Министерство образования республики Беларусь
Учреждение образования "Полоцкий государственный университет"
Кафедра конструирования и технологии РЭС
Контрольная работа
По курсу " Теоретические основы САПР "
Выполнил
Номер зачетной книжки
Проверил
Новополоцк 2008
Задача №1. Оценка статического риска сбоя
Задание:
для заданной схемы оценить риск статического сбоя по всем выходным переменным для заданного варианта изменения вектора входных переменных.
Исходные данные:
Схема:
Заданный вариант изменения вектора входных переменных:
X=(a,b,c) c (0,0,1) на (1,1,1)
Решение:
Для оценки риска статического сбоя необходимо разработать синхронную модель цифровой схемы в трехзначной логике. Математическая модель заданной схемы имеет вид:
При анализе трехзначных моделей значения всех переменных – входных и выходных вычисляются трижды:
1. Исходное значение вектора входных переменных X=(a,b,c) задано заданием; исходное значение вектора выходных переменных Y=(e,g) вычисляется по правилам двоичной логики;
2. Окончательное значение вектора входных переменных X=(a,b,c) задано заданием; окончательное значение вектора выходных переменных Y=(e,g) вычисляется по правилам двоичной логики;
3. Промежуточные значения входных
переменных X=(a,b,c) определяются по следующему правилу: если исходное значение входной переменной совпадает с окончательным, то промежуточное равно исходному и окончательному. Если исходное значение входной переменной не совпадает с окончательным, т.е. имеет место переключение входного сигнала в течение такта модельного времени, то промежуточное равно 2 (неопределенное состояние переключения). Промежуточные значения выходных
переменных Y=(e,g) рассчитываются по правилам трехзначной логики. Статический риск сбоя по выходной переменной имеет место в случае, если сочетание значений этой переменной в исходном, промежуточном и окончательном состоянии имеют вид 0-2-0 или 1-2-1.
Правила выполнения основных логических операций И, ИЛИ, НЕ в двоичной и трехзначной логике для произвольных переменных а
и b
приведены в таблице 1:
Таблица 1
| a | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 |
| b | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 2 | |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | |
| 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 2 |
Результат анализа трехзначной модели заданной схемы приведен в таблице 2.
Таблица 2
| Значения переменных | входные | выходные | |||
| a | b | c | e | g | |
| Исходное | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| Промежуточное | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 |
| Окончательное | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Таким образом, результат расчета по выходным переменным e
и g
показывает наличие статистического риска сбоя.
Задача №2. Анализ цифровых схем по методу простой итерации и событийному методу
Задание:
выполнить анализ заданной схемы по методу простой итерации и событийному методу для заданного изменения вектора входных переменных.
Исходные данные:
Схема:
Заданный вариант изменения вектора входных переменных:
X=(a,b,c,d,e) меняет свое значение с 00100 на 11101
Решение:
Для выполнения анализа схемы необходимо разработать ее синхронную модель в двоичной логике. Математическая модель заданной схемы имеет вид:
Для реализации анализа по методу простой итерации необходимо задать начальное приближение для вектора выходных переменных Y0
=(f,g,h,p,q). Для расчета начальных приближений вектора выходных переменных воспользуемся начальным значением вектора входных переменных X=(a,b,c,d,e)=(00100), предварительно расположив уравнения в порядке прохождения сигналов по схеме:
Y0
=(f,g,h,p,q)=( 1,0,1,1,1).
Метод простой итерации
состоит в выполнении итераций по формуле:
Yi
=
y
(Yi-1
, X),
где Yi
- значение вектора Y
на i
-й итерации, т.е. при вычислении Y1
в правые части уравнений модели поставляются значения выходных переменных из начального приближения Y0
, при вычислении Y2
– значения из результата первой итерации Y1
и так далее. Если Yi
=Yi-1
, то решение найдено; если
Yi
¹
Yi-1
, то выполняется новая итерация; если итерационный процесс не сходится, то это свидетельствует об ошибках проектирования схемы устройства, вызывающих неустойчивость его состояния.
Результат анализа заданной схемы по методу простой итерации приведен в таблице 3.
Таблица 3
№ итерации |
Начальное приближение Y0 | ||||
| g | p | f | h | q | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
1 2 |
0 0 |
1 1 |
0 0 |
1 1 |
1 1 |
Из таблицы 3 видно, что потребовалось два раза обращаться к каждому из пети уравнений модели, прежде чем результат второй итерации, совпадающий с результатом первой итерации, показал, что решение найдено.
