МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ЭКОНОМЕТРИКА»
2007
Задания к контрольной работе
:
1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.
Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;
3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:
| № района |
Фактор |
Уровень убыточности, % |
|
| Сбор овощей с 1 га, ц |
Затраты труда, человеко-часов на 1 ц |
||
| 1 |
93,2 |
2,3 |
8,8 |
| 2 |
65,9 |
26,8 |
39,4 |
| 3 |
44,6 |
22,8 |
26,2 |
| 4 |
18,7 |
56,6 |
78,8 |
| 5 |
64,6 |
16,4 |
34 |
| 6 |
25,6 |
26,5 |
47,6 |
| 7 |
47,2 |
26 |
43,7 |
| 8 |
48,2 |
12,4 |
23,6 |
| 9 |
64,1 |
10 |
19,9 |
| 10 |
30,3 |
41,7 |
50 |
| 11 |
28,4 |
47,9 |
63,1 |
| 12 |
47,8 |
32,4 |
44,2 |
| 13 |
101,3 |
20,2 |
11,2 |
| 14 |
31,4 |
39,6 |
52,8 |
| 15 |
67,6 |
18,4 |
20,2 |
Нелинейную зависимость принять
1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии
Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:
Ŷ = а + bx или Ŷ = a + bx + ε;
Уравнение вида Ŷ = а + bx позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора X. На графике теоретические значения представляют линию регрессии.
|
Рисунок 1 – Графическая оценка параметров линейной регрессии
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратится к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию. Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью OY, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy – приращение результата y, а dx – приращение фактора x, т.е. Ŷ = а + bx.
Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов(МНК).
МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна:
∑(Yi
– Ŷ xi
)2
→ min
Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной.
εi
= Yi
– Ŷ xi
.
следовательно ∑εi
2
→ min
|
|
Рисунок 2 – Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков
Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю.
Обозначим ∑εi
2
через S, тогда
S = ∑ (Y –Ŷ xi)
2
=∑(Y-a-bx)2
;
Дифференцируем данное выражение, решаем систему нормальных уравнений, получаем следующую формулу расчета оценки параметра b:
b = (ух – у•x)/(x2
-x2
).
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Например, если в функции издержек Ŷ = 3000 + 2x (где x – количество единиц продукции, у – издержки, тыс. грн.) с увеличением объема продукции на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. грн., т.е. дополнительный прирост продукции на ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. грн.
Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке
X. Сделать экономический анализ.
Модель:
Y = (2/
X) + 5;
X = 0;
Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула расчета коэффициента эластичности:
Э = f′(x) X/Y,
где f′(x) – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.
Y = (2/X) + 5,
f′(x) = -2/x2
;
Следовательно получим следующее математическое выражение
|
|
Э = =
При заданном значении X = 0 получим, что коэффициент эластичности равен Э = -1.
Допустим, что заданная функция Y = (2/X) + 5 определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 1% спрос снижается в среднем на 1%.
3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:
| № района
|
Фактор
|
Уровень убыточности, %
|
|
| Сбор овощей с 1 га, ц
|
Затраты труда, человеко-часов на 1 ц
|
||
| 1
|
93,2
|
2,3
|
8,8
|
| 2
|
65,9
|
26,8
|
39,4
|
| 3
|
44,6
|
22,8
|
26,2
|
| 4
|
18,7
|
56,6
|
78,8
|
| 5
|
64,6
|
16,4
|
34
|
| 6
|
25,6
|
26,5
|
47,6
|
| 7
|
47,2
|
26
|
43,7
|
| 8
|
48,2
|
12,4
|
23,6
|
| 9
|
64,1
|
10
|
19,9
|
| 10
|
30,3
|
41,7
|
50
|
| 11
|
28,4
|
47,9
|
63,1
|
| 12
|
47,8
|
32,4
|
44,2
|
| 13
|
101,3
|
20,2
|
11,2
|
| 14
|
31,4
|
39,6
|
52,8
|
| 15
|
67,6
|
18,4
|
20,2
|
Нелинейную зависимость принять
Задание №1
Построим линейную зависимость показателя от первого фактора.
