехода (см. рис. 337, б).В результате толщина контактного слоя уменьшает- ся. Соответственно уменьшается и сопротивление перехода (тем сильнее, чем больше напряжение), а сила тока становится большой (правая ветвь на рис. 338). Это направление тока называется прямым.Рис. 338При запирающем (обратном) напряжении внешнее электрическое полепрепятству ет движению основных носителей тока к границе p-n-перехода (см. рис. 337, а)и способствует движению неосновных носителей тока, концентра- ция которых в полупроводниках невелика. Это приводит к увеличению толщи- ны контактного слоя, обедненного основными носителями тока. Соответствен- но увеличивается и сопротивление перехода. Поэтому в данном случае через p- n-переход протекает только небольшой ток (он называется обратным), полно- стью обусловленный неосновными носителями тока (левая ветвь рис. 338). Бы- строе возрастание этого тока означает пробой контактного слоя и его разруше-603ние. При включении в цепь переменного тока p-n-переходы действуют как вы- прямители.§ 250. П ОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ И ТРИОДЫ( ТРАНЗИСТОРЫ )Односторонняя проводимость контактов двух полупроводников (или ме-талла с полу проводником) используется для выпрямления в преобразования переменных токов. Если имеется один электронно-дырочный переход, то его действие аналогично действию двухэлепродной лампы — диода (см. § 105). Поэтому полупроводниковое устройство, содержащее одни р-n-переход, назы-:вается полупроводниковым (красталлическим) диодом. Полупроводниковые диоды по конструкции делятся на точечные и плоскостные.В качестве примера рассмотрим точечный германиевый диод (рис. 339), вкотором тонкая вольфрамовая проволока 1 прижимается к n-германию 2 остри- ем, покрытым алюминием. Если через диод в прямом направлении пропустить кратковременный импульс тока, то при этом резко повышается диффузия А1 в Ое и образуется слой германия, обогащенный алюминием и обладающий p- проводимостью. На границе этого слоя образуется p-n-переход, обладающий высоким коэффициентом выпрямления. Благодаря малой емкости контактного слоя точечные диоды применяются в качестве детекторов (выпрямителей) вы- сокочастотных колебаний вплоть до сантиметрового диапазона длин волн.Рис. 339Принципиальная схема плоскостного меднозакисного (купроксного) вы-прямителя дана на рис. 340. На медную пластину с помощью химической обра- ботки наращивается слой закиси меди СuО, который покрывается слоем сереб-2ра. Серебряный электрод служит только для включения выпрямителя в цепь. Часть слоя Cu2 O, прилегающая к меди и обогащенная ею, обладает электроннойпроводимостью, а часть слоя Сu О, прилегающая к Ag и обогащенная (в про-2цессе изготовления выпрямителя) кислородом, — дырочной проводимостью. Таким образом, в толще закиси меди образуется запирающий слой с пропуск- ным направлением тока от Сu2 О к Сu (р → n).604Рис. 340Технология изготовления германиевого плоскостного диода описана в §249 (см. рис. 325). Распространенными являются также селеновые диоды и дио- ды на основе арсенида галлия и карбида кремния. Рассмотренные диоды обла- дают рядом преимуществ по сравнению с электронными лампами (малые габа- ритные размеры, высокие к.п.д. и срок службы, постоянная готовность к работе и т. д.), но они очень чувст вительны к температуре, поэтому интервал их рабо- чих температур ограничен (от -70 до + 120°С). p-n-Переходы обладают не толь- ко прекрасными выпрямляющими свойствами, но могут быть использованы также для усиления, а если в схему ввести обратную связь, то и для генериро- вания электрических колебаний. Приборы, предназначенные для этих целей, получили название полупроводниковых триодов или транзисторов (первый транзистор создан в 1949 г. американскими физиками Д. Бардином, У. Брат- теином и У. Шокли; Нобелевская премия 1956 г.).Для изготовления транзисторов используются германий и кремний, таккак они характеризуются большой механической прочностью, химической ус- тойчивостью и большей, чем в других полупроводниках, подвижностью носи- телей тока. Полупроводниковые триоды делятся на точечные и плоскостные. Первые значительно усиливают напряжение, но их выходные мощности малы из-за опасности перегрева (например, верхний предел рабочей температуры то- чечного германиевого триода лежит в пределах 50—80°Q. Плоскостные триоды являются более мощными. Они могут быть типa р-n-р и типа n-р-nв зависимо- сти от чередования областей с различной проводимостью.Для примера рассмотрим принцип работы плоскостного триода р-n-р,т. е.триода на основе n-полупроводника (рис. 341).Рис. 341605Рабочие «электроды» триода, которыми являются база(средняя частьтранзистора), эмиттер и коллектор(прилегающие к базе с обеих сторон облас- ти с иным типом проводимости), включаются в схему с помощью невыпрям- ляющих контактов — металлических проводников. Между эмиттером и базой прикладывается постоянное смещающее напряжение в прямом направлении, а между базой и коллектором — постоянное смещающее напряжение в обратном направле нии. Усиливаемое переменное напряжение подается на входное со- противление Rвх , а усиленное — снимается с выходного сопротивления R вых .Протекание тока в цепи эмиттера обусловлено в основном движениемдырок (они являются основными носителями тока) и сопровождается их «впры- скиванием» — инжекцией— в область базы. Проникшие в базу дырки диф- фундируют по направлению к коллектору, причем при небольшой толщине ба- зы значительная часть инжектированных дырок достигает коллектора. Здесь дырки захватываются полем, действующим внутри перехода (притягиваются к отрицательно заряженному коллектору), вследствие чего изменяется ток кол- лектора. Следовательно, всякое изменение тока в цепи эмиттера вызывает из- менение тока в цепи коллектора.Прикладывая между эмиттером и базой переменное напряжение, получимв цепи коллектора переменный ток, а на выходном сопротивлении — перемен- ное напряжение Величина усиления зависит от свойств р-n-переходов, нагру- зочных сопротивлений и напряжения батареи Бк . Обычно R вых >> R вх поэтомуU вых значительно превышает входное напряжение U K (усиление может дости-гать 10 000). Так как мощность переменного тока, выделяемая в R вых можетбыть больше, чем расходуемая в цепи эмиттера, то транзистор дает и усиление мощности. Эта усиленная мощность появляется за счет источника тока, вклю- ченного в цепь коллектора.Из рассмотренного следует, что транзистор, подобно электронной лампе,дает усиление и напряжения и мощности. Если в лампе анодный ток управляет- ся напряжением на сетке, то в транзисторе ток коллектора, соответствующий анодному току лампы, управляется напряжением на базе.Принцип работы транзистора n-р-n-типа аналогичен рассмотренномувыше, но роль дырок играют электроны. Существуют и другие типы транзисто- ров, так же как и другие схемы их включения. Благодаря своим преимуществам перед электронными лампами (малые габаритные размеры, большие к.п.д. и срок службы, отсутствие накаливаемого катода (поэтому потребление меньшей мощности), отсутствие необходимости в вакууме и т. д.) транзистор совершил революцию в области электронных средств связи и обеспечил создание быст- родействующих ЭВМ с большим объемом памяти.З АДАЧИ31.1. Германиевый образец нагревают от 0 до 17°С. Принимая ширинузапрещенной зоны кремния 0,72 эВ, определить, во сколько раз возрастет его удельная проводимость. [В 2,45 раза]60631.2. В чистый кремний введена небольшая примесь бора. Пользуясь Пе-риодической системой Д. И. Менделеева, определить и объяснить тип прово- димости примесного кремния.31.3. Определить длину волны, при которой в примесном полупроводни-607ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИАТОМНОГО ЯДРАИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ ГЛАВА 32ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА§ 251. Р АЗМЕР , СОСТАВ И ЗАРЯД АТОМНОГО ЯДРА .М АССОВОЕ И ЗАРЯДОВОЕ ЧИСЛАЭ. Резерфорд, исследуя прохождение ос-частиц с энергией в несколькомегаэлектрон-вольт через тонкие пленки золота (см. § 208), пришел к выводу о том, что атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов. Проанализировав эти опыты, Резерфорд также показал, что атом- ные ядра имеют размеры примерно 10-14 —10 -15 м (линейные размеры атомапримерно 10~ 10 м).Атомное ядро состоит из элементарных частиц — протонов и нейтронов(протон-но-нейтронная модель ядра была предложена российским физиком Д. Д. Иваненко (р. 1904), а впоследствии развита В. Гейзенбергом).Протон (р) имеет положительный заряд, равный заряду электрона, и мас-су покоя m p =1,6726 ⋅ 10 - 27 кг ≈ 1836 т е ,где т е — масса электрона. Нейтрон (n)— нейтральная частица с массой покоя т —1,6749 ⋅ 10 - 27 кг ≈ 1839 т .Протонып еи нейтроны называются нуклонами(от лат. nucleus — ядро). Общее число ну- клонов в атомном ядре называется массовым числом А.Атомное ядро характеризуется зарядомZe,где Z — зарядовое числояд-ра, равное числу протонов в ядре и совпадающее с порядковым номером хими- ческого элемента в Периодической системе элементов Менделеева. Известные в настоящее время 107 элементов таблицы Менделеева имеют зарядовые числа ядер от Z= 1 до Z= 107.Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: A Х, где XZ— символ химического элемента, Z — атомный номер (число протонов в ядре), А— массовое число (число нуклонов в ядре).Сейчас протонно-нейтронная модель ядра не вызывает сомнений. Рас-сматривалась также гипотеза о протонно-электронном строении ядра, но она не выдержала экспериментальной проверки. Так, если придерживаться этой гипо- тезы, то массовое число Адолжно представлять собой число протонов в ядре, а разность между массовым числом и числом электронов должна быть равна за- рядовому числу. Эта модель согласовывалась со значениями изотопных масс и зарядов, но противоречила значениям спинов и магнитных моментов ядер, энергии связи ядра и т. д. Кроме того, она оказалась несовместимой с соотно- шением неопределенностей (см. § 215). В результате гипотеза о протонно- электронном строении ядра была отвергнута.608Так как атом нейтрален, то заряд ядра определяет и число электронов ватоме. От числа же электронов зависит их распределение по состояниям в ато- ме, от которого, в свою очередь, зависят химические свойства атома. Следова- тельно, заряд ядра определяет специфику данного химического элемента, т. е. определяет число электронов в атоме, конфигурацию их электронных оболочек, величину и характер внутри атомного электрического поля.Ядра с одинаковыми 2, но разными А(т. е. с разными числами нейтроновN=A—Z)называются изотопами, а ядра с одинаковыми А,но разными Z— изобарами. Например, водород (Z=1)имеет три изотопа:1 Н — протий (Z=1,1N=0), 2 1 Н — дейтерий (Z=1, N=1), 3 1 Н —тритий (Z=1, N=2), олово — десять, ит. д. В подавляющем большинстве случаев изотопы одного и того же химиче- ского элемента обладают одинаковыми химическими и почти одинаковыми фи- зическими свойствами (исключение составляют, например, изотопы водорода), определяющимися в основном структурой электронных оболочек, которая яв- ляется одинаковой для всех изотопов данного элемента. Примером ядер-изобар могут служить ядра10 4 Be, 10 5 Be, 10 6 С. В настоящее время известно более 2500ядер, отличающихся либо Z, либо А,либо тем и другим.Радиус ядра задается эмпирической формулой(251.1)где R 0 =(1,3 ÷ 1,7) 10 -15 м. Однако при употреблении этого понятия необходимособлюдать осторожность (из-за его неоднозначности, например из-за размыто- сти границы ядра). Из формулы (251.1) вытекает, что объем ядра пропорциона- лен числу нуклонов в ядре. Следовательно, плотность ядерного вещества при- мерно одинакова для всех ядер (≈ 10 17 кг/м 3 ).§ 252. Д ЕФЕКТ МАССЫ И ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДРАИсследования показывают, что атомные ядра являются устойчивыми об-разованиями. Это означает, что в ядре между нуклонами существует опреде- ленная связь.Массу ядер очень точно можно определить с помощью масс-спектрометров — из мерительных приборов, разделяющих с помощью элек- трических и магнитных полей пучки заряженных частиц (обычно ионов) с раз- ными удельными зарядами Q/m.Macc-спектрометрические измерения показа- ли, что масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов.Но так как всякому изменению массы (см. § 40) должно соответствовать изменение энергии, то, следовательно, при образовании ядра должна выделяться опреде- ленная энергия. Из закона сохранения энергии вытекает и обратное: для разде- ления ядра на составные части необходимо затратить такое же количество энергии, которое выделяется при его образовании. Энергия, которую необхо- димо затратить, чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны, называется энергией связи ядра (см. § 40).Согласно выражению (40.9), энергия связи нуклонов в ядре609(252.1)где т р , т n , т я —соответственно массы протона, нейтрона и ядра. В таблицахобычно приводятся не массы т,ядер, а массы татомов. Поэтому для энергии связи ядра пользуются формулой(252.2)где m н — масса атома водорода. Так как m н больше m p на величину m е ,то пер-вый член в квадратных скобках включает в себя массу Zэлектронов. Но так как масса атома mотличается от массы ядра mя как раз на массу Zэлектронов, товычисления по формулам (252.1) и (252.2) приводят к одинаковым результатам. Величинаназывается дефектом массы ядра. На эту величину уменьшается масса всех ну- клонов при образовании из них атомного ядра.Часто вместо энергии связи' рассматривают удельную энергию связи 8Еа— энер гию связи, отнесенную к одному нуклону. Она характеризует устойчи- вость (прочность) атомных ядер, т. е. чем большеδ Е св ,тем устойчивее ядро.Удельная энергия связи зависит от массового числа Аэлемента (рис. 342). Для легких ядер (A≤ 12) удельная энергия связи круто возрастает до 6 ÷ 7 МэВ, пре-терпевая целый ряд скачков (например, для 2 1 H δ Е св = 1,1МэВ, для 2 4 He - 7,1МэВ, для 6 3 Li — 5,3 МэВ), затем более медленно возрастает до максимальнойвеличины 8,7 МэВ у элементов с A = 50 ÷ 60, а потом постепенно уменьшается утяжелых элементов (например, для 238 U она составляет 7,6 МэВ). Отметим для92сравнения, что энергия связи валентных электронов в атомах составляет при- мерно 10 эВ (в 10б ! раз меньше).Рис. 342Уменьшение удельной энергии связи при переходе к тяжелым элементамобъясняется тем, что с возрастанием числа протонов в ядре увеличивается и энергия их кулоновского отталкивания.Поэтому связь между нуклонами ста- новится менее сильной, а сами ядра менее прочными.610Наиболее устойчивыми оказываются так называемые магические ядра, укоторых число протонов или число нейтронов равно одному из магических чи- сел: 2, 8, 20,28, 50, 82, 126. Особенно стабильны дважды магические ядра, у ко- торых магическими являются и число протонов, и число нейтронов (этих ядер насчитывается всего пять:2 He, 16 O, 40 Ca, 48 Ca, 208 Ru.4 8 20 20 82Из рис. 342 следует, что наиболее устойчивыми с энергетической точкизрения являются ядра средней части таблицы Менделеева. Тяжелые и легкие ядра менее устойчивы. Это означает, что энергетически выгодны следующие процессы: 1) деление тяжелых ядер на более легкие; 2) слияние легких ядер друг с другом в более тяжелые. При обоих процессах выделяется огромное ко- личество энергии; эти процессы в настоящее время осуществлены практически: реакции деления и термоядерные реакции.§ 253. С ПИН ЯДРА И ЕГО МАГНИТНЫЙ МОМЕНТИспользование приборов высокой разрешающей способности и специ-альных источников возбуждения спектра позволило обнаружить сверхтонкую структуру спектральных линий. Бе существование В. Паули объяснил (1924) наличием у атомных ядер собственного момента импульса (спина) и магнитно- го момента.Собственный момент импульса ядра — спин ядра — складывается изспинов нуклонов и из орбитальных моментов импульса нуклонов (моментов импульса, обусловленных движением нуклонов внутри ядра). Обе эти величи- ны являются векторами,поэтому спин ядра представляет их векторную сумму. Спин ядра кванту-етсяпо законугде I — спиновое ядерное квантовое «пело(его часто называют просто спи- ном ядра), которое принимает целые или полуцелые значения 0, ½, 1, 3/2 ... . Ядра с четными Аимеют целые I, с нечетными — полуцелые I.Атомное ядро кроме спина обладает магнитныммоментом p mя . Магнит-ный момент ядра связан со спином ядра (см. аналогичное выражение (131.5) для электрона): pmя = g я L я , где g я — коэффициент пропорциональности, назы-ваемый ядерным гиромагнитным отношением.Единицей магнитных моментов ядер служит ядерный магнетон(253.1)где т р — масса протона (ср. эту формулу с магнетоном Бора (§ 131)). Ядерныймагнетон в m p / m e раз меньше магнетона Бора, поэтому магнитные свойстваатомов определяются в основном магнитными свойствами его электронов.В случае эффекта Зеемана (см. § 223) при помещении атома в магнитноеполе наблюдается расщепление энергетических уровней и спектральных линий (тонкая структура), обусловленное сшш-орбитальным взаимодействием элек- тронов. Во внешнем магнитном поле также наблюдается расщепление уровней611энергии атома на близко расположенные подуровни (сверхтонкая структура), обусловленное взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным полем электронов в атоме.Магнитные моменты ядер могут, таким образом, определяться спектро-скопическим методом по сверхтонкой структуре спектральных линий. Однако магнитные моменты ядер примерно на три порядка меньше магнитных момен- тов электронов (см. (253.1) и (§ 131)), поэтому расщепление спектральных ли- ний, соответствующее сверхтонкой структуре, значительно меньше расщепле- ния за счет взаимодействия между спиновым и орбитальным моментами элек- трона (тонкая структура). Таким образом, из-за малости эффекта, даже при ис- пользовании спектральных приборов очень большой разрешающей способно- сти, точность этого метода невелика. Поэтому были разработаны более точные (не оптические) методы определения магнитных моментов ядер, одним из ко- торых является метод ядерного магнитного резонанса.Явление ядерного магнитного резонанса заключается в следующем: еслина вещест во, находящееся в сильном постоянном магнитном поле, действовать слабым перемен ным радиочастотным магнитным полем, то при частотах, соот- ветствующих частотам переходов между ядерными подуровнями, возникает резкий (резонансный) максимум поглощения. Ядерный магнитный резонанс обусловлен происходящими под влиянием переменного магнитного поля кван- товыми переходами между ядерными подуровнями. Точность метода задается точностью измерения напряженности постоянного магнитного поля и резо- нансной частоты, так как по их значениям вычисляются магнитные моменты ядер. Так как для измерения этих величин применяются прецизионные методы, то pmя можно определять с высокой точностью (до шести знаков).Метод ядерного магнитного резонанса позволяет наблюдать ядерный ре-зонанс на ядрах, обладающих магнитным моментом порядка 0,1 µ я . Количествовещества, необходимое для измерений, должно составлять 10 - 3 —10 г (в зави-симости от значения p mя ,).Измерение значений магнитных моментов ядер частосводится к сравнению резонансных частот исследуемых ядер с резонансной частотой протонов, что позволяет освободиться от точной калибровки магнит- ного поля, которая является довольно трудоемкой.§ 254. Я ДЕРНЫЕ СИЛЫ . М ОДЕЛИ ЯДРАМежду составляющими ядро нуклонами действуют особые, специфиче-ские для ядра силы, значительно превышающие кулоновские силы отталкива- ния между протонами. Они называются ядервымн силами.С помощью экспериментальных данных по рассеянию нуклонов на ядрах,ядерным превращениям и т. д. доказано, что ядерные силы намного превышают гравитационные, электрические и магнитные взаимодействия и не сводятся к ним. Ядерные силы относятся к классу так называемых сильных взаимодейст- вий.6121) ядерные силы являются силами притяжения;2) ядерные силы являются короткодействующими— их действие прояв-ляется только на расстояниях примерно 10 - 15 м. При увеличении расстояниямежду нуклонами ядерные силы быстро уменьшаются до нуля, а при расстоя- ниях, меньших их радиуса действия, оказываются примерно в 100 раз больше кулоновских сил, действующих между протонами на том же расстоянии;3) ядерным силам свойственна зарядовая независимость:ядерные силы,действующие между двумя протонами, или двумя нейтронами, или, наконец, между протоном и нейтроном, одинаковы по величине. Отсюда следует, что ядерные силы имеют неэлектрическую природу;4) ядерным силам свойственно насыщение,т. е. каждый нуклон в ядревзаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов. Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи нуклонов в ядре (ес- ли не учитывать легкие ядра) при увеличении числа нуклонов не растет, а оста- ется приблизительно постоянной;5) ядерные силы зависят от взаимной ориентации спиноввзаимодейст-вующих нуклонов. Например, протон и нейтрон образуют дейтрон (ядро изото- па2 1 H) только при условии параллельной ориентации их спинов;6) ядерные силы не являются центральными,т. е. действующими по ли-нии, соединяющей центры взаимодействующих нуклонов.Сложный характер ядерных сил и трудность точного решения уравненийдвиже ния всех нуклонов ядра (ядро с массовым числом Апредставляет собой систему из Ател) не позволили до настоящего времени разработать единую по- следовательную теорию атомного ядра. Поэтому на данной стадии прибегают к рассмотрению приближенных ядерных моделей, в которых ядро заменяется не- которой модельной системой, довольно хорошо описывающей только опреде- ленные свойства ядра и допускающей более или менее простую математиче- скую трактовку. Из большого числа моделей, каждая из которых обязательно использует подобранные произвольные параметры, согласующиеся с экспери- ментом, рассмотрим две: капельную и оболочечную.1. Капельная модель ядра (1936; Н. Бор и Я. И. Френкель). Капельнаямодель ядра является первой моделью. Она основана на аналогии между пове- дением нуклонов в ядре и поведением молекул в капле жидкости. Так, в обоих случаях силы, действующие между составными частицами — молекулами в жидкости и нуклонами в ядре, — являются короткодействующими и им свойст- венно насыщение. Для капли жидкости при данных внешних условиях харак- терна постоянная плотность ее вещества. Ядра же характеризуются практиче- ски постоянной удельной энергией связи и постоянной плотностью, не завися- щей от числа нуклонов в ядре. Наконец, объем капли, так же как и объем ядра (см. (251.1)), пропорционален числу частиц. Существенное отличие ядра от ка- пли жидкости в этой модели заключается в том, что она трактует ядро как кап- лю электрически заряженной несжимаемой жидкости (с плотностью, равной ядерной), подчиняющуюся законам квантовой механики. Капельная модель яд- ра позволила получить полуэмпирическую формулу для энергии связи нукло- нов в ядре, объяснила механизм ядерных реакций и особенно реакции деления613ядер. Однако эта модель не смогла, например, объяснить повышенную устой- чивость ядер, содержащих магические числа протонов и нейтронов.2. Оболочечван модель ядра (1949—1950; американский физик М. Геп-перт-Майер (1906—1975) и немецкий физик X. Иенсен (1907—1973)). Оболо- чечная модель предполагает распределение нуклонов в ядре по дискретным энергетическим уровням (оболочкам), заполняемым нуклонами согласно прин- ципу Паули, и связывает устойчивость ядер с заполнением этих уровней. Счи- тается, что ядра с полностью заполненными оболочками являются наиболее ус- тойчивыми. Такие особо устойчивые (магические) ядра действительно сущест- вуют (см. § 252).Оболочечная модель ядра позволила объяснить спины и магнитные мо-менты ядер, различную устойчивость атомных ядер, а также периодичность из- менений их свойств. Эта модель особенно хорошо применима для описания легких и средних ядер, а также для ядер, находящихся в основном (невозбуж- денном) состоянии.По мере дальнейшего накопления экспериментальных данных о свойст-вах атомных ядер появлялись все новые факты, не укладывающиеся в рамки описанных моделей. Так возникли обобщенная модель ядра (синтез капельной и оболочечной моделей), оптическая модель ядра (объясняет взаимодействие ядер с налетающими частицами) и другие модели.§ 255. Р АДИОАКТИВНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ВИДЫФранцузский физик А. Беккерель (1852—1908) в 1896 г. при изучениилюминесценции солей урана случайно обнаружил самопроизвольноеиспуска- ние ими излучения неизвестной природы, которое действовало на фотопла- стинку, ионизировало воздух, проникало сквозь тонкие металлические пла- стинки, вызывало люминесценцию ряда веществ. Продолжая исследование это- го явления, супруги Кюри — Мария (1867—1934) и Пьер — обнаружили, что беккерелевское излучение свойственно не только урану, но и многим другим тяжелым элементам, таким, как торий и актиний. Они показали также, что ура- новая смоляная обманка (руда, из которой добывается металлический уран) ис- пускает излучение, интенсивность которого во много раз превышает интенсив- ность излучения урана. Таким образом удалось выделать два новых элемента — носи теля беккерелевского излучения: полоний210 84 Рo и радий 226 88 Ra.Обнаруженное излучение было названо радиоактивным излучением,асамо явление — испускание радиоактивного излучения — радиоактивностью.Дальнейшие опыты показали, что на характер радиоактивного излученияпрепарата не оказывают влияния вид химического соединения, агрегатное со- стояние, механическое давление, температура, электрические и магнитные по- ля, т. е. все те воздействия, которые могли бы привести к изменению состояния электронной оболочки атома. Следовательно, радиоактивные свойства элемента обусловлены лишь структурой его ядра.В настоящее время под радиоактивностью понимают способность неко-614торых атомных ядер самопроизвольно (спонтанно) превращаться в другие ядра с испусканием различных видов радиоактивных излучений и элементарных частиц. Радиоактивность подразделяется на естественную (наблюдается у неус- тойчивых изотопов, существующих в природе) и искусственную (наблюдается у изотопов, полученных посредством ядерных реакций). Принципиального раз- личия между этими двумя типами радиоактивности нет, так как законы радио- активного превращения в обоиx случаях одинаковы.Радиоактивное излучение бывает трех типов: α -, β -и γ излучение. Под-робное их исследование позволило выяснить природу и основные свойства.α -Излучение отклоняется электрическим и магнитным полями, обладаетвысокой ионизирующей способностью и малой проникающей способностью (например, погло щаются слоем алюминия толщиной примерно 0,05 мм).α -Излучение представляет собой поток ядер гелия; заряд α -частицы равен + 2е,амасса совпадает с массой ядра изотопа гелия 2 He. По отклонению α -частиц в4электрическом и магнитном полях был определен их удельный заряд Q/m a ,зна-чение которого подтвердило правильность представлений об их природе.