ЗАДАЧА 1
По годовым отчетам промышленных предприятий района получена следующая информация:
| Номер предприятия | Объем продукции, млн. руб. | Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. |
| 1 | 134,4 | 7,2 |
| 2 | 264 | 11,6 |
| 3 | 372 | 15,6 |
| 4 | 145 | 7,6 |
| 5 | 427 | 16,0 |
| 6 | 585 | 22,0 |
| 7 | 170 | 8,4 |
| 8 | 464 | 18,8 |
| 9 | 180 | 9,2 |
| 10 | 308 | 13,2 |
| 11 | 586 | 21,0 |
| 12 | 338 | 14,0 |
| 13 | 480 | 19,0 |
| 14 | 240 | 11,0 |
| 15 | 362 | 14,8 |
| 16 | 603 | 23,0 |
| 17 | 375 | 15,6 |
| 18 | 216 | 10,0 |
| 19 | 572 | 19,8 |
| 20 | 277 | 12,4 |
Сгруппируйте предприятия по объему выработанной продукции, выделив четыре группы с равными интервалами. По каждой группе определите:
1. Число предприятий;
2. Объем продукции – в целом по группе и в среднем на 1 предприятие;
3. Стоимость основных производственных фондов – в целом по группе и в среднем на 1 предприятие.
Решение оформите в виде статистической таблицы. Сделайте выводы.
Изобразите ряд распределения предприятий по объему продукции графически в виде гистограммы распределения.
Решение
Ранжируем ряд по объему выработанной продукции
| Номер предприятия | Объем продукции, млн. руб. | Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. |
| 1 | 134,4 | 7,2 |
| 4 | 145 | 7,6 |
| 7 | 170 | 8,4 |
| 9 | 180 | 9,2 |
| 18 | 216 | 10 |
| 14 | 240 | 11 |
| 2 | 264 | 11,6 |
| 20 | 277 | 12,4 |
| 10 | 308 | 13,2 |
| 12 | 338 | 14 |
| 15 | 362 | 14,8 |
| 3 | 372 | 15,6 |
| 17 | 375 | 15,6 |
| 5 | 427 | 16 |
| 8 | 464 | 18,8 |
| 13 | 480 | 19,0 |
| 19 | 572 | 19,8 |
| 6 | 585 | 22 |
| 11 | 586 | 21 |
| 16 | 603 | 23 |
При построении ряда с равными интервалами величина интервала h
определяется по формуле
где
– наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k
-
число групп интервального ряда.
Сгруппируем данные
| Границы интервалов | Число предприятий | Объем продукции (млн. руб.) | Среднегодовая стоимость фондов (млн. руб.) | |||
| В сумме | В среднем на 1 предприятие | В сумме | В среднем на 1 предприятие | % к объему | ||
| 134,4-251,55 | 6 | 1085,4 |
180,9 |
53,4 | 8,9 | 4,92% |
| 251,55-368,7 | 5 | 1549 | 309,8 | 66,0 | 13,2 | 4,26% |
| 368,7-485,85 | 5 | 2118 | 423,6 | 65,5 | 13,1 | 3,09% |
| 485,85-603 | 4 | 2346 | 586,5 | 85,8 | 21,45 | 3,66% |
| Σ | 20 | 7098,4 | 1500,8 | 270,7 | 56,65 | 15,93% |
Как мы видим из таблицы и диаграммы, частота распределения предприятий по объему выработанной продукции
имеет тенденцию к снижению, более часто встречаются предприятия с объемом выработанной продукции от 134,4 до 251,55 млн.руб. Также мы видим, что с ростом объема выработанной продукции, уменьшается среднегодовая стоимость фондов (с 4,92% к объему выработанной продукции в первой группе до 3,66% к объему выработанной продукции в четвертой группе)
Рис.1
ЗАДАЧА 2
Методом механического отбора проведено 5 % обследование веса расфасованного груза (мешки муки). Распределение 60 отобранных мешков по весу дало следующие результаты:
| Вес мешка, кг. | Число мешков |
| До 45 | 3 |
| 45-50 | 6 |
| 50-55 | 40 |
| 55-60 | 7 |
| 60-и более | 4 |
| Итого: | 60 |
Определите:
1. средний вес одного мешка муки в выборке;
2. размах вариации;
3. среднее линейное отклонение;
4. дисперсию;
5. среднее квадратическое отклонение;
6. коэффициент вариации.