Обозначим: сбор овощей с 1 Га как X1
, а уровень убыточности как Y.
| Сбор овощей с 1 га, ц
|
Уровень убыточности, %
|
| X1
|
Y
|
| 93,2
|
8,8
|
| 65,9
|
39,4
|
| 44,6
|
26,2
|
| 18,7
|
78,8
|
| 64,6
|
34
|
| 25,6
|
47,6
|
| 47,2
|
43,7
|
| 48,2
|
23,6
|
| 64,1
|
19,9
|
| 30,3
|
50
|
| 28,4
|
63,1
|
| 47,8
|
44,2
|
| 101,3
|
11,2
|
| 31,4
|
52,8
|
| 67,6
|
20,2
|
Найдем основные числовые характеристики.
1. Объем выборки n = 15 – суммарное число наблюдений.
2. Минимальное значение величины сбора овощей Х=18,7;
Максимальное значение сбора овощей Х=101,3;
Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;
Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;
3. Среднее значение:
X = ∑xi
.
Среднее значение величины сбора овощей X = 778,9/15 = 51,926.
Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.
4. Дисперсия
D(X) = ∑ (Xi
– X)2
= 588.35 D(Y) = ∑(Yi
– Y)2
= 385,57.
5. Среднеквадратическое отклонение:
σx
=√588.35 = 24.25, значит среднее сбора овощей в среднем от среднего значения составляет 24,25%.
σy
=√385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.
Для начала нужно определить, связаны ли X1
и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (51,926; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1
и Y линейная (стр.). Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции:
∑(Xi
– X) (Yi
– Y)
|
rxy
= = 403.64 / 24.25 х 19,63 = 0,856;
Так как 0,6 ≤ rxy
<0,9 то линейная связь между X1
и Y – достаточная. Попытаемся описать связь между X1
и Y зависимостью Y=b0
+b1
X. Параметры b0
, b1
найдем по МНК.
b1
= rxy
σx
σy =
-0,856 х 19,63. 24,25 = -0,696;
b0
= y – b1
X = 37.566 + 0.696 х 51.92 = 73.70
Так как b1
< 0, то зависимость между X1
и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0
, b1
.
Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
tнабл
= b0
/σb
0
= 73.70/6.53 = 11.28;
Значимость tнабл
равна 0,00000007, т.е. 0,000007%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b0
статистически значим.
tнабл
= b1
/σb
1
= -0,696/0,1146 = -6,0716;
Значимость tнабл
равна 0,000039, т.е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1
статистически значим.
Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:
Y = 73.70 – 0.6960X
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ∑(ỹ-y)2
= 3990,5;
Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ∑(ỹ-yi
)2
= 1407,25;
Общий разброс данных SSY = ∑(yi
-y)2
= 5397,85;
Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2
= SSR/SSY = 0.7192;
Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% – случайными ошибками.
Вывод:
Качество модели хорошее
Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:
MSR = SSR / K1
= 3990.5946/ K1
= 3990.5946. Отсюда K1
= 1.
MSE = SSE / K2
= 1407.25 / K2
= 108.25. Отсюда K2
= 13.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл
= MSR/MSE.
Значимость этого значения α = 0,00004, т.е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1
= 50.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50)
= 73.7085 – 0.6960 х 50 = 38.9.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр
Отсюда получим, что δ = 23,22.
В приведенной формуле:
σе
= MSE = 108.25 = 10.40 – среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.
ty
= 2,16 – критическая точка распределения Стъюдента для надежности γ = 0,95 и K2
= 13 при n = 15.
SX = ∑(xi
-x)2
или
SX = (n – 1) х D(X) = 14 х 588 х 39 = 8237,46;
Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1
такой (ỹ – δ; ỹ + δ).
Совокупность доверительных интервалов для всех X1
из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.
Прогноз для Х1
составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйств
Найдем эластичность Y = 73.70 – 0.6960X.
В нашем случае (для линейной модели) Ex
= -0.6960X/(73.70 – 0.6960X).