β -Излучение отклоняется электрическим и магнитным полями; его иони-зирующая способность значительно меньше (примерно на два порядка), а про- никающая способность гораздо больше (поглощается слоем алюминия толщи- ной примерно 2 мм), чем уα -частнц. β -Излучение представляет собой потокбыстрых электронов (это вытекает из определения их удельного заряда).Поглощение потока электронов с одинаковыми скоростями в однородномвеществе подчиняется экспоненциальному закону N = N e - µ x , где N и N—0 0число электронов на входе и выходе слоя вещества толщиной х, µ —коэффици-ент поглощения. β -Излучение сильно рассеивается в веществе, поэтому µ зави-сит не только от вещества, но и от размеров и формы тел, на которые β -излучение падает.γ -Излучение не отклоняется электрическим и магнитным полями, облада-ет относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой прони- кающей способностью (например, проходит через слой свинца толщиной 5 см), при прохождении через кристаллы обнаруживает дифракцию.γ -Излучениепредставляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с чрезвы- чайно малой длиной волныλ < 10 - 10 м и вследствие этого — ярко выраженны-ми корпускулярными свойствами, т. е. является потоком частиц — γ -квантов(фотонов).§ 256. З АКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА .П РАВИЛА СМЕЩЕНИЯПод радиоактивным распадом, или просто распадом, понимают естест-венное радиоактивное превращение ядер, происходящее самопроизвольно. Атомное ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материн- ским, возникающее ядро — дочерним. Теория радиоактивного распада строится615на предположении о том, что радиоактивный распад является спонтанным про- цессом, подчиняющимся законам статистики. Так как отдельные радиоактив- ные ядра распадаются независимо друг от друга, то можно считать, что число ядер dN,распавшихся в среднем за интервал времени от tдо t+dt,пропорцио- нально промежутку времени dtи числу Nнераспавшихся ядер к моменту вре- мени t:(256.1)где λ — постоянная для данного радиоактивного вещества величина, называе-мая постоянной радиоактивного распада; знак минус указывает, что общее чис- ло радиоактивных ядер в процессе распада уменьшается.Разделив переменные и интегрируя:получим(256.2)где N 0 — начальное число нераспавшихсяядер (в момент времени t=0), N—число нераспавшихсяядер в момент времени t.Формула (256.2) выражает закон радиоактивного распада, согласно которому число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальному закону.Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две ве-личины: период полураспада T и среднее время жизни mрадиоактивного яд-1/2ра. Период полураспадаT 1/2 — время, за которое исходное число радиоактив-ных ядер в среднемуменьшается вдвое. Тогда, согласно (256.2),откудаПериоды полураспада для естественно-радиоактивных элементов колеб-лются от десятимиллионных долей секунды до многих миллиардов лет.Суммарная продолжительность жизни dN ядер равна t|dN| = λ Ntdt.Про-интегрировав это выражение по всем возможным t(т. е. от 0 до ∞ ) и разделивна начальное число ядер N , получим среднее время жизни τ τ τ τ радиоактивного0ядра:(учтено (256.2)). Таким образом, среднее время жизни т радиоактивного ядра есть величина, обратная постоянной радиоактивного распадаλ616Активностью Ануклида(общее название атомных ядер, отличающихсячислом протонов Z и нейтронов N)в радиоактивном источнике называется чис- ло распадов, происходящих с ядрами образца в 1 с:(256.3)Единица активности в СИ — беккерель (Бк): 1 Бк — активность нуклида,при которой за 1 с происходит один акт распада. До сих пор в ядерной физике применяется и внесистемная единица активности нуклида в радиоактивном ис- точнике — кюри(Ки): 1 Ки = 3,7⋅ 10 10 Бк.Радиоактивный распад происходит в соответствии с так называемымиправилами смещения,позволяющими установить, какое ядро возникает в ре- зультате распада данного материнского ядра. Правила смещения:для α -распададля β -распадагде A Z X — материнское ядро, Y — символ дочернего ядра, 2 4 He — ядро гелия( α -частица), 0 е— символическое обозначение электрона (заряд его равен —1,-1а массовое число — нулю). Правила смещения являются ничем иным, как след- ствием двух законов, выполняющихся при радиоактивных распадах, — сохра- нения электрического заряда и сохранения массового числа: сумма зарядов (массовых чисел) возникающих ядер и частиц равна заряду (массовому числу) исходного ядра.Возникающие в результате радиоактивного распада ядра могут быть, всвою очередь, радиоактивными. Это приводит к возникновению цепочки, или ряда, радиоактивных превращений,заканчивающихся стабильным элемен- том. Совокупность элементов, образующих такую цепочку, называется радио- активным семейством.• Как объясняется сверхтонкая структура радиоактивного вещества за время , равное спектраль -ных линий ? трем периодам полураспада ?• Как и во сколько раз изменится число ядер• Как ( по какому закону ) изменяется со временем активность нуклида ?Из правил смещения (256.4) и (256.5) вытекает, что массовое число приα -распаде уменьшается на 4, а при β -распаде не меняется. Поэтому для всехядер одного и того же радиоактивного семейства остаток от деления массового числа на 4 одинаков. Таким образом, существует четыре различных радиоак- тивных семейства, для каждого из которых массовые числа задаются одной из следующих формул:где n — целое положительное число. Семейства называются по наиболее дол- гоживущсму (с наибольшим периодом полураспада) «родоначальнику»: семей- ства тория (от232 90 Th), нептуния (от 237 93 Np), урана (от 238 92 U) и актиния617(от 235 89 Ас). Конечными нуклидами соответственно являются 208 82 Pb, 209 83 Bi,206 82 Pb, 207 82 Pb, т. е. единственное семейство нептуния (искусственно-радиоактивные ядра) заканчивается нуклидом Bi, а все остальные (естественно- радиоактивные ядра) — нуклидами РЬ.§ 257. З АКОНОМЕРНОСТИ α α α α - РАСПАДАВ настоящее время известно более двухсотα -активных ядер, главным об-разом тяжелых (Х>200, Z>82). Только небольшая группа α -активных ядер при-ходится на область с А = 140 ÷ 160 (редкие земли). α -Распад подчиняется прави-лу смещения (256.4). Примером α -распада служит распад изотопа урана 238 U собразованием Th:Скорости вылетающих при распаде α -частиц очень велики и колеблютсядля разных ядер в пределах от 1,4 ⋅ 10 7 до 2 ⋅ 10 7 м/с, что соответствует энергиямот 4 до 8,8 МэВ. Согласно современным представлениям, ос-частицы образу- ются в момент радиоактивного распада при встрече движущихся внутри ядра двух протонов и двух нейтронов.α -Частицы, испускаемые конкретным ядром, обладают, как правило, оп-ределенной энергией. Более тонкие измерения, однако, показали, что энергети- ческий спектрα -частиц, испускаемых данным радиоактивным элементом, об-наруживает «тонкую структуру», т. е. испускается несколько групп α -частиц,причем в пределах каждой группы их энергии практически постоянны. Дис- кретный спектрα -частиц свидетельствует о том, что атомные ядра обладаютдискретными энергетическими уровнями.Для α -распада характерна сильная зависимость между периодом полу-распада T и энергией Евылетающих частиц. Эта взаимосвязь определяется1/2эмпирическим законом Гейгера — Нэттола(1912) * , который обычно выража-ют в виде зависимости между пробегомR α (расстоянием, проходимым части-цей в веществе до ее полной остановки) α -частиц в воздухе и постоянной ра-диоактивного распада λ :(257.1)где Аи В— эмпирические константы, λ = (ln2)/ T 1/2 . Согласно (257.1), чемменьше период полураспада радиоактивного элемента, тем больше пробег, а следовательно, и энергия испускаемых имα -частиц. Пробег α -частиц в воздухе(при нормальных условиях) составляет несколько сантиметров, в более плот- ных средах он гораздо меньше, составляя сотые доли миллиметра (α -частицыможно задержать обычным листом бумаги).Опыты Резерфорда по рассеянию α -частиц на ядрах урана показали, чтоα -частицы вплоть до энергии 8,8 МэВ испытывают на ядрах резерфордовское* Д. Нэттол (1890—1958) — английский физик; X. Гейгер (1882—1945) — немецкий физик.618рассеяние, т. е. силы, действующие на α -частицы со стороны ядер, описывают-ся законом Кулона. Подобный характер рассеяния α -частиц указывает на то,что они еще не вступают в область действия ядерных сил, т. е. можно сделать вывод, что ядро окружено потенциальным барьером, высота которого не мень- ше 8,8 МэВ. С другой стороны,α -частицы, испускаемые ураном, имеют энер-гию 4,2 МэВ. Следовательно, α -частицы вылетают из α -радиоактивного ядра сэнергией, заметно меньшей высоты потенциального барьера. Классическая ме- ханика этот результат объяснить не могла.Объяснение α -распада дано квантовой механикой, согласно которой вы-лет α -части цы из ядра возможен благодаря туннельному эффекту (см. § 221) —проникновению α -частицы сквозь потенциальный барьер. Всегда имеется от-личная от нуля вероятность того, что частица с энергией, меньшей высоты по- тенциального барьера, пройдет сквозь него, т. е., действительно, изα -радиоактивного ядра α -частицы могут вылетать с энергией, меньшей высотыпотенциального барьера. Этот эффект целиком обусловлен волновой природойα -частиц.Вероятность прохождения α -частицы сквозь потенциальный барьер оп-ределяется его формой и вычисляется на основе уравнения Шредингера. В про- стейшем случае потенциального барьера с прямоугольными вертикальными стенками (см. рис. 298, а) коэффициент прозрачности, определяющий вероят- ность прохождения сквозь него, определяется рассмотренной ранее формулой (221.7):Анализируя это выражение, видим, что коэффициент прозрачности Dтем больше (следовательно, тем меньше период полураспада), чем меньший по высоте (U) и ширине (l) барьер находится на путиα -частицы. Кроме того, приодной и той же потенциальной кривой барьер на пути частицы тем меньше, чем больше ее энергия Е.Таким образом качественно подтверждается закон Гейге- ра — Нэттола (см. (257.1)).§ 258. β β β β ¯ -Р АСПАД . Н ЕЙТРИНОЯвлениеβ ¯ -распада (в дальнейшем будет показано, что существует и β + -распад) подчиняется правилу смещения (256.5)и связано с выбросом электрона. Пришлось преодолеть целый ряд трудностей с трактовкойβ ¯ -распада.Во-первых, необходимо было обосновать происхождение электронов,выбрасываемых в процессе β ¯ -распада. Протонно-нейтронное строение ядра ис-ключает возможность вылета электрона из ядра, поскольку в ядре электронов нет. Предположение же, что электроны вылетают не из ядра, а из электронной619оболочки, несостоятельно, поскольку тогда должно было бы наблюдаться оп- тическое или рентгеновское излучение, что не подтверждают эксперименты.Во-вторых, необходимо было объяснить непрерывность энергетическогоспектра испускаемых электронов (типичная для всех изотопов кривая распре- деленияβ ¯ -частиц по энергиям приведена на рис. 343).Рис. 343Каким же образомβ ¯ -активные ядра, обладающие до и после распадавполне определенными энергиями, могут выбрасывать электроны со значения- ми энергии от нуля до некоторого максимального E? T.е. энергетическийmaxспектр испускаемых электронов является непрерывным? Гипотеза о том, что приβ ¯ -распаде электроны покидают ядро со строго определенными энергиями,но в результате каких-то вторичных взаимодействий теряют ту или иную долю своей энергии, так что их первоначальный дискретный спектр превращается в непрерывный, была опровергнута прямыми калориметрическими опытами. Так как максимальная энергия Emax определяется разностью масс материнского идочернего ядер, то распады, при которых энергия электрона E < E max ,как быпротекают с нарушением закона сохранения энергии. Н. Бор даже пытался обосновать это нарушение, высказывая предположение, что закон сохранения энергии носит статистический характер и выполняется лишь в среднем для большого числа элементарных процессов. Отсюда видно, насколько принципи- ально важно было разрешить это затруднение.В-третьих, необходимо было разобраться с несохранением спина при β ¯ -распаде. При β ¯ -распаде число нуклонов в ядре не изменяется (так как не изме-няется массовое число А),поэтому не должен изменяться и спин ядра, который равен целому числуh при четном Аи полуцелому h при нечетном А.Однаковыброс электрона, имеющего спин h /2, должен изменить спин ядра на величи- ну h /2.Последние два затруднения привели В. Паули к гипотезе (1931) о том, чтопри β ¯ -распаде вместе с электроном испускается еще одна нейтральная частица— нейтрино. Нейтрино имеет нулевой заряд, спин 1/2 (в единицах h )и нуле- вую (а скорее < 10-4 m e ) массу покоя; обозначается 0 0 v ~ e . Впоследствии оказа -лось , что при β ¯ - распаде испускается не нейтрино , а антнвейтрнно ( античастицапо отношению к нейтрино ; обозначается v 0 ~ ).0 e620Гипотеза о существовании нейтрино позволила Э. Ферми создать теориюβ ¯ -распада (1934), которая в основном сохранила свое значение и в настоящеевремя, хотя экспериментально существование нейтрино было доказано более чем через 20 лет (1956). Столь длительные «поиски» нейтрино сопряжены с большими трудностями, обусловленными отсутствием у нейтрино электриче- ского заряда и массы. Нейтрино — единственная частица, не участвующая ни в сильных, ни в электромагнитных взаимодействиях; единственный вид взаимо- действий, в котором может принимать участие нейтрино, — слабое взаимодей- ствие.Поэтому прямое наблюдение нейтрино весьма затруднительно. Ионизи- рующая способность нейтрино столь мала, что один акт ионизации в воздухе приходится на 500 км пути. Проникающая же способность нейтрино столь ог- ромна (пробег нейтрино с энергией 1 МэВ в свинце составляет примерно 1018м!), что затрудняет удержание этих частиц в приборах.Для экспериментального выявления нейтрино (антинейтрино) применял-ся поэтому косвенный метод, основанный на том, что в реакциях (в том числе и с участием нейтрино) выполняется закон сохранения импульса. Таким образом, нейтрино было обнаружено при изучении отдачи атомных ядер приβ ¯ -распаде.Если при β ¯ -распаде ядра вместе с электроном выбрасывается и антинейтрино,то векторная сумма трех импульсов — ядра отдачи, электрона и антинейтрино — должна быть равна нулю. Это действительно подтвердилось на опыте. Непо- средственное обнаружение нейтрино стало возможным лишь значительно позднее, после появления мощных реакторов, позволяющих получать интен- сивные потоки нейтрино.Введение нейтрино (антинейтрино) позволило не только объяснить ка-жущееся несохранение спина, но и разобраться с вопросом непрерывности энергетического спектра выбрасываемых электронов. Сплошной спектрβ ¯ -частиц обусловлен распределением энергии между электронами и антинейтри- но, причем сумма энергий обеих частиц равна Emax .В одних актах распадабольшую энергию получает антинейтрино, в других — электрон; в граничной точке кривой на рис. 343, где энергия электрона равна Eвся энергия распадаmaxуносится электроном, а энергия антинейтрино равна нулю.Наконец, рассмотрим вопрос о происхождении электронов при β ¯ -распаде. Поскольку электрон не вылетает из ядра и не вырывается из оболочки атома, было сделано предположение, чтоβ -электрон рождается в результатепроцессов, происходящих внутри ядра.Так как при β ¯ -распаде число нуклонов вядре не изменяется, a Z увеличивается на единицу (см. (265.5)), то единствен- ной возможностью одновременного осуществления этих условий является пре- вращение одного из нейтроновβ ¯ -активного ядра в протон с одновременнымобразованием электрона и вылетом антинейтрино:(258.1)В этом процессе выполняются законы сохранения электрических зарядов,импульса и массовых чисел. Кроме того, данное превращение энергетически возможно, так как масса покоя нейтрона превышает массу атома водорода, т. е.621протона и электрона вместе взятых. Данной разности в массах соответствует энергия, равная 0,782 МэВ. За счет этой энергии может происходить самопро- извольное превращение нейтрона в протон; энергия распределяется между электроном и антинейтрино.Если превращение нейтрона в протон энергетически выгодно и вообщевозможно, то должен наблюдаться радиоактивный распад свободных нейтронов (т. е. нейтронов вне ядра). Обнаружение этого явления было бы подтверждени- ем изложенной теорииβ ¯ -распада. Действительно, в 1950 г. в потоках нейтро-нов большой интенсивности, возникающих в ядерных реакторах, был обнару- жен радиоактивный распад свободных нейтронов, происходящий по схеме (258.1). Энергетический спектр возникающих при этом электронов соответст- вовал приведенному на рис. 343, а верхняя граница энергии электронов Emaxоказалась равной рассчитанной выше (0,782 МэВ).§ 259. Г АММА - ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВАЭкспериментально установлено, чтоγ -излучение (см. § 255) не являетсясамостоятельным видом радиоактивности, а только сопровождает α - и β -распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряжен- ных частиц, их распаде и т. д.γ -Спектр является линейчатым. γ -Спектр — этораспределение числа γ -квантов по энергиям (такое же толкование β -спектра да-но в §258). Дискретность γ -спектра имеет принципиальное значение, так какявляется доказательством дискретности энергетических состояний атомных ядер.В настоящее время твердо установлено, что γ -излучение испускается до-черним (а не материнским) ядром. Дочернее ядро в момент своего образования, оказываясь возбуж денным, за время примерно 10-13 — 10 -14 с, значительноменьшее времени жизни возбужденного атома (примерно 10 -8 с), переходит восновное состояние с испусканием γ -излучения. Возвращаясь в основное со-стояние, возбужденное ядро может пройти через ряд промежуточных состоя- ний, поэтомуγ -излучение одного и того же радиоактивного изотопа может со-держать несколько групп γ -квантов, отличающихся одна от другой своей энер-гией.При γ -излучении Аи Z ядра не изменяются, поэтому оно не описываетсяникакими правилами смещения. γ -Излучение большинства ядер является столькоротковолно вым, что его волновые свойства проявляются весьма слабо. Здесь на первый план выступают корпускулярные свойства, поэтомуγ -излучение рас-сматривают как поток частиц — γ -квантов. При радиоактивных распадах раз-личных ядер γ -кванты имеют энергии от 10 кэВ до 5МэВ.Ядро, находящееся в возбужденном состоянии, может перейти в основноесостояние не только при испускании γ -кванта, но и при непосредственной пере-даче энергии возбуждения (без предварительного испускания γ -кванта) одномуиз электронов того же атома. При этом испускается так называемый электрон622конверсии. Само явление называется внутренней конверсией. Внутренняя кон- версия — процесс, конкурирующий сγ -излучением.Электронам конверсии соответствуют дискретные значения энергии, за-висящей от работы выхода электрона из оболочки, из которой электрон выры- вается, и от энергии Е,отдаваемой ядром при переходе из возбужденного со- стояния в основное. Если вся энергия Евыделяется в виде у-кванта, то частота излучения v определяется из извест ного соотношения E=hv.Бели же испуска- ютЛ электроны внутренней конверсии, то их энергии равны Е—АК , E—A L , ...,где А к , A L , ...— работа выхода электрона из К-и L-оболочек. Моноэнергетич-ность электронов конверсии позволяет отличить их от β -электронов, спектр ко-торых непрерывен (см. § 258). Возникшее в результате вылета электрона ва- кантное место на внутренней оболочке атома будет заполняться электро нами с вышележащих оболочек. Поэтому внутренняя конверсия всегда сопровождает- ся характеристическим рентгеновским излучением.γ -Кванты, обладая нулевой массой покоя, не могут замедляться в среде,поэтому при прохождении γ -излучения сквозь вещество они либо поглощаются,либо рассеива ются им. γ -Кванты не несут электрического заряда и тем самымне испытывают влияния кулоновских сил. При прохождении пучка у-квантов сквозь вещество их энергия не меняется, но в результате столкновений ослаб- ляется интенсивность, изменение которой описывается экспоненциальным за- коном I = I0 е - µ x (I 0 и I — интенсивности γ -излучения на входе и выходе слоя по-глощающего вещества толщиной х, µ — коэффициент поглощения). Так как γ -излучение — самое проникающее излучение, то µ для многих веществ — оченьмалая величина; µ зависит от свойств вещества и от энергии γ -квантов.γ -Кванты, проходя сквозь вещество, могут взаимодействовать как с элек-тронной оболочкой атомов вещества, так и с их ядрами. В квантовой электро- динамике доказывается, что основными процессами, сопровождающими про- хождениеγ -излучения через вещество, являются фотоэффект, комптон-эффект(комптоновское рассеяние) и образование электронно-позитронных пар.Фотоэффект, или фотоэлектрическое поглощение γ -нзлучення, — этопроцесс, при котором атом поглощает γ -квант и испускает электрон. Так какэлектрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома, то освободив- шееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек, и фотоэф- фект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Фото- эффект является преобладающим механизмом поглощения в области малых энергийγ -квантов (E γ < 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанныхэлектронах, так как свободный электрон не может поглотить γ -квант, при этомодновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.По мере увеличения энергии γ -квантов (Е γ ≈ 0,5 МэВ) вероятность фото-эффекта очень мала и основным механизмом взаимодействия γ -квантов с веще-ством является комптоновское рассеяние (см. § 206).При Е γ >1,02 МэВ = 2m е с 2 (m е — масса покоя электрона) становится воз-можным процесс образования электронно-позитронных пар в электрических полях ядер. Вероятность этого процесса пропорциональна Z2 и увеличивается с623ростом Е γ .Поэтому при Е γ ≈ 10 МэВ основным процессом взаимодействия γ -излучения в любом веществе является образование электроиво- позитронных пар.Если энергия γ -кванта превышает энергию связи нуклонов в ядре (7—8МэВ), то в результате поглощения γ -кванта может наблюдаться ядерный фото-эффект — выброс из ядра одного из нуклонов, чаще всего нейтрона.Большая проникающая способность γ -излучения используется в гамма-дефектоскопии — методе дефектоскопии, основанном на различном поглоще- нииγ -излучения при распространении его на одинаковое расстояние в разныхсредах. Местоположение и размеры дефектов (раковины, трещины и т. д.) оп- ределяются по различию в интенсивностях излучения, прошедшего через раз- ные участки просвечиваемого изделия.Воздействие γ -излучения (а также других видов ионизирующего излуче-ния) на вещество характеризуют дозой ионизирующего излучения. Различают- ся:Поглощенная доза излучения — физическая величина, равная отношениюэнергии излучения к массе облучаемого вещества.Единица, поглощенной дозы излучения — грей (Гр) * : 1 Гр= 1 Дж/кг —доза из лучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия любого ионизирующего излучения 1 Дж.Экспозиционная доза излучения — физическая величина, равная отноше-нию суммы электрических зарядов всех ионов одного знака, созданных элек- тронами, освобожденными в облученном воздухе (при условии полного ис- пользования ионизирующей способности электронов), к массе этого воздуха.Единила экспозиционной дозы излучения — кулон на килограмм (Кл/кг);внеси стемной единицей является рентген (Р): 1 Р=2,58 ⋅ 10 -4 Кл/кг.Биологическая доза — величина, определяющая воздействие излученияна организм.Единица биологической дозы — биологический эквивалент рентгена(бэр): 1 бэр — доза любого вида ионизирующего излучения, производящая та- кое же биоло гическое действие, как и доза рентгеновского илиγ -излучения в 1Р (1 бэр= 10 -2 Дж/кг).Мощность дозы излучения — величина, равная отношению дозы излуче-ния к времени облучения. Различают: 1) мощность поглощенной дозы (единица — грей на секунду (Гр/с)); 2) мощность экспозиционной дозы (единица — ам- пер на килограмм (А/кг)).§ 260. Р ЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ γ γ γ γ - ИЗЛУЧЕНИЯ( ЭФФЕКТ М БССБАУЭРА ** )Как уже указывалось, дискретный спектрγ -излучения обусловлен дис-* С. Грей (1666—1736) — английский физик.** Р. Мёссбауэр (р. 1929) — немецкий физик.624кретностью энер гетических уровней ядер атомов. Однако, как следует из соот- ношения неопределен ностей (215.5), энергия возбужденных состояний ядра принимает значения в пределах? Е ≈ h/ ? t, где ? t — время жизни ядра в возбу-жденном состоянии. Следовательно, чем меньше ? t, тем больше неопределен-ность энергии ? Евозбужденного состояния. ? Е = 0 только для основного со-стояния стабильного ядра (для него ? t →∞ ). Неопределенность энергии кванто-во-механической системы (например, атома), обладающей дискретными уров- нями энергии, определяет естественную ширину энергетического уровня (Г). Например, при времени жизни возбужденного состояния, равного 10-13 с, есте-ственная ширина энергетического уровня примерно 10 -2 эВ.Неопределенность энергии возбужденного состояния, обусловливаемаяконечным временем жизни возбужденных состояний ядра, приводит к немоно- хроматичностиγ -излучения, испускаемого при переходе ядра из возбужденногосостояния в основное. Эта немонохроматичность называется естественной ши- риной линииγ -излучения.При прохождении γ -излучения в веществе помимо описанных выше (см.§ 259) процессов (фотоэффект, комптоновское рассеяние, образование элек- тронно-позитронных пар) должны в принципе наблюдаться также резонансные эффекты. Если ядро облучитьγ -квантами с энергией, равной разности одного извозбужденных и основного энергетических состояний ядра, то может иметь ме- сто резонансное поглощениеγ -нзлучення ядрами: ядро поглощает γ -квант тойже частоты, что и частота излучаемого ядром γ -кванта при переходе ядра изданного возбужденного состояния в основное.Наблюдение резонансного поглощения γ -квантов ядрами считалось дол-гое время невозможным, так как при переходе ядра из возбужденного состоя- ния с энергией Е восновное (его энергия принята равной нулю) излучаемыйγ -квант имеет энергию Е γ несколько меньшую, чем Е,из-за отдачи ядра в процес-се излучения:где Е я — кинетическая энергия отдачи ядра. При возбуждении же ядра и пере-ходе его из основного состояния в возбужденное с энергией Е γ -квант должениметь энергиюгде Е я — энергия отдачи, которую γ -квант должен передать поглощающемуядру.Таким образом, максимумы линий излучения и поглощения сдвинутыдруг относительно друга на величину 2 Е я (рис. 344). Используя закон сохране-ния импульса, согласно которому в рассмотренных процессах излучения и по- глощения импульсыγ -кванта и ядра должны быть равны, получим(260.1)625Рис. 344Например, возбужденное состояние изотопа иридия191 77 Ir имеет энергию129 кэВ, а время его жизни порядка 10 - 10 с, так что ширина уровня Г ≈ 4 ⋅ 10 - 5 эВ.Энергия же отдачи при излучении с этого уровня, согласно (260.1), приблизи- тельно равна 5⋅ 10 - 2 эВ, т. е. на три порядка больше ширины уровня. Естествен-но, что никакое резонансное поглощение в таких условиях невозможно (для на- блюдения резонансного поглощения линия поглощения должна совпадать с ли- нией излучения). Из опытов также следовало, что на свободных ядрах резо- нансное поглощение не наблюдается.