Розв'язування задач сфероїдної геодезії

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ВОДНОГО ГОСПОДАРСТВА ТА

ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ

СЛОВ’ЯНСЬКИЙ НКЦ

Курсова робота

З дисципліни: ВИЩА ГЕОДЕЗІЯ

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ СФЕРОЇДНОЇ ГЕОДЕЗІЇ

Виконав: студент

групи ЗВК – 42

Нікітін О.О.

Слов’янськ 2010 р.

ЗМІСТ

трикутник лежандр аддитамент геодезичний

Вступ

Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану

Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі

Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції

Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра

Завдання 5. Наближене розв’язування трикутників способом аддитаментів

Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)

Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину)

Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами

Вступ

Визначення параметрів земного еліпсоїда і форми земної поверхні становить велику наукову зацікавленість та має важливе значення для практичної і інженерної геодезії, для топографії і картографії, а також для багатьох суміжних наук: астрономії, геофізики, геодинаміки тощо.

Вивчення геометрії земного еліпсоїда та методів розв’язування задач на його поверхні складає вагому частину змісту курсів "Основи вищої геодезії" та "Вища геодезія". Ці питання, а також питання зображення поверхні еліпсоїда на площині відносяться до частини вищої геодезії, яка історично отримала назву "сфероїдна геодезія".

Вища геодезія вивчає фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, методи створення систем геодезичних координат на всю поверхню Землі або на окремі її ділянки, а також способи визначення положення точок земної поверхні в тій чи іншій системі координат.

Завдання вивчення фігури та гравітаційного поля Землі, як основної задачі вищої геодезії, розв’язується за результатами вимірів на земній поверхні. Це геодезичні виміри в мережах тріангуляції, трилатерації, полігонометрії та нівелювання 1 класу, а також супутниково-навігаційні спостереження з метою визначення координат точок земної поверхні. Методи постановки та виконання вказаних вимірів складають предмет першої частини вищої геодезії.

Друга частина вищої геодезії – теоретична основа розв’язування основної задачі. В ній розглядаються і встановлюються аналітичні залежності між результатами вимірів і фігурою Землі та її гравітаційним полем.

Вища геодезія, в тому числі її частини - сфероїдна геодезія та теоретична геодезія, є однією із основних дисциплін, що забезпечує необхідну теоретичну і практичну спеціальну підготовку фахівців геодезичного профілю.

Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану

А1
– точка на меридіанному еліпсі з широтою В1
. А2
– точка на меридіанному еліпсі з широтою В2
.

Загальна формула для дуги меридіану довільної довжини:

(4)

A,B,C,D – сталі коефіцієнти прийнятого референт-еліпсоїду; ρ – число кутових одиниць в одному радіані; - середня широта дуги А1
А2
.

Формула для довжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі порядку сотень кілометрів:

(6)

Радіус кривизни меридіану перерізу Mm
обчислюється за середньою широтою Bm
.

За умови точності широти точки mB
= ±0.0001" всі зазначені формули забеспечують середню квадратичну помилку довжини дуги меридіану

mS
= ±0.001 м.

Вихідні дані

Номер варіанту №8

В1	48º30′48.1111" - 8′	48º22′48.1111"	48,38003086
В2	49º30′49.1111" + 8′	49º38′49.1111"	49,64700617

Сталі величини

a	6378245 м	e2	0,00669342			ρº	57,29577951
A	1,00506238	B	0,00506238	C	0,00001062	D	0,00000002

Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (4):

Позначення дій	Результати
	49,01351852
	6335552,727
	0,02222460
	- 0,00001563
	- 0,00000022
	0,00000000
s (м)	140902,722

Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (6):

Позначення дій	Результати
	0,99809115
	6371972,436
	140902,730
	- 0,00000005
s (м)	140902,723

Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі

А1
та А2
– точка на паралелі з широтою В. L1
та L2
довготи точок А1
та А2
.

Паралель на земному еліпсоїді утворює коло. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою:

N – радіус кривизни перерізу першого вертикалу. Переріз першого вертикалу – це крива на поверхні еліпсоїду, утворена перетином поверхні еліпсоїду нормальною площиною, яка перпендикулярна до площини меридіанного перерізу у даній точці.

- перша функція геодезичної широти;

a – велика піввісь та e – перший ексцентриситет референт-еліпсоїду.

