Інваріантність

ЛЕКЦІЯ

ІНВАРІАНТНІСТЬ

Вище ми розглянули деякі системи координат і їх зв’язок між собою, припускаюся, що простір являється евклідовим. Наскільки евклідова геометрія може бути справедлива для фізичних явищ, можна судити тільки з експериментальних даних. На сьогодні по крайній мірі для класичної механіки в області простору з характерними розмірами
L
з інтервалу
10-13
см
<<
L
<<1028
см
ми можемо на основі експериментальних даних говорити, що евклідова геометрія може бути застосована до фізичних явищ.
Внаслідок цього ми можемо сформулювати деякі висновки:

а) Інваріантність по відношенню до паралельного переносу. Під цим розуміється, що простір однорідний і не змінюється від точки до точки при такому русі.
Іншими словами. якщо тіла переміщуються без повороту, то їхні властивості не змінюються.

б) Інваріантність по відношенню до повороту.
Із досліду відомо з великою точністю, що простір являється ізотропним, так що всі напрямки еквівалентні і фізичні тіла не змінюються при повороті.
На малюнку 1.5 проілюстровані зазначені інваріантності і приведено приклади неінваріантності в гіпотетичному світі, в якому при цих рухах можуть зокрема
, змінюватись форма і розміри тіл.

Нижче інваріантності зумовлюють фундаментальні закони збереження.

Залишаючись в такому інваріантному по відношенню до паралельного переносу і повороту світі розглянемо в якому інерціальні системи, які рухаються одна відносно іншої без прискорення
(в тому числі і без нормального; тобто ). Заради простоти допустимо, що система В
рухається з постійною швидкістю відносно системи А
так, що осі х
і х’
лежать на одній прямій і напрямлені однаково, і крім того в момент часу початки координат обидвох систем співпадають (мал. 1.6).

Тоді, якщо в момент часу t
якась точка М
має координати х’, у’,
t
’
в системі В
, то її координати в системі А
будуть:

(1.25)

Перше рівняння (1.25) не містить t
’
, бо в класичній механіці вважаються, що час абсолютний, тобто t
=
t
’
.

Формули (1.25) носять назву перетворення Галілея для координат.
Із перетворення Галілея слідує закон додавання швидкостей і правило перетворень для прискорень:

(1.26) (1.27)

Ми бачимо, що при перетворенні координат завжди можна вказати таки фізичні величини, які залишаються незмінними (інваріантними) при такому перетворенні. Такі величини називаються інваріантами.
Наприклад, при перетвореннях Галілея, координати, швидкість (а значить імпульс і кінетична енергія і т.п.) – є варінтні, а прискорення, і час – інваріантні. В цьому контексті розглянемо, що буде творитися із законами збереження імпульсу і енергії як кінетичної так і повної.

Якщо рух деякої системи тіл (частинок) розглядаємо відносно інерціальної системи відліку А
, то при переході до іншої інерціальної системи В
зміниться кількість руху і кінетична енергія (бо вони є варіантні): якщо через - позначити швидкість в системі А1
, а через - в системі В
однієї частинки, то

(1.28)

Із співвідношень (1.25) – (1.26) чітко також слідує, що прискорення – інваріант, а також і сили – інваріантні. ???? також слідує з того, що всі механічні сили залежать від відносного розташування тіл або їх відносних швидкостей. І те і інше – інваріанти. Таким чином, всі три закони ньоютонівської динаміки справедливі у всіх інерціальних системах відліку.

§ 4. Чотирьохвектор і інтервал. Простір Міньковського.

Нагадаємо із курсу загальної фізики, що в релятивістській ( не Ньютонівській) механіці, коли швидкістю руху тіл не можна не можна знехтувати порівняно з швидкістю світла, яка згідно ІІ постулату Ейнштейна одинакова у всіх інерціальних системах відліку, справедливі перетворення не Галілея, а Лоренцо (мал. 1.6)

(1.29) (1.30)

Ми бачимо, що при перетвореннях Лоренцо змінюються і координати і час. Причому останні характеристики невіддільні одна від одної є відносними. Але і в релятивістській механіці можна знайти такі величини, співвідношення, які є інваріантними в довільній інерціальній системі відліку.

