Міністерство Освіти України
Львівський Національний Університет ім. І. Франка
Кафедра математичного моделювання
Курсова робота
натему:
«Теоретико-ймовірніснімоделірозрахункуринковоївартостіосновнихтипівціннихпаперів (опціонів)»
Виконав студент групи МТм-44
Маркіян Муж
Науковий керівник -
Микола Іванович Бугрій
Львів
2000
1. Поняттяціннихпаперів, їхкласифікація
2. Похідніцінніпапери. Опціони.
Видиопціонів
3. Основніпоняттяпророботуопціонів. Опціонністратегії
4. Методивизначенняціниопціона
5. Розрахуноквартостітахедж-стратегійдляопціонівЕвропейськоготипу
6. Прикладироботизопціонами
7. Використаналітература
1. Поняттяціннихпаперів, їхкласифікація
Цінніпапери - грошовідокументи, щозасвідчуютьправоволодінняабовідносинипозики, визначаютьвзаємовідносиниміжособою, якаїхвипустила, таїхвласникоміпередбачають, якправило, виплатудоходуувиглядідивідендівабопроцентів, атакожможливістьпередачігрошовихтаіншихправ, щовипливаютьзцихдокументів, іншимособам.
Цінніпапериможутьбутиіменнимиабонапред'явника. Іменніцінніпапери, якщоіншенепередбаченоЗакономУкраїни «Процінніпапериіфондовубіржу» абовнихспеціальноневказано, щовонинепідлягаютьпередачі, передаютьсяшляхомповногоіндосаменту (передавальнимзаписом, якийзасвідчуєперехідправзаціннимпаперомдоіншоїособи). Цінніпапериможутьбутивикористанідляздійсненнярозрахунків, атакожякзаставадлязабезпеченняплатежівікредитів.
ВідповіднодоЗаконуУкраїни «Процінніпапериіфондовубіржу» вУкраїніможутьвипускатисятаківидиціннихпаперів:
-акції;
-облігаціївнутрішніхтазовнішніхдержавнихпозик;
-облігаціїмісцевихпозик;
-облігаціїпідприємств;
-казначейськізобов'язанняреспубліки;
-ощаднісертифікати;
-інвестиційнісертифікати;
-векселі;
-приватизаційніпапери.
2. Похідніцінніпапери. Опціони.
Видиопціонів
Крімосновнихціннихпаперів —акційтаоблігацій, наміжнародномуринкупротягомостанніх 10-20роківвсеширшерозповсюджуютьсятакзваніпохідніцінніпапери, щоїхінколиназиваютьдерівативами. Донихналежитьопціони, варанти, ваучеритаф'ючерсніконтракти.
Варант —цеціннийпапір, щовипускаєтьсякомпанієюабофірмою, інадаєйоговласникуправопридбативказанукількістьакційданоїфірмичикомпаніїпофіксованійціні. Варантможебутивикористанийубудь-якиймоментчасудофіксованоїдати.
Ваучер —цеціннийпапір, щодаєйоговласникуправопридбатибудь-якуакціюпономінальнійвартості (позначенійнаакції).
Ф'ючерс, абоф'ючерснийконтракт —цеугодапрокупівлюабопродаждеякоготоварувмайбутнійфіксованиймоментчасуповизначенійціні. Ф'ючерсніконтрактиукладаютьсяякнакупівлю-продажтоварівчисировини —буряків, пшеницііт.д., такінакупівлю-продажвалюти. Особливістютакихконтрактівєте, щовониукладаютьсянабіржііконтрактніціниф'ючерснихопераційвизначаютьсявідкритимиринковимиаукціонами. Ф'ючерсніконтрактивідрізняютьсявідстроковихконтрактівтим, щоклірингова (розрахункова) палатаздійснюєреєстрацію, контрольівідповіднийрозрахунокміжпокупцеміпродавцем. Кліринговапалатаепокупцемдляпродавцяіпродавцемдляпокупця. Зазначимо, щоф'ючерсніконтрактинапродаж-купівлювалютивбільшостівтрачаютьсилуінереалізуються.
Опціон — контракт, якийдаєправовласникові (аленезобов'язуєйого) купитиабопродатипевнийактивподоговірнійціні (цінівиконання) увизначенийтермін.