Дуга паралелі між точками А1
та А2
є дугою кола з центральним кутом, який дорівнює різниці довгот кінцевих точок дуги λ = L2
– L1
. Довжина s дуги паралелі з широтою В, яка відповідає різниці довгот λ = L2
– L1
, виражається формулою . Остаточно:

(10)

За умови точності широти і довгот точок mB
= mL
±0.0001" формула (5) забеспечує середню квадратичну помилку довжини дуги паралелі

mS
= ±0.001 м.

Вихідні дані

Номер варіанту №8

B	48º30′48.1111" - 8′	48º22′48.1111"	48,38003086
L1	25º30′25.1111" - 8′	25º22′25.1111"	25,37364197
L2	27º30′27.2222" + 8′	27º38′27.2222"	27,64089506

Сталі величини

a

6378245

e2

0,00669342

ρº

57,29577951

Обчислення довжини дуги паралелі за формулою (10):

Позначення дій	Результати
	2,26725309
	0,99812791
	6390208,045
s (м)	167951,005

Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції

Сторони знімальної трапеції чи листа карти заданого масштабу є лініями меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Тому обчислення натуральних розмірів та площі знімальної трапеції – це визначення частини поверхні еліпсоїду в межах ліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу.

Розміри знімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами:

- південна a1
та північна a2
сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей з широтами B1
і B2
, та окреслюються меридіанами з довготами L1
і L2
;

- західна та східна сторони с , які на поверхні еліпсоїду є дугами меридіанів, окреслених паралелями з широтами B1
і B2
, тому завжди рівні між собою;

- діагональ d трапеції:

(11)

Формули розрахунку довжин дуг a1
та a2
на широтах відповідно B1
і B2
:

(12)

(13)

Для вираження площі трапеції P маємо робочу формулу вигляду:

, (15)

де b – мала піввісь і A’,B’,C’ – сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду. Формула забезпечує розрахунок площі трапеції із середньою квадратичною помилкою не більше mp
= ±0,0005 км2
.

Задано геодезичні координати точки А(BA
, LA
) на поверхні земного еліпсоїду. Визначити приналежність точки А знімальній трапеції масштабу 1:50000, номенклатуру та геодезичні координати рамки відповідного листа карти і розрахувати довжини сторін та площу цієї трапеції.

Вихідні дані

Номер варіанту №8

BA	48º01′01.1111" + 7′*8	48,95030864
LA	22º11′11.1111" + 30′*8	26,18641975

Сталі величини

Геодезичні координати сторін трапеції

B1	48º50′	48,83333333
B2	49º00′	49,0
L1	26º00′	26,0
L2	26º15′	26,25

Обчислення довжини сторін трапеції за формулами (11),(12),(13),(14).

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	0,99810160		0,99809194
	6390376,482		6390438,348
	18354,212		18293,253
(см карти)	36,71	(см карти)	36,59
	48,91666667
	0,998096769
	6371864,921
с (м)	18535,004	d (м)	26063,473
с (см карти)	37,07	d (см карти)	52,13

Обчислення площі трапеції за формулою (15).

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	352641,2223		0,00095901
	-0,00000410		-0,00000001
Р (км2 )	339,630	Р (га)	33963,07

Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра

Після визначення кінцевих значень виміряних кутів або напрямів у тріангуляції на поверхні еліпсоїду розпочинають розв’язування трикутників, яке зводиться до послідовного обчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників. При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сферою можна нехтувати, а трикутники вважати сферичними.

Теорема Лежандра: Малий сферичний трикутник АВС можна розв’язувати як плоский, якщо кожний з його кутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку.

Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо:

- довжина вихідної сторони с1
= (60000 – 500*8) метрів;

- середня широта Bm
= 48º01′01.1111" + 7′*8.

Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.

Вихідні дані

Номер варіанту №8

Довжина вихідної сторони	с1 = (60000 – 500*8)	56000
Середня широта	48º57′01.1111"	48,95030864

Сталі величини

b

6356863,019

e2

0,00669342

ρº

57,29577951

Результати вимірів кутів

№ трикутника	Позначення кутів	Виміряні сферичні кути
1	A1	78º27′09.18"
	B1	51º33′02.51"
	C1	49º59′51.20"
2	A2	59º25′19.10"
	B2	51º46′48.52"
	C2	68º47′54.33"

Робочі формули:

Радіус сфери

6381154,368 м.

