Анализ распределения элементов статистического ряда
Исходная таблица содержит данные по количеству выявленных лиц, совершивших кражи чужого имущества в населенных пунктах А и Б с 1961 по 2000 гг. В то время было принято измерять временные интервалы пятилетиями. В интервале с 1961 г. по 2000 г. укладывается ровно 8 пятилеток.
Таблица 1. Группировочная таблица по числу выявленных лиц в населенных пунктах А и Б с 1 по 8 пятилетку
| Пятилетка | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Населенный пункт А | 173 | 109 | 236 | 137 | 159 | 235 | 79 | 116 |
| Населенный пункт Б | 360 | 380 | 339 | 387 | 454 | 286 | 181 | 256 |
С точки зрения статистики у нас появились два вариационных ряда для признаков Х (населенный пункт А) и У (населенный пункт Б) с одинаковым числом вариантов n = 8 без выделения частот и относительных частот. Одновременно эти ряды являются рядами динамики для одного и того же временного интервала с 1 по 8 пятилетку. Графически они могут быть представлены в виде полигонов как ряды динамики.
В рамках данной темы целесообразнее рассматривать интервальные ряды для распределения числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б.
Таблица 2. Интервальные ряды для числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| А | 173 | 109 | 236 | 137 | 159 | 235 | 79 | 116 |
| Б | 360 | 380 | 339 | 387 | 454 | 286 | 181 | 256 |
Таблица 2 служит таблицей частот. Для построения гистограмм лучше рассмотреть относительные частоты.
Таблица 3. Статистическое распределение интервальных рядов
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| (Wi) А | 0,14 | 0,09 | 0,19 | 0,11 | 0,13 | 0,19 | 0,06 | 0,09 |
| (Wi) Б | 0,14 | 0,14 | 0,13 | 0,15 | 0,17 | 0,11 | 0,07 | 0,10 |
Относительные частоты вычисляются по формуле:
Wi = ni
/n, (n = 1, 2, 3, …, 8),
где nа
= 1244, nб
= 2643
Диаграмма 1. Гистограмма относительных частот числа выявленных лиц по населенному пункту А
Диаграмма 2. Гистограмма относительных частот числа выявленных лиц по населенному пункту Б
Населенный пункт А характеризуется неравномерностью распределения числа выявленных лиц, совершивших кражи. Пики преступности данного вида приходятся на 3 и 6 пятилетки. Относительное снижение преступности отмечается в 7 пятилетке (выявлено всего 79 лиц, относительная частота на гистограмме составил W7
= 0,06). В целом усматривается незначительное снижение уровня преступности.
В населенном пункте Б уровень рассматриваемой преступности выше, чем в населенном пункте А. Обострение преступности произошло в 5 пятилетки. 7-ая пятилетка была спокойнее остальных.
2. Вычисление основных статистических параметров
Таблица 4. Основные статистические параметры рядов распределения
| Среднее значение | Среднее квадратичное отклонение | Асимметрия | Эксцесс | |
| А | 155,5 | 53,661 | 0,33 | 46,135 |
| Б | 330,375 | 80,404 | -0,39 | -0,66 |
Среднее значение вычисляется по формуле:
Х = 1/8 ∑х
Среднее квадратичное отклонение
б = √х2
– (х)2
Асимметрия
As = М3
/ б3
Эксцесс
Ех = М4
/ б4
где М3
= 1/8 ∑(хi
– х)3
,
М4
= 1/8 ∑(хi
– х)4
.
Отметим промежуточные результаты:
М3
(А) = 51664,875;
М4
(А) = 407404409,3;
М3
(Б) = -201499,2539;
М4
(Б) = 97879670,62.
Видно, что в населенном пункте Б средний уровень преступности почти в 2 раза больше, чем в населенном пункте А.
У соответствующих двух рядов распределения разный характер асимметрии. Довольно большой эксцесс у первого признака, у второго – незначительный.