Слідзауважити, щоінодівиникаютьпитанняпроте, доякоговиду —основнихчипохідних —віднеститічиіншіцінніпапери.
Доречі, навеликихбіржахопціонівторгуютьдвомаосновнимивидамиопціонів: опціономнакупівлюіопціономнапродаж.Оп
ціон
па
купівлю
(calloption) забезпечуєвласниковіконтрактуправопротягомпевногоперіодукупуватинапередвизначенукількістьакцій (чиіншихціннихпаперів) пофіксованійцілі. Такуфіксовануцінуназиваютьціною
виконання
(exerciseprice)опціона. Опціон
на
продаж
(putoption) даєвласниковіконтрактуправопродажупротягомпевногоперіодунапередвизначеноїкількостіакцій (чиіншихціннихпаперів) пофіксованійціні.
Якщоцінаопціонунакупівлюпозакінченнітермінудорівнюєнулеві, тойогоназиваютьопціоном
із
збитком
. Якщодомоментузакінченнятермінуцінаопціонунакупівлювиявитьсядодатноювеличиною, тотакийопціонбудевиконаний, ійогоназиваютьопціоном
з
доходом
. Терміни, якіхарактеризуютьспіввідношенняміжціноювиконанняопціонаіціноюпобазовихакціяхдомоментузакінченнятерміну, частовживаютьсяпротягомтермінудіїопціону. Отже, говорятьпроопціонинакупівлюіззбитком, знульовим
доходом
іздоходомзалежновідтого, чибудецінавиконаннявідповідновищою, ближчедокурсубазовихціннихпаперів, чинижчоюзанього. Вартістьопціонунакупівлюдомоментузакінченнятерміну, якправило, називаютьйоговнутріш
ньою
вартістю
.
Отже, якявищезазначав, опціондаєправойоговласникукупитиабопродативизначенукількістьпевноготоварунадеякихвказанихумовах: завизначенуцінуабодопевногостроку. Останняумоваеознакою, заякоюопціониподіляютьсянадваосновнихтипи: опціониЄвропейськогоіАмериканськоготипів. ОпціонЄвропейськоготипумаєфіксованудатувиконання. НавідмінувідньогоопціонАмериканськоготипуможебутивикористанийвбудь-якиймоментчасудодеякоїфіксованоїдати.
3. Основніпоняттяпророботуопціонів. Опціонністратегії
Приймаючирішенняпроуправлінняпортфелемфінансовихактивів, інвесториможутьвикористатимножинурізнихогщіоннихстратегій.
Опціони
на
купівлю
Опціоннакупівлюнадаєправокупитиакціїпоцінівиконанняопціону. Ціна, якуінвесторсплачуєзате, щобпридбатиправовмайбутньомукупитиціакції, називаєтьсяпремією
опціону
на
ку
півлю
(callpremium), чиціною
опціону
на
купівлю
(callprice). Якщоінвесторзаплативпреміюрозміром Wk
у.о., придбавшиопціоннакупівлю, тоневажкообчислитийогодохідчизбитокдомоментузакінченнятерміну. ЯкшоцінаакційдоцьогомоментувиявитьсянижчоюзацінувиконанняопціонуЦ,тоінвеcтopнескористаєтьсяопціономіматимезбиток, якийдорівнюєпреміїрозміромWk
у.о., яківінзаплативприкупівлі. Якщоцінаакційдоцьогомоментувиявитьсявищоюзацінувиконанняопціону, тоінвесторотримаєдохідувиглядірізниціміжринковоюціноюпоякійпродаютьсяакції, івитратаминакупівлюопціону. Доходи (збитки) продавцяіпокупцяопціонуподанонаМал.3.1. Доходи (збитки) продавцяопціонудомоментузакінченнятермінудорівнюютьзбиткам (доходам) покупцяцьогоопціону.
Дохід
Wk
Продавець
опціону
0
-
Wk
Покупець
опціону
W
`
Ц
Ціна
акції
Мал
.3.1.