7. с вероятностью 0,997 пределы, в которых может быть гарантирован средний вес мешка муки во всей партии.
Сделайте выводы.
Решение:
Рассчитаем характеристики ряда распределения. Середины крайних (открытых) интервалов определим, исходя из гипотезы равнонаполненности интервалов.
Для расчетов составим вспомогательную таблицу:
| Количество изделий за смену, шт. | Середина интервала,
х
|
Частота,
fi
|
|
|
|
| До 45 | 42,5 | 3 | 127,5 | 30,75 | 315,1875 |
| 45-50 | 47,5 | 6 | 285 | 31,5 | 165,375 |
| 50-55 | 52,5 | 40 | 2100 | 10 | 2,5 |
| 55-60 | 57,5 | 7 | 402,5 | 33,25 | 157,9375 |
| 60-и более | 62,5 | 4 | 250 | 39 | 380,25 |
| Σ
|
60
|
3165
|
144,5
|
1021,25
|
1. Для расчета средней дневной выработки рабочих воспользуемся формулой средневзвешенного:
2. Размах вариации равен:
3. Среднее линейное отклонение определим по формуле:
4. Дисперсию найдем по формуле:
5. Соответственно, среднеквадратическое отклонение равно:
6. Вычислим коэффициент вариации
Коэффициент вариации значительно меньше 33% – совокупность достаточно однородна.
1. Определим возможные границы, в которых ожидается среднедневная выработка изделий в генеральной совокупности рабочих. По условию n = 100, тогда N – размер совокупности равен:
N = 60*100% /5% = 1200 шт.
Используем формулы для бесповторного отбора:
Предельная ошибка выборки равна:
,
т.е. ошибка выборки для средней величины составляет 0,519 кг.
Установим предельные значения для генеральной средней с вероятностью 0,997, учитывая, что вероятности 0,954 соответствует значение коэффициента доверия t=3:
== 52,75 3* 0,519 , или 52,23 кг ≤ ≤ 53,27 кг
Таким образом, с вероятностью 99,7%, средний вес мешка муки во всей партии может быть га рантирован в пределах от 52,23 до 53,27 кг.
ЗАДАЧА 3
Имеются следующие данные о продаже картофеля по двум рынкам города:
Рынок |
Цена за 1 кг, руб. |
Продано картофеля, т |
||
I квартал |
II квартал |
I квартал |
II квартал |
|
| 1 | 12 | 10 | 5 | 8 |
| 2 | 11,5 | 9,5 | 7 | 10 |
| 3 | 14 | 11 | 4,5 | 6 |
Определите:
1. Индивидуальные индексы цен.
2. Индекс цен переменного состава.
3. Индекс цен фиксированного состава.
4. Индекс влияния структурных сдвигов.
Решение
Индивидуальные индексы цен
ip
1
=10/2=0,83=83,3% (снижение на 16,7%)
ip
2
=9,5/11,5=0,83=82,6% (снижение на 17,4%)
ip
3
=11/14=0,79=78,6% (снижение на 21,4%)
Составим вспомогательную таблицу
Рынок |
Цена за 1 кг, руб. |
Продано картофеля, т |
|||||
I квартал |
II квартал |
I квартал |
II квартал |
||||
| 1 | 12 | 10 | 5 | 8 | 60 | 80 | 96 |
| 2 | 11,5 | 9,5 | 7 | 10 | 80,5 | 95 | 115 |
| 3 | 14 | 11 | 4,5 | 6 | 63 | 66 | 84 |
| Сумма | 16,5
|
24
|
203,5
|
241
|
295
|
||
На изменение средних цен влияют два фактора:
- цена единицы продукции на рынке
- структура выпуска продукции
Совместное влияние факторов на изменение средней цены картофеля учитывает индекс переменного состава.
Он представляет собой соотношение двух средних величин, т.е. здесь учитываются и структурные изменения в составе совокупности, и изменение качественного признака у отдельных объектов.
Средняя цена снизилась на 18,58% за счет совместного действия двух факторов
В абсолютном выражении это
=(10,04-12,33)=-2,29 р.
Т.е. средняя стоимость 1 кг картофеля снизилась на 2,29 руб.