Першим таким інваріантом є швидкість світла. Нетрудно переконатися із співвідношень (1.29), що другим важливим інваріантом є інтервал події. Його квадрат

визначається як:

Отже: (1.31)

Інваріантами, як ми уже також знаємо, з курсу загальної фізики є маса спокою і енергія спокою.

Із останнього співвідношення випливає, що коли кількість руху К
в одній інерціальній системі не залежить від часу то вона залишається постійною і в іншій системі відліку К’
, поскільки
m
і константи. Тобто, закон інерції справедливий в усіх інерціальних системах відліку.

Кінетична енергія системи частинок в системі xOy
буде:

Остання рівність показує зміну кінетичної енергії при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Очевидно також, що якщо кінетична енергія системи в одній інерціальній системі відліку постоянна в часі, то вона буде постійною в часі і в іншій інерціальній системі відліку, якщо система частинок замкнута і між частинками діють тільки пружні сили. Таким чином, закон збереження кінетичної енергії справедливий у всіх інерціальних системах, якщо він справедливий в одній з них.
При цьому слід відмітити, що кількість руху ізольованої системи
частинок залишається постійною завжди і при недружніх взаємодіях, а кінетична енергія зменшується в цьому випадку на одну і ту ж саму величину в системах xOy
і
x’
O’
y’
. Це зменшення – інваріант.

Між частинками системи можуть діяти сили, що залежать тільки від віддалі між ними і напрямлені по лінії що їх з’єднують. Тоді кожна конфігурація володіє певною потенціальною енергією U
.

Якщо між частинками ізольованої системи відбувається така взаємодія, то закон збереження енергії (механічної) справедливий у всіх інерціальних системах.

Отже ми бачимо, що хоч самі фізичні величини можуть бути варіантними, але співвідношення в які вони входять (або між ними) в довільній інерціальній системі є однаковими (напр. або ). Тобто співвідношення є інваріантними.

Практичне заняття №1

Задача 1. Закон руху точки відносно системи відліку S
має вигляд: ; ; , де , і - постійні коефіцієнти. Визначити траєкторію, лінійну і секторну швидкості а також прискорення точки відносно тієї ж системи відліку.

Розв’язок: Диференціюючи по часу задані функції , і отримаємо проекції швидкості і прискорення точки на декартові осі

; ;

; ;

Виражаючи проекції прискорення через проекції радіус-вектора, переконаємося в тому, ??????????????????????????????

; ; , тобто,

Секторна швидкість згідно визначення:

тобто секторна швидкість не залежить від часу .

Нарешті, виключаючи із функцій і отримаємо рівняння траєкторії

; .

Отже, точка рухається з постійною секторною швидкістю по еліпсу, який лежить в площині z =0 , причому, прискорення весь час напрямлене до центру еліпса . (Мал. 1.)

Задача 2
.

Кривошип ON
довжиною a
обертається навколо вісі, перпендикулярної до площини малюнка 2 і яка проходить через точку О
. Кут між нерухомою віссю Ох
і кривошипом змінюється пропорційно до часу: . Скласти рівняння руху точки N
в декартовій системі. Визначити рівняння її траєкторії. Визначити час одного повного оберту точки N
в момент часу коли обидві координати точки рівні між собою.

Розв’язок : Для складання рівняння руху точки N потрібно виразити її координати як функції часу. З малюнку заходимо координати і точки : ; або . Це і буде шуканим рівнянням руху точки . Щоб знайти рівняння траекторії в аналітичній (явній) формі треба виключити із і

Тобто траекторія точки представлятиме собою коло радіуса з центром в початку координат.

Визначимо час одного повного оберту точки . Це є час , протягом якого кут зміниться на радіан.

, звідки

Для знаходження початкового положення точки необхідно в рівнянні руху підставити значення . Тоді .

Визначимо момент часу, коли обидві координати точки рівні між собою і , тобто , звідки , де . А це значить, що моменти часу, координати точки рівні між собою будуть

Задача 3.

Циліндричні координати точки при її русі відносно деякої системи відліку змінюються по закону: .