Динамікадоходів (збитків) покупцяіпродавцяопціонунакупівлю
Опціон
на
продаж
Опціонпапродажнадаєправопродажуакціїпоцінівиконанняопціону. Якщозапридбанняопціонунапродажінвесторплатитьпремію Wk
, тоневажковизначитидоходичизбиткидомоментузакінченнятермінуопціону. Якщоцінаакційнаденьзакінченнятермінуєменшоюзацінувиконанняопціону, інвесторможеотриматидохід, щодорівнюєрізниціміжціноювиконанняопціонуіакції. Якщожцінаакціїєвищоюзацінувиконанняопціону, тоінвесторнебудевиконуватиопціоніматимезбиток, якийдорівнюєпремії, сплаченійзапридбанняданогоопціону.
ДинамікуодержаннядоходівізбитківнамоментзакінченнятермінудляпокупцяіпродавцяподанонаМал.3.2.Утихвипадках, колицінаакційперевищуєцінувиконанняопціону, продавецьопціонунамоментзакінченнятермінуматимедохід, щодорівнюєотриманійнимпремії, аопціоннебудевиконано. Однакякщоцінаакційнадатузакінченнятермінуєнижчою, ніжцінавиконанняопціону, точистийдохідпродавцядорівнюватимеДп
=Wр
- (Ц - Wk
).
Дохід
Wk
Продавець
опціону
0
-
Wk
Покупець
опціону
Ц
Ціна
акції
Мал
.3.2.
Динамікадоходів (збитків) покупцяіпродавцяопціонунапродаж
Купівля
захисного
опціону
на
продаж
Стратегіяхеджування, якапередбачаєкупівлюакційі, одночасно, опціонунапродажциxакцій, єаналогічноюпридбаннюстраховогополісавіднебажаноїзміниціннаакції. Захисний
опціон
на
продаж
(protectiveput) даєзмогууникнутиризикупадіннякурсуакцій. Такастратегіяназиваєтьсякупівлеюзахисногоопціонунапродаж. НаМал.3.3показанодинамікуодсржаннядоходів (збитків) привикористанністратегіїкупівлізахисногоопціонунапродаж. Дляспрощенняприпускається, щозмоментупродажуопціонбувзнульовимдоходом, апреміядорівнювалаWp
.
Припустимо, шоцінаакційнаденьзакінченнятермінуперевищуєцінувиконанняопціону. Тодівартістьопціонудорівнюєнулевіівартістьпортфеля —цініакціймінуспрсмія, сплаченаприкупівліопціону. Зіншогобоку, якщоцінаакційдомоментузакінченнятермінуєнижчою, ніжцінавиконанняопціону, інвесторможевикопатиопціонізбутиакціїпродавцевіопціону, отримавшисумуЦ
(цінакупівліакції, передбаченаопціоном); зрештоювінзазнаєзбитку, щодорівнюєW
р
.
Отже, прикупівлізахисногоопціонунапродажмаксимальноможливийзбитокінвестораєобмеженим.
Купівля
активу
Дохід
Wp
Дохід
хеджування
0
-
Wp
Купівля
опціону
на
продаж
-Ц
Ц
Ціна
акції
Мал
.3.
3
.
Динамікадоходів (збиткі) привикористанністратегіїзахисногоопціонунапродаж
Продаж
покритого
опціону
на
купівлю
Данастратегіяприпускаєпридбанняакційіодночаснийпродажопціонунакупівлюакцій. Якщоцінаопціонунамоментзакінченнятермінуопціонуєменшою, абодорівнюєцінівиконанняпціону, йоговласникнескористаєтьсясвоїмправом, іінвесторотримаєпреміюопціонунакупівлюакцій (щозбільшитьвартістьйогопортфеля). Зіншогобоку, якщоцінаакційдомоментузакінченнятермінуопціонуєвищою, ніжцінайоговиконання, тоінвесторможенаденьзакінченнятермінупродатиакціїпокупцевіопціонуіотриматисумуЦ
.
Динамікуодержаннядоходів (збитків) відпродажупокритогоопціонунакупівлюакційпоказанонаМал.3.4.
Купівля
активу
Дохід
Дохід
хеджування
Wp
0
Купівля
опціону
-
Wp
на
продаж
-Ц
Ц
Ціна
акції
Мал
.3.
4
.