Резонансное поглощение γ -излучения в принципе может быть полученотолько при компенсации потери энергии на отдачу ядра.Эту задачу решил в 1958 г. Р. Мёссбауэр (Нобелевская премия 1961 г.). Он исследовал излучение и поглощениеγ -излучения в ядрах, находящихся в кристаллической решетке, т. е.в связанном состоянии (опыты проводились при низкой температуре). В дан- ном случае импульс и энергия отдачи передаются не одному ядру, излучающе- му (поглощающему)γ -квант, а всей кристаллической решетке в целом. Так каккристалл обладает гораздо большей массой по сравнению с массой отдельного ядра, то в соответствии с формулой (260.1) потери энергии на отдачу становят- ся исчезающе малыми. Поэтому процессы излучения и поглощенияγ -излученияпроисходят практически без потерь энергии (идеально упруго).Явление упругого испускания (поглощения) γ -квантов атомными ядрами,связанными в твердом теле, не сопровождающееся изменением внутренней энергии тела, называется эффектом Мёссбауэра. При рассмотренных условиях линии излучения и поглощенияγ -излучения практически совпадают и имеютвесьма малую ширину, равную естественной ширине Г.Эффект Мёссбауэра был открыт на глубоко охлажденном191 77 Ir (с понижением температуры коле-бания решетки «замораживаются»), а впос ледствии обнаружен более чем на 20 стабильных изотопах (например,57 Fe, 67 Zn).Мёссбауэр вооружил экспериментальную физику новым методом изме-рений невиданной прежде точности. Эффект Мёссбауэра позволяет измерять энергии (частоты) излучения с относительной точностью Г/Е = 10- 15 ÷ 10 -17 , по-этому во многих областях науки и техники может служить тончайшим «инст- рументом» различного рода измерений. Появилась возможность измерять тон- чайшие деталиγ -линий, внутренние магнитные и электрические поля в твер-дых телах и т. д.626Внешнее воздействие (например, зеемановское расщепление ядерныхуровней или смещение энергии фотонов при движении в поле тяжести) может привести к очень малому смещению либо линии поглощения, либо линии излу- чения, иными словами, привести к ослаблению или исчезновению эффекта Мёссбауэра. Это смещение, следовательно, может быть зафиксировано. Подоб- ным образом в лабораторных условиях был обнаружен (I960) такой тончайший эффект, как «гравитационное красное смещение», предсказанный общей теори- ей относительности Эйнштейна.§ 261. М ЕТОДЫ НАБЛЮДЕНИЯ И РЕГИСТРАЦИИ РАДИОАКТИВНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ И ЧАСТИЦПрактически все методы наблюдения и регистрации радиоактивных из-лучений ( α , β , γ )и частиц основаны на их способности производить ионизацию ивозбуждение атомов среды. Заряженные частицы вызывают эти процессы непо- средственно, аγ -кванты и нейтроны обнаруживаются по ионизации, вызывае-мой возникающими в результате их взаимодействия с электронами и ядрами атомов среды быстрыми заряженными частицами. Вторичные эффекты, сопро- вождающие рассмотренные процессы, такие, как вспышка света, электрический ток, потемнение фотопластинки, позволяют регистрировать пролетающие час- тицы, считать их, отличать друг от друга и измерять их энергию. Приборы, применяемые для регистрации радиоактивных излучений и частиц, делятся на две группы:1) приборы, позволяющие регистрировать прохождение частицы черезопределенный участок пространства и в некоторых случаях определять ее ха- рактеристики, например энергию (сцинтилляционный счетчик, черепковский счетчик, импульсная ионизационная камера, газоразрядный счетчик, полупро- водниковый счетчик);2) приборы, позволяющие наблюдать, например, фотографировать, следытреки) частиц в веществе (камера Вильсона, диффузионная камера, пузырько- вая камера, ядерные фотоэмульсии).1. Сцинтилляцнонный счетчик. Наблюдение сцинтилляций — вспы-шек света при по падании быстрых частиц на флуоресцирующий экран — пер- вый метод, позволивший У. Круксу* и Э. Резерфорду на заре ядерной физики(1903) визуально регистрировать α -часгицы. Сцинтилляционный счетчик — де-тектор ядерных частиц, основными элементами которого являются сцинтилля- тор (кристаллофосфор) (см. § 245) и фотоэлектронный умножитель (см. § 105), позволяющий преобразовывать слабые световые вспышки в электрические им- пульсы, регистрируемые электронной аппаратурой. Обычно в качестве сцин- тилляторов используют кристаллы некоторых неорганических (ZnS дляα -частиц; Nal-Tl, CsI-Tl — для β ¯ -частиц и γ -квантов) или органических (антра-цен, пластмассы — для γ -квантов) веществ.* У. Крукс (1832—1919) — английский физик и химик.627Сцинтилляционные счетчики обладают высоким разрешением по време-ни (10 - 10 —10 -5 с), определяемым родом регистрируемых частиц, сцинтиллято-ром и разрешающим временем используемой электронной аппаратуры (оно до- ведено сейчас до 10- 8 —10 - 10 с). Для этого типа счетчиков эффективность реги-страции — отношение числа зарегистрированных частиц к полному числу час- тиц, пролетевших в счетчике, примерно 100% для заряженных частиц и 30% дляγ -квантов. Так как для многих сцинтилляторов (Nal-Tl, CsI-Tl, антрацен,стильбен) интенсивность световой вспышки в широком интервале энергий про- порциональна энергии первичной частицы, то счетчики на данных сцинтилля- торах применяются для измерения энергии регистрируемых частиц.2. Черенковскмй счетчик. Принцип его работы и свойства излученияВавилова — Черенкова, лежащие в основе работы счетчика, рассмотрены в § 189. Назначение черенковских счетчиков — это измерение энергии частиц, движущихся в веществе со скоростью, превышающей фазовую скорость света в данной среде, и разделение этих частиц по массам. Зная угол испускания излу- чения (см. (189.1)), можно определить скорость частицы, что при известной массе частицы равносильно определению ее энергии. С другой стороны, если масса частицы не известна, то она может быть определена по независимому из- мерению энергии частицы. Кроме того, при наличии двух пучков частиц с раз- ными скоростями будут различными и углы испускания излучений, по которым можно искомые частицы определить. Для черенковских счетчиков разрешение по скоростям (иными словами, по энергиям) составляет 10- 3 —10 - 5 . Это позво-ляет отделять элементарные частицы друг от друга при энергиях порядка 1 ГэВ, когда углы испускания излучения различаются очень мало. Время раз- решения счетчиков достигает 10- 9 с. Счетчики Черепкова устанавливаются накосмических кораблях для исследования космического излучения.3. Импульсная ионизационная камера — это детектор частиц, действиекоторого основано на способности заряженных частиц вызывать ионизацию га- за. Ионизационная камера представляет собой заполненный газом электриче- ский конденсатор, к электродам которого подается постоянное напряжение. Ре- гистрируемая частица, попадая в пространство между электродами, ионизует газ. Напряжение подбирается так, чтобы все образовавшиеся ионы, с одной стороны, доходили до электродов, не успев рекомбинировать, а с другой — не азгонялись настолько сильно, чтобы производить вторичную ионизацию. Сле- довательно, в ионизационной камере на ее электродах непосредственно соби- раются ионы, возникшие под действием заряженных частиц. Ионизационные камеры бывают двух типов: интегрирующие (в них измеряется суммарный ионизационный ток) и импульсные, являющиеся, по существу, счетчиками (в них регистрируется прохождение одиночной частицы и измеряется ее энергия, правда, с довольно низкой точностью, обусловленной малостью выходного им- пульса).4. Газоразрядный счетчик. Газоразрядный счетчик обычно выполняетсяв виде наполненного газом металлического цилиндра (катод) с тонкой проволо- кой (анод), натянутой по его оси. Хотя газоразрядные счетчики по конструкции похожи на ионизационную камеру, однако в них основную роль играет вторич-628ная ионизация, обусловленная столкновениями первичных ионов с атомами и молекулами газа и стенок. Можно говорить о двух типах газоразрядных счет- чиков: пропорциональных (в них газовый разряд несамостоятельный (см. § 106), т. е. гаснет при прекращении действия внешнего ионизатора) и счетчиках Гейгера — Мюллера* (в них разряд самостоятельный (см. § 107), т. е. поддер-живается после прекращения действия внешнего ионизатора).В пропорциональных счетчиках рабочее напряжение выбирается так,чтобы они работали в области вольт-амперной характеристики, соответствую- щей несамостоя тельному разряду, в которой выходной импульс пропорциона- лен первичной иониза ции, т. е. энергии влетевшей в счетчик частицы. Поэтому они не только регистрируют частицу, но и измеряют ее энергию. В пропорцио- нальных счетчиках импульсы, вызыва емые отдельными частицами, усилива- ются в 103 —10* раз (иногда и в 10 6 раз).Счетчик Гейгера -— Мюллера по конструкции и принципу действия су-щественно не отличается от пропорционального счетчика, но работает в облас- ти вольт-амперной характеристики, соответствующей самостоятельному разря- ду (см. § 107), когда выход ной импульс не зависит от первичной ионизации. Счетчики Гейгера — Мюллера регистрируют частицу без измерения ее энер- гии. Коэффициент усиления этих счетчиков составляет 108 . Для регистрациираздельных импульсов возникший разряд следует гасить. Для этого, например, последовательно с нитью включается такое сопротивление, чтобы возникший в счетчике разряд вызывал на сопротивлении падение напряже ния, достаточное для прерывания разряда. Временное разрешение счетчиков Гейгера— Мюллера составляет 10- 3 —10 - 7 с. Дня газоразрядных счетчиков эффективность регист-рации равна примерно 100% для заряженных частиц и примерно 5% для 7- квантов.5. Полупроводниковый счетчик — это детектор частиц, основным эле-ментом которого является полупроводниковый диод (см. § 250). Время разре- шения составляет примерно 10- 9 с. Полупроводниковые счетчики обладают вы-сокой надежностью, могут работать в магнитных полях. Малая толщина рабо- чей области (порядка сотни микрометров) полупроводниковых счетчиков не позволяет применять их для измерения высокоэнергетических частиц.6. Камера Вильсона ** (1912) — это старейший и на протяжении многихдесятилетий (вплоть до 50—60-х годов) единственный тип трекового детектора. Выполняется обычно в виде стеклянного цилиндра с плотно прилегающим поршнем. Цилиндр наполняется нейтральным газом (обычно гелием или арго- ном), насыщенным парами воды или спирта. При резком, т. е. адиабатическом, расширении газа пар становится пересыщенным и на траекториях частиц, про- летевших через камеру, образуются треки из тумана. Образовавшиеся треки для воспроизводства их пространственного расположения фотографируются сте- реоскопически, т. е. под разными углами. По характеру и геометрии треков можно судить о типе прошедших через камеру частиц (например,α -частица* Э. Мюллер (1911—1977) — немецкий физик. 482629оставляет сплошной жирный след, β ¯ -частица — тонкий), об энергии частиц (повеличине пробега), о плотности ионизации (по количеству капель на единицу длины трека), о количестве участвующих в реакции частиц.Российский ученый Д. В. Скобельцын (1892—1990) значительно расщи-рил возможности камеры Вильсона, поместив ее в сильное магнитное поле (1927). По искривлению траектории заряженных частиц в магнитном поле, т. е. по кривизне трека, можно судить о знаке заряда, а если известен тип частицы (ее заряд и масса), то по радиусу кривизны трека можно определить энергию и массу частицы даже в том случае, если весь трек в камере не умещается (для реакций при высоких энергиях вплоть до сотен мегаэлектрон-вольт). Недоста- ток камеры Вильсона — ее малое рабочее время, составляющее примерно 1% от времени, затрачиваемого для подготовки камеры к последующему расшире- нию (выравнивание температуры и давления, рассасывание остатков треков, насыщение паров), а также трудоемкость обработки результатов.7. Диффузионная камера(1936) — это разновидность камеры Вильсона.В ней рабочим веществом также является пересыщенный пар, но состояние пе- ресыщения создается диффузией паров спирта от нагретой (до 10°С) крышки ко дну, охлаждаемому (до — 60°С) твердой углекислотой. Вблизи дна возникает слой пересыщенного пара толщиной примерно 5 см, в котором проходящие за- ряженные частицы создают треки. В отличие от вильсоновской диффузионная камера работает непрерывно. Кроме того, из-за отсутствия поршня в ней могут создаваться давления до 4 МПа, что значительно увеличивает ее эффективный объем.8. Пузырьковая камера (1952; американский физик Д. Глезер (р. 1926)).В пузырьковой камере рабочим веществом является перегретая (находящаяся под давлением) прозрачная жидкость (жидкие водород, пропан, ксенон). Запус- кается камера, так же как и камера Вильсона, резким сбросом давления, пере- водящим жидкость в неустойчивое перегретое состояние. Пролетающая в это время через камеру заряженная частица вызывает резкое вскипание жидкости, и траектория частицы оказывается обозначенной цепочкой пузырьков пара — образуется трек, который, как и в камере Вильсона, фотографируется. Пузырьковая камера работает циклами. Размеры пузырьковых камер примерно такие же, как камеры Вильсона (от десятков сантиметров до 2 м), но их эффек- тивный объем на 2—3 порядка больше, так как жидкости гораздо плотнее газов. Это позволяет использовать пузырьковые камеры для исследования длинных цепей рождений и распадов частиц высоких энергий.9. Ядерные фотоэмульсии (1927; российский физик Л. В. Мысовский(1888—1939)) — это простейший трековый детектор заряженных частиц. Про- хождение заряженной частицы в эмульсии вызывает ионизацию, приводящую к образованию центров скрытого изображения. После проявления следы заря- женных частиц обнаруживаются в виде цепочки зерен металлического серебра. Так как эмульсия — среда более плотная, чем газ или жидкость, используемые в вильсоновской и пузырьковой камерах, то при прочих равных условиях длина трека в эмульсии более короткая. Так, трек длиной 0,05 см в эмульсии эквива- лентен треку в 1 м в камере Вильсона. Поэтому фотоэмульсии применяются для630изучения реакций, вызываемых частицами в ускорителях сверхвысоких энергий и в космических лучах. В практике исследований высоко энергетических час- тиц используются также так называемые стоны — большое число маркирован- ных фотоэмульсионных пластинок, помещаемых на пути частиц и после прояв- ления промеряемых под микроскопом.В настоящее время методы наблюдения и регистрации заряженных час-тиц и излучений настолько разнообразны, что их описание выходит за рамки курса.Большое значение начинают играть сравнительно новые (1957) приборы— искровые камеры, использующие преимущества счетчиков(быстрота реги- страции) и трековых детекторов(полнота информации о треках). Говоря об- разно, искровая камера — это набор большого числа очень мелких счетчиков. Поэтому она близка к счетчикам, так как информация в ней выдается немед- ленно, без последующей обработки, и в то же время обладает свойствами тре- кового детектора, так как по действию многих счетчиков можно установить треки частиц.§ 262. Я ДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ ТИПЫЯдерные реакции — это превращения атомных ядер при взаимодействиис элементарными частицами (в том числе и с γ -квантами) или друг с другом.Наиболее распространенным видом ядерной реакции является реакция, записы- ваемая символически следующим образом:где X и Y — исходное и конечное ядра, аи b— бомбардирующая и испускае- мая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.В ядерной физике эффективность взаимодействия характеризуют эффек-тивным сечением а.С каждым видом взаимодействия частицы с ядром связы- вают свое эффективное сечение: эффективное сечение рассеяния определяет процессы рассеяния, эффективное сечение поглощения — процессы поглоще- ния. Эффективное сечение ядерной реакциигде N— число частиц, падающих за единицу времени на единицу площади по- перечного сечения вещества, имеющего в единице объема nядер, dN— число этих частиц, вступающих в ядерную реакцию в слое толщиной dх.Эффектив- ное сечение аимеет размерность площади и характеризует вероятность того, что при падении пучка частиц на вещество произойдет реакция.Единица эффективного сечения ядерных процессов — барн (1 барн =10 -28 м 2 ).В любой ядерной реакции выполняются законы сохранения электриче-ских зарядов и массовых чисел:сумма зарядов (и сумма массовых чисел) ядер и частиц, вступающих в ядерную реакцию, равна сумме зарядов (и сумме массо-631вых чисел) конечных продук тов (ядер и частиц) реакции. Выполняются также законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.В отличие от радиоактивного распада, который протекает всегда с выде-лением энергии, ядерные реакции могут быть как экзотермическими (с выделе- нием энергии), так и эндотермическими (с поглощением энергии).Важную роль в объяснении механизма многих ядерных реакций сыгралопред положение Н. Бора (1936) о том, что ядерные реакции протекают в две стадии по следующей схеме:(262.1)Первая стадия — это захват ядром X частицы а,приблизившейся к немуна расстояние действия ядерных сил (примерно 2 ⋅ 10 -15 м), и образование про-межуточного ядра С, называемого составным (или компаунд-ядром). Энергия влетевшей в ядро частицы быстро распределяется между нуклонами составного ядра, в результате чего оно оказывается в возбужденном состоянии. При столк- новении нуклонов составного ядра один из нуклонов (или их комбинация, на- пример дейтрон — ядро тяжелого изотопа водорода — дейтерия, содержащее один протон и один нейтрон) илиα -частица может получить энергию, доста-точную для вылета из ядра. В результате возможна вторая стадия ядерной реак- ции — распад составного ядра на ядро Y и частицу b.В ядерной физике вводится характерное ядерное время — время, необхо-димое для пролета частицей расстояния порядка величины, равной диаметру ядра (d≈ 10 -15 м). Так, для частицы с энергией 1 МэВ (что сответствует ее ско-рости v ≈ 10 7 м/с) характер ное ядерное время τ = 10 -15 м/10 7 м/с = 10 -22 с. С дру-гой стороны, доказано, что время жизни составного ядра равно 10 - 16 —10 - 12 с,т.е. составляет (10 6 —10 10 ) т. Это же означает, что за время жизни составногоядра может произойти очень много столкновении нуклонов между собой, т. е. перераспределение энергии между нуклонами действительно возможно. Следо- вательно, составное ядро живет настолько долго, что полностью «забывает», каким образом оно образовалось. Поэтому характер распада составного ядра (испускание им частицы b)— вторая стадия ядерной реакции — не зависит от способа образования составного ядра — первой стадии.Если испущенная частица тождественна с захваченной (b = а), тосхема(262.1) описывает рассеяние частицы: упругое — при Е b = Е а ,неупругое — приЕ b ≠ Е а .Если же испущенная частица не тождественна с захваченной (b ≠ а),тоимеем дело с ядерной реакцией в прямом смысле слова.Некоторые реакции протекают без образования составного ядра, они на-зываются прямыми ядерными взаимодействиями (например, реакции, вызы- ваемые быстрыми нуклонами и дейтронами).Ядерные реакции классифицируются по следующим признакам:1)по роду участвующих в них частиц— реакции под действием нейтро-нов; реакции под действием заряженных частиц (например, протонов, дейтро- нов,α -частиц); реакции под действием γ -квантов;2) по энергии вызывающих их частиц —реакции при малых энергиях (по-рядка электрон-вольт), происходящие в основном с участием нейтронов; реак-632ции при средних энергиях (до нескольких мегаэлектрон-вольт), происходящие с участиемγ -квантов и заряженных частиц (протоны, α -частицы); реакции привысоких энергиях (сотни и тысячи мегаэлектрон-вольт), приводящие к рожде- нию отсутствующих в свободном состоянии элементарных частиц и имеющие большое значение для их изучения;3) по роду участвующих в них ядер— реакции на легких ядрах (А <50);реакции на средних ядрах (50 < A < 100); реакции на тяжелых ядрах (А > 100);4) по характеру происходящих ядерных превращений— реакции с испус-канием нейтронов; реакции с испусканием заряженных частиц; реакции захвата (в этих реакциях составное ядро не испускает никаких частиц, а переходит в основное состояние, излучая один или несколькоγ -квантов).Первая в истории ядерная реакция осуществлена Э. Резерфордом (1919)при бомбардировке ядра азота α -частицами, испускаемыми радиоактивным ис-точником:§ 263. П ОЗИТРОН . β β β β + -Р АСПАД . Э ЛЕКТРОННЫЙ ЗАХВАТП. Дираком было получено (1928) релятивистскоеволновое уравнениедля электрона, которое позволило объяснить все основные свойства электрона, в том числе наличие у него спина и магнитного момента. Замечательной осо- бенностью уравнения Дирака оказалось то, что из него для полной энергии сво- бодного электрона получались не только положительные, но и отрицательные значения. Этот результат мог быть объяснен лишь предположением о сущест- вовании античастицы электрона — позитрона.Гипотеза Дирака, недоверчиво воспринимавшаяся большинством физи-ков, была блестяще подтверждена в 1932 г. К. Андерсоном (американский фи- зик (р. 1905); Нобелевская премия 1936 г.), обнаружившим позитрон в составе космического излучения. Существование позитронов было доказано наблюде- нием их треков в камере Вильсона, помещенной в магнитном поле. Эти части- цы в камере отклонялись так, как отклоняется движущийся положительный за- ряд. Опыты показали, что позитрон+ 0 е— частица с массой покоя, в точностиравной массе покоя электрона, и спином 1/2 (в единицах h ), несущая положи- тельный электрический заряд +е.Жолио-Кюри — Фредерик (1900—1958) и Ирен (1897—1956), — бомбар-дируя раз личные ядра α -частицами (1934), обнаружили искусственно-радиоактивные ядра (см. § 255), испытывающие β ¯ -распад, а реакции на В, А1 иMg привели к искусственно-радиоактивным ядрам, претерпевающим β + -распад,или позтьолнный распад:633(Нобелевская премия 1956 г.) Наличие в этих реакциях позитронов дока-зано при изучении их треков в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле.Таким образом, в экспериментах Жолио-Кюри, с одной стороны, открытаискусственная радиоактивность, а с другой — впервые обнаружен позитронный радиоактивный распад.Энергетический β + -спектр, как и β ¯ -спектр (см. § 258), непрерывен. β + -Распад подчиняется следующему правилу смещения:Процесс β + -распада протекает так, как если бы один из протонов ядрапревратился в нейтрон, испустив при этом позитрон и нейтрино:(263.1)причем одновременный выброс нейтрино вытекает из тех же соображений, ко- торые излагались при обсужденииβ ¯ -распада (см. § 258). Так как масса покояпротона меньше, чем у нейтрона, то реакция (263.1) для свободного протона наблюдаться не может. Однако для протона, связанного в ядре благодаря ядер- ному взаимодействию частиц, эта реакция оказывается энергетически возмож- ной.Вскоре после опытов К. Андерсона, а также обоснования β + - распада бы-ло установлено, что позитроны могут рождаться при взаимодействии у-квантов большой энергии (Еγ > 1,02 МэВ = 2m e c 2 ) с веществом (см. также § 259). Этотпроцесс идет по схемеЭлектронно-позитронные пары были действительно обнаружены в по-мещенной в магнитное поле камере Вильсона, в которой электрон и позитрон, имеющие проти воположные по знаку заряды, отклонялись в противоположные стороны.Для выполнения соотношения (263.2) помимо выполнения законов со-хранения энергии и импульса необходимо, чтобы фотон обладал целым спи- ном, равным 0 или 1, поскольку спины электрона и позитрона равны ½. Ряд экспериментов и теоретических выкладок привели к выводу, что спин фотона634действительно равен 1 (в единицах h ).При столкновении позитрона с электроном происходит их аннигиляция:(263.3)в ее процессе электронно-позитронная пара превращается в два γ -кванта, при-чем энергия пары переходит в энергию фотонов. Появление в этом процессе двухγ -квантов следует из закона сохранения импульса и энергии. Реакция(263.3) подтверждена прямыми экспериментами под руководством российского ученого Л. А. Арцимовича (1909—1973). Процессы (263.2) и (263.3) — процес- сы возникновения и превращения электронно-позитронных пар — являются примером взаимосвязи различных форм материи:вэтих процессах материя в форме вещества превращается в материю в форме электромагнитного поля, и наоборот.Для многих ядер превращение протона в нейтрон, помимо описанногопроцесса (263.1), происходит посредством электронного захвата, или е-захвата, при котором ядро спонтанно захватывает электрон с одной из внутренних обо- лочек атома (К, Lи т. д.), испуская нейтрино:Необходимость появления нейтрино вытекает из закона сохранения спи-на. Схема е-захвата:т. е. один из протонов ядра превращается в нейтрон, заряд ядра убываетна единицу и оно смещается влево так же, как и при позитронием распаде.Электронный захват обнаруживается по сопровождающему его характе-ристическому рентгеновскому излучению, возникающему при заполнении об- разовавшихся вакансий в электронной оболочке атома (именно так е-захват и был открыт в 1937 г.). При е-захвате, кроме нейтрино, никакие другие частицы не вылетают, т. е. вся энергия распада уносится нейтрино. В этом е-захват (час- то его называют третьим видомβ β β β -распада) существенно отличается от β ± -распадов, при которых вылетают две частицы, между которыми и распределя- ется энергия распада. Примером электронного захвата может служить превра- щение радиоактивного ядра бериллия7 4 Be в стабильное ядро 7 3 Li:§ 264. О ТКРЫТИЕ НЕЙТРОНА . Я ДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕЙТРОНОВНейтроны, являясь электрически нейтральными частицами, не испыты-вают кулоновского отталкивания и поэтому легко проникают в ядра и вызыва- ют разнообразные ядерные превращения. Изучение ядерных реакций под дей- ствием нейтронов не только сыграло огромную роль в развитии ядерной физи-635ки, но и привело к появлению ядерных реакторов (см. § 267).Краткая история открытия нейтрона такова. Немецкие физики В. Боте(1891—1957) и Г. Беккер в 1930 г., облучая рад элементов, в частности ядра бе- риллия,α -частицами, обнаружили возникновение излучения очень большойпроникающей способности. Так как сильно проникающими могут быть только нейтральные частицы, то было высказано предположение, что обнаруженное излучение — жесткиеγ -лучи с энергией примерно 7 МэВ (энергия рассчитанапо поглощению). Дальнейшие эксперименты (Ирен и Фредерик Жолио-Кюри, 1931 г.) показали, что обнаруженное излучение, взаимодействуя с водородосо- держащими соединениями, например парафином, выбивает протоны с пробега- ми примерно 26 см. Из расчетов следовало, что для получения протонов с та- кими пробегами предполагаемыеγ -кванты должны были обладать фантастиче-ской по тем временам энергией 50 МэВ вместо расчетных 7 МэВ!