Трикутник №1:

; ;

; .

Трикутник №2:

; ;

; .

Відомість наближеного розв’язування трикутників

Верш.	Виміряні сферичні кути		Виправлені сферичні кути		Виправлені плоскі кути	Синуси кутів	Довжини сторін
C	49º59′51.20"	1,689	49º59′52.888"	-2,652	49º59′50.237"	0,76601402	56000,000
B	51º33′02.51"	1,689	51º33′04.198"	-2,652	51º33′01.547"	0,78315577	57253,160
A	78º27′09.18"	1,689	78º27′10.868"	-2,652	78º27′08.217"	0,97975833	71625,930
Σ1	180º00′02.89"	5,066	180º00′07.956"	-7,956	180º00′00"
ε1	7,956
w1	-5,066
D	59º25′19.10"	3,035	59º25′22.134"	-3,685	59º25′18.450"	0,86093557	71625,930
B	51º46′48.52"	3,035	51º46′51.554"	-3,685	51º46′48.870"	0,78564059	65361,729
C	68º47′54.33"	3,035	68º47′57.364"	-3,685	68º47′53.680"	0,93231272	77564,185
Σ2	180º00′01.95"	9,105	180º00′11.052"	-11,055	180º00′00"
ε2	11,055
w2	-9,105

Завдання 5. Наближене розв’язування трикутників способом аддитаментів

Аддитаменти – це поправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можна розв’язати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскої тригонометрії. Отже,

для сторони b ,

для сторони с .

Числові значення аддитаментів невідомих сторін можна розрахувати за приблизними значеннями їх довжин та .

Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо:

- довжина вихідної сторони с1
= (60000 – 500*8) метрів;

- середня широта Bm
= 48º01′01.1111" + 7′*8.

Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.

Вихідні дані

Номер варіанту №8

Довжина вихідної сторони	с1 = (60000 – 500*8)	56000
Середня широта	48º57′01.1111"	48,95030864

Сталі величини

b

6356863,019

e2

0,00669342

ρº

57,29577951

Результати вимірів кутів

№ трикутника	Позначення кутів	Виміряні сферичні кути
1	A1	78º27′09.18"
	B1	51º33′02.51"
	C1	49º59′51.20"
2	A2	59º25′19.10"
	B2	51º46′48.52"
	C2	68º47′54.33"

Робочі формули:

Трикутник №1:

; ;

; .

Трикутник №2:

; ;

; .

Відомість наближеного розв’язування трикутників

Верш.	Виміряні сферичні кути		Виправлені сферичні кути	Синуси кутів	Приблизні довжини	Аддита- менти	Довжини сторін
C	49º59′51.20"	1,689	49º59′52.888"	0,76601402	-	0,00001284	56000,000
B	51º33′02.51"	1,689	51º33′04.198"	0,78315577	57253,127	0,00001342	57253,160
A	78º27′09.18"	1,689	78º27′10.868"	0,97975833	71625,345	0,00002100	71625,930
Σ1	180º00′02.89"	5,066	180º00′07.956"
ε1	7,956
w1	-5,066
D	59º25′19.10"	3,035	59º25′22.134"	0,86093557	-	0,00002100	71625,930
B	51º46′48.52"	3,035	51º46′51.554"	0,78564059	65361,959	0,00001749	65361,729
C	68º47′54.33"	3,035	68º47′57.364"	0,93231272	77563,903	0,00002462	77564,185
Σ2	180º00′01.95"	9,105	180º00′11.052"
ε2	11,055
w2	-9,105

Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)

Розв’язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки виконується посереднім шляхом – обраховують насамперед різниці координат пунктів, а за ними – абсолютні значення координат. За умови використання робочих формул приведеного нижче вигляду, спосіб забезпечує розрахунок геодезичних координат пунктів у тріангуляції 1 класу з точністю десятитисячних часток секунди, азимутів – з точністю тисячних часток секунди.

A і В – пункти на поверхні еліпсоїду з геодезичними координатами B1
,L1
і B2
,L2
. АР – меридіан т.А; ВР – меридіан т.В. А12
і А21
– прямий і зворотній азимут напряму АВ. s – довжина геодезичної лінії АВ. С – допоміжна точка поверхні еліпсоїду, розташована на меридіані т.A так, що геодезична лінія СВ має азимут АСВ
= 90º. Точка С має геодезичні координати B0
, L1
.

