Исходные данные о продаже квартир на вторичном рынке жилья
| №п/п | y | x1
|
x2
|
Задание |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
22.5 26 18.5 13.2 25.8 17 18 21 14.5 23 19.5 14.2 13.3 16.1 13.516 |
29 35 28 30 51 38 30 32 27 39 29.5 29 30 30.8 28 31 |
15 10 10 25 10 12 15 20 10 5 15 12 5 10 25 10 |
y – цена квартиры (тыс.$); x1
x2
По имеющимся статистическим данным отдельно для пар (у,х1
а) уравнение линейной регрессии; б) коэффициент корреляции; в) среднюю величину у при х1
г) 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения у; д) с надежностью 0.95 интервальные оценки коэффициента регрессии b1
е) коэффициент детерминации. Оценить на уровне 0.05 значимость уравнения регрессии. Сделать анализ полученных результатов. |
Табличные значения стандартных функций распределения:
t0.05,14
= 2.145 F0.05,1,14
= 4.6
c2
0.025,14
=26.1 c2
0.975,14
=5.63
1. Парная регрессия yна x1
.
а) Найти уравнение линейной регрессии для x1
.
| № п/п
|
yi
|
xi
|
y2
|
x2
|
x
* y |
xi
– |
(xi
– )2 |
| 1 | 22,5 | 29 | 506,25 | 841 | 652,5 | -3,3 | 10,89 |
| 2 | 26 | 35 | 676 | 1225 | 910 | 2,7 | 7,29 |
| 3 | 18,5 | 28 | 342,25 | 784 | 518 | -4,3 | 18,49 |
| 4 | 13,2 | 30 | 174,24 | 900 | 396 | -2,3 | 5,29 |
| 5 | 25,8 | 51 | 665,64 | 2601 | 1315,8 | 18,7 | 349,69 |
| 6 | 17 | 38 | 289 | 1444 | 646 | 5,7 | 32,49 |
| 7 | 18 | 30 | 324 | 900 | 540 | 2,3 | 5,29 |
| 8 | 21 | 32 | 441 | 1024 | 672 | -0,3 | 0,09 |
| 9 | 14,5 | 27 | 210,25 | 729 | 391,5 | -5,3 | 28,09 |
| 10 | 23 | 39 | 529 | 1521 | 897 | 6,7 | 44,89 |
| 11 | 19,5 | 29,5 | 380,25 | 870,25 | 575,25 | -2,8 | 7,84 |
| 12 | 14,2 | 29 | 201,64 | 841 | 411,8 | -3,3 | 10,89 |
| 13 | 13,3 | 30 | 176,89 | 900 | 399 | -2,3 | 5,29 |
| 14 | 16,1 | 30,8 | 259,21 | 948,64 | 495,88 | -1,5 | 2,25 |
| 15 | 13,5 | 28 | 182,25 | 784 | 378 | -4,3 | 18,49 |
| 16 | 16 | 31 | 256 | 961 | 496 | -1,3 | 1,69 |
| Сумма | 292,1 | 517,3 | 5613,87 | 17273,89 | 9694,73 | 548,95 | |
| Средняя | 18,2 | 32,3 | 350,9 | 1079,6 | 605,9 | 34,3 |
Таким образом, выборочные средние значения = 32,3; = 18,2; = 605,9;
выборочная дисперсия = 34,3;
выборочная ковариация cov(x,y) = = 605,9-32,3*18,2 = 18,04;
Коэффициенты регрессии b1
== = 0,53
= 18,2 – 0,53*32,3 = 1,08
При увеличении жилой площади на 1 кв.м цена квартиры в среднем возрастает на 0,53 тыс.$.
Уравнение регрессии = 1,08 + 0,53 * x.
б) рассчитать коэффициент корреляции
Между величиной жилой площади квартиры и ценной квартиры наблюдается умеренная положительная зависимость.
в) определить среднюю величину yпри x1
=35.