Динамікадоходіо (збиткіо) привикористанністратегіїпокритогоопціонунакупівлю
Визначення
опціонної
маржі
і
доходів
від
зберігання
Колиопціоникупуються, продаютьсяабовикористовуютьсядляформування-портфеля, можутьвиникнутиускладненняпривнзначеннідоходузаперіодзберіганняопціону. Якщо, наприклад, стратсгіязводитьсядопродажунепокритого
опціону
(nakedoption) накупівлюакцій, топродавецьотримуєгрошовізасоби, скажімо, W
р
у.о. закоженпроданийопціон. Оскількипродажопціонупороджуєризик, пов'язанийзнеобхідністюреальногопродажуакцій, виникаєпотребавнестивизначенучасткувартостіцихціннихпаперів —маржу
наспеціальнийрахунок.
Зіншогобоку, колимирозглядаємопозиціїпопокритихопціонахнакупівлю, можутьвиникнутискладнішівимогивідносномаржі. Якщоопціоннакупівлюакційвиявитьсяіззбитком, тодімаржаєнеобхідноютількипоакціях, аленевимагаєтьсядодатковоїмаржіпоопціону. Якщожопціонвиявитьсяздоходом, товимагаєтьсяідодатковамаржапоопціону; алемаржа, обчисленадляпозиціївцілому, зменшуєтьсянадоходивідпродажуопціону.
Отже, ізщойносказаноговипливає, шоопціониускладнюютьзадачі, пов'язаніізвизначеннямдоходузаперіодволодінняпортфелем. Існуючіправилавнесеннямаржідаютьзмогуінвесторупідібратитакікомбінаціїфінансовихінструментів, якімінімізуютьпотрібнусукупнумаржу.
Оцінка
вартості
опціона
Цінаопціонузавждиповиннабутибільшоюабодорівнюватицінійоговиконання, тобтосумідоходу, якийможнаотримати, використовуючивиконанняопціону. Увипадках, колицінавиконанняопціонудорівнюєЦіцінаакції — Ца
, вартістьопціонунапродажіопціонунакупівлюповиннавизначатися, відповідно, такиминерівностями: Wk
max[0,Ца
-Ц] і Wp
max[0,Ц-Ца
], де Wk
і Wр
— відповідноціниопціонунакупівлюіопціонунапродаж.
4. Методивизначенняціниопціона
Оцінка
на
момент
закінчення
терміну
дії
опціону
Припустимо, щонасцікавитьвартістьопціону «код» (даліпросто «опціон») намоментзакінченняйогодії. Вартістьопціонубуде:
V0
= max (Vs
- E, О)
деV0
- ринковацінаодноїакції;
Е - цінавикористанняопціону;
max - вибірнайбільшоїздвохальтернативVs
- Eабо 0
Щобпроілюструватицюформулу, припустимо, щоопціоннаакціюMicrosoftCorporationкоштує 25 дол. намоментзакінченнятермінудіїопціонуіцінакористувачаопціонускладає 15 дол. Вартістьопціонубудестановити 25 дол. - 15 дол. = 10 дол. Зауважимо, щовартістьопціонувизначаєтьсявиключновартістюакціїмінусцінавикористання; алеопціоннеможемативід’ємнувартість. Колицінавикористанняперевищитьвартістьакції, вартістьопціонустаєрівноюнулю.
Цезауваженняпроілюстрованографічнонамал. 4.1., депоказанатеоретичнавартістьварранту. Цінавикористанняопціонурозташованавздовжлініїтеоретичноївартості; горизогнтальнавісьявляєсобоюцінуакціїнамоментзакінченнятермінудіїопціону.
Ціна
опціону
Ринкова
вартість
Теоретична
вартість
Ціна
виконання
опціону
Мал
.
4
.
1.
Взаємозв’язокціниакціїтаціниопціона
Оцінка
до
закінчення
терміну
дії
опціону
.
Розглянемотепервартістьопціонузаодинперіоддозакінченнятермінуйогодії. Дляспрощенняприпустимо, щодіяопціонуможезакінчитисьлишевденьзакінченнядії. Вартістьакціїнамоментзакінченнядіїневідома, ашвидшеєоб’єктомймовірногоаналізу. Доти, покиєхочабякийсьчасдозакінченнятермінуопціону, йогоринковавартістьможебутибільштеоретичною. Причинавтому, щоопціонможемативартістьівмайбутньому. Цепитанняобмірковувалосьповідношеннюдоварранту, томувподальшійдискусіїнемаєнеобхідності. Реальнувартістьопціонуможнавідобразитиперерваноюлінієюнамал. 4.1.