Таким образом, искомое значение вектора выходных переменных при изменении X=(a,b,c,d,е) с 00100 на 11101 для заданной схемы равно:
Y=(e,g,p,f,h,q)=(0,1,0,1,1).
При использовании событийного метода
вычисления на каждой итерации выполняются только по уравнениям активизированных
элементов, т.е. элементов, у которых хотя бы на одном входе произошло событие (изменилась входная переменная). В алгоритме событийного метода на каждом шаге вычислительного процесса имеется своя группа активизированных элементов.
В заданном варианте изменения вектора входных переменных изменяются только значения переменных а, b
и е
, следовательно, на первой итерации при реализации событийного алгоритма анализа должны быть пересчитаны только выходные переменные f
и h
, в правые части уравнений которых входят аргументами b
и d
. Если по результатам вычисления значения f
и h
совпадут с начальным приближением, то решение будет найдено, если хотя бы одна из этих переменных изменится, то на второй итерации должны быть пересчитаны те выходные переменных, в правые части уравнений которых входят изменившиеся в результате первой итерации переменные. Процесс продолжается до тех пор, пока в результате очередной итерации значения рассчитываемых переменных не совпадут с их предыдущими значениями, т.е. до выполнения условия Yi
=Yi-1
.
Результат анализа заданной схемы по методу простой итерации приведен в таблице 4.
Таблица 4
№ итерации |
Начальное приближение Y0 | Изменяющиеся переменные | Активизированные уравнения | |||||
| e | g | p | f | h | q | |||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
0 1 2 3 4 5 6 |
0 | 0 1 |
1 1 0 |
1 0 |
1 1 0
|
0 1 1 |
b, d f g h q p - |
4 и 5 2 5 6 n:left;">3 6 - |
| Результат | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||
Как видно из таблицы 4, на 6-ой итерации результат расчета переменной q
совпал с ее предыдущим значением, следовательно решение найдено.
Таким образом, искомое значение вектора выходных переменных при изменении X=(a,b,c,d) с 0110 на 0011 при расчете по событийному методу для заданной схемы совпадает с результатом анализа по методу простой итерации и равно:
Y=(e,g,p,f,h,q)=(0,1,0,0,0,1).
Однако, при вычислении по методу простой итерации, потребовалось на каждой итерации вычислять все выходные переменные, т.е. объем вычислений составил 6×6=36 операций. Тот же результат при использовании событийного метода потребовал значительно меньшего объема вычислений, а именно выполнения 8 операций. Таким образом, трудоемкость событийного метода значительно меньше.
Задача №3. Анализ цифровых схем по методам Зейделя
Задание:
выполнить анализ заданной схемы по методам Зейделя для заданного изменения вектора входных переменных.
Исходные данные:
Схема:
Заданный вариант изменения вектора входных переменных:
X=(a,b,c,d,e) меняет свое значение с 00100 на 11101
Математическая модель заданной схемы имеет вид:
При реализации анализа по методу Зейделя при вычислении очередного из элементов вектора Yi
в правую часть уравнений системы там, где это возможно, подставляются не элементы вектора Yi-1
, а те элементы вектора Yi
, которые уже вычислены к данному моменту, т.е. итерации выполняются по формуле: Yi
=
y
(Yi
,Yi-1
, X).
Результат вычислений по методу Зейделя без ранжирования, для исходного произвольного порядка уравнений модели представлен в таблице 5. Для организации вычислений использовалось значение начального приближения вектора выходных переменных Y0
, полученное в задаче 2.
Таблица 5
№ итерации |
Начальное приближение Y0 | ||||
| g | p | f | h | q | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
1 2 |
0 0 |
1 1 |
0 0 |
1 1 |
1 1 |
Задача №4. Моделирование аналоговых схем (метод узловых потенциалов)
Цель:
освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.
Задание:
для заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с использованием метода узловых потенциалов: построить матрицу «узел-ветвь», записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа.