Средняя цена квартиры при жилой площади 35 кв.м составляет 19.63 тыс.$. Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице.
| № п/п
|
yi
|
x
i |
|
|
|
|
|
| 1
|
22,5 | 29 | 16.45 | 6.05 | 36.60 | 4.3 | 18.49 |
| 2
|
26 | 35 | 19.63 | 6.37 | 40.58 | 7.8 | 60.84 |
| 3
|
18,5 | 28 | 15.92 | 2.58 | 6.66 | 0.3 | 0.09 |
| 4
|
13,2 | 30 | 16.98 | -3.78 | 14.29 | -5.0 | 25.00 |
| 5
|
25,8 | 51 | 28.11 | -2.31 | 5.34 | 7.6 | 57.76 |
| 6
|
17 | 38 | 21.22 | -4.22 | 17.81 | -1.2 | 1.44 |
| 7
|
18 | 30 | 16.98 | 1.02 | 1.04 | -0.2 | 0.04 |
| 8
|
21 | 32 | 18.04 | 2.96 | 8.76 | 2.8 | 7.84 |
| 9
|
14,5 | 27 | 15.39 | -0.89 | 0.79 | -3.7 | 13.69 |
| 10
|
23 | 39 | 21.75 | 1.25 | 1.56 | 4.8 | 23.04 |
| 11
|
19,5 | 29,5 | 16.72 | 2.78 | 7.73 | 1.3 | 1.69 |
| 12
|
14,2 | 29 | 16.45 | -2.25 | 5.06 | -4.0 | 16.00 |
| 13
|
13,3 | 30 | 16.98 | -3.68 | 13.54 | -4.9 | 24.01 |
| 14
|
16,1 | 30,8 | 17.40 | -1.30 | 1.69 | -2.1 | 4.41 |
| 15
|
13,5 | 28 | 15.92 | -2.42 | 5.86 | -4.7 | 22.09 |
| 16
|
16 | 31 | 17.51 | -1.51 | 2.28 | -2.2 | 4.84 |
| Сумма
|
292,1 | 517,3 | 169.59 | 281.27 | |||
| Средняя
|
18,2 | 32,3 | 17.58 |
г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.
С учетом значений из обеих таблиц:
Остаточная дисперсия
Дисперсия среднего значения
= 0.920
Стандартное отклонение
Дисперсия индивидуального значения y0
Стандартное отклонение y0
Для доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.
Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t0.05,8
= 2,31.
Доверительный интервал для среднего значения
19.63 – 2.145×0.96 £y£ 19.63 + 2.145×0.96
17.57£y£ 21.69
Доверительный интервал для индивидуального значения
19.63 – 2.145×3.61 £y0
£ 19.63 + 2.145×3.61
11.89 £y0
£ 27.37
С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с площадью 35 кв.м с вероятностью 95% лежит в пределах от 17,57 до 21,69 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 11,89 до 27,37 тыс.$.
д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b1
и дисперсии возмущений s2
.
Дисперсия коэффициента регрессии == 0.022
Стандартное отклонение
Доверительный интервал для коэффициента регрессии b1
0.53–2.145×0.148 £b1
£ 0.53+ 2.145×0.148
0.21 £b1
£ 0.85
С надежностью 0,95 увеличение площади квартиры на 1 кв.м приводит к увеличению цены квартиры на величину от 0,21 до 0,85 тыс.$.
Табличные значения распределения c2
Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют
;
Доверительный интервал дисперсии возмущений
7,42 £s2
£ 34,42
Интервал для ста
С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 7,42 до 34,42, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 2,72 до 5,87.
Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.
Общая сумма квадратов отклонений y= 281,27
Остаточная сумма квадратов = 169,59
Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–169,59 = 111,68
Величина F-критерия
= 9,23,
где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.
Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14
=4,6.
Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии yпо x1
следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.
Определим коэффициент детерминации.
0,40
Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 40% определяется фактором x –площадью квартиры.