Изменение за счет качественного признака учитывает индекс фиксированного (постоянного) состава
Средняя стоимость 1 кг картофеля снизилась на 18,31% за счет изменения единицы продукции на каждом рынке.
В абсолютном выражении это
= (10,04-12,29)= -2,25 руб.
Изменение структуры выпуска продукции (т.е. изменение доли предприятий в общем выпуске продукции) учитывает индекс структурных сдвигов.
Средняя цена картофеля снизилась на 0,34% за счет изменения структуры продажи картофеля.
В абсолютном выражении это
=(12,29-12,33)= 0,04 руб.
Взаимосвязь системы индексов:
Iпер
=Iфикс
*Iстр
.
0,814=0,817*0,997
Общий вывод: если бы произошедшие изменения стоимости картофеля не сопровождались структурными изменениями в ее выпуске, то средняя стоимость снизилась бы на 18,31% (на 2 руб. 25 коп.). Изменение структуры продаж на рынках в общем объеме продаж вызвало снижение стоимости на 0,34% (4 коп.). Одновременное воздействие обоих факторов снизило среднюю стоимость 1 кг картофеля на 18,58%, или 2 руб. 29 коп.
ЗАДАЧА 4
Имеются следующие данные о ежесуточной добычеугляпо шахте за первую декаду:
| День | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Добыча угля, т. | 800 | 790 | 804 | 808 | 805 | 810 | 800 | 817 | 820 | 832 |
Для анализа динамики добычи угля по шахте определить:
1. абсолютные приросты, темпы роста и прироста добычи угля (базисные и цепные);
2. абсолютное значение 1 % прироста.
3. среднемесячный темп роста и прироста, средний абсолютный прирост (двумя способами);
4. ожидаемый объем добычи угля на 11 день при условии, что среднемесячные темпы с 1 по 10 день сохранятся на 11 день.
Полученные результаты представьте в табличной форме. На основе базисных темпов роста изобразите графически динамику добычи угля.
Сделайте выводы.
Решение:
Показатели динамики
Добыча угля,
т.
|
Абсолютный прирост,
Δ, т.
|
Коэффициент роста,
Кр
|
Темп роста,
Тр, %
|
Темп прироста,
Тп, %
|
Абсолютное значение 1% прироста, А
i |
|||||
С переменной
базой
|
С постоянной
базой
|
С переменной
базой
|
С постоянной
;">базой
|
С переменной
базой
|
С постоянной
базой
|
С переменной
базой
|
С постоянной
базой
|
С переменной
базой
|
||
| дни
|
значение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 800 | |||||||||
| 2 | 790 | -10,00 | -10,00 | 0,99 | 0,99 | 98,75% | 98,75% | -1,25% | -1,25% | 8,00 |
| 3 | 804 | 14,00 | 4,00 | 1,02 | 1,01 | 101,77% | 100,50% | 1,77% | 0,50% | 7,90 |
| 4 | 808 | 4,00 | 8,00 | 1,00 | 1,01 | 100,50% | 101,00% | 0,50% | 1,00% | 8,04 |
| 5 | 805 | -3,00 | 5,00 | 1,00 | 1,01 | 99,63% | 100,63% | -0,37% | 0,63% | 8,08 |
| 6 | 810 | 5,00 | 10,00 | 1,01 | 1,01 | 100,62% | 101,25% | 0,62% | 1,25% | 8,05 |
| 7 | 800 | -10,00 | 0,00 | 0,99 | 1,00 | 98,77% | 100,00% | -1,23% | 0,00% | 8,10 |
| 8 | 817 | 17,00 | 17,00 | 1,02 | 1,02 | 102,13% | 102,13% | 2,13% | 2,13% | 8,00 |
| 9 | 820 | 3,00 | 20,00 | 1,00 | 1,03 | 100,37% | 102,50% | 0,37% | 2,50% | 8,17 |
| 10 | 832 | 12,00 | 32,00 | 1,01 | 1,04 | 101,46% | 104,00% | 1,46% | 4,00% | 8,20 |
Средние показатели динамики
| Показатель | Средний Абсолютный прирост, т. |
Средний Коэффициент рост |
Средний Темп роста, % |
Средний Темп прироста, % |
Средняя величина абсолютного значения 1% прироста |
| Метод расчета | 0 | ||||
| Значение | 3,56 | 1,004 | 100,44% | 0,44% | 8,14 |
Рассчитаем ожидаемый объем добычи угляна 11 день при условии, что среднемесячные темпы роста с 1 по 10 день сохранятся на 11 день.
