Контрольная работа
по экономико-математическим методам
Задача №1
Условие задачи:
Администрация штата объявила торги на n строительных подрядов для n фирм. Ни с одной фирмой не заключается более одного контракта. По политическим соображениям чиновники администрации стремятся не заключать более N крупных контрактов с фирмами, расположенными за пределами штата. Обозначим через 1,2, …, s крупные контракты, а через 1,2,…,t - фирмы, расположенные за пределами штата. Целью является минимизация общих затрат при указанном условии. Постройте соответствующую данным условиям модель.
Решение:
Пусть х - затраты на строительство, тогда цель задачи "минимизация общих затрат" будет выражена через функцию
F = x → min
Пусть х1
- затраты на строительство при подряде местных строительных фирм, х2
-затраты на строительство при подряде строительных фирм, расположенных за пределами штата.
F = n*х1
+n*х2
→ min
S*t ≤N
nn
≤1
х1
, х2
≥ 0
Задачу минимизации общих затрат на строительство можно записать как задачу математического программирования
nnts
F =∑∑ Cij *Хij+∑∑ Cij*Yij → min
i=1 j=1 i=1 j=1
При ограничениях
Хij ≤ 1; I, j= 1, n
Yij ≤ 1; I, j= 1, n
∑ij≤ N; i=1, t; j=1s
Хij, Yij ≥0
Через Хijобозначен факт заключения администрацией штата с i - той фирмой, расположенной на территории штата, j - того контракта (подряда)
1, i - ая фирма заключила - контракт
Хij= 0, i - ая фирма не заключила - котракт
Через Yijобозначен факт заключения администрацией штата i - oй фирмой, расположенной за пределами штата, j - того контракта.
Через Cijобозначены затраты на строительство по j - тому контракту с i - ой фирмы.
Целевая функция представляет собой суммарные затраты. Первые два условия ограничивают количество заключаемых с одной строительной фирмой контрактов в количестве ≤ 1, третье условие ограничивает количество заключаемых контрактов с фирмами расположенными за пределами штата, в количестве не более N, четвертое условие очевидно исходя из условия данной задачи.
Задача № 2
Условие задачи:
На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов.
Количество корма каждого вида, которые должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице.
В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
| Вид корма | Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать лисицы | Кол-во единиц корма, которые ежедневно должны получать песцы | Общее кол-во корма |
| 1 | 2 | 3 | 180 |
| 2 | 4 | 1 | 240 |
| 3 | 6 | 7 | 426 |
| Прибыль от реализации 1 шкурки | 16 | 12 |
Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации была максимальной.
Решение:
Введем переменные.
Пусть х - это количество лисиц и песцов, которое следует выращивать на ферме.
Х1 -
это количество лисиц, которое следует выращивать на ферме.
Х2
- это количество песцов, которое следует выращивать на ферме.
Цель задачи: максимизация прибыли от реализации шкурок песцов и лисиц. Целевая функция:
F =16х1
+ 12х2
→ max
Посмотрим как будут выгляд
2х1
+3х2≤180 - ограничения корма 1
4х1
+х2
≤ 240 - ограничения корма 2
6х1
+7х2
≤ 426 - ограничения корма 3
х1
, х2
≥ 0, € Z
После решения задачи в программе XL получены результаты:
57 лисиц и 12 песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль была максимальной.
Задача № 3
Условие задачи:
Найти оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур: озимой ржи, пшеницы, картофеля под посевы отведено 1000га пашни, которая должна использоваться полностью. При этом общие ресурсы труда составляют 30000 человек. Производство культур характеризуется показателями таблицы:
| показатели | Озимая рожь | Озимая пшеница | картофель |
| Урожайность с 1га, ц | 32 | 40 | 250 |
| Затраты труда на 1га, человек | 16 | 20 | 80 |
| Материально-денежные затраты на 1га, руб | 214 | 226 | 782 |
По плану требуется произвести 32000ц зерна, 40000ц картофеля. Критерий оптимизации - минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции. Решить прямую и двойственную задачи. Провести послеоптимизационный анализ.
Прямая задача:
Пусть х - это количество га занятых под продовольственные культуры, тогда Х1
- кол-во га, занятых под озимой рожью, Х2
- кол-во га, занятых под озимой пшеницей, Х3
- кол-во га, занятых под картофелем.
Целью задачи является - минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции, т.е.
F = 214x1
+226x2
+782x3
→ min
Выделим ограничения, определенные условиями задачи:
x1
+x2
+x3
=1000,16x1
+20x2
+80x3
≤ 30000,32x1
+40x2
≥ 32000,250x3
≥ 40000,x1
, x2
, x3
≥ 0.
Решаем задачу в программе XL и получаем результат:
Х1
, т. е количество га, занятых под озимой рожью=125га.
Х2
, т. е количество занятых га под озимую пшеницу =700га.
Х3
, т. е количество занятых га под картофель=175га.
Это будет оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур. Затраты на производство продукции составили 825руб.
Двойственная задача:
На первом этапе приведем прямую задачу к двойственной задачи.
х1
+x2
+x3
≥1000
х1
+x2
+x3
≤ 1000
16x1
+20x2
+80x3
≤ 30000
32x1
+40x2
≥ 32000
250x3
≥ 40000
x1
x2
x3
≥ 0
матрица ограничений. Умножаем на - 1.
x1
-x2
-x3
≤-1000
x1
+x2
+x3
≤ 1000
16x1
+20x2
+80x3
≤ 30000
32x1
-40x2
≤ - 32000
250x3
≤ - 40000
x1
, x2
,x3
≥ 0
транспонированная матрица коэффициентов ограничения
х1
х2
х3
у1 -
1 - 1 - 1 - 1000
у2
1 1 1 1000
у3
16 20 80 30000
у4 -
32 - 40 0 - 32000
у5
0 0 - 250 – 40000
Целевая функция двойственной задачи будет выглядеть следующим образом:
Z = - 1000y1
+1000y2
+ 30000y3
- 32000y4 -
40000y5
→ max
y1
+y2
+16y3
-32y4
≤ 214
y1
+y2
+20y3
-40y4
≤ 226
y1
+y2
+80y3
-250y5
≤ 782
решаем ограничения в программе XL