2. Парная регрессия yна x2
.
а) Найти уравнение линейной регрессии для x2
.
| № п/п
|
yi
|
xi
|
y2
|
x2
|
x * y
|
xi
– |
(xi
– )2 |
| 1 | 22,5 | 15 | 506,25 | 225 | 337,5 | 1,9 | 3,61 |
| 2 | 26 | 10 | 676 | 100 | 260 | -3,1 | 9,61 |
| 3 | 18,5 | 10 | 342,25 | 100 | 185 | -3,1 | 9,61 |
| 4 | 13,2 | 25 | 174,24 | 625 | 330 | 11,9 | 141,61 |
| 5 | 25,8 | 10 | 665,64 | 100 | 258 | -3,1 | 9,61 |
| 6 | 17 | 12 | 289 | 144 | 204 | -1,1 | 1,21 |
| 7 | 18 | 15 | 324 | 225 | 270 | 1,9 | 3,61 |
| 8 | 21 | 20 | 441 | 400 | 420 | 6,9 | 47,61 |
| 9 | 14,5 | 10 | 210,25 | 100 | 145 | 1,9 | 3,61 |
| 10 | 23 | 5 | 529 | 25 | 115 | -8,1 | 65,61 |
| 11 | 19,5 | 15 | 380,25 | 225 | 292,5 | 1,9 | 3,61 |
| 12 | 14,2 | 12 | 201,64 | 144 | 170,4 | -1,1 | 1,21 |
| 13 | 13,3 | 5 | 176,89 | 25 | 66,5 | -8,1 | 65,61 |
| 14 | 16,1 | 10 | 259,21 | 100 | 161 | -3,1 | 9,61 |
| 15 | 13,5 | 25 | 182,25 | 625 | 337,5 | 11,9 | 141,61 |
| 16 | 16 | 10 | 256 | 100 | 160 | -3,1 | 9,61 |
| Сумма | 292,1 | 209 | 5613,87 | 3263 | 3712,4 | 526,96 | |
| Средняя | 18,2 | 13,1 | 350,9 | 203,94 | 232,025 | 32,9 |
Таким образом, выборочные средние значения = 13,1; = 18,2; = 232,025;
выборочная дисперсия = 32,9;
выборочная ковариация cov(x,y) = = 232,025-13,1*18,2 = -6,4;
Коэффициенты регрессии b1
== = -0,19
= 18,2 – (-0,19)*13,1 = 20,7
При увеличении времени пути до метро на 1 мин. цена квартиры в среднем снижается на 0,19 тыс.$.
Уравнение регрессии = 20,7 – 0,19 * x.
б) рассчитать коэффициент корреляции
Между временем пути до метро от квартиры и ценной квартиры наблюдается слабая отрицательная зависимость.
в) определить среднюю величину yпри x2
=12.
Средняя цена квартиры при времени пути до метро 12 минут составляет 19.63 тыс.$.