Ціна
опціону
Лінія
теоретичної
вартості
3
2
1
Ціна
виконання
опціону
Мал
.
4
.
2.
Взаємозв’язокціниакціїтаціниопціонаприрізнихтермінахдії
Вплив
терміну
дії
до
закінчення
дії
опціону
.
Звичайно, чимбільшийтерміндомоментузакінченнядіїопціону, тимвищайоговартістьпорівнянозтеоретичною. Цеочевидно, томущоопціондовшебудевартісним. Більшетого, чимпізнішехтосьплатитьцінувикористання, тимнижчапоточнавартістьопціону, іце, яснаріч, збільшуєвартістьопціону.
Вмірунаближеннязакінченнятермінуопціонулінія, якапоказуєвзаємнузалежністьвартостіопціонутаакції, стаєбільш «випуклою». Цевідлображенонамал. 4.2. Лінія 1 являєсобоюопціонзкоротшимтерміномдозакінченняйогодії, порівнянозлінією 2, лінія 2 - опціонзменшимтерміномдозакінченнядіїопціонупорівнянозлінією 3.
Вплив
змінності
.
Звичайно, найбільшважливийфактор, щовпливаєнаоцінкуопціону, - цезмінаціниакцій, звязанихзним. Конкретніше, чимбільшаймовірністькрайніхнаслідків, тимбільшавартістьопціонудляйоговласника (приіншихрівнихумовах). Мипередбачаємонаявністьнапочаткуперіодудіїопціонудвохвидівакцій, якімаютьнаступніймовірнірозподілиможливоївартостінамоментзакінченнятермінудіїопціону:
| ЙМОВІРНІСТЬ | ЦІНААКЦІЇА дол. |
ЦІНААКЦІЇВ дол. |
0,10 0,25 0,30 0,25 0,10 |
30 36 40 44 50 |
20 30 40 50 60 |
Очікуванацінаакціївкінціперіодуоднаковадляобидвохвидів - 40 дол. Але, дляакціїВрозбіжністьможливоївартостізначновища. Припустимо, щоцінавикористанняопціонівнакупівлюакційАіВвкінціперіодутакожоднакова, скажімо 38 дол. Такимчином, акціїдвохвидівмаютьоднаковуочікуванувартістьвкінціперіоду, іопціонимаютьоднаковуцінувикористання. ОчікуванавартістьопціонудляакційАвкінціперіоду:
опціонА= 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (44 дол. - 38 дол.)(0,25) + (50 дол. - 38 дол.)(0,10) = 3,30 дол., тодіякакціїВ:
опціонВ = 0(0,10) + 0(0,25) + (40 дол. - 38 дол.)(0,30) + (50 дол. - 38 дол.)(0,25) + (60 дол. - 38 дол.)(0,10) = 5,80 дол.
Такимчином, більшарозбіжністьможливоївартостіакційВведедобільшоїочікуваноївартостіопціонунамоментзакінченнятермінуйогодії. Причинакриєтьсявтому, щовартістьопціонівнеможебутивід’ємною. Врезультаті, чимбільшарозбіжність, тимбільшечислопозитивнихнаслідків, вимірянихзаформулоюринковацінамінусцінавикористання. Збільшенняколиваньвартостіакційцимсамимзбільшуютьчислопозитивнихвартостейдляпокупцяопціонуі, значить, збільшеннявартостіопціону.
5. Розрахуноквартостітахедж-стратегійдляопціонівЕвропейськоготипу.
Дискретнийчас
Нагадаємо, щорозглядається(
В
, S)
-ринокоблігаційтаакцій, вартістьякихзмінюєтьсязаформулами:
Bt
=B0
(1+a)t
(5.1)
dSt
=St
(dt+dWt
) (5.2)
початковізначення—В
0
таS0
відповідноіна
заданосімействоймовірніснихмірP={P}
, причомувідноснокожноїзмірР
послідовність(
р
1
,
р
2
, ... ,
р
N
)
— ценезалежніоднаковорозподіленівипадковівеличини
P{p1
=)=p, P(p1
=)=q=1-p,
0<
р
<1, -1 <
<
a
<
.
