Министерство образования и науки Украины
кафедра прикладной математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине "Эконометрия"
Харьков, 2008 г.
Задание № 1.
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о линейной зависимости
Y = b0
+ b1
* X;
определить параметры b0
и b1
;
вычислить коэффициенты детерминации R2
и коэффициент корреляции r;
сделать прогноз Y в указанной точке Xр
.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1
| X |
Y |
| 3.11 |
10.65 |
| 3.15 |
11.87 |
| 3.85 |
12.69 |
| 4.84 |
13.40 |
| 4.62 |
15.12 |
| 4.87 |
16.03 |
| 6.09 |
16.29 |
| 7.06 |
18.07 |
| 6.23 |
18.40 |
| 6.83 |
19.53 |
| 8.01 |
20.48 |
| 8.26 |
21.72 |
| 9.37 |
23.17 |
| 9.02 |
23.57 |
| 9.76 |
24.41 |
2. На основе данных таблицы1 строим диаграмму рассеивания.
Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией.
Y = b0
+ b1
X
3. Найдем параметры b0
и b1
.
Опишем полученный результат:
в первой строке находятся оценки параметров регрессии b1
, b0
;
во второй строке находятся средние квадратичные отклонения sb1
, sb0
.
в третьей строке в первой ячейке находится коэффициент детерминации R2
, а во второй ячейке оценка среднего квадратичного отклонения показателя sе
.
в четвертой строке в первой ячейке находится расчетное значение F - статистики, во второй ячейке находится k - число степеней свободы;
в пятой строке в первой ячейке находится сумма квадратов отклонений расчетных значений показателя от его среднего значения, а во второй ячейке - сумма квадратов остатков.
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
| Результаты расчетов |
|
| 1,958977 |
5,277335 |
| 0,10027 |
0,671183 |
| 0,967063 |
0,836194 |
| 381,6981 |
13 |
| 266,8909 |
9,089857 |
По данным таблицы 2 можем записать модель:
Y = 5,277335 + 1,958977Х
Коэффициент детерминации R2
= 0,967063 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
4. Найдем прогноз в заданной точке Xp
= 10,1. Для этого подставим Xp
в модель. Получим
Yp
= 5,277335 + 1,958977 * 10,1 = 25,063.
Все полученные результаты запишем в таблицу 3.
Таблица 3.
| X |
Y |
| 3.11 |
10.65 |
| 3.15 |
11.87 |
| 3.85 |
12.69 |
| 4.84 |
13.40 |
| 4.62 |
15.12 |
| 4.87 |
16.03 |
| 6.09 |
16.29 |
| 7.06 |
18.07 |
| 6.23 |
18.40 |
| 6.83 |
19.53 |
| 8.01 |
20.48 |
| 8.26 |
21.72 |
| 9.37 |
23.17 |
| 9.02 |
23.57 |
| 9.76 |
24.41 |
| 10,1 |
25,063 |
5. Диаграмма примет вид:
6. Вычислим коэффициент корреляции r. В результате расчета получим коэффициент корреляции r = 0,9834.
r = = √0,967063 = 0.9834
Задание № 2.
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о криволинейной связи между Х и Y;
произвести линеаризацию;
определить параметры a и b;
сделать прогноз в указанной точке;
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
| X |
Y |
| 1,03 |
0,44 |
| 1,63 |
0,33 |
| 2,16 |
0,25 |
| 2,71 |
0, 20 |
| 3,26 |
0,16 |
| 3,77 |
0,12 |
| 4,35 |
0,10 |
| 4,91 |
0,07 |
| 5,50 |
0,05 |
| 6,01 |
0,04 |
На основе данных таблицы 1 строим диаграмму рассеивания.
|
Визуально можно предположить, что зависимость не линейная. Исходная модель имеет вид Y = beax
. Делаем линеаризующую подстановку: V = Y, U = lnX.
Полученные данные заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
| X |
Y |
V |
U |
| 1,03 |
0,44 |
0,44 |
0.02956 |
| 1,63 |
0,33 |
0,33 |
0.48858 |
| 2,16 |
0,25 |
0,25 |
0.77011 |
| 2,71 |
0, 20 |
0, 20 |
0.99695 |
| 3,26 |
0,16 |
0,16 |
1.18173 |
| 3,77 |
0,12 |
0,12 |
1.32708 |
| 4,35 |
0,10 |
0,10 |
1.47018 |
| 4,91 |
0,07 |
0,07 |
1.59127 |
| 5,50 |
0,05 |
0,05 |
1.70475 |
| 6,01 |
0,04 |
0,04 |
1.79342 |
Строим корреляционное поле:
Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией
Y = b1
X + b0
Диаграмма примет вид:
3. Найдем параметры b0
и b1
.
Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3.
| Результаты расчета |
|
| -0,2297 |
0,436791 |
| 0,005542 |
0,006967 |
| 0,995364 |
0,009454 |
| 1717,627 |
8 |
| 0,153525 |
0,000715 |
Параметры модели b0
= 0,436791, b1
= - 0,2297. Коэффициент детерминации R2
= 0,995364 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
Находим параметры исходной нелинейной модели:
а = еb1
= e-0,2297
= 0,79477
b = eb
0
= e0,436791
= 1,54773
Исходная нелинейная модель примет вид: Y = 1,54773e0,79477
X
5. Вычислим прогнозируемое Yp
в то Xp
= 6,5:
Yp
= 1,54773e 0,79477*6,5
= 271,18
Задание № 3
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить корреляционную матрицу;
по корреляционной матрице проверить факторы X1
, X2
, X3
на мультиколинеарность, и, если она есть, устранить ее, исключив один из факторов;
проверить гипотезу о наличии линейной связи между показателем Y и оставшимися факторами;
определить параметры линейной связи;
вычислить коэффициент детерминации;
сделать прогноз в указанной точке.
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
| X1 |
X2 |
X3 |
Y |
| 2,61 |
10,35 |
6,61 |
7,72 |
| 4,89 |
11,78 |
7,94 |
10,77 |
| 6,24 |
14,09 |
8,62 |
11,86 |
| 9,01 |
14,64 |
8,83 |
13,73 |
| 10,79 |
15,17 |
10,68 |
17,04 |
| 13,53 |
17,42 |
10,66 |
18,8 |
| 16,32 |
19,24 |
11,78 |
21,28 |
| 18,6 |
20,6 |
13,78 |
23,7 |
| 21,48 |
22,
04
|
13,74 |
27,63 |
| 23,02 |
22,69 |
14,56 |
27,45 |
| 25,17 |
22,65 |
14,09 |
29,71 |
| 26,4 |
24,83 |
16,66 |
32,8 |
| 27,62 |
24,82 |
15,12 |
31,81 |
| 30, 19 |
25,17 |
15,42 |
25,22 |
| 32,25 |
26,22 |
15,77 |
37,26 |
| 33,76 |
27,72 |
17,4 |
39,2 |
| 35,97 |
29,15 |
17,77 |
2. По исходным данным строим корреляционную матрицу (таблица 2):
Таблица 2.
| X1 |
X2 |
X3 |
Y |
|
| X1 |
1 |
0,9921671 |
0,9741853 |
0,9656738 |
| X2 |
0,9921671 |
1 |
0,9864174 |
0,9700431 |
| X3 |
0,9741853 |
0,9864174 |
1 |
0,96548 |
| Y |
0,9656738 |
0,9700431 |
0,96548 |
1 |
Визуально можно предположить, что между данными X2
и X3
и X1
и X3
есть зависимость, значит, фактор X3
исключаем из модели, так как между ним и Y связь меньше, чем между Y и X2
(0,96548 < 0,9700431). Модель будет иметь вид:
Y = b0
+ b1
X1
+ b2
X2
;
3. Строим график зависимости между X1
, X2
и Y: визуально можно предположить, что зависимость между X1
, X2
и Y линейная, коэффициент детерминации R2
= 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
4. Найдем параметры b0
, b1
и b2
. Полученные результаты заносим в таблицу 3:
Таблица 3.
| Результаты расчета |
||
| 1,344552 |
0, 1954415 |
-7,0318824 |
| 0,9429349 |
0,5065553 |
9,4389862 |
| 0,9416518 |
2,4854573 |
--- |
| 104,90023 |
13 |
--- |
| 1296,0419 |
80,307473 |
--- |
5. По данным таблицы можем записать модель:
Y = - 7,0318824 + 0, 1954415X1
+ 1,344552X2
;
Коэффициент детерминации R2
= 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
6. Найдем прогноз в заданной точке. Для этого достаточно подставить Xp
в модель.
Yp
= - 7,0318824 + 0, 1954415 * 35,97 + 1,344552 * 29,15 = 39, 19
Задание №4.
