Поняття предиката

Реферат на тему:

Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як алгебра висловлень i як формальна (аксiоматична) теорiя, є важливою i невiд’ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.

Однiєю з причин цього є те, що у численнi висловлень будь-яке просте висловлення розглядається як вихiдний об’єкт дослiдження, неподiльне цiле, позбавлене частин i внутрiшньої структури, яке має лише одну властивiсть - бути або iстинним, або хибним.

Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити логiчнi мiркування для виведення нетривiальних правильних висновкiв з урахуванням будови i змiсту простих висловлень, пропонується формальна теорiя, що дiстала назву числення предикатiв
.

Теорiя предикатiв починається з аналiзу граматичної будови простих висловлень i грунтується на такому висновку: простi висловлення виражають той факт, що деякi об’єкти (або окремий об’єкт) мають певнi властивостi, або що цi об’єкти знаходяться мiж собою у певному вiдношеннi.

Наприклад, в iстинному висловленнi «3 є просте число» пiдмет «3» - це об’єкт, а присудок «є просте число» виражає деяку його властивiсть.

У латинськiй граматицi присудок називається предикатом
, звiдси цей термiн i увiйшов у математичну логiку. Головним для логiки предикатiв є саме друга складова речення-висловлення - присудок-властивiсть. Вона фiксується, а значення об’єкта пропонується змiнювати так, щоб кожен раз отримувати осмисленi речення, тобто висловлення.

Наприклад, замiнюючи у наведеному вище висловленнi 3 на 1, 5, 9 або 12, матимемо вiдповiдно такi висловлення: «1 є просте число», «5 є просте число», «9 є просте число», «12 є просте число», з яких друге є iстинним, а решта - хибними висловленнями.

Таким чином, можна розглянути вираз «x
є просте число», який не є висловленням, а є так званою пропозицiйною
(висловлювальною
) формою
. Тобто формою (або формуляром), пiсля пiдстановки в яку замiсть параметра (змiнної) x
об’єктiв (значень) з певної множини M
, дiстаємо висловлення.

Аналогiчно можна трактувати, наприклад, пропозицiйнi форми «a
є українцем», «b
i c
є однокурсники», «c
важче d
», або «точка x
лежить мiж точками y
i z
». У першi двi з них можна пiдставляти замiсть параметрiв a
, b
i c
прiзвища конкретних людей. У третю замiсть c
i d
назви будь-яких об’єктiв (предметiв), якi мають вагу. Для четвертої множиною M
значень змiнних x
, y
i z
є множина точок певної прямої.

Перша з цих пропозицiйних форм задає, як i в наведенiй ранiше формi, певну властивiсть для об’єкта a
. Iншi три форми описують деякi вiдношення мiж вiдповiдними об’єктами.

Розглянувши конкретнi приклади i коротко зупинившись на мотивацiї та змiстовнiй iнтерпретацiї подальших понять, перейдемо до формальних математичних означень.

n-мiсним предикатом

P
(x
1
,x
2
,...,xn
) на множинi M
називається довiльна функцiя типу Mn
®B
, де B
= {0,1} - бульовий (двiйковий) алфавiт.

Множина M
називається предметною областю

, або унiверсальною множиною <

Множина елементiв (a
1
,a
2
,...,an
)ÎMn
таких, що P
(a
1
,a
2
,...,an
) = 1 називається областю iстинностi

(або характеристичною множиною

) предиката P
.

Якщо P
(a
1
,a
2
,...,an
) = 1, то згiдно з логiчною iнтерпретацiєю будемо говорити, що предикат P
є iстинним
на (a
1
,a
2
,...,an
). У противному разi, казатимемо, що предикат P
є хибним
.

Взагалi кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат
, як функцiю типу M
1
´M
2
´...´Mn
®B
, дозволивши різним його аргументам приймати значення з рiзних множин. Iнодi це буває доцiльним; однак частiше в логiцi предикатiв використовують наведене ранiше означення.

Неважко зрозумiти, що пропозицiйна форма є одним зi способiв задання предиката.

Для n
= 1 предикат P
(x
) називається одномiсним

або унарним
, для n
= 2 P
(x
,y
) - двомiсним

або бiнарним
, для n
= 3 P
(x
,y
,z
) - трьохмiсним

або тернарним
предикатом.

Очевидно, що коли в n
-арному предикатi P
(x
1
,x
2
,...,xn
) зафiксувати деякi m
змiнних (тобто надати їм певних значень з множини M
), то отримаємо (n
-m
)-мiсний предикат на множинi M
. Це дозволяє вважати висловлення нульмiсними предикатами, якi утворено з багатомiсних предикатiв пiдстановкою замiсть усiх їхнiх параметрів певних значень з предметної областi. Таким чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок предиката.

Для довiльної множини M
i довiльного n
iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж сукупнiстю всiх n
-мiсних предикатiв на M
i множиною всiх n
-арних вiдношень на M
. А саме, будь-якому предикату P
(x
1
,x
2
,...,xn
) вiдповiдає вiдношення R
таке, що (a
1
,a
2
,...,an
)ÎR
тодi i тiльки тодi, коли P
(a
1
,a
2
,...,an
) = 1. Очевидно, що при цьому R
є областю iстинностi предиката P
.

Крiм того, за будь-якою вiдповiднiстю C
мiж множинами A
i B
(тобто C
ÍA
´B
) можна побудувати бiнарний двосортний предикат P
(x
,y
) таким чином: P
(a
,b
) = 1 тодi i тiльки тодi, коли (a
,b
)ÎC
для a
ÎA
i b
ÎB
.

Зокрема, будь-якiй функцiональнiй вiдповiдностi або функцiї f
: Mn
®M
можна поставити у вiдповiднiсть (n
+1)-мiсний предикат P
на M
такий, що P
(a
1
,a
2
,...,an
,an
+1
) = 1 тодi i тiльки тодi, коли f
(a
1
,a
2
,...,an
) = an
+1
.

Отже, такi фундаментальнi математичнi поняття як вiдповiднiсть (зокрема, функцiя), вiдношення, висловлення можна розглядати як окремi випадки бiльш загального поняття предиката.