В численном выражении это составит:
Eх=50
= -0,6960×50 / (73.70 – 0.6960×50) = – 0,8946;
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1
на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.
Например, если Х1
= 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9×(-0,008946) = 38,5520006.
Проверим и Yх =50,5
= 73.70 – 0.6960X = 73.70 – 0.6960 × 50,50 = 38,552.
Задание №2
Построим нелинейную зависимость показателя от второго фактора.
Обозначим: затраты труда, человеко-часов на 1 ц – X2
, а уровень убыточности как Y.
| Затраты труда, человеко-часов на 1 ц
|
Уровень убыточности
|
| X2
|
Y
|
| 2,3
|
8,8
|
| 26,8
|
39,4
|
| 22,8
|
26,2
|
| 56,6
|
78,8
|
| 16,4
|
34
|
| 26,5
|
47,6
|
| 26
|
43,7
|
| 12,4
|
23,6
|
| 10
|
19,9
|
| 41,7
|
50
|
| 47,9
|
63,1
|
| 32,4
|
44,2
|
| 20,2
|
11,2
|
| 39,6
|
52,8
|
| 18,4
|
20,2
|
Найдем основные числовые характеристики.
6. Объем выборки n = 15 – суммарное число наблюдений.
7. Минимальное значение величины трудоемкости Х2
=2,3;
Максимальное значение трудоемкости Х2
=56,6;
Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;
Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;
8. Среднее значение:
X = ∑xi
.
Среднее значение величины трудоемкости X2
= 321,8/15 = 26,816.
Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.
9. Дисперсия
D(X) = ∑ (Xi
– X)2
= 254,66 D(Y) = ∑(Yi
– Y)2
= 385,56
10. Среднеквадратическое отклонение:
σx
=√254,66 = 15,95 значит среднее трудоемкости в среднем от среднего значения составляет 15,95%.
σy
=√385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.
Для начала нужно определить, связаны ли X1
и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (26,816; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1
и Y нелинейная (стр.), а именно имеет зависимость .
Путем преобразования нелинейную зависимость приведем к линейной V = b0
+ b1
U.
Для начала заменим переменные U = x, а V = ln(Y).
Найдем конкретные значения V и U (стр.), затем строим корреляционное поле (стр.) и находим результаты регрессивной статистики.
Для определения тесноты линейной связи V = b0
+ b1
U найдем коэффициент корреляции:
∑(Ui
– U) (Vi
– V)
|
rvu
= = 403.64 / 24.25 х 19,63 = 0,856;
Так как 0,6 ≤ rxy
<0,9 то линейная связь между X1
и Y – достаточная. Попытаемся описать связь между X1
и Y зависимостью Y=b0
+b1
X. Параметры b0
, b1
найдем по МНК.
b1
= rvu
σv
σu =
-0,856 х 19,63. 24,25 = -0,696;
b0
= y – b1
X = 37.566 + 0.696 х 51.92 = 73.70
Так как b1
< 0, то зависимость между X1
и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0
, b1
.
Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
tнабл
= b0
/σb
0
= 73.70/6.53 = 11.28;
Значимость tнабл
равна 0,00000007, т.е. 0,000007%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b0
статистически значим.
tнабл
= b1
/σb
1
= -0,696/0,1146 = -6,0716;
Значимость tнабл
равна 0,000039, т.е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1
статистически значим.
Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:
Y = 73.70 – 0.6960
X
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ∑(ỹ-y)2
= 3990,5;
Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ∑(ỹ-yi
)2
= 1407,25;
Общий разброс данных SSY = ∑(yi
-y)2
= 5397,85;
Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2
= SSR/SSY = 0.7192;
Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% – случайными ошибками.
Вывод:
Качество модели хорошее
Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:
MSR = SSR / K1
= 3990.5946/ K1
= 3990.5946. Отсюда K1
= 1.
MSE = SSE / K2
= 1407.25 / K2
= 108.25. Отсюда K2
= 13.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл
= MSR/MSE.
Значимость этого значения α = 0,00004, т.е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1
= 50.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50)
= 73.7085 – 0.6960 х 50 = 38.9.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр
Отсюда получим, что δ = 23,20.