Промежуточные вычисления для последующих расчетов проводим в таблице
| № п/п
|
yi
|
x
i |
|
|
|
|
|
| 1
|
22,5 | 15 | 17,85 | 4,65 | 21,62 | 4.3 | 18.49 |
| 2
|
26 | 10 | 18,80 | 7,2 | 51,84 | 7.8 | 60.84 |
| 3
|
18,5 | 10 | 18,80 | -0,3 | 0,09 | 0.3 | 0.09 |
| 4
|
13,2 | 25 | 15,95 | -2,75 | 7,56 | -5.0 | 25.00 |
| 5
|
25,8 | 10 | 18,80 | 7,0 | 49,0 | 7.6 | 57.76 |
| 6
|
17 | 12 | 18,42 | -1,42 | 2,02 | -1.2 | 1.44 |
| 7
|
18 | 15 | 17,85 | 0,15 | 0,02 | -0.2 | 0.04 |
| 8
|
21 | 20 | 16,90 | 4,1 | 16,81 | 2.8 | 7.84 |
| 9
|
14,5 | 10 | 18,80 | -4,3 | 18,49 | -3.7 | 13.69 |
| 10
|
23 | 5 | 19,75 | 3,25 | 10,56 | 4.8 | 23.04 |
| 11
|
19,5 | 15 | 17,85 | 1,65 | 2,72 | 1.3 | 1.69 |
| 12
|
14,2 | 12 | 18,42 | -4,22 | 17,81 | -4.0 | 16.00 |
| 13
|
13,3 | 5 | 19,75 | -6,45 | 41,60 | -4.9 | 24.01 |
| 14
|
16,1 | 10 | 18,80 | -2,7 | 7,29 | -2.1 | 4.41 |
| 15
|
13,5 | 25 | 15,95 | -2,45 | 6,003 | -4.7 | 22.09 |
| 16
|
16 | 10 | 18,80 | -2,8 | 7,84 | -2.2 | 4.84 |
| Сумма
|
292,1 | 209 | 261,27 | 281.27 | |||
| Средняя
|
18,2 | 13,1 | 17.58 |
г) найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения y.
С учетом значений из обеих таблиц:
Остаточная дисперсия
Дисперсия среднего значения
= 1,21
Стандартное отклонение
Дисперсия индивидуального значения y0
Стандартное отклонение y0
Для доверительной вероятности g=0,95 уровень значимости a = 1-g = 0,05.
Табличное значение t-распределения Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы k = n-2 =16-2 =14 составляет t0.05,8
= 2,31.
Доверительный интервал для среднего значения
18,42 – 2,145×1,1 £y£ 18,42 + 2,145×1,1
16,06£y£ 20,78
Доверительный интервал для индивидуального значения
18,42 – 2,145×4,46 £y0
£ 18,42 + 2,145×4,46
8,85 £y0
£ 27,99
С учетом возможных ошибок средняя цена квартиры с временем пути до метро 12 минут с вероятностью 95% лежит в пределах от 16,06 до 20,78 тыс.$; при этом отдельно цена квартиры колебаться от 8,85 до 27,99 тыс.$.
д) с надежностью 0,95 найти интервальные оценки коэффициента регрессии b1
и дисперсии возмущений s2
.
Дисперсия коэффициента регрессии == 0.035
Стандартное отклонение
Доверительный интервал для коэффициента регрессии b1
-0,19–2,145×0,187 £b1
£ -0,19 + 2,145×0,187
0,59£b1
£ 0,21
С надежностью 0,95 увеличение времени пути до метро на 1 минуту приводит к увеличению цены квартиры на величину от – 0,59 до 0,21 тыс.$.
Табличные значения распределения c2
Пирсона для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 14 составляют
;
Доверительный интервал дисперсии возмущений
11,44 £s2
£ 53,03
Интервал для стандартного отклонения 3,38 £s£ 7,28.
С надежностью 0,95 дисперсия ошибок расчета находится в пределах от 11,44 до 53,03, а стандартное отклонение цены квартиры от среднего значения лежит в пределах от 3,38 до 7,28.
Оценить на уровне 0,05 значимость уравнения регрессии.
Общая сумма квадратов отклонений y= 281,27
Остаточная сумма квадратов = 261,27
Сумма квадратов, объясненная регрессией = 281,27–261,27 = 20
Величина F-критерия
= 1,07,
где m – число параметров (коэффициентов), рассчитанных по уравнению регрессии m=2.
Табличное значение F-распределения Фишера для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы k1=n-m=14 и k2=m-1=1 составляет F0,05,1,14
=4,6.
Так как расчетное значение F-критерия больше табличного критического, то уравнение регрессии yпо x1
следует признать значимым, т.е. заслуживающим доверия.
Определим коэффициент детерминации.
квартира стоимость регрессия вариация
0,07
Вариация зависимой переменной (цены квартиры) на 7% определяется фактором x –временем пути до метро.