Решение:
В методе узловых потенциалов в вектор базисных координат включаются потенциалы всех узлов схемы, за исключением одного узла, принимаемого за опорный. Топологические уравнения – это уравнения закона токов Кирхгофа, записанные для узлов схемы, и уравнения связи вектора напряжений ветвей U
с вектором узловых потенциалов:
A
×
I=0;
A
T
j
+U=0,
где А
– матрица «узел-ветвь»; A
T
- транспонированная матрица «узел-ветвь»; I
– вектор токов ветвей. Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы - ветвям схемы. В столбце i
-той ветви записываются единицы на пересечении со строками узлов, при чем +1
соответствует узлу, в который ток i
-той ветви втекает, а -1
соответствует узлу, из которого этот ток вытекает. Матрица «узел-ветвь» для схемы с введенными обозначениями узлов, полученной в задаче 6 и показанной на рисунке 10, имеет вид, представленный на рисунке 14 (узел 8 принят в качестве опорного).
| С1 | С2 | С3 | С4 | С5 | С6 | R1 | R2 | R3 | R4 | R5 | E1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | +1 |
| 2 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | +1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | +1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | +1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | +1 | -1 | 0 | 0 |
| 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | +1 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 0 | +1 | +1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 |
Рисунок 14
Запишем топологические уравнения по закону токов Кирхгофа
- в общем виде:
A
×
I=0;
- в развернутой матричной форм
- в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца токов ветвей схемы на матрицу «узел-ветвь»:
Запишем топологические уравнения по закону напряжений через узловые потенциалы:
- в общем виде:
A
T
j
+U=0;
- в развернутой матричной форме (в транспонированной матрице столбцы соответствуют строкам исходной матрицы «узел-ветвь»):
- в виде системы уравнений, которая получена из матричной формы умножением вектора-столбца узловых потенциалов на матрицу «узел-ветвь» после приведения ее к виду U=-A
T
j
:
Таким образом, модель топологии заданной схемы получена с использованием метода узловых потенциалов в виде двух систем уравнений - по закону токов Кирхгофа и по закону напряжений через узловые потенциалы.
Задача №5. Моделирование аналоговых схем (метод переменных состояния)
Цель:
освоение метода узловых потенциалов моделирования аналоговых схем.
Теория, методы и примеры решения:
раздел 3.3.2.3 курса лекций.
Задание:
для заданного варианта схемы задачи №6 разработать модель топологии с использованием метода переменных состояния: построить граф, нормальное фундаментальное дерево и матрицу контуров и сечений. Записать топологические уравнения в общем виде; в развернутой матричной форме; в виде системы уравнений по законам Кирхгофа. Записать окончательную математическую модель схемы в виде системы уравнений, в которой ёмкостные токи и индуктивные напряжения выражены явно и заменены производными переменных состояния.
Решение:
Базисными координатами в этом методе являются переменные состояния, т.е. фазовые переменные, непосредственно характеризующие запасы энергии в элементах электрической схемы. К таким переменным относятся независимые друг от друга емкостные напряжения и индуктивные токи. Исходными топологическими уравнениями являются те же уравнения, что и в табличном методе:
Ux
+MUвд
=0; Iвд
=MТ
Ix
=0.
Матрицу М
контуров и сечений в методе переменных состояния формируют на основе построения нормального дерева графа схемы. Нормальным деревом
называют фундаментальное дерево, в которое включение ветвей производится не произвольно, а в следующем порядке: ветви источников напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные, источников тока. Использование нормального дерева облегчает дальнейшее преобразование исходных уравнений с целью получения нормальной формы Коши.
В графе схемы, приведенной на рисунке 12, построенное фундаментальное дерево является нормальным. Топологические уравнения в общем виде и в развернутой матричной форме были получены при решении задачи 6. Топологические уравнения в виде системы уравнений по законам Кирхгофа, полученные с использованием матрицы контуров и сечений, построенной в задаче №6, имеют вид:
Для получения окончательной ММС используют компонентные уравнения. При их преобразовании стремятся получить уравнения, выражающие емкостные токи IС
и индуктивные напряжения UL
через переменные состояния. Далее, заменяя IC
и UL
производными переменных состояния, получают окончательную ММС.
Запишем компонентные уравнения (уравнения сопротивления, емкости и индуктивности) в общем виде:
В заданной схеме нет индуктивных ветвей, поэтому уравнение индуктивности нам не понадобится.
В левых частях уравнений второй системы необходимо заменить ICj
на С
j
×
dUCj
/dt
, а в правые части вместо IRi
подставить величины URi
, выраженные из уравнений первой системы путем деления на Ri
. Окончательная форма ММС по методу переменных состояния имеет вид:
Таким образом, с использованием метода переменных состояния получена окончательная полная ММС заданной схемы, объединяющая в себе компонентные и топологические уравнения схемы.