Пытаясь найти объяснение описанным экспериментам, английский физикД. Чэдвик (1891—1974) предположил (1932), а впоследствии доказал, что новое проникающее излучение представляет собой неγ -кванты, а поток тяжелых ней-тральных частиц, названных им нейтронам. Таким образом, нейтроны были об- наружены в следующей ядерной реакции:Эта реакция не является единственной, ведущей к выбрасыванию из ядернейтронов (например, нейтроны возникают в реакциях 7 3 Li ( α , n) 10 5 В и 10 5 В ( α ,n) 14 N).7Характер ядерных реакций под действием нейтронов зависит от их ско-рости (энергии). В зависимости от энергии нейтроны условно делят на две группы: медленные и быстрые. Область энергий медленных нейтронов включа- ет в себя область ультрахолодных (с энергией до 10- 7 эВ), очень холодных(10 - 7 — 10 -4 эВ), холодных (10 - 4 — 10 - 3 эВ), тепловых (10 - 3 — 0,5 эВ) и резо-нансных (0,5 — 10 4 эВ) нейтронов. Ко второй группе можно отнести быстрые(10 4 — 10 8 эВ), высокоэнергетнчные (10 8 — 10 10 эВ) и релятивистские ( ≥ 10 10эВ) нейтроны.Замедлить нейтроны можно пропуская их через какое-либо вещество, со-держащее водород (например, парафин, вода). Проходя через такие вещества, быстрые нейтроны испытывают рассеяние на ядрах и замедляются до тех пор, пока их энергия не станет равной, например, энергии теплового движения ато- мов вещества замедлителя, т. е. равной приблизительно kT.Медленные нейтроны эффективны для возбуждения ядерных реакций,так как они относительно долго находятся вблизи атомного ядра. Благодаря этому вероятность захвата нейтрона ядром становится довольно большой. Од- нако энергия медленных нейтронов мала, потому они не могут вызывать, на- пример, неупругое рассеяние. Для медленных нейтронов характерны упругое рассеяние на ядрах (реакция типа (n, n)) и радиационный захват (реакция типа (n,γ )). Реакция (n, γ )приводит к образованию нового изотопа исходного веще-ства:636напримерЧасто в результате (n, γ )-реакции образуются искусственные радиоак-тивные изотопы, дающие, как правило, β ¯ -распад. Например, в результате ре-акцииобразуется радиоактивный изотоп 32 P,претерпевающий β ¯ -распад с об-15разованием, стабильного изотопа серы:Под действием медленных нейтронов на некоторых легких ядрах наблю-даются также реакции захвата нейтронов с испусканием заряженных частиц — протонов иα -частиц (под действием тепловых нейтронов):(используется для обнаружения нейтронов) или(используется для получения трития, в частности в термоядерных взры-вах; см. § 268).Реакции типа (n, p) и (n, α ), т. е. реакции с образованием заряженных час-тиц, происходят в основном под действием быстрых нейтронов, так как в слу- чае медленных нейтронов энергии атомного ядра недостаточно для преодоле- ния потенциального барьера, препятствующего вылету протонов иα -частиц.Эти реакции, как и реакции радиационного захвата, часто ведут к образованиюβ ¯ -активных ядер.Для быстрых нейтронов наблюдается неупругое их рассеяние, совер-шающееся по схемегде вылетающий из ядра нейтрон обозначен как 1 0 n',поскольку это не тот ней-трон, который проник в ядро; 1 n' имеет энергию, меньшую энергии 1 n,а ос-0 0тающееся после вылета нейтрона ядро находится в возбужденном состоянии (отмечено звездочкой), поэтому его переход в нормальное состояние сопрово- ждается испусканиемγ -кванта.Когда энергия нейтронов достигает значений 10 МэВ, становятся воз-можными реакции типа (n, 2n). Например, в результате реакцииобразуется β ¯ -активный изотоп 238 92 U, претерпевающий распад по схеме637• Под действием каких частиц ( α - частиц , нейтронов ) ядерные реакции более эффективны ? Почему ?• Чем объяснить выброс нейтрино ( антинейтрино ) при β ± - распадах ?• По каким признакам можно классифицировать ядерные реакции ?• Запишите схему е - захвата . Что сопровождает е - захват ? В чем его отличие от β ± - распадов ? §265. Р ЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДРАК началу 40-х годов работами многих ученых — Э. Ферми (Италия), О.Гана (1879—1968), Ф. Штрассмана (1902—1980) (ФРГ), О. Фриша (1904— 1979) (Великобритания), Л. Мейтнер (1878—1968) (Австрия), Г.Н. Флерова (р. 1913), К.Н. Петржака (Россия) — было доказано, что при облучении урана ней- тронами образуются элементы из середины Периодической системы — лантан и барий. Этот результат положил начало ядерным реакциям совершенно нового типа — реакциям деления ядра, заключающимся в том, что тяжелое ядро под действием нейтронов, а как впоследствии оказалось и других частиц делится на несколько более легких ядер (осколков), чаще всего на два ядра, близких по массе.Замечательной особенностью деления ядер является то, что оно сопрово-ждается испусканием двух-трех вторичных нейтронов, называемых нейтронами деления. Так как для средних ядер число нейтронов примерно равно числу про- тонов (N/Z≈ 1), а для тяжелых ядер число нейтронов значительно превышаетчисло протонов (N/2 ≈ 1,6),то образовавшиеся осколки деления перегруженынейтронами, в результате чего они и выделяют нейтроны деления. Однако ис- пускание нейтронов деления не устраняет полностью перегрузку ядер-осколков нейтронами. Это приводит к тому, что осколки оказываются радиоактивными. Они могут претерпеть рядβ ¯ -превращений, сопровождаемых испусканием γ -квантов. Так как β ¯ -распад сопровождается превращением нейтрона в протон(см. (258.1)), то после цепочки β ¯ -превращений соотношение между нейтронамии протонами в осколке достигнет величины, соответствующей стабиль ному изотопу. Например, при делении ядра урана235 92 U(265.1)осколок деления l39 54 Xe в результате трех актов β ¯ -распада превращается в ста-бильный изотоп лантана l39 La:57Осколки деления могут быть разнообразными, поэтому реакция (265.1)не едиственная приводящая к делению 235 U. Возможна, например, реакция638Большинство нейтронов при делении испускается практически мгновен-но (t ≤ 10 - 14 с), а часть (около 0,7%) испускается осколками деления спустя не-которое время после деления (0,05 с ≤ t ≤ 60 с). Первые из них называютсямгновенными,вторые — запаздывающими.В среднем на каждый акт деле- ния приходится 2,5 испущенных нейтронов. Они имеют сравнительно широкий энергетический спектр в пределах от 0 до 7 МэВ, причем на один нейтрон в среднем приходится энергия около 2 МэВ.Расчеты показывают, что деление ядер должно сопровождаться такжевыделением большого количества энергии. В самом деле, удельная энергия свя- зи для ядер средней массы составляет примерно 8,7 МэВ, в то время как для тяжелых ядер она равна 7,6 МэВ (см. § 252). Следовательно, при делении тяже- лого ядра на два осколка должна освобождаться энергия, равная примерно 1,1 МэВ на один нуклон.Эксперименты подтверждают, что при каждом акте деления действитель-но выделяется огромная энергия, которая распределяется между осколками (ос- новная доля), нейтронами деления, а также между продуктами последующего распада осколков деления.В основу теории деления атомных ядер (Н. Бор, Я. И. Френкель) положе-на капельная модель ядра (см. § 254). Ядро рассматривается как капля электри- чески заряженной несжимаемой жидкости (с плотностью, равной ядерной, и подчиняющейся законам квантовой механики), частицы которой при попадании нейтрона в ядро приходят в колебательное движение, в результате чего ядро разрывается на две части, разлетающиеся с огромной энергией.Вероятность деления ядер определяется энергией нейтронов. Например,если высокоэнергетичные нейтроны (см. § 264) вызывают деление практически всех ядер, то нейтроны с энергией в несколько мегаэлектрон-вольт — только тяжелых ядер (А>210).Нейтроны, обладающие энергией активации(мини- мальной энергией, необходимой для осуществления реакции деления ядра) по- рядка 1 МэВ, вызывают деление ядер урана238 92 U, тория 232 90 Th, протактиния231 91 Ра и плутония 239 94 Рu. Тепловыми нейтронами делятся ядра 235 92 U, 238 92 U и233 U, 230 Th (два последних изотопа в природе не встречаются, они получают-92 90ся искусственным путем). Например, изотоп 233 92 U получается в результате ра-диационного захвата (реакции (n, γ ),см. § 264) нейтронов ядром 232 90 Th:(265.2)§ 266. Ц ЕПНАЯ РЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯИспускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать но-вые акты деления, что делает возможным осуществление цепной реакции деле- ния — ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция деления характеризуется коэффи- циентом размножения kнейтронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении. Необходимым усло-639виемдля развития цепной реакции деления является требованиеk ≥ 1.Оказывается, что не все образующиеся вторичные нейтроны вызываютпоследующее деление ядер, что приводит к уменьшению коэффициента раз- множения. Во-первых, из-за конечных размеров активной зоны (пространство, где происходит цепная реакция) и большой проникающей способности нейтро- нов часть из них покинет активную зону раньше, чем будет захвачена каким- либо ядром. Во-вторых, часть нейтронов захватывается ядрами неделящихся примесей, всегда присутствующих в активной зоне. Кроме того, наряду с деле- нием могут иметь место конкурирующие процессы радиационного захвата и неупругого рассеяния.Коэффициент размножения зависит от природы делящегося вещества, адля данного изотопа — от его количества, а также размеров и формы активной зоны. Минимальные размеры активной зоны, при которых возможно осуществ- ление цепной реакции, называются критическими размерами. Минимальная масса делящегося вещества, находящегося в системе критических размеров, не- обходимая для осуществления цепной реакции, называется критической мас- сой.Скорость развития цепных реакций различна. Пусть Т— среднее времяжизни одного поколения, а N— число нейтронов в данном поколении. В сле- дующем поколе нии их число равно kN,т. е. прирост числа нейтронов за одно поколение dN = kN – N = N(k - 1). Прирост же числа нейтронов за единицу вре- мени, т. е. скорость нарастания цепной реакции,Интегрируя (266.1), получим(266.1)где N 0 — число нейтронов в начальный момент времени, а N— их число в мо-мент времени t. Nопределяется знаком (k -1). При k >1 идет развивающаяся реакция, число делений непрерывно растет и реакция может стать взрывной. При k = 1 идет самоподдерживающаяся реакция, при которой число нейтро- нов с течением времени не изменяется. При k < lидет затухающая реакция.Цепные реакции делятся на управляемые и неуправляемые. Взрыв атом-ной бомбы, например, является неуправляемой реакцией. Чтобы атомная бомба при хранении не взорвалась, в ней235 92 U (или 239 94 Рu) делится на две удаленныедруг от друга части с массами ниже критических. Затем с помощью обычного взрыва эти массы сближаются, общая масса делящегося вещества становится больше критической и возникает взрывная цепная реакция, сопровождающаяся мгновенным выделением огромного количества энергии и большими разруше- ниями. Взрывная реакция начинается за счет имеющихся нейтронов спонтанно- го деления или нейтронов космического излучения. Управляемые цепные реак- ции осуществляются в ядерных реакторах (см. § 267).В природе имеется три изотопа, которые могут служить ядерным топли-640вом ( 235 92 U: в естественном уране его содержится примерно 0,7%) или сырьемдля его получения ( 232 90 Th и 238 92 U: в естественном уране его содержится при-мерно 99,3%). 232 90 Th служит исходным продуктом для получения искусствен-ного ядерного топлива 233 92 U (см. реакцию (265.2)), a 238 92 U, поглощая нейтро-ны, посредством двух последовательных β ¯ -распадов — для превращения в яд-ро 239 Рu:94(266.2)Реакции (266.2) и (26S.2), таким образом, открывают реальную возмож-ность воспроизводства ядерного горючего в процессе цепной реакции деления.§ 267. П ОНЯТИЕ О ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГЕТИКEБольшое значение в ядерной энергетике приобретает не только осуществ-ление цепной реакции деления, но и управление ею. Устройства, в которых осуществляется и поддерживается управляемая цепная реакция деления, назы- ваются одервымвреакторами. Пуск первого реактора в мире осуществлен в Чикагском университете (1942) под руководством Э. Ферми, в России (и в Ев- ропе) — в Москве (1946) под руководством И. В. Курчатова.Для пояснения работы реактора рассмотрим принцип действия реакторана тепловых нейтронах (рис. 345). В активной зоне реактора расположены теп- ловыделяющие элементы 1и замедлитель 2,в котором нейтроны замедляются до тепловых скоростей. Тепловыделяющие элементы (твэлы) представляют со- бой блоки из делящегося материала, заключенные в герметичную оболочку, слабо поглощающую нейтроны. За счет энергии, выделяющейся при делении ядер, твэлы разогреваются, а поэтому для охлаждения они помещаются в поток теплоносителя (3— канал для протока теплоносителя). Активная зона окружа- ется отражателем 4,уменьшающим утечку нейтронов.Рис. 345Управление цепной реакцией осуществляется специальными управляю-641щими стержнями 5 из материалов, сильно поглощающих нейтроны (например, В, Cd). Параметры реактора рассчитываются так, что при полностью вставлен- ных стержнях реакция заведомо не идет, при постепенном вынимании стерж- ней коэффициент размножения нейтронов растет и при некотором их положе- нии принимает значение, равное единице. В этот момент реактор начинает ра- ботать. По мере его работы количество делящегося материала в активной зоне уменьшается и происходит ее загрязнение осколками деления, среди которых могут быть сильные поглотители нейтронов. Чтобы реакция не прекратилась, из активной зоны с помощью автоматического устройства постепенно извлека- ются управляющие (а часто специальные компенсирующие) стержни. Подобное управление реакцией возможно благодаря существованию запаздывающих ней- тронов (см. § 265), испускаемых делящимися ядрами с запаздыванием до 1 мин. Когда ядерное топливо выгорает, реакция прекращается. До нового запуска ре- актора выгоревшее ядерное топливо извлекают и загружают новое. В реакторе имеются также аварийные стержни, введение которых при внезапном увеличе- нии интенсивности реакции немед ленно ее обрывает.Ядерный реактор является мощным источником проникающей радиации(нейтро ны, у-излучение), примерно в 10 11 раз превышающей санитарные нор-мы. Поэтому любой реактор имеет биологическую защиту — систему экранов из защитных матери алов (например, бетон, свинец, вода), располагающуюся за его отражателем, и пульт дистанционного управления.Ядерные реакторы различаются:1)по характеру основных материалов, находящихся в активной зоне(ядерное топливо, замедлитель, теплоноситель); в качестве делящихся и сырье- вых веществ используются235 92 U, 239 94 Рu, 233 92 U, 238 92 U, 232 90 Th, в качестве замед-лителей — вода (обычная и тяжелая), графит, бериллий, органические жидко- сти и т. д., в качестве теплоносителей — воздух, вода, водяной пар, Не, СО2 и т.д.;2) по характеру размещения ядерного топлива и замедлителя в активнойзоне:гомогенные (оба вещества равномерно смешаны друг с другом) и гетеро- генные (оба вещества располагаются порознь в виде блоков);3) по энергии нейтронов(реакторы на тепловых н быстрых вентронах; впоследних используются нейтроны деления и замедлитель вообще отсутству- ет);4) по типу режима(непрерывные и импульсные);5) по назначению(энергетические, исследовательские, реакторы по произ-водству новых делящихся материалов, радиоактивных изотопов и т. д.).В соответствии с рассмотренными признаками и образовались такие на-звания, как уран-графитовые, водо-водяные, графито-газовые реакторы и др.Среда ядерных реакторов особое место занимают энергетические реакто-ры-размножители. В них наряду с выработкой электроэнергии идет процесс воспроизводства ядерного горючего в результате реакции (265.2) или (266.2). Это означает, что в реакторе на естественном или слабообогащенном уране ис- пользуется не только изотоп235 92 U, но и изотоп 238 92 U. В настоящее время осно-642быстрых нейтронах.Впервые ядерная энергия для мирных целей использована в СССР. В Об-нинске под руководством И. В. Курчатова введена в эксплуатацию (1954) пер- вая атомная электростанция мощностью 5 МВт. Принцип работы атомной элек- тростанции на водо-водя-ном реакторе приведен на рис. 346. Урановые блоки 1 погружены в воду 2, которая служит одновременно и замедлителем, и теплоно- сителем. Горячая вода (она находится под давлением и нагревается до 300°С) из верхней части активной зоны реактора поступает через трубопровод 3в па- рогенератор 4,где она испаряется и охлаждается, и возвращается через трубо- провод 5 в реактор. Насыщенный пар 6через трубопровод 7 поступает в паро- вую турбину 8,возвращаясь после отработки через трубопровод 9в парогене- ратор. Турбина вращает электрический генератор 10,ток от которого поступает в электрическую сеть.Рис. 346Создание ядерных реакторов привело к промышленному применениюядерной энергии. Энергетические запасы ядерного горючего в рудах примерно на два порядка превышает запасы химических видов топлива. Поэтому, если, как предполагается, основная доля электроэнергии будет вырабатываться на АЭС, то это, с одной стороны, снизит стоимость электроэнергии, которая сей- час сравнима с вырабатываемой на тепловых электростанциях, а с другой — решит энергетическую проблему на несколько столетий и позволит использо- вать сжигаемые сейчас нефть и газ в качестве ценного сырья для химической промышленности.В СНГ помимо создания мощных АЭС (например, Нововоронежской об-щей мощностью примерно 1500 МВт, первой очереди Ленинградской с двумя реакторами по 1000 МВт) большое внимание уделяется созданию небольших АЭС (750—1500 кВт), удобных для эксплуатации в специфических условиях, а также решению задач малой ядерной энергетики. Так, построены первые в мире передвижные АЭС, созданы первый в мире реактор («Ромашка»), в котором с643помощью полупроводников происходит непосредственное преобразование теп- ловой энергии в электрическую (в активной зове содержится 49 кг235 92 U, теп-ловая мощность реактора 40 кВт, электрическая — 0,8 кВт).Огромные возможности для развития атомной энергетики открываются ссозданием реакторов-размножителей на быстрых нейтронах (бридеров), в ко- торых выработка энергии сопровождается производством вторичного горючего — плутония, что позволит кардинально решить проблему обеспечения ядерным горючим. Как показывают оценки, 1 т гранита содержит примерно 3 г238 92 U и12 г 232 90 Th (именно они используются в качестве сырья в реакторах-размножителях), т. е. при потреблении энергии 5 ⋅ 10 8 МВт (на два порядка вы-ше, чем сейчас) запасов урана и тория в граните хватит на 10 9 лет.Техника реакторов на быстрых нейтронах находится в стадии поисковнаилучших инженерных решений. Первая опытно-промышленная станция та- кого типа мощностью 350 МВт построена в г. Шевченко на берегу Каспийского моря. Она используется для производства электроэнергии и опреснения мор- ской воды, обеспечивая водой город и прилегающий район нефтедобычи с на- селением порядка 150 000 человек. Шевченковская АЭС положила начало но- вой «атомной отрасли» — опреснению соленых вод, которая в связи с дефици- том пресноводных ресурсов во многих районах может иметь большое значение.§ 268. Р ЕАКЦИЯ СИНТЕЗА АТОМНЫХ ЯДЕР .П РОБЛЕМА УПРАВЛЯЕМЫХ ТЕРМОЯДЕРНЫХРЕАКЦИЙИсточником огромной энергии может служить реакция синтеза атомныхядер — образование из легких ядер более тяжелых. Удельная энергия связи ядер (см. рис. 342) резко увеличивается при переходе от ядер тяжелого водоро- да (дейтерия2 1 H и трития 3 1 Н) к литию 6 3 Li и особенно к гелию 2 4 He, т. е. реак-ции синтеза легких ядер в более тяжелые должны сопровождаться выделением большого количества энергии, что действительно подтверждается расчетами. В качестве примеров рассмотрим реакции синтеза:(268.1)где Q— энерговыделение.Реакции синтеза атомных ядер обладают той особенностью, что в нихэнергия, выделяемая на один нуклон, значительно больше, чем в реакциях де- ления тяжелых ядер. В самом деле, если при делении ядра238 92 U выделяетсяэнергия примерно 200 МэВ, что составляет на один нуклон примерно 0,84 МэВ, то в реакции (268.1) эта величина равна 17,6/5 МэВ≈ 3,5 МэВ.644Оценим на примере реакции синтеза ядер дейтерия 2 Н температуру ее1протекания. Для соединения ядер дейтерия их надо сблизить до расстояния 2⋅ 10 -15 м, равного радиусу действия ядерных сил, преодолевая при этом потен-циальную энергию оттал кивания е 2 /(4 πε 0 г) ≈ 0,7 МэВ. Так как на долю каждогосталкивающегося ядра цриходится половина указанной энергии, то средней энергии теплового движения, равной 0,35 МэВ, соответствует температура, приблизительно равная 2,6⋅ 10 9 К. Следовательно, реакция синтеза ядер дейте-рия может происходить лишь при температуре, на два порядка превышающей температуру центральных областей Солнца (примерно 1,3⋅ 10 7 К).Однако оказывается, что для протекания реакции синтеза атомных ядердостаточно температуры порядка 10 7 К. Это связано с двумя факторами: 1) притемпературах, характерных для реакций синтеза атомных ядер, любое вещество находится в состоянии плазмы, распределение частиц которой подчиняется за- кону Максвелла; поэтому всегда имеется некоторое число ядер, энергия кото- рых значительно превышает среднее значение; 2) синтез ядер может происхо- дить вследствие туннельного эффекта (см. §221).Реакции синтеза легких атомных ядер в более тяжелые, происходящиепри сверх высоких температурах (примерно 10 7 К и выше), называются термо-ядерными реакциями.Термоядерные реакции являются, по-видимому, одним из источниковэнергии Солнца и звезд. В принципе высказаны два предположения, о возмож- ных способах протекания термоядерных реакций на Солнце:1) протонно-протонный, или водородный, цикл, характерный для темпе-ратур (примерно 10 7 К):2) углеродно-азотный, или углеродный, цикл, характерный для более вы-соких тем ператур (примерно 2 ⋅ 10 7 К):В результате этого цикла четыре протона превращаются в ядро гелия ивыделяется энергия, равная 26,7 МэВ. Ядра же углерода, число которых остает- ся неизменным, участвуют в реакции в роли катализатора.645Термоядерные реакции дают наибольший выход энергии на единицу мас-сы «горю чего», чем любые другие превращения, в том числе и деление тяже- лых ядер. Например, количество дейтерия в стакане простой воды энергетиче- ски эквивалентно примерно 60 л бензина. Поэтому заманчива перспектива осуществления термоядерных реакций искусственным путем.Впервые искусственная термоядерная реакция осуществлена в нашейстране (1953), а затем (через полгода) в США в виде взрыва водородной (тер- моядерной) бомбы, являющегося неуправляемой реакцией. Взрывчатым веще- ством служила смесь дейтерия и трития, а запалом — «обычная» атомная бом- ба, при взрыве которой возникает необходимая для протекания термоядерной реакции температура.Особый интерес представляет осуществление управляемой термоядернойреакции, для обеспечения которой необходимо создание и поддержание в огра- ниченном объеме температуры порядка 108 К. Так как при данной температуретермоядерное рабочее вещество представляет собой полностью ионизованную плазму (см. § 108), возникает проблема ее эффективной термоизоляции от сте- нок рабочего объема. На данном этапе развития считается, что основной путь в этом направлении — это удержание плазмы в ограниченном объеме сильными магнитными полями специальной формы.Начало широкого международного сотрудничества в области физики вы-сокотемпературной плазмы и управляемого термоядерного синтеза положено работами И. В. Курчатова.Под руководством Л. А. Арцимовича коллектив ученых Института атом-ной энергии (ИАЭ) им. И. В. Курчатова осуществил широкий круг исследова- ний, результатом которых явился пуск летом 1975 г. в ИАЭ крупнейшей в мире термоядерной установки «Токамак-10» (Т-10).В Т-10, как и во всех установках этого типа, плазма создается в торои-дальной камере, находящейся в магнитном поле, а само плазменное образова- ние — плазменный шнур — также имеет форму тора. В Т-10 плазма с темпера- турой примерно (7÷ 8) ⋅ 10 6 К и плотностью примерно 10 14 частиц/см 3 создается вобъеме, приблизительно равном 5 м 3 , на время около 1 с.Однако следует отме-тить, что до осуществления критерия Лоусона * — условия, необходимого дляначала самоподдерживающейся термоядерной реакции, — еще остается значи- тельный «путь»: примерно 20 раз по nπ (произведение плотности частиц навремя удержания плазмы) и примерно 10 раз по температуре. Результаты, полу- ченные на Т-10, вместе с результатами, ожидаемыми на создаваемых установ- ках (например, Т-20), по мере решения разного рода инженерно- технологических проблем служат базой для создания термоядерного реактора «Токомака».Управляемый термоядерный синтез открывает человечеству доступ к не-исчерпаемой «кладовой» ядерной энергии, заключенной в легких элементах. Наиболее заманчивой в этом смысле является возможность извлечения энергии* Дж. Лоусон (р. 1923) — английский физик.646из дейтерия, содержащегося в обычной воде. В самом деле, количество дейте- рия в океанской воде составляет примерно 4⋅ 10 13 т, чему соответствует энерге-тический запас 10 17 МВт ⋅ год. Другими словами, эти ресурсы не ограничены.Остается только надеяться, что решение этих проблем — дело недалекого бу- дущего.З АДАЧИ32.2. Определить удельную энергию связи для ядра 12 6 С, если масса егонейтрального атома равна 19,9272 ⋅ 10 - 27 кг. [7,7 МэВ/нуклон]32.2. Определить, какая часть (в процентах) начального количества ядеррадиоактивного изотопа останется нераспавшейся по истечении времени t,рав- ного трем средним временам жизниτ радиоактивного ядра. [5%]32.3. Период полураспада радиоактивного изотопа составляет 24 ч. Опре-делить время, за которое распадается 1 / 4 начального количества ядер. [10,5 ч]32.4. Поглощается или выделяется энергия при ядерной реакции 2 1 H +3 2 He → 1 1 H + 4 2 He? Определить эту энергию. [18,4 МэВ]32.5. В процессе осуществления реакции γ → -1 0 е + +1 0 еэнергия фотонабыла равна 2,02 МэВ. Определить полную кинетическую энергию позитрона и электрона в момент их возникновения. [1 МэВ]32.6. В ядерном реакторе на тепловых нейтронах среднее время жизниодного поколения нейтронов составляет T=90 мс. Принимая коэффициент раз- множения нейтронов k=1,003, определить периодτ реактора, т. е. время, в те-чение которого поток тепловых нейтронов увеличится в е раз. [ τ = T/(k—1)=30647 ГЛАВА 33ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ§ 269. К ОСМИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕРазвитие физики элементарных частиц тесно связано с изучением косми-ческого излучения — излучения, приходящего на Землю практически изотроп- но со всех направлений космического пространства. Измерения интенсивности космического излучения, проводимые методами, аналогичными методам реги- страции радиоактивных излучений и частиц (см. § 261), приводят к выводу, что его интенсивность быстро растет с высотой, достигает максимума, затем уменьшается и с h≈ 50 км остается практически постоянной (рис. 347).Различают первичное и вторичноекосмические излучения. Излучение,приходящее непосредственно из космоса, называют первичным космическим излучением.