НехайH
=
(
H
п
, 0
п
N
) —
самофінансованастратегія,
xH
=
(, 0
п
N) —
капітал, щовідповідаєційстратегії,
fN
=
fN
(
S
0
,
S
1
(
), ... ,
SN
(
))
—фіксовананевід'ємнафункція. НехайтакожЕ
*
позначаєматематичнесподівання (середнє) відносноміриР
*
такої, щор
=p*= , P(p1
=
)=p*.
Теорема
5.1.
Для
того
,
щоб
самофінансована
стратегія
H
була
мінімальним
(
х
, fN
)-xe
дж
e
м
,
необхідно
і
достатньо
,
щоб
початковий
капітал
х
дорівнював
x = (1+a)-N
E*fN
(S0
, S1
(), ... ,SN
()) (5.3)
Наслідок
.
Вумовах(
В
,
S
)
-ринкусправедливацінаопціонуЄвропейськоготипудорівнює
CN
=(1+a)-N
E*fN
,
деN
—фіксованиймоментвиконанняопціону,
fN
=
fN
(
S
0
,
S
1
, ... ,
SN
)
—фіксованафункціяплатежів. ТутЕ
* —
математичнесподіваннявідноснотакоїміриР
*,
що
P* (p1
= ) =
р
* = .
Існуємінімальнийсамофінансований(
С
N
, fN
)
-хеджH* = (, 0
п
N)
= (, , 0
п
N)
такий, що
беретьсязрозкладу:
Yn
=
,
іприцьомузначеннякапіталувмоментчасу t =
n
дорівнює
= (1 + a)n-N
E*(fN
/Fn
) .
Розглянемотеперчастковийібільшпростийвипадок, колифункціяплатежівfN
залежитьневідвсієї " траєкторії " S0
, S1
, ... , SN
,
алишевідвартостіакціїSN
вмоментвиконанняопціону, тобтоfN
=f(SN
)
. Наприклад, дляЄвропейськогоопціонукупівлі
fN
=(SN
- k)+
= max (SN
- k , 0)
,
адлявідповідногоопціонупродажу
fN
=(k - SN
)+
= max (k - SN
, 0)
,
деК
—
договірнавартість, щоїїобумовленовмоментпридбанняопціону, ізаякоювмоментN
будутькупуватисяабопродаватисяакції. Вцьомувипадкуможна, задопомогоюбіноміальногорозподілу, безпосередньопідрахуватиЕ
*
fN
і, такимчином, спроститиформулусправедливоїціниопціону:
CN
=
(1+a)-N
E*fN
.
Сформулюємовідповіднийрезультатбездоведення. Розглянемофункцію
Fn
(
x
,
p
) =
f
(
x
(1+
)
k
(1+
)
n
-
k
)
pk
(1-
p
)
n
-
k
(5.4)
(
—цечислокомбінаційзnпоk,
,
= 1).
Теорема
5.2.
ДляопціонуЄвропейськоготипузфункцієюплатежівfN
=
f
(
SN
)
маютьмісценаступнітвердження:
1.Справедливацінаопціонудорівнює
CN
=(
1
+a)
-
N
FN
(S
0
,P
*),
дер
*= ;
2.Існуєсамофінансованиймінімальнийхедж
=( , )=( , , ) ,
причому
= ;
3.Капітал
X^
в
момент
п
, 0 <,
п
< N
для
мінімального
хеджу
дорівнює
=(1+a)n-N
FN-n
(Sn
, p*) .
Теорема
5.3.
Справедлива
ціна
Cn
Європейського
опціону
купівлі
з
функцією
платежів
f(SN
) = (Sn
-
К
)+
дорівнює
:
1. CN
=S0
B(k0
, N , p) - K(1+a)-N
B(k0
,N,p*) ,
де
k
0
=1+
,
якщо
;
2. CN
= 0 ,
якщо
k
0
>
N
.
Встановимотеперзв'язокміжсправедливоюціноюCN
розглянутоговищеопціонукупівлііціноюстандартногоЄвропейськогоопціонупродажузфункцієюплатежівf
(
SN
) = (K-Sn
)+
.