Заметим, что нулевое значение эксцесса характерно для нормального закона распределения (распределения Гаусса).
3.
Анализ динамических рядов
Таблица 5. Ряды динамики числа выявленных лиц по населенным пунктам А и Б
| Номер пятилетки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Х | 173 | 109 | 236 | 137 | 159 | 235 | 79 | 116 |
| У | 360 | 380 | 339 | 387 | 454 | 286 | 181 | 256 |
Таблица 6. Основные показатели динамики по населенному пункту А
| Пятилетка | Число лиц | Абсолютный прирост (∆) | Темп роста Тр, % | Темп прироста Тпр, % | Абсолютное значение 1% прироста | |||
цеп ной |
базис ный |
цеп ной |
базисный | цепной | базисный | |||
| 1 | 173 | - | - | 100,0 | 100,0 | 0,0 | 0,0 | - |
| 2 | 109 | -64 | -64 | 63,0 | -37,0 | -37,0 | -37,0 | 1,73 |
| 3 | 236 | 127 | 63 | 216,5 | 136,4 | 116,5 | 36,4 | 1,09 |
| 4 | 137 | -99 | -36 | 58,1 | 79,2 | -41,9 | -20,8 | 2,36 |
| 5 | 159 | 22 | -14 | 116,1 | 91,9 | 16,1 | -8,1 | 1,37 |
| 6 | 235 | 76 | 63 | 147,8 | 135,8 | 47,8 | 35,8 | 1,59 |
| 7 | 79 | -166 | -94 | 33,6 | 45,7 | -66,4 | -54,3 | 2,35 |
| 8 | 116 | 37 | -57 | 146,8 | 67,1 | 46,8 | -32,9 | 0,79 |
| В среднем | 155,5 | -8 | 82,5 | -17,5 | ||||
Таблица 7. Основные показатели динамики по населенному пункту Б
| Пятилетка | Число лиц | Абсолютный прирост (∆) | Темп роста Тр, % | Темп прироста Тпр, % | Абсолютное значение 1% прироста | |||
цеп ной |
базис ный |
цеп ной |
базисный | цепной | базисный | |||
| 1 | 360 | - | - | 100,0 | 100,0 | 0,0 | 0,0 | - |
| 2 | 380 | 20 | 20 | 105,6 | 105,6 | 5,6 | 5,6 | 3,6 |
| 3 | 339 | -41 | -21 | 89,2 | 94,2 | -10,8 | -5,8 | 3,8 |
| 4 | 387 | 48 | 27 | 114,2 | 107,5 | 14,2 | 7,5 | 3,39 |
| 5 | 454 | 67 | 94 | 117,3 | 126,1 | 17,3 | 26,1 | 3,87 |
| 6 | 286 | -132 | -74 | 63,0 | 79,4 | -37,0 | -20,6 | 4,54 |
| 7 | 181 | -105 | -179 | 63,3 | 50,3 | -36,7 | -49,7 | 2,86 |
| 8 | 256 | 75 | -104 | 141,1 | 71,1 | 41,4 | -28,9 | 1,81 |
| В среднем | 330,4 | -15 | 87,2 | -12,8 | ||||
Диаграмма 3. Графическое изображение рядов динамики по населенным пунктам А (сплошная линия) и Б (пунктирная линия)
При заполнении таблиц 6 и 7 использованы формулы для цепной формы расчета:
∆ = у – уi
,
Тр = уi
/уi – 1
,
Тпр = Тр – 1,
А = уi – 1
/100
и для базисной формы:
∆ = уi
– у0
,
Тр = уi
/у0
,
Тпр = Тр – 1,
∆-
= ∆/7,
Тр-
= 7
√(Тр)1
(Тр)2
… (Тр)7
.
Графики и расчетные таблицы говорят о небольшом снижении уровня краж по населенным пунктам А и Б. В среднем абсолютное снижение больше у населенного пункта Б, а темп снижения больше у пункта А. Но сам уровень преступности все время остается выше в населенном пункте Б.