Исследование его состава показало, что первичное излучение представляет собой поток элементарных частиц высокой энергии, причем более 90% из них составляют протоны с энергией примерно 109 —10 13 эВ, около 7%— α -частицы и лишь небольшая доля (около 1%) приходится на ядра более тя-желых элементов (Z>20). По современным представлениям, основанным на данных астрофизики и радиоастрономии, считается, что первичное космиче- ское излучение имеет в основном галактическое происхождение. Считается, что ускорение частиц до столь высоких энергий может происходить при столкно- вении с движущимися межзвездными магнитными полями. При h≥ 50км (рис.347) интенсивность космического излучения постоянна; на этих высотах на- блюдается лишь первичное излучение.Рис. 347С приближением к Земле интенсивность космического излучения возрас-тает, что свидетельствует о появлении вторичного космического излучения, которое образуется в результате взаимодействия первичного космического из- лучения с ядрами атомов земной атмосферы. Во вторичном космическом излу- чении встречаются практически все известные элементарные частицы. При h <64820 км космическое излучение является вторичным; с уменьшением А его ин- тенсивность понижается, поскольку вторичные частицы по мере продвижения к поверхности Земли испытывают поглощение.В составе вторичного космического излучения можно выделить два ком-понента: мягкий(сильно поглощается свинцом) и жесткий(обладает в свинце большой проникающей способностью). Происхождение мягкого компонента объясняется следующим образом. В космическом пространстве всегда имеютсяγ -кванты с энергией Е > 2m е с 2 , которые в поле атомных ядер превращаются вэлектронно-позитронные пары (см. § 263). Образовавшиеся таким образом электроны и позитроны, тормозясь, в свою очередь, создаютγ -кванты, энергиякоторых еще достаточна для образования новых электронно-позитронных пар и т. д. до тех пор, пока энергияγ -квантов не будет меньше 2m е с 2 (рис. 348). Опи-санный процесс называется электронно-познтронно-фотонным(или каскад- ным) ливнем.Хотя первичные частицы, приводящие к образованию этих лив- ней, и обладают огромными энергиями, но ливневые частицы являются «мяг- кими» — не проходят через большие толщи вещества. Таким образом, ливне- вые частицы — электроны, позитроны иγ -кванты — и представляют собоймягкий компонент вторичного космического излучения. Природа жесткого компонента будет рассмотрена в дальнейшем (см. § 270).Рис. 348Исследование космического излучения, с одной стороны, позволило наначальном этапе развития физики элементарных частиц получить основные экспериментальные данные, на которых базировалась эта область науки, а с другой — дало возможность и сейчас изучать процессы с частицами сверхвы- соких энергий вплоть до 1021 эВ, которые еще не получены искусственным пу-тем. С начала 50-х годов для исследования элементарных частиц стали приме- нять ускорители (позволяют ускорить частицы до сотен гигаэлектрон-вольт; см.649§ 116), в связи с чем космическое излучение утратило свою исключительность при их изучении, оставаясь лишь основным «источником» частиц в области сверхвысоких энергий.§ 270. М ЮОНЫ И ИХ СВОЙСТВАЯпонский физик X. Юкава (1907—1981), изучая природу ядерных сил(см. § 254) и развивая идеи отечественных ученых И. Е. Тамма и Д. Д. Иваненко об их обменном характере, выдвинул в 193S г. гипотезу о существовании час- тиц с массой, в 200—300 раз превышающей массу электрона. Эти частицы должны, согласно Юкаве, выполнять роль носителей ядерного взаимодействия, подобно тому, как фотоны являются носителями электромагнитного взаимо- действия.К. Андерсон и С. Недцермейер, изучая поглощение жесткого компонентавторичного космического излучения в свинцовых фильтрах с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле, действительно обнаружили (1936) частицы массой, близкой к ожидаемой (207me ). Они были названы впоследст-вии мюонами. Доказано, что жесткий компонент вторичного космического из- лучения состоит в основном из мюонов, которые, как будет показано ниже, об- разуются вследствие распада более тяжелых заряженных частиц (π - и K-мезонов). Так как масса мюонов большая, то радиационные потери для них пренебрежимо малы, а поэтому жесткий компонент вторичного излучения об- ладает большой проникающей способностью.Существуют положительный ( µ + )и отрицательный ( µ - ) мюоны; зарядмюонов равен элементарному заряду е.Масса мюонов (оценивается по произ- водимому ими ионизационному действию) равна 206,8 me ,время жизни µ + -и µ --мюонов одинаково и равно 2,2 ⋅ 10 -6 с. Исследования изменения интенсивностижесткого компонента вторичного космического излучения с высотой показали, что на меньших высотах потоки мюонов менее интенсивны. Это говорит о том, что мюоны претерпевают самопроизвольный распад, являясь, таким образом, нестабильными частицами.Распад мюонов происходит по следующим схемам:(270.1) (270.2)где 0 0 v µ и 0 0 v µ — соответственно «мюонные» нейтрино и антинейтрино, кото-рые, как предположил Б. М. Понтекорво (Россия, р.1913 г.) и экспериментально доказал (1962) американский физик Л. Ледерман (р. 1922), отличаются от0 v и0 e0 0 v e — «электронных» нейтрино и антинейтрино, сопутствующих испусканиюпозитрона и электрона соответственно (см. § 263, 258). Существование 0 0 v µ и0 0 v µ следует из законов сохранения энергии и спина.Из схем распада (270.1) и (270.2) следует, что спины мюонов, как и элек-трона, должны быть равны 1/2 (в единицах h ,так как спины нейтрино (1/2) и650антинейтрино (- 1/2) взаимно компенсируются.Дальнейшие эксперименты привели к выводу, что мюоны не взаимодей-ствуют или взаимодействуют весьма слабо с атомными ядрами, иными слова- ми, являются ядерно-неактвваымв частицамн. Мюоны, с одной стороны, из- за ядерной пассивности не могут рождаться при взаимодействии первичного компонента космического излучения с ядрами атомов атмосферы, а с другой — из-за нестабильности не могут находиться в составе первичного космического излучения. Следовательно, отождествить мюоны с частицами, которые, соглас- но X. Юкаве, являлись бы носителями ядерного взаимодействия, не удалось, так как такие частицы должны интенсивно взаимодействовать с ядрами. Эти рассуждения и накопленный впоследствии экспериментальный материал при- вели к выводу о том, что должны существовать какие-то ядерно-активные час- тицы, распад которых и приводит к образованию мюонов. Действительно, в 1947 г. была обнаружена частица, обладающая свойствами, предсказанными Юкавой, которая распадается на мюон и нейтрино. Этой частицей оказалсяπ -мезон.§ 271. М ЕЗОНЫ И ИХ СВОЙСТВАС. Пауэлл (1903—1969; английский физик) с сотрудниками, подвергая набольшой высоте ядерные фотоэмульсии действию космических лучей (1947), обнаружили ядерно-активные частицы — так называемыеπ -мезоны (от греч.«мезос» — средний), или пионы. В том же году пионы были получены искусст- венно в лабораторных условиях при бомбардировке мишеней из Be, С и Сuα -частицами, ускоренными в синхроциклотроне до 300 МэВ. π -Мезоны сильновзаимодействуют с нуклонами и атомными ядрами и, по современным пред- ставлениям, обусловливают существование ядерных сил.Существуют положительный ( π + ), отрицательный ( π - ) (их заряд равенэлементарному заряду e)и нейтральный ( π °) мезоны. Масса π + и π - -мезоноводинакова и равна 273,lm e , масса π °-мезона равна 264,1m e .Все пионы неста-бильны: время жизни соответственно для заряженных и нейтрального π -мезонов составляет 2,6 ⋅ 10 -8 и 0,8 ⋅ 10 -16 с.Распад заряженных пионов происходит в основном по схемам(271.1) (271.2)где мюоны испытывают дальнейший распад по рассмотренным выше схемам (270.1) и (270.2). Из схем распада (271.1) и (271.2) следует, что спины заряжен- ныхπ -мезонов должны быть либо целыми (в единицах h ), либо равны нулю.Спины заряженных π -мезонов, по ряду других экспериментальных данных, ока-зались равными нулю. Нейтральный пион распадается на два γ -кванта:651Спин π °-мезона, так же как и спин π + -мезона, равен нулю.Исследования в космических лучах методом фотоэмульсий (1949) и изу-чение реакций с участием частиц высоких энергий, полученных на ускорите- лях, привели к открытию K-мезовов, или каонов, — частиц с нулевым спином и с массами, приблизите льно равными 970me . В настоящее время известно четы-ре типа каонов: положительно заряженный (К + ),отрицательно заряженный (К - )и два нейтральных (К° и К°).Время жизни K-мезонов лежит в пределах 10 -8 —10 -10 с в зависимости от их типа.Существует несколько схем распада K-мезонов. Распад заряженных KГ-мезонов происходит преимущественно по схемамРаспад нейтральных KГ-мезонов в основном происходит по следующимсхемам (в порядке убывания вероятности распада):• Какова природа первичного и вторичного космического излучений ? Назовите их свойства .• Приведите схемы распада мюонов . Чем объясняется выброс мюонного нейтрино ( антинейтри -но )?• Приведите схемы распада π - мезонов . Дайте характеристику π - мезонам .• Какие фундаментальные типы взаимодействий осуществляются в природе и как их можно оха -рактеризовать ? Какой из них является универсальным ? §272. Т ИПЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦСогласно современным представлениям, в природе осуществляется че-тыре типа фундаментальных взаимодействий:сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное.Сильное,или ядерное, взаимодействиеобусловливает связь протонов инейтронов в ядрах атомов и обеспечивает исключительную прочность этих об- разований, лежа щую в основе стабильности вещества в земных условиях.Электромагнитное взаимодействиехарактеризуется как взаимодейст-вие, в основе которого лежит связь с электромагнитным полем. Оно характерно для всех элементарных частиц, за исключением нейтрино, антинейтрино и фо- тона. Электромагнитное взаимодействие, в частности, ответственно за сущест-652вование атомов и молекул, обусловливая взаимодействие в них положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов.Слабое взаимодействие— наиболее медленное из всех взаимодействий,протека ющих в микромире. Оно ответственно за взаимодействие частиц, про- исходящих с уча стием нейтрино или антинейтрино (например,β -распад, µ -распад), а также за безнейтринные процессы распада, характеризующиеся до- вольно большим временем жизни распадающейся частицы (τ ? 10 -10 с).Гравитационное взаимодействиеприсуще всем без исключения части-цам, однако из-за малости масс элементарных частиц оно пренебрежимо мало и, по-видимому, в процессах микромира несущественно.Сильное взаимодействие примерно в 100 раз превосходит электромаг-нитное и в 10 14 раз — слабое. Чем сильнее взаимодействие, тем с большей ин-тенсивностью протекают процессы. Так, время жизни частиц, называемых ре- зонансами,распад которых описывается сильным взаимодействием, составляет примерно 10-23 с; время жизни π °-мезона, за распад которого ответственно элек-тромагнитное взаимодействие, составляет 10 -16 с; для распадов, за которые от-ветственно слабое взаимодействие, характерны времена жизни 10 -10 —10 -8 с.Как сильное, так и слабое взаимодействия — короткодействующие. Радиус действия сильного взаимодействия составляет примерно 10-15 м, слабого — непревышает 10 -19 м. Радиус действия электромагнитного взаимодействия прак-тически не ограничен.Элементарные частицы принято делить на три группы:1)фотоны; эта группа состоит всего лишь из одной частицы — фотона —кванта электромагнитного излучения;2) лептоны (от греч. «лептос» — легкий), участвующие только в электро-магнитном и слабом взаимодействиях. К лептонам относятся электронное и мюонное нейтрино, электрон, мюон и открытый в 1975 г. тяжелый лептой —τ -лептон, или таон, с массой примерно 3487m e , а также соответствующие им ан-тичастицы. Название лeптонов связано с тем, что массы первых известных леп- тонов были меньше масс всех других частиц. К лептонам относится также та- онное нейтрино, существование которого в последнее время также установле- но;3) aдроны (от греч. «адрос» — крупный, сильный). Адроны обладаютсильным взаимодействием наряду с электромагнитным и слабым. Из рассмот- ренных выше частиц к ним относятся протон, нейтрон, пионы и каоны.Для всех типов взаимодействия элементарных частиц выполняются зако-ны сохранения энергии, импульса, момента импульса и электрического заряда.Характерным признаком сильных взаимодействий является зарядовая не-зависимость ядерных сил. Как уже указывалось (см. § 254), ядерные силы, дей- ствующие между парами р - р, n – n, р - n,одинаковы. Поэтому если бы в ядре осуществлялось только сильное взаимодействие, то зарядовая независимость ядерных сил привела бы к одинаковым значениям масс нуклонов (протонов и нейтронов) и всехπ -мезонов. Различие в массах нуклонов и соответственно я-653ствующих заряженных и нейтральных частиц различны, поэтому и массы заря- женных и нейтральных частиц оказываются неодинаковыми.Зарядовая независимость в сильных взаимодействиях позволяет близкиепо массе частицы рассматривать как различные зарядовые состояния одной и той же частицы. Так, нуклон образует дублет (нейтрон, протон),π -мезоны —триплет ( π + , π - , π °) и т. д. Подобные группы «похожих» элементарных частиц,одинаковым образом участвующих в сильном взаимодействии, имеющие близ- кие массы и отличающиеся зарядами, называют изотопическими мультнплета- ми. Каждый изотопический мультиплет характеризуют изотопическим спином (нзоспнном) — одной из внутренних характеристик адронов, определяющей число (n) частиц в изотопическом мультиплете: n = 2I + 1. Тогда изоспин ну- клона I =1 / 2 (число членов в изотопическом мультиплете нуклона равно двум),изоспин пиона I = 1 (в пионном мультиплете n = 3) и т. д. Изотопический спин характеризует только число членов в изотопическом мультиплете и никакого отношения к рассматриваемому ранее спину не имеет.Исследования показали, что во всех процессах, связанных с превраще-ниями элементарных частиц, обусловленных зарядово-независимыми сильны- ми взаимодействиями, выполняется закон сохранения изотопического спина. Для электромагнитных и слабых взаимодействий этот закон не выполняется. Так как электрон, позитрон, фотон, мюоны, нейтрино и антинейтрино в силь- ных взаимодействиях участия не принимают, то им изотопический спин не приписывается.§ 273. Ч АСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫГипотеза об античастице впервые возникла в 1928 г., когда П. Дирак наоснове релятивистского волнового уравнения предсказал существование пози- трона (см. § 263), обнаруженного спустя четыре года К. Андерсоном в составе космического излучения.Электрон и позитрон не являются единственной парой частица — анти-частица. На основе релятивистской квантовой теории пришли к заключению, что для каждой элементарной частицы должна существовать античастица (принцип зарядовогосопряжения). Эксперименты показывают, что за немно- гим исключением (например, фотона иπ 0 -мезона), действительно, каждой час-тице соответствует античастица.Из общих положений квантовой теории следует, что частицы и античас-тицы должны иметь одинаковые массы, одинаковые времена жизни в вакууме, одинаковые по модулю, но противоположные по знаку электрические заряды (и магнитные моменты), одинаковые спины и изотопические спины, а также оди- наковые остальные квантовые числа, приписываемые элементарным частицам для описания закономерностей их взаимодействия (лептонное число (см. § 275), барионное число (см. § 275), странность (см. § 274), очарование (см. § 275) и т.д.). До 1956 г. считалось, что имеется полная симметрия между частицами и античастицами, т. е. если какой-то процесс идет между частицами, то должен654существовать точно такой же (с теми же характеристиками) процесс между ан- тичастицами. Однако в 1956 г. доказано, что подобная симметрия характерна только для сильного и электромагнитного взаимодействий и нарушается для слабого.Согласно теории Дирака, столкновение частицы и античастицы должноприводить к их взаимной аннигиляции, в результате которой возникают другие элементарные частицы или фотоны. Примером тому является рассмотренная реакция (263.3) аннигиляции пары электрон — позитрон (0 е + 0 е → 2 γ ).-1 +1После того как предсказанное теоретически существование позитронабыло подтверждено экспериментально, возник вопрос о существовании анти- протона и антинейтрона. Расчеты показывают, что для создания пары частица — античастица надо затратить энергию, превышающую удвоенную энергию покоя пары, поскольку частицам необходимо сообщить весьма значительную кинетическую энергию. Для создания р - р-пары необходима энергия примерно 4,4 ГэВ. Антипротон был действительно обнаружен экспериментально (1955) при рассеянии протонов (ускоренных на крупней ем в то время синхрофазотро- не Калифорнийского университета) на нуклонах ядер мишени (мишенью слу- жила медь), в результате которого рождалась пара р - р.Антипротон отличается от протона знаками электрического заряда и соб-ственного магнитного момента. Антипротон может аннигилировать не только с протоном, но и с нейтроном:(273.1) (273.2) (273.3)Годом позже (1956) на том же ускорителе удалось получить антинейтрон(ñ) и осуществить его аннигиляцию. Антинейтроны возникали в результате пе- резарядки антипротонов при их движении через вещество. Реакция перезарядки рсостоит в об мене зарядов между нуклоном и антинуклоном и может проте- кать по схемам(273.4) (273.5)Антинейтрон ñ отличается от нейтрона nзнаком собственного магнитно-го момента. Если антипротоны — стабильные частицы, то свободный антиней- трон, если он не испытывает аннигиляции, в конце концов претерпевает распад по схемеАнтичастицы были найдены также для π + -мезона, каонов и гиперонов(см. § 274). Однако существуют частицы, которые античастиц не имеют, — это так называемые истинно нейтральные частицы.К ним относятся фотон,π °-мезон и η-мезон (его масса равна 1074m e , время жизни 7 ⋅ 10 -19 с; распадается собразованием π -мезонов и γ-квантов). Истинно нейтральные частицы не спо-655собны к аннигиляции, но испытывают взаимные превращения, являющиеся фундаментальным свойством всех элементарных частиц. Можно сказать, что каждая из истинно нейтральных частиц тождественна со своей античастицей.Большой интерес и серьезные трудности представляли доказательствосуществования антинейтрино и ответ на вопрос, являются ли нейтрино и анти- нейтрино тождественными или различными частицами. Используя мощные по- токи антинейтрино, получаемые в реакторах (осколки деления тяжелых ядер испытывают β-распад и, согласно (258.1), испускают антинейтрино), американ- ские физики Ф. Рейнес и К. Коуэн (1956) надежно зафиксировали реакцию за- хвата электронного антинейтрино протоном:(273.6)Аналогично зафиксирована реакция захвата электронного нейтрино ней-троном:(273.7)Таким образом, реакции (273.6) и (273.7) явились, с одной стороны, бес-спорным доказательством того, что v e и v e , — реальные частицы, а не фиктив-ные понятия, введенные лишь для объяснения β-распада, а с другой — под- твердили вывод о том, что ve и v e — различные частицы.В дальнейшем эксперименты по рождению и поглощению мюонных ней-трино показали, что и v µ и v µ — различные частицы. Также доказано, что параv e , v µ — различные частицы, а пара v e , v e не тождественна паре v µ , v µ Согласноидее Б. М. Понтекорво (см. § 271), осуществлялась реакция захвата мюонного нейтрино (получались при распадеπ + →µ + + v µ (271.1)) нейтронами и наблюда-лись возникающие частицы. Оказалось, что реакция (273.7) не идет, а захват происходит по схемет. е. вместо электронов в реакции рождались µ - -мюоны. Это и подтверждалоразличие между v e и v µПо современным представлениям, нейтрино и антинейтрино отличаютсядруг от друга одной из квантовых характеристик состояния элементарной час- тицы — спнральностью, определяемой как проекция спина частицы на направ- ление ее движения (на импульс). Для объяснения экспериментальных данных предполагают, что у нейтрино спин s ориентирован антипараллельно импульсу р, т. е. направления р и s образуют левый винт и нейтрино обладает левой спи- ралытостью (рис. 349, а). У антинейтрино направления р и s образуют правый винт, т. е. антинейтрино обладает правой спнральностью (рис. 349, б).Это свойство справедливо в равной мере как для электронного, так и для мюонного нейтрино (антинейтрино).Для того чтобы спиральность могла быть использована в качестве харак-теристики нейтрино (антинейтрино), масса нейтрино должна приниматься рав- ной нулю. Введение спиральности позволило объяснить, например, нарушение закона сохранения четности (см. § 274) при слабых взаимодействиях, вызы-656вающих распад элементарных частиц и β-распад. Так, µ - -мюону приписываютправую спиральность, µ + -мюону — левую.Рис. 349После открытия столь большого числа античастиц возникла новая задача— найти антиядра, иными словами, доказать существование антивещества, ко- торое построено из античастиц, так же как вещество из частиц. Антиядра дей- ствительно были обнаружены. Первое антиядро — антидейтрон (связанное со- стояние р и ñ — было получено в 1965 г. группой американских физиков под руководством Л. Ледермана. Впоследствии на Серпуховском ускорителе были синтезированы ядра антигелия (1970) и антитрития (1973).Следует, однако, отметить, что возможность аннигиляции при встрече счастицами не позволяет античастицам длительное время существовать среди частиц. Поэтому для устойчивого состояния антивещества оно должно быть от вещества изолировано. Если бы вблизи известной нам части Вселенной суще- ствоволо скопление антивещества, то должно было бы наблюдаться мощное аннигиляционное излучение (взрывы с выделением огромных количеств энер- гии). Однако пока астрофизики ничего подобного не зарегистрировали. Иссле- дования, проводимые для поиска антиядер (в конечном счете антиматерии), и достигнутые в этом направлении первые успехи имеют фундаментальное зна- чение для дальнейшего познания строения вещества.§ 274. Г ИПЕРОНЫ . С ТРАННОСТЬ И ЧЕТНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦВ ядерных фотоэмульсиях (конец 40-х годов) и на ускорителях заряжен-ных частиц (50-е годы) обнаружены тяжелые нестабильные элементарные час- тицы массой, большей массы нуклона, названные гиперонами (от греч. hyper — сверх, выше). Известно несколько типов гиперонов: лямбда (Λ 0 ), сигма ( Σ °,Σ + , Σ - ), кси ( Ξ + , Ξ - ) и омега ( ? - ). Существование ? - -гиперона следовало из пред-ложенной (1961) М. Гелл-Манном (р. 1929) (американский физик; Нобелевская премия 1969 г.) схемы для классификации сильно взаимодействующих элемен-657тарных частиц. Все известные в то время частицы укладывались в эту схему, но в ней оставалось одно незаполненное место, которое должна была занять отри- цательно заряженная частица массой, равной примерно 3284mе . В результатеспециально поставленного эксперимента был действительно обнаружен ? - -гиперон массой 3273m e .Гипероны имеют массы в пределах (2183—3273)m e , их спин равен 1/2(только спин ? - -гиперона равен 3 / 2 ), время жизни приблизительно 10 -10 с (дляΣ °-гиперона время жизни равно приблизительно 10 -20 с). Они участвуют в силь-ных взаимодействиях, т. е. принадлежат к группе адронов. Гипероны распада- ются на нуклоны и легкие частицы (π -мезоны, электроны, нейтрино и γ-кванты).Детальное исследование рождения и превращения гиперонов привело кустановлению новой квантовой характеристики элементарных частиц — так называемой странности. Ее введение оказалось необходимым для объяснения ряда парадоксальных (с точки зрения существовавших представлений) свойств этих частиц. Дело в том, что гипероны должны были, как представлялось, обла- дать временем жизни примерно 10-23 с, что в 10 13 раз (!) меньше установленногона опыте. Подобные времена жизни можно объяснить лишь тем, что распад ги- перонов происходит в результате слабого взаимодействия. Кроме того, оказа- лось, что всякий раз гиперон рождается в паре с K-мезоном. Например, в реак- ции(274.1)с Λ 0 -гипероном всегда рождается K°-мезон, в поведении которого обнаружива-ются те же особенности, что и у гиперона. Распад же Λ 0 -гиперона происходитпо схеме(274.2)Особенности поведения гиперонов и K-мезонов были объяснены в 1955 г.М. Гелл-Манном с помощью квантового числа — странности S,которая сохра- няется в процессах сильного и электромагнитного взаимодействий. Если при- писать каонам S = 1, аΛ °- и Σ -гиперонам S = - 1и считать, что у нуклонов и π -мезонов S = 0, то сохранение суммарной странности частиц в сильном взаимо- действии объясняет как совместное рождениеΛ °-гиперона с K 0 -мезоном, так иневозможность распада частиц с не равной нулю странностью за счет сильного взаимодействия на частицы, странность которых равна нулю. Реакция (274.2) идет с нарушением странности, поэтому она не может происходить в результа- те сильного взаимодействия.Ξ -Гиперонам, которые рождаются совместно сдвумя каонами, приписывают S = - 2; ? -гиперонам — S = - 3.Из закона сохранения странности следовало существование частиц, та-ких, как K°-мезон, Σ 0 -, Ξ 0 -гипероны, которые впоследствии были обнаруженыэкспериментально. Каждый гиперон имеет свою античастицу.Элементарным частицам приписывают еще одну квантово-механическую658величи ну — челюсть Р— квантовое число, характеризующее симметрию вол- новой функции элементарной частицы (или системы элементарных частиц) от- носительно зеркального отражения. Если при зеркальном отражении волновая функция частицы не меняет знака, то четность частицы Р = +1 (четность поло- жительная), если меняет знак, то четность частицы Р = —1 (отрицательная).Из квантовой механики вытекает закон сохранения четности, согласнокоторому при всех превращениях, претерпеваемых системой частиц, четность состояния не изменяется. Сохранение четности связано со свойством зеркаль- ной симметрии пространства и указывает на инвариантность законов природы по отношению к замене правого левым, и наоборот. Однако исследования рас- падов K-мезоиов привели американских физиков Т. Ли и Ч. Янга (1956 г.; Но- белевская премия 1957 г.) к выводу о том, что в слабых взаимодействиях закон сохранения четности может нарушаться. Целый ряд опытов подтвердили это предсказание. Таким образом, закон сохранения четности,как и закон сохра- нения странности, выполняется только при сильных и электромагнитных взаимодействиях.• Что такое странность и четность элементарных частиц ? Для чего они вводятся ? Всегда ли вы -полняются законы их сохранения ?• Почему магнитный момент протона имеет то же направление , что и спин , а у электрона направ -ления этих векторов противоположны ?• Какие законы сохранения выполняются при сильных взаимодействиях элементарных частиц ?при слабых взаимодействиях ?• Каким элементарным частицам и почему приписывают лептонное число ? Барионное число ? Вчем заключаются законы их сохранения ?§ 275. К ЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ .К ВАРКИВ многообразии элементарных частиц, известных к настоящему времени,обнаруживается более или менее стройная система классификации. Для ее по- яснения в табл. 8 представлены основные характеристики рассмотренных выше элементарных частиц. Характеристики античастиц не приводятся, поскольку, как указывалось в § 273, модули зарядов и странности, массы, спины, изотопи- ческие спины и время жизни частиц и их античастиц одинаковы, они различа- ются лишь знаками зарядов и странности, а также знаками других величин, ха- рактеризующих их электрические (а следовательно, и магнитные) свойства. В таблице нет также античастиц фотона иπ °- и η 0 -мезонов, так как антифотон иантипи-ноль- и антиэта-ноль-мезоны тождественны с фотоном и π °- и η°-мезонами.В табл. 8 элементарные частицы объединены в три группы (см. § 272):фотоны, пептоны и адроны. Элементарные частицы, отнесенные к каждой из этих групп, обладают общими свойствами и характеристиками, которые отли- чают их от частиц другой группы.К группе фотоновотносится единственная частица — фотон, который659переносит электромагнитное взаимодействие. В электромагнитном взаимодей- ствии участвуют в той или иной степени все частицы, как заряженные, так и нейтральные (кроме нейтрино).К группе леитоновотносятся электрон, мюон, таон, соответствующие имнейтрино, а также их античастицы. Все лептоны имеют спин, равный 1/2, и, следовательно, являются фермионами (см. § 226), подчиняясь статистике Фер- ми — Дирака (см. § 235).Таблица 8Поскольку лептоны в сильных взаимодействиях не участвуют, изотопи-ческий спин им не приписывается. Странность лептонов равна нулю.660Элементарным частицам, относящимся к группе лептонов, приписываюттак называемое лептонное число (лептонный заряд)L.Обычно принимают, что L= + l для лептонов (е- , µ - , τ - , v e , v µ , v τ ), L = - 1 для антилептонов (е + , µ + , τ + .v e ,v µ , v τ ) и L = 0 для всех остальных элементарных частиц. Введение Lпозво-ляет сформулировать закон сохранения лептонного числа:в замкнутой сис- теме при всех без исключения процессахвзаимопревращаемости элементарных частиц лептонное число сохраняется.Теперь понятно, почему при распаде (258.1) нейтральная частица названаантинейтрино, а при распаде (263.1) — нейтрино. Так как у электрона и ней- трино L = + l,а у позитрона и антинейтрино L = - 1, то закон сохранения леп- тонного числа выполняется лишь при условии, что антинейтрино возникает вместе с электроном, а нейтрино — с позитроном.Основную часть элементарных частиц составляют адроны. К группе ад-ронв от носятся пионы, каоны, η-мезон, нуклоны, гипероны, а также их анти- частицы (в табл. 8 приведены не все адроны).Адронам приписывают барионное число (барионнын заряд) В.Адроныс В=0 образуют подгруппу мезонов(пионы, каоны, η-мезон), а адроны с В= +1 образуют подгруппу барионов(от греч. «барис» — тяжелый; сюда относятся нуклоны и гипероны). Для лептонов и фотона В = 0.Если принять для барионов В = +1, для антибарионов (антинуклоны, антигипероны) В = - 1,а для всех ос- тальных частиц В = 0,то можно сформулировать закон сохранения барнонно- го числа: взамкнутой системе при всех процессахвзаимопревращаемости эле- ментарных частиц барионное число сохраняется.Из закона сохранения барионного числа следует, что при распаде барионанаряду с другими частицами обязательно образуется барион. Примерами со- хранения барионного числа являются реакции (273.1)—(273.5). Барионы имеют спин, равный 1/2 (только спин? - -гиперона равен 3/2), т. е. барионы, как и леп-тоны, являются фермионами.Странность Sдля различных частиц подгруппы барионов имеет разныезначения (см. табл. 8).Мезоны имеют спин, равный нулю, и, следовательно, являются бозонами(см. § 226), подчиняясь статистике Бозе — Эйнштейна (см. § 235). Для мезонов лептонные и барионные числа равны нулю. Из подгруппы мезонов только као- ны обладают S =+1, а пионы и η-мезоны имеют нулевую странность.Подчеркнем еще раз, что для процессов взаимопревращаемости элемен-тарных частиц,обусловленных сильными взаимодействиями,выполняются все законы сохранения(энергии, импульса, момента импульса, зарядов (элек- трического, лептонного и барионного), изоспина, странности и четности). В процессах, обусловленных слабыми взаимодействиями, не сохраняются толь- ко изоспин, странность и четность.В последние годы увеличение числа элементарных частиц происходит восновном вследствие расширения группы адронов.Поэтому развитие работ по их классификации все время сопровождалосьпоисками новых, более фундаментальных частиц, которые могли бы служить базисом для построения всех адронов. Гипотеза о существовании таких частиц,661названных кварками,была высказана независимо друг от друга (1964) авст- рийским физиком Дж. Цвейгом (р. 1937) и Гелл-Манном.Название «кварк» заимствовано изромана ирландского писателя Дж.Джойса «Поминки по Финнегану» (герою снится сон, в котором чайки кричат: «Три кварка для мастера Марка»).Согласно модели Гелл-Манна — Цвейга, все известные в то время адро-ны можно было построить, постулировав существование трех типов кварков (и, d, s)и соответствующих антикварков (?, d, s),если им приписать характеристи- ки, указанные в табл. 9 (в том числе дробные электрические и барионные заря- ды). Самое удивительное (почти невероятное) свойство кварков связано сих электрическим зарядом, поскольку еще никто не находил частицы с дробным значением элементарного электрического заряда. Спин кварка равен1 / ,по-2скольку только из фермионов можно «сконструировать» как фермионы (нечет- ное число фермионов), так и бозоны (четное число фермионов).Адроны строятся из кварков следующим образом: мезоны состоят из па-ры кварк — антикварк, барионы — из трех кварков (антибарион — из трех ан- тикварков).Так, например, пион π + имеет кварковую структуру ud,пион π - — ?d,ка-он K + - ds,протон — uud,нейтрон — udd, Σ + -гиперон — uus, Σ °-гиперон — udsит. д.Во избежание трудностей со статистикой (некоторые барионы, например? - -гиперон, состоят из трех одинаковых кварков (sss),что запрещено принци-пом Паули; см. § 227) на данном этапе предполагают, что каждый кварк (антик- варк) обладает специфической квантовой характеристикой — цветом: «жел- тым», «синим» и «красным». Тогда, если кварки имеют неодинаковую «окра- ску», принцип Паули не нарушается.Углубленное изучение модели Гелл-Манна — Цвейга, а также открытие в1974 т. истинно нейтрального джей-пси-мезона (J/ Ψ ) массой около 6000m e современем жизни примерно 10 -20 с и спином, равным единице, привело к введе-нию нового кварка — так называемого с-кварка и новой сохраняющейся вели- чины — «очарования» (от англ. charm).Подобно странности и четности, очарование сохраняется в сильных иэлектромагнитных взаимодействиях, но не сохраняется в слабых.Закон со- хранения очарования объясняет относительно долгое время жизни J/Ψ -мезона.Основные характеристики с-кварка приведены в табл. 9.Таблица 9662Частице J/ Ψ приписывается кварковая структура cc.Структура сc назы-вается чармонием — атомоподобная система, напоминающая позитроннй (свя- занная водородоподобная система, состоящая из электрона и позитрона, дви- жущихся вокруг общего центра масс).Кварковая модель оказалась весьма плодотворной, она позволила опреде-лить почти все основные квантовые числа адронов. Например, из этой модели, поскольку спин кварков равен1 / 2 , следует целочисленный (нулевой) спин длямезонов и полуцелый — для барионов в полном соответствии с экспериментом. Кроме того, эта модель позволила предсказать также и новые частицы, напри- мер? - -гиперон. Однако при использовании этой модели возникают и трудно-сти. Квар ковая модель не позволяет, например, определить массу адронов, по- скольку для этого необходимо знание динамики взаимодействия кварков и их масс, которые пока неизвестны.В настоящее время признана точка зрения, что между лептонами и квар-ками существует симметрия: число лептонов должно быть равно числу типов кварков. В 1977 г. был открыт сверхтяжелый мезон массой около 20 000mе , ко-торый представляет собой структуру из кварка и антикварка нового типа — b- кварка (является носителем сохраняющейся в сильных взаимодействиях вели- чины, названной «прелестью» (от англ, beauty)). Заряд b-кварка равен — 1/3. Предполагается, что существует и шестой кварк t с зарядом +2 /з, который ужерешено назвать истинным(от англ, truth — истина), подобно тому как с-кварк называют очарованным, b-кварк — прелестным. В физике элементарных частиц введен «аромат» — характеристика типа кварка (u, d, s, с, b, t?),объединяющая совокупность квантовых чисел (странность, очарование, прелесть и др.), отли- чающих один тип кварка от другого, кроме цвета. Аромат сохраняется в силь- ных и электромагнитных взаимодействиях. Является ли схема из шести лепто- нов и шести кварков окончательной или же число лептонов (кварков) будет расти, покажут дальнейшие исследования.• Зачем нужна гипотеза о существовании кварков ? Что объясняется с ее помощью ? В чем еетрудность ?• Почему потребовалось введение таких характеристик кварков , как цвет и очарование ?• Какие имеются группы элементарных частиц ? Каковы критерии , по которым элементарные час -тицы относятся к той или иной группе ?З АДАЧИ33.1. Принимая, что энергия релятивистских мюонов в космическом из-лучении составляет 3 ГэВ, определить расстояние, проходимое мюонами за время их жизни, если собственное время жизни мюона 2,2 икс, а энергия покоя 100 МэВ. [19,8 км]33.2. Нейтральный пион распадается на два γ-кванта: π ° → 2γ. Принимаямассу покоя пиона равной 264,1m e определить энергию каждого из возникшихγ-квантов. [67,7 МэВ]66333.3. При столкновении нейтрона и антинейтрона происходит их анниги-ляция, в результате чего возникают два γ-кванта, а энергия частиц переходит в энергию γ-квантов. Определить энергию каждого из возникших γ-квантов, при- нимая, что кинетическая энергия нейтрона и позитрона до их столкновения пре- небрежимо мала. [942 МэВ]33.4. Определить, какие из приведенных ниже процессов запрещены за-коном сохранения лептонного числа: 1) K + →µ - + v µ ; 2) К + → е + + π ° + v e .33.5. Определить, какие из приведенных ниже процессов разрешены за-коном сохранения странности: 1) р + π - → Σ + К + ; 2) р + π - → К - + К + + n.33.6. Определить, какие законы сохранения нарушаются в приведенных664 ЗАКЛЮЧЕНИЕИтак, изложение курса физики закончено. Начав его детальное изучение сфизических основ механики, мы последовательно рассмотрели основы молеку- лярной физики и термодинамики, учение об электричестве и электромагнетиз- ме, колебания и волны,оптику, элементы квантовой физики и физики твердоготела, физики ядра и элементарных частиц. Приведенный перечень разделов, из- ложенных в курсе, позволяет проследить логику развития физики и эволюцию ее идей, а также представить основные периоды и этапы ее становления.Со времени выхода в свет труда И. Ньютона «Математические начала на-туральной философии» (1687), в котором он сформулировал три основных за- кона механики и закон всемирного тяготения, прошло более трехсот лет. За это время физика прoшла путь от макроскопического уровня изучения явлений до исследования материи уровне элементарных частиц.Однако, несмотря на огромные успехи, которых физика достигла за этовремя и особенно в XX столетии, современная физика и астрофизика стоят пе- ред целым рядом нерешенных проблем.Например, проблемы физики плазмы — разработка методов разогреваплазмы примерно 10 9 К и ее удержание в течение времени, достаточного дляпротека термоядерной реакции; квантовой электроники — существенное по- вышение к.п.д. л, ров, расширение диапазона длин волн лазерного излучения с плавной перестройкой частоте и т. д.; физики твердого тела — получение мате- риалов с наперед заданными свойствами и, в частности, с экстремальными па- раметрами по большому «спектру» характеристик, создание высокотемпера- турных сверхпроводников и т. д.; физики атомного ядра — осуществление управляемого термоядерного синтеза, поиск долгоживущих элементов с Z = 114÷ 126, предсказанных теорией, построение теории силы взаимодействий ит. д.; физики элементарных частиц — доказательство реально существования кварков и глюонов (частиц, осуществляющих взаимодействие между кварка- ми), построение квантовой теории тяготения и т. д.; астрофизики — природа квазаров (мощных внегалактических источников электромагнитного излуче- ния), причины вспышек сверхновых звезд, состояние материи при огромных плотностях и давлениях внутри нейтронных звезд и т. д. Поставленные пробле- мы требуют дальнейшего разрешения.665 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ1. Ф ИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИСредняя скоростьУгловое ускорениеМгновенная скоростьКинематические уравнения равнопеременного вращательного движенияСреднее ускорениеМгновенное ускорениеСвязь между линейными и угловыми вели чинами при вращательном движенииТангенциальная составляющая ускоренияИмпульс (количество движения)Нормальная составляющая ускоренияВторой закон НьютонаПолное ускорение Сила трения скольженияЗакон сохранения импульса (для замкнутой системы)Кинематические уравнения равнопеременного поступательного движенияРабота переменной силы на участке траекто- рии 1—2Угловая скорость Мгновенная мощностьКинетическая энергияПотенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли,Потенциальная энергия упругодеформированного телаПолная механическая энергия системыЗакон сохранения механической энергии (для консервативной системы)Скорость шаров массами m 1 и m 2 послеабсолютно упругого центрального удараСкорость шаров после абсолютного неупругого удараМомент инерции системы (тела)Моменты инерции полого и сплошного цилиндров (или диска) относительно оси симметрииМомент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара,Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярнойстержню и проходящей через его середину,Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и про ходящей через его конец,Теорема ШтейнераКинетическая энергия вращающегося телa относительно неподвижной осиМомент силы относительно неподвижной точкиМомент силы относительно иеподвижной осиМомент импульса материальной точки относительно неподвижной точкиМомент импульса твердого тела относительно неподвижной осиУравнение динамики вращательного движения твердого телаЗакон сохранения момента импульса замкнутой системы)Закон всемирного тяготенияСила тяжестиНапряженность поля тяготенияПотенциал поля тяготенияВзаимосвязь между потенциалом поля тяготения и его напряженностьюУравнение неразрывности для несжимаемой жидкостиУравнение БернуллиРелятивистское замедление хода часовРелятивистское (лоренцево) сокращение длины стержняРелятивистский закон сложения скоростейМасса релятивистской частицыЗакон взаимосвязи массы и энергииРелятивистский импульсСвязь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы 2.ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИЗакон Бойля — МариоттаЗаконы Гей-ЛюссакаЗакон ДальтонаУравнение Клапейрона — Менделеева для произвольной массы газаОсновное уравнение молекулярно- кинетической теории идеального газаСредняя квадратичная скорость молекулыСредняя арифметическая скорость молекулыНаиболее вероятная скорость молекулы Барометрическая формулаСредняя длина свободного пробега молекул за 1 сСреднее число столкновений молекулы Закон теплопроводности ФурьеТеплопроводность (коэффициент)Закон диффузии ФикаДиффузия (коэффициент)Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)Динамическая вязкостьСредняя энергия молекулыВнутренняя энергия произвольной массы газаПервое начало термодинамикиМолярная теплоемкость газа при постоянном объемеМолярная теплоемкость газа при постоянном давленииРабота газа при изменении его объемаРабота газа при изобарном расширенииРабота газа при изотермическом расширенииУравнения адиабатического процесса (уравнение Пуассона)Работа газа при адиабатическом расширенииТермический коэффициент полезного действия для кругового процессаТермический коэффициент полезного действия цикла КарноУравнение Ван-дер-Ваальса для моля реального газа3.Э ЛЕКТРИЧЕСТВО ИЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМЗакон КулонаНапряженность электростатического поляПоток вектора напряженности электростатического поля сквозь замкнутую поверхность SПринцип суперпозицииЭлектрический момент диполя Потенциал электростатического поляТеорема Гаусса для электростатического поля в вакуумеСвязь между потенциалом электростатического поля и его напряженностьюПоляризованностьОбъемная, поверхностная и линейная плотности зарядаСвязь между векторами Р и ЕНапряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,Связь между диэлектрической проницаемостью среды в и диэлектрической восприимчивостью вещества яНапряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно за ряженными плоскостями,Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поляНапряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью,Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром,Энергия уединенного проводникаЭлектрическая емкость шараНапряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром,Электрическая емкость плоского конденсатораЦиркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура L Электрическая емкость цилиндрического конденсатора670Мощность токаЭлектрическая емкость сферического конденсатораЗакон Джоуля — ЛенцаЭлектрическая емкость параллельно соединенных конденсаторовЗакон Джоуля — Ленца в дифференциальной формеЗакон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома)Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторовЭнергия заряженного уединенного проводникаПравила КирхгофаЭнергия заряженного конденсатора Коэффициент вторичной электронной эмиссииМагнитный момент рамки с токомОбъемная плотность энергии электростатического поляВращательный момент, действующий на рамку с током в магнитном поле,Сила тока Связь между индукцией и напряженностью магнитного поляЗакон Био — Савара — Лапласа для элемента проводника с токомПлотность токаЭлектродвижущая сила, действующая в цепиМагнитная индукция поля прямого токаЗакон Ома для однородного участка цепиМагнитная индукция поля в центре кругового проводника с токомЗакон Ома в дифференциальной формеЗакон АмпераМагнитное поле свободно движущегося зарядаСила ЛоренцаХолловская поперечная разность потенциаловЗакон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего Nвитков,Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь произвольную поверхностьТеорема Гаусса для поля с магнитной индукцией ВРабота по перемещению проводника с током в магнитном полеРабота по перемещению замкнутого контура,с током в магнитном полеЗакон ФарадеяЭ. д. с. самоиндукции Плотность тока смещенияИндуктивность бесконечно длинного соленоида, имеющего Nвитков,Ток при размыкании цениТок при замыкании цепиЭнергия магнитного поля, связанного с контуром,Объемная плотность энергии магнитного поляНамагниченностьСвязь между векторами J и НСвязь между магнитной проницаемостью средыµ и магнитной восприимчивостьювещества χЗакон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)Теорема о циркуляции вектора НПлотность тока смещенияПолная система уравнений Максвелла: в интегральной формев дифференциальной форме 4.К ОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫУравнение гармонического колебанияДифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний величины sПериод колебаний физического маятникаПериод колебаний математического маятникаФормула ТомсонаДифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний величины s672Логарифмический декремент затуханияДифференциальное уравнение вынужденных колебаний величины sРеактивное индуктивное сопротивлениеРеактивное емкостное сопротивлениеПолное сопротивление цепиДлина волныУравнение плоской волныУравнение сферической волныФазовая скоростьВолновое уравнениеГрупповая скоростьУравнение стоячей волныЭффект Доплера в акустикеВектор Умова — ПойнтингаСкорость распространения электромагнитных волн в среде5. О ПТИКА . К ВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯЗакон отражения светаЗакон преломления светаФормула тонкой линзыПоток излученияЭнергетическая светимостьЭнергетическая сила светаЭнергетическая яркостьПоказатель преломления средыОптическая длина путиОптическая разность хода673Условие интерференционных максимумовУсловие интерференционных минимумовОптическая разность хода в тонких пленках в отраженном светеРадиусы зон ФренеляУсловие дифракционных максимумов от одной щелиУсловие дифракционных минимумов от одной щелиУсловие главных максимумов дифракционной решеткиУсловие дополнительных минимумов дифракционной решеткиФормула Вульфа — БрэгговРазрешающая способность спектрального прибораРазрешающая способность дифракционной решеткиЗакон Бугера674Продольный эффект Доплера Формула ПланкаПоперечный эффект ДоплераУравнение Эйнштейна для внешнего фото эффектаСтепень поляризацииЭнергия фотонаЗакон Малюса Масса фотонаЗакон БрюстераИмпульс фотонаОптическая разность хода в эффекте КерраДавление света при его нормальном падении на поверхностьУгол вращения плоскости поляризации в кристаллахУгол вращения плоскости поляризации в растворахИзменение длины волны при эффекте КомптонаЗакон Кирхгофа для теплового излученияЭнергетическая светимость черного телаБ . Э ЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИАТОМОВ , МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛОбобщенная формула БальмераЗакон Стефана — БольцманаЗакон смешения ВинаПервый постулат БораФормула Рэлея — Джинса Второй постулат Бора (правило частот)Энергия электрона в водородоподобном675атоме Энергия квантового осциллятораДлина волны де Бройля Уравнение Шредингера для электрона в ато- ме ВодородаСоотношение неопределенностейНормированная волновая функция, отвечающая 1s-состоянию электрона в атоме водорода,Вероятность нахождения частицы в элементе объема dVЗакон МозлиУсловие нормировки вероятностейРаспределение Бозе — ЭйнштейнаОбщее уравнение ШредингераРаспределение Ферми — ДиракаУравнение Шредингера для стационарных состоянийУровень Ферми в собственном полупроводникеВолновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»,Удельная проводимость собственных полупроводниковСобственные значения энергии частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»Правило Стокса для люминесцентного из лученияКоэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера7. Э ЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦРадиус ядраЭнергия связи нуклонов в ядреДефект массы ядраМагнетон БораЯдерный магнетонЗакон радиоактивного распадаПериод полураспадаСреднее время жизни радиоактивного ядраАктивность нуклидаПравило смещения для α -распадаПравило смещения для β - -распадаПравило смещения для β + -распадаСимволическая запись ядерной реакцииСОДЕРЖАНИЕПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................................................................................. 3ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................................................................................... 4П РЕДМЕТ ФИЗИКИ И ЕЕ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ .................................................................................................... 4Е ДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ................................................................................................................................. 5ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 7ГЛАВА 1 7 ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ .............................................................................................................. 7§ 1. М ОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ . С ИСТЕМА ОТСЧЕТА . 7 Т РАЕКТОРИЯ , ДЛИНА ПУТИ , ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ..................... 7§ 2. С КОРОСТЬ ............................................................................................................................................................... 10§ 3. У СКОРЕНИЕ И ЕГО СОСТАВЛЯЮЩИЕ ..................................................................................................................... 11§ 4. У ГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ ........................................................................................................ 14З АДАЧИ ......................................................................................................................................................................... 17ГЛАВА 2 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ............................................................................................................................................................................... 18§ 5. П ЕРВЫЙ ЗАКОН Н ЬЮТОНА . М АССА . С ИЛА ............................................................................................................ 18§ 6. В ТОРОЙ ЗАКОН Н ЬЮТОНА ..................................................................................................................................... 19§ 7. Т РЕТИЙ ЗАКОН Н ЬЮТОНА ...................................................................................................................................... 21§ 8. С ИЛЫ ТРЕНИЯ ......................................................................................................................................................... 21§ 9. З АКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА . Ц ЕНТР МАСС .................................................................................................... 23§ 10. У РАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ .......................................................................................... 26З АДАЧИ ......................................................................................................................................................................... 27ГЛАВА 3 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ .............................................................................................................................. 29§11. Э НЕРГИЯ , РАБОТА , МОЩНОСТЬ ............................................................................................................................. 29§ 12. К ИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИИ .................................................................................................... 31§ 13. З АКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ............................................................................................................................. 34§ 14. Г РАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ........................................................................................................... 36§ 15. У ДАР АБСОЛЮТНО УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ ТЕЛ .................................................................................................. 39З АДАЧИ ......................................................................................................................................................................... 