На основании данного выше исследования милетской школы можно
лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математи-
ческого познания только при радикальном изменении социально-экономи-
ческих условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о
том, влияет ли изменение философской основы жизни общества на разви-
тие математики, зависит ли математическое познание от изменения иде-
ологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное
воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попы-
таться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности
пифагорейской школы.
Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на про-
тяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н. э. и
прошел в своем развитии ряд этапов. Вопрос о их временной длитель-
ности сложен и до сих пор не решен однозначно. Основоположником шко-
лы был Пифагор Самосский (ок. 580-500 до н.э.). Ни одна строка, на-
писанная Пифагором, не сохранилась; вообще неизвестно, прибегал ли
он к письменной передаче своих мыслей.Что было сделано самим Пифаго-
ром, а что его учениками, установить очень трудно. Свидетельства о
нем древнегреческих авторов противоречивы; в какой-то мере различные
оценки его деятельности отражают многообразие его учения.
В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую ("пифа-
горейский образ жизни") и теоретическую (определенная совокупность
учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалась
обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определенное душев-
ное состояние и лишь потом по значимости шли верования, в трактовке
которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религи-
озными течениями у пифагорейцев были специфические представления о
природе и судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в
тело в наказание за прегрешения. высшая цель жизни - освободить душу
из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы со-
вершается после смерти. Путем для достижения этой цели является вы-
полнение определенного морального кодекса, "пифагорейский образ жиз-
ни". В многочисленной системе предписаний, регламентировавших почти
каждый шаг жизни, видное место отводилось занятиям музыкой и научны-
ми исследованиями.
Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практи-
ческой. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее
средство освобождения души из круга рождений, а их результаты стре-
мились использовать для рационального обоснования предполагаемой
доктрины. Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников
научные положения были перемешаны с мистикой, религиозными и мифоло-
гическими представлениями. Вся эта "мудрость" излагалась в качестве
изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного
откровения.
Основными объектами научного познания у пифагорейцев были мате-
матические объекты, в первую очередь числа натурального ряда (вспом-
ним знаменитое "Число есть сущность всех вещей"). Видное место отво-
дилось изучению связей между четными и нечетными числами. В области
геометрических знаний внимание акцентируется на наиболее абстрактных
зависимостях. Пифагорейцами была построена значительная часть плани-
метрии прямоугольных фигур; высшим достижением в этом направлении
было доказательство теоремы Пифагора, частные случаи которой за 1200
лет до этого приводятся в клинописных текстах вавилонян. Греки дока-
зывают ее общим образом. Некоторые источники приписывают пифагорей-
цам даже такие выдающиеся результаты, как построение пяти правильных
многогранников.
Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными
объектами, к которым предполагалось свести не только математические
построения, но и все многообразие действительности. Физические, эти-
ческие, социальные и религиозные понятия получили математическую ок-
раску. Науке о числах и других математических объектах отводится ос-
новополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически ма-
тематика объявляется философией. Как писал Аристотель, "...у чисел
они усматривали, казалось бы, много сходных черт
вует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды... У них,
по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для
вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств... Напри-
мер, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа
и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случа-
ев точно также. "
Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейс-
кой и милетской школ, то можно выявить ряд существенных различий.
Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами как перво-
сущность мира, то есть радикально изменилось само понимание природы
математических объектов. Кроме того, математика превращена пифаго-
рейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения
бессмертия. И наконец, пифагорейцы ограничивают область математичес-
ких объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно
игнорируют приложения математики для решения производственных задач.
Но чем же обусловлены такие глобальные расхождения в понимании при-
роды математических объектов у школ, существовавших практически в
одно и то же время и черпавших свою мудрость, по-видимому, из одного
и того же источника - культуры Востока? Впрочем, Пифагор, скорее
всего, пользовался достижениями милетской школы, так как у него, как
и у Фалеса, обнаруживаются основные признаки умственной деятельнос-
ти, отличающиеся от догреческой эпохи; однако математическая дея-
тельность этих школ носила существенно различный характер.
Аристотель был одним из первых, кто попытался объяснить причины
появления пифагорейской концепции математики. Он видел их в пределах
самой математики: "Так называемые пифагорейцы, занявшись математи-
ческими науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них,
стали считать их началами всех вещей." Подобна точка зрения не лише-
на основания хотя бы в силу применимости математических положений
для выражения отношений между различными явлениями. На этом основа-
нии можно, неправомерно расширив данный момент математического поз-
нания, прийти к утверждению о выразимости всего сущего с помощью ма-
тематических зависимостей, а если считать числовые отношения универ-
сальными, то "число есть сущность всех вещей". Кроме того, ко време-
ни деятельности пифагорейцев математика прошла длинный путь истори-
ческого развития; процесс формирования ее основных положений терялся
во мраке веков. Таким образом, появлялось искушение пренебречь им и
объявить математические объекты чем-то первичным по отношению к су-
ществующему миру. Именно так и поступили пифагорейцы.
В советской философской науке проблема появления пифагорейской
концепции математики рассматривалась, естественно, с позиций
марксистско-ленинской философии. Так, О.И.Кедровский пишет: "...Вы-
работанная им (Пифагором) концепция объективно оказалась идеологией
вполне определенных социальных слоев общества. Это были ...предста-
вители аристократии, теснимые демосом... Для них характерно стремле-
ние уйти от тягот земной жизни, обращение к религии и мистике". Эта
точка зрения, как и первая, не лишена смысла; истина же, вероятно,
находится где-то посередине. Однако, на мой взгляд, крах пифагорейс-
кого учения следует связывать в первую очередь не с вырождением
аристократии как класса, а с попыткой пифагорейцев извратить саму
природу процесса математического познания, лишив математику таких
важных источников прогресса, как приложения к производству, открытое
обсуждение результатов исследований, коллективное творчество, удер-
жать прогресс математики в рамках рафинированного учения для посвя-
щенных. Кстати, сами пифагорейцы подорвали свой основополагающий
принцип "число есть сущность всех вещей", открыв, что отношение диа-
гонали и стороны квадрата не выражается посредством целых чисел.
Таким образом,уже в исходном пункте своего развития теорети-
ческая математика была подвержена влиянию борьбы двух типов миро-
воззрения - материалистического и религиозно-идеалистического. Мы же
убедились, что наряду с влиянием мировоззрения на развитие математи-
ческого познания имеет место и обратное воздействие.