Дляцьогозапишемотакутотожність:
(-
x
)+
=
тах
(—
x
, 0) =
max
(
x
, 0) —
x
=
x
+
—
х
,
звідки(
К
-
SN
)+
=(
SN
-
K
)+
—
SN
+
K
. ЯкщoпозначитисправедливуцінуопціонупродажучерезPN
,
то
PN
=
Е
* (
К
- SN
)+
(1 +
а
)-N
= (1 +
а
)-N
[E* [ (SN
- K)+
-SN
] +
К
] = = (1+a)-N
K + CN
- (1 +a)-N
E*SN
.
ОскількиSN
=
S0
(1+p1
) (1+p2
) ...
(1+
pN
)
, тозважаючинанезалежністьіоднаковурозподіленістьвипадковихвеличинр
1
,
р
2
,...,
pN
маємо, що
статочно
PN
=(1+a)-N
K + Cn
- S0
.
Цюрівність,щопов'язуєсправедливіціниопціонівкупівлітапродажу, називаютьпаритетом "колл-пут" (купівлі-продажу).
6. Прикладироботизопціонами
НехайSn
, 0
n
N —
цевипадковаеволюціявартості100
0
доларівСША (USD), щовимірюєтьсявукраїнськихгривнях (Грн). НехайS
0
=
5400
гривеньівмоментn
= 1
цінаможедорівнювати: S
1
=
ТодіS
1
=
S
0
(1+
p
1
),
звідки1+p1
=
, p1
= - 1
, тобтовипадковавеличинар
1
можематидвазначення:
p
1
=
Нехайбанківськийрахунокнезмінюється: Вп
=
B
0
= 1,
а
= 0
(зфінансовоїточкизоруцеозначає, щобанкненараховуєпроцентівнавнесокінеберепроцентівзапозику).
1.
Розрахунок
справедливої
ціни
.
НехайN = 1,
К
=
5400
Грн
, f(S1
) = (S1
- K)+
= (S1
-
5400
)+
=max(S1
-K,0).
Цеозначає, щоприпідвищеннікурсудоларапокупецьЄвропейськогоопціонукупівліодержить5700
—
54
00 =
300
Грн
, a припадіннікурсу
f(S1
)=max(0,
5200-5400
)=0
,
тобто
дохід =
Видно, що
,
.
Томуймовірністьр
* =
.
Якщоприпустити, щоP(p1
=3/54)=
p
*=2/5, P(p1
=-1/27)=3/5,
тосправедливацінаопціонудорівнює:
= 120
Грн
2.
Розрахунок
хедж
-
стратегії
інвестора
.
Вданомувипадкуінвестор — цепродавецьопціонукупівлі. Якщосправедливуцінурозрахованозаймовірністюр
*,
товпочатковиймоментчасуінвестородержаввідпокупцясумув120
Грн
, іцейогопочатковийкапіталX0
.
Тобто, X0
= 120, = 0,
В
0
= 1, S0
= 5400, .
Передмоментомчасуn = 1
продавецьповиненперетворитисвійпортфель (,) впортфель (,) такимчином, щобпісляоголошеннязначеннябулабможливістьвиконатиумовиконтракту, тобтозаплатитигрошіпокупцюіповернутиборг (боргвідповідаєвід'ємнимзначенням, якщоборгє). Підрахуємотепер, , щовідповідаютьмінімальномусамофінансованомухеджу, заформуламитеореми 5.2 (п.2). Одержимо: = .
ОскількиX0
= B0
+ S0
іВ
0
= 1
, томожназнайти = X0
-S0
= = 120 - 3240 = -3120
. Від'ємністьвеличини = -3120
означає, щоінвестор (тобтопродавецьопціону) берепозикуврозмірі3120
Грн
.
Такимчином, вінмаєХ
0
-
В
0
= 120 + 3120 = 3240
Грн
.
Розглянемотепер, щовідбуваєтьсяпіслямоментуN = 1
, колибулооголошеноновийкурсдолара. Можливідваваріанти (взв'язкузпопереднімиприпущеннями):
а) курсдоларапіднявся(p1 = = 1/6)
, тобтовмоментчасуN = 1 , 1000 USD
дорівнюють5700
Грн
. Вцьомувипадкуінвесторповиненвиплатитипокупцюсумуврозміріf(S1)= m
ах
(0, 5700-5400) = 300
Грн
. I вінсправдіможецезробити, оскількийогокапіталвмоментчасуN = 1
дорівнює
Х
1
=B1
+S1
= -3120 + (3/5)
-
5700 = -3120+3420=300
Грн
.