44ГЛАВА 4 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ............................................................................................................ 45§ 16. М ОМЕНТ ИНЕРЦИИ ............................................................................................................................................... 45§ 17. К ИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ .................................................................................................................. 46§ 18. М ОМЕНТ СИЛЫ . У РАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ................................. 48§ 19. М ОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯ ................................................................................................ 50§ 20. С ВОБОДНЫE ОСИ . Г ИРОСКОП .............................................................................................................................. 53§ 21. Д ЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ............................................................................................................................ 57З АДАЧИ ......................................................................................................................................................................... 59ГЛАВА 5 ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ..................................................................................... 61§ 22. З АКОНЫ К ЕПЛЕРА . З АКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ ........................................................................................ 61§ 23. С ИЛА ТЯЖЕСТИ И ВЕС . Н ЕВЕСОМОСТЬ ................................................................................................................ 62§ 24. П ОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ И ЕГО НАПРЯЖЕННОСТЬ .......................................................................................................... 64§ 25. Р АБОТА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ . П ОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ ............................................................................. 65§ 26. К ОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ................................................................................................................................... 67§ 27. Н ЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА . С ИЛЫ ИНЕРЦИИ ................................................................................... 68З АДАЧИ ......................................................................................................................................................................... 73ГЛАВА 6 ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ.......................................................................................... 75§ 28. Д АВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ И ГАЗЕ ........................................................................................................................... 75§ 29. У РАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ .............................................................................................................................. 76§ 30. У РАВНЕНИЕ Б ЕРНУЛЛИ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО ................................................................................................... 78§ 31. В ЯЗКОСТЬ ( ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ ). Л АМИНАРНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ............ 82678§ 32. М ЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЯЗКОСТИ ...................................................................................................................... 84§ 33. Д ВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ .............................................................................................................. 86З АДАЧИ ......................................................................................................................................................................... 88ГЛАВА 7 ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ) ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ....................... 90§ 34. П РЕОБРАЗОВАНИЯ Г АЛИЛЕЯ . М ЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ................................................. 90§ 35. П ОСТУЛАТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ( ЧАСТНОЙ ) ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ .............................................................. 92§ 36. П РЕОБРАЗОВАНИЯ Л ОРЕНЦА ............................................................................................................................... 93§ 37. С ЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Л ОРЕНЦА ....................................................................................................... 95§ 38. И НТЕРВАЛ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ ........................................................................................................................ 100§ 39. О СНОВНОЙ ЗАКОН РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ..................................................... 101§ 40. З АКОН ВЗАИМОСВЯЗИ МАССЫ И ЭНЕРГИИ ......................................................................................................... 103З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 105ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИГЛАВА 8 МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ ..................................... 107§ 41. С ТАТИСТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ . О ПЫТНЫЕ ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА .................... 107§ 42. У РАВНЕНИЕ К ЛАПЕЙРОНА — М ЕНДЕЛЕЕВА ..................................................................................................... 111§ 43. О СНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО - КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ .................................... 113§ 44. З АКОН М АКСВЕЛЛА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ И ЭНЕРГИЯМТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ .............................................................................................................................................. 116§ 45. Б АРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА . Р АСПРЕДЕЛЕНИЕ Б ОЛЬЦМАНА ........................................................................ 118§ 46. С РЕДНЕЕ ЧИСЛО СТОЛКНОВЕНИЙ И СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ .................................. 120§ 47. О ПЫТНОЕ ОБОСНОВАНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО - КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ............................................................... 122§ 48. Я ВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМАХ ................................................... 124§ 49. В АКУУМ И МЕТОДЫ ЕГО ПОЛУЧЕНИЯ . С ВОЙСТВА УЛЬТРАРАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ ............................................. 126З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 130ГЛАВА 9 ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ .......................................................................................................... 131§ 50. Ч ИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛЫ . З АКОН РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМСВОБОДЫ МОЛЕКУЛ .................................................................................................................................................... 131§ 51. П ЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ .................................................................................................................. 133§ 52. Р АБОТА ГАЗА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ЕГО ОБЪЕМА ..................................................................................................... 134§ 53. Т ЕПЛОЕМКОСТЬ ................................................................................................................................................. 135§ 54. П РИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ К ИЗОПРОЦЕССАМ ........................................................... 138§ 55. А ДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС . П ОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС .................................................................................. 140§ 56. К РУГОВОЙ ПРОЦЕСС ( ЦИКЛ ). О БРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ ......................................................... 143§ 57. Э НТРОПИЯ , ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ И СВЯЗЬ С ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ ............. 144§ 58. В ТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ .................................................................................................................. 147§ 59. Т ЕПЛОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ХОЛОДИЛЬНЫЕ МАШИНЫ . Ц ИКЛ К АРНО И ЕГО К . П . Д . ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА .. 149З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 153ГЛАВА 10 РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ И ТВЕРДЫЕ ТЕЛА................................................................ 155§ 60. С ИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ .............................................. 155§ 61. У РАВНЕНИЕ В АН - ДЕР -В ААЛЬСА ........................................................................................................................ 157§ 62. И ЗОТЕРМЫ В АН - ДЕР -В ААЛЬСА И ИХ АНАЛИЗ ................................................................................................... 158§ 63. В НУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ РЕАЛЬНОГО ГАЗА ........................................................................................................... 162§ 64. Э ФФЕКТ Д ЖОУЛЯ — Т ОМСОНА ......................................................................................................................... 163§ 65. С ЖИЖЕНИЕ ГАЗОВ .............................................................................................................................................. 165§ 66. С ВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ . П ОВЕРХНОСТНОE ....................................................................................................... 167НАТЯЖЕНИЕ ................................................................................................................................................................ 167§ 67. С МАЧИВАНИЕ ..................................................................................................................................................... 170§ 68. Д АВЛЕНИЕ ПОД ИСКРИВЛЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ ......................................................................... 172§ 69. К АПИЛЛЯРНЫE ЯВЛЕНИЯ ................................................................................................................................... 173§ 70. Т ВЕРДЫE ТЕЛА . М ОНО - И ПОЛИКРИСТАЛЛЫ ..................................................................................................... 174§ 71. Т ИПЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ .......................................................................................................... 175§ 72. Д ЕФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ ................................................................................................................................... 182§ 73. Т ЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ........................................................................................................................... 183§ 74. И СПАРЕНИЕ , СУБЛИМАЦИЯ , ПЛАВЛЕНИЕ И КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ . А МОРФНЫЕ ТЕЛА ........................................... 185§75. Ф АЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ I И II РОДА ........................................................................................................................ 187§ 76. Д ИАГРАММА СОСТОЯНИЯ . Т РОЙНАЯ ТОЧКА ..................................................................................................... 188З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 191679ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМГЛАВА 11 ЭЛЕКТРОСТАТИКА ............................................................................................................................ 192§ 77. З АКОН СОХРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА ............................................................................................... 192§ 78. З АКОН К УЛОНА .................................................................................................................................................. 193§ 79. Э ЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ . Н АПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ............................................ 194§ 80. П РИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ . П ОЛЕ ДИПОЛЯ ...................................................... 197§ 81. Т ЕОРЕМА Г АУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ ................................................................ 199§ 82. П РИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ Г АУССА К РАСЧЕТУ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ .......... 202§ 83. Ц ИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ...................................................... 206§ 84. П ОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ................................................................................................................ 207§ 85. Н АПРЯЖЕННОСТЬ КАК ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА . Э КВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ............................... 210§ 86. В ЫЧИСЛЕНИЕ РАЗНОСТИ ПОТЕНЦИАЛОВ ПО НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ .............................................................. 211§ 87. Т ИПЫ ДИЭЛЕКТРИКОВ . П ОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ ................................................................................... 213§ 88. П ОЛЯРИЗОВАННОСТЬ . Н АПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКЕ ...................................................................... 215§ 89. Э ЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ . Т ЕОРЕМА Г АУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДИЭЛЕКТРИКЕ .......... 217§ 90. У СЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД ..................................................................... 218§ 91. С ЕТНЕТОЭЛЕКТРИКИ .......................................................................................................................................... 221§ 92. П РОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ .................................................................................................. 223§ 93. Э ЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА ................................................................................ 226§ 94. К ОНДЕНСАТОРЫ ................................................................................................................................................. 227§ 95. Э НЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ , УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА И КОНДЕНСАТОРА . Э НЕРГИЯЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ................................................................................................................................... 230З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 233ГЛАВА 12 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК .................................................................................... 235§ 96. Э ЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК , СИЛА И ПЛОТНОСТЬ ТОКА .............................................................................................. 235§ 97. С ТОРОННИЕ СИЛЫ . Э ЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА И НАПРЯЖЕНИЕ ..................................................................... 236§ 98. З АКОН О МА . С ОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКОВ ................................................................................................. 238§ 99. Р АБОТА И МОЩНОСТЬ ТОКА . З АКОН Д ЖОУЛЯ — Л ЕНЦА .................................................................................. 240§ 100. З АКОН О МА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ ........................................................................................ 242§ 101. П РАВИЛА К ИРХГОФА ДЛЯ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ ........................................................................................ 243З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 247ГЛАВА 13 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, ВАКУУМЕ И ГАЗАХ ............................................. 248§ 102. Э ЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ ............................................. 248§ 103. В ЫВОД ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИМЕТАЛЛОВ .................................................................................................................................................................. 250§ 104. Р АБОТА ВЫХОДА ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА ................................................................................................... 252§ 105. Э МИССИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ................................................................................................. 254§ 106. И ОНИЗАЦИЯ ГАЗОВ . Н ЕСАМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ ГАЗОВЫЙ РАЗРЯД ...................................................................... 258§ 107. С АМОСТОЯТЕЛЬНЫЙ ГАЗОВЫЙ РАЗРЯД И ЕГО ТИПЫ ....................................................................................... 260З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 266ГЛАВА 14 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ............................................................................................................................ 267§ 109. М АГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ ................................................................................................... 267§ 110. З АКОН Б ИО - С АВАРА - Л АПЛАСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ............................... 270§ 111. З АКОН А МПЕРА . В ЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТОКОВ ......................................................................... 273§ 112. М АГНИТНАЯ ПОСТОЯННАЯ . Е ДИНИЦЫ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ И НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ .. 275§ 113. М АГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА .................................................................................................... 276§ 114. Д ЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖУЩИЙСЯ ЗАРЯД .............................................................................. 277§ 115. Д ВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ................................................................................ 278§ 116. У СКОРИТЕЛИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ............................................................................................................... 280§ 117. Э ФФЕКТ Х ОЛЛА ............................................................................................................................................... 282§ 118. Ц ИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА В МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ ............................................................................ 283§ 119. М АГНИТНЫЕ ПОЛЯ СОЛЕНОИДА И ТОРОИДА ................................................................................................... 285§ 120. П ОТОК ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ . Т ЕОРЕМА Г АУССА ДЛЯ ПОЛЯ В ................................................... 287§ 121. Р АБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ПРОВОДНИКА И КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ................................. 288З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 290ГЛАВА 15 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ ........................................................................................... 293§122. Я ВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ( ОПЫТЫ Ф АРАДЕЯ ) .................................................................... 293680§ 123. З АКОН Ф АРАДЕЯ И ЕГО ВЫВОД ИЗ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ............................................................... 294§ 124. В РАЩЕНИЕ РАМКИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ......................................................................................................... 296§ 125. В ИХРЕВЫЕ ТОКИ ( ТОКИ Ф УКО )........................................................................................................................ 298§ 126. И НДУКТИВНОСТЬ КОНТУРА . С АМОИНДУКЦИЯ ................................................................................................ 299§ 127. Т ОКИ ПРИ РАЗМЫКАНИИ И ЗАМЫКАНИИ ЦЕПИ ................................................................................................ 301§ 128. В ЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ ..................................................................................................................................... 303§ 129. Т РАНСФОРМАТОРЫ .......................................................................................................................................... 305§ 130. Э НЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ .......................................................................................................................... 307З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 308ГЛАВА 16 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА....................................................................................... 310§ 131. М АГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНОВ И АТОМОВ ........................................................................................... 310§ 132. Д ИА - И ПАРАМАГНЕТИЗМ ................................................................................................................................. 312§ 133. Н АМАГНИЧЕННОСТЬ . М АГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ .................................................................................. 314§ 134. У СЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДEЛА ДВУХ МАГНЕТИКОВ ..................................................................................... 317§ 135. Ф ЕРРОМАГНЕТИКИ И ИХ СВОЙСТВА ................................................................................................................ 319§ 136. П РИРОДА ФЕРРОМАГНЕТИЗМА ......................................................................................................................... 322З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 324ГЛАВА 17 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ........................ 325§ 137. В ИХРЕВОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ................................................................................................................... 325§ 138. Т ОК СМЕЩЕНИЯ ............................................................................................................................................... 326§ 139. У РАВНЕНИЯ М АКСВЕЛЛА ДЛЯ ......................................................................................................................... 329ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ...................................................................................................................................... 329КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫГЛАВА 18 МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ............................................... 333§ 140. Г АРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ ................................................................................. 333§ 141. М ЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ............................................................................................. 336§ 142. Г АРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР . П РУЖИННЫЙ , ФИЗИЧЕСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИКИ ................. 338§ 143. С ВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ .................................................... 340§ 144. С ЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ И ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ . Б ИЕНИЯ ..... 343§ 145. С ЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ .............................................................................. 346§ 146. Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ( МЕХАНИЧЕСКИХ ИЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ) И ЕГО РЕШЕНИЕ ...................................................................................................................... 348§ 147. Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ( МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ) ИЕГО РЕШЕНИЕ .............................................................................................................................................................. 353§ 148. А МПЛИТУДА И ФАЗА ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ( МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ).Р ЕЗОНАНС ................................................................................................................................................................... 356§ 149. П ЕРЕМЕННЫЙ ТОК ............................................................................................................................................ 359§ 150. Р ЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ ................................................................................................................................. 