Черговість дій при розв’язуванні прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки:

1. Обчислення широти точки С

- перша функція геодезичної широти пункту А;

- радіус кривизни меридіанного перерізу в п. А;

; - проміжні умовні позначення; b – різниця широт п.А і т.С.

2. Обчислення широти пункту В

,

d – різниця широт п.В і т.С,

,

с – різниця довгот пункту В і точки С,

, - проміжні величини.

3. Обчислення довготи пункту В

λ = ,

λ - різниця довгот пунктів А і В,

4. Обчислення зворотного азимуту А21

А21
= , t – кут, утворений на поверхні еліпсоїду кривою ВР меридіанного перерізу в пункті В та кривою ВТ, яка паралельна меридіанному перерізові у пункті А, ε - сферичний надлишок трикутника АВС.

Вихідні дані

Номер варіанту №8

B1 = 48º01′01.1111"+7′*8	48º57′01.1111"	48,95030864
L1 = 22º11′11.1111"+30′*8	26º11′11.1111"	26,18641975
A12 = 1º01′01.111"+3º*8	25º01′01.111"	25,01697528
s = (60000 – 500*8)	56000 м

Сталі величини

a

6378245 м

e2

0,00669342

e’2

0,00673853

ρº

57,29577951

Обчислення широти точки С

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	0,998094819		0,456307116
	6371902,273		0,00003975
	50746,22203		0,00000459
	23681,65851		-0,00000003
b	0,456291085	B0	49,40659972
	0º27′22.65"		49º24′23.76"

Обчислення широти пункту В

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	0,99806840		0,00046040
	0,21232144		0,00000312
	0,00001054		0,00000270
с	0,21231920		0,00000004
	0,32630018	d	0,00046039
	0,24777482	B2	49,40613933
			49º24′22.1"

Обчислення довготи пункту В

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	0,00000623	λ	0,32629814
	0,00000000	L2	26,51271789
			26º30′45.78"

Обчислення зворотного азимуту

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	0,00084549	t	0,247772701
	0,00000541	A21	205,26390249
	0,00000003		205º15′50"

Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Вихідні дані та сталі величини наведено у завданні №6.

Наближення (1)
Позначення дій	Результати	Позначення дій		Результати
	6399698,916			1,001452017
	0,456307116			0,243826934
	0,32331773
	49,1784622			25,13888874
Позначення дій	Результати в наближеннях
	(2)	(3)	(4)	(5)
	1,00143875	1,00143875	1,001438754	1,001438754
	0,000002654	0,000002702	0,000002703	0,000002703
	0,000000760	0,000000774	0,000000774	0,000000774
	0,00000264	0,00000264	0,00000264	0,00000264
	0,45583487	0,45582911	0,45582908	0,45582908
	0,32628147	0,32629866	0,32629871	0,32629871
	0,24691330	0,24692543	0,24692546	0,24692546
b	0,455836428	0,45583069	0,45583067	0,45583067
λ	0,326280859	0,32629805	0,32629811	0,32629811
t	0,24691507	0,24692721	0,24692724	0,24692724
	49,17822685	49,17822398	49,17822397	49,17822397
	25,14043282	25,14043888	25,14043890	25,14043890

Кінцеві результати

Позначення дій	Результати
	49,40613931	49º24′22.1"
	26,51271786	26º30′45.78"
	205,26390252	205º15′50"

Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Для розв’язування оберненої геодезичної задачі, в якій за значенням геодезичних координат B1
, L1
та B2
, L2
пунктів А та В розраховують значення азимутів А12
, А21
та довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимально використовувати обернений алгоритм розв’язування за формулами Гауса із середніми аргументами.

У порівнянні з іншими способами розв’язування оберненої геодезичної задачі спосіб Гауса із середніми аргументами виділяється простотою робочих формул, тому розглядається як найбільш оптимальний.

Черговість дій при розв’язуванні оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами:

1. Обчислення різниць координат , та середньої широти .

2. Обчислення середнього азимуту Аm

,

за знаками P та Q визначають четверть, в якій розташований напрям Аm
.

3. Обчислення довжини геодезичної лінії

або .

4. Обчислення зближення меридіанів t

.

5. Обчислення азимутів

та .

Наведені формули за точністю результатів розрахунків дійсні для віддалей такого ж порядку, що й у прямій геодезичній задачі.