В приведенной формуле:
σе
= MSE = 108.25 = 10.40 – среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.
ty
= 2,16 – критическая точка распределения Стъюдента для надежности γ = 0,95 и K2
= 13 при n = 15.
SX = ∑(xi
-x)2
или
SX = (n – 1) х D(X) = 14 х 588 х 39 = 8237,46;
Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1
такой (ỹ – δ; ỹ + δ).
Совокупность доверительных интервалов для всех X1
из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.
Прогноз для Х1
составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйственной продукции можно спрогнозировать на уровне 15,7% – 62,1%.
Найдем эластичность Y = 73.70 – 0.6960X.
В нашем случае (для линейной модели) Ex
= -0.6960X/(73.70 – 0.6960X).
В численном выражении это составит:
Eх=50
= -0,6960×50 / (73.70 – 0.6960×50) = – 0,8946;
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1
на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.
Например, если Х1
= 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9×(-0,008946) = 38,5520006.
Проверим и Yх =50,5
= 73.70 – 0.6960X = 73.70 – 0.6960 × 50,50 = 38,552.
Задание №3
| Сбор овощей с 1 га, ц
|
Затраты труда, человеко-часов на 1 ц
|
Уровень убыточности
|
| X
|
X
|
Y
|
| 93,2
|
2,3
|
8,8
|
| 65,9
|
26,8
|
39,4
|
| 44,6
|
22,8
|
26,2
|
| 18,7
|
56,6
|
78,8
|
| 64,6
|
16,4
|
34
|
| 25,6
|
26,5
|
47,6
|
| 47,2
|
26
|
43,7
|
| 48,2
|
12,4
|
23,6
|
| 64,1
|
10
|
19,9
|
| 30,3
|
41,7
|
50
|
| 28,4
|
47,9
|
63,1
|
| 47,8
|
32,4
|
44,2
|
| 101,3
|
20,2
|
11,2
|
| 31,4
|
39,6
|
52,8
|
| 67,6
|
18,4
|
20,2
|
Построим линейную зависимость показателя от двух факторов.
Обозначим: сбор овощей с 1 га как X1
, затраты труда, человеко-часов на 1 ц – X2
, а уровень убыточности как Y.
Найдем основные числовые характеристики.
1. Объем выборки n = 15 – суммарное число наблюдений
2. Минимальное значение величины сбора овощей Х1
=18,7;
Максимальное значение сбора овощей Х1
=101,3;
Минимальное значение величины трудоемкости Х2
=2,3;
Максимальное значение трудоемкости Х2
=56,6;
Минимальное значение величины уровня убыточности Y=8,8;
Максимальное значение величины уровня убыточности Y=78,8;
3. Среднее значение:
X = ∑xi
.
Среднее значение величины сбора овощей X = 778,9/15 = 51,926.
Среднее значение величины трудоемкости X2
= 321,8/15 = 26,816.
Среднее значение величины уровня убыточности Y = 563,5/15 = 37,566.
4. Дисперсия
D(X) = ∑ (Xi
– X)2
= 254,66 D(Y) = ∑(Yi
– Y)2
= 385,56
5. Среднеквадратическое отклонение:
σx
=√254,66 = 15,95 значит среднее трудоемкости в среднем от среднего значения составляет 15,95%.
σy
=√385.17 = 19.63, значит среднее уровня убыточности всей сельскохозяйственной продукции в среднем от среднего значения составляет 19,63%.
Для начала нужно определить, связаны ли X1
и Y между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания). Точка с координатами (X, Y) = (26,816; 37,566) называется центром рассеяния. По виде корреляционного поля можно предположить, что зависимость между X1
и Y нелинейная (стр.), а именно имеет зависимость .
Путем преобразования нелинейную зависимость приведем к линейной V = b0
+ b1
U.
Для начала заменим переменные U = x, а V = ln(Y).
Найдем конкретные значения V и U (стр.), затем строим корреляционное поле (стр.) и находим результаты регрессивной статистики.