;
На основании рассмотренных данных мы видим, что темп роста добычи угля за рассматриваемый период колеблется. За десять дней лет темп прироста составил 4%. Средний коэффициент роста составил около 1,004 раза, что соответствует среднему приросту в день 0,44%. Средний абсолютный прирост составил 3,56 т. в день.
ЗАДАЧА 5
По данным задачи 1 найдите уравнение корреляционной связи между факторным (х) и результативным (у) признаками. Проанализируйте параметры уравнения регрессии. Для оценки тесноты связи между признаками исчислите линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации. Изобразите корреляционную связь графически.
Решение:
Найдем уравнение линейной регрессии
Заполним вспомогательную таблицу:
Таблица
| x
|
y
|
х2
|
y
2 |
хy
|
||||
| 7,2 | 134,4 | 51,84 | 18063,36 | 967,68 | 125,46 | 8,94 | 0,067 | 79,88 |
| 7,6 | 145 | 57,76 | 21025 | 1102 | 138,02 | 6,98 | 0,048 | 48,75 |
| 8,4 | 170 | 70,56 | 28900 | 1428 | 163,13 | 6,87 | 0,040 | 47,20 |
| 9,2 | 180 | 84,64 | 32400 | 1656 | 188,24 | 8,24 | 0,046 | 67,92 |
| 10 | 216 | 100 | 46656 | 2160 | 213,35 | 2,65 | 0,012 | 7,01 |
| 11 | 240 | 121 | 57600 | 2640 | 244,74 | 4,74 | 0,020 | 22,49 |
| 11,6 | 264 | 134,56 | 69696 | 3062,4 | 263,58 | 0,42 | 0,002 | 0,18 |
| 12,4 | 277 | 153,76 | 76729 | 3434,8 | 288,69 | 11,69 | 0,042 | 136,61 |
| 13,2 | 308 | 174,24 | 94864 | 4065,6 | 313,80 | 5,80 | 0,019 | 33,64 |
| 14 | 338 | 196 | 114244 | 4732 | 338,91 | 0,91 | 0,003 | 0,83 |
| 14,8 | 362 | 219,04 | 131044 | 5357,6 | 364,02 | 2,02 | 0,006 | 4,09 |
| 15,6 | 372 | 243,36 | 138384 | 5803,2 | 389,13 | 17,13 | 0,046 | 293,59 |
| 15,6 | 375 | 243,36 | 140625 | 5850 | 389,13 | 14,13 | 0,038 | 199,79 |
| 16 | 427 | 256 | 182329 | 6832 | 401,69 | 25,31 | 0,059 | 640,57 |
| 18,8 | 464 | 353,44 | 215296 | 8723,2 | 489,58 | 25,58 | 0,055 | 654,40 |
| 19 | 480 | 361 | 230400 | 9120 | 495,86 | 15,86 | 0,033 | 251,51 |
| 19,8 | 572 | 392,04 | 327184 | 11325,6 | 520,97 | 51,03 | 0,089 | 2603,99 |
| 22 | 585 | 484 | 342225 | 12870 | 590,03 | 5,03 | 0,009 | 25,28 |
| 21 | 586 | 441 | 343396 | 12306 | 558,64 | 27,36 | 0,047 | 748,67 |
| 23 | 603 | 529 | 363609 | 13869 | 621,42 | 18,42 | 0,031 | 339,20 |
| 290,20
|
7098,40
|
4666,60
|
2974669,36
|
117305,08
|
7098,40
|
259,12
|
0,710
|
6205,59
|
Определим коэффициенты регрессии:
Уравнение имеет вид:
С увеличением среднегодовой стоимости производственных фондов на 1 млн.руб. объем продукции увеличивается на 31,39 млн.руб. в среднем.
Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
Допустимый предел значений A
– не более 8 – 10%.
В рассматриваемом случае в среднем расчетные значения отклоняются от фактических в допустимых пределах. Качество уравнения регрессии можно оценить как хорошее.
Определим коэффициент корреляции (воспользуемся вспомогательной таблицей):
Коэффициент детерминации: r2
= 0,986
Соответственно 98,6% изменения фактора y объясняется изменением фактора x.
Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:
Вычисленное t-значение сравним с табличным (критическим) значением при принятом уровне значимости а
= 0,05 и числе степеней свободы v
=
n - 2 = 20-2 = 18.
Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,101.
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и наличии линейной связи между факторами.
Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение F
факт
с табличным (критическим) значением F
табл
.
Фактическое значение F
факт
рассчитаем по формуле:
Табличное значение F
табл
по таблице значений F-критерия Фишера при а
= 0,05, n
=20,
m
=
1 (т -
число параметров при переменной х)
равно:
F
(0,05;1;18)
=
4,414
Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи r
ху
.
Рис.1
На графике корреляционного поля видно, что между показателями наблюдается хорошо выраженная прямая положительная зависимость (с увеличением стоимости основных производственных фондов увеличивается объем выпущенной продукции). Что также подтверждается теоретическими расчетами.
ЗАДАЧА 6
Численность занятых, безработных и экономически активного населения Волгоградской области характеризуется данными (тыс. человек):
| Год | численность | ||
| занятые | безработные | экономически активное | |
| 2001 | 938,0 | 159,0 | 1097,0 |
| 2002 | 1079,3 | 153,7 | 1233,0 |
Определить:
1. уровни безработицы, уровни занятости;
2. темпы роста и прироста исчисленных показателей.
Сделайте выводы.
Решение
.
Уровень безработицы – это удельный вес безработных в численности экономически активного населения
Уровень безработицы
= Численность безработных / Численность экономически активного населения *100%.
Уровень занятости
= Численность занятых / Численность экономически активного населения * 100%.
Уровень занятости характеризует степень использования трудоспособного населения в сфере общественно полезного труда.
Составим таблицу
| Уровень | Год | Темпы роста/прироста | ||
| 2001 | 2002 | Темп роста | Темп прироста | |
| занятости | 85,5% | 87,5% | 1,02 | 0,02 |
| безработицы | 14,5% | 12,5% | 0,86 | 0,14 |
Выводы
В период за 2001-2002 год в области увеличился процент занятости, то есть увеличилась степень использования трудоспособного населения с 85,5% до 87,5%. Темп прироста этого показателя составил 2%. Уровень безработицы понизился и составил 12,5% в 2002 году по сравнению с 14,5% в 2001 году. То есть темп прироста (снижения) этого показателя составил 14%.
ЗАДАЧА 7
Выполнить анализ факторов, влияющих на объем выпуска продукции хлебозавода, на основе следующих данных (среднегодовой стоимости основных фондов и фондоотдачи):
| Показатели | Базисный год | Отчетный год в сопоставимых ценах |
| Объем товарной продукции, тыс. руб., | 12455 | 13248 |
| Среднегодовая стоимость основных фондов, тыс. руб., | 6120 | 6220 |
Решение:
Определим фондоотдачу и составим таблицу:
| Показатели | Базисный год | Отчетный год в сопоставимых ценах |
| Объем товарной продукции, тыс. руб., | 12455 | 13248 |
| Среднегодовая стоимость основных фондов, тыс. руб., | 6120 | 6220 |
| Фондоотдача, |
Влияние каждого фактора на изменение объема товарной продукции найдем методом цепных подстановок.
Сущность метода цепных подстановок заключается в последовательной замене отчетной величины факториальных показателей базисной величиной этих показателей или, наоборот, в последовательной замене базисной величины факториальных показателей отчетной и определение влияния этой замены на результативный показатель.
Влияние качественного фактора определяется при фактической величине количественного фактора, влияние количественного фактора, наоборот, определяется по базисной величине качественного фактора.
Введем обозначения:
Q
0
и Q1
– результативный показатель базисного и отчетного периода;
V
0
,
f
0
– факториальные показатели базисного периода;
V
1
,
f
1
– то же, отчетного периода.
Тогда, общее изменение объема товарной продукции:
Изменение объема товарной продукции под влиянием изменения среднегодовой стоимости основных фондов:
;
Изменение объема товарной продукции под влиянием изменения показателя фондоотдачи:
;
Проверим результат расчета:
Используемая литература
1. Экономическая статистика: Учебник / Под ред. Ю.Н. Иванова – М.:ИНФРА-М, 1999. – 480 с.