Вихідні дані

Номер варіанту №8

B1 = 48º01′01.1111"+7′*8	48º57′01.1111"	48,95030864
L1 = 22º11′11.1111"+30′*8	26º11′11.1111"	26,18641975
B2	49º24′22.1"	49,40613931
L2	26º30′45.78"	26,51271786

Геодезичні координати пункту В вибрано із завдання №7.

Сталі величини

a

6378245 м

e’2

0,00673853

ρº

57,29577951

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
1. Обчислення різниць координат і середньої широти
	0,45583067		49,17822397
	0,32629811
2. Обчислення сумм поправочних коефіцієнтів
	0,00000270	Δb	1,00000348
	0,00000264
	0,00000077	Δλ	0,99999814
3. Обчислення середнього азимуту Аm
	6399698,916		23790,954
	1,001438768		25,14043968
	50695,072		25º8′25.58"
4. Обчислення довжини геодезичної лінії s
	55999,998 м		55999,998 м
5. Обчислення зближення меридіанів t
	0,24692546		1,00000720
			0,24692724
6. Обчислення азимутів
	25,01697606		205,26390330
	25º1′1.11"		205º15′50"

Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину)

Прямою задачею Гауса – Крюгера називають розв’язування завдання переходу з поверхні еліпсоїду на площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихідними даними є геодезичні координати B, L початкового пункту А, довжина геодезичної лінії s та азимуту ААВ
вихідної сторони АВ мережі геодезичних пунктів.

Хід дій при розв’язуванні прямої задачі Гауса – Крюгера:

1. Розрахунок номера зони n, довготи її осьового меридіану L0
та геодезичних координат ВА
, λ початкового пункту А, віднесених до зони його розташування.

2. Розрахунок прямокутних координат х,у початкового пункту А за його геодезичними координатами в зоні ВА
, λ:

,

де - радіус кривизни перерізу першого вертикалу;

- друга функція геодезичної широти точки А;

- радіус кривизни меридіанного перерізу при широті В = 90º;

X - довжина дуги осьового меридіану від екватора до паралелі з широтою ВА
.

3. Розрахунок зближення меридіанів γ на площині у пункті А за геодезичними координатами ВА
, λ:

.

4. Розрахунок масштабу зображення m в пункті А на площині за геодезичними координатами ВА
, λ:

5. Розрахунок наближених довжин сторін геодезичної мережі на площині за виміряними сферичними кутами і довжиною геодезичної лінії s вихідної сторони мережі.

Наближені значення довжин на площині обчислюються з розв'язування трикутників за теоремою Лежандра чи способом аддитаментів (див. результати розрахунків завдань № 4,5).

6. Розрахунок наближених значень х',у' плоских прямокутних координат пунктів за координатами хА
,уА
початкового пункту А, наближеним значенням α'АВ
дирекційного кута вихідної сторони АВ, виправленими кутами та наближеними довжинами сторін трикутників на площині.

7. Редукція довжини геодезичної лінії s вихідної сторони АВ з еліпсоїду на площину.

S = s .

8. Редукція напрямів з еліпсоїду на площину.

Для редукції напряму з еліпсоїду на площину поправку δ завжди віднімають від виміряного напряму. Наприклад, остаточне значення дирекційного кута α'АВ
вихідної сторони АВ на площині

.

За поправками δ і виміряними сферичними кутами можна розрахувати виміряні кути у вершинах трикутників, редуковані на площину.

9. Зрівноважування мережі і розрахунок остаточних значень х, у плоских прямокутних координат пунктів за координатами хА
,уА
початкового пункту, дирекційиим кутом α'АВ
та довжиною S вихідної сторони і зрівноваженими кутами та довжинами сторін трикутників на площині.

Розв'язати пряму задачу проекції Гауса - Крюгера для мережі двох трикутників, зображених на схемі, геодезичні координати початкового пункту ВА
, LA
, азимут вихідної сторони ААВ
, довжина геодезичної лінії вихідної сторони АВ, надані у вихідних даних.

