Пошукова робота
на тему:
Вектори, лінійні операції над ними.
План
Вектори і скаляри.
Множення вектора на число.
Додавання та віднімання векторів.
Проекція вектора на вісь.
1. Вектори і скаляри
У природі існують величини двох видів: такі, що характеризуються лише своїм числовим значенням, і такі, для характеристики яких крім числового значення ще потрібно знати їх напрямок у просторі. Перші з них називаються скалярними, а другі –векторними.
Так, маса, температура, час, густина, площа, об’єм, довжина відрізка, електричний заряд, опір провідника - скаляри, а сила, момент сили, швидкість, прискорення, напруженість силового поля - векторні величини.
Слід мати на увазі, що одна і та сама величина може розглядатись і як скаляр, і як вектор. Наприклад: сила струму - величина скалярна, бо вона визначається лише величиною заряду незалежно від того, в якому напрямку і під яким кутом до площадки рухаються частинки, що несуть заряд.
Але така характеристика електричного струму неповна. У багатьох випадках потрібно розглядати напрямок, в якому рухаються заряджені частинки. Для врахування напрямку переносу зарядів вводиться вектор густини струму.
Векторна величина геометрично зображається з допомогою направленого відрізка певної довжини і певному масштабі після вибору одиниці масштабу.
Вектор позначається на письмі двома буквами, причому перша-початок вектора, друга - його кінець з вказанням стрілкою напрямку. Наприклад,
- вектор, початок якого збігається з точкою
, а кінець - з точкою
, напрямок – від
до
. Довжина вектора
(інакше - модуль вектора) записується так:
.
Часто вектор позначають однією буквою, наприклад
. Якщо вектор позначений однією буквою, то часто в книгах її виділяють жирним шрифтом, але без риски. Вектор можна позначати і так:
,
.
Два вектори називаються колінеарними,
якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих.
Вектори називаються компланарними,
якщо вони паралельні деякій площині (або лежать в одній площині).
Два вектори називаються рівними тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову довжину і однаковий напрямок, тобто вони розміщені на паралельних прямих.
Звідси випливає, що при паралельному перенесенні вектора одержуємо вектор, рівний даному. Тому початок вектора можна розміщувати у будь-якій точці простору.
Якщо ряд векторів розміщені на різних прямих у просторі (паралельних або непаралельних), то, виходячи з попередніх міркувань, можна вибрати довільну точку в просторі, наприклад
, і всі дані вектори перенести паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися з точкою
(рис.2.1).
Рис.2.1
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним
.
Очевидно, що коли дано довільний вектор
, то поділивши його на його довжину
, одержимо одиничний вектор, наприклад
, напрямок якого збігається з напрямком вектора
, тобто
Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим
. Він не має конкретного напрямку.
2. Лінійні операції над векторами
Сумою
двох векторів
і
називається вектор, що є діагоналлю паралелограма, побудованого на даних векторах як на сторонах паралелограма (рис.2.2).
Оскільки вектор можна переносити паралельно самому собі, то з рис.2.2 зрозуміло, що вектор
можна сумістити з відрізком
,
Рис.2.2
тоді
, а сума
Звідси випливає, що суму двох векторів можна побудувати за правилом трикутника.
У кінці вектора
будуємо вектор
і початок вектора
з’єднуємо з кінцем вектора
. В результаті одержимо вектор
, що дорівнює сумі векторів
і
. Це правило можна узагальнити на суму довільної кількості векторів
.
Для знаходження суми заданих
- векторів будуємо вектор
, в його кінці вектор
і т.д., в кінці вектора
будуємо вектор
. Якщо тепер з’єднати початок вектора
з кінцем вектора
, одержимо вектор
, що дорівнюватиме сумі двох векторів. Це правило додавання векторів називається правилом многокутника.
Якщо задано вектор
, то вектор
матиме ту саму довжину, що і
, але оскільки напрямки цих двох векторів протилежні, то
. Тому
, тобто різницю векторів завжди можна замінити сумою. Звідси випливає правило віднімання векторів.
Щоб від вектора
відняти вектор
, треба до вектора
додати вектор
, або, що те саме, до вектора
додати вектор
з протилежним знаком.
В результаті множення вектора
на скаляр
одержується вектор
, напрямок якого збігається з напрямком
, якщо
, і протилежний напрямку
, якщо
. Довжина одержаного вектора дорівнює
. Очевидно, що
.
Ділення вектора на скаляр зводиться легко до множення вектора на скаляр:
Поняття “більше”, “менше” для векторів незастосовні. Для лінійних операцій над векторами векторів вірні такі властивості:
10
.
- комутативний (переставний) закон додавання;
20
.
- асоціативний (сполучний)закон додавання;
30
.
- дистрибутивний (розподільчий) закон множення;
40
.
і
- скаляри (числа).
Вираз
називається лінійною комбінацією
векторів. Числа
називаються її коефіцієнтами.
Лінійні комбінації векторів мають такі властивості: якщо вектори
колінеарні, то довільна їх лінійна комбінація їм колінеарна; якщо вектори
компланарні, то довільна їх лінійна комбінація з ними компланарна. Це випливає із того, що вектор
колінеарний
а сума векторів лежить в тій же площині, що й доданки, і навіть на тій же прямій, якщо вони колінеарні.
Приклад.
Знайти вектор, що ділить кут між векторами
і
пополам.
Р о з в ’ я з о к. Відомо, що діагональ ромба ділить кути ромба пополам. Переносячи один з векторів паралельно самому собі так, щоб його початок збігався з початком другого вектора, одержимо кут
. Щоб побудувати тепер ромб, поділимо кожний з векторів на свою довжину. В результаті матимемо одиничні вектори
і
. Вектор, що збігається з діагоналлю ромба, в даному випадку і буде сумою цих векторів, тобто шуканий вектор матиме вигляд
.
3. Проекція вектора на вісь
Проекцією вектора
на вісь
називається довжина відрізка
осі
, що міститься між проекціями початкової точки
і кінцевої точки
, взята із знаком “+”, якщо напрямок
збігається з напрямком осі проекції, та із знаком “-”, якщо ці напрямки протилежні.
Легко довести основні положення теорії проекцій:
10
.
(читається: проекція
на вісь
дорівнює …) (рис.2.3).
20
.
(рис.2.4).
Рис. 2.3
.
Рис.2.4