Предположим, что между показателем Y - объем выпущенной продукции и факторами X1
- трудовые затраты, X2
- объем основных фондов, существует зависимость типа
Y = AX × X
(производная функция Кобба-Дугласа). По приведенным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
определить коэффициенты А, б1
, б 2
;
вычислить прогноз в указанной точке;
определить коэффициент эластичности по каждому из факторов в точке прогноза.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
| X1 |
X2 |
Y |
| 54,2 |
33,6 |
75,4 |
| 56,8 |
39,1 |
85,4 |
| 59,7 |
40,4 |
88,5 |
| 61,4 |
42,9 |
92,7 |
| 63,5 |
44 |
95,2 |
| 64,7 |
46,8 |
99,5 |
| 64,8 |
51,9 |
106,2 |
| 67,4 |
56,3 |
113,2 |
| 69 |
56,6 |
114,5 |
| 70,7 |
58,7 |
118,1 |
| 71,3 |
59,6 |
118,7 |
| 73,7 |
62,4 |
123 |
| 75,9 |
63,9 |
127,4 |
| 77,5 |
67,2 |
? |
Так как модель не линейная, перейдем к линейной с помощью замены:
V = lnY, U1
= lnX1
, U2
= lnX2
, b0
= lnA, b1
= б1
получим линейную модель:
V = b0
+ b1
U1
+ b2
U2
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
| X1 |
X2 |
Y |
V |
U1 |
U2 |
| 54,2 |
33,6 |
75,4 |
4,3228 |
3,9927 |
3,5145 |
| 56,8 |
39,1 |
85,4 |
4,4473 |
4,0395 |
3,6661 |
| 59,7 |
40,4 |
88,5 |
4,4830 |
4,0893 |
3,6988 |
| 61,4 |
42,9 |
92,7 |
4,5294 |
4,1174 |
3,7589 |
| 63,5 |
44 |
95,2 |
4,5560 |
4,1510 |
3,7842 |
| 64,7 |
46,8 |
99,5 |
4,6002 |
4,1698 |
3,8459 |
| 64,8 |
51,9 |
106,2 |
4,6653 |
4,1713 |
3,9493 |
| 67,4 |
56,3 |
113,2 |
4,7292 |
4,2106 |
4,0307 |
| 69 |
56,6 |
114,5 |
4,74057 |
4,2341 |
4,0360 |
| 70,7 |
58,7 |
118,1 |
4,7715 |
4,2584 |
4,0724 |
| 71,3 |
59,6 |
118,7 |
4,7766 |
4,2669 |
4,0877 |
| 73,7 |
62,4 |
123 |
4,8122 |
4,3000 |
4,1336 |
| 75,9 |
63,9 |
127,4 |
4,8473 |
4,3294 |
4,1573 |
| 77,5 |
67,2 |
4,3503 |
4, 2077 |
2. Найдем параметры b0
, b1
и b2
. Полученные результаты заносим в таблицу 3:
Таблица 3.
| Результаты расчета |
||
| 1,296429 |
0,5234561 |
4,655595 |
| 0,09192 |
0,1394437 |
4,694014 |
| 0,998782 |
0,6193063 |
--- |
| 4101,677 |
10 |
--- |
| 3146,317 |
3,8354032 |
--- |
3. По данным таблицы можем записать модель:
V = 4,6556 + 0,5235U1
+ 1,2964U2
4. Найдем параметры исходной модели:
А = ebo
= e4.655595
= 105.1723; a1
= b1
= 0,5234561; a2
= b2
= 1,296429.
Исходная модель имеет вид:
Y = 105.1723 * X1
0.5235
* X2
1.2964
5. Найдем прогноз в заданной точке:
Y = 105.1723 * 77.50.5235
* 67.21.2964
= 239856.97;
Вычислим коэффициент эластичности, который показывает, на сколько% увеличится (если Ех
> 0) или уменьшится (если Ех
< 0) показатель Y, если фактор X изменится на 1%.
EX1
= (X1
* ∂y) / (y * ∂x1
) = (X1/
(105.1723 * X1
0.5235
* X2
1.2964
)) * ( (∂ (105.1723 * X1
0.5235
* X2
1.2964
)) / ∂x1
) = (X1/
(105.1723 * X1
0.5235
* X2
1.2964
)) * (105.1723 * X2
1.2964
* (∂ (X1
0.5235
)) / ∂x1
) = (X1/
X1
0.5
) * 0.5X1
-0.5
= 0.5X1
1-0.5-0.5
= 0.5X1
0
= 0.5
Вывод
Для модели Кобба-Дугласа коэффициент эластичности - это показатели степени a1
и a2
, при чем a1
= 0.5235 - коэффициент эластичности по трудозатратам, а a2
= 1.2964 - коэффициент эластичности по объему основных фондов.
Литература
1. Лук`яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика. Підручник. - К. Товариство “Знання”. - 1998. - 494 с.
2. Грубер Й. Эконометрия: учебное пособие для студентов экономических специальностей. - К. 1996. - 400 с.
3. Методические указания и контрольные задания по дисциплине "Эконометрия" для студентов экономического направления заочного факультета. / Сост. В.Н. Черномаз, Т.В. Шевцова, - Харьков: 2006 г. - 32 с.
4. Конспект лекций по курсу "Эконометрия"