4. Корреляционная зависимость
Парный коэффициент корреляции
Чху
= ху-
– х-
*у-
/бх
бу
.
После вычисления среднего значения
ху-
= 1/8∑хi
yi
= 52514,25
получаем Чху
= 0,26
Корреляционная зависимость слабая.
У величины Чху
как у случайной величины есть среднее квадратичное отклонение
mч
= √1-ч2
/n-2 = 0,4
Величина tч
= ч/ mч
распределена по закону Стьюдента со степенью свободы к = n – 2 = 6.
При уровне значимости а = 0,05
Табличное значение
tтабл
= 2,4469
Предельная ошибка
∆ч = tтабл
* mч
= 0,98.
Поскольку вообще -1≤чху
≤1, то вычисленная ошибка ∆ч = 0,98 смысла не имеет. Причина кроется в слабой тесной связи признаков х и у.
5. Уравнение регрессии
Линейная регрессия у = а + вх рассчитывается по формуле:
ỷ – у-
= ч бу
/бх
(х-х-
),
ỷ – 330,4 = 0,26 * 80,404/53,661 (х – 155,5),
ỷ = 0,39х + 269,8
Критерий Фишера имеет расчетное значение
F = (tч)4
= (ч/ mч
)4
= 0.18
При надежности 95% табличное значение Fтабл
= 5,99. со степенями свободы к1
= 1, к2
= 6.
Так как F = 0,18 ‹ 1, следует перейти к обратной величине Fфакт
= 5,55. Но тогда и Fтабл
= 233,97 для степеней свободы к1
= 6, к2
= 1.
Мы видим, что все уравнение регрессии не значимо.
Абсолютная ошибка ∆у зависит от конкретного значения х и рассчитывается по формуле:
∆у = бост
√1+1/8 + ∑(х – х-
)2
/8бх
2
,
Где в свою очередь,
бост
= √∑(уi
–ỷi
)2
/6.
По формуле ỷ = 269,8 + 0,39х найдем восемь значений ỷ(х):
337 312 362 323 332 361 301 315
Значит, бост
= 89,373.
Самая малая ошибка ∆у будет при х = х-
:
(∆у)min
= 34,8 * 2,4469 = 232.
Для ошибки это слишком много. Это объясняется слабой теснотой корреляционной зависимости.
6. Обобщение статистических данных и статистический анализ
После группировки исходных данных по пятилетним периодам получились вариационные интервальные ряды.
Поэтому в их ранжировке нет необходимости.
После построения гистограмм выяснилось, что распределения сильно отличаются от распределения Гаусса. Поэтому их исследование с помощью понятий асимметрии и эксцесса становится формальным.
Вычисление средних значений позволило сделать вывод о почти двукратном превышении показателя преступности в населенном пункте Б. Это подтверждает и сравнительная диаграмма 3.
В течение первых шести пятилеток в населенных пунктах А и Б отмечались противоположные тенденции по динамике уровня выявленных лиц, а в последние две пятилетки эти тенденции совпадали. В целом заметно небольшое снижение уровня преступности данного вида. На это указали и расчеты при заполнении таблиц 6 и 7.
Как и ожидалось, корреляционная зависимость показателей по двум населенным пунктам оказалась слабой. Оказалось незначимой и сама регрессионная линейная модель.
По этой причине потеряли практический смысл оценки ошибок для линейного коэффициента корреляции и для прогнозных значений регрессии.
Список использованной литературы
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003.
3. Эконометрика: Учебник. Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2004.
4. Шимко П.Д., Власов М.П. Статистика/ Серия «Учебники, учебные пособия». – Ростов на Дону: Феникс, 2003.
5. Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2002.
6. Сборник задач по теории статистики: Учебное пособие / Под ред. В.В. Глинского и Л.К. Серга. – М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Сибирское соглашение, 2002