364§ 151. Р ЕЗОНАНС ТОКОВ ............................................................................................................................................. 365§ 152. М ОЩНОСТЬ , ВЫДЕЛЯЕМАЯ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ............................................................................... 367З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 368ГЛАВА 19 УПРУГИЕ ВОЛНЫ .............................................................................................................................. 370§ 153. В ОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ . П РОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ ...................................................................... 370§ 154. У РАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ . Ф АЗОВАЯ СКОРОСТЬ . В ОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ .............................................. 371§ 155. П РИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ . Г РУППОВАЯ СКОРОСТЬ ....................................................................................... 374§ 156. И НТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН .................................................................................................................................... 375§ 157. С ТОЯЧИЕ ВОЛНЫ .............................................................................................................................................. 377§ 158. З ВУКОВЫЕ ВОЛНЫ ............................................................................................................................................ 379§ 158. Э ФФЕКТ Д ОПЛЕРА В АКУСТИКЕ ....................................................................................................................... 381§ 160. У ЛЬТРАЗВУК И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ .................................................................................................................... 383З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 384ГЛАВА 20 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ................................................................................................... 385§ 161. Э КСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН .................................................................. 385§ 182. Д ИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ .................................................................. 387§ 163. Э НЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН . И МПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ........................................... 389§ 164. И ЗЛУЧЕНИЕ ДИПОЛЯ . П РИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН .................................................................. 391З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 393681ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯГЛАВА 21 ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ ......................................... 394§ 165. О СНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ОПТИКИ . П ОЛНОE ОТРАЖЕНИЕ ....................................................................................... 394§ 166. Т ОНКИЕ ЛИНЗЫ . И ЗОБРАЖЕНИЕ ПРЕДМЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЗ ................................................................... 397§ 167. А БЕРРАЦИИ ( ПОГРЕШНОСТИ ) ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ..................................................................................... 403§ 168. О СНОВНЫЕ ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЕДИНИЦЫ ......................................................................... 405§ 169. Э ЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ ................................................................................................................. 406З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 409ГЛАВА 22 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА ............................................................................................................... 411§ 170. Р АЗВИТИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ПРИРОДЕ СВЕТА ............................................................................................... 411§ 171. К ОГЕРЕНТНОСТЬ И МОНОХРОМАТИЧНОСТЬ СВЕТОВЫХ ВОЛН ........................................................................ 415§ 172. И НТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА .................................................................................................................................. 416§ 173. М ЕТОДЫ НАБЛЮДЕНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА ............................................................................................ 418§ 174. И НТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ ................................................................................................. 421§ 175. П РИМЕНЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА ............................................................................................................ 426З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 430ГЛАВА 23 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА .......................................................................................................................... 431§ 176. П РИНЦИП Г ЮЙГЕНСА — Ф РЕНЕЛЯ ................................................................................................................. 431§ 177. М ЕТОД ЗОН Ф РЕНЕЛЯ . П РЯМОЛИНЕЙНОE РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА ............................................................ 432§ 178. Д ИФРАКЦИЯ Ф РЕНЕЛЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ И ДИСКЕ .............................................................................. 435§ 179. Д ИФРАКЦИЯ Ф РАУНГОФЕРА НА ОДНОЙ ЩЕЛИ ................................................................................................ 437§ 180. Д ИФРАКЦИЯ Ф РАУНГОФЕРА НА ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКЕ ........................................................................ 439§ 181. П РОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА . Р АССЕЯНИИ СВЕТА ...................................................................................... 442§ 182. Д ИФРАКЦИЯ НА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТКЕ . Ф ОРМУЛА В УЛЬФА — Б РЭГГОВ ......................................... 443§ 183. Р АЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ ............................................................................... 445§ 184. П ОНЯТИЕ О ГОЛОГРАФИИ ................................................................................................................................ 447З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 450ГЛАВА 24 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ ............................. 451§ 185. Д ИСПЕРСИЯ СВЕТА ........................................................................................................................................... 451§ 186. Э ЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ СВЕТА ..................................................................................................... 453§ 187. П ОГЛОЩЕНИЕ ( АБСОРБЦИЯ ) СВЕТА ................................................................................................................. 455§ 188. Э ФФЕКТ Д ОПЛЕРА ............................................................................................................................................ 457§ 189. И ЗЛУЧЕНИЕ В АВИЛОВА — Ч ЕРЕНКОВА .......................................................................................................... 459З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 460ГЛАВА 25 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА .................................................................................................................... 461§ 190. Е СТЕСТВЕННЫЙ И ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ .................................................................................................... 461§ 191. П ОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА ПРИ ОТРАЖЕНИИ И ПРЕЛОМЛЕНИИ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ ..................... 464§ 192. Д ВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ ......................................................................................................................... 465§ 193. П ОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ПРИЗМЫ И ПОЛЯРОИДЫ .................................................................................................. 469§ 194. А НАЛИЗ ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА ................................................................................................................ 471§ 195. И СКУССТВЕННАЯ ОПТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ .............................................................................................. 473§ 196. В РАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ .......................................................................................................... 474З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 476ГЛАВА 26 КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ ......................................................................................... 477§ 197. Т ЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И « ГО ХАРАКТЕРИСТИКИ ............................................................................................ 477§ 198. З АКОН К ИРХГОФА ............................................................................................................................................ 479§ 199. З АКОНЫ С ТЕФАНА — Б ОЛЬЦМАНА И СМЕЩЕНИЯ В ИНА ............................................................................... 480§ 200. Ф ОРМУЛЫ Р ЭЛЕЯ — Д ЖИНСА И П ЛАНКА ....................................................................................................... 481§ 201. О ПТИЧЕСКАЯ ПИРОМЕТРИЯ . Т ЕПЛОВЫЕ ИСТОЧНИКИ СВЕТА ......................................................................... 485§ 202. В ИДЫ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА . З АКОНЫ ВНЕШНЕГО ФОТОЭФФЕКТА ............................................. 487§ 203. У РАВНЕНИЕ Э ЙНШТЕЙНА ДЛЯ ВНЕШНЕГО ФОТОЭФФЕКТА . Э КСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕКВАНТОВЫХ СВОЙСТВ СВЕТА ..................................................................................................................................... 490§ 204. П РИМЕНЕНИЕ ФОТОЭФФЕКТА .......................................................................................................................... 493§ 205. М АССА И ИМПУЛЬС ФОТОНА . Д АВЛЕНИЕ СВЕТА ............................................................................................ 494§ 206. Э ФФЕКТ К ОМПТОНА И ЕГО ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ...................................................................................... 496§ 207. Е ДИНСТВО КОРПУСКУЛЯРНЫХ И ВОЛНОВЫХ .................................................................................................. 498682СВОЙСТВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ............................................................................................................ 498ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛГЛАВА 27 ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ ....................................................................................... 501§ 208. М ОДЕЛИ АТОМА Т ОМСОНА И Р ЕЗАРФОРДА ..................................................................................................... 501§ 209. Л ИНЕЙЧАТЫЙ СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА ....................................................................................................... 503§ 210. П ОСТУЛАТЫ Б ОРА ............................................................................................................................................ 504§ 211. О ПЫТЫ Ф РАНКА И Г ЕРЦА ................................................................................................................................ 505§ 212. С ПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА ПО Б ОРУ ............................................................................................................... 507З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 509ГЛАВА 28 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ...................................................................................... 511§ 213. К ОРПУСКУЛЯРНО - ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВА ....................................................................... 511§ 214. Н ЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВОЛН ДЕ Б РОЙЛЯ ....................................................................................................... 513§ 215. С ООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ........................................................................................................... 514§ 216. В ОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ................................................................................... 517§ 217. О БЩЕЕ УРАВНЕНИЕ Ш РЕДИНГЕРА . У РАВНЕНИЕ Ш РЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ .............. 520§ 218. П РИНЦИП ПРИЧИННОСТИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ...................................................................................... 523§ 219. Д ВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ .................................................................................................................. 523§ 220. Ч АСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ « ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ » Е БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ« СТЕНКАМИ » .............................................................................................................................................................. 524§ 221. П РОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР . Т УННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ................................. 528§ 222. Л ИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ........................................................ 532З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 534ГЛАВА 29 ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ......................................... 536§ 223. А ТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ................................................................................................... 536§ 224. 1 S -С ОСТОЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА В АТОМЕ ВОДОРОДА ............................................................................................ 541§ 225. С ПИН ЭЛЕКТРОНА . С ПИНОВОЕ КВАНТОВОЕ ЧИСЛО ......................................................................................... 543§ 226. П РИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ . Ф ЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ ......................................... 544§ 227. П РИНЦИП П АУЛИ . Р АСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В АТОМЕ ПО СОСТОЯНИЯМ .............................................. 545§ 228. П ЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ М ЕНДЕЛЕЕВА ................................................................................. 547§ 229. Р ЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ ............................................................................................................................... 550§ 230. М ОЛЕКУЛЫ : ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ , ПОНЯТИЕ ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЯХ ............................................... 553§ 231. М ОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ . К ОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА ............................................................. 555§ 232. П ОГЛОЩЕНИЕ . С ПОНТАННОЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ........................................................................ 557§ 233. О ПТИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ ( ЛАЗЕРЫ ) ......................................................................................... 559З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 563ГЛАВА 30 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ ................................................................................. 564§ 234. К ВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА . Ф АЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО . Ф УНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ..................................... 564§ 235. П ОНЯТИЕ О КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ Б ОЗЕ — Э ЙНШТЕЙНА И Ф ЕРМИ — Д ИРАКА ..................................... 565§ 236. В ЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛАХ ........................................................................................... 567§ 237. П ОНЯТИЕ О КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТЕПЛОЕМКОСТИ . Ф ОНОНЫ ......................................................................... 569§ 238. В ЫВОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ ............................................................... 570§ 239. С ВЕРХПРОВОДИМОСТЬ . П ОНЯТИЕ ОБ ЭФФЕКТЕ Д ЖОЗЕФСОНА ...................................................................... 572З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 574ГЛАВА 31 ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА .................................................................................... 575§ 240. П ОНЯТИЕ О ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ..................................................................................................... 575§ 241. М ЕТАЛЛЫ , ДИЭЛЕКТРИКИ И ПОЛУПРОВОДНИКИ ПО ЗОННОЙ ТЕОРИИ ............................................................ 577§ 242. С ОБСТВЕННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ .................................................................................... 578§ 243. П РИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ........................................................................................ 583§ 244. Ф ОТОПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ .................................................................................................... 587§ 245. Л ЮМИНЕСЦЕНЦИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ .................................................................................................................... 588§ 246. К ОНТАКТ ДВУХ МЕТАЛЛОВ ПО ЗОННОЙ ТЕОРИИ ............................................................................................. 592§ 247. Т ЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ..................................................................................... 594§ 248. В ЫПРЯМЛЕНИЕ НА КОНТАКТЕ МЕТАЛЛ — ПОЛУПРОВОДНИК .......................................................................... 597§ 249. К ОНТАКТ ЭЛЕКТРОННОГО И ДЫРОЧНОГО ПОЛУПРОВОДНИКОВ ( Р - П - ПЕРЕХОД ) ............................................. 599§ 250. П ОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ И ТРИОДЫ ( ТРАНЗИСТОРЫ ) ........................................................................... 603З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 605683ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦГЛАВА 32 ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА ................................................................................... 607§ 251. Р АЗМЕР , СОСТАВ И ЗАРЯД АТОМНОГО ЯДРА . М АССОВОЕ И ЗАРЯДОВОЕ ЧИСЛА .............................................. 607§ 252. Д ЕФЕКТ МАССЫ И ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДРА ......................................................................................................... 608§ 253. С ПИН ЯДРА И ЕГО МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ........................................................................................................ 610§ 254. Я ДЕРНЫЕ СИЛЫ . М ОДЕЛИ ЯДРА ....................................................................................................................... 611§ 255. Р АДИОАКТИВНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ВИДЫ ..................................................................................................... 613§ 256. З АКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА . П РАВИЛА СМЕЩЕНИЯ .......................................................................... 614§ 257. З АКОНОМЕРНОСТИ α - РАСПАДА ....................................................................................................................... 617§ 258. β ¯ -Р АСПАД . Н ЕЙТРИНО ................................................................................................................................... 618§ 259. Г АММА - ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА ............................................................................................................. 621§ 260. Р ЕЗОНАНСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ γ - ИЗЛУЧЕНИЯ ( ЭФФЕКТ М БССБАУЭРА )............................................................ 623§ 261. М ЕТОДЫ НАБЛЮДЕНИЯ И РЕГИСТРАЦИИ РАДИОАКТИВНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ И ЧАСТИЦ ..................................... 626§ 262. Я ДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ..................................................................................................... 630§ 263. П ОЗИТРОН . β + -Р АСПАД . Э ЛЕКТРОННЫЙ ЗАХВАТ ............................................................................................. 632§ 264. О ТКРЫТИЕ НЕЙТРОНА . Я ДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕЙТРОНОВ .................................................... 634§ 265. Р ЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯ ЯДРА ................................................................................................................................. 637§ 266. Ц ЕПНАЯ РЕАКЦИЯ ДЕЛЕНИЯ ............................................................................................................................ 638§ 267. П ОНЯТИЕ О ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГЕТИКE .................................................................................................................. 640§ 268. Р ЕАКЦИЯ СИНТЕЗА АТОМНЫХ ЯДЕР . П РОБЛЕМА УПРАВЛЯЕМЫХ ТЕРМОЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ ........................ 643З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 646ГЛАВА 33 ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ ................................................................ 647§ 269. К ОСМИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ............................................................................................................................. 647§ 270. М ЮОНЫ И ИХ СВОЙСТВА ................................................................................................................................. 649§ 271. М ЕЗОНЫ И ИХ СВОЙСТВА ................................................................................................................................. 650§ 272. Т ИПЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ ....................................................................................... 651§ 273. Ч АСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ ............................................................................................................................. 653§ 274. Г ИПЕРОНЫ . С ТРАННОСТЬ И ЧЕТНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ .................................................................. 656§ 275. К ЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ . К ВАРКИ .................................................................................... 658З АДАЧИ ....................................................................................................................................................................... 662ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................................................................................... 664ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ................................................................................................................. 665684 Трофимова, Т. И.Т70 Курс физики: Учеб. пособие для вузов/Т. И. Трофимова. — 7-е изд., стер. — М: Высш. шк., 2003. — 541 с.: ил.ISBN 5-06-003634-0 рс отвечает программе по физике для студентов инженерно-технических специальностей вузов Он состоит из семи частей, в которых излагаются физические основы механики, молекулярной физики и термодинамики, электричества и магнетизма, оптики, квантовой фи- зики атомов, молекул и твердых тел, физики атомного ядра и элементарных частиц Рацио- нально решен вопрос об объединении механических и электромагнитных колебаний Уста- навливается логическая преемственность и связь между классической и со временной физи- кой Приведены контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решенияШестое издание вышло в 2000 г. Длястудентов инженерно-технических специальностей высшихучебных заведений. УДК 53 ББК 22.3685Учебное изданиеТрофимоваТаисия ИвановнаКУРС ФИЗИКИРедактор Г. Н. ЧернышеваХудожественный редактор Ю. Э. ИвановаХудожник В. А. МасловТехнический редактор Л.А. ОвчинниковаКорректор Г. И. КостриковаОператор С.Р. ЛуковенковаЛицензия ИД № 06236 от 09.11.2001Изд. № ФМ-217. Подписано в печать с готовы диапозитивов 21.08.2002.Формат 70x100 '/, 6 - Бу Гарнитура «Литературная». Печать офсетнаяОбъем: 44,20 усл. печ. л., 44,20 усл. кр.-отт., 43,41 уч.-изд. л.Тираж 20000 экз. Заказ № 2"ФГУП «Издательство «Высшая школа»127994, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14Тел. (095) 200-04-56E-mail: info@v-shkola.ru http://www.v-shkola.ruОтдел реализации.(095) 200-07-69, 200-59-3'факс (095) 200-03-01 E-mail: sales@v-shkola.ruОтдел «Книга-почтой»(095) 200-33-36E-mail: bookpost@v-shkola.ruОтпечатано с готовых диапозитивовво ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14