Для определения тесноты линейной связи V = b0
+ b1
U найдем коэффициент корреляции:
∑(Ui
– U) (Vi
– V)
|
rvu
= = 403.64 / 24.25 х 19,63 = 0,856;
Так как 0,6 ≤ rxy
<0,9 то линейная связь между X1
и Y – достаточная. Попытаемся описать связь между X1
и Y зависимостью Y=b0
+b1
X. Параметры b0
, b1
найдем по МНК.
и1
= кчн
σн.
σч =
-0,856 х 19,63. 24,25 = -0,696;
b0
= y – b1
X = 37.566 + 0.696 х 51.92 = 73.70
Так как b1
< 0, то зависимость между X1
и Y обратная: с ростом сбора овощей уровень убыточности сельскохозяйственной продукции падает. Проверим значимость коэффициентов b0
, b1
.
Значимость коэффициентов b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
tнабл
= b0
/σb
0
= 73.70/6.53 = 11.28;
tнабл
= b1
/σb
1
= -0,696/0,1146 = -6,0716;
Значимость tнабл
равна 0,000039, т.е. 0,0039%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1
статистически значим.
Получили модель связи сбора овощей и уровня убыточности сельскохозяйственной продукции:
Y = 73.70 – 0.6960
X
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Разброс данных, объясняемый регрессией SSR = ∑(ỹ-y)2
= 3990,5;
Остатки, необъясненный разброс SSЕ = ∑(ỹ-yi
)2
= 1407,25;
Общий разброс данных SSY = ∑(yi
-y)2
= 5397,85;
Для анализа общего качества оценной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации: R2
= SSR/SSY = 0.7192;
Разброс данных объясняется линейной моделью на 72% и на 28% – случайными ошибками.
Вывод:
Качество модели хорошее
Проверим с помощью критерия Фишера. Для проверки этой гипотезы сравниваются между собой величины:
MSR = SSR / K1
= 3990.5946/ K1
= 3990.5946. Отсюда K1
= 1.
MSE = SSE / K2
= 1407.25 / K2
= 108.25. Отсюда K2
= 13.
Находим наблюдаемое значение критерия Фишера Fнабл
= MSR/MSE.
Значимость этого значения α = 0,00004, т.е. процент ошибки равен 0,004%. Так как это значение меньше 5%, то найденная модель считается адекватной.
Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза [18.7; 101.3]. Допустим это точка X1
= 50.
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза Y(х = 50)
= 73.7085 – 0.6960 х 50 = 38.9.
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки Xпр
δ = σе
ty
1 + + = 10.4 × 2.016 1 + +
Отсюда получим, что δ = 23,20.
В приведенной формуле:
σе
= MSE = 108.25 = 10.40 – среднеквадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии.
ty
= 2,16 – критическая точка распределения Стъюдента для надежности γ = 0,95 и K2
= 13 при n = 15.
SX = ∑(xi
-x)2
или
SX = (n – 1) х D(X) = 14 х 588 х 39 = 8237,46;
Прогнозируемый доверительный интервал для любого X1
такой (ỹ – δ; ỹ + δ).
Совокупность доверительных интервалов для всех X1
из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке X.
Прогноз для Х1
составит от 15,7 до 62,1 с гарантией 95%. То есть можно сказать, что при сборе овощей 50 центнеров с 1 га уровень убыточности сельскохозяйственной продукции можно спрогнозировать на уровне 15,7% – 62,1%.
Найдем эластичность Y = 73.70 – 0.6960X.
В нашем случае (для линейной модели) Ex
= -0.6960X/(73.70 – 0.6960X).
В численном выражении это составит:
Eх=50
= -0,6960×50 / (73.70 – 0.6960×50) = – 0,8946;
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении величины Х1
на 1% показатель Y уменьшается на 0,8946%.
Например, если Х1
= 50,5 (т.е. увеличился на 1%), то Y = 38.9 + 38.9×(-0,008946) = 38,5520006.
Проверим и Yх =50,5
= 73.70 – 0.6960X = 73.70 – 0.6960 × 50,50 = 38,552.