Вихідні дані

№ трикутника	Позначення кутів	Виміряні сферичні кути
1	A1	78º27′09.18"
	B1	51º33′02.51"
	C1	49º59′51.20"
2	A2	59º25′19.10"
	B2	51º46′48.52"
	C2	68º47′54.33"

Номер варіанту №8

B1 = 48º01′01.1111"+7′*8	48º57′01.1111"	48,95030864
L1 = 22º11′11.1111"+30′*8	26º11′11.1111"	26,18641975
AАВ = 1º01′01.111"+3º*8	25º01′01.111"	25,01697528
s = (60000 – 500*8)	56000 м

Сталі величини

a	6378245 м	b	6356863,019	e2	0.00669342	e’2	0,00673853
A	1,00505177	B	0,00506238	C	0,00001062	D	0,00000002
ρº	57,29577951	ρ"	206264,8062

1. Обчислення номера зони, довгот осевого меридіану та початкового пункту А в зоні.

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	4		5º11′11.11"
	21		5,186419747

2. Обчислення прямокутних координат початкового пункту, масштабу зображень та зближення меридіанів за геодезичними координатами пункту в зоні і наближеного дирекційного кута вихідної сторони на площині:

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	6335552,727		379883,3465
	0,85866001		12966,34118
	0,00250716		0,00353380
	-0,00000072		3,91128820
	0		0,00460723
X	5424196,908	m	1,00177203
	6399698,916	xA	5437177,406
	1,00145202	yA	4879812,687
	6390419,919	γ	3,91593568
	1,31872019		3º54′57.37"
	0,00290614		21,10103960
	0,00000845		21º06′3.74"

3. Обчислення наближених довжин сторін трикутників на площині (результати в завданнях 4, 5).

4. Відомість обчислення наближених прямокутних координат вершин трикутників.

Вершини	Виправлені кути	Наближені дирекційні кути	Наближені довжини сторін	Наближені прямокутні координати вершин
B	201º06′3.74"
A		78º27′08.217"	5437177,406	4879812,687
	99º33′11.96"				57253,160
C		118º47′43.917"	5427675,361	4936271,835
	38º20′55.88"				65361,729
D		59º25′18.450"	5478935,142	4976825,387
	277º46′14.3"				77564,185
B		103º19′49.417"	5489422,438	4899973,456
	201º06′3.74"				56000,000
A		5437177,406	4879812,687

5. Редукція довжини вихідної сторони з еліпсоїду на площину.

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	6381154,376		389893,0714		0,0000000
	20160,769		0,001866648		0,0000000
Довжина вихідної сторони на площині S (м)					56104,620

6. Редукція напрямів з еліпсоїду на площину.

Відомість обчислення поправок до напрямів за кривизну зображення геодезичних ліній на площині.

Напрями Дії	1: А 2: В	1: А 2: С	1: С 2: В	1: С 2: D	1: B 2: D
	6381154,376	6381154,376	6381154,376	6381154,376	6381154,376
	5437177,406	5437177,406	5427675,361	5427675,361	5489422,438
	5489422,438	5427675,361	5489422,438	5478935,142	5478935,142
	379812,687	379812,687	436271,835	436271,835	399973,456
	399973,456	436271,835	399973,456	476825,387	476825,387
	389893,071	408042,261	418122,646	456548,611	438399,422
	386532,943	398632,403	424172,376	449789,686	425590,766
	393253,200	417452,119	412072,916	463307,537	451208,077
	0,00013232	-0,00002407	0,00015639	0,00012983	-0,00002656
	0,064	-0,013	0,094	0,101	-0,018
	0,008	0,025	-0,017	0,022	0,039
	51,092"	-9,555"	66,226"	58,317"	-11,247"
	-51,981"	10,008"	-64,334"	-60,072"	11,927"

Дирекційний кут вихідної сторони на площині 21º5′13.2"

7. Відомість обчислення поправок до виміряних сферичних кутів за кривизну зображення геодезичних ліній їх сторін на площині.

№ тр	Вершини	Поправки до напрямів сторін у вершинах кутів		Поправки до виміряних сферичних кутів	№ тр	Вершини	Поправки до напрямів сторін у вершинах кутів		Поправки до виміряних сферичних кутів
1	A	-9,555"	51,092"	-60,647"	2	C	58,317"	66,226"	-7,909"
	B	-51,981"	-64,334"	12,353"		D	11,927"	-60,072"	72,000"
	C	66,226"	10,008"	56,218"		B	-64,334"	-11,247"	-53,087"
	Контроль: 7,956"			7,924"		Контроль: 11,055"			11,003"

8. Відомість зрівноважування трикутників та обчислення довжин сторін на площині.

