Міністерство освіти і науки України
Київський державний торговельно-економічний університет
Коломийський економіко-правовий коледж
Реферат
З дисципліни „Вища математика”
Розділ
: 7
„Ряди
”
Н
а
тему
:
„Степеневі
ряди
.
Теорема
Абеля
.
Область
збіжності
степеневого
ряду”
Виконала
:
Студентка групи Б-13
Комар Ірина
Перевірив
Викладач
Лугова Л.Б.
Коломия 2003
План
1. Розвинення функції у степеневий ряд.
Контрольні запитання
1. Яке розвинення в степеневий ряд функції ex
.
2. Яке розвинення в степеневий ряд функції sinx.
3. Яке розвинення в степеневий ряд функції cosx.
4. Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x).
5. Яке розвинення в степеневий ряд функції arctgx
Література
1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с.
Розвинення в степеневі ряди функцій, ex
, sinx,cosx
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функціїf(x)=ex
має вигляд
(1)
Нехай R– довільне фіксоване додатне число. Якщо xє (-R; R), то
(2)
Позначивши через , матимемо
(3)
За ознакою Д’Аламбера ряд а1
+а2
+…an
+… збіжний, тому . Звідси дістанемо
(4)
для всіх x є (-R;R). Оскільки число Rбуло взято довільно, рівність правиль
За теоремою Д’Аламбера функція f(x)=ex
в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд.
. (5)
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд
(6)
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легко оцінюється зверху:
, (7)
Вище було показано, що для всіх R>0. Тому для всіх х є правильною є рівність
Звідси дістанемо
(8)
для всіх х є .
Функція f(x)=sinx в інтервалі розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд
. (9)
Аналогічно можна діяти при розвиненні в степеневий ряд функціїf(x)=cosx.Однак простіше скористатись теоремою, згідно з якою степеневий ряд в інтервалі збіжності можна диференціювати почленно. Про диференціювавши почленно попередній ряд, матимемо (10)
Розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Правильною є рівність
(геометрична прогресія із знаменником, що дорівнює –x).Попередній степеневий ряд можна почленно інтегрувати на проміжку з кінцями 0 таx,де -1 x 1.Виконавши це дістанемо (11)
Оскільки
На підставі двох останніх рівностей знаходимо (12)
Розвинення в степеневий ряд функціїarсtgx.Знаючи, що для х є
(-1;1) правильною є рівність.
(чому це так?),по членним інтегруванням її дістанемо
Оскільки,
остаточно маємо
Приклади
1. Розвинути функцію у степеневий ряд в околиці точки х0
=2.
Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під знаком функції одержати вираз (х-2)
Тепер скористаємось формулою (10), ф яку замість х підставимо Тоді
.
Записаний ряд збігається до заданої функції при , тобто при
Таким чином,
2. Розвинути в ряд Макларена функцію
Маємо таке розвинення
Підставивши сюди замість х змінну –х, дістанемо
Віднявши від першої рівності другу, знайдемо