ТобтокапіталS1
=3240
Грн
єдостатнімдлясплати300
Грн
покупцюіповерненняборгув3120
Грн
набанківськийрахунок;
б) курсдоларазменшився(
р
1
= = -1/27),
тобтовмоментчасуN = 1 , 1000 USD
дорівнюють5200
Грн
. Вцьомувипадкуінвесторнічогонесплачуєпокупцю, томущоf(S1
)=
m
ах
(0,5200-5400) = 0
, алеповиненповернутиборгв3120
Грн
набанківськийрахунок. Вінзновужтакиможецезробити, оскількийогокапіталдорівнює
Х
1
=B1
+ S1
= -3120 + (3/5)
-
5200=-3120+3120=0.
Тобтоінвестородержує. S1
= 3120
Грн
і, повернувшитакийсамийборг, маєнульовийкапітал.
Підсумки
Маючидвізв’заниходназдругоюстатттіфінансовихактивів - акціїтаопціонинаціакції, миможемовстановитибезрисковухеджуванупозицію. Коливанняціннаодинфінансовийактивбудутькомпенсовуватисьпротилежнимиколиваннямицінинаінший. Хеджуванапозиціяможебутивстановленазадопомогоюкупівліакцій (таїхтривалогозберігання) тапідписанняопціоннихдомовленостей. Якщовартістьакційпіднімається, мивиграємовтакзваній «довгійпозиції», тобтовакціях. Мивтрачаємонаопціонах, якімипідписали, боціна, якумиповиннізаплатитизаакціїдлятого, щобнадатиїхособі, якавикористовуєопціон, вища, ніжцінавмоментпідписанняопціону. Якщоцінаакційпадає, стаєтьсязворотнє. Мивтрачаємовнашій «довгійпозиції», алевиграємонапідписаномунамиопціоні.
Такимчином, якщотриматиіакціїіопціони, коливанняціниакційкомпенсуютьсяколиваннямивартостіопціонів. Якщозробитицеграмотно, тозагальнапозиціяможестатисяпрактичнобезризиковою. Вринковійрівновазікоженочікуєотриманнябезризиковогорівняначіткохеджованупозицію.
Упроцесіаналізупохіднихфінансовихінструментівшироковикористовуютьсярізноманітніобчислювальніметоди. Безвідповідногоматематичногоінструментаріюпрактикоюнеможливооцінитивартістьцихактивів; нерозуміючичіткопринципівфінансовихрозрахунків, неможливоправильновизначитивплив, якийздійснюєтьсяопераціямизпохіднимифінансовимиінструментаминаефективністьуправлінняпортфелемактивів.
7.Використаналітература
-БондаревБ.В., ШуркоИ.Л. Финансоваяматематика. -- Донецк, Кассиопея, 1998. -- 164 с.
-ШиряевА.Н. Онекоторыхпонятияхистохастическихмоделяхфинансовойматематики // Теориявероятностииееприменения. 1994. -- Т. 39, N. 1. -- С.5-22
-ЗаконУкраїнипроцінніпапериіфондовубіржу // СD:«Лігапрактик»
-Дж.К. ВанХорнОсновыуправленияфинансами. -- Москва, Финансыистатистика, 1996. -- 800 с.
-ЛеоненкоМ.М., МішураЮ.С., ПархоменкоВ.М., ЯдренкоМ.Й. Теоретико-ймовірніснітастатистичніметодивеконометрицітафінансовійматематиці. – Київ, Інформтехніка, 1995. -- 380 с.
-КолесникВ.В. Введениеврынокценныхбумаг. -- Киев, А.Л.Д. 1995. -- 176 с.
-ШиряевА.Н., КабановЮ.М., КрамковД.О.,
МельниковА.В. Ктеориирассчетовопционов. I. Дискретноевремя // Теориявероятностииееприменения.
1994. -- Т. 39, N. 1. -- С.23-79