№ тр.	Верш.	Виміряні сферичні кути	- δ	Виміряні плоскі кути	- w/3	Зрівноважені плоскі кути	Синуси кутів	Довжини сторін
1	C	49º59′51.20"	-56,218	49º58′54.98"	1,678	49º58′56.66"	0,76584702	56104,621
	B	51º33′02.51"	-12,353	51º32′50.16"	1,678	51º32′51.83"	0,78312649	57370,485
	A	78º27′09.18"	60,647	78º28′09.83"	1,678	78º28′11.51"	0,97981970	71779,887
	Σ1	180º00′02.89"	-7,924	179º59′54.9"	5,034	180º00′00"
	ε1	7,956"
	w1	-5,034"
2	D	59º25′19.10"	-72,000	59º24′7.1"	3,018	59º24′10.12"	0,86076700	71779,887
	B	51º46′48.52"	53,087	51º47′41.61"	3,018	51º47′44.63"	0,78581079	65529,244
	C	68º47′54.33"	7,909	68º48′2.24"	3,018	68º48′5.26"	0,93233302	77747,822
	Σ2	180º00′01.95"	-11,003	179º59′50.9"	9,053	180º00′00"
	ε2	11,055"
	w2	-9,053"

9. Відомість обчислення остаточних прямокутних координат вершин трикутників.

Вершини	Зрівноважені плоскі кути	Дирекційні кути сторін	Довжини сторін	Прямокутні координати вершин
				xi	yi
B	201º05′12.65"
A		78º28′11.51"	5437177,406	4879812,687
	99º33′24.16"				57370,485
C		118º47′1.92"	5427652,544	4936386,970
	38º20′26.07"				65529,244
D		59º24′10.12"	5479049,572	4977037,030
	277º44′36.3"				77747,822
B		103º20′36.4"	5489525,045	4899998,155
	201º05′12.65"				56104,621
A		5437177,406	4879812,687

Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами

За своїм змістом поставлене завдання є частиною оберненої задачі проекції Гауса - Крюгера, яка має на меті здійснення переходу з площини на поверхню еліпсоїду з обчисленням геодезичних координат B,L, якщо вихідними даними є прямокутні координати х,у геодезичних пунктів.

Абсциса x точки а на площині виражається відрізком, який відповідає довжині дуги осьового меридіану від екватора до точки а1
з широтою В1
.

Широту В1
можна обчислити за довжиною дуги меридіану, що відповідає х. Тут можна скористатись формулою обчислення довжини дуги меридіану вигляду (5) і виразити з неї потрібну широту В1
, прийнявши s = x. Отже, В1
- широта основи ординати точки у = 0:

По мірі віддалення від осьового меридіану на величину ординати у для широти В точки А має місце нерівність В < В1
. Широті В відповідає довжина дуги Х осьового меридіану від екватора до паралелі точки А. Тому остаточно потрібна широта точки А залежатиме від В1
та ординати у точки в зоні проекції Гауса — Крюгера:

,

де - радіус кривизни меридіанного перерізу; - радіус кривизни перерізу першого вертикалу; - радіус кривизни меридіанного перерізу в полюсі; - друга функція широти B1
.

Довгота λ точки А в зоні проекції Гауса – Крюгера:

Довгота точки на поверхні еліпсоїду: L = L0
+ λ.

Вихідні дані

Плоскі прямокутні координати пункту B	xB (м)	5489525,045
	yB (м)	4899998,155

Сталі величини

a

6378245 м

e’2

0,00673853

ρ"

206264,8062

Відомість обчислення широти В1

Позначення дій	Результати в наближеннях
	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
0.0007114572	-0,0006	-0,0006	-0,0006	-0,0006
0.5451113292	-0,1646	-0,1698	-0,1698	-0,1698
519.4709177	513,3693	512,9677	512,9680	512,9680
0.032930760 x	177822,6020	177822,6020	177822,6020	177822,6020	177822,6020
	177822,6020	178336,1353	178335,7388	178335,7391	178335,7391
Широта В1 = 49º32′15.7"

Відомість обчислення геодезичних координат пункту В.

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	6399698,916		0,035106423
	1,001417903		475,04343609
	6390637,612	B	177862,1057
	6372553,476		49º24′22.1"
	19894,332286	λ	19845,5951
	0,00391767		5º30′45.6"
	1,374547573	L = L0 + λ	95445,5